Nhận xét Với việc khai triển hai bất đẳng thức ( — — — 20 Xe, + yey + zea) >0 — — —`2 (xOA + yOB +z0C) >0 ta dễ dàng nhận được hai bất đẳng thức tổng quát x? ty? +27 yzcosA + zxcosB + xycosC < —_— Vx, y,Z x+y? 42? 2
Vi dụ 5.28 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(x, ; y,) 3 B(x) ; y)
yzcos2A + zxcos2B + xycos2C < — VX, y, Z
Trang 2Vi dụ 5.29 Cho các số xạ, xạ, y¡, Y2 Chứng minh rằng
(x? + Ví x2 + ys) 2 (X4Xo +, yo)" (bat dang thức Bu-nhi-a-cốp-xki)
Giải Trên mặt phẳng toạ độ xét hai vectơ ä = (x,;y, ),b = (X2 ;Y2)
Taco [al.{él > labl > lal? IP > @dy?
=> (x? + yi (x3 + y2) >(XIX¿ + viy2)
ng thc xyra ôâ>ọ//b <> xy) = Xj |
Vi du 5.30 Cho hinh vuông ABCD; E là trung điểm của AB, F là điểm sao cho AF= SAD Xác định vị trí của điểm M trên đường thẳng BC sao cho EFM = Iv
Giải (h.5-21) Gọi a là độ dài cạnh hình vuông
Xét hệ toạ độ xOy sao cho D =O = (0; 0), C= (a; 0), A =(0; a) Dễ thấy E =3; a] ; F =(0; 2) 3 Giả sử M=(a;y) (yeR) y _ A E B (553) Ta có ¬ F —- a FM =(a; - 28) mm Cc EF | FM < FE.FM =0 O=D x = H+ - 72) <0 23-3)" _ —Sa M oye Hinh 5-21 " —5a co M=(a; =) Sa Vậy M là điểm nằm trên phần kéo dài của BC về phía C sao cho CM = % 0 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
5.1 Chứng minh rằng trong 5 vectơ bất kì luôn chọn ra được 2 vectơ sao cho độ dài
Trang 35.2 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O ; R) Chứng minh rằng AC 1 BD © ABỸ + CDỶ = 4RỶ 5.3 Cho đường tròn (O ; R) và hai dây AB, CD của nó Tìm M e (O) sao cho MA’ + MB’ = MC’ + MD” 5.4 Tính tổng bình phương các cạnh và các đường chéo của n-giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R
5.5 Cho đa giác đều A¡A¿ A2n nội tiếp đường tròn (O), M là điểm bất kì thuộc (O) Chứng minh rằng
MAƒ + MA + + MA2„_¡ = MA2 + MA2 + + MA2,
3.6 Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R) ; H là trực tâm AABC
Chứng minh rằng
OH” = 9RŸ ~ (a7 + bŸ + c?)
Áp dung : Trong các tam giác cùng nội tiếp đường tròn, tìm tam giác có tổng
bình phương các khoảng cách từ tâm đường tròn đến các cạnh là nhỏ nhất
3.7 Cho hình bình hành ABCD Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của C trên các
đường thẳng AB, AD Chứng minh rằng AB.AE + AD.AE = AC’
5.8 Cho tam giác ABC và điểm M bất kì Các điểm A¡, Bị, C¡ lần lượt thuộc các đường thắng BC, CA, AB sao cho AMM, = BMB, = CMC, = 90° Chứng minh rằng A,, B,, C, thang hang
5.9*, Cho hai đường thẳng x'Ox, y'Oy và hai số thực a, b A và B là hai điểm chạy
trên x'Ox và y'Oy sao cho a.OA + b.OB = 1
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB luôn đi qua một điểm cố định khác O
5.10 Cho tam giác ABC cân tại A ; M là trung điểm của BC, H là hình chiếu của M trên AC; E là trung điểm của MH Chứng minh rằng AE | BH
5.11 Cho góc vuông xOy Trên Ox lấy hai điểm A, A' ; trên Oy lấy hai điểm B, B
sao cho OA.OA' = OB.OB' Chứng minh rằng trung tuyến OM của tam giác
AOB vuông góc với A'B
84
Trang 43.12 Cho tam giác ABC cân tại A Hai đường thẳng dị, d› bất kì qua A Các đường thẳng qua B, C tương ứng vuông góc với dị, d› cắt nhau tại D Đường
thẳng qua B vuông góc với AB cắt dị tại E, đường thẳng qua C vuông góc với
AC cắt d; tại F Chứng minh rằng AD L EF
5.13 Cho hình vuông ABCD Các điểm M, N thuộc các cạnh BA, BC sao cho -_BM =BN H là hình chiếu của B trên CM Chứng minh rằng DHN = 900
5.14 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho :
MA MB = 5 (mic? - MA? - MB)
5.15 Cho hình vuông ABCD cạnh a Tìm tập hợp các điểm M sao cho
2
MA? + MB? + MC? - 3MD? = =
5.16 Cho tam giác ABC có trọng tam G Ké qua G đường thẳng A ; A' là đường thẳng bất kì song song với A Chứng minh rằng tổng bình phương các khoảng cách từ các đỉnh của tam giác đến A không vượt quá tổng bình phương các khoảng cách từ các đỉnh của tam giác đến A'
5.17, Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O ; R) Chứng minh rằng : a+b+c< 343R 5.18 Cho đa giác đều A1A An Tìm điểm M sao cho tổng MAI +MA¿ + + MA nhỏ nhất 5.19* Cho tam gidc ABC Tìm điểm M sao cho (2 cosS`MA +MB+ Mc | nhỏ nhất
5.20* Cho tam giác ABC ; M là điểm trong tam giác, đặt œ = BMC, B = CMA,
y= AMB Chứng minh rằng với moi diém N ta có
NAsina + NBsinB + NCsiny > MAsina + MBsinB + MCsiny
5.21* Cho tam gidc ABC Chiing minh rang :
A _ Bo C _ 3
m, Cos-> + my cos + m, cos 2 4a +b+c)
Trang 55.22*, Cho tam gidc ABC Ching minh rang v6i moi diém M ta c6é
3a“b^c?
2
a MA? + bME” + cˆMC? > 5
, a“ +b’ +c >:
5.23* Cho tam giéc ABC Cac diém X, Y, Z theo thif tu chay trên các đường thẳng
BC, CA, AB Tìm vị trí của X, Y, Z sao cho (YZ + ZX? + XY?) nhỏ nhất
5.24, Trong mat phang toa dé cho ba diém A(1 ; 4); B(-2 ; -2) ; C(4 ; 2)
Xác định toạ độ điểm M sao cho tổng MA” + 2MB” +3MC? nhỏ nhất
5.25 Cho các điểm A(-3 ; 6); B(1 ; -2) ; C(6; 3)
a) Tính diện tích tam giác ABC
b) Tìm toạ độ trực tâm tam giác ABC
5.26 Cho các số ai, a›, bạ, bạ Chứng minh rang :
a) (ay + ag)? + (b, + by)? < Ja? + b? + fa? + bệ
2 2 2 2
Ja’ + bj - a3 +3)
5.27 Trên mặt phẳng toạ độ, cho hình bình hành với ba đỉnh có toạ độ là các số nguyên Chứng minh rằng diện tích hình bình hành đó là một số nguyên
b) vj(ay — az)2 + (bị — bạ}? >
§6 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
A TOM TAT LÍ THUYẾT
Trang 6b bt ch e2 " VÀ c? “S|— bể II- HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG 1 Định lí côsin a?=b2+ c?~ 2becosA b = c? + a — 2cacosB c? = a + bể — 2abcosC 2 Dinh li sin a b c sinA sinB sinC - 2 3 Các công thức tính diện tích 1 1 1 5 = 28ha = 2 phụ = 2chc S= 1 csin A = 1 casinB = 1 bsinc —2 a) ~ 2 abc S= aR S = /p(p — a)(p — b)(p — c) (Hê-rông) 3 =pr = (p - a)rạ = (p — b)rp = (p — C)Tạ
_4 Bán kính đường tròn nội tiếp, bàng tiếp
Trang 73 Công thức tính độ dài trung tuyến 2 _ 2(b“+c?)-a? mà 2 2 2 2 m2 = 2€ +a°)-—b 4 2, 42\_ 2 mộ = TT 6 Công thức tính độ dài phân giác = p(p - a) * (b+)? 4ca lộ = (c+a 2 PAP (p—b) 4ab lỆ = © (a+b) p(p - ©) B CAC vi DU Ví dụ 6.1 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng : 2 t2, 22 cotA + cotB + cotC = arbre 4S Gidi Theo dinh li césin
cosA = b* +07 -a? =- cosA _ b? +07 - a? —> cotA = b* +c? -a?
s 2bc ~ sinA — 2bcesinA ~ 4S
bˆ+c?-a^ ct +a*—-b* a2+bP-c? Vay cotA + cotB + cotC = 2S + 2S + 2S
2 t2, 22 a“ +b° +c" |
= ——Tg——— (đpcm) b* +c? =a?
Nhận xét Công thức cotA = 2S còn được gọi là định lí côtang, có
hiệu lực trong việc giải nhiều bài toán khác
Ví dụ 6.2 Cho tam giác ABC BM, CN là các trung tuyến Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương :
Trang 8a) BM L CN; A b) b? +c? = Sa’: c) cotA = 2(cotB + cotC) Gidi N M e a) © b) Đặt G = BM ê CN (h.6-2), ta thấy BM | CN <> BG? + CG? = BC? ¬ 3 5 3 ¢ Hinh 6-2 - => 4m; + 4m? = 9a? > 2(c? + a2) — b* + 2(a? + b*) — c? = 9a? âb2+c2=5a7 ôc)âb) b? +c? -a? Cae — = { ————— — cotA = 2(cotB + cotC) = 2S 2 45 + 2S 2 _—a?=4a?©b°+c2= 5a ob +e Ví dụ 6.3 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng : RD — £0 Lhi wt nh? Lh: 1 1 _ 3 B =60 khi và chỉ khi > + P= by
Giải 1 + I _ 3 œA2†b+c atbee _
Trang 9a
sinA _ 2R _ 2 47,2, 42 2
sinBcosC ma hhK< a = 2(a“ + b“ —- c')
2R' 2ab
œ© bŸ=c? ©b=c © AABC cân tại A
Ví dụ 6.5 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng : a +b? +07 > 435, Giới Theo công thức Hê-rông và bất đẳng thức Cô-si, ta có : 4x 3S = 4\3.[p(p - a)(p — b)(p - c) : 3 < +/ãJp(P=®+P=b+p=e) - 3 3 = 43 p(2=Gsb+9)) 4 2 _ [P ~4 2 _(atbtoy 22.12, 2 Vay a? +b* +c? > 4/38, p-a=p-b=p-c Đẳng thức xảy ra © \ ©a=b=c© AABC đẻu a=b=c a> +b* +c"
Trang 11Suy ra (b + c — a)(a + b — c)(c + a— b) < abc (2) Từ (1), (2) suy ra R < 3
- Đẳng thức xây ra >b +c—a=c+a~b=a+b—c<©>a=b=c © AABC đều
Trang 13Tạ + Tụ +re=h„ + hạ + hạ c©b+c-a=c+a—b=a+b—-c€a=b=c<©AABC đều Ví dụ 6.13 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng 1 S= 3V(m, +m, +m,)(m, +m, —m,)(m, +m, —m,)(m, + m, - m,)
Giải Ta chứng minh bổ đề sau
Bổ đề Ba trung tuyến m,, mụ, m, của tam giác ABC là độ đài ba cạnh của một
tam giác với diện tích S„ = 28
Chứng minh (h.6-3)
Gọi AM, BN, CP là các trung tuyến A D
của tam giác ABC Dựng hình bình hành
ABCD Gọi E là trung điểm của CD Dễ
thấy ME = BN, EA = CP Vậy AAME có Ụ E độ dài ba cạnh là m,, mụ, m,ụ = SABCD — SABM ~ SADE ~ ŠCME Hình 6-3 1 1 l = 28~ 58-58-75 3 = a>
Nhận xét 1) Bồ đề trên còn được dùng trong một SỐ bài toán khác
2) Không những có do dai ba canh 14 m,, my, m,, tam giác AME còn có độ dài
, + 1a 3, 3 ba trung tuyến tương ứng là ggg
Trang 14QR” Gidi Theo BT 5.17, ta có a+b+c<343R a b c _ 3⁄3 — —— ——<_— ”2R ”2R ”2RỄ 2 Áp dụng định If sin, ta có 35,
sinA + sinB + sinC <
Dang thttc xay ra <> AABC đều
Ví dụ 6.15 Hãy nội tiếp trong đường tròn cho trước một tam giác có diện tích
lớn nhất
Giải Giả sừ đường tròn cho trước có bán kính R và ABC là một tam giác nội tiếp nó Theo bất đẳng thức Cô-si và theo BT 5.17, ta có atbre) ge abe (3) LS R) _ 3v3R? ~ 4R ~ R S 4R 4 7 3V3R2 — Suy ra S <
Đẳng thức xảy Ta © a =b=c © AABC đều
Vậy, trong các tam giác nội tiếp đường tròn cho trước, tam giác đều có diện tích lớn nhất Ví dụ 6.16 Hãy ngoại tiếp một đường tròn cho trước một tam giác có diện tích nhỏ nhất Giải Giả sử đường tròn cho trước có bán kính r và ABC là một tam giác ngoại tiếp nó Ta có 3 pr=S= \jP(p ~ 8)(p ~ ĐG=9 < ol ==.= 2h 27 33 Suy ra 3V3r < p> 3V3r? <S
Đẳng thức xảy ra © p— a=p—b=p~c © AABC đều
Vậy, trong các tam giác ngoại tiếp một )t đường tròn cho trước, tam giác đều có diện tích nhỏ nhất
Trang 15
Ví du 6.17 Cho tam giác ABC, trung tuyến
CM, ACM =a, BCM = 8 Chứng minh rằng : oF B sinA _ sino sinB sinB -Giải (h.6-4) Cách 1 Trên tia đối A | B z 7M
của tia MC lấy D sao cho MD = MC Ap dụng định lí sin cho các tam giác CAB, CAD, ta có : sinA CB _ AD _ sin a (đpem) B sinB CA AC - sinB D Cách 2 Theo giả thiết : Hình 6-4 MA =MB> SCAM = Scam => 2 CA.CMsino = 2C CM sinB
~ sina CB _, sina _ sinA sinB CA sinB sinB
(đpcm)
Ví dụ 6.18 Cho tam giác ABC nội
tiếp đường tròn (O) Các tiếp tuyến với
(O) tại B, C cắt nhau tại M ; AM cắt BC
tại N Chứng minh rằng
NB _ (48)
NC \AC) °
Gidi (h.6-5) Goi H, K lan luot 1a hình chiếu của B, C lên AM Theo định lí Ta-lét, ta có Hình 6-5 1 ] NB BH 2BHAM s „ >BABMsinABM NC CK” 1œ AM: SACM 5CA.CM sin ACM
Trang 16Vi du 6.19 Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC,
CA, AB Chứng minh rằng AM, BN, CP đồng quy khi và chỉ khi sin MAB sin NBC sin PCA _
sin MAG sin NBA sin PCB
Giải Trước hết ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề Cho bốn góc œ, œ', B, B' thoả mãn œ+=œ+' < 1809 Sinœ _ sinœ' sinB sin§' Khi đó œ = œ'; B = B' Chứng minh (h.6-6) Vẽ AABC và AA'BC sao cho : A = =p; A’ = œ, B= B' Từ giả thiết và định lí sin ta có CB sinơ sinơ' _ CB CA sinB sinB C'A" - Mặt khác, œ + B =œ +B'= € =€:
Suy ra AABC œ AA'BC, vậy œ= œ, B = B'
Trở lại bài toán đang xét (h.6-7) :
Nếu AM, BN, CP đồng quy và giả sử điểm đồng quy đó là O A' O B CB Cc B M Cc Hinh 6-6 Hinh 6-7
Ap dụng định lí sin cho các tam giác OAB, OBC, OCA Ta có
sinOAB _OB sinOBC OC sinOCA OA
snOBA OA’ sinOCB OB’ sinOAC ỌC
97
Trang 17sinOAB sin OBC sinOCA _ OB OC OA
Ss ——
sinOAC sinOBA_ sinOCB ~ OA’ OB OC - > sin MAB sin NBC sin PCA _
sin MAC sin NBA sin PCB -
ae sin MAB sin NBC sin PCA _ Ngược lại, giả sử —
sin MAC: sin NBA sin PCB
Nếu BN, CP cắt nhau tại O thì theo phần thuận
sin OAB sin NBC sin PCA sin OAC sin NBA sin PCB Từ (1), (2) suy ra sinMAB _ sinOAB sinMAC_ sinOAC MAB = OAB = 1 Theo bổ đề ta có MAC = OAC Vậy AM, BN, CP đồng quy _— = O thudc AM eS Pt g (1) (2)
Nhận xét Kết quả trên được gọi là định lí Xê-va dạng sin, nó sẽ được mở rộng
hơn nữa nếu ta có khái niệm góc định hướng giữa hai tia (xem chuyên đề § 13)
Vi du 6.20 Cho tam giác ABC, AA', BB, CC' là các đường phân giác M là
một điểm trong tam giác X, Y, Z là các điểm đối xứng của M qua AA’, BB’, CC
Chứng minh rằng AX, BY, CZ đồng quy
Giải (h.6-8)
Vì AM, BM, CM đồng quy tại M nên sin MAB sin MBC sinMCA
sin MAG sin MBA sin MCB
Từ (1), theo giả thiết về sự đối xứng ta có sin XAC sin YBA sin ZCB
sin XAB sin YBC sin ZCA =1 (1) =1
- sin XAB sin YBC sin ZCA sin XAG sin YBA_ sin ZCB
Trang 18Vi du 6.21 Cho lục giác ABCDEF
nội tiếp AD ¬ CF = X, BD ¬ CE= Y ;
BF AE = Z Chứng minh rằng X, Y, Z thang hàng (định lí Pa-xcan)
Giải (h.6-9) Áp dụng VD 6.19 cho
cac tam gidc XAF, XCD,
sinX, sinA, sinF,
sinX, sinA, sinF, —
tacd<
sinX, sinC, sinD, _ Hinh 6-9
sinX, sinC, sinD, — A, =G,A,=C, Laos | 3 ~4 ~ — ~ —~ (các góc nội tiếp cùng chắn một cung) Suy ra F, = Dj, F; = Dy sinX,; — sinX, sinX, sinX,’ bas X, =X, , Theo bổ dé trong VD 6.19 ta có — — _ˆ =X,Y,Zthẳng hàng Xã =X¿ Ví dụ 6.22 Cho các tam giác ABC, A'BC' có BAC = BA'C Chứng minh ~ Sagc _ ABAC rang oo = Sn’ Sapo ABAC 1
Gidi SAnc _ 2A^B.AC sinA _ AB.AC
Sac 2AB.AC sina’ BÁC
Nhận xét Kết quả trên tuy đơn giản nhưng rất có lợi trong khi giải các bài toán liên quan đến diện tích
(đpcm)
Ví dụ 6.23 Cho tam giác ABC, các điểm M, N thuộc cạnh BC Chứng minh rằng :
-MB.NB > ( AB Ï
BAM = CAN = MCNC TLUAC
Gidi (h.6-10) Néu BAM = CAN thi BAN = CAM Theo VD 6.22, ta cé
Trang 19MB Samp _ AM.AB
NC “Sanc ANAC _ MBNB _ (AB) NB Sang ANAB MCNC (AC/ MC Samc AM.AC A 2 _» MB.NB _/{ AB
Ngược lại, nếu MCNC = (4) (1), ta
lấy M' thuộc BC sao cho BAM' = CAN Theo phần thuận ⁄ MB.NB _ AB ) @ MCNC ` (AG) - B M N © ` ` MB MB Hình 6-10 Từ (1) và (2) suy ra : Mc * Mc =>M'=M
Vay BAM = CAN (đpcm)
Ví dụ 6.24 Cho tam giác ABC có diện tích S ; M là một điểm trong tam giác
AM, BM, CM theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại A', B, C' Chứng minh rằng : 1 lon < —.` » A'BC = 4 5 Giải (h.6-11) Theo VD 2.11, t6n tai các số œ, Ö, y > Ö sao cho œ++y=l mm (*) Theo VD 6.22 ta có SMB'C' eA Sac: MB MC ŠMBC cưng — MAY Mặt khác S$ = AA (cùng chung đáy BC) MA' _ MB' MC' MA' B ` A' C
VẬY Š5wpC' “ MB MC AA" | Hinh 6-11
Trang 20B Yo SuytaSMpc= Tyo 4p aspty> apy (7+ aya +B) (1) Tương tự như vậy ta có : | apy Sucias MCA’ = GT ByBey == + SS (2 ) S ¬— 2 3 MAB (B+ yy +o) ©) Từ (1), (2), (3) với chú ý œ + B + y= l, ta có apy apy 1Q Sapo = 2S < 28 =—
AIBC (2 +B)\B+ (y+) ~ 2fap.2/By.2Jya 4
Đẳng thức xảy ra © œ = B = y © M là trọng tâm AABC
Ví dụ 6.25 Cho tam giác ABC, M thuộc cạnh BC Đường tròn nội tiếp các
tam giác ABM, ACM bằng nhau Chứng minh rằng :
AM’ =S cot > (S là diện tích AABC)
Giải Trước hết xin nhắc lại, không chứng minh một kết quả quen thuộc mà ta sẽ sử dụng nhiều lần trong khi giải bài
toán này là :
Cho tam giác ABC, đường tròn nội
tiếp tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại X, Y, Z Khi đó (h.6-12) : Hình 6-12 AY = AZ = — =p-a A BZ = BX = = =p-b CX = CY = _< =p-c i : H K
Trở lại bài toán đang xét Goi I, H, K WA
theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp các HT ra
tam giác ABC, ABM, ACM và N, P, Q là , B PM N®
hình chiếu của chúng trên BC (h.6-13) Hình 6-13
Trang 21Dat x = AM, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, r¡ là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABM, ACM Ta có S = SApM + SACM =(a+b+c}r =(c + BM + x)r¡ +(b+ CM +x)r; =(a+b+c)r=(a+b+c+ 2x)r a+b+c 4 a+b+c+2x r Mặt khác, theo định lí Ta-lét ta có : yy BP c+BM-x + BN 2BN qe CQ b+CM -x r CN 2N ` Từ đó, theo tính chất của tỉ lệ thức : n¡ a+b+c-2x r — 2a Từ (1) và (2) suy ra : a+b+c a+b+c-2x a+b+c+2x ˆ 2a = 2a(a + b + c) = (a + b+c)“— 4x? = 4x” =(a+b+c)(—a +b + c) = => x’ = p( p—a) => xỶ = pr 2 Scot =x = S.cot>
Vay AM? =S.cot > (đpcm)
C BAI TAP BE NGHI
6.1 Cho tam giác ABC có các trung tuyến xuất phát từ B và C vuông góc với
nhau Chứng minh rằng cosA > =
6.2 Cho tam giác ABC có © = Mb 21, bm
Trang 226.3 Cho tam giác ABC M là điểm trong tam giác sao cho MAB=MBC =MCA = =p Chứng minh rằng :
cotA + cotB + cotC = coto
6.4*, Cho tam giác ABC Chứng minh rằng a2+b2+c?> 4v/3§ + (b— c)” +(c— a)” + (a — ĐỘ” 6.5 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng : h, 2r > L R 6.6 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng : b+c 2V'be 6.7 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng : A)Tạ +Tp +rẹ = 4R +r 1 1 1 1 b) be + ca +35 oR 6.8* Cho tam giác ABC Chứng minh rằng : ae +b + c7 m 2(a+b+c)” trong đó R„„ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh là m„, mị, m ——> R 6.9* Cho tam giác ABC Chứng minh rằng : m,m,M, 2 2 2 m, +m, +m; 2 fr
6.10 Cho tam giác ABC có a + c = 2b Chứng minh rằng :
a-c= 3r( tan = 5 - tan] 2)" 6.11 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 ——<->+—+—<— 2Rr a2 Pe _ 4r? 6.12 Cho tam giác ABC có m, = c Chứng minh rằng : sinA = 2sin(B — C)
6.13 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Cac: tiếp tuyến với (O) tại A, C và đường thẳng BD đồng quy tại S Chứng minh rằng :
Trang 23sin ASB _ (2Ï _ (apy
sin CSB CB CD / ©
6.14 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M là một điểm trong (O) Các đường thắng MA, MB, MC theo thứ tự cắt (O) tại A', B, C Chứng minh rằng :
Sanc _ MA.MB.MC Sapc _MA.MB'.MC”
6.15 Cho tứ giác ABCD Góc giữa AC và BD bằng œ Chứng minh rằng :
Sapcp = 5 ACBD sina
6.16 Cho tứ giác với diện tích S, độ dài các cạnh là a, b, c, d Chứng minh rằng : S< 5 (ab + cd)
6.17 Xét một lục giác lồi nội tiếp ABCDEF Đường chéo BE cắt AE, AC lần lượt tạ M, N Đường chéo BD cắt CA, CE lần lượt tại P, Q Đường chéo DF cắt EC, EA lần lượt tại R, S Chứng minh rằng MQ, NR và PS đồng quy
6.18 Cho tứ giác ABCD nội tiếp Chứng minh rằng : AC.BD = AB.CD + AD.BC
6.19*, Cho tam giác ABC (A = 9Ò” nội tiếp đường tròn (O) Trên tia đối của các tia BA, CA ta lấy các điểm E, F sao cho : BE = CF = BC M là một điểm thuộc (O) Chứng minh rằng :
MA + MB + MC < EF
6.20* Cho tam giác ABC, M là một điểm trong tam giác
a) Chứng minh rằng MA.Swpc ; MB.Suca ; MC.Suap là độ dài ba cạnh của
một tam giác mà ta kí hiệu là A(MI)
b) Tìm vị trí của M sao cho diện tích tam giác A(M) lớn nhất
6.21 Cho góc nhọn xOy ; A, B là các điểm trên Ox và OA = 1 ; OB = 3 Đường tròn qua A, B B tiếp xúc với Oytt tại C Chứng minh rằng :
xOy > 30° <=> ACB <900
6.22* Cho tam giác ABC, các điểm D, E thuộc cạnh BC Đường tròn nội tiếp các
tam giác ABD, ACE tiếp xúc với BC tại M, N Chứng minh rằng :
——- 1 1 1 1
BAD = CAE > 5a + pw = GN’ EN’
Trang 24aS
§7 HỆ THUC LUOGNG TRONG DUONG TRON
A TOM TAT Li THUYET
Định lí 7.1 Cho đường tròn (O ; R) va
điểm M cố định Một đường thẳng thay đổi đi qua M, cắt đường tròn tại A, B Khi đó
MA.MB = MA.MB = MO” - R
Đại lượng không đổi MO” — RỂ gọi là
phương tích của điểm M đối với đường tròn
(O ; R), kí hiệu là fx/oy-
Khi M nằm ngoài đường tròn (O), ta vẽ được tiếp tuyến MT tới đường tròn (T là tiếp
điểm) Khi đó to = MTÊ(h.7-1)
Định lí 7.2 Tứ giác ABCD có hai
cạnh đối AB, CD cát nhau tại M Điều
kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp
được trong đường tròn là
MA.MB = MC.MD (h.7-2)
Định lí 7.3
Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC, BD
cắt nhau tại N Điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn là
NA.NC = NB.ND (h.7-3)
Hình 7-3
Định lí 7.4 (Điều kiện để đường tròn tiếp xúc với đường thẳng)
Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng, M là điểm thuộc tia đối của tia AB Điều kiện cần
và đủ để đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC — Á tiếp xúc với đường thắng MC tại C là
MA.MB =MC” (h.7-4) - | M rs
Hinh 7-4
Trang 25© ty
“40g,
B CAC VÍ DỤ
Ví dụ 7.1 Cho tam giác ABC không vuông, có các đường cao AA', BB, CC;H
là trực tâm Điểm M không thuộc các đường thắng AH, BH, CH Các đường thẳng qua
H, vuông góc với MA, MB, MC lần lượt cắt
các đường thẳng BC, CA, AB tại A¡, Bị, C¡ a) Chứng minh rằng HAHA = HBHB' = HCHC: | b) Chứng minh ba điểm A¡, B;, C¡ thẳng hàng Hình 7-5 Giải (h.7-5) a) Các tứ giác ABA'B, ACA'C nội tiếp đường tròn nên HA.HA' = HB.HB tam - HCRC, B A' CA suyra HA.HA =HBHB =HC.HC
b) Gọi A¿, B;, C; tương ứng là các giao điểm của HA;¡, HB;, HC; với MA, MB, MC; A¿, Bạ, C; lần lượt là hình chiếu của A¡, Bị, C¡ trên đường thẳng MH
Ta có HM.HA+ = HA,.HA, (vi'M, Aj, A¿, A¿ cùng thuộc đường tròn đường
kính MA)
Mặt khác, HA,.HA, = HAHA’ (vi A, A‘, Aj, A; cùng thuộc đường tròn đường kính AA,), do đó HM.HA+ = HA.HA (dd) Tương tự, HM.HB; = HB.HB ; (2) HM.HC, = HC.HC’ (3) Từ (1), (2), (3), kết hợp với câu a) suy ra HM.HA, = HM.HB; = HM.HC; => A; =B; =C;3
Vậy Ai, Bị, C¡ thẳng hàng, vì chúng cùng nằm trên đường thẳng vuông góc
với MH tai A3
Ví dụ 7.2 Cho hình thang ABCD vưông tại A và B M là trung điểm của AB
Các đường cao AH, BK của các tam giác AMD, BMC cắt nhau tại N Chứng minh
rang MN L CD
Trang 26" A D Gidi (h.7-6) Dat E = MN ACD _ {MEN = 90° Wi E Ta có 4 _ “iN MKN = 90° Ly M < = MHNK nội tiếp MNK = MHK (1) R Lại có MH.MD = MA?= MB = MK.MC
= tứ giác HKCD nội tiếp MHK = MCD (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác NKCE
nội tiếp => NEC = NKC = 90° (đpcm)
Hình 7-6
Ví dụ 7.3 Cho tam giác ABC không cân tại A ; AM, AD là trung tuyến và phân giác của tam giác Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMD cắt AB, AC tại E, F Chứng minh rằng BE = CF Giải (h.7-7) Ta có BE.BA = BM.BD {orem = CM.CD _, BE BA _ BM BD CF CA CM CD BA BD BM ica = cp’ eM! Hình 7-7 (tính chất của phân giác và trung tuyến) BE nên CF 1 => BE = CF (đpcm)
Trang 27& Ph “0g
iC BA C;B A,B B,C'C,A
Vay : AA), BB,, CC, đồng quy © AA¿, BB;, CC; đồng quy (theo định lí Xê-va) Ví dụ 7.5 Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao BB, CC' cắt nhau tại H ; BC ¬ AH =K;L là trung điểm của AH Chứng minh rằng : K là trực tâm của tam giác LBC Giải (h.7-9) Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp AABC Đặt A' = AH ¬ BC, E=AH(O) (E#A) Tacó: AB.AC = AE.AA = AH.AA () (vì A'E = AH, kết quả quen thuộc) Mặt khác, vì (A'KHA)=-1 _ nên theo hệ thức Mác-lô-ranh, AH.A'A = AK.AL (2) (vì LA =LH) Tir (1), (2) suy ra: A'B.A'C = A'K.A'L _, AB_AK AL AC => A A'BL ~ AA'KC = ALB = ACK Hình 7-9 =CK LLB | = K là trực tâm A LBC (vì LA' L BC)
Ví dụ 7.6 Cho hai đường tròn (O\),
(O2) ; AIA¿, B¡B;¿ là các tiếp tuyến chung ngoài của chúng Đường thẳng
AB; theo thứ tự cắt (O,), (O,) tai M, N
Chứng minh rằng A¡M = B,N
Giải (h.7-10) Vì A¡A; tiếp xúc với
(O2), B;B¡ tiếp xúc với (O¡)
Hình 7-10
Trang 28A,N.A,B, = A,A2 -
nên Mat khac, A,A, = B, By
nén AiN.A¡B; = BạM.B;A: Vậy A,N = BoM
=> AM = BạN
QO
Ví dụ 7.7 Cho đường tròn (O) và hai điểm AKO
A, B trên (O) X, Y là các điểm trên AB sao -
cho AX = 5 AB,AY = 2AB Đường tron (O')
qua X, Y cắt (O) tại C, D Gọi Z là giao điểm
của CD và AB Chứng minh rang ZA = ZB Đ s 4
Giải (h.7-11) Ta có ZA.ZB = ZC.ZD = ZX.ZY |
= (ZA + AX)(ŒA + AY) =(ZÃ + 2ABÌ(EA+2AB) — "471
I=~— 2-2 = ZA’ + 3ZA.AB+2AB
Suy ra ZA(ZA -ZB) + ZA.AB + AB? =0
= -ZA.AB + 3ZA.AB + 2 AB” =0
4—— 2—2 —— —ạ — —— = 3ZA.AB+2AB =0= 2ZA.AB+ AB =0= (2ZA + AB)AB =0
= 2ZA + AB =0 => ZA +ÍZA + AB) =0—= ZA + ZB =0 => ZA = ZB
Ví dụ 7.8 Cho hai đường tròn (O¡), (O¿;) cắt nhau tại A, B Một điểm M chuyển động trên (O¡) Qua M kẻ tiếp tuyến MT với (O¿;) Chứng minh rằng
MT?
MA MB nhận giá trị không đổi
Trang 29MC 0,0, 0,0, => —-= = MB OB R, (R, 1a ban kinh cia (O,)) MT? 0,0 V = 162 *°Y MAMB Rị không đổi
Ví dụ 7.9 Cho đường tròn (O) A, B là hai
điểm cố định, đối xứng với nhau qua O ; M là Hình 7-12 điểm chuyển động trên (O) ; MA, MB MB giao với
(O) tại P, Q Chứng minh rằng AM + BM AP BQ Mt
nhận giá trị không đổi
Giải (h.7-13) Đặt p = Pano) = Pao)» ta c6 AM „ BM BM AM? 4 BM? AP BQ AMAP BMBQ _ AM? +BM? _ 2(AM? +BM?) p 2p 2 2 = a khong déi
Vi dụ 7.10 Cho đường tròn (O ; R) M là một điểm nằm trong đường tròn và
Trang 30oe
Vậy giá trị lớn nhất của Supcp bằng 2R? - OM’
+ Nếu AC đi qua O thì AC lớn nhất, BD nhỏ nhất (h.7-1Š)
+ Nếu BD đi qua O thì BD lớn nhất, AC nhỏ nhất
Vậy :
S ABCD ñhO n hỏ nhất © (AC—BD)2 oe ~ Ì max => AC di qua O BD đi qua O Hinh 7-15
Tir d6, bang c4ch tinh todn cu thé ta thay gid tri nhé nhat cha Sagcp bang
2RVR2 -OM?
Ví dụ 7.11 Cho tam giác ABC nội tiếp đường
tròn (O ; R), ngoại tiếp đường tròn (I ; r) Chứng
minh rằng OI” = R” — 2Rr (hệ thức G-le)
Giải Gọi M là điểm chính giữa cung BC
(h.7-16) Dễ thấy AIBM cân tại M => IM = BM (1) Gọi H là hình chiếu của I trên AC, ta thấy IH IA = sin : Hinh 7-16 Theo định lí sin trong AABM, ta có s = sin TH BM Từ đó TA * OR = 2R.IH = IA.BM => 2Rr = IA_IM (theo (1)) => 2Rr = R? - Of > 10” = R* — 2Rr
Nhận xét Từ kết quả trên suy ra R”-2Rr>0—=R >2r
Ta lại nhận được kết quả trong VD 6.8
Ví dụ 7.12 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) ; M là điểm thay đổi
trong (O) AM, BM, CM cắt (O) tại A', B, C Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA + MB + MC _ 3
MA' MB MC' "`
Trang 31Giải Gọi R là bán kính của (O), G là trọng
tâm tam giác ABC (h.7-17) Ta thấy : MA, MB | MC MA' MB' ` MC ° MA? MB? MC? MA.MA' MB.MB' MC.MC' © MA” + MB? + MC” = 3(R? ~ MO?), |
Theo VD 5.9 đẳng thức trên tương đương với :
GA? + GB + GC? + 3GM? = GA” + GB? + GC? + 3G02 - 3MO? <> GM? + MO? = GO?
<> GMO = 90° (dinh If Py-ta-go)
<> M thuộc đường tròn đường kính GO =3 =3 Hình 7-17
Ví dụ 7.13 Cho tam giác ABC có trọng tâm G, nội tiếp đường tròn (O) M là
Trang 32a œ_ MAY MB? MC? R*-OM? R?-OM? R?2-0M? <> MA’ = MB’ = MC? MA = MB = MC M =O, Ví dụ 7.14 Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp (1) cắt trung tuyến BM tại H, K Biết rằng BH = HK = KM Chứng minh rằng T5 = a = = Giải Giả sử (D) tiếp xúc BC, CA, AB tại T, R, S (h.7-18), ta có : Hinh7-18 — 2 2 BT? = BH.BK = (s—) =2my m, = (2>) =mỆ () 2 3 b3 2 9°
Mặt khác, BS = BH.BK = MK.MH = MR? => BS = MR Két hop véi AS = AR,
suy ra AB= AM => AC=2AB> b=2c (2) _ ¬N? 2 1 a2) _ 4-2 - Từ (1) và (2) suy ra (2 2 3 = 2,26” tạ.) — 4c? a-c\ a? — = ( = = (5a — 13c) (a—c) =0 2 9 Nếu a - c = 0 thì a + c = 2c = a + c = b Mâu thuẫn do a, b, c là ba cạnh của tam giác Vậy a—c #0 Do đó 5a - 13c =0 => 1z = s a c Suy a 3 = a9 75"
Vi dụ 7.15 Cho đường thẳng A và các điểm S, A, B không thuộc A Đường
tròn (O) thay đổi, đi qua A, B và cắt A tại C, D Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD luôn thuộc một đường thẳng cố định
Trang 33Giải Gọi O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD Có hai trường hợp Xây Ta Hình 7-19 Hình 7-20
Trường hợp I : A song song với AB (h.7-19)
Ta có O' thuộc trung trực của CD, mà CD // AB nên trung trực của CD chính là trung trực của AB Vậy O' luôn thuộc một đường thẳng cố định
Trường hợp 2 : A không song song với AB (h.7-20)
Đặt E= A ¬ (AB), K = (O) ¬ (S), K # S Ta có EK.ES = EC.ED = EA.EB
suy ra EK = = (khong déi) (1)
Vì E cố định nên từ (1) suy ra K cũng cố định Vậy O' luôn thuộc một đường thẳng cố định là trung trực của KS
0 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
7.1 Cho tam giác ABC nhọn, AA', BB, CC' là các đường cao, H là trực tâm
Chứng minh rằng
AA'.AH + BB'.BH + CC.CH = 5 (BC? + CA? + AB’)
1.2.* Cho tam giác ABC cân tại A ; BD là phân giác, BD + DA = BC Chứng minh
rằng BAC = 100°
7.3 Cho đường tròn (O}) đường kính AB và một điểm C thuộc (O) ; H là hình chiếu của C trên AB, đường tròn tâm C, bán kính CH cắt (O) tại E, F Chứng minh rằng EF đi qua trung điểm của CH
Trang 34or
7.4, Cho tam gidc déu ABC cạnh a Một đường tròn cắt cạnh AB tại H, E, cắt cạnh BC tai I, G, cat canh CA tai K, E (AH < AF; BI < BG; CK < CE) Chứng
minh rằng
AH + BI + CK = AE + BF + CG
7.5 Cho duong tròn (O ; R) và điểm I cố định nằm trong đường tròn (I ¥ O) Mot
duong thang quay quanh I, cat (O) tại A và B Các tiếp tuyến của (O) tại A và
B cắt nhau tại M Chứng minh rằng M chạy trên một đường thẳng cố định 7.6 Cho ba điểm C, A, B thẳng hàng và được xắp xếp theo thứ tự đó Một đường
tròn (O) thay đổi luôn đi qua hai điểm A, B ; CM, CM' là các tiếp tuyến của (O) Chứng minh rằng : \
a) M, M luôn thuộc một đường tròn cố định
b) Trung điểm H của MM' thuộc một đường tròn cố định
7.7 Cho hai đường tròn (O), (O) tiếp xúc ngoài với nhau tại T ; AB là tiếp tuyến
chung của (O), (O) (A thuộc (O) ; B thuộc (O)) C là điểm xuyên tâm đối của A (nghĩ là AC là đường kính của (O)) Qua C, kẻ tiếp tuyến CD với (O'
Chứng minh rằng CD = CA
7.8* Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) ; M là điểm thay đổi trên cung
CD (không chứa A, B) MA, MB cắt CD tại X, Y Chứng minh rằng =
luôn nhận giá trị không đổi
7.9 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Đường thẳng A qua (O) cắt các đoạn AB, DB, AC, DC tại H, I, J, K Chứng minh rằng OH = OK khi và chỉ khi OI = OJ
7.10* Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) AC ¬ BD = I Một đường thẳng qua I, cắt các đoạn AB, CD lần lượt tại M, N, cắt (O) tại E, F, (EM < EN < EF)
Chứng minh rằng
Ly TT, IE IN IF IM
7,11 Cho đường tròn (O) ; A, B là hai điểm đối xứng với nhau qua O Một đường
thẳng quay quanh A cắt (O) tại C, D Chứng minh rằng CD” + DB + BC?
nhận giá trị không đổi
7.12 Cho tam giác ABC, trọng tâm G, nội tiếp đường tròn (O) Một đường thẳng qua G cắt (O) tại M, N Chứng minh rằng
3MNỶ = (MA? + NA”) + (MB? + NB’) + (MC? + NC)
Trang 35"104
7.13* Cho lục giác déu A,A,A3A,As5A¢ tam I, I nam trong dudng tron (O) Cac tia IA; cất (O) tại Bị (1 < ¡ < 6) Chứng minh rằng :
IB, + IB; + IB; = IB, + IB, + IBg
7.14*, Cho lục giác đều A,A,A3;A,AsAg tam I, I nim bén trong đường tròn (O ; R) Các tia IA; (1 <¡ < 6) cắt (O) tại B; (1 < ï < 6) Chứng minh rằng :
IB? + IB} + IB} + IB? + IB? + IBZ = 6R?
7,15*, Cho tam giác ABC trọng tâm G, nội tiếp đường tròn (O) GA, GB, GC theo
thứ tự cát (O) tại A¡, Bị, C¡ Chứng minh rằng :
GA¡ + GB¡ + GC;, > GA + GB + GC
7.16 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O ; R) M là một điểm không nằm trên (O) MA, MB, MC cắt (O) lần lượt tại A', B, C Chứng minh rằng :
MABC MBCA MC.AB_ MA.MBMC
BC ~ C'A' _- A'B' — IMo2 _ Rj| *
7.17 Cho đường tròn (O), hai điểm A, B cố định không thuộc (O) Đường thẳng A quay quanh A, cắt (O) tại M, N ; BM, BN cắt lại (O) tại M),N
Trang 36Chuong III
PHUGNG PHAP TOA DO TRONG MAT PHANG
§8 DUONG THANG
A TOM TAT Li THUYET
1 Phương trình tổng quát của đường thẳng có đạng
ax + by +c =0 (a +b* # 0),
trong đó ñ = (a; b) là một vectơ pháp tuyến, ï =(b; —a) là một vectơ chỉ phương Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua Mo(Xo > Yo)» Vi vectơ pháp tuyến n =(a;b) 1a
a(X — Xọ ) + b( y — yọ) = 0
2 Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm Mụ(xọ ; yọ) với vectơ
chỉ phương tư = (a; b) 1a
freee
te R y =yo t+ bt
3 Phương trình chính tắc của duéng thang di qua diém Mo(Xq ; yo), c6 vecto chỉ phuong u = (a; b), a# 0,b # O1A
X — Xo -Y=Yo
a b
4 Phương trinh dudng thang di qua Mo(Xp ; yo), c6 hé sé gdc k là Y— Yo = k(x — Xo)
5 Phuong trinh dudng thang di qua hai diém phan biét A(x, ; y;), B(X> ; y2)
(với Xị # Xz,y¡ # ya) là
Sa" 2X7" p71)
X2 —XỊI Y2 TY
6 Phương trình đường thẳng đi qua A(a ; 0) và B(0 ; b) (với a # 0,b # 0) là
~ +221 (phương trình theo đoạn chắn) b
Trang 371, Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d; : a;x + bịy + cị =0 vàd;: azx + bạy + cạ =0
a) Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi a, by #0; a2 by gy 2 os peep: [ALO b) Hai duéng thang song song khi va chi khi b,| = 0 và b c Ị _: hoặc “1 “1 +0; b, c¿ Cy ap c) Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi a; bị _ bị €C¡ _ C¡ ay =0 a bị |bạ cạ| eg ay Đặc biệt, trong trường hợp a¿, ba, cạ đều khác 0, ta có | a b — 3,1 d,,d,catnhau <> J:*2 a, bạ ; a b c dj//dgo +=; 19: a by cy a b c = 1 tl 71 42 by C2
Chú ý Nếu hai đường thẳng có phương trình dưới đạng hệ số góc dị: y =aIX +bị, dy: y =a)x +b, thi ed, va d, cat nhau khi và chỉ khi ay # a
e dị và d; song song khi và chỉ khi a; = a9, b, # bp e dị và d; vuông góc khi và chỉ khi a¡a; = — |
Trang 38hr gs 3 ge được tính bởi công thức COsỌ =——=—==———=<“— Ja? + b? fa? + b? B CAC vi DU | " Vi du 8.1 Viết phương trình đường thang di qua hai điểm phân biệt A(x, ; y¡) và BQ¿; y›) Giải
~ Nếu xị = x¿ thì phương trình đường thẳng AB là x — x; = 0 (h.8-La) - Nếu y¡ = y¿ thì phương trình đường thẳng AB là y - y¡ =0 (h.8-1b) y yA y B A A yi B M Xị X , » ~ O x O x O x B A a) b) c) Hinh 8-1
— Xét trường hợp x, # X5, y; # yo Tacé M(x; y) thuộc đường thẳng AB khi
và chỉ khi các vectơ AM và AB cùng phương (h.8-1c)
AM=(&-X¡;y—ÿy¡), AB = (X¿ — XỊ;Y2 — VỊ)
AM / AB @ 21) = 24> (*)
X27X 27M
Đây chính là phương trình của đường thẳng AB
Lưu ý Phương trình dạng (*) thường xuyên được sử dụng trong các bài
toán viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm Dễ dàng biến đổi nó về dạng
tổng quát "
Trong chương này, khi yêu cầu viế? phương trình đường thẳng, ta hiểu là phương trình phải được viết dưới dạng tổng quát
Trang 39orn “0g,
ẹ
Vi du 8.2 Trong mặt phẳng toạ độ cho tam giác ABC với A = (1; —1), B= (-2; 1), C = (3 ; 5) Viét phuong trinh cdc đường thẳng chứa trung tuyến, đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC
Giải Gọi M là trung điểm đoạn thẳng BC (h.8-2), 1 A ta acó M có =/—;3], Ẹ ; 3] Phương trình đường thẳng AM là x-l_ y+l _ To “3i ® 8x+y—-7=0 2 Đường thẳng chứa đường cao AHcóvecơ B HM C pháp tuyến là BC = (5;4) => phương trình Hình 8-2 đường thẳng AH có dạng 5x + 4y + c =0 Vì A e AHhnên 5.1 +4(—1)+c=0 — c=-—1
Vậy phương trình đường thẳng AH là 5x + 4y — 1 =0
Ví dụ 8.3 Viết phương trình các đường phân giác trong và phân giác ngoài
của tam giác ABC, biết A = (2; 6), B = (-3; — 4), C= (5 ; 0) Tim toa d6 tam đường tròn nội tiếp tam giác ABC
AB = (-5; — 10) _, [AB = v125 = sv5
AC = (3; —6) AC = 445 = 34/5
M(x ; y) thuộc phân giác trong của góc A khi và chỉ khi
Trang 40N thuộc phân giác ngoài của góc A khi và chỉ khi cos(AB, AN) =— cos(AC,AN)
Từ đó tìm được phương trình đường phân giác ngoài của góc A là y = 6 Nhận xét
1 Các đường phân giác trong và ngoài kẻ từ một đỉnh của tam giác vuông góc với nhau Dựa vào tính chất này, ta có thể viết ngay được phương trình đường phân
giác ngoài của góc A là y = 6, phương trình đường phân giác ngoài của góc B là x+y+7=0
2 Ngoài cách giải trên đây, bạn đọc còn có thể giải bằng các cách khác như sau Cách 2 Viết phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường
thang AB và AC Nếu B, C nằm về hơi phía (một phía) của một trong hai đường phân giác đó thì đường này là phân giác trong (phân giác ngoài) của góc A, và tất nhiên đường phân giác còn lại là phân giác ngoài (phân giác trong) của góc A
Cách 3 Dựa vào nhận xét : M thuộc phân giác trong của góc A khi và chỉ khi > ol
vectơ AM cùng phương với vectơ AB + AC M thuộc phân giác ngoài của góc
laBl lacl
A khi va chi khi vecto AM cing phuong véi vecto AB _ AC
[asl [Aci
Ví dụ 8.4 Viết phương trình các cạnh” của tam giác ABC, biết A = (1 ; 2) và
phương trình hai đường trung tuyến là 2x - y + I =0 và x + 3y - 3 =0 Giải
Dễ thấy đỉnh A không thuộc hai trung tuyến đã cho, vì toạ độ của nó không thoả mãn phương trình của hai trung tuyến Gọi B, C' lần lượt là trung điểm của AC, AB
Giả sử (BB) : 2x — y + 1 =0, (CC) : x + 3y — 3 =0
Dat C = (Xọ ; yọ) Vì C e (CC) nên xạ + 3yạ — 3 =0 (1)
XA†+Xc _l+Xo _ YA tYyc _ 2+Vp Vì Be (BB am Ye = =—— i Be (BB) Ta lại có xp = nén 14x) - 24% 41=0 > 2X — yo + 2 = 0 (2) Giải hệ gồm (1) va (2) tim 2 3 8 ` 4 1) v4,
được toạ độ C = “Fim |: Tương tự tìm được B = “Zita từ đó áp dụng
(*) Để cho gọn, ta nói "phương trình cạnh AB" thay cho "phương trình đường thẳng chứa cạnh AB”