Đang tải... (xem toàn văn)
Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.
CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC * ) ) *( *( * *( *( ⇔{ ( )( ) ⇔* ) ) ⇔* * ( )( ) ( )( ) ) *( *Trƣờng hợp (a-b+c)2 xem nhƣ (a+(-b)+c)2, trƣờng hợp lại tƣơng tự *an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+bn-1) *an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+bn-1) *(a+b)n=∑ Tính chất Nội dung Cộng vế bđt cho số Nhân vế bđt cho số Cộng bđt chiều Nhân bđt chiều a>b ac>bc c>0 a>b acb+c a b ac bd c d a b ac bd c d ab n1 a n1 b b>0 d>0 n nguyên dƣơng a b a 2n b 2n a,b>0 BĐT CƠ-SI (CAUCHY) Trung bình cộng số khơng âm lớn hay trung bình nhân chúng ab ab a b ab, a, b Dấu “=” xảy a = b CÁC TRƢỜNG HỢP ĐẶC BIỆT *A *A2 > ⇔ * ⇔ *| | ⇔ *√ ⇔ * ⇔ A 0B 0 A B A B | | B AB A B B A B A B B B AB hay A A B Chú ý: Có thể giải pt, bpt chứa bậc cách dặt ẩn phụ PT, BPT CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI B A B A B A B A B A B a b 2n a 2n b PT, BPT CHỨA CĂN BẬC HAI A A B B A B CÁC TÍNH CHẤT CỦA BĐT Tên gọi ⇔* A B A2 B A B A B A B AB A B A B A B B A B A B Chú ý: Có thể giải pt, bpt chứa gttđ cách sử dụng A A 0 định nghĩa A để bỏ gttđ A A 0 ĐỊNH LÝ VIÉT Thuận: Pt ax2+bx+c=0 có nghiệm x1, x2 { Đảo: Nếu { *A3>0⇔ (n số nguyên dƣơng) x1, x2 nghiệm pt: X2-SX+P=0 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI ⇔ Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536 Cho f(x) = ax2+bx+c (a 0) =b2-4ac ( ’ =b’2-ac, b’ = ) ● af ( x) x (tam thức dấu a với x) -b -b ● af ( x) x , f , 2a 2a (tam thức dấu a với x khác nghiệm kép) ● >0⇔pt f(x)=0 có nghiệm pb x1, x2 x f(x) dấu a x1 trái dấu a + < x1 < x2 x1 < x2 < x1 x2 x2 dấu a < x1 < x2 x1 x2 S 0 2 + ĐIỀU KIỆN VỀ SỐ NGHIỆM CỦA PT BẬC HAI Cho pt ax2+bx+c=0 (1) a +Pt (1) có nghiệm pb a + Pt (1) có nghiệm kép ( a + Pt (1) có nghiệm √ √ ( ) a + Pt (1) có nghiệm (Xét a = 0) (x1- ) (x2- ) < + x1 < < x2 x1 x2 S 0 2 + x < x2 < ) TÍNH CHẴN LẺ CỦA HS ●Hs y = f(x) với TXĐ D gọi hs chẵn x D x D f(-x) = f(x) ●Hs y = f(x) với TXĐ D gọi hs lẻ x D x D f(-x) = -f(x) ●Đồ thị hs chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng ●Đồ thị hs lẻ nhận gốc O làm tâm đối xứng HỆ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG a + Pt (1) VN (Xét a = 0) DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PT BẬC HAI Cho pt ax2+bx+c=0 (1).Gọi x1, x2 ng(nếu có) +Pt (1) có nghiệm trái dấu P < (x1 < < x2) * a b (a1 b1 ; a2 b2 ) * k a ka1 ;ka2 + Pt (1) có nghiệm dấu P (0 < x1 x2 x1 x2 < 0) + Pt (1) có nghiệm dƣơng pb S P (0 < x1 < x2) + Pt (1) có nghiệm âm pb S P (x1 < x2 < 0) Cho a (a1 ; a2 ), b (b1 ; b2 ), k R a1 b1 *a b a b2 * k a k a * a b a b cos(a, b) a1b1 a b2 * a a12 a 22 * a b a1b1 a2 b2 a1 a b1b2 0 b1 b2 ⃗⃗ *Hai véctơ ⃗ ⃗⃗ hƣớng ⇔ { ⃗ * a phƣơng b a k b *Hai véctơ ⃗ ⃗⃗ ngƣợc hƣớng ⇔ { ⃗ ⃗⃗ * Góc véctơ: SO SÁNH CÁC NG CỦA PT BẬC HAI VỚI SỐ Gọi x1, x2 ng pt ax2+bx+c=0 (nếu có) Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536 a1b1 a2b2 a b cos a , b a.b a12 a22 b12 b22 * Góc tam giác: cos A cos AB , AC AB x B x A ; y B y A * AB ( x B x A ) ( y B y A ) * M Ox M x M ;0 M Oy M 0; y M * M trung điểm đoạn thẳng AB x A xB x M y y A yB M * G trọng tâm tam giác ABC x A x B xC xG y y A y B yC G *Góc tam giác: cos BAC cos AB, AC *AD phân giác góc A tam giác ABC AB DB DC AC *I tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC AI2 = BI2 = CI2 *Tìm tâm J đtròn nội tiếp tam giác ABC: +Tim D chân đƣờng phân giác AD tam giác ABC +Tim J chân đƣờng phân giác BJ tam giác ABD +J tâm đtròn nội tiếp tam giác ABC *A, B, C thẳng hàng AB, AC phƣơng *ABCD hình bình hành AB DC A, B, C không thẳng hàng *ABCD hình thang (AB//CD) A, AB ,CD huong B, C khơng thẳng hàng (3 tính chất không gian) ĐƢỜNG THẲNG *Véctơ ⃗⃗ ⃗⃗là vt phƣơng đt d giá song song trùng với d *Véctơ ⃗⃗ ⃗⃗là vt pháp tuyến đt d giá vng góc với d )thì d có vtpt *Đt d có vtcp ⃗⃗ ( ⃗⃗ ( ) ( x y ab 0 a b (đƣờng thẳng cắt Ox, Oy lần lƣợt A(a; 0), B(0; b) ) *Nếu d//đƣờng thẳng ax+by+c=0 pt d có dạng: ax+by+m=0 (m c) *Nếu d đƣờng thẳng ax+by+c=0 pt d có dạng: bx ay+m=0 * pt trục Ox : y=0, Oy : x=0 *Pt đƣờng thằng theo đoạn chắn: ) *Pttq đt d có dạng : ax+by+c=0 (vtpt (a;b)) VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA ĐƢỜNG THẲNG Cho d1: a1x+b1y+c1=0, d2: a2x+b2y+c2=0 a a c d1 //d2 b1 b2 c2 a1 a c1 b1 b2 c a a d1 cắt d2 b1 b2 Cho d1: y=a1x+b1, d2 : y=a2x+b2 a1 a2 d1 //d2 b1 b2 d1 d2 a1 a2 d1 d2 b1 b2 d1 cắt d2 a1 a a1 x b1 y c1 Tọa độ giao điểm nghiệm hpt a x b2 y c GÓC GIỮA ĐƢỜNG THẲNG Cho d1: a1x+b1y+c1=0, d2: a2x+b2y+c2=0 Gọi góc đƣờng thẳng d1, d2 a1a b1b2 cos a12 b12 a 22 b22 KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƢỜNG THẲNG Cho đƣờng thẳng : ax+by+c=0 điểm M ax M byM c Khoảng cách từ M đến : d ( M , ) a b2 Chú ý: d(M,Ox) = | | d(M,Ox) = | | PT CÁC ĐƢỜNG PHÂN GIÁC CỦA CÁC GÓC TẠO BỞI ĐƢỜNG THẲNG *Đƣờng thằng qua diểm M(x0; y0) vtcp a =(a1;a2) có x x a1 t x x0 y y0 a1a2 0 ptts ptct a1 a2 y y0 a t *Đƣờng thằng qua diểm M(x0; y0) vtpt n =(a; b) có pttq : a(x x0) + b(y y0) = *Đƣờng thằng qua diểm M(x0; y0), hệ số góc k có pt: y y0=k(x x0) Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536 Cho đƣờng thẳng d1: a1x+b1y+c1=0, d2: a2x+b2y+c2=0 Pt đƣờng phân giác góc tạo đƣờng a x b1 y c1 a x b2 y c thẳng d1, d2 là: 2 a1 b1 a 22 b22 MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ ĐƢỜNG THẲNG *Viết pt đƣờng thẳng qua điểm A, B: Đƣờng thẳng qua A, vtcp AB có ptts (hoặc ptct) (mẫu khác 0) Chú ý: Viết pt trung tuyến AM tam giác ABC +Tìm trung điểm M cạnh BC +Viết pt tt AM qua A,M *Viết pt đƣờng thẳng qua điểm M vng góc AB: +Pttq đƣờng thẳng qua M, vtpt AB Chú ý: Đƣờng cao AA/ tam giác ABC qua A, vtpt BC Đƣờng trung trực BC qua trung điểm I BC, vtpt BC * Tìm hình chiếu H M lên đƣờng thẳng d +Viết pt đƣờng thẳng qua M, vng góc d pt d +Ta có H d Tọa độ H nghiệm hpt pt Cách khác: *Tìm điểm M/ đối xứng với M qua đƣờng thẳng d +Tìm hình chiếu H M lên d +M M/ đối xứng qua d xM xH xM H trung điểm MM/ yM yH yM / *Viết pt đƣờng thẳng đối xứng đƣờng thẳng qua đƣờng thẳng d +Lấy điểm M, N +Tìm M/, N/ dối xứng với M, N qua đƣờng thẳng d +Viết pt đƣờng thẳng / qua M/, N/ *Viết pt đƣờng thẳng qua M, cách A khoảng k +(x a)2+(y b)2 = R2 + x2 + y2 2ax 2by+c = (1) R a b c Pt (1) pt đƣờng tròn a2+b2 c>0 CHÚ Ý: +(C) có tâm I, qua M R = IM +(C) có tâm I, tiếp xúc đƣờng thẳng d I , R +(C) có đƣờng kính AB tâm I trung điểm AB bán kính R = AB/2 AI BI +(C) qua A tiếp xúc đƣờng thẳng d B BI ad +(C) qua điểm A, B, C tọa độ A, B, C vào pt đƣờng thẳngrịn dạng khai triển Giải hpt tìm a, b, c *PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA Đ/ TRÕN * Viết pttt (C) M: +Tìm tâm I (C) +Tiếp tuyến (C) qua M, có vtpt IM * Viết pttt (C) dạng khác: +Tìm tâm bán kính (C) +Xác định dạng ttuyến ●có hệ số góc k : Pttt có dạng : y = kx + m ●// đƣờng thẳng ax + by + c = 0: Pttt có dạng : ax + by + m =0 ● đƣờng thẳng ax + by + c = 0: Pttt có dạng : bx ay + m=0 ●qua M : Pttt có dạng : a(x xM) + b (y yM) = +Ttuyến d tiếp xúc (C) d(I, d) = R Từ dó tìm m a, b Pt đƣờng thẳng qua M, vtpt n =(a; b) có dạng: a(x xM)+b(y yM)=0 cách A khoảng k d ( A, ) k Từ hệ thức a b chọn a suy b (hoặc ngƣợc lại) *Viết pt đƣờng thẳng qua M, cách A, B Pt đƣờng thẳng qua M, vtpt n =(a; b) có dạng: a(x xM)+b(y yM)=0 cách A, B d ( A, ) d ( B, ) Từ hệ thức a b chọn a suy b *Viết pt đƣờng thẳng qua M tạo với d:ax+by+c=0 góc Pt đƣờng thẳng qua M, vtpt n =(n1; n2) có dạng: a(x xM)+b(y yM)=0 tạo với d góc n1a n2 b cos( , d ) cos n12 n22 a b Từ hệ thức n1 n2 chọn n1 suy n2 ĐƢỜNG TRÕN *PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG TRÕN Pt đtrịn tâm I(a; b) bán kính R Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536 ELIP (E) = {M/ MF1 + MF2 = 2a } với 2a > F1F2 F1, F2 : tiêu điểm F1F2 = 2c : tiêu cự M (E) : F1M, F2M : bán kính qua tiêu điểm x2 y2 PT tắc (E) : (a2 = b2 + c2) a b Độ dài trục lớn : 2a Độ dài trục nhỏ : 2b Tiêu điểm : F1( c; 0) F2(c; 0) Tâm sai Đỉnh : A1( a; 0) A2(a; 0) B1(0; b) B2(0; b) Hình Tam giác DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH Diện tích Trong a:cạnh đáy S ah h:chiều cao ( a b )h Hình thang S Hình bình hành S ah Hình thoi S Hình chữ nhật Hình vuông ab S ab S a2 a,b:2 đáy h:chiều cao a:cạnh đáy h:chiều cao a,b:2 đƣờng chéo a,b: kthƣớc a: canh hv Hình Diện tích Hình hộp S chữ nhật 2ab bc ca Hình lập phƣơng Hình lăng trụ(k.lăng trụ) Stp=6a2 Sxq=tổng dt mặt bên Stp=Sxq+S2đ S =tổng dt mặt Hình chóp xq bên (K/chóp) Stp=Sxq+Sđ Hình cầu S 4R (K/cầu) S xq Rl Hình nón S S xq S d (K.nón) Rl R S xq 2Rl Hình trụ S S xq S d (K.trụ) 2Rh 2R Thể tích V=abc V=a3 Trong a,b,c:3 kích thƣớc a:cạnh hlp h:chiều cao V=Sđ.h V Sd h S R R:bán kính V R h l:đƣờg sinh V R h HÌNH HỌC KHƠNG GIAN *CÁC PP CM ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG a // b u a + a ( ), b ( ) u//a//b u b ( ) ( ) u a //( ) ( ), ( ) // a a//b + a//b + a ( ) ( ) ( ) b ( ) ( ) b ( ) //( ) a b + ( ) ( P) a a//b + a // b a , b ( ) ( P) b +Các pp cm đƣờng thẳng song song mặt phẳng nhƣ định lý Talet đảo, cm tứ giác hbh, đƣờng trung bình tam giác, hình thang, … *CÁC PP CM MP SONG SONG a b O + a, b ( ) ( ) //( ) a, b //( ) ( ) //( P) + ( ) //( P) ( ) //( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) //( ) + ( ), ( ) a Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536 *CÁC PP CM ĐƢỜNG THẲNG VÀ MP SONG SONG a // b ( ) a ( ) + a //( ) + a //( ) a ( ) ( ) //( ) a ( ) + a b a //( ) ( ) b *CÁC PP CM ĐƢỜNG THẲNG VNG GĨC a ( ) a // b + + ab bc b ( ) a c +Cho a/ hình chiếu a lên mp (P), b (P) a a a b *CÁC PP CM MP VNG GĨC a ( ) a //( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) a ( ) a ( ) *CÁC PP CM ĐƢỜNG THẲNG VÀ MP VNG GĨC a b, c + b c O a ( ) b, c ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) d a ( ) + a ( ), a d ‖ ( ) //( ) a ( ) +{ + ⇒ ( ) ( ) a ( ) *Mp (đƣờng) trung trực đoạn thẳng mp (đƣờng thẳng) vng góc với đoạn thẳng trung điểm Trong khơng gian, tập hợp điểm cách đầu đoạn thẳng mp trung trực đoạn thẳng Trong mp chứa đoạn thẳng, tập hợp điểm cách đầu đoạn thẳng đƣờng trung trực đoạn thẳng *Các đlý khác: ●Hai mp // chắn cát tuyến // đoạn thẳng ●Ba mp // chắn cát tuyến đoạn thẳng tƣơng ứng tỉ lệ KHOẢNG CÁCH *Khoảng cách từ điểm đến mp (đƣờng thẳng) độ dài đoạn vng góc kẻ từ điểm đến mp (đƣờng thẳng) *Khoảng cách đƣờng thẳng mp (đƣờng thẳng) song song khoảng cách từ điểm đƣờng thẳng đến mp (đƣờng thẳng) *Khoảng cách mp song song khoảng cách từ điểm mp đến mp *Khoảng cách đƣờng thẳng chéo là: +độ dài đoạn vng góc chung +khoảng cách đƣờng thẳng mp song song với chứa đƣờng thẳng cịn lại +khoảng cách mp song song lần lƣợt chứa đƣờng thẳng *Các pp tìm khoảng cách từ điểm M đến mp ( ) Cách 1: _Tìm (dựng) MH P tại H _ d (M , P) MH Cách 2: _Tìm (dựng) MN // P _ d (M , P) d N , P Cách 3: (tỉ số khoảng cách) ( ( )) ( ( )) +Các miền tam giác gọi mặt bên hc +Hc có đáy tam giác, tứ giác, … gọi hc tam giác, hc tứ giác, … Hc tam giác gọi hình tứ diện Hình tứ diện hình tứ diện có tất cạnh Hình tứ diện hình tứ diện có cạnh +Hc hc có đáy đa giác chân đƣờng cao trùng với tâm đáy, cạnh bên nhau, mặt bên tam giác cân nhau, góc cạnh bên (mặt bên) đáy HÌNH LĂNG TRỤ Cách 4: (dùng thể tích) *Định nghĩa: Hình lăng trụ hình đa diện có mặt nằm mặt // gọi mặt đáy tất cạnh khơng )) ( ( nằm đáy // Trong đó: +Các mặt khác với đáy )) ⇒ ( ( gọi mặt bên (các mặt bên hbh) Chú ý: Để vẽ đt vng góc mp từ M ta thƣờng tìm mp chứa +Cạnh chung mặt M vng góc mp đó, từ M vẽ đt vng góc giao tuyến bên gọi cạnh bên.(các GÓC cạnh bên // = nhau) +Hai đáy đa giác có *Góc đƣờng thẳng a, b góc đƣờng thẳng cạnh tƣơng ứng // qua điểm lần lƣợt song song với đƣờng = thẳng Ký hiệu (a,b) +Hlt có đáy tam giác, Chú ý: Góc đƣờng thẳng // trùng =00 tứ giác, … gọi hlt tam Có thể từ điểm đt vẽ đt // đt giác, hlt tứ giác, … +Hlt có đáy hbh cịn gọi hình hộp Bốn đƣờng chéo *Góc đƣờng thẳng a mp góc đƣờng hình hộp cắt trung điểm đƣờng +Hình hộp có tất mặt hcn gọi hình hộp chữ thẳng hình chiếu lên mp Ký hiệu: a, nhật Chú ý: Góc đƣờng thẳng // nằm mp =00 +Hình hộp có tất mặt hvng gọi hình lập phƣơng *Góc mp góc đƣờng +Hlt đứng hlt có cạnh bên vng góc với đáy, mặt thẳng lần lƣợt nằm mp bên hcn vng góc với đáy vng góc với giao tuyến +Hlt hlt đứng có đáy đa giác đều, mặt bên điểm (hoặc góc đƣờng thẳng hcn lần lƣợt vng góc với mp đó) Chú ý: Góc mp // trùng =0 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN *Diện tích hình chiếu: Nếu S dtích đa giác, S/ dtích đa giác hình chiếu góc mp chứa đa giác mp chiếu S S cos HÌNH CHÓP *Định nghĩa: Trong mp (P) cho đa giác A1A2…An điểm S nằm (P) Nối S với đỉnh A1, A2, …,An ta đƣợc n miền tam giác, hình tạo n miền tam giác miền đa giác đƣợc gọi hình chóp S A1A2…An đó: +Điểm S gọi đỉnh hc +Các đoạn thẳng SA1, SA2 gọi cạnh bên hc +Các đoạn thẳng A1A2 , A2A3 gọi cạnh đáy hc Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536 Cho a =(a1; a2; a3), b =(b1; b2; b3), số k tùy ý a1 b1 * a b a b2 a b * a b (a1 b1 ; a2 b2 ; a3 b3 ) * k a ka1 ; ka2 ; ka3 * a b a1 b1 a b2 a b3 * a a12 a 22 a 32 * *Diện tích hbh ABCD: S AB, AC ab cos a , b a.b a1 b1 a b2 a b3 a a 22 a 32 b12 b22 b32 * AB x B x A ; y B y A ; z B z A * AB ( x B x A ) ( y B y A ) ( z B z A ) M Ox M xM ; 0; M Oxy M xM ; yM ; M Oxz M xM ; 0; zM * M trung điểm đoạn thẳng AB x A xB xM y yB yM A z A zB zM * G trọng tâm tam giác ABC x A x B xC xG y y B yC yG A z A z B zC zG * G trọng tâm tứ diện ABCD x A x B xC x D xG y y B yC y D yG A z A z B zC z D zG *A, B, C đỉnh tam giác AB khơng cp AC *Diện tích tam giác ABC S AB, AC *Độ dài đƣờng cao AH tg ABC ⇒ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) *Tính góc tam giác ABC: * AH đƣờng cao tg ABC AH BC BH cp BC Cách 2: Tìm H hình chiếu A lâ đƣờng thẳng BC * I tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tg ABC AI BI CI A, B, C , I dong phang *Thể tích hình hộp ABCD.A/B/C/D/: V AB, AD AA , AB, AC AD * Độ dài đƣờng cao AH tứ diện ABCD ⇒ *Thể tích khối tứ diện ABCD: V * AH đƣờng cao td ABCD AH BCD B, C , D, H dong phang Cách : Viết pt đƣờng cao AH td ABCD Ta có H AH BCD * Định nghĩa TÍCH CĨ HƢỚNG vectơ a =(a1; a2; a3), b =(b1; b2; b3) vectơ đƣợc xác định nhƣ sau: a2 a a1 a a1 a a , b b b ; b b ; b b a a a * a, b phƣơng b1 , b2 , b3 0 b1 b2 b3 a k b a , b * a , b a , b * a , b , c đồng phẳng a , b c *A, B, C thẳng hàng AB, AC phƣơng *A, B, C, D đỉnh tứ diện AB AC AD Cách 2: D ABC PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU *Pt mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 (1) với tâm I(a; b; c), bán kính R a b c d Pt (1) pt mặt cầu a b2 c d Chú ý: +(S) có tâm I, qua M R = IM ⇔ tọa độ M vào pt mc +(S) có tâm I, tiếp xúc mp d I , R Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536 +(S) có tâm I, tiếp xúc đƣờng thẳng d I , R +(S) có đƣờng kính AB tâm I trung điểm AB bán kính R = AB/2 +Viết pt mặt cầu (S) qua A, B, C, D Pt mc (S) có dạng x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 (1) (a2+b2+c2-d > ) mặt cầu (S) qua A, B, C, D hpt ẩn a, b, c, d(thế tọa độ A, B, C, D vào (1)) +Để tìm tiếp điểm tiếp diện (P) mc: Tìm pt đƣờng thẳng d qua tâm I vng góc (P) Tiếp điểm T= d (P ) +Để tìm tâm bán kính đtròn giao tuyến (P) mc tâm I, bán kính R: Tìm pt đƣờng thẳng d qua tâm I vng góc (P) Tâm đtrịn J = d (P ) Bán kính R = R d I , ( P ) PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG *Mp qua điểm M0(x0; y0; z0), vtpt n =(A;B;C) có pt là: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 *Pt tống quát mp có dạng: Ax+By+Cz+D=0 với A2+ B2 +C2 *Mp Ax+By+Cz+D=0 có vtpt n =(A;B;C) *Pt mp theo đoạn chắn: Pt mp cắt trục tọa độ A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) x y z với abc : a b c *Vị trí tƣơng đối mp: Cho mp :Ax+By+Cz+D=0 :A/x+B/y+C/z+D/=0 cắt A : B : C A : B : C // A B C D A B C D trùng A B C D A B C D *Khoảng cách từ điểm M đến mp (P) là: AxM ByM CzM D d M , P A2 B C Chú ý: *Mp qua A, B, C khơng thẳng hàng có vtpt n AB, AC n ud , MM ' M ' d ' *Pt mp tọa độ Oxy : z = 0, Oyz : x = 0, Oxz : y = *Mp chứa Ox A = D = *Mp // Ox A = D PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG *Đƣờng thẳng d qua điểm M(x0; y0; z0), vtcp u =(a;b;c) có x x0 at pt tham số : y y0 bt t R z z ct x x0 y y0 z z0 abc 0 pt tắc : a b c VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI GIỮA ĐƢỜNG THẲNG d1 qua điểm M1, vtcp u d2 qua điểm M2, vtcp u u1 , u2 d1 // d u , M M 1 u1 , u2 d1 trùng d2 u , M M 1 u1 , u2 d1 cắt d2 u , u M M d1 chéo d2 u1 , u2 M M *Chú ý: Có thể xét hpt gồm pt d1 d2 Nếu hệ có nghiệm t = t0 t’ = t’0 đt cắt ( tìm tọa độ giao điểm cách t = t0 vào pt d1 t’ = t’0 vào pt d2) *Mp chứa (//) AB, có vtpt n AB, n *Mp chứa (//) AB, // CD có vtpt n AB, CD *Mp , có vtpt n n , n ’ *Mp chứa đt cắt d, d qua M d có vtpt n ud , ud ' *Mp chứa đt // d, d’ M d Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536 Nếu hệ VN u d1 , u d2 phƣơng d1//d2 *Mp vng góc AB có vtpt AB Nếu hệ VN u d1 , u d2 không phƣơng d1 chéo d2 VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI GIỮA ĐƢỜNG THẲNG MP Cho đƣờng thẳng d: x= x0 +at, y= y0 +bt, z= z0 +ct mp (P): Ax+By+Cz+D=0 Thế ptts d vào pt mp (P) ta đƣợc pt bâc ẩn t Giải pt : * Nếu pt VN : d//(P) * Nếu pt có VSN : d (P) qua có vtpt * Nếu pt có nghiệm t=t0: d cắt (P) (thế t=t0 vào ptts d) CÁC CÔNG THỨC KHOẢNG CÁCH *Khoảng cách từ điểm M đến mp : AxM ByM CzM D Ax+By+Cz+D=0: d ( M , ) A2 B C *Khoảng cách từ điểm M đến đƣờng thẳng ( qua N, vtcp u ): 1 u d M , MN , u 2 MN , u d ( M , ) u S tam giac *Khoảng cách đƣờng thẳng song song 1 , 2 d 1, 2 d M1, 2 M1 1 *Khoảng cách đƣờng thẳng chéo 1 , 2 Đƣờng thẳng 1 qua M1, vtcp u1 Đƣờng thẳng 2 qua M2, vtcp u2 u1 , u2 M 1M d 1 , u1 , u2 *Khoảng cách mp song song (P), (Q) d P , Q d M , Q M P *Khoảng cách đƣờng thẳng d // mp (P) : d d , P d M , P M d *MỘT SỐ PP XÁC ĐỊNH VTCP CỦA ĐT: _ d qua điểm A, B có vtcp u d AB _ d // đt d’ có vtcp ud ud u _d qua M, cắt d1 // mp(P) d có vtcp d u , n P với u MN , u d1 N d1 PP THAM SỐ HÓA TỌA ĐỘ *VIẾT PT ĐƢỜNG THẲNG QUA A VÀ CẮT ĐƢỜNG THẲNG d VÀ d/ +Viết ptts d d/ theo t t’ +Lấy M d , M d (Biểu diễn tọa độ M M’ theo t t’) +MM’ qua A AM , AM phƣơng +Từ đk phƣơng tìm t t’ suy M, M’ +Pt đƣờng thẳng MM’ *VIẾT PT ĐƢỜNG THẲNG // VÀ CẮT ĐƢỜNG THẲNG d VÀ d/ +Viết ptts d d/ theo t t’ +Lấy M d , M d (Biểu diễn tọa độ M M’ theo t t’) Cách 2: d 1 , d M , (P) M 1 , ( P) / / 1 _ d đt ’ có vtcp u d u , u ( ’cắt chéo nhau) _ d qua M, cắt có vtcp u d u , u với u MN , u N _ d có vtcp u d n +MM’ // MM , u phƣơng +Từ đk phƣơng tìm t t’ suy M, M’ +Pt đƣờng thẳng MM’ *VIẾT PT ĐƢỜNG VUÔNG GÓC CHUNG CỦA ĐƢỜNG THẲNG CHÉO NHAU d VÀ d/ +Viết ptts d d/ theo t t’ +Lấy M d , M d (Biểu diễn tọa độ M M’ theo t t’) MM u d ’ +MM đoạn vng góc chung MM u d +Giải hpt tìm t t’ suy M, M’ +Pt đƣờng vng góc chung MM’ *VIẾT PT ĐƢỜNG THẲNG d qua M, cắt +Viết ptts theo t +Lấy N (Biểu diễn tọa độ N theo t) +MN MN u +Giải pt tìm t suy tọa độ N +Pt đƣờng thẳng MN _ d // mp (P) (Q) có vtcp u d n P , nQ Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536 *VIẾT PT ĐƢỜNG THẲNG d qua M, cắt d1 // mp(P) +Viết ptts d1 theo t +Lấy N d1 (Biểu diễn tọa độ N theo t) 1) Quy tắc cộng: Một cv đƣợc hoàn thành hành động Nếu hđộng thứ có n cách thực hđộng thứ có m cách thực hiệnkhông trùng với cách hđộng thứ Vậy cv có m+n cách thực 2) Quy tắc nhân: Một cv đƣợc hoàn thành hành động liên tiếp Nếu hđộng thứ có n cách thực ứng với cách thực hđộng thứ có m cách thực Vậy cv có mn cách thực II/ XÁC SUẤT: 1) Không gian mẫu tập hợp kết xảy phép thử Ký hiệu 2) Biến cốlà tập không gian mẫu 3) Tập A I B gọi giao biến cố A B Biến cố +MN// (P) MN n P +Giải pt tìm t suy tọa độ N +Pt đƣờng thẳng MN HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP NHỊ THỨC NIUTƠN I/ HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP *Số hốn vị tập hợp có n phấn tử là: Pn = n! = 1.2.3…n *Một chỉnh hợp k n ptử tƣơng ứng với cách chọn k ptử từ n ptử có tính đến thứ tự *Số chỉnh hợp k n ptử : A I B viết A.B 4) Tập A U B gọi hợp biến cố A B 5) Tập \ A gọi b/cố dối b/cố A, k/hiệu A n! A n k ! k n *Một tổ hợp k n ptử tƣơng ứng với cách chọn k ptử từ n ptử khơng có tính đến thứ tự n! k ! n k ! *Số tổ hợp k n ptử : Cnk P A 1, P 1, P Chú ý: *n! = n(n-1)! = n(n-1)(n-2)! = … 9) A, B b/cố xung khắc P A U B P A P B II/ NHỊ THỨC NIUTƠN : a b n 6) A B xung khắc A I B 7) A B độc lập xảy hay không xảy b/cố không ảnh hƣởng đến xs b/cố Nếu A B độc lập A B , A B độc lập n( A) so ptu cua A 8) Xác suất b/cố A P A n() so ptu cua 10) P A P A n Cn0 a n Cn1a n 1b Cnk a n k b k Cnnb n Cnk a n k b k 11) A, B b/cố độc lập P A.B P A P B k 0 Chú ý: * Cnk Cnnk (n, k N* , k n) * Cnk1 Cnk +Ckn 1 * 1 x C C x C x C x n n n k n k n n CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM * u v u v n * Cn0 Cn1 Cnn 2n C C C C 2n n 1 *C 2n 2n C 2 n 1 2n 2n C 2n n 1 n 1 2n C C C C 2n C n 1 2n C n 1 2n n 1 n 1 C 2 * Cnk 3Cnk 1 3Cnk 2 Cnk 3 Cnk3 * 1 x Cn1 x Cn2 x Cnn x n (1) 2n n 1 2 Với x= 1: *2 C C C n n n n v * n Lấy tích phân vế (1) 2n1 1 1 * Cn1 Cn2 Cnn n 1 n 1 QUY TẮC ĐẾM – XÁC SUẤT I/ QUY TẮC ĐẾM : Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536 * u ; a a.u 2 v u u u u u u * (au)/ = a.u/ * *(C)’ = * (x)’ = a a Với x= -1: *0 1-Cn1 Cn2 1 Cnn Lấy đạo hàm vế (1) n-1 *n 1 x Cn1 2Cn2 x 3Cn3 x nCnn x n 1 * u u v 2 uv n n * (uv)/ = u/v + uv/ x x x u 2uu n * * nn x n1 x * x 1 u * u 1 u * (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’cosu * (cosx)’ = - sinx (cosu)’ = – u’sinu * (tanx)’ = = + tan2x 10 ax b ĐB khoảng xđ cx d y x D tử > ax b Hs y NB khoảng xđ cx d y x D tử < Hs y = u’ (1 + tan2u) (tanu)’ = = – (1 + cot2x) * (cotx)’ = = – u’ (1 + cot2u) (cotu)’ = – * (ex)’ = ex (eu)’ = u’eu * (ax)’ = axlna (au)’ = u’aulna * ln x x ' ln u u u ' ' * log a x ' * ( ) | = u' u ln a log a u' x ln a | ( ) = ( ) aa ' x 2ab' x a' ' ax bx c * ' ' a xb b c b' a x b ' ' ax bx c a x bx c HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN *Định nghĩa: Cho hs f xác định K ( khoảng, đoạn, nửa khoảng ) Hs f đồng biến I nếu: x1 , x2 I , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) Hs f nghịch biến I nếu: x1 , x2 I , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) *Định lý: Giả sử hs f có đạo hàm khoảng I *Hs đồng biến I f x x I (1) *Hs nghịch biến I f x x I (2) Dấu “ = ” xảy điểm “rời rạc” Chú ý: Hs bậc với phát biểu (1), (2) Hs biến với phát biểu (1), (2) khơng có dấu “ = ” Hs y=ax3+bx2+cx+d ĐB R y x R (Xét riêng a = 0) a Hs y=ax3+bx2+cx+d NB R y x R (Xét riêng a = 0) a Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Hs f có đh taï i x0 f ( x0 ) * Hs f đạt cực trị x *Quy tắc tìm cực trị hs: +Tìm TXĐ D +Tính f /(x) Tìm điểm x0 mà f /(x0) = f /(x0) không xác định +Lập BBT +Kết luận *Quy tắc tìm cực trị hs: +Tìm TXĐ D +Tính f /(x) Giải pt f /(x0) = tìm nghiệm x0 + Tính f //(x) f //(x0) Nếu f //(x0) < x0 điểm CĐ Nếu f //(x0) > x0 điểm CT *Chú ý: f x0 +Hs y=ax3+bx2+cx+d đạt CĐ x0 f x0 f x0 +Hs y=ax3+bx2+cx+d đạt CT x0 f x0 f x0 +Hs y=ax3+bx2+cx+d đạt cực trị x0 f x0 +Hs y=f(x) đạt cực trị x0 f /(x0) = (Thử lại) +Đồ thị hs y=f(x) có điểm cực trị M(x0;y0) (hs có giá trị cực trị y0 x = x0 ) f x0 f x0 y0 +Hs y=ax3+bx2+cx+d có cực trị (Xét a = 0) Pt y/=0 có nghiệm p/b a +Hs y=ax3+bx2+cx+d có CĐ, CT Pt y/=0 có nghiệm p/b a +Hs y=ax3+bx2+cx+d khơng có cực trị (Xét a = 0) Pt y/=0 VN có nghiệm kép a +Xét hs y=ax4+bx2+c TXĐ: D = R y/ =4ax3+2bx 11 x y/ =0 4ax3 2bx (1) 4ax 2b (2) ●Hs y=ax4+bx2+c có cực trị (có CĐ, CT) Pt (1) có nghiệm p/b Pt (2) có nghiệm p/b khác b 0 2a ●Hs y=ax4+bx2+c có cực trị (Xét a = 0) Pt (1) có nghiệm Pt (2) VN có nghiệm kép = b 0 2a P( x ) +Nếu hs y f ( x) ( P(x), Q(x) đa thức) đạt Q( x ) P( x0 ) cực trị x0 f ( x0 ) Q( x0 ) ax2 bx c có CĐ, CT pt đƣờng ax b 2ax b thẳng qua điểm ctrị y ) a +Hs y=ax3+bx2+cx+d đạt cực trị x0 y0 = r(x0) với y = ax3+bx2+cx+d = (Ax + B).y/ + r(x) ( r(x) phần dƣ phép chia y cho y/ ) (Nếu hs có CĐ, CT pt đƣờng thẳng qua điểm ctrị y= r(x)) (Nếu hs y f ( x) TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HS * lim y lim y lim y x x0 x x0 x x0 lim y x=x0 TCĐ đƣờng thẳnghị hs x x 0 * lim y y0 lim y y0 y=y0 TCN đthị x x hs PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN *PTTT đồ thị hs (C) : y = f(x) M(x0;y0): y y0=f /(x0)(x x0) y=f /(x0)(x x0)+y0 * Hệ số góc tt f /(x0) *Viết pttt có hệ số góc // với dt d: y=kx+b: +Gọi M(x0; y0) tiếp điểm + Tìm x0, y0, f /(x0) (tt//d f /(x0) = k tt d f /(x0).k= 1) +PTTT cần tìm là: y=f /(x0)(x x0)+y0 *Viết pttt biết tt qua (xuất phát từ, vẽ từ) điểm M(x0; y0) +Pt đƣờng thẳng d qua M, hệ số góc k có dạng: y=k(x x0)+y0 +Đƣờng thẳng d tiếp xúc (C) hệ sau có nghiệm f ( x ) k ( x x0 ) y0 (1) f ( x ) k (2) +Thế (2) vào (1) Giải pt tìm nghiệm x (là hồnh độ tiếp điểm) Thế x tìm đƣợc vào (2) suy k +Vậy pttt cần tìm là: (thế k tìm đƣợc vào pt d) Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536 BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM ĐƢỜNG Cho đƣờng (C) : y=f(x) (C /): y=g(x) *Pt có nghiệm hồnh độ giao điểm (C) (C/): f(x)=g(x) (1) *Số nghiệm pt (1) số giao điểm (C) (C/) *CHÚ Ý: +Pt (1) pt có dạng: ax3+bx2+cx+d=0 ax3+bx2+cx+d=0 (x-x0)(ax2+Bx+C)=0 (1)(nhẩm no, chia đa thức) x x0 ax Bx C (2) ●(C) (C/) cắt điểm pb Pt (1) có nghiệm pb Pt (2) có nghiệm pb khác x0 a ax Bx C 0 ●(C) (C/) cắt điểm (Xét a=0) Pt (1) có nghiệm pb Pt (2) VN có nghiệm kép = x0 a a ax2 Bx C 0 ●(C) (C/) cắt điểm pb(Xét a=0) Pt (1) có nghiệm pb Pt (2) có nghiệm pb mà n0= x0 có n0 kép khác x0 a a ax Bx C ax2 Bx C 0 **Nếu pthđgđ khơng phân tích đƣợc có đk nghiệm phức tạp biến đổi dạng g(x)=m lập BBT +Pt (1) pt có dạng: ax4+bx2+c=0(1) Đặt t = x2 ĐK : t Pt (1) trở thành : at2+bt+c=0(2) ●(C) (C/) cắt điểm pb Pt (1) có nghiệm pb Pt (2) có nghiệm dƣơng pb S - b a S P P c a / ●(C) (C ) cắt điểm pb Pt (1) có nghiệm pb Pt (2) có nghiệm dƣơng nghiệm =0 (c=0:pt có nghiệm =0 c S>0: số + số dƣơng >0 S ●(C) (C/) cắt điểm pb (Xét a=0) 12 Pt (1) có nghiệm pb Pt (2) có nghiệm trái dấu nghiệm kép dƣơng P S ●(C) (C/) khơng có điểm chung (Xét a=0) Pt (1) VN Pt (2) VN có nghiệm âm a S P MỘT SỐ T/CHẤT HÀM TRÙNG PHƢƠNG *Hs ln có ctrị a b *Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng MỘT SỐ T/CHẤT HÀM BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT * Đồ thị (C)nhận giao điểm I tiệm cận làm tâm đối xứng *Không có tiếp tuyến đồ thị qua I *Hai tt’ (C) khơng vng góc *Hai tt’ ssong (C) có tiếp điểm đối xứng qua I *Gọi M điểm tùy ý thuộc (C), A, B giao điểm tt M tiệm cận thì: _M trung điểm AB _Tam giác IAB có dtích khơng đổi _Tích khoảng cách từ M đến tcận khôg đổi MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN KSHS 1) Bài tốn 1: Giải pt, bpt, hpt: Cách 1: *Chuyển pt dạng : f(x)=k *Xét hs y=f(x) Cm hs đơn điệu *Nếu x=x0 nghiệm nghiệm Cách 2: *Chuyển pt dạng : f(x)=g(x) *Xét hs y=f(x) y=g(x) Cm hs y=f(x) đồng biến y=g(x) nghịch biến *Nếu x=x0 nghiệm nghiệm Vd: Gpt: x x x x Chú ý Hs y=ax4+bx2+c tƣơng tự Vd: Cho hs y=2x3-3(m+1)x2+6mx+m3 Tìm m để hs có CĐ, CT : a) Khoảng cách điểm CĐ, CT (m=0 m=2) b) Hai điểm CĐ, CT tạo với C(4; 0) tam giác vng C (m=-1) Vd: Tìm m để hs y=mx4+(m−1)x2+1−2m có điểm ctrị 3)Bài tốn3: Lập pt đƣờng thẳng qua điểm ctrị đồ thị hs y=ax3+bx2+cx+d: Cách 1: Nếu tọa độ điểm ctrị số ngun hữu tỉ làm theo cách thơng thƣờng Cách 2: Nếu tọa độ điểm ctrị số vơ tỉ chứa tham số tọa độ điểm ctrị hs thỏa hệ y đƣờng thẳng y=h(x) qua y f ( x) y g ( x) h( x) điểm ctrị 4)Bài toán4: Trên đồ thị (C) y=f(x) tìm điểm A, B đối xứng qua đt d : ax+by+c=0 AB d Cách 1: YCĐB trung diem I cua AB thuoc d Cách 2: *AB d pt đt AB có dạng bx−ay+m=0 *Viết pt hđ gđ (C) AB *Tìm đk để (C) cắt AB điểm pb *YCĐB trung điểm I AB thuộc d 5)Bài toán 5: Trên đồ thị (C) y=f(x) tìm điểm A, B đối xứng qua gốc tọa độ O *Gọi M(x0; y0), M’(−x0; −y0 ) y f ( x0 ) *M, M’ (C ) y f ( x ) Ta đƣợc f(x0)+f(−x0)=0 6)Bài tốn 6: Tìm điểm nhánh (H): x 1 cho khoảng cách chúng nhỏ y x 1 a2 b2 Gọi A(1−a; ), B(1+b; ) điểm tùy ý a b (H) 2)Bài tốn 2: Tìm giá trị tham số dể hs y=ax3+bx2+cx+d có điểm cực trị thoả đk K : * TXĐ D=R Tính y’ *Hs c ó CĐ, CT y’=0 có nghiệm pb a x1 x2 Khi y’=0 có nghiệm pb thỏa (đl Viet) x1 x2 *Chia đa thức y cho y’ : y=y’.g(x)+h(x) y1=h(x1) y2=h(x2) Vậy điểm ctrị (x1; y1), (x2; y2) ( tính y1=f(x1) y2=f(x2) ) *Xét đk K Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536 1 1 Ta có AB =(b+a) + 4 16 a b a b a b Do MinAB = a b 2 (ab) 2 7)Bài tốn7: Tìm m để đt d: y=mx+1 cắt (H) y x 1 x 1 điểm 2(hoặc 1) nhánh (H) HD: Pt hđ gđ có nghiệm x1, x2 thỏa x1 logam (a>1, m > 0) ax > m x < logam (0 m có tập nghiệm S=R m Các trƣờng hợp a x m , a x m , a x m giải tƣơng tự *Cùng số : af(x)>ag(x) f(x) > g(x) (a > 1) af(x)>ag(x) f(x) < g(x) (0 < a < 1) *Các PP đặt ẩn phụ, lơgarit hóa, dùng tính đơn điệu tƣơng tự PT, BPT LÔGARIT ●PT LÔGARIT: Cho a *Cơ logaf(x) = m f(x) = am *Đƣa số: logaf(x) = logag(x) f(x) = g(x) *PP đặt ẩn phụ : Biến đổi lôgarit dạng logaf(x) t Nếu đặt t = logaf(x) loga2 f ( x ) = t2 , loga n f ( x ) , n log f ( x ) a = 1/t, *PP dùng tính đơn điệu hs: ♦Nhẩm chứng minh x0 nghiệm pt ♦C/m x > x0 x < x0 khơng nghiệm pt ♦Vậy pt có nghiệm x = x0 ●BPT LÔGARIT : Cho a *Bpt lôgarit : +Với a > : logaf(x) > m f(x) > am f ( x) am +Với < a < : logaf(x) > m f ( x) n = ) = = = (an)m n * m an a m VD: a a *am>an m>n ( a>1) *am>an m 1) g(x) = = = hay =1 = * log10 x log x lg x ; log e x ln x *logab > logac b > c ( a > 1) *logab > logac b < c ( < a < 1) PT, BPT M ●PT MŨ : Cho a, b *Pt mũ : ax = m x = logam (m > 0) Pt ax = m VN m *PP đƣa số : af(x) = ag(x) f(x) = g(x) *PP đặt ẩn phụ : Biến đổi lũy thừa dạng af(x) Nếu đặt t = af(x) a2f(x) = t2 , a f(x) = 1/t, *PP logarit hóa : af(x) = bg(x) logaaf(x) = logabg(x) f(x) = g(x)logab *PP dùng tính đơn điệu hs: ♦Nhẩm chứng minh x0 nghiệm pt ♦C/m x > x0 x < x0 không nghiệm pt ♦Vậy pt có nghiệm x = x0 ●BPT MŨ : Cho a, b Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536 f(x) g(x) logaf(x)> logag(x) (0 < a < 1) f(x) *Các PP đặt ẩn phụ, lơgarit hóa, dùng tính đơn điệu tƣơng tự CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM * f ( x)dx F ( x) C F ( x) f ( x) * x’=1 –> dx x c */ (kx) / = k –> kdx kx c x x * 1 –> x dx x 1 c 1 (ax b) 1 c –> ax b dx a 1 1 */ –> x x x2 c x 14 dx (ax b) –> sin ax bdx a cotax b c 1 c a ax b 1 ln cos x tan x tan x.dx ln cos x C ln sin x cot x cot x.dx ln sin x C ' x x c -> 3 ax bdx ax b c 3a * x dx x * –> x ' dx x c x dx ax b c a ax b –> ln x x k dx ' x2 k ln x x k C k x k ĐỊNH NGHĨA TÍNH PHÂN b f x dx F x F b F a b a a */ ln x –> x xdx ln x c e –> –> ax b e dx a */ a x –> x a bx c x e x dx e x c ax b e c a ln a –> x a dx ax c ln a a bx c dx C b ln a sin ax b dx cosax b c a * sin x cos x –> cos xdx sin x c –> cosax b dx * (tanx)’ = sin ax b c a = + tan2x a udv uv a vdu b b a sin ax b sin ax b dv cosax b dx v cosax b dx e ax b e ax b ax b Dạng P ( x )e dx giải pp đồng thức * Dạng 2: P x ln( ax b)dx * cos x sin x –> sin xdx cos x c –> b sin ax b *Dạng 1: P x cosax b dx e ax b Đặt u = P (x) du P ( x )dx 1 dx ln ax b c –> ax b a */ e x TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN cos xdx tgx c Đặt u = ln(ax+b) dv Px dx a dx ax b v P ( x )dx Dạng 3: x m ln n xdx n ln n1 x dx Đặt u = ln x du x x m 1 m dv=x v m 1 Dạng 4: Truy hồi: e ax b sin( cx d )dx n Hoặc 1 cos ax bdx a tgax b c e ax b cos(cx d )dx TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN b * (cotx)’ = = – (1 + cot2x) sin xdx cot x c Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536 du f u( x ).u ( x )dx a với =u(a), =u(b) f ( u)du TÍCH PHÂN hàm phân thức hữu tỉ * Bậc tử >= bậc mẫu –> chia đa thức 15 1 x a x b b a x a x b 1 1 * 2a x a x a x a * * Với m > n (ax b) n cx d m * * x ax Am A1 A2 cx d (cx d ) (cx d ) m dx n 1 b x m 1 dx 1 x m2 Nhân tử, mẫu cho xn x2 1 x m 1 x 2 x2 1 x2 x2 dx Chia tử,mẫu cho x2 * x 1 TÍCH PHÂN hàm lượng giác sin m n xdx = sin n1 x sin xdx Đặt u =sinn-1x, dv=sinxdx–> dx x cosn xdx u ax b ax b ax b sin x dx, cos2 x dx : dv 12 hay 12 sin x cos x dx Dạng 9: a sin x b sin x.cos x c.cos x Chia tử, mẫu cho cos2x Đặt t = tanx TÍCH PHÂN hàm vơ tỉ Dạng 1: x m n Dạng 2: dx dx ax b ax c ax b ax c cos x m le *Nếu m n lẻ : đổi biến số, đặt t sin x(n le) Dạng 2: f (sin x) cos xdx Đặt t = sinx f (cos x ) sin xdx Đặt t = cosx f (tan x ) cos x dx Đặt t = tanx f (cot x ) sin x dx Đặt t = cotx Dạng 3: sin( ax b) sin( cx d )dx Dạng : dx dx :nhân tử, mẫu cho sinx sin x sin x dx dx cos x cos x :nhân tử, mẫu cho cosx Dạng 5: tanm xdx x dx dx Dạng 6: 2k sin x cos k x k 1 1 cot x , tƣơng tự 2k sin x sin x cos k x Dạng 7: Tính sin n xdx cosn xdx pp truy hồi: Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536 a x dx Đặt x=asint t ; 2 a x dx Đặt x=atant t ; x a dx Đặt x=a/cost t 0; \ n 1 2 2 dx ( x n 1) n x n : ( x n 1) n x n = n1 n = x n1 x n n1 n n x ( n1) = n 1 n n x 1 n –n Đặt t=x +1 MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT n * Dạng 4: tanmx = tanm-2x(tan2x+1)–tanm-2x–> tanx tan2x ax m 1 b n sin( ax b).cos(cx d )dx cos(ax b).cos(cx d )dx Áp dụng CT biến đổi tích thành tổng ax m1 bdx Đặt t = Nhân tử, mẫu cho lƣợng liên hợp dx Dạng 3: Đặt t = x+ x k x k Dạng 4: *Nếu m, n chẵn: hạ bậc sin xdx Dạng 8: xdx Đặt t = Dạng 1: sin sin x sin n x cos n x dx cos n x sin n x cos n x dx a * f ( x )dx f(x) hàm lẻ a a a f ( x )dx 2 f ( x )dx f(x) hàm chẵn a * n x x 1 x e dx * Phối hợp đổi biến phần: VD sin e dx , ln( x sin(ln x)dx ax b x )dx , x tan ax bdx , xdx , BỔ SUNG MỘT SỐ BÀI TỐN TÍCH PHÂN 16 1 x 1 x2 * Đặt t x 2 x 2x 1 x 1 x 4 x 1 x2 x * Đặt t x x 1 x 1 x x u P( x) P( x).Q( x) * Đặt Q( x) Q( x) dv Q( x) dx 1 Vd: x x 2 x 1 x.x u ln(sin x) ln(sin x) * Đặt dx cos x dv cos2 x Đổi biến số đặc biệt: a f ( x)dx Đặt x = t f ( x)dx Đặt x =−t a 2 0 f ( x)dx Đặt x = t f ( x)dx Đặt x = 2 t b f ( x)dx Đặt x= a+b−t a 1 2 Vd: * sin x ln cos x dx 1 sin[( ax b) sin( ax c) sin( ax b).sin( ax c) sin( b c) sin( ax b).sin( ax c) * 1 , ttự sin( ax b) cos(ax c) cos(ax b) cos(ax c) *PP áp dụng đƣợc đvới dạng 1 sin x sin cos x cos sin x cos 1 * (sin x cos x) sin x (1 cot x) sin x sin x sin( x a) * tan x tan( x a) cos x cos(x a) cos x cos(x a) sin x sin( x a) 1 cos x cos(x a) cos a 1 cos x cos(x a) 1 * a sin x b cos x a b sin( x ) * a sin x b cos x A(c sin x d cos x) B(c sin x d cos x) c sin x d cos x c sin x d cos x (dùng đồng thức) 1 * 2 2 cos(x ) a sin x b cos x a b a b a sin x b cos x c * a sin x b cos x c asinx+bcosx+c=A(a’sinx+b’cosx+c’)+B(a’cosx− b’sinx)+C 1 cot2 x * cot x sin x sin x cos x sin x cot x 1 3 tan x cos2 x sin x cos5 x tan x cos6 x u x x * Đặt dx cos x dv cos2 x Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536 1 cos x cos x cos x 1 e x dx 1 e x dx 0 e x dx *xtan2x= x 1 cos 4 1 x x x 1 x2 x2 * x ( x 1)( x x 1) x x sin x cos x sin x cos x * sin x (sin x cos x) * x cos4 x sin xdx Đặt t= −x 2 * sin(sin x ax)dx Đặt t=2 −x Đặt t x a x b ( x a)( x b) * 1 a a sin x sin x sin x dx dx dx Đặt x=−t * x 1 x 1 x 1 1 1 f ( x) f ( x) f ( x) dx x dx x dx Đặt x=−t x a a a a a (f(x) hs chẵn) b b ab f ( x)dx Đặt t=a+b−x * xf ( x)dx a a (f(a+b−x)=f(x)) * b *f(a+b−x)=−f(x) f ( x)dx a Vd: ln(1 tan x)dx ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN *Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y=f(x), y=g(x), x=a, x=b b S f ( x ) g ( x ) dx a 17 Chú ý: 1) Xét phƣơng trình có nghiệm hồnh độ giao điểm đƣờng y=f(x), y=g(x): f(x)=g(x) h(x)=f(x)–g(x)=0 (1) *Nếu phƣơng trình (1) VN (a; b): b S h( x ) dx a b h( x )dx a *Nếu phƣơng trình (1) có nghiệm c (a; b): b S h( x ) dx a c h( x )dx h( x )dx c *Nếu phƣơng trình (1) có 2, 3, nghiệm (a; b): Giải tƣơng tự * Dựa vào đồ thị: f(x)–g(x)>0 x a; b đthị hs y=f(x) “nằm trên” đthị hs y=g(x) (a; b) II)Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đƣờng: y=f(x), y=g(x), x=a, x=b vòng quanh trục Ox b V f ( x ) dx SỐ PHỨC *Định nghĩa: Số phức biểu thức có dạng a + bi với a, b R i2 = -1 a a *Hai số phức nhau: a+bi=a/+b/i b b *Biểu diễn hình học số phức: Mỗi số phức a+bi đƣợc biểu diễn điểm M(a;b) Trục Ox gọi trục thực, Oy trục ảo *Phép cộng, trừ số phức: (a bi) (a bi) (a a) (b b)i *Phép nhân số phức: (a+bi).(a/+b/i) Nhân phân phối, ý i2 = -1 *Số phức liên hợp số phức z = a + bi z = a-bi *Môđun số phức z a bi a b *Một số đẳng thức: (a+bi)2 = a2 + 2abi + (bi)2 = a2 b2 + 2abi (a bi)2 = a2 2abi + (bi)2 = a2 b2 2abi (a + bi)(a bi) = a2 + b2 *Giải pt bậc tập số phức (hệ số thực) ax2 + bx + c = (a 0) =b 4ac b > Pt có nghiệm thực : x1, 2a b = Pt có nghiệm kép: x1 x2 2a bi 2a CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC * Các hệ định nghĩa HSLG: sin a cos a Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536 cos a 1 cot a sin a tan a sin4a+cos4a=1–2sin2acos2a sin 2a sin6a+cos6a=1–3sin2acos2a sin 2a * Các góc có liên quan đặc biệt: a/ Các góc đối nhau: a –a sin(–a) = –sina cos(–a) = cosa tan(–a) = –tana cot(–a) = –cota b/ Các góc bù nhau: a –a sin( –a) = sina cos( –a) = –cosa tan( –a) = –tana cot( –a) = –cota c/ Các góc phụ nhau: a –a a < Pt có nghiệm phức : x1, tana.cota=1 sin a cos a 0 tan a cos a cos a sin a 0 cot a sin a Hệ quả: b a cosa k 2 cos a cota k cot a sina k 2 sin a tana k tan a * Các hệ thức bản: sin2a + cos2a = sin( –a) = cosa cos( –a) = sina tan( –a) = cota cot( –a) = tana 2 d/ Các góc : a +a sin( +a) = –sina cos( +a) = –cosa tan( +a) = tana cot( +a) = cota e/ Các góc : a +a 2 sin( +a) = cosa cos( +a) = –sina tan( +a) = –cota cot( +a) = –tana 2 * Công thức cộng: sin(a b) = sina.cosb cosa.sinb cos(a b) = cosa.cosb cosa.sinb tan a b tan a tan b tan a.tan b * Công thức nhân đôi: sin2a = 2sina.cosa tan 2a tan a tan a cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a–1 = 1–2sin2a * Công thức hạ bậc: cos 2a cos 2a sin a cos2 a 2 cos 2a tan a cos 2a * Cơng thức biến đổi tổng thành tích: ab ab sin a sin b sin cos 2 ab ab sin a sin b cos sin 2 18 ab ab cos 2 ab ab cos a cos b 2 sin sin 2 sin(a b) tan a tan b cos a cos b ( )⇔ * Cơng thức biến đổi tích thành tổng: sin a sin b cosa b cosa b sin a cos b sina b sina b cos a cos b cosa b cosa b * Công thức nhân ba: sin3a=3sina−4sin3a cos3a=4cos3a−3cosa 3tan a tan a t an3a 3tan a * Công thức hạ bậc ba: 3sin a sin 3a 3cos a cos3a sin 3a cos3 a 4 PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN u v k 2 sin u sin v u v k 2 cos u cos v u v k 2 tan u tan v u v k (cosu hay cosv ) cot u cot v u v k (sinu hay sinv ) (Nếu v số khơng cần đk) * Các trƣờng hợp đặc biệt: sin u u k 2 sin u 1 u k 2 cos u u k 2 cos u 1 u k 2 cos u u k sin u cos u 1 cos u sin u 1 *Gộp nghiệm: k 2 x m n k 2 x m n k x m x √ √ √ ⇔ sin a cos a sin a cos a 4 4 sin a cos a sin a cos a 4 sin u u k a b2 Chia vế cho cos a cos b cos k 2 có m điểm biểu diễn cách Đtrịn m lƣợng giác với m điểm VD: x k có điểm bdiễn đối xứng qua gốc O với điểm ⇔ ( ) (Gọi √ √ √ ) PT ĐẲNG CẤP BẬC ĐV SINU, COSU Dạng: asin2u+bsinucosu+ccos2u=d (1) Cách giải: Nếu cosu=0(sinu=±1) thỏa pt (1) nghiệm pt Xét cosu≠0 Chia vế cho cos2u ( ) ⇔atan2u + btanu + c =d(1+tan2u) * Pt đẳng cấp bậc 3, sinx, cosx giải t/tự PT ĐỐI XỨNG(PHẢN XỨNG) Đ/V SINX, COSX A(sinx cosx) + Bsinxcosx + C = Đặt t sin x cos x sin x 4 t 1 ĐK: t sin x cos x 2 Chú ý: tan x cot x tan x cot x 2cot x sin x tan x cos x tan x sin x PT GIẢI BẰNG PP KHƠNG MẪU MỰC *PP dùng tính đơn điệu hàm số Vd: Giải pt : 2sinx – 2cosx = cosx sinx * PP tổng bình phƣơng f ( x) g ( x) f2(x) + g2(x) = * PP Pitago: Cho f ( x) M , g(x) N f ( x) M + f(x)+g(x)=M+N g ( x) N f ( x) M + f(x).g(x)=M.N g ( x) N * PP đối lập : Cho f ( x) M g ( x) f ( x) M g ( x) M f(x) = g(x) sin u sin u 1 hay sin v sin v 1 sinu.sinv = -1, sinu.cosv = giải t/tự * sinu.sinv = PT BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINU, COSU Dạng: asinu+bcosu=c (1) (a2+b2≠0) Cách giải: ĐK a2+b2 ≥c2 Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536 19 MỤC LỤC 1).CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC 1).CÁC TÍNH CHẤT CỦA BĐT 1) BĐT CÔ-SI (CAUCHY) 1).CÁC BĐT ĐẶC BIỆT 1) PT, BPT CHỨA CĂN BẬC HAI 1) PT, BPT CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1) ĐỊNH LÝ VIÉT 1) DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 2) ĐK VỀ SỐ NGHIỆM CỦA PT BẬC HAI 2) DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PT BẬC HAI 2) SO SÁNH CÁC NG CỦA PT BẬC HAI VỚI SỐ 2) TÍNH CHẴN LẺ CỦA HS 2) HỆ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 3).ĐƢỜNG THẲNG TRONG MP Oxy 4) ĐƢỜNG TRÕN, ELIP TRONG MP Oxy 4).DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH 5).HÌNH HỌC KHƠNG GIAN KHƠNG CĨ TỌA ĐỘ 6).HỆ TỌA ĐỘ Oxyz 9) HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP, NHỊ THỨC NIUTƠN 10).QUY TẮC ĐẾM-XÁC SUẤT 10).ĐẠO HÀM 10).HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN 11).CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 11).TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HS 11).PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 12).BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM ĐƢỜNG 13).CÔNG THỨC LŨY THỪA 13).CÔNG THỨC LOGARIT 13).PT, BPT MŨ 14).PT, BPT LÔGARIT 14).CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM 15).TÍCH PHÂN 17).ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 17).SỐ PHỨC 18).CƠNG THỨC LƢỢNG GIÁC 18).PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536 20