Đang tải... (xem toàn văn)
Sử dụng định nghĩa tích của một vectơ với một số và các quy tắc về phép toán vectơ để dựng vectơ chứa tích một vectơ với một số, kết hợp với các định lí pitago và hệ thức lượng trong t[r]
(1)§3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa: Tích vectơ a với số thực k vectơ, kí hiệu
ka, hướng với hướng với a k 0, ngược hướng với a
k có độ dài k a Quy ước: 0a k0 2 Tính chất :
k m a ka ma k a b ka kb
k
k ma km a ka
a
a a a a
i) ( ) ii) ( )
0 iii) ( ) ( ) iv)
0 v) , ( 1)
3 Điều kiện để hai vectơ phương
• b phương a(a 0) có số k thỏa b ka • Điều kiện cần đủ để A B C, , thẳng hàng có số k cho
AB kAC
4 Phân tích vectơ theo hai vectơ khơng phương
Cho a không phương b Với vectơ x biểu diễn
x ma nb với m n, số thực B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG 1: Dựng tính độ dài vectơ chứa tích vectơ với số
1 Phương pháp giải
Sử dụng định nghĩa tích vectơ với số quy tắc phép toán vectơ để dựngvectơ chứa tích vectơ với số, kết hợp với định lí pitago hệ thức lượng tam giác vng để tính độ dài chúng
2 Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cạnh a điểm M trung điểm BC Dựng vectơ sau tính độ dài chúng
a)
2CB+MA b)
1 BA− BC c)
2AB+ AC c)
2, 4MA− MB
(2)a) Do
2CB=CM suy theo quy tắc ba điểm ta có
1
2CB+MA=CM +MA=CA Vậy
2CB+MA =CA=a b) Vì
2BC=BM nên theo quy tắc trừ ta có
2
BA− BC=BA−BM =MA Theo định lí Pitago ta có
2
2 2
2
a a
MA= AB −BM = a − =
Vậy
2
a BA− BC =MA=
c) Gọi N trung điểm AB, Q điểm đối xứng A qua C P đỉnh hình bình hành AQPN
Khi ta có ,
2AB=AN AC=AQ suy theo quy tắc hình bình hành ta có
2AB+ AC=AN+AQ= AP Gọi L hình chiếu A lên QN
Vì MN/ /ACANL=MNB=CAB=600 Xét tam giác vng ANL ta có
0
sin sin sin 60
2
AL a a
ANL AL AN ANL
AN
= = = =
0
cos cos cos 60
2
NL a a
ANL NL AN ANL
AN
= = = =
Ta lại có
4 a a AQ=PNPL=PN+NL=AQ+NL= a+ = Áp dụng định lí Pitago tam giác ALP ta có
2 2
2 2 81 21 21
16 16
a a a a
AP = AL +PL = + = AP=
(3)Vậy 21
2
a AB+ AC =AP=
d) Gọi K điểm nằm đoạn AM cho
MK = MA, H thuộc tia MB cho MH =2, 5MB
Khi , 2,
4MA=MK MB=MH Do 2,
4MA− MB=MK−MH =HK Ta có 3 3
4
a a
MK = AM = = , 2, 2, 5 a a MH = MB= = Áp dụng định lí Pitago cho tam tam giác vng KMH ta có
2
2 25 27 127
16 64
a a a
KH = MH +MK = + =
Vậy 2,5 127
4
a
MA− MB =KH =
Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD cạnh a
a) Chứng minh u 4MA 3MB MC 2MD khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M
b) Tính độ dài vectơ u
Lời giải (Hình 1.15)
a) Gọi O tâm hình vng Theo quy tắc ba điểm ta có
u MO OA MO OB MO OC MO OD
OA OB OC OD
4
4
Mà OD OB OC, OA nên u 3OA OB Suy u khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M
b) Lấy điểm A' tia OAsao cho OA'=3OA '
OA 3OA u OA' OB BA' Mặt khác
' '
BA OB2 OA2 OB2 9OA2 a 5
Suy u a 3 Bài tập luyện tập
O A
D C
B A'
(4)Bài 1.26. Cho tam giác ABC cạnh a Gọi điểm M , N trung điểm BC CA, Dựng vectơ sau tính độ dài chúng a)
2
AN+ CB b)
2BC− MN c) AB+2AC c) 0, 25
2 MA− MB Bài 1.27: Cho hình vng ABCD cạnh a
a) Chứng minh u MA 2MB 3MC 2MD khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M
b) Tính độ dài vectơ u
DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức vectơ 1 Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức sau để biến đổi vế thành vế hai biểu thức hai vế biểu thức thứ ba biến đổi tương đương đẳng thức đúng:
• Các tính chất phép tốn vectơ
• Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành quy tắc phép trừ
• Tính chất trung điểm:
M trung điểm đoạn thẳng AB MA MB
M trung điểm đoạn thẳng AB OA OB 2OM(Với O điểm tuỳ ý) • Tính chất trọng tâm:
G trọng tâm tam giác ABC GA+GB+GC =O
G trọng tâm tam giác ABC OA+OB+OC =OG(Với O điểm tuỳ ý)
2 Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD Gọi I, J trung điểm AB CD, O trung điểm IJ Chứng minh rằng:
a) AC BD 2IJ
b) OA OB OC OD
c) MA MB MC MD 4MO với M điểm
Lời giải (Hình 1.16)
a) Theo quy tắc ba điểm ta có
AC AI IJ AI IJ JC
O
J I A
D C
B
(5)Tương tự BD BI IJ JD
Mà I, J trung điểm AB CD nên ,
AI BI JC JD
Vậy AC BD AI BI JC JD 2IJ 2IJ đpcm b) Theo hệ thức trung điểm ta có OA OB 2OI OC, OD 2OJ Mặt khác O trung điểm IJ nên OI OJ
Suy OA OB OC OD OI OJ đpcm
c) Theo câu b ta có OA OB OC OD với điểm M
OA OB OC OD
OM MA OM MA OM MA OM MA
0
0
MA MB MC MD 4MO đpcm
Ví dụ 2: Cho hai tam giác ABC ABC1 1 có trọng tâm G Gọi
, ,
G G G1 2 3 trọng tâm tam giác BCA ABC ACB1, 1, 1 Chứng minh GG1 GG2 GG3
Lời giải
Vì G1 trọng tâm tam giác BCA1 nên 3GG1 GB GC GA1
Tương tự G G2, 3 trọng tâm tam giác ABC ACB1, 1 suy
GG2 GA GB GC1
3 3GG3 GA GC GB1
Công theo vế với vế đẳng thức ta có
GG1 GG2 GG3 GA GB GC GA1 GB1 GC1
(6)GA GB GC GA1 GB1 GC1
Suy GG1 GG2 GG3
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G tâm đường tròn ngoại tiếp O Chứng minh
a)HA HB HC 2HO b)OA OB OC OH c) GH 2GO
Lời giải (Hình 1.17)
a) Dễ thấy HA HB HC 2HO tam giác ABC vuông
Nếu tam giácABC không vuông gọi D điểm đối xứng A qua O
/ /
BH DC(vì vng góc với AC) / /
BD CH(vì vng góc với AB)
Suy BDCH hình bình hành, theo quy tắc hình bình hành HB HC HD (1)
Mặt khác O trung điểm AD nên HA HD 2HO (2) Từ (1) (2) suy HA HB HC 2HO
b) Theo câu a) ta có
HA HB HC HO
HO OA HO OB HO OC HO
2
2
OA OB OC OH đpcm
c) Vì G trọng tâm tam giác ABC nên OA OB OC 3OG Mặt khác theo câu b) ta có OA OB OC OH
Suy OH 3OG OG GH 3OG GH 2GO
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC với AB c BC, a CA, b có trọng tâm G Gọi D E F, , hình chiếu G lên cạnh BC CA AB, ,
Chứng minh a GD2. b GE2. c GF2. 0
Lời giải (hình 1.18)
H O A
B C
D
(7)Trên tia GD, GE, MF lấy điểm N, P, Q cho
, ,
GN a GP b GQ c dựng hình bình hành
GPRN
Ta có a GD2 b GE2 c GF2
aGDGN bGE GP cGF GQ (*) Ta có a GD =2SGBC, b GE=2SGCA, c GF =2SGAB, mặt khác G trọng tâm tam giác ABC nên
GBC GCA GAB
S =S =S suy a GD =b GE =c GF Vậy (*) GN GP GQ
Ta có AC=GP=b PR, =BC=a ACB=GPR (góc có cặp cạnh vng góc với nhau)
Suy ACB GPR c g c
GR AB c PGR BAC
Ta có QGP BAC 1800 QGP GPR 1800 Q G R, , thẳng hàng G trung điểm QR
Theo quy tắc hình bình hành hệ thức trung điểm ta có
GN GP GQ GR GQ
Vậy a GD2. b GE2. c GF2. 0
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC với cạnh AB c BC, a CA, b Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh
aIA bIB cIC
Lời giải
Cách 1: (Hình 1.19)Gọi D chân đường phân giác góc A Do D đường phân giác giác góc A nên ta có
(1)
DB c c
BD DC
DC b b
c
ID IB IC ID
b
b c ID bIB cIC
Do I chân đường phân giác nên ta có :
ID BD CD BD CD a
IA BA CA BA CA b c
b c ID aIA (2)
I A
B D C
Hình 1.19 F
E
D A
B C
N
P Q
R G
(8)Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh
Cách 2: (hình 1.20)Qua C dựng đường thẳng song song với AI cắt BI tai B’;song song với BI cắt AI A’
Ta có IC IA' IB' (*)
Theo định lý Talet tính chất đường phân giác ta có :
' ( ) '
IB BA c b
IB IB
IB CA b c
1
1 Tương tự : IA aIA
c
' (2)
Từ (1) (2) thay vào (*) ta có :
a b
IC IA IB aIA bIB cIC
c c
3 Bài tập luyện tập
Bài 1.28: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P trung điểm , ,
BC CA AB Chứng minh a) AM BN CP
b) OA OB OC OM ON OP với O điểm
Bài 1.29: Cho tam giác ABC Gọi H điểm đối xứng với B qua G với G trọng tâm tam giác Chứng minh
a)AH 2AC 1AB
3 , CH AB AC
1
3
b) MH 1AC 5AB
6 với M trung điểm BC
Bài 1.30: Cho tam giác ABC có điểm M thuộc cạnh BC Chứng minh
MC MB
AM AB AC
BC BC
Bài 1.31: Cho hai hình bình hành ABCD AB C D' ' ' có chung đỉnh A Chứng minh B B' CC' D D'
Bài 1.32: Cho tam giác ABC tâm O M điểm tùy ý tam giác Hạ MD, ME, MF tương ứng vng góc với BC, CA, AB Chứng minh rằng:
MD ME MF 3MO
2
Bài 1.33: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC Một đường thẳng đường thẳng Gọi G trọng tâm ABC A’, B’, C’, G’ hình chiếu vng góc A, B, C, G lên đường thẳng
Chứng minh : AA'+BB'+CC'=3GG'
I A
B C
B'
C'
(9)Bài 1.34: Cho n vectơ đôi khác phương tổng n vectơ n vectơ phương với vectơ lại Chứng minh tổng n
vectơ cho vectơ không
Bài 1.35: Cho tam giác ABC với cạnh AB c BC, a CA, b Gọi I tâm D, E, F tiếp điểm cạnh BC, CA, AB đường tròn nội tiếp tam giác ABC M, N, P trung điểm BC, CA, AB Chứng minh rằng:
a) cotB cotC IA cotC cotA IB cotA cotB IC
2 2 2
b) cotAIM cotBIN cotC IP
2 2
c) b c a IM a c b IN a b c IP d) aAD bBE cCF
Bài 1.36: Cho tam giác ABC M điểm nằm tam giác Chứng minh : SMBCMA SMCA.MB SMABMC=0
Bài 1.37: Cho đa giác lồi AA A1 2 n(n 3); ei,1 i n vectơ đơn vị vng góc với AAi i (xem An A1) hướng phía ngồi đa giác
Chứng minh
n n
A A e1 A A e2 A A e1 (định lý nhím)
Bài 1.38: Cho đa giác lồi AA A1 2 n(n 3) với I tâm đường tròn tiếp xúc cạnh đa giác; gọi ,ei i n véc tơ đơn vị hướng với véc tơ IAi Chứng minh cos cos cos
n n
A A A
e e e
1
1
2 2
Bài 1.39: Cho tam giác ABC vuông A I trung điểm đường cao AH Chứng minh : a IA2 b IB2 c IC2
DẠNG 3: Xác định điểm M thoả mãn đẳng thức vectơ cho trước
1 Phương pháp giải
• Ta biến đổi đẳng thức vectơ dạng AM a điểm A a biết Khi tồn điểm M cho AM a, để dựng điểm M ta lấy A làm gốc dựng vectơ vectơ a suy điểm vectơ điểm M
(10)2 Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho hai điểm A, B phân biệt Xác định điểm M biết
MA MB
2
Lời giải (hình 1.21) Ta có 2MA 3MB
MA MA AB
AM AB
2
3
M nằm tia AB AM 3AB
Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD Xác định điểm M N P, , cho a) 2MA MB MC
b) NA NB NC ND c) 3PA PB PC PD
Lời giải (hình 1.22)
a) Gọi I trung điểm BC suy MB MC 2MI Do 2MA MB MC
MA MI MA MI
2 0
Suy M trung điểm AI
b) Gọi K, H trung điểm AB, CD ta có
NA NB NC ND 2NK 2NH
NK NH N trung điểm KH
c) Gọi G trọng tâm tam giác BCD ta có PB PC PD 3PG Suy 3PA PB PC PD 3PA 3PG
0
PA PG P
+ = trung điểm AG
Ví dụ 3: Cho trước hai điểm A, B hai số thực , thoả mãn Chứng minh tồn điểm I thoả mãn
IA IB
Từ đó, suy với điểm M MA MB ( )MI
Lời giải
Ta có: IA IB IA (IA AB)
IA AB
( ) ( )AI AB AI AB
Hình 1.21
A B M
P M N
H
I K
A
D
C B
G
(11)Vì A, B cố định nên vectơ AB khơng đổi, tồn điểm I thoả mãn điều kiện
Từ suy
MA MB (MI IA) (MI IB)
MI IA IB
( ) ( ) ( )MI đpcm 3 Bài tập luyện tập
Bài 1.40: Xác định điểm M biết MA 2MB 3MC Bài 1.41: Xác định điểm I, J, K, L biết
) ) ) )
a IA IB b JA JB JC
c KA KB KC BC
d LA LB LC AB AC
2
2
2
Bài 1.42: Cho tứ giác ABCD Tìm điểm cố định I số k để hệ thức sau thỏa mãn với M
) ) )
a MA MB MC kMI
b MA MB MD kMI
c MA MB MC MD kMI
2
2
2
Bài 1.43: Cho tam giác ABC với cạnh AB c BC, a CA, b Tìm điểm M cho aMA bMB cMC
Bài 1.44: Cho tam giác ABC ba số thức , , không đồng thời không Chứng minh rằng:
a) Nếu tồn điểm M cho
MA MB MC
b) Nếu khơng tồn điểm N cho
NA NB NC
Bài 1.45: Cho n điểm A A1, , ,2 An n số k k1, , ,2 kn mà n
k1 k2 k k
a) Chứng minh có điểm G cho n n
(12)Điểm G gọi tâm tỉ cự hệ điểm Ai gắn với hệ số ki Trong trường hợp hệ số ki nhau(ta chọn cácki ) G gọi trọng tâm hệ điểm Ai
b) Chứng minh G tâm tỉ cự nói câu a) với điểm M ta có k MA k MA k MAn n OG
k 1 2
1
DẠNG 4: Phân tích vectơ theo hai vectơ không phương
1 Phương pháp giải
Sử dụng tính chất phép tốn vectơ, ba quy tắc phép tốn vectơ tính chất trung điểm, trọng tâm tam giác
2 Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Đặt a AB b, AC
a) Hãy dựng điểm M, N thỏa mãn: ,
AM AB CN BC
b) Hãy phân tích CM AN MN, , qua véc tơ a b c) Gọi I điểm thỏa: MI CM Chứng
minh I A N, , thẳng hàng
Lời giải (hình 1.23) a) Vì AM 1AB
3 suy M thuộc cạnh AB
3
AM AB; CN 2BC, suy N thuộc tia BC CN 2BC
b) Ta có: 1
3
CM CA AM AC AB a b
3 3( )
AN AB BN AB BC AB AC AB a b
1
2 3
3
MN MA AN a a b a b
c) Ta có:
1 1
( )
3 3
AI AM MI AB CM a a b a b
3
AI AN A, I, N thẳng hàng
A
B C N
M
(13)Ví dụ 2: Cho tam giác ABC , cạnh BC lấy M cho BM 3CM, đoạn AM lấy N cho 2AN 5MN G trọng tâm tam giác ABC a) Phân tích vectơ AM BN, qua véc tơ AB AC
b) Phân tích vectơ GC MN, qua véc tơ GA
GB
Lời giải (hình 1.24)
a) Theo giả thiết ta có: BM 3BC
4 AN AM
5 suy AM AB BM AB 3BC
4
AB AC AB 1AB 3AC
4 4
BN BA AN AB 5AM
7
AB 1AB 3AC 23AB 15AC
7 4 28 28
b) Vì G trọng tâm tam giác ABC nên GA GB GC suy
GC GA GB
Ta có MN 2AM 1AB 3AC
7 4
GB GA GC GA
1
14 14
GB GA GA GB GA
GA GB
1
14 14
1
2
Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N hai điểm nằm hai cạnh AB CD cho AB 3AM CD, 2CN G trọng tâm tam giác MNB Phân tích vectơ AN MN AG, , qua véc tơ AB
AC
A
B M C
(14)Lời giải (hình 1.25)
Ta có: AN AC CN AC 1AB
MN MA AN AB AC AB
AB AC
1
3
5
Vì G trọng tâm tam giácMNB nên
AG AM AN AB 1AB AC 1AB AB 5AB AC
3
3
Suy AG AB 1AC
18
3 Bài tập luyện tập
Bài 1.46: Cho tam giác ABC Lấy điểm M,N,P cho MB 3MC,
NA 3NC 0,PA PB
a) Biểu diễn vectơ AP AN AM, , theo vectơ ABvà AC b) Biểu diễn vectơMP,MN theo vectơ ABvàAC Có nhận xét ba điểm M, N, P thẳng hàng?
Bài 1.47: Cho tam giác ABC.Gọi I, J hai điểm xác định ,
IA 2IB JA3 2JC a)Tính IJ theo AB AC
b)Đường thẳng IJ qua trọng tâm G tam giác ABC
Bài 1.48. Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I điểm cạnh BC cho 2CI 3BI J điểm BC kéo dài cho 5JB 2JC a) Hãy phân tích AI AJ, theo AB AC
b) Hãy phân tích AG theo AI AJ
Bài 1.49: Cho hai vectơ ,a b không phương Tìm x cho a) u a 2x b v xa b phương
b) u 3a xb u x a 2b
3 hướng
DẠNG 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau, hai tam giác trọng tâm
1 Phương pháp giải
• Để chứng minh hai điểm A1 A2 trùng nhau, ta lựa chọn hai cách sau :
N A
D C
B G
M
(15)Cách 1: Chứng minh A A1 2
Cách 2: Chứng minh OA1 OA2 với O điểm tuỳ ý
• Để chứng minh hai tam giác ABC A B C' ' ' trọng tâm ta làm sau:
Cách 1: Chứng minh G trọng tâm ABC trùng với G' trọng tâm ' ' '
A B C
Cách 2: Gọi G trọng tâm ABC(tức ta có GA GB GC 0) ta chứng minh GA' GB' GC'
2 Các ví dụ
Ví dụ 1: Chứng minh AB CD trung điểm hai đoạn thẳng AD BC trùng
Lời giải
Gọi I, J trung điểm AD BC suy AI ID CJ, JB Do AB CD AI IJ JB CJ JI ID
IJ JI IJ hay I trùng với J
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC , cạnh AB, BC, CA ta lấy điểm M, N, P cho AM BN CP
AB BC CA Chứng minh hai tam giác ABC MNP có trọng tâm
Lời giải
Giả sử AM k
AB suy AM kAB BN ; kBC CP ; kCA
Cách 1: Gọi G, G' trọng tâm ABC MNP Suy GA GB GC G M' G N' G P' (*) Ta có AM kAB AG GG' G M' kAB
Tương tự BG GG' G N' kBC
Và CG GG' G P' kCA
Cộng vế với vế đẳng thức ta
AG BG CG 3GG' G M' G N' G P' k AB BC CA
Kết hợp với (*) ta GG' Suy điều phải chứng minh
(16)AM BN CP kAB kBC kCA k AB( BC CA) Vậy hai tam giác ABC MNP có trọng tâm
Ví dụ 3: Cho lục giác ABCDEF Gọi M N P Q R S, , , , , trung điểm cạnh AB BC CD DE EF FA, , , , , Chứng minh hai tam giác MPR NQS có trọng tâm
Lời giải (hình 1.26)
Gọi G trọng tâm MPR suy
GM GP GR (*)
Mặt khác 2GM GA GB, 2GP GC GD,
GR GE GF
2
GM GP GR GA GB GC GD GE GF
2( ) Kết hợp
với (*) ta
GA GB GC GD GE GF
GA GF GB GC GD GE
GS GN GQ
GS GN GQ
( ) ( ) ( )
2 2
0
Suy G trọng tâm SNQ
Vậy MPR SNQ có trọng tâm
Ví dụ 4: Cho hai hình bình hành ABCD ' ' '
AB C D chung đỉnh A Chứng minh hai tam giác BC D' B CD' ' trọng tâm
Lời giải (hình 1.27)
Gọi G trọng tâm tam giác BC D' suy '
GB GC GD
' ' ' ' '
GB GC GD B B CC DD (1) Mặt khác theo quy tắc phép trừ hình bình hành ta có
B
A
D C B'
C' D'
Hình 1.27
S
R
Q P N
M B
A
F E
D C
(17)' ' ' ' ' '
' '
B B CC D D AB AB AC AC AD AD
AB AD AC AB AD AC
'
AC AC AC AC (2)
Từ (1) (2) ta có GB' GC GD' hay G trọng tâm tam giác ' '
B CD
3 Bài tập luyện tập
Bài 1.50 Cho tam giác ABC A B C, ' ' ' có G, G’ trọng tâm Chứng minh rằng: AA' BB' CC' 3GG' Từ suy điều kiện cần đủ để hai tam giác có trọng tâm
Bài 1.51 Cho tam giácABC , vẽ hình bình hành ABIJ BCPQ CARS, , Chứng minh RIP, JQS có trọng tâm
Bài 1.52 Cho tam giác ABC có A' điểm đối xứng A qua B, B' điểm đối xứng B qua C, C' điểm đối xứng C qua A Chứng minh tam giác ABC A B C' ' ' có trọng tâm
Bài 1.53 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh hai tam giác ANP CMQ có trọng tâm
Bài 1.54 Cho tam giác ABC Gọi A', B' ,C' điểm xác định
' '
A B A C
2011 2012 0, 2011B C' 2012B A' 0,
' '
C A C B
2011 2012
Chứng minh ABC A B C' ' ' trọng tâm
Bài 1.55 Cho ABC A B C' ' 'có trọng tâm G, gọi G G G1, ,2 3là trọng tâm tam giác BCA CAB ABC', ', '.Chứng minh G G G1 2 3
cũng có trọng tâm G
Bài 1.56 Cho tứ giác ABCD có trọng tâm G Gọi G G G G1, 2, 3, 4lần lượt trọng tâm tam giác ABC, BCD, CDA, DAB Chứng minh G trọng tâm tứ giác G G G G1 2 3 4
(18)Bài 1.58. Cho tam giác ABC , điểm O nằm tam giác Gọi , ,
A B C1 1 1 hình chiếu O lên BC, CA, AB Lấy điểm , ,
A B C2 2 2 thuộc tia OA OB OC1, 1, 1 cho
, ,
OA2 a OB2 b OC2 c Chứng minh O trọng tâm tam giác A B C2 2 2
DẠNG 6: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện vectơ cho trước 1 Phương pháp giải
Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn mãn điều kiện vectơ ta quy dạng sau
- Nếu MA MB với A, B phân biệt cho trước M thuộc đường trung trực đoạn AB
- Nếu MC k AB với A, B, C phân biệt cho trước M thuộc đường trịn tâm C, bán kính k AB
- Nếu MA kBC với A, B, C phân biệt k số thực thay đổi + M thuộc đường thẳng qua A song song với BC với k R
+ M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC hướng BC với k
+ M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC ngược hướng
BC với k
- Nếu MA kBC B, C với A, B, C thẳng hàng k thay đổi tập hợp điểm M đường thẳng BC
2 Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC
a) Chứng minh tồn điểm I thỏa mãn : 2IA 3IB 4IC
b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : 2MA 3MB 4MC MB MA
Lời giải
a) Ta có: 2IA 3IB 4IC 2IA 3(IA AB) 4(IA AC)
3
9
9
AB AC
(19)2MA 3MB 4MC 9MI (2IA 3IB 4IC) 9MI
MB MA AB nên
| | | | | | | |
9 AB
MA MB MC MB MA MI AB MI
Vậy quỹ tích M đường trịn tâm I bán kính AB
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện sau :
a) MA MB MA MC
b) MA MB k MA 2MB 3MC với k số thực thay đổi
Lời giải (hình 1.28)
a) Gọi E, F trung điểm AB, AC suy MA MB 2ME MA MC 2MF
Khi MA MB MA MC
ME MF ME MF
2
Vậy tập hợp điểm M đường trung trực EF
b) Ta có MA 2MB 3MC MA MA AB MA AC
AB AC AB AH HB
2 2
Với H điểm thỏa mãn AH 3AC
2 Suy MA MB k MA 2MB 3MC
ME kHB ME kHB
2
Vậy tập hợp điểm M đường thẳng qua E song song với HB
Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD Với số k tùy ý, lấy điểm M N cho ,
AM kAB DN kDC Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng MN k thay đổi
Lời giải (hình 1.29)
E H
A B
C F
(20)Gọi O, O' trung điểm AD BC, ta có ' '
AB AO OO O B DC DO OO' O C' Suy AB DC 2OO'
Tương O, I trung điểm AD MN nên
AM DN 2OI
Do OI kAB kDC kOO'
Vậy k thay đổi, tập hợp điểm I đường thẳng OO' 3 Bài tập luyện tập
Bài 1.59 Cho điểm cố định A, B Tìm tập hợp điểm M cho: a) MA MB MA MB b) 2MA MB MA 2MB Bài 1.60. Cho ABC Tìm tập hợp điểm M cho:
a) MA kMB kMC với k số thực thay đổi
b) v MA MB 2MC phương với véc tơ BC
c) MA BC MA MB (HD: dựng hình bình hành ABCD) Bài 1.61. Cho ABC Tìm tập hợp điểm M trường hợp sau:
a) 2MA 3MB 3MB 2MC
b) 4MA MB MC 2MA MB MC
Bài 1.62: Cho tứ giác ABCD
a)Xác định điểm O cho :OB 4OC 2OD
b)Tìm tập hợp điểm M thoả mãn hệ thức MB 4MC 2MD 3MA Bài 1.63: Cho lục giác ABCDEF Tìm tập hợp điểm M cho : MA MB MC MD ME MF nhận giá trị nhỏ Bài 1.64: Trên hai tia Ox Oy góc xOy lấy hai điểm M, N cho
OM ON a với a số thực cho trước tìm tập hợp trung điểm I đoạn thằng MN
DẠNG 7: Xác định tính chất hình biết đẳng thức vectơ
1 Phương pháp giải
Phân tính định tính xuất phát từ đẳng thức vectơ giả thiết, lưu ý tới hệ thức biết trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam
I
O' O
A
D C
B M
N
(21)giác kết " ma nb m n với a b, hai vectơ không phương "
2 Các ví dụ
Ví dụ 1: Gọi M, N trung điểm cạnh AD DC tứ giác ABCD Các đoạn thẳng AN BM cắt P Biết
1
;
5
PM BM AP AN Chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành
Lời giải
Ta có: AB AM MB AM 5MP
5 2
2( )
AP AM AN AD
AD DN AD
DN DC ABCD
2 hình bình hành
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c trọng tâm G thoả
mãn: a GA2 b GB2 c GC2 Chứng minh ABC tam giác
Lời giải
G trọng tâm tam giác ABC nên
GA GB GC GA GB GC Suy a GA2 b GB2 c GC2
a GB GC b GB cGC
b a GB c a GC
2
2 2
0
0 * Vì GB GC hai vecơ khơng phương, (*) tương đương với:
b a
a b c
c a
2 2
0
0 hay tam giác ABC
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trung tuyến AA' B' , C' điểm thay đổi CA, AB thoả mãn AA' BB' CC' Chứng minh BB', CC' trung tuyến tam giác ABC
Lời giải
(22)Mặt khác A' trung điểm BC nên AA' AB AC
Do AA' BB' CC'
AB AC mAC AB nAB AC
1
0
hay n AB m AC
2
Vì AB AC, khơng phương suy m n
2 B', C' trung điểm CA, AB
Vậy BB', CC' trung tuyến tam giác ABC 3 Bài tập luyên tập
Bài 1.65: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O thoả mãn
OA OB OC OD Chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành
Bài 1.66: Cho ABC có BB', CC' trung tuyến, A' điểm BC thoả mãn AA' BB' CC' Chứng minh AA' trung tuyến tam giác ABC
Bài 1.67: Cho ABC có A', B', C' điểm thay đổi BC, CA, AB cho AA BB CC', ', ' đồng quy thoả mãn AA' BB' CC' Chứng minh AA BB CC', ', ' trung tuyến tam giác ABC
Bài 1.68: Cho điểm A, B, C, D; I trung điểm AB J thuộc CD thoả mãn AD BC 2IJ Chứng minh J trung điểm CD
Bài 1.69: Cho tứ giác ABCD Giả sử tồn điểm O cho
OA OB OC OD OA OB OC OD Chứng minh ABCD hình chữ nhật
Bài 1.70: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, gọi G trọng tâm tam giác ABC A', B', C' điểm thỏa mãn:
', ', '
OA 3OA OB 3OB OC 3OC Chứng minh G trực tâm tam giác A B C' ' '
Bài 1.71: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, gọi H trực tâm tam giác A', B', C' điểm thỏa mãn:
' , ' , '
(23)Bài 1.72: Cho tam giác ABC điểm M nằm tam giác Đường thẳng AM cắt BC D, BM cắt CA E CM cắt AB F Chứng minh AD BE CF M trọng tâm tam giác ABC
DẠNG 8: Chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị liên quan đến độ dài vectơ
1 Phương pháp
• Sử dụng bất đẳng thức bản: Với vectơ ,a b ta ln có
+ a b a b , dấu xảy ,a b hướng + a b a b , dấu xảy ,a b ngược hướng
• Đưa tốn ban đầu tốn tìm cực trị MI với M thay đổi + Nếu M điểm thay đổi đường thẳng MI đạt giá trị nhỏ M hình chiếu M lên
+ Nếu M điểm thay đổi đường trịn (O) MI đạt giá trị nhỏ M giao điểm tia OI với đường tròn; MI đạt giá trị lớn M giao điểm tia IO với đường trịn
2 Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC đường thẳng d Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ T MA MB MC Lời giải:
Gọi I đỉnh thứ tư hình bình hành ACBI IA IB IC Khi : T MI IA MI IB MI IC
MI IA IB IC MI
Vậy T đạt giá trị nhỏ M hình chiếu I lên đường thẳng d
(24)AA BB CC AG GG G A BG
GG G B CG GG G C
' ' ' ' '
' ' ' ' ' '
GG GA GB GC G A G B G C
3 ' ( ) ( ' ' ' ' ' ') 3GG'
Do đó:
AA' BB' CC' AA' BB' CC' AA' BB' CC'
GG GG
3 ' '
Đẳng thức xảy vectơ AA BB CC', ', ' hướng Vậy giá trị nhỏ T là3GG'
3 Bài tập luyên tập
Bài 1.73: Cho tam giác ABC, đường thẳng d ba số , , cho Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để biểu thức T MA MB MC đạt giá trị nhỏ Bài 1.74: Cho tam giác ABC Tìm điểm M đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC cho MA MB MC
a) Đạt giá trị lớn b) Đạt giá trị nhỏ
Bài 1.75: Cho tứ giác ABCD A B C D' ' ' ' tứ giác thay đổi, có trọng tâm G G' cố định Tìm giá trị nhỏ tổng
T AA' BB' CC' DD'
Bài 1.76: Cho tam giác ABC M, N, P điểm cạnh BC, CA, AB cho BM kBC CN, kCA AP, kAB Chứng minh đoạn thẳng AM, BN, CP ba cạnh tam giác Do đoạn thẳng AM, BN, CP ba cạnh tam giác Bài 1.77 : Cho tam giác ABC Chứng minh với điểm M thuộc cạnh
AB không trùng với
đỉnh ta có: MC AB MABC MB AC
Bài 1.78: Cho tứ giác ABCD, M điểm thuộc đoạn CD Gọi ,p p p1, 2 chu vi tam giác AMB ACB ADB, , Chứng minh
max ; p p p1
Bài 1.79: Trên đường trịn tâm O bán kính lấy 2n điểm , , , ,
i
(25)Chứng minh n
i i
OP
1
oup: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/