Ví dụ 11.4 Cho hypebol (H) : xy =k Các điểm A, B, C thuộc (H) Các đường thẳng BC, CA, AB cắt trục hồnh lần lượt tại A', B, C Các đường thẳng
AA› Ấp, Ác theo thứ tự qua A', B, C, vuơng gĩc với BC, CA, AB Chứng minh rằng AA ,Ap,Ac đồng quy
Gidi Giésit A=(a;*);B=(b:£):c=(c;4),
b yk „ ,X-C_ C Ta cĩ BC : b-c k_k b ic
Vì A'=BCn xOx nên A'=(b+c; 0)
Ta cĩ BC = =b; :< - 4 = (« —=b;- == 2) suy ra vecto chi phương của đường thẳng BC là (bc ; — k)
Chú ý rằng A„ qua A', vuơng gĩc với đường thẳng BC nên ta cĩ A, : be(x -(b+c))— ky = 0
abc
K3
Tương tự ta cĩ Áp, Ac cũng đi qua L.Vậy Aa ,Ap,Ac đồng quy (tai L) Dé thay A, di qua diém L(a+b+c;
x2
Ví dụ 11.5 Cho elip Œ: + _- = 1 (a>b) Đường thẳng A thay đổi vuơng gĩc
với x'Ox cắt (E) tai M, N Aica ; 0), Aa(a ; 0) là các đỉnh của (E), K = A¡iM ¬ AzN Chứng minh rằng K thay đổi trên một hypebol Viết phương trình hypebol đĩ Giới (h.1 1-5)
Giả sử M= (xụ ;YVw) = N= (Xyi—yy) |
M
Cc dudng thang A|M, A,N cĩ K
phương trình -
_ _ A Ar X
AM: x O-y 1 © 2
~a—Xm_ Ủ—YM
0 N
AN: ———= a-Xm —(Cy) —
M M Hình 11-5
162
Trang 2Từ đĩ với chú ý rằng K = AM A2N ta cĩ
atXk _ YK 1 XK
a+XM Ym - a = XK _ YK a? YK
atx ~WK |A“-Xu My MYM
8—XM ỲM a7 ¡— Xk ay 2 2 2 án nh YM b2 YM a iG 2 2 2 2 = 1-*kK -_%K — Xk _YK Ly a’ bể ab? x? y2 = K thuộc hypebol (H) cĩ phương trình 22g =1
a x2? y2
Ví dụ 11.6 Cho hypebol (H) : zz Hl với các tiêu điểm F¡(-c ; 0),
ay b
F,(c ; 0) và cho đường trịn (C) : x* + y* = a”, A Ja mot trong hai tiệm cận của (H), 2 8 8
A cat (C) tai Ey, Ey (xg, < 0,xg > 0) Một đường thẳng song song với trục tung
cắt (H) tại M và cắt A tai N Chiing minh rang NE, = MF, ; NE, = MF> Gidi
Khơng mất tính tổng quát, giả sử A : y = - va Xy <O (h.11-6) Xét A,(-a; 0), L € AvaLA, // y'Oy Tacé:
L=(-a;b) => OL = Va2 +b? =c Dat e =(i; ON) = (7; OL) Ta cĩ
NE, = ON - OF, = ——-a
cos@
~_*M _,.*M_,
cos(i ;OL) XÁI OL
Hinh 11-6
Trang 3
TC
gà
Mặt khác MA > MB nên điểm M(x ; y) phải thoả man x 2 0
Ta cĩ MBỸ = (x - 2)” + y', AB= 4, AO =2
Theo tính chất đường phân giác ta cĩ :
MB _IM_ Xo [x-a ty? = AB IA~AO™ (x —2)° +y~ =2x
exact dry ade 3x t4x4 Z-y? ="
oo 2x42) 3 a1 | œ0
Đặt x2 =X,y=Y, 1= [2 0), SH = bỶ thì (1) cĩ dạng
0-1 (2)
Trong hệ toạ độ JXY, (2) 1a phuong trinh chinh tac cha mét hypebol (H) Vì X >0 nên M thuộc nhánh phải của (H)
Ta cĩ cỄ = aể + bỂ = S = cai
Trong hệ toạ độ JXY, tiêu điểm phải của (H) cĩ toạ độ (§ ; 0), do đĩ trong hệ toạ độ Oxy tiêu điểm phải của (H) là (2 ; 0), chính là điểm B
Ví dụ 11.9 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, chứng minh rằng mỗi đường cong cĩ phương trình xác định như sau là một hypebol Tìm độ dài trục thực, trục ảo, tiêu cự, tâm sai, toạ độ các tiêu điểm và phương trình các tiệm cận của hypebol đĩ
a) (H,) : 5x” — 3y” ~ 10x + 12y - 22 =0; b) (H;): xy - 5x - 2y+9=0 Giải _ 12 _ 92 a) M(sy) e (Hị) © — GT at x=l+X Z `
Đặt , I=(1;2) Trong hệ toạ độ XY, (H¡) cĩ phương trình
y=2+Y cĩ
x? y? 3.5
Trang 4Vậy (H¡) là một hypebol cĩ độ dài trục thực bằng 2A3, độ dài trục ảo bằng
245, tiêu cự bằng 4/2, tâm sai bằng 22, các tiêu điểm (trong hệ Oxy) là
5
+ E(x=D
—242;2), a WF: 2), phương trình các tiệm cận y ~ 2 =
hay y = Bx +2- 8, y= x24 8
b) M(x; y) € (H,) © (x-— 2)(y - 5) = l
Đặt ( - : : v I= (2; 5) Trong hệ toạ độ IXY, (H¿) cĩ phương trình XY = I,
do đĩ (H;) là một hypebol cĩ độ dài trục thực bằng 22, độ dài trục ảo bằng 2A2, tiêu cự bằng 4, tâm sai bằng ^/2, các tiêu điểm (trong hệ toạ độ Oxy) là
(2-42 ;5-42),(2+2 ;5+A/2), phương trình các tiệm cận là x = 2 và y = 5
C BAI TAP ĐỀ NGHỊ
11.1 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường trịn (I) thay đổi và cắt x'Ox
tại M,N; cắt y'Oy tại P, Q sao cho MN = 2a, PQ = 2b (a, b là hai số dương
cho trước, a # b) Tìm quỹ tích các điểm I
11.2 Trên mặt phẳng Oxy cho diém A(aj; a9), (aj, a2 # 0)
Đường thẳng A quay xung quanh A, cắt x'Ox, y'Oy tương ứng tại X, Y
Chứng minh rằng trung điểm M của XY chạy trên một t hypebol Hãy viết phương trình của hypebol đĩ
2 2
11.3 Cho hypebol (H) : = - a =1, Me(H).N,P' thuộc các tiệm cận sao cho a
MNOP là hình bình hành Ching minh ring Synop = 2
x2 y2
11.4 Cho hypebol (H) : —=— b2 = l và đường thẳng A khơng song song với các
a ‹
tiệm cận của (H) M chạy trên (H) Đường thẳng qua M, song song với A cắt
Trang 52 2
11.5 Cho hypebol (H) : = - i = I, tiêu điểm F(c ; 0), dinh A(a ; 0), các tiệm
a
b
b 2
can A: y= aX A2:Y = _ Đường thăng qua A, vuơng gĩc với x'Ox cắt Ai; A; tại P, Q Đường thẳng qua F, vuơng gĩc với x'Ox, cắt A, và (H) tại
M, N (yy > 0) Chứng minh rằng MN bằng bán kính đường trịn nội tiếp
tam giác OPQ
11.6 Cho tam giác ABC cĩ ba đỉnh thuộc (H) : xy = l Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC cũng thuộc (H)
11.7 Cho hypebol (H) : xy = I Tìm các điểm A, B trên hai nhánh của (H) sao cho độ dài AB nhỏ nhất
11.8 Cho hypebol (H) : x? - y” = 1 và đường thẳng A : 5x —3y —I =0,
Tìm M e (H) sao cho khoảng cách từ M đến A nhỏ nhất
_11,9, Chứng minh rằng, mỗi đường cong cĩ phương trình xác định như sau là một hypebol Tìm độ dài trục thực, trục ảo, tiêu cự, tâm sai, các tiêu điểm và phương trình các đường tiệm cận của mỗi hypebol đĩ :
a) 6x” — 4y? + 24x + 40y - 52 =0;
b) xy + 4x - 3y -11= 0
§12 PARABOL A TOM TAT Li THUYET
¡ - ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN
1 Định nghĩa
Cho điểm F cố định và đường thẳng A cố định khơng đi qua F Tập hợp
(P) = {M:ME =d(M; A)}
được gọi là mét parabol F được gọi là ứiêu điểm, A được gọi là đường chuẩn của parabol (P)
Trang 6Khoảng cách d(F ; A) = p được gọi là
tham số tiêu của (P) Gọi H là hình chiếu của E P
trên A Trung điểm O của HF được gọi là đỉnh
của (P) (h.12-1) |
HỊO
2 Định lí cơ bản
Cho parabol (P) với tiêu điểm F, đường chuẩn A, tham số tiêu p Lap hệ toa do Oxy
P
sao cho F= (2 ; 0) Khi đĩ Hình 12-1
M(x; y)e(P)© y” =2px (1)
Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của (P) -
Nhận xét Khi (P) cĩ dạng chính tắc, với mọi M(x ; y) e (P) ta cĩ
MF =x+ Z-
ya
Đoạn ME được gọi là bán kính qua Pe :
tiêu của điểm M
Chú ý Ngồi dạng chính tắc, parabol
cịn cĩ những phương trình dạng khác :
2 F fo [2 x
se y“ = -2px (p > 0) Khi đĩ, ;
tiêu điểm là r-(-2 :0), đường chuẩn
A: x=2 (h.12-2) ` 2 `" Hình 12-2
°x”= 2py (p >0) Khi đĩ, tiêu điểm F -[0 ; 2), đường chudn y = mĩ
= —2py (p > 0) Khi đĩ tiêu điểm là E= (0 -P), đường chuẩn y = s
II - HÌNH DẠNG CỦA PARABOL
1 Tính đối xứng
Parabol nhận đường thẳng đi qua tiêu điểm, vuơng gĩc với đường chuẩn làm trục đối xứng
Trang 72 Một tính chất khác
Parabol nằm trong nửa mặt phẳng khơng chứa đường chuẩn mà bờ là đường thẳng qua đỉnh, song song với đường chuẩn của parabol
B CAC Vi DU |
Ví du.12.1 Cho dudng tron (I; R) va diém A thudc (1), d IA tiép tuyén véi (1) tại A,.M là một điểm nằm ngồi (1) Gọi H là hình chiếu của M trên d Từ M kẻ tới () tiếp tuyến MT Khi M thay đổi sao cho MH = MT, hãy chứng minh rằng :
a) M chạy trên một parabol cố định ; |
b) Các đường trịn (M ; MT) luơn tiếp xúc với một đường trịn cố định
Giải
a) Lập hệ trục toạ độ Oxy sao cho O = A, I = (R ; 0) (h 12- -3)
Ta c6 IM? = MT’ + IT’ = MH? + IT”
ya © (Xu ~ R)” + (yy - 0)" = x2, +R? c© Vận = 2Rxm K M | mỊ
Vậy M thuộc parabol (P) cĩ phương trình [a T
yˆ=2Rx
b) Parabol (P) cĩ tham số tiêu là R, tiêu A
diém F5: 0), đường chuẩn A : x = ` 0 F I x
Gọi K là hình chiếu của M trên A, ta cĩ |
R Al d
MF — MT = MK - MH = KH = — Hinh 12-3
=> MF =MT+ R suy ra đường trịn (M ; MT) luơn tiếp xúc với đường trịn
H8 Ví dụ 12.2 Cho parabol (P) : y = 2x và điểm A(2 ; 1) Điểm M chạy trên (P),
N là trung điểm của AM Chứng minh rằng N chạy trên một parabol cố định Hãy xác định tiêu điểm và đường chuẩn của parabol đĩ
Giải
Cách I (h.12-4) Parabol (P) cĩ tiêu điểm F5 ; 0), đường chuẩn A : x= —~
Trang 8Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và M trên A, Fï & 1) là trung điểm của AF
Gọi E là trung điểm của AK, suy ra đường
thẳng A' qua E, vuơng gĩc với Ox là đường
trung trực của HA, A' cĩ phương trình x = > Vi NF' = 2ME, NE= 2MK, mà MF =MK
nên NF' = NE Như vậy N cách đều điểm F' và Hình 12-4
đường thẳng A', do đĩ N thuộc parabol cĩ tiêu - điểm F' và đường chuẩn A'
Cách 2 Ta cĩ Xụ = “AM
+
Yn -YATYM sa => YM = 2YN — 1
Vì M e (Œ) nên yy, =2xy <> (2yy - 1)? = 4(xy— 1)
Vậy N thuộc dudng cong (P’) cé phuong trinh (2y — 1)’ = 4(x - 1) => XM = 2XN — 2; 1 2 hay (y-z) =x-l (*) 1 Dat y=a+Y " 1-(1:4) x=l+X,
Trong hệ toạ độ IXY, (*) cĩ dạng Y’ = X, đĩ là một parabol cĩ tiêu điểm (4 ; 0), đường chuẩn X = Ta: Vậy (P) là một parabol và trong hệ toạ độ Oxy cĩ
; 51
iéu diém F' = tiéu diém lễ: 435
Lưu ý Bằng phép đổi toa dé
Ẳ = Xo + xX
5), đường chuẩn A' : x = =
y=YotY,
trong hệ trục IXY với I = (xq ; yọ) phương trình (y — Yo)” = 2p(x — Xg) c6 dang Y’ = 2pX Đĩ là phương trình chính tắc của một parabol
Một cách tổng quát, các đường cong cĩ phương trình dạng (y + a)’ = 2p(x + B) hoặc (x + a)? = 2p(y + B) (p #0) déu 1a những parabol
Trang 9ea
về
Ví dụ 12.3 Cho parabol (P) : y = 4x và đường thẳng A : 4x + 3y + 12 = 0 a) Chứng minh rằng A và (P) khơng cĩ điểm chung
b) Tìm trên (P) điểm M sao cho khoảng cách từ M đến A là nhỏ nhất Tính khoảng cách nhỏ nhất đĩ Gidi (h.12-5) a) Xét hé phuong trinh ya y* =4x 4x+3y+12=0 1 K3 ! > 2 =4 1 O X a ly 74% (l) N M y?+3y+12=0 (2) S
Dễ thấy phương trình (2) vơ nghiệm, `
do đĩ hệ đang xét vơ nghiệm A
Vay A và (P) khơng cĩ điểm chung Hình 12-5 b) Khoảng cách từ M e (P) đến A là
2
YM
|&xw +3Yyw +12|_ ‹ + T3YM +1
d(M ; A)= 5 5
3) 39
= M12) + „39:
5 ~ 20
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi yụ =—5 tương ứng cĩ Xụ == Vay diém
^ ` ` 9 3 2 z 7 “ ` ^“ > 39
cần tìm là M= 162) khoảng cách nhỏ nhất từ M e (P) đến A bằng 20:
y|
Vi du 12.4 Cho parabol (P) : y = 2px,
A là điểm trên tia Ox Đường thẳng qua A, vuơng
gĩc với Ox cắt (P) tại D ; B, C thuộc nhánh chứa D của (P) sao cho DAB = DAC (h.12-6)
Biết rằng 4AD” = 3AB.AC, tính gĩc BAC
Giải -
Gọi E là điểm đối xứng của B qua Ox, ta cĩ E, A, C
thẳng hàng Gọi œ là gĩc giữa đường thẳng EC và trục Ox, A = (a; 0) Phương trình đường thẳng EC cĩ dạng
Hình 12-6
Trang 10y =k(x—a),k #0
Khi d6 xz, xẹ là các nghiệm của phương trình k(x - a)” = 2px <> k?x” ~ (2ak? + 2p)x + kˆa” = 0 Theo định lí Vi-ét ta cĩ ka” =a“= 2 2 =Xã, 2 XpXc = k2 về về (và 2
suy ra E.c=| CÐ | = HE.KC = ADí (H, K lần lượt là hình chiếu của
2p 2p \2p
B, C trén Ox)
Từ đĩ, với chú ý rằng 4ADỶ =3AB.AC, suy ra
_ HE KC 3 2„ 3
4HE.KC = 3.AB.AC > AE AC 4 > sin“ a= 0= 60°
Vay BAC = 180° - 20 = 60°
Nhận xét Khi cát tuyến EAC quay xung quanh A,
+ Tích các khoảng cách từ E và C đến trục tung là một đại lượng khơng đổi,
bang x4
+ Tích các khoảng cách từ E, C tới trục hồnh là một đại lượng khơng đổi,
_ bằng Và
Ví dụ 12.5 Cho parabol (P) : y” = 2px,
tiêu điểm F Các đường thẳng Ai, A; qua F,
vuơng gĩc với nhau A¡ cắt (P) tại M,N ; A;¿ cắt (P) tại P, Q Chứng minh rằng
2 Khi nào xảy ra đẳng thức ?
Giải (h.12-7) Al
pat (i, FM) =a _ Hình 12-7
Gọi H là hình chiếu của M trên Ox-; M, K,N lần lượt là hình chiếu của M, F, N trên đường chuẩn A
Trang 11
= FM=——F— l—cosơ
Pp _P
Tương tự, ta cĩ FN = =
1—cos(180®—œ) l+€c0sơ
Do đĩ MN=ME+EN= l-cosœ l+cOSŒ sin7œ —P—+_——P —=—P_
Ta lại cĩ (i, FP) = a + 90° (cé thé xem nhu thé vi vai trị của P, Q như nhau) Biến đổi tương tự, ta được
PQ = _ h—= T sin“(œ+00”) cos“œ
2 2
Từ đĩ Swpng = 5MN.PQ = — TP —> 2p =8p
sin” œcos“Œ- (sin2œ+cos2œ} 4
Đẳng thức xây ra khi và chỉ khi sin“œ = cos”œ œ> tgœ = + «> œ = 45” hoặc
a = 135°
Nhận xét Từ chứng minh trên ta cịn cĩ kết qua
1 1 2
FM + EN = P Khong đổi
Ví dụ 12.6 Cho parabol (P) : y = x? và dudng thing d, : y = k(x — 3) + 5
a) Tim k dé d, cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B
b) Tìm k sao cho đường trịn đường kính AB đi qua điểm C( ; 1)
Giải a) Xét hệ phương trình yA y=x y=k(x-3)+5 pea (1) B = › 2 y=x (2) | A 1 C
Đường thẳng dụ cắt (P) tai hai điểm Z > ——+
phân biệt khi và chỉ khi (1) cĩ hai
nghiệm phân biệt
© kỸ ~ 4(3k - 5) >0 Hình 12-8
Trang 12© kỸ ~ 12k + 20 >0
k>10 k <2
b) (h.12-8) Giả sử d, cat (P) tai hai diém phân biệt A, B thì x A> Xp 1a hai
nghiệm của (1) Đường trịn đường kính AB di qua C(2 ; 1) khi va chi khi
ACB = 90° = CA.CB =0
(xq —2) (xg-2) + (ya — I(yg- =0 |
â XAXĐp 2(XA + Xp) + 4 + YAYg — (YA + Yg)+ =0
© XAXg — 2(XA + Xg)+ 4+ xÄxã —(xà +x4} +1=0
€ XAXg — 2(XA + Xg) + 4+ (XAXg)” — (XẠ + Xg)” + 2XAXpg + 1=0
© (3k - 5)” — k” + 3(3k — 5) — 2k + 5 =0 © 8k — 23k + 15 =0
k=l
= k=— 15
8
Cả hai giá trị này thoả mãn điều kiện k < 2 Vậy cĩ hai giá trị cần tìm của k là
` 15
k=lvàk= 3
Ví dụ 12.7 Trong mặt phẳng toa d6 Oxy cho đường trịn (C) : x? + yŸ =4 và điểm A(2 ; 0) Điểm M chạy trên (C) và yụ, # 0, H là hình chiếu của M trên trục Oy, K là giao điểm của OM và AH Chứng minh rằng K luơn thuộc một parabol cố định Hãy viết phương trình, tìm toạ độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol đĩ
Giải (h.12-9) TS yA
Vì Ox là trục đối xứng của (C) nên ta chỉ cần xét trường hop yx, > 0
Đặt (i, OM) = Œ, ta cĩ
M = (2cosa ; 2sina), H = (0 ; 2sina)
Phương trình đường thắng OM là y = (tanœ)x
hay xsina — ycosa = 0
Trang 13or"
Toa độ của K là nghiệm của hệ
_ 2cosa xsina—ycosa =0 x= 1+cosa xsina+y—2sina =0 _ 2sina Ÿ“T+eosœ - 2 2
Ta cĩ y2 _ 4sin“ œ x= 4( - cos ©) _ 4(1 — cosa)
(1 + cosa) (1 + cosa) 1+ cosa
= xa =4— 4x =-4(x — l) 1+cosa
Như vậy K chạy trên đường cong (P) cĩ phương trình y =—4(x - 1) =l+X
Đặt ( y Trong hệ toạ độ IXY, với I = (1 ; 0), (P) cĩ phương trình
y=
Y? = -4X Đĩ là phương trình của parabol (P) với tiêu điểm (—l1 ; 0) và đường
chuẩn X = I (trong hệ IXY) Tĩm lại, K thuộc parabol (P) : N = —4(x — 1) cé tiêu
điểm trong hệ Oxy là O(0 ; 0) và đường chuẩn x = 2
Ví dụ 12.8 Cho parabol (P) : yŸ = 2px
Trên (P) lấy ba diém A, B, C tuy y Goi Aj, B,, C, theo thứ tự là trung điểm các cạnh BC, CA,
AB Qua A¡, Bị, C¡ kể các đường thẳng song
song với Ox, chúng cat (P) lần lượt tai A>, By, C¿
Chứng minh rằng SẠ_s.c„ =gSAsc: Giới (h.12-10) Ta cĩ 2_— 2
AB=(xp —XẠ ca =vA)=| “ya-¥a]
2.2
AC = (Xe — Xa Yo — Ya) LẺ vực _va } Theo kết quả VD 5.28 ta cĩ
S _ 1y —vÃ)Œe =vA)_ (yễ=yÄ)s ~A)} ABC = 2| 2p ap |
1
= 2plỞn +YA)(Yg —YA)Œc —YA)~c +YA)Œc —YA)(yg —YA )|
Trang 14SOG
1
= apie —Yc)(Œc —YA)(YA —Ya)|- (*)
+
Theo giả thiết, yA, =YA, = YB 5 > Ys =YB,= =7c—tA,
Ye, =Yc, =2ASB, do dé, theo (*) cĩ
1
SAzBaC; = ple, —YC;)Wc; —YA„)(WA; —YB; )
_ l|yc-Yg YA-Yc Ys-YA|
4p| 2 2 2
il
~ 3 2gln = YcXWc —YA)(YA —Yb)|
l
= gSanc-
Vi du 12.9 Trong mặt phẳng toa d6 Oxy, cho đường cong (P) cĩ phương t trình 16x" + 9y* + 24xy — 56x + 108y + 124 =0
Chứng minh rằng (P) là một parabol Tìm toạ độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol đĩ
Giải
Ta cĩ M(x ; y) e (P) khi và chỉ khi 16x” + 9y” + 24xy — 56x + 108y + 124 =0 > 25(x? + y* 2x + 4y + 5) = 9x” + lồy” — 24xy + 6x —8y + I
2
-©@@œ~D?+(y+2)= =
<> MF’ = d”(M; A)
©MF=d(M; A)
trong đĩ F = (1 ; -2), A là đường thẳng cĩ phương trình 3x — 4y + I =0 Vậy (P) là parabol với tiêu điểm F(1 ; -2), đường chuẩn A : 3x - 4y + 1 =0
6 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
12.1 Cho đường trịn (S ; R) và điểm A e (S), d là tiếp tuyến với (S) tại A Điểm M chạy trên d (M £ A) Từ M kẻ tới (S) tiếp tuyến MT, (N) là đường trịn đi qua T, tiếp xúc với d tại M Chứng minh rằng
Trang 15Chương IV
CÁC CHUYÊN ĐỂ
§13 TÍCH NGỒI CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG đ LÍ THUYẾT
I~ ĐỊNH NGHĨA, QUY ƯỚC
1 Nhắc lại một số thuật ngữ và kí hiệu
Thuật ngữ gĩc (gĩc lượng giác) là cách nĩi ngắn gọn thay cho cách nĩi đầy đủ của thuật ngữ gĩc giữa hai tia (gĩc lượng giác giữa hai tia) Trong mục này, để tránh nhầm lẫn, ta khơng dùng cách nĩi ngắn gọn mà dùng cách nĩi đây đủ : gĩc giữa hai tia, gĩc lượng giác giữa hai tia Trước khi làm quen với khái niệm gĩc lượng giác giữa hai tia, ta đã biết khái niệm gĩc giữa hai tia Trong mục này, ta sẽ xem xét kí hơn mối quan hệ giữa hai loại gĩc này
— Cĩ rất nhiều gĩc lượng giác giữa hai tia Ox, Oy (Ox là tia đầu, Oy là tia cuối) và chúng cùng được kí hiệu là (Ox, Oy) Trong các gĩc lượng giác giữa hai tia (Ox, Oy), cĩ và chỉ cĩ duy nhất một gĩc cĩ số đo lớn hơn —1807 và nhỏ hơn hoặc bằng 180”, và hơn thế, số đo này cĩ giá trị tuyệt đối bằng số đo của gĩc giữa
hai tia Ox, Oy : xOy :
~ Với mỗi gĩc lượng giác giữa hai tia (Ox, Oy), cĩ một và chỉ một số nguyên
k sao cho sd(Ox, Oy) = sđxOy + k360° hoặc sđ(Ox, Oy) = -sdxOy + k360° Nhờ
nhận xét trên, người ta chứng minh được hệ thức Sa-lơ về số đo của các gĩc lượng giác giữa hai tia : sd(Ox, Oy) = sd(Ox, Oz) + sd (Oz, Oy) + k360°, trong hé thức này số nguyên k hồn tồn xác định nếu số đo của các gĩc lượng giác giữa hai tia (Ox, Oy), (Ox, Oz), (Oz, Oy) da xac dinh
2 Dinh nghia
Nhờ khái niệm gĩc giữa hai tia, khái niệm gĩc lượng giác giữa hai tia, khái niệm gĩc giữa hai vectơ, khái niệm gĩc lượng giác giữa hai vectơ được định nghĩa như sau :
- Gĩc giữa hai vecto 8,b là gĩc giữa hai tia Ox, Oy theo thứ tự cùng hướng với ä,b Vì gĩc giữa hai tia Ox, Oy được kí hiệu bằng hai cách : xOy hoặc yOx nên gĩc giữa hai vectơ ä,b cũng được kí hiệu bằng hai cách : (a,b) hoặc (6,2)
178
Trang 16we
— Géc lượng giác giữa hai vectơ ä,b (ä là vectơ đầu, b là vectơ cuối) là gĩc lượng giác giữa hai tia Ox, Oy (Ox là tia đầu, Oy là tia cuối) theo thứ tự cùng hướng với ä,b Vì gĩc lượng giác giữa hai tia Ox, Oy được kí hiệu chỉ bằng một cách : (Ox, Oy) nên gĩc giữa hai vectơ a,b cũng được kí hiệu chỉ bằng một cách :
(s,8) | |
— Cĩ một điều tế nhị cần lưu ý, trên mặt phẳng khơng định hướng, kí hiệu
(5,b) chỉ gĩc giữa hai vectơ a,b, cịn trên mặt phẳng định hướng, kí hiệu (a,b) chỉ gĩc lượng giác giữa hai vectơ a,b Vì vậy, kí hiệu (a,b) luơn chỉ mang một ý nghĩa Do đĩ, khơng bao giờ cĩ sự nhầm lẫn
— Từ hệ thức Sa-lơ về số đo của các gĩc lượng giác giữa hai tia, dễ dàng suy ra hệ thức Sa-lơ về số đo của các gĩc lượng giác giữa hai vectơ
sđ(3,b) = sd(@,2) + sđ(€,b) + k360° Để cho đơn giản, hệ thức Sa-lơ về số đo của
các gĩc lượng giác giữa hai vectơ thường được viết như sau :
(5,B)= (8,#)+(e,B) + k360°
_3 Quy ước
Trong mục này, mặt phẳng luơn được coi là đã định hướng theo nghĩa thơng thường, hướng dương là hướng ngược chiều với chiều quay của kim đồng hồ, hướng âm là hướng cùng chiều với chiều quay của kim đồng hồ Đương nhiên, kí hiệu (X,ÿ) chỉ gĩc lượng giác giữa hai vectơ X, ÿ
II - ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH NGỒI
1 Định nghĩa
Tích ngồi của hai vectơ ä,b kí hiệu là ẩA b là một số, được xác định như sau :
¬ =0 ~
Nếu |Ê | thì ä.A B =0 b=0
“ a # 0 F oOo 7 ¬l1l7l : oT
Nếu 4_„, _ thì ä A b =|ällBlsin (8, B)
bz0
Từ định nghĩa trên ta cĩ ngay hệ quả hiển nhiên :
a//b 2 aAb =0
Trang 172 Tính chất
a) Biểu diễn toạ độ của tích ngồi
Để cĩ thể chứng minh được các tính chất của tích ngồi, trước hết ta chứng
minh định lí sau °
Định lí 13.1 Trên mặt phẳng toạ độ cho hai vecto 4(x,; y, ), B(x, > ¥2) Khi dé ẩAb = X1Ÿÿ2 ~ X2Y\-
Chứng minh (h.13-1) Lấy hai điểm A, B sao cho OA = ä ; OB = b Lấy điểm
A’ sao cho
(04,0A') = 90° y
bai - bai a | 2
Dat a' = OA’ Ta cé A
(a,b) = @,a) + (a,b) +k,360° 0 x
= 90° + (a,b) +k,360° Hồn Ha
=> sin (a,b) = cos(a‘,b) (1)
Mặt khác,
(i,a') = (1,4) + Ga’) +k,360° = (1,2) + 90° + k4360°
lalcos(i,a") = -lalsin(i,a) = —YI
a sin(i,a’) = |alcos(i,2) = X
=> al = (-y, 3x) (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
ä^b=lällbl sin(3,b) = la|lblcos(ạ,b) =ab= (-y1 3 Xy)(Xo 3 Yo) = Xo — Xay Nhận xét (2) sẽ dugc chimg minh don gian hon néu ta ding phép quay vecto b) Tính chất Tích ngồi của hai vectơ cĩ ba tính chất cơ bản sau đây :
)äAb=-bAä (phản giao hốn) ;
ii) äA(B+)=ABb+ä A é (phân phối) ; iii) (ka) A (Jb) = (k/\(2 A b)
Trang 18Ching minh
=
i) FAb= lallél sin (2,6) = _lollal sin (6,2) =—-b aa
ii) Gid str A(x, ; y,),b(X 3 y2),€(X3 3 y3), ta cd
dA (b+ E) = (ys yp) A Xp + X35 Yo + Ya) = XI Y2 + Y3) — (X; + X.)Y)
= (X1Yo — Xoy1) + (X1Y3 — XaYy4)= ẩ ^ b+ẩA€
iii) Giả sử ẩ@Œ ; yị),ÐŒ%; ; y2), ta cĩ -
(ka) A (Ib) = (xạ, ky,) A (Ea, Ly) = kixyy — kixgy,
= ki(x yz — X2y;) = (k/) (4 ab)
Ill - HUONG VA DIEN TICH DAI SO CUA TAM GIAC
1 Hướng của tam giác
Cho tam giác ABC, ta thấy các hướng A -> B — C; B—> C —> A; CA > Btrùng nhau
Các hướng trùng nhau đĩ gọi là hướng của tam giác ABC Đương nhiên các tam giác ABC, BCA, CAB cĩ cùng hướng
Nếu hướng của tam giác ABC trùng với hướng của mặt phẳng thì ta nĩi tam giác cĩ hướng dương (thuận) Nếu tam giác ABC cĩ hướng ngược với hướng của mặt phẳng thì ta nĩi tam giác ABC cĩ hướng âm (nghịch)
2 Diện tích đại số của tam giác a) Tam giác suy biến
Theo định nghĩa thơng thường, ba đỉnh của một tam giác phải là ba điểm khơng cùng nằm trên một đường thẳng Nhìn chung, yêu cầu này là cần thiết Tuy nhiên, trong một vài trường hợp, nhất là trong các bài tốn về điện tích, yêu cầu này đơi khi trở nên khơng cần thiết, khơng những thế cịn gây trở ngại cho việc làm tốn Chính vì vậy, ta đưa ra khái niệm /ưm giác suy biến, tức tam giác mà ba đỉnh của nĩ cĩ thể nằm trên cùng một đường thẳng Nếu khơng cĩ gì nhầm lẫn, để cho thuận tiện, người ta thay thuật ngữ "tam giác suy biến" bởi thuật ngữ "tam giác"
b) Diện tích đại số của tam giác
Diện tích đại số của tam giác ABC là một số, kí hiệu S[ABC] và xác định
như sau : Ta
Trang 19S[ABC] = 5 (AB A AC)
Từ định nghĩa trên, ta cĩ ngay hệ quả : S[ABC] = S[BCA] = S[CAB] Hệ quả này được chứng minh rất đơn giản :
1 (AB A BC - AB A AB) Ws S[ABC] = 5 AB «AC = 5 AB A (BC - BA) =
= 5 BC A BA =S[BCAI
Tương tự ta cĩ : S[BCA] = S[CABI
c) Mối liên hệ giữa diện tích đại số và diện tích hình học của tam giác Khái niệm diện tích hình học chính là khái niệm diện tích mà ta vẫn hiểu theo nghĩa thơng thường Tuy nhiên, khi cân phân biệt khái niệm diện tích và diện tích đại số thì người ta thường thay thuật ngữ "điện tích" bởi thuật ngữ "điện tích
hình học"
Đối với một tam giác thì diện tích đại số và diện tích hình học của nĩ được liên hệ với nhau bởi định lí sau đây :
Định lí 13.2
ï) Nếu tam giác ABC cĩ hướng dương thì S[ABC] = S(ABC) ii) Nếu tam giác ABC cĩ hướng âm thì S[ABC] = —S(ABC) Ở đây, S(ABC) chỉ diện tích hình học của tam giác ABC Chứng minh
i) S[ABC] = DAI a AC = 5 AB.AC.sin (AB,AC) = 5 AB AC sinBAC = SABC)
| _ 1 Chứng mình tương tự i) Định lí trên cho ta hệ quả sau :
Hệ quả Trên mặt phẳng toạ độ cho tam giác ABC Biết rằng -
AB = (x,,y;) ; AC = (Xa,ÿY2)
Khids (ABC) = 5 x,y ~ x2yi|
Nhận xét : Hệ quả này chính là BT5.28
Cũng như kí hiệu S[.] chỉ diện tích đại số của tam giác, của đa giác lồi, trong tồn bộ bài viết này, kí hiệu S(.) dùng để chỉ diện tích hình học của tam giác, của đa giác lồi
Trang 20d) Tính chất : Với một tam giác ABC cho trước, diện tích đại số của tam giác cĩ hai tính chất cơ bản sau :
¡) Với mọi điểm M thuộc đường thẳng BC ta cĩ
S[ABC] = 5 BC A MA = AM A BC
ii) Với mọi điểm M ta cĩ S[ABC] = S[MAB] + S[MBC] + S[MCA] (hệ thức Sa-lo)
Chứng mình
i) S[ABC] = 2BC ABA = 5 (BC A MB + BCA BA)
wh «(+ BR) = Bễ„ Mã - mía Bề
ii) S{ABC] = 5 AB «AC = 5 (MB - MA) , (MC - MA)
- J(MB A MC - MÃ
= (MB A MC - MA A MC - MB A MA + MÃ A MA)
= 2 (MÃ A MB + MB A MC + MỀ A MA)
= S[MAB] + S[MBC] + S[MCA]
Nhận xét
~ Tính chất ¡) chính là sự mở rộng kết quả cơ bản đối với diện tích hình học
của tam giác : ‹
S(ABC) = sah, (khi AM LBC)
~ Trong ii), nếu M thuộc đường thẳng BC thì ta cĩ S[ABC] = S[MAB] + S[MCA] Đẳng thức trên cũng rất cĩ hiệu lực trong khi làm tốn Từ đẳng thức : S[ABC] = S[MAB] + S[MCA] suy ra
S[ABC]=5 MA AMB+ sMCAMA= 2(MC~MB)AMA =-BC A MA
Như vậy, xét đến cùng, ii) chính là sự mở rộng của i)
IV - HƯỚNG VÀ DIỆN TÍCH ĐẠI SỐ CỦA ĐA GIÁC LỒI
1 Hướng của đa giác lồi ;
Cho đa giác 16i A,A> A, Ta thấy các hướng A > A, > > A,-) > Ay A, > A3 > 3 An 2 AI ; An — Ai —> — Am T—> Aa-¡ trùng nhau Các hướng trùng nhau đĩ được gọi là hướng của đa giác A+A¿ Áa
Trang 21A
xà eas
Duong nhiên các đa giác A,Ap A,-;Ay 3 AgA3 AgAy 5 «5 AgpAy Ap-2An-y cĩ cùng hướng
Nếu đa giác A:A¿ Aa cĩ hướng trùng với hướng của mặt phẳng thì ta nĩi rằng nĩ cĩ hướng dương (thuận) Nếu đa giác A¡A¿ A, cĩ hướng ngược với
hướng của mặt phẳng thì ta nĩi rằng nĩ cĩ hướng âm (nghịch)
2 Diện tích đại số của đa giác lơi | a) Dinh nghia
Diện tích đại số cua da gidc 161 A, A) A, 14 mot s6, kí hiệu 1a S[A, A> A,] va xác định như sau :
Nếu A1A¿ An cĩ hướng dương thì S[A¡A¿ An] = S(A1As An); Nếu A¡A¿z An cĩ hướng âm thì S[A¡A¿ An] = —S(A1A¿ Aa)
b) Tính chất Định lí sau đây rất quan trọng Nĩ cho phép ta khai triển diện tích đại số của một đa giác lồi thành tổng các diện tích đại số của các tam giác
Định lí 13.3 Với mọi điểm M ta cĩ
S[TA,Ap> A,] = S[MA,A,] + SIMA¿Aa] + + SMA,Aj] (*) Chứng mình Định lí được chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Theo hệ thức Sa-lơ (II 2d) ta thấy (*) đúng khi n = 3
Gia sử (*) đã đúng với n = k (k> 4) Xét đa giác lồi AIA¿ ALAkai: Theo giả thiết quy nạp và theo hệ thức Sa-lơ (HI 2d) ta cĩ :
S[A,A9 A,] = S[MA, A] + S[MA2A3] + + SIMA, A,] + SIMA,Aj] ;
S[A, Ay, A7] = SIMA, Aya] + SIMA,,)A,] + SIMA, Aq]
Chú y ring : S[MA,A,] + S[MA,A,] = 0 Ta thấy (*) đúng khi n = k + 1 Định lí đã được chứng minh
Hệ thức (*) thường được gọi là hệ thức Sa-lơ về diện tích đại số
V - MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỘ DÀI ĐẠI SỐ VÀ DIỆN TÍCH ĐẠI SỐ
Mục này xin giới thiệu hai định lí quan trọng Những định lí này cho ta thấy mối liên hệ giữa khái niệm độ dài đại số và khái niệm diện tích đại số đồng thời chúng cũng là sự mở rộng các kết quả quen biết về mối liên hệ giữa khái niệm độ đài hình học và khái niệm diện tích hình học
Trang 22Định lí 13.4 Cho tam giác ABC Các điểm B, C nằm trên đường thẳng BC Ta cĩ :
BC _ S{ABC]
: BC S[ABC]
Chứng minh Goi € 1a vecto chi phuong cia truc BC, Lay M bất kì trên BC
Ta cĩ : |
lon ay
SjABC| 2BCAMA BC(#AMA) BC
SABC] lea qa BC(ŒAMA) BC
Định lí 13.5 Cho tam giác ABC và điểm O Giả sử các đường thang AO va BC
cắt nhau tại điểm M (khác B, C) Ta cĩ : MB _ S[OBA]
MC S[OCA]
Chứng minh (h.13-2) Gọi ẻ là vectơ
chỉ phương của trục BC Ta cĩ : O
{1 —_— —
S[OBA] _ SIBAO] _ 2^2^MB
S[OCA] — SICAO] ˆ 1 AG AMC B M C
2 Hình 13-2
_ MB(AO A £) _ MB ˆ MC(AO A $) —MC:
Kết quả sau cĩ thể coi là hệ quả trực tiếp của định lí 4 và cũng cĩ thể coi là hệ
quả trực tiếp của định lí 5
Hệ quả Cho tam giác ABC và điểm M nằm trên đường thẳng BC Ta cĩ MB _ S[MBA]
MC SIMCA]
B CÁC vi DỤ
Ví dụ 13.1 Cho tứ giác lồi ABCD I, J 1a trung điểm cia AC, BD, E.= AD ¬ BC Chứng minh rằng S(El]) = 7 S(ABCD)
Trang 23
Hình 13-3
Giải (h.13-3) Ta cĩ
f
S[EU] = +E ^ Ẹ = 2(2(EA + EC) (Ae + ED))
5 (EA ~ EB + EC EA A EB + EC A EB + EA A ED + EC A ED ED) -2ŒA A EB + EB A EC EA A EB + EB A EC + EC A ED + ED A EA EA) +>ịm— mÌ— wl Ney tr} =
(vi EBA EC = ED AEA =0) = 2 (SIEABJ + S[EBC] + S[ECD] + S[EDA])
= Ì SIABCD]
Từ đĩ suy ra S(EH) = 7 S(ABCD)
Nhận xét Lời giải bài trên khơng những cho ta biết S(EI) = 2 SABCD) mà cịn cho ta biết tam giác ELT và tứ giác ABCD cùng hướng (một kết quả khơng dễ chứng minh) Nếu khơng biết sử dụng tích ngồi (một cách khéo léo) thì phép
chứng minh rất đễ phụ thuộc vào hình vẽ Ví dụ 13.2 Cho tam giác ABC Các điểm A', B, C' theo thứ tự thuộc các đường thang BC, CA, AB A", B", C"
Trang 24Giải (h.13-4)
Ta cĩ S[A"B"C"] = 2A” AA"C!= 2| 2(AB +AB)A 5(Ac + AC)
=i 2(ABA AC + AB A AC + AB ^ AC + AB ^ AC)
= 2 GIABC] — S[A'CA] - S[A'AB] + SIA'BC])
1 miro
= 7 SIABC]
Tir dé suy ra S(A"B"C") = (ABC)
Vi du 13.3 Cho tam giác ABC M là điểm bất kì, một đường thẳng A qua M cắt các đường thẳng BC, CA, AB tại A¡, Bị, C¡ Chứng minh rằng
S[MBC] + S[MCA] + S[MAB]
MA, | MB, MC =0
Gidi (h.13-5)
Goi e là vectơ chỉ phương của trục A Ta cĩ :
S[MBC] | S[MCA] | S[MAB] A MA, MB, MC, i— SS {1—— l— — _2MAIABC 7MB ACA 2MC AB M 5 MA MB MC — — ~—— , Hinh 13-5
_1Í MAI ne,MBL cA,„MC ap 2| MA, MB, MC, m
= —~(€,BC+éACA+éA AB)
sé A0 =0 (dpcm) Ví dụ 13.4 Cho lục giác lồi ABCDEF M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm
của các cạnh AB, DE, CD, FA, EF, BC
Chứng minh rằng : MN, PQ, RS déng quy
khi và chỉ khi S(AEC) = S(BFD) Hình 13-6
ẻ A (BC + CA + AB) =
bà
SE
Trang 25Giải (h.13-6)
Lấy điểm O bất kì, ta thấy
4(OMAON+ƯPAOQ+OR AOS)
= (GA+OB)A(OD+OE)+(Oể+0OD)A(OE+OA)+(OE+OF)A(OB+o€))
aes ——_
= OA A OD + OA A OE + OBA OD + OB A OE + OC A OF + OC A OA
+OD A OF + OD 1 OA + OE A OB + OE A OC + OF A OB + OF A OC = (OA AOE + OE AOC +06 A0A)-(OB OF + OF AOD+ OD A OB) = 2(S[OAE] + S[OEC] + S[OCA]) — 2(S[OBF] + S[OFD] + S[ODB]) = 2(S[AEC] — S[BFD))
Suy ra 2(OM A ON + OP OG + OR « OS) = S[AEC] - S[BED] (*)
Nhờ (*), bài tốn 3 được giải quyết đơn giản như sau : Đặt O = MN n¬ PQ Ta thấy
OM A ON = OP A OQ =0
Vậy : MN, PQ, RS đồng quy O thuộc RS <= OR A OS =0
mee
<= OM a ON + OP A 0Q + OR A OS =0 <> S[AEC] — S[BFD] = 0°
<> S(AEC) — S(BFD) = 0 (do các tam giác AEC và BFD cùng hướng) <> S(AEC) = S(BFD)
Vi du 13.5 Cho tam giác ABC và ba điểm M, N, P thoả mãn điều kiện : M ¢ (AB) vu (AC), N ¢ (BC) uv (BA), P £ (CA) Ĩ (CB) Chứng minh rằng : AM, BN, CP đồng quy hoặc đơi một song song khi và chỉ khi :
sin(AM, AB) sin(BN,BC) sin(CP,CA) =-] sin(AM,AC) sin (BN,BA) sin (CP,CB) Giải
Chứng mình điêu kiện cần
Trường hợp 1 : AM, BN, CP đơng quy (tại O)
Ta cĩ cố
S[AOB] S[BOC] S[COA] _
S[AOC] S[BOA] S[COB] — ae
Trang 26
we
Từ đĩ, với chú ý O thuộc AM, BN, CP, sử dụng định lí 13.5 ta cĩ S[AMB] S[BNC] S[CPA] _
S[AMC] S[BNA] S[CPB] _
5 AM.AB.sin(AM,AB) 5 BN.BC.sin(BN,BC)= CP.CA.sin(CP,CA) =-l 2AM.AC.sin(AM,AC)2 BN.BA.sin(BN,BA)2 CP.CB.sin(CE,CB)
sin(AM, AB) sin(BN,BC) sin(CP,CA) _ sin(AM, AC) sin(BN,BA) sin(CP,CB)
Trường hợp 2 : AM, BN, CP đơi một |
song song (h.13-7)
Khi đĩ, với chú ý rằng M ¢ (AB) (AO), N ¢ (BC) U (BA), P € (CA) vu (CB), ta cĩ AM, BN, CP theo thir tu cat BC, CA, AB Dat M' = AM BC, N =BN n CA, P =CP ¬ AB Ta cĩ MB NCPA MB BC CM _ MC NA PB MC BM' CB _ S[AM'B] S[BN'C] S[CP'A] _ S[AM'C] S[BN'A] S[CP'B] Từ đĩ, với chú ý rằng M e AM, B M C NecBN,PeCP, ta cĩ Hình 13-7 S[AMB] S[BNC] SỊCPAI_ - S[AMC] S[BNA] S[CPB]
Tiếp tục khai triển tương tự như trường hợp 1, ta cĩ
sin (AM,AB) sin (BN,BC) sin(CP,CA) =-1 sin(AM,AC) sin(BN,BA) sin(CP,CB) SỐ Tĩm lại, điều kiện cần đã được chứng minh
Chứng minh điêu kiện đủ
Trường hợp 1 : AM, BN, CP đơi một song song Khi đĩ, ta cĩ ngay điều cần
chứng minh ‹
Trường hợp 2 : AM, BN, CP khơng đơi một song song Khi đĩ, tồn tại hai trong ba đường thẳng AM, BN, CP cắt nhau Khơng mất tính tổng quát, giả sử BN,
Trang 27a “0g
CP cat nhau, goi giao diém cha ching | là O Khi đĩ, ta cĩ AO, BN, CP đồng quy Nhờ kết quả đạt được trong chứng minh điều kiện cần, ta cĩ
sin(AO,AB) sin(BN,BC) sin(CP,CA) _
sin (AO, AC) sin(BN,BA) sin(CP,CB)
sin(AM,AB) sin(BN,BC) sin(CP,CA)
Theo giả thiết, ta cĩ =~I]
sin (AM, AC) sin (BN,BA) sin (CP,CB)
sin (AO, AB) _ sin (AM, AB) |
sin(AO,AC) 7 sin(AM, AC)
> sin (AO, AB)sin(AM, AC) = sin(AO, AC)sin (AM, AB)
Suy ra
=> cos((A0,AB)-(AM,A0)-(A0,AC))—cos((40,AB)+(AM,A0)+(A0,AC))
= co{(AGLAC)-(AM.AG)-(Aư.AB))-o4(AO.AC)2(AM.A6):(AG.AS) = cos((AC,AB)~(AM,AO))=cos((AB,A€)~(AM,AG)
=> sin(AC, AB)sin(AM, AO) = sin(AB,AC)sin(AM,AO) = sin(AM,AG)=-sin(AM,A6) > sin(AM,AO) =0 = (AM,AO) = kI80° => AM Tt AO hoặc AM NAO = Đường thẳng AM trùng đường thẳng AO =>Oe AM
Vay AM, BN, CP déng quy (tai O)
Tĩm lại, điều kiện đủ đã được chứng minh
Nhận xét Định lí trên được gọi là định lí Xơ-va dạng sin tổng quát, rất cĩ lợi
trong việc giải quyết các bài tốn chứng minh sự đồng quy của ba đường thẳng Ví dụ 13.6 Cho tam giác ABC, đường cao cao AH Về phía ngồi nĩ ta dựng các tam giác déng dang ABE, ACF sao cho ABE = ACF = 90° Chứng minh rằng AH, BF, CE déng quy
Trang 28Giải (h.13-8)
Hình 13-8
Khơng mất tính tổng quát, giả sử tam giác ABC cĩ hướng dương
Đặt K = BF n AC ; L = CE ¬ AB Dễ thấy AH, BF, CE khơng thể đơi một
song song (bạn đọc tự kiểm tra)
HB KC LA
Do đĩ : AH, BF, CE đồng quy khi và chỉ khi —-—=.-=— = -Ì
HC KA LB
S[HAB] S[FCB] S[EAC] _ ‘le S[AHB] S[CBF] S[ACE] _ _
S[HAC] S[FAB] S[EBC] ” S[AHC] S[ABF] S[BCE] ˆ 2 AH.ABsin(AH,AB) 2 CBCF.sin(CB,CE)z AC.AE sin(AC, AE)
>
2 AH.AC.sin(AH,AC)2 AB.AF.sin(AB,AF}>BC.BE.sin(BC,BE)
CE AE sin(AH,AB) sin(CB,CF) sin(AC,AE) (1)
AF BE sin(AH,AC) sin(AB, AF) sin(BC,BE) CF AE
Vì AABE đồng dang véi AACF nén AF BE = 1 (2)
=-¬Il
Mat ki khac :
AB) =(AH,CB) + (CB, AB) + k,.360° =-90° + (CB, AB) +k,.360° C)=(AH AHL CB (CBAC) + k3.360° =-90° +(CB,AC) +k.360° SẼ (CB,AC)+(AC,CF) + k,.360° = 90° +(CB,AC)
AF) (AB, AC) +(AC,AF) +k,.360° =(AB, AC) +(AE, AB) + k7.360°
= (AE, AC) +kg 360°
Trang 29sin(AH,AB) = -cos(CB,AB) sin(AH, AC) = —cos(CB,AC)
= 4 sin(CB,CF) =co “ AC) (3)
sin(AB,AF) =—sin(AC,AE) ©
sin(BC,BE) = cos(CB, AB) Từ (2), (3) suy ra (1) đúng (đpcm)
Ví dụ 13.7 Cho tam giác ABC và điểm M bất kì Chứng minh rằng :
S[MBC]MA + S[MCA]MB + S[MAB]MC = 0
Giải
Dat ử = S[MBC]MA + S[MCA]MB + S[MAB]MC
Ta thấy : UA MA = S[MCA](MB A MA) + S[MAB](MC A MA)
= 2(S[MCA]S[MBA] + S[MAB]S[MCA])
= 2(S[MCA]S[MBA] - S[MBA]S[MCA]) =0
Tương tự như vậy ử ^ MB =0; ử AMC =0 Suy ra u cùng phương với các vectơ MA,MB,MC
Chú ý rằng, trong ba vectơ MA, MB, MC, ta luơn chọn được hai vectơ khơng cùng phương
Vậy u = 0 (đpcm)
Nhận xét Kết quả trên đơi khi được phát biểu dưới dạng khác : Cho ba vectơ ä,b,€ Chứng minh rằng :
(BA #)ä + (€ A ä)b + (ä A b)ể = Ổ
Ví dụ 13.8 Cho tam giác ABC M là một điểm nằm trong tam giác
a) Chứng minh rằng : S(MBC)MA, S(MCA)MB, S(MAB)MC là độ dài ba cạnh của một tam giác mà ta kí hiệu là A(M)
Trang 30S
Gidi (h.13-9)
a) Vi M nam trong tam giác ABC nên các tam giác MBC, MCA, MAB cùng hướng Theo VD 13.8 ta cĩ
S[MBC]MA + S[MCAJMB + S[MABJMC =0 ()
Cũng vì M nằm trong tam giác ABC A
nên các vectơ S[MBC]MA, S[MCA]MB,
S[MAB]MC đơi một khơng cùng phương (2)
Tu (1) va (2), theo định nghĩa phép cộng vectơ, cùng với chú ý rằng các tam
giác MBC, MCA, MAB cùng hướng, ta thấy -
S(MBC)MA, S(MCA)MB, S(MABMC là mm
độ dài ba cạnh của một tam giác
b) Kí hiệu diện tích tam giác nĩi trên là Su, ta thấy :
Sau) = 5 SIMCAIMB A S[MAB]MC| = S[MCARIMAB]MB AMC = |S[MCA]S[MAB]S[MBC]
= S(MCA).S(MAB).S(MBC)
3
< [ Sac + SMAB)+ m5) _ = S3(ABC),
Đẳng thức xảy ra ©> S(MCA) = S(MAB) = S(MBC) © M là trọng tâm tam giác ABC
Tĩm lại SA; lớn nhất khi M là trọng tâm tam giác ABC và giá trị lớn nhất đĩ
bằng z5 5°(ARO)
Nhận xét VD 13.8 chính là BT 6.20
Ví dụ 13.9 Cho bốn vectơ ä,b,c,d Chứng minh rằng
Trang 31= ä A Ư (theo nhận xét sau ví du13.7) 4 = 0 (dpem)
Ví dụ 13.10 Cho tứ giác A,A,A3Aq ; Sm
H,,H,,H3,H, theo thứ tự là trực tâm của các
tam giác A,A3Ay, AzAgAy, AgA, Ao, ⁄Z —
A,A,A3 Chứng minh rằng Ay
Giải (h.13-10)
Lấy điểm O bất kì Vì Hị,H; là trực tâm của các tam gidc A,A3A4,A3A,A,
nên
an L AaA¿ AJH, LA;A, = AiH;//A;H, | 2 HAH,
=> AiH; A A;H¡ =0 = (OH; - OA;) a (OH, - OA) =0
“=> OA; A OA; - OH, A OH, = OA, A OH, — OA, a OH,
=> S[OA, A>] - S[OH,H,] = OA, A OH, - OA, A OHp
Tương tự ta cĩ
S[OA;A¿]— S[OH;H;] = ƯA; A OH; - OA; A OH¿, S[OAsA,]— S[OH;H,] = OA; A OH; - OA; A OH,
Cộng từng vế của các đẳng thức (1), (2), (3), ta cĩ
S[A,A,A3] — S[H,H,H,] =0 => S[A,A,A3] = S[H,;H>H3)
Tương tự như vậy : S[A,A3A,] = S[H,H3H,], S[A3A,A,] = S[H3H,H; J, S[A,A,A,] = S{[H,H,H,] q) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
Từ (4) và (6) với chú ý rằng A;,A¿ nằm về hai phía của A¡Ax suy ra Hạ,Hạ
nằm về hai phía của HH
Từ (5) và (7) với chú ý rằng A¡,A; nằm về hai phia cha A,A,, suy ra
H,,H3 nằm về hai phía của H;H¿
194
Trang 32Từ (8) và (9) suy ra H;H;H;H¿ là tứ giác lồi và đương nhiên, ta cĩ
Ví dụ 13.11 Cho tam giác ABC nội Bì
tiếp đường trịn (O ; R) M là một A <S
điểm bất kì, H, I, K là hình chếu củaM = © S/S
trên các đường thẳng BC, CA, AB
Chứng minh rằng : >
2
S[HIK] = ut _ OM ]Ras R2 s Gidi (h.13-11)
Khơng mất tính tổng quát, giả sử
tam giác ABC cĩ hướng dương Gọi A;, Hinh 13-11
Bị, C¡ lần lượt là điểm đối xứng của M
qua BC, CA, AB Ta cĩ
S[AB¡C¡] + S[BC¡A¡] + S[CA,B,]
= S[MB,C,] + S[MC¡A] + S[MAB,] +S[MC,A,] + S[MA,B] + S[MBC, ] +S[MA;B; ] + S[MB,C] + S[MCA, ] = (S[MB,C;] + S[MC,A,] + S[MA,B, ]) + (S[MA,B] + S[MCA,])
| +(S[MB,C] + S[MAB, }) + (S[MC,A] + S[MBC, ]) = S[A,B,C,] - 2S[MBC] - 2S[MCA] — 2S[MAB] = S[A,B,C,] — 2S[ABC] Vay S[A,B,C,] = 2S[ABC] + S[AB,C,] + S[BC,A,] + S[CA,B,]
Chú ý rằng
(AB,,AC, ) + k,.3609 = (AB,,AM) + (AM,AC/) + kạ.360° =
Ai
= 2(AC,AM) + 2(AM,AB) + k;.360° = 2(AC,AB) + k,.360°,
suy ra S[AB,C,] = 2AB, -AC,.sin((AB,, AC, } = -5 AM? sin 2A
1
Tương tự ta cĩ : S[BC,A, ] = -5BM? sin 2B ; S[CA,B,] = — CM? sin 2C
Trang 33Vậy S[A¡B,C,]=2S[ABC]~2.(AMÊ.sin2A + BMP.sin2B+ CMÊ.sin2C) (1)
Tir dang thttc S[OBCJOA + S[OCA]OB + S[OABJOC = 0 suy ra 1 2OBOC sin(OB,OC)OA + 2OC.OAsin(OC,OA)OB
+22OA.OBsin(OA,OB)OC =0
=> sin2A.OA + sin2B.OB + sin2C.OC = 0 (2)
Từ (2), chú ý đến VD 5.7, ta cĩ
AM?.sin2A+BM.sin2B+CM7.sin2C=(R?+OM2)(sin2A+sin2B+sin2C) = 4(R7 + OM^”)sin A sin BsinC
2
= 1 „ 0M | sin A sin BsinC
R? 2 = 1 +OM }scapcy R 3) 2
Tw (1) va (3) suy ra: S[A,B,C,] -(1 _ = lam
Từ đĩ với chú ý rằng S[A¡B,C¡]=4S[HIK], ta cĩ : 2 S[HIK] = 41 - OM |sasc (*)
Nhận xét Hệ thức (*) được tìm ra bởi Ơ-le Từ (*) ta thấy :
say OM?
H, I, K thang hang © S{[HIK] = 0 © l— R2 =0{€©Mec(O;R)
Ta nhận được kết quả quen thuộc về đường thẳng Sim-sơn
C BAI TAP ĐỀ NGHỊ
13.1 Cho tứ giác ABCD cĩ AD = BC Vẻ phía ngồi nĩ ta dựng các tam giác bằng
nhau ADE, BCF Chứng minh rằng trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF thẳng hàng
Trang 3413.2 Trên ba đường thẳng a, b, c theo thứ tự cho các điểm A, B, C chuyển động đều theo một hướng xác định, với cùng một vận tốc và cùng một thời điểm ban đầu Biết rằng, tại thời điểm ban đầu A, B, C khơng thẳng hàng Chứng
minh rằng, khơng tồn tại quá hai thời điểm mà tại đĩ A, B, C thẳng hàng
13.3 Cho ngũ giác ABCDE X, Y, Z, T, U theo thứ tự là trung điểm của các cạnh
CD, DE, EA, AB, BC Chứng minh rằng nếu bốn trong năm đường thẳng AX,
BY, CZ, DT, EU đồng quy thì cả năm đường thẳng đĩ đồng quy
13.4 Cho hình bình hành ABCD Các điểm M, N theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC Cac diém I, J, K theo thi ty là trung điểm của các đoạn DM, MN, ND Chứng minh rằng AI, BJ, CK đồng quy
13.5 Cho tam giác ABC, các điểm A', B, C' theo thứ tự thuộc các cạnh BC, CA,
AB Các điểm A", B",.C" theo thứ tự là các điểm đối xứng của các điểm A, B,
C qua các điểm A', B, C Chứng minh rằng :
S(A"B"C") = 3S(ABC) + 4S(A'B'C)
13.6 Cho tam giác ABC Về phía ngồi nĩ ta dung các tam giác BA,C,CB,A,AC,B cân tại A¡,B¡,C¡, đồng dạng với nhau Chứng minh rang
các đường thắng AA¡,BB¡,,CC; đồng quy
13.7 Cho lục giác ABCDEEF Gọi M,N,P theo thứ tự là trung điểm của AD, BE, CF Chứng minh rằng : M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi
S(ABCDEF) = S(ACE) + S(BDF)
13.8 Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P theo thứ tự chạy trên các đường thẳng
BC, CA, AB sao cho :
BM CN_AP_
a) Chứng minh rằng AM, BN, CP là độ dài ba cạnh của một tam giác mà ta kí hiệu là A(k)
b) Tìm k sao cho diện tích tam giác A(k) nhỏ nhất
13.9 Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P theo thứ tự thuộc các cạnh BC, CA,
AB Các điểm X, Y, Z theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ANP, BPM,
CMN Chứng minh rằng
S(ABC) < S(XYZ)
Trang 35ho, §
13.10 Cho tứ giác ABCD cĩ AC L BD Trung trực của các đoạn AB, CD cắt nhau tại điểm O nằm trong tứ giác Giá sử S(OAB) = S(OCD).Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp
13.11 Cho bốn đường thẳng phân biệt OA, OB, OC, OD Đường thẳng A khơng đi
qua O, theo thứ tự cắt OA, OB, OC, OD tại X, Y, Z, T Chứng minh rằng :
ZX TX _ sin(OC,OA) ; sin(OD,OA) |
ZY TY sin(OCOB) sin(OD,OB)
§14 PHƯƠNG TÍCH CỦA ĐIỂM ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRỊN TRUC DANG PHƯƠNG, TÂM ĐĂNG PHƯƠNG
A Li THUYET
1~PHƯƠNG TICH CUA DIEM DOI VOI DUONG TRỊN
1 Nhắc lại định nghĩa
Cho đường trịn (O ; R) và điểm M Ta đã biết, nếu cĩ một cát tuyến quay xung quanh M, cắt đường trịn tại A va B thi dai luong MA.MB khong déi, goi 1a
phương tích của điểm M đối với đường trịn (O ; R), kí hiệu là Ø/oy
Ta cĩ Suro) = MA.MB = d? — R? trong dé d= OM 2 Chú ý ỨM/(@) > 0 © M nằm ngồi (O) ;
Po) =00oM thudc (O) ;
ZM/(o› <0 © M nằm trong (O)
II - TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG, TÂM ĐẲNG PHƯƠNG
Định lí 14.1
Tập hợp các điểm cĩ cùng phương tích đối với hai đường trịn khơng đồng tâm là một đường thẳng, gọi là ¿rực đẳng phương của hai đường trịn đã cho
Trang 36ye
Ching minh (h.14-1)
Xét hai duong trén (O, ; R;) va (QO, ; Ro»), O, #O) Tacé:
SM 101) ~ IM 02) :
<> MO} - R? = MO? - R2
<> MO} - MO? = R? - R3
<> M thuộc đường thẳng vuơng gĩc với
(O¡O;) tại H, điểm H được xác định bởi
He R? -R3
20,05
(I là trung điểm của O¡O;›, xem VD 3.7)
Hình 14-1
Hệ quả Nếu ba điểm cĩ cùng phương tích đối
với hai đường trịn thì ba điểm đĩ thẳng hàng —— Định lí 14.2 Cho ba dudng trén (O,), (O), (03) ()
cĩ các tâm khơng thang hang Gia sit A, A>, Aj lan
lượt là trục đẳng phương của các cặp đường trịn
(02), (03) ; (03), (01) ; (O1), (O2) Khi đĩ AI, A2, Ag Hình 14-2 đồng quy tại một điểm, gọi là tâm đẳng phương của
ba đường trịn đã cho
Cách xác định trục đẳng phương của hai đường trịn
— Nếu (O4), (Os) cắt nhau thì trục đẳng phương
là đường thẳng nối hai giao điểm (h 14-2)
- Nếu (O;), (O›) tiếp xúc nhau thì trục đẳng
phương là đường thẳng đi qua tiếp điểm và vuơng
gĩc với O¡O; (h.14-3)
— Nếu (O¡), (O;) khơng cĩ điểm chung thì ta dựng đường trịn (O+) cắt cả hai
đường trịn đã cho (lưu ý lấy O khơng nằm trên đường thẳng O,O;,) Dựng trục
đẳng phương của (Oa) và (O¡), (O) và (O¿), chúng cắt nhau tại I (chính là tâm đẳng phương của ba đường trịn) Khi đĩ trục đẳng phương của (O;¡) và (O;) là đường
Hình 14-3
thẳng qua I, vuơng gĩc với đường thẳng O¡O› (h.14-4)
Trang 372 “0g O; Hinh 14-4 Hinh 14-5
Nhận xét Nếu cĩ thể kẻ được hai tiếp tuyến chung A¡A¿, BỊB; của (O¡) và
(O,) thi đường thẳng nối trung điểm của các đoạn A¡Aa, B¡B; chính là trục đẳng
phuong cua (O,) va (Op)
(Hình 14-5 minh hoạ trường hợp kẻ được hai tiếp tuyến chung ngồi) B CAC vi DU
Ví dụ 14.1 Cho đường trịn (O ; R) và ba điểm thẳng hàng A, B, C Chứng minh rang :
PaKO) BC + P50) CA + Povo) AB + BC.CA.AB = 0
Gidi
= (OA? — R?)BC + (OB? — R*).CA + (OC? — R?)AB + BC.CA.AB
= OA?.BC + OB?.CA + OC2.AB + BC.CA.AB - R?(BC + CA + AB)
= OA?.BC + OB2.CA + OC2.AB + BC.CA.AB
= 0 (Hệ thức Sti-oa)
Ví dụ 14.2 Cho tam giác ABC trọng tâm G Gọi (O¡), (O›), (O3) lần lượt là các đường trịn ngoại tiếp các tam giác GBC, GCA, GAB Chứng minh rằng
ĐẠO) = Sh/(O;) = Foy(03): Gidi (h.14-6)
Gọi M là trung điểm của BC, A' là-giao điểm của đường thắng AM với đường
trịn (O¡), A' # G Ta cĩ
Py 0.) = AG-AA' (vi A nằm ngồi (O,))
Trang 38VỊ
= AG(AM + MA') = AG.AM + AG.MA'
= 2 AM? +2MG.MA' | 4A AM? + 2MB.MC ZZ7 YQ 2(b? +c?) —a? 4 2 2 2 2 _ +c a” a _i 2 2 2 = 3 6 +> = 3a + b* +c%) A Tương tự tính được Hình 14-6 Ỷ WIN Wir Gị g 2 +2.—a se Al Ï 2 v2, 2 SF 05) = Ca) = sía + bế +c) Vậy Fa (04) = Fs 05) = Se):
Ví dụ 14.3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) và điểm M Đường thẳng qua M song song
với BC cắt AB, AC lần lượt tại X, Y Đường thẳng
qua M song song với CA cắt BC, BA lần lượt tại Z,
T Đường thẳng qua M song song với AB cắt CA, CB
lần lượt tại U, V Chứng minh rằng :
Puyo) = MX.MY + MZ.MT + MU.MV
Gidi Theo VD 14.1 tacé:
= Fao) = Pxnoy see — Fy 0) = + MX.MY
_ XA.XB.MY _ YA.YCMX +MXMY
XY XY
_ MUXBMY MTYCMX
MY
= MU.MV + MT.MZ + MX.MY (dpcm)
Vi dụ 14.4 Cho tam giác ABC, một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại D, E Tìm trục đẳng phương của các đường trịn đường kính BE, CD
Giải Gọi AA', BB, CC là các đường cao của tam giác ABC, H là trực tâm của nĩ (h.14-8) Giả sử các đường trịn đường kính BE, CD là (C¡), (C¿) Ta cĩ :
Trang 39AB.AC = AH.AA' (vì HA'CB' nội tiếp) AC.AB = AH.AA' (vì HA'BC' nội tiếp)
= AB'.AC = AC'AB (1) B Mặt khác, theo định 1í Ta-lét : 5 AC AB —=— 2 AE AD| (4 C
Tir (1), (2) suy ra: Hinh 14-8
AB'.AE = ACAD
=> Fa KC) = Fa Cy)
= A thuộc trục đẳng phương của (C¡), (Cy)
Mặt khác, dễ thấy đường nối tâm của (C¡), (C;) vuơng gĩc với AA' Vay, AA’
là trục đẳng phương của (C¡), (C¿)
Ví dụ 14.5 Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại D, E ; P là một điểm nằm trong tam giác ADE ; PB, PC theo thứ tự cát DE tại M, N Đường trịn ngoại tiếp các tam giác PDN, PEM cắt nhau tại Q Chứng minh rằng A, P, Q thẳng hàng
Gidi (h.14-9) Goi I, J lan lượt là giao điểm của AP với DE, BC Vi BC // DE nên theo định lí Ta-lét ta cĩ :
MT IN JC_IM_TID D B W E TE Jc Hinh 14-9 => INID = IMIE (1)
Gọi (C¡), (C;) theo thứ tự là đường trịn ngoại tiếp các tam giác PDN, PEM
Theo (1) ta CĨ : đực )= = Fic,
= AP là trục đẳng phương của (C¡) và (C;) Vậy AP đi qua Q
Ví dụ 14.6 Cho tam giác ABC, đường thẳng A cất BC, CA, AB tại M,N,P; O là điểm khơng thuộc đường thẳng A Các đường thắng OM, ON, OP cất đườnè trịn ngoại tiếp của tam giác OBC, OCA, OAB tại X, Y, Z (khác O) Chứng minh rằng bốn điểm O, X, Y, Z cùng thuộc một đường trịn
202
Trang 40we
Giải (h.14-10) Goi (C,), (C2) là các
đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, OYZ Giả sử (C2) cắt OM tại X' (khác O) Theo giả thiết :
NA.NC = NO.NY PA.PB = PO.PZ
ay - P
Mà ~ ỞN/(Cạ)
Soucy) = Soucy) mu
= A là trục đẳng phương của (C¡) và (C;)
=> Banc, = Sac, = MB.MC = MO.MX (1)
Theo giả thiết, MB.MC = MO.MX (2)
Từ (1), (2) suy ra:
MX = MX' => X=X' (dpem)
Vi du 14.7 Cho tứ giác ABCD ; AB ¬ CD = E, AD ¬ BC = F; H, I,J, K theo thứ tự là trực tâm các tam giác EBC, FDC, EDA, FBA Chứng minh rằng :
a) Mỗi một trong bốn điểm H, I, J, K cĩ cùng phương tích đối với các đường
trịn đường kính AC, BD, EF
b) H, L, J, K thẳng hàng (đường thẳng Stai-nơ)
Giải (h.14-11) a) Goi X, Y, Z 1a trung điểm của AC, BD, EF ; (X), (Y), (Z) là các đường trịn đường kính AC, BD, EF
Giả sử CM, BN, EP là các đường cao của tam giác CBE Theo VD 7 ta cĩ :
HC.HM = HB.HN = HE.HP
Hình 14-T1
=> Thưọo = hy) = ỨH/Ø)
= H cĩ cùng phương tích đối với (X), (Y), (2)
Tương tự như vậy, mỗi một trong ba điểm I, J, K cĩ cùng phương tích đối với
(X), (Y), (Z)