Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài: Môn Toán trường phổ thông giữ vị trí, vai trò quan trọng Là môn học bản, môn học công cụ Nếu học tốt môn toán tri thức với phương pháp làm việc toán trở thành công cụ để học tốt môn học khác Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ toán học cần thiết; môn toán rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo bồi dưỡng óc thẩm mĩ Trong chương trình toán học bậc trung học phổ thông, toán tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm toán quan trọng thường gặp kì thi tuyển sinh vào Đại học,Cao đẳng Đây toán mà học sinh thường gặp nhiều khó khăn làm, từ thay đổi sách giáo khoa, tinh giảm chương trình dạng toán phải sử dụng định lí đảo tam thức bậc hai vận dụng định lí bỏ, học sinh đọc sách tham khảo xuất trước có nhiều toán sử dụng định lý nên học sinh đọc sách hoang mang phải giải Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư môn toán tập trung khai thác toán tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương trình , hệ phương trình có nghiệm phương pháp đạo hàm.Với việc sử dụng phương pháp này, toán tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm giải cách tự GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số nhiên, túy, ngắn gọn đơn giản.Đó lí để chọn đề tài: “Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số” II Mục đích sáng kiến kinh nghiệm: Xuất phát từ mối liên hệ số nghiệm phương trình ẩn với số giao điểm hai đồ thị hai hàm số hai vế phương trình để giải toán tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình có nghiệm Trong giải toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mà phải thực việc đặt ẩn phụ việc tìm điều kiện ẩn phụ cần thiết, việc tìm điều kiện ẩn phụ thực tìm tập giá trị ẩn phụ tập xác định toán cho hàm số Sau tìm điều kiện ẩn phụ yêu cầu đề toán theo ẩn phải quy yêu cầu tương ứng cho toán theo ẩn phụ điều kiện Đó điều quan trọng để chọn đặt hàm số tương ứng tập giá trị ẩn phụ Các vấn đề trình bày viết hỗ trợ cho em học sinh lớp 12 có cách nhìn toàn diện cách tiếp cận hàm số để giải toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có chứa tham số III Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành viết với đề tài nói phải nghiên cứu dạng toán phương trình, bất phương trình , hệ phương trình có chứa tham số - Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu đề tài toàn chương trình đại số giải tích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt phương trình, bất phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình mũ logarit, hệ phương trình IV.Phạm vi áp dụng: Áp dụng cho tất học sinh bậc THPT toàn tỉnh GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I.Cơ sở lý luận vấn đề: Để sử dụng phương pháp đạo hàm giải toán tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm Ta cần nắm vững mệnh đề sau: Cho hàm số y = f ( x) liên tục tập D * Phương trình f(x) = m có nghiệm x ∈ D ⇔ f ( x) ≤ m ≤ max f ( x) x∈D x∈D * Bất phương trình f ( x) ≤ m có nghiệm x ∈ D ⇔ f ( x) ≤ m x∈D * Bất phương trình f ( x) ≥ m có nghiệm x ∈ D ⇔ m ≤ max f ( x) x∈D * Bất phương trình f ( x) ≤ m , nghiệm với x ∈ D ⇔ m ≥ max f ( x) x∈D * Bất phương trình f ( x) ≥ m , nghiệm với x ∈ D ⇔ m ≤ f ( x) x∈D * Cho hàm số y = f ( x) đơn điệu D Khi đó: f (u ) = f (v) ⇔ u = v (∀u, v ∈ D) * Cho hai hàm số y = f ( x), y = g ( x) có đồ thị ( C1 ) , ( C2 ) Phương trình hoành độ giao điểm ( C1 ) ( C2 ) : f ( x) = g ( x) (1) Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm ( C1 ) ( C2 ) II.Thực trạng vấn đề: a.Thuận lợi: Đưa toán tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm vềdạng f ( x) = g (m) f ( x) ≤ g (m) sau ta sử dụng mệnh đề để giải toán đơn giản b.Khó khăn: Không phải toán đưa dạng f ( x) = g (m) f ( x) ≤ g (m); f ( x) ≥ g (m) , g(m) đa thức theo m mà bậc m không bậc III.Các phương pháp tiến hành để giải vấn đề: Phương pháp chung: Để giải toán tìm giá trị tham số m để phương trình (PT), bất phương trình (BPT), hệ phương trình (HPT) ta thực thứ tự sau: * Biến đổi phương trình, bất phương trình, hệ phương trình dạng f ( x) = g (m) f ( x) ≤ g (m); f ( x) ≥ g (m) * Tìm tập xác định D hàm số f(x) * Tính f ' ( x) * Lập bảng biến thiên hàm số f(x) * Xác định max f ( x); f ( x) x∈D x∈D * Vận dụng mệnh đề trên, để đưa kết luận cho toán Chú ý: Trường hợp phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình chứa biểu thức phức tạp ta làm sau: * Đặt ẩn số phụ t = ϕ ( x) * Từ điều kiện ràng buộc ẩn x, ta tìm điều kiện cho ẩn t GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số * Đưa phương trình, bất phương trình ẩn x phương trình, bất phương trình ẩn t.Ta h(t ) = g (m) h(t ) ≤ g (m); h(t ) ≥ g (m) * Lập bảng biến thiên hàm số f(t) * Từ bảng biến thiên rút kết luận toán 2.Các toán minh họa: 2.1*Dạng 1: Phương trình Bài toán 1: Tìm giá trị tham số m để phương trình x + mx + = x + có hai nghiệm phân biệt Lời giải: ⎧ x≥− ⎪ x + mx + = x + ⇔ ⎨ ⎪⎩mx = x + x − (1) Ta có: Nếu x = phương trình (1) vô nghiệm Nếu x ∈ ⎡⎢ − ; +∞ ⎞⎟ \ {0} (1) ⇔ m = 3x + − (2) x ⎣ ⎠ Phương trình (2) phương trình hoành độ giao điểm d : y = m đồ thị 1 (C ) : f ( x) = 3x + − x Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x ∈ ⎢⎡ − ; +∞ ⎞⎟ \ {0} ⇔ d : y = m cắt ⎣ ⎠ (C ) : f ( x) = 3x + − 1 1 ⎡⎢ − ; +∞ ⎞⎟ \ {0} Ta có: f ' ( x) = + > 0, ∀x ∈ ⎡⎢ − ; +∞ ⎞⎟ \ {0} x x ⎣ ⎠ ⎣ ⎠ Bảng biến thiên: x − f’(x) +∞ + + +∞ +∞ f(x) -∞ Từ bảng biến thiên ta có: m ≥ * Nhận xét : Đưa toán tìm số giao điểm đường thẳng đồ thị.Nếu giải theo cách đưa phương trình bậc hai tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt thỏa điều kiện x ∈ ⎢⎡ − ; +∞ ⎞⎟ Khi dẫn đến so sánh hai nghiệm ⎣ ⎠ 1 phương trình bậc hai với − , toán trở nên phức tạp Bài toán 2: Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm x + − x = − x + x + m (1) GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số Lời giải: Điều kiện: ≤ x ≤ PT (1) ⇔ x + − x + x(9 − x) = − x + x + m (2) ⇔ + − x2 + x = − x2 + x + m Đặt t = − x + x −2 x + Ta có: t ' = −x + 9x ; t' = ⇔ x = x t' + t 9 − Do : ≤ t ≤ 9 Phương trình (2) trở thành + 2t = t + m ⇔ −t + 2t + = m (3) Xét hàm số f (t ) = −t + 2t + , ≤ t ≤ Ta có : f ' (t ) = −2t + ; f ' (t ) = ⇔ t = Bảng biến thiên : t + − 10 f ' (t ) f (t ) − Phương trình (1) có nghiệm x ∈ [ 0;9] ⇔ phương trình (3) có nghiệm t ∈ ⎡⎢0; ⎤⎥ ⎣ 2⎦ ⇔− ≤ m ≤ 10 * Nhận xét : Nếu không đặt ẩn phụ ta pt : + − x + x + x − x = m Khi xét hàm số f ( x) = + − x + x + x − x việc tính đạo hàm xét dấu đạo hàm để lập bảng biến thiên tương đối khó khăn Tuy nhiên đặt ẩn phụ phải tìm điều kiện t Khi đưa phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng song song với trục Ox đồ thị (C ) Bài toán 3: Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm x − + m x + = x − (1) Lời giải : Điều kiện : x ≥ GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số -2 ⎛ x −1 ⎞ x −1 PT (1) ⇔ ⎜⎜ (2) ⎟⎟ + m = x +1 ⎝ x +1 ⎠ x −1 x −1 , Do ≤ Đặt t = = 1− , ∀t ∈ [ 0;1] x t + ' t Do : ≤ t ≤ PT (2) trở thành : 2(t + 2) = 2(m + 1)t + m ⇔ 2t − 2t + = m (3) 2t + 2t − 2t + ⎡ 3⎤ , t ∈ ⎢0; ⎥ 2t + ⎣ 2⎦ ⎡ −1 + 11 ⎢t = 4t + 4t − 10 ' ⎢ Ta có : f ' (t ) = ; f ( t ) = ⇔ ⎢ −1 − 11 ( 2t + 1) ⎢t = ⎣ Xét hàm số f (t ) = Bảng biến thiên : GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số -3 t − f ' (t ) f (t ) 11 Phương trình (1) có nghiệm x ∈ [0;1] ⇔ phương trình (3) có nghiệm t ∈ ⎡⎢0; ⎤⎥ ⎣ 2⎦ ⇔ 11 ≤m≤4 * Nhận xét : Nếu ta đưa phương trình bậc hai theo t phương trình (3) có nghiệm t phải kiểm tra nghiệm thỏa t ∈ [ 0;1] Trong ta giải theo cách đưa dùng bảng biến thiên đơn giản Đó ưu điểm cách giải Bài toán :Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực 91+ 1− x − ( m + 3) 31+ 1− x + 2m + = Lời giải: Điều kiện: ≤ x ≤ Đặt t = 31+ 1− x Ta có: ≤ − x ≤ ⇒ ≤ − x + ≤ 2 Nên ≤ 1− x +1 ≤ 32 ⇔ ≤ t ≤ Khi đó, phương trình cho trở thành t − 3t + t − ( m + 3) t + 2m + = ⇔ =m t −2 t − 3t + Xét hàm số f ( t ) = [3;9] t−2 t − 4t + ' > 0, ∀t ∈ [3;9] Ta có f (t ) = (t − 2) Suy ra: f (t ) hàm số đồng biến [3;9] Do phương trình có nghiệm 55 Bài toán : Cho phương trình tan x + ( sin x + cos x ) = m ( sin x + 3cos x ) (1) f ( t ) ≤ m ≤ max f ( t ) ⇔ f ( 3) ≤ m ≤ f ( ) ⇔ ≤ m ≤ [3;9] [3;9] π Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x ∈ ⎛⎜ 0; ⎞⎟ ⎝ 2⎠ Lời giải : π Xét x ∈ ⎛⎜ 0; ⎞⎟ , sin x > 0, cos x > 0, tan x > ,sin x + 3cos x > ⎝ 2⎠ GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số -sin x + cos x =m sin x + 3cos x tan x + ⇔ tan x + = m (2) tan x + Đặt t = tan x , t > t+2 PT (2) trở thành + t = m , t >0 t +3 t+2 Xét hàm số f (t ) = + t ,t>0 t +3 t+2 t +1 Ta có : f ' (t ) = +3 > ,t > 2 t +1 t + ( t + 3) PT (1) ⇔ tan x + Bảng biến thiên t +∞ + ' f (t ) f (t ) +∞ π Ứng t > thỏa mãn PT (3), ta nghiệm x ∈ ⎛⎜ 0; ⎞⎟ PT (1) ⎝ 2⎠ π Do PT (1) có nghiệm thỏa x ∈ ⎛⎜ 0; ⎞⎟ PT (3) có ⎝ 2⎠ nghiệm t > Từ bảng biến thiên ta có : m > * Nhận xét : Đây toán tương đối khó, sau đặt ẩn phụ ta phương trình chứa phức tạp.Cách giải đưa dùng bảng biến thiên đơn giản Đó ưu điểm cách giải Bài toán : Cho phương trình − x + x + = mx (1) Tìm m để phương trình có nghiệm Lời giải : Điều kiện : −3 ≤ x ≤ Vì x = nghiệm phương trình nên (1) tương đương với 6− x 3+ x + =m x x 6− x 3+ x , x ∈ [ −3; 6] Xét hàm số f ( x) = + x x x − 12 x+6 Ta có : f ' ( x) = − 2x − x 2x x + Với x ∈ [ −3; 6] ⇒ x − 12 < 0, x + > nên f ' ( x) < , ∀x ∈ ( −3;6 ) Bảng biến thiên : GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số x −3 f’(x) − -1 f(x) − +∞ -∞ ⎡ m ≤ −1 Từ bảng biến thiên ta có : Phương trình (1) có nghiệm ⇔ ⎢ ⎢m≥ ⎣ * Nhận xét : Đây toán mà ta không đặt ẩn phụ, dùng phép biến đổi dẫn đến phương trình phức tạp Cách giải đưa dùng bảng biến thiên đơn giản Đó ưu điểm cách giải Bài toán 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm −1 − x − x3 + x + = m (1) ⎡⎢ ;1⎤⎥ ⎣2 ⎦ Lời giải: −1 Xét hàm số f ( x ) = − x − x3 + x + ⎡⎢ ;1⎤⎥ ⎣2 ⎦ ⎛ −3 x 3x + x − = −x⎜ + Ta có f ' ( x) = − x3 + x + x − x2 ⎝ −1 ⎡⎢ ;1⎤⎥ g ( x ) = x3 + x + Xét hàm số ⎞ ⎟ x3 + x + ⎠ 3x + ⎣2 Ta có g ′ ( x ) = 3x + x = ⇔ x = ⎦ Ta có bảng biến thiên x − g ' ( x) g ( x) + − Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g ( x) ≥ 1, ∀x ∈ ⎡⎢ − ;1⎤⎥ ⎣ ⎦ ∀x ∈ ⎡⎢ − ;1⎤⎥ ta có 3(− ) + ≤ x + ≤ 3.1 + ⇔ ≤ x + ≤ ⎣ ⎦ 2 3x + ⎡ ⎤ + > 0, ∀x ∈ ⎢ − ;1⎥ Suy ⎣ ⎦ − x2 x3 + x + Do f ′ ( x ) = ⇔ x = GV: Trần Dũng 10 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh