[r]
(1)BÀI TẬP : GIẢI PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH( SỬ DỤNG ĐẠO HÀM) Bài 1: Giải phương trình
1
2
22x + 2x = x + x+1+x+ Giải:
Ta có f(x)=2x+3x+x tăng R, nên phương trình tương đương )
1 ( )
( = f x+
f x ⇔2x =x+1 Hàm số g(x)=2x −(x+1)xác định R
( e)
x x
g x
g x 2
/
/( )=2 ln2−1⇒ ( )≥0⇔ ≥log log
Vậy phương trình có nhiều nghiệm (−∞ ; log2(log2e)) v (log2(log2e) ; +∞)
Thử trực tiếp tìm hai nghiệm x=0 ; x=1 Bài 2: Giải phương trình
1
1
2
log5⎜⎛⎝ − − + + − − ⎠⎞⎟= x−2 x−1+ x+3−4 x−1−1− x
x x
x Giải :
Điều kiện x≥1.Đặt t= x−2 x−1+ x+3−4 x−1−1≥0(chứng minh) phương trình tương đương log5( +1)=5 −1
t t
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
⎩ ⎨ ⎧
= + = ⇔ −
= −
+ = ⇔
⎩ ⎨ ⎧
+ =
+ = ⇔
t y
t t
y y t
y t
y t
t y
t 5 1
(*)
5
1
1
1
0 = ⇔t
1
2 − + + − − − =
−
⇔ x x x x
5 2≤ ≤
⇔ x
Bài 3: Giải phương trình
3 2 4 24 4
2
1 − + −
= x x x
x Giải :
0 12
4
4 − − + − =
⇔ x x x x
Xét hàm số = −4 3−2 +12 −2⇒ / =4 3−12 −4 +12 x x x y x
x x x y
Lập bảng biến thiên, suy hàm số có trục đối xứng x =1 Do đặt x=X +1, ta có phương trình
⎢ ⎢ ⎣ ⎡
+ ± =
− ± = ⇔ = + −
11
11
5
x x X
X
Bài 4: Giải phương trình
( x) x
x)2 4cos 3.4cos cos
1
( + + =
Giải :
Đặt cosx=y −1≤ y≤1
( y) y
y)2 3.4
( + + =
⇔
Đặt
(2 )
4 ln ) (
2 )
( / 2 −
+ = ⇒
− − + =
y y y
y
y f y
(2)( )2 /( ) 0 16.ln4.4y 2 4y
y
f = ⇔ = +
Đây phương trình bậc hai theo 4y, nên có khơng q nghiệm Vậy theo định lý Roolle phương trình f(y)=0 có khơng q nghiệm
Ta có ,
2 ,
0 = =
= y y
y nghiệm phương trình f(y)=0 Suy phương trình có nghiệm π π π π 2π
3 ,
2 ,
2 x k x k
k
x= = + =± +
Bài 5: Giải phương trình
1
2
log
2
2
2008 + + = − −
+
x x x
x x Giải :
2 2008
2008
2
4 2
2
2
2
1
+ = + + ⇔ =
+ +
+
+ + +
x x
x x
x x
x x x
hàm số x x x
f( )= 2008 tăng R Giải phương trình 6−3 −1=0⇔ 3−3 −1 ≥0
u u u x
x phương trình có nghiệm (0,2)
Đặt
2
cos
2 < <π
= t t
u
2 cos =
⇒ t
Suy phương trình có nghiệm
9 cos
2 π
± = x Bài 6: Giải phương trình
x x
x x
cos sin
2 sin
5
cos ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Giải :
Cosx = sinx = không nghiệm Xét
π
k x≠
x x
x x
cos sin
2
5 sin cos
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇔
Xét hàm số 1,
5 )
( < ≠
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛
= t t
t t f
t
Hàm số f(t)nghịch biến Suy x= x⇔ x=π +kπ
4 cos
sin
Bài 7: Giải phương trình
3 2
5 log
) (
2
2 = +
+ + + +
+ x
x x x x
Giải :
Đk 2x+3>0
[( 2) 1] 2 log 2
log )
( 2
2
2+ + + + = + + +
+
⇔ x x x x
(3)Phương trình có nghiệm x=−1 Bài 8: Giải phương trình
x x
x
x 1975 2007 2007
1975
cos sin
1 cos
sin − = −
Giải :
x x
x
x 2007 1975 2007
1975
cos cos
sin
sin − = −
1 cos ;
sinx = x = không nghiệm phương trình
Đặt hàm số ( )= 1975 − 20071 ∈(−1;0)∪(0;1) t
t t t f
Ta có /()=1975 1974 +20072008 >0 t
t t
f nên hàm số tăng khoảng )
( : ) ;
( f t
t∈ − nhận giá trị dương )
( : ) ;
( f t
t∈ nhận giá trị âm
Nên f x = f x ⇔ x= x⇔ x=π +kπ
4 cos
sin ) (cos )
(sin
Bài 9: Giải phương trình
x x
x x x
x 4
2 .cos 2 2sin .sin3 cos 2 cos
2 cos sin
sin ⎟= + −
⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝
⎛π π
Giải :
( x x) x x
x
x 2 4
2 .cos 2 2cos cos 2 cos 2 cos
2 cos cos
cos ⎟= − + −
⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛
⇔ π π
⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛ + −
= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛ + −
⇔ x x x x 2x cos2 x
2 cos cos
2 cos
cos cos cos 2
cos π π
Xét hàm số
2 cos )
( ⎟ ≤ ≤
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + −
=t t t t
t
f π f(t) giảm
3 cos
2 cos ) (cos )
2
(cos2 2 kπ
x x x
x f
x
f = ⇔ = ⇔ =
Bài 10: Giải phương trình
[ 34 376 3log ( 34 376)] 35
) 376 34
(
2
2
3
93 34
2
= +
− + +
+ − +
−
+ −
x x
x x
x x
x x Giải :
Đặt = −34 +376 ( ≥87) t x
x t
) 256 256 ( log 256 2 35 ) ( log
2
2 256 283
2
3 t t
t
t
t = =
⇔
Hàm số ( ) log (2 3)
2
t t
t
f = t t đồng biến [1; +∞) ; 30 256
376 34
256⇔ − + = ⇔ = =
=
⇔t x x x x
Bài 11: Giải phương trình
) cos cos ( log cos 2
1
4
sin
− −
+ =
+ ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛
x x
x
x
(4)Đặt 1)
1 (
cos < ≤
= x y
y
) ( log
1
2
1+ = + −
⇔ −
y y
y
Đặt t =log2(3y−1)⇔2t =3y−1 (t≤1)
Ta có hệ y t
y t
y y t
t y
+ = + ⇔ ⎩
⎨ ⎧
− =
− + =
2
1
1
2
Xét hàm số g(u)=2u +u, hàm số đồng biến R
1 ) (
2 = − ⇔ = − + =
⇔ t t f t t t
Xét hàm số f(t)=2t −3t+1, sử dụng định lý Roll cm phương trình có khơng q nghiệm Phương trình có nghiệm t=1 t=3(L), suy phương trình có nghiệm x=kπ
Bài 12: Giải phương trình
1 8 12.4 .7
343
64x− x− = + x x−
Giải :
Đặt =2; =−4x ; =2.7x−1
c b
a
0
3
3 + + − =
⇔a b c abc 0
2
) ( ) ( ) ( ) (
2
2
= + + ⇔ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎣
⎡ − + − + −
+ +
⇔ a b c a b b c c a a b c
0
2− + =
⇔ x x−
Xét hàm số ln7
7 ln ) (
)
( x x / x x
x f x
f = − + − ⇒ =− +
Phương trình /( )=0 x
f có nghiệm nên theo định lí Lagrange phương trình f(x)=0 khơng có q nghiệm phân biệt
Phương trình có nghiệm x=1 ; x=2 Bài 13: Giải phương trình
) ( log ) 2 (
log
3 2
3
2 + x − x− = + x − x−
Giải :
Điều kiện x<−1v 3<x
) ( log ) 2 (
log
3
3
8 − − = − −
⇔ + x x + x x
Đặt a=7+4 t =x2 −2x−3 t
t a
a ( 1) log log 1 + =
⇔ +
Đặt y=logat
1 1
1 ⎟⎠ =
⎞ ⎜ ⎝ ⎛
+ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛
+ ⇔
y y
a a
a
1 =
⇔ y nghiệm Phương trình có nghiệm x=1± 11+4
(5)( )
( )
( )
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
+ =
+ =
+ =
4 log
log
4 log
log
4 log
log
3
3
3
x z
z y
y x
Giải :
Hệ phương trình khơng đổi qua phép hốn vị vịng quanh⇒ x= y=z Từ ta có log5 x=log3( x+4), đặt t=log5 x
1
5 =
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⇔
t t
Phương trình có ngiệm t =2 hàm số
5 )
( ⎟ =
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =
t t
t
f nghịch biến
Hệ phương trình có nghiệm x= y=z=25 Bài 15: Giải hệ phương trình
( )
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
= − + −
+
− − = −
−
0
2
2
2
2 2
2
x y
x x y x
xy y
x x
Giải :
Từ phương trình (2) ( 2) 1 22 x
x y
xy
x + = ⇔ = − ⇔
(1) 22 2
2 2
2
2
2
2
x x x
x x x
x x
− =
−
⇔ +
− +
−
xét hàm số
2 ln ) (
2 )
( = t + ⇒ / = t + > t
f t t
f
2
2
2 2
1
x x x
x = − −
⇔
Hệ phương trình có nghiệm
4 ,
2 =−
= y
x
Bài 16: Giải hệ phương trình
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
+ + + =
+
+ +
+ =
−
1 ) (
log ) ( log
1
2
2 2
y x y
x
y x ey x
Giải :
Đk x+2y+6>0 x+y+2>0
(1) ⇔ln( +1)+ +1=ln( +1)+ +1 y y
x x
Hàm số f(t)=lnt+t t>1 đồng biến (0 ; +∞) y
x y
x + = + ⇔ =± ⇔ 2
(6).Nếu x= y
(2)⇔3log3(x+2)=2log2(x+1)=6u ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇔ = + = + ⇔ 9 3
2 u u
u u
x x
Hàm số
u u u g ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 9 )
( nghịch biến R, suy u=1 nghiệm Hệ phương trình có nghiệm
4 ,
2 =−
= y
x x=7 ; y=7 Bài 17: Giải hệ phương trình
( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = + + − = − + + + ) ( 2 2 y x x y y x y x
Giải :
Đk x ; y≥0
( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + + + = + ⇔ + + + + 3 2 ) ( y x y x y x y x
Hàm số f(x)=2x2+1+3 x đồng biến [0;∞)
⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ⇔ = + = ⇔ = + = ⇔ 5 4 ) ( ) ( ) ( ) ( y x y x y x f y x f y f x f
Bài 18: Giải hệ phương trình
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − = − − = − − = ) cos cos ( log cos ) cos cos ( log cos ) cos cos ( log cos 2 z y z y x y x z x
Giải :
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + = + + = + + = ⇔ 2 2 2 2 Z Y Y X X Z Z Y X
Hàm số (2 4)
1 )
( = + +
t t
f t đồng biến ⎜ ⎥⎦⎤ ⎝ ⎛ ;1
2
(2 4)
8
1 + +
= = =
⇔ X Y Z X X
Giải đồ thị ⎢
⎣ ⎡ = = = = = = ⇔ ) ( l Z Y X Z Y X
(7)Bài 19: Giải hệ phương trình
⎩ ⎨ ⎧
+ =
+
+ =
+
2 ) (cos log ) sin ( log
2 ) (sin log ) cos ( log
3
3
x y
y x
Giải :
Đk cosx ; siny≥0
) (sin log ) sin ( log ) (cos log ) cos (
log2 + x + 3 x = 2 + y = 3 y
⇒
Hàm số f(t)=log2(1+3t)+log3t ln
2 ln ) (
3 )
(
/ + >
+ = ⇒
t t
t
f đồng biến ∀t >0 x
y cos sin = ⇒
Thay vào phương trình (1) ⇒log2(1+3cosx)=log3(cosx)+2
Lập BBT hàm số g(v)=log2(1+3v)−log3v với v=cosx∈(0,1] phương trình có nghiệm
1 cos ,
cosx= x=
Bài 20: Giải hệ phương trình
3
2
28
2 18
x y y x y xy y
⎧ − =
⎪ ⎨
+ + =
⎪⎩ Giải:
Hệ tương đương
( 3)
2
28 (1)
0
( ) 18 (2)
y x y
x y y x y
⎧ − =
⎪ ⇒ > >
⎨
+ =
⎪⎩ (2) x 84 y
y
⇒ = − , thay vào (1) được:
3
3
3
28
y y y
y
⎡⎛ ⎞ ⎤
⎢⎜⎜ − ⎟⎟ − ⎥=
⎢⎝ ⎠ ⎥
⎣ ⎦
(3)
Đặt t= y>0, (3) trở thành: ( )
3
4 3
2 28 3 84 28 0
t t t t t t
t
⎡⎛ ⎞ ⎤
⎢⎜⎜ − ⎟⎟ − ⎥= ⇔ − − + =
⎢⎝ ⎠ ⎥
⎣ ⎦
Xét hàm ( ) (3 84 3)3 28
f t = −t −t + tta có:
( )
8
'( ) 9 28 0,
f t = t + t −t + > ∀ >t
Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến khoảng (0;+∞) phương trình f(t) = có nghiệm Khoảng (0;+∞) nghiệm nghiệm Từđó suy hệ phương trình đă cho có nghiệm (x0, y0) nghiệm nghiệm hệ
Nếu chọn x = 2y từ (1) ta có: 4 2 2 2
y = ⇔ =y ⇒ =x Rỏ ràng cặp số(2 2; 2) thỏa (2)
Vậy hệ có nghiệm (2 2; 2)
Bài 21: Tìm số nghiệm nằm khoảng (0;2π) phương trình
5 )
sin 10 sin
12 sin
8
(
cos 2
+ = +
− x x e
x e x
(8)0
1 t
g' g
1-3
+ _
-5 f
u
0
6 t
f' + _
0
Đặt =sin2 = 0≤ ≤1 t y
x t
2 )
10 12
8
(
) (
2 − + = +
⇔ −
e t x t x t e t
Xét hàm số ( ) 2(1 )(8 12 10) t t t e x
f = −t − +
[(24 24 10) 2(8 12 10)] ()
)
( 2(1 ) 2(1 )
/
t g e t
t t t
t e
x
f = −t − + − − + =− −t
⇒
Với ( )=8 −24 +22 −5⇒ /( )=2(12 −24 +11) t t t
g t
t t t g
Lập bảng biến thiên, suy phương trình g(t)=0 có nghiệm
6
, < < − =u u t
Lập bảng biến thiên hàm số f(t), suy phương trình f(t)=0 có nghiệm u
v v
t= ,0< <