A. Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ. x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của điểm M.. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác. Biểu thứ tọa độ của các phép toán v[r]
(1)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
§4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT : I.TRỤC TỌA ĐỘ:
1 Định nghĩa: Trục tọa độ (Trục , hay trục số ) đường thẳng ta xác định điểm O vectơ đơn vị i ( tức i 1)
Điểm O gọi gốc tọa độ , vec tơ i gọi vectơ đơn vị trục tọa độ Kí hiệu (O ; i ) hay x Ox' đơn giản Ox
2 Tọa độ vectơ điểm trục:
+ Cho vec tơ u nằm trục (O ; i ) có số thực a cho u a i với a R Số a gọi tọa độ vectơ u trục (O ; i )
+ Cho điểm M nằm (O ; i ) có số m cho OM m i Số m gọi tọa độ điểm M trục (O ; i )
Như tọa độ điểm M trọa độ vectơ OM
3 Độ dài đại số vec tơ trục :
Cho hai điểm A, B nằm trục Ox tọa độ vectơ AB kí hiệu AB gọi độ dài đại số vectơ AB trục Ox
Như AB AB i Tính chất :
+ AB BA
+ AB CD AB CD
+ A B C; ; ( ; ) :O i AB BC AC
II HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1 Định nghĩa: Hệ trục tọa độ gồm hai trục vng góc Ox Oy với hai vectơ đơn vị i j, Điểm O gọi gốc tọa độ, Ox gọi trục hoành Oy gọi trục tung
Kí hiệu Oxy hay O i j; ,
2 Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ
+ Trong hệ trục tọa độ O i j; , u xi y j cặp số ;
x y gọi tọa độ vectơ u, kí hiệu u x y; hay u x y; x gọi hoành độ, y gọi tung độ vectơ u
+ Trong hệ trục tọa độ O i j; , , tọa độ vectơ OM gọi tọa độ điểm M, kí hiệu ;
M x y hay M x y; x gọi hoành độ, y gọi tung độ điểm M i
x' O x
Hình 1.30
x y
H O
M K
(2)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Nhận xét: (hình 1.31) Gọi H, K hình chiếu M lên Ox Oy ;
M x y OM xi y j OH OK
Như OH xi OK, y j hay x OH y, OK
3 Tọa độ trung điểm đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm tam giác
+ Cho A x y( ; ), ( ; )A A B x yB B M trung điểm AB Tọa độ trung điểm M x yM; M
đoạn thẳng AB A B A B
M M
x x y y
x , y
2
+ Cho tam giác ABC có A x y( ; ), ( ; ),A A B x yB B C x yC; C Tọa độ trọng tâm G x yG; G tam giác ABC xG xA xB xC
3
A B C
G
y y y
y
2
4 Biểu thứ tọa độ phép toán vectơ
Cho u ( ; )x y ;u' ( '; ')x y số thực k Khi ta có : 1) u u x x
y y
' '
'
2) u v (x x y'; y') 3) k u ( ; )kx ky
4) u' phương u(u 0) có số k cho x kx
y ky
'
'
5) Cho A x y( ; ), ( ; )A A B x yB B AB xB x yA; B yA
B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG 1: Tìm tọa độ điểm; tọa độ vectơ; độ dài đại số vectơ chứng minh hệ thức liên quan trục (O ; i )
1 Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức sau:
• Điểm M có tọa độ a OM a i
• Vectơ AB có độ dài đại số m AB AB mi
• Nếu a, b tọa độ A, B AB b a
• Các tính chất
+ AB BA
+ AB CD AB CD
+ A B C; ; ( ; ) :O i AB BC AC
2 Các ví dụ
Ví dụ 1: Trên trục tọa độ (O ; i ) cho điểm A ; B ; C có tọa độ –2 ;
(3)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ b) Chứng minh B trung điểm AC
Lời giải
a) Ta có AB 3, BC 3,CA
b) Ta có BA BC BA BC suy B trung điểm AC
Ví dụ 2: Trên trục tọa độ (O; i ) cho điểm A B C D, , , Chứng minh ABCD AC DB AD BC
Lời giải
Cách 1: Giả sử tọa độ điểm A, B, C, D a, b, c, d Ta có AB CD b a d c bd ac bc ad
AC DB c a b d bc ad cd ab
AD BC d a c b cd ab ac bd
Cộng vế với vế lại ta ABCD AC DB AD BC Cách 2: ABCD AC DB AD BC
AB AD AC AC AB AD AD AC AB
AB AD AB AC AC AB AC AD AD AC AD AB
0
3 Bài tập luyện tập
Bài 1.80.Trên trục tọa độ (O; i ) Cho điểm A B có tọa độ avà b a)Tìm tọa độ điểm M cho MA kMB (k 1)
b)Tìm tọa độ trung điểm I AB
c)Tìm tọa độ điểm N cho 2NA 5NB
Bài 1.81.Trên trục (O ; i ) cho điểm A ; B ; C có tọa độ a ; b ; c Tìm điểm I
cho : IA IB IC
Bài 1.82 Trên trục tọa độ (O ; i ) cho điểm A B C D, , , có tọa độ a b c d, , , thỏa mãn hệ thức2(ab cd) (a b c)( d) Chứng minh DA CA
DB CB
DẠNG 2: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ mặt phẳng Oxy 1 Phương pháp
• Để tìm tọa độ vectơ a ta làm sau
Dựng vectơ OM a Gọi H K, hình chiếu vng góc M lên Ox Oy, Khi a a a1; với a1 OH a, OK
• Để tìm tọa độ điểm A ta tìm tọa độ vectơ OA
• Nếu biết tọa độ hai điểm A x y( ; ), ( ; )A A B x yB B suy tọa độ AB xác định theo công
(4)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Chú ý: OH OH H nằm tia Ox(hoặc Oy ) OH OH H nằm tia đối tia Ox(hoặc Oy)
2 Các ví dụ:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho điểm
; M x y
Tìm tọa độ điểm
a) M1 đối xứng với M qua trục hoành b) M2 đối xứng với M qua trục tung c) M3 đối xứng với M qua gốc tọa độ
Lời giải (hình 1.32)
a) M1 đối xứng với M qua trục hoành suy M x y1 ; b) M2 đối xứng với M qua trục tung suy M2 x y; c) M3 đối xứng với M qua gốc tọa độ suy M3 x; y
Ví dụ 2: Trong hệ trục tọa độ (O; i ; j ), cho hình vng ABCD tâm I có A(1; 3) Biết điểm B thuộc trục (O; i ) BC hướng với i Tìm tọa độ vectơ AB BC, AC
Lời giải (hình 1.33)
Từ giả thiết ta xác định hình vng mặt phẳng tọa độ
(hình bên)
Vì điểm A(1; 3) suy AB 3,OB Do B 0; ,C 0; ,D 3;
Vậy AB 3; ,BC 0; AC 3;
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho hình thoi ABCD
cạnh a BAD 600 Biết A trùng với gốc tọa độ O, C thuộc trục Ox 0, 0
B B
x y
Tìm tọa độ đỉnh hình thoi ABCD
Lời giải (hình 1.34)
Từ giả thiết ta xác định hình thoi mặt phẳng tọa độ Oxy
Gọi I tâm hình thoi ta có
sin sin a
BI AB BAI a 300
2
a a
AI AB BI a
2
2 2
4
Suy
; , a ;a , ; , a ; a
A 0 B C a D
2 2
3 Bài tập luyên tập
Bài 1.83: Trong hệ trục tọa độ (O; i ; j ), Cho tam giác ABC cạnh a, biết O trung điểm BC, i hướng với OC, j hướng OA
a) Tính tọa độ đỉnh tam giác ABC b) Tìm tọa độ trung điểm E AC
x y
O
M(x;y)
M1
M2
M3
Hình 1.32
x y
O C O
A D
B
Hình 1.33
x y
I
C A
B
D
(5)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 1.84: Trong hệ trục tọa độ (O; i ; j ), Cho hình thoi ABCD tâm O có ,
AC BD Biết OC i hướng, OB j hướng a) Tính tọa độ đỉnh hình thoi
b) Tìm tọa độ trung điểm I BC trọng tâm tam giác ABC
Bài 1.85: Cho hình bình hành ABCD có AD chiều cao ứng với cạnh AD = 3, BAD 600 Chọn hệ trục tọa độ A i j; , cho i AD hướng, 0
B
y Tìm tọa độ vecto AB BC CD, , vàAC
Bài 1.86: Cho lục giác ABCDEF Chọn hệ trục tọa độ (O; i; j ), O tâm lục giác ,i hướng với OD, j hướng EC Tính tọa độ đỉnh lục giác , biết cạnh lục giác
DẠNG 3: Xác định tọa độ điểm, vectơ liên quan đến biểu thức dạng
, ,
u v u v k u
1 Phương pháp
Dùng cơng thức tính tọa độ vectơu v u, v k u,
Với u ( ; )x y ;u' ( '; ')x y số thực k, u v (x x y'; y') k u ( ; )kx ky
2 Các ví dụ
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho vecto: a 3; b 1;5 c 2;
Tìm tọa độ vectơ sau
a) u 2v với u 3i 4j v i b) k 2a b l a 2b 5c
Lời giải
a) Ta có u 2v 3i 4j i i 4j suy u 2v ; b) Ta có 2a (6; 4) b ( 1;5)suy k 1; 5;9 ;
a ( 3; 2), 2b ( 2;10) 5c ( 10; 25) suy
l 10; 10 25 15; 17
Ví dụ 2: Cho a (1;2), b ( 3;4) ; c ( 1;3) Tìm tọa độ vectơ u biết a) 2u 3a b b) 3u 2a 3b 3c
Lời giải
a) Ta có 2u 3a b u 3a 1b
2
Suy u 3;3 1;
2
(6)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Suy u 1; 4 4;
3 3
Ví dụ 3: Cho ba điểm A 0; ,B 3; C 1; a) Xác định tọa độ vectơ u 2AB AC
b) Tìm điểm M cho MA 2MB 3MC Lời giải
a) Ta có AB 3; ,AC 1; suy u 5;
b) Gọi M x y; , ta có MA x; y ,MB x;3 y ,MC x;1 y Suy MA 2MB 3MC 6x 6; y
Do
x x
MA MB MC
y
y
6 3
2
6
2 Vậy M 3;
3
3 Bài tập luyện tập
Bài 1.87.Cho vecto a 2;0 ,b 1;1 ,c 4;6
2
Tìm tọa độ vectơ u biết a) u 2a 4b 5c b) a 2b 2u c
Bài 1.88 Cho ba điểm A 0; ,B 0; C 3; a) Tìm tọa độ vectơ u AB 2BC 3CA
b) Tìm điểm M cho MA MB MC
DẠNG 4: Xác định tọa độ điểm hình 1 Phương pháp
Dựa vào tính chất hình sử dụng cơng thức
+ M trung điểm đoạn thẳng AB suy xM xA xB, yM yA yB
2
+ G trọng tâm tam giác ABC suy xG xA xB xC,
A B C
G
y y y
y
2
+ u x y u x y x x
y y
'
; ' '; '
'
2 Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(2;1), ( 1; 2), ( 3;2)B C a) Tìm tọa độ trung điểm M cho C trung điểm đoạn MB b) Xác định trọng tâm tam giác ABC
b) Tìm điểm D cho ABCD hình bình hành
(7)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
a) C trung điểm MB suy
2
M B
C M C B
x x
x x x x
và yC yM yB yM 2yC yB
Vậy M 6;
b) G trọng tâm tam giác suy
A B C
G
x x x
x
3 3
A B C
G
y y y
y 2
2 3
Vậy G 1; 3
c) Gọi D x y( ; ) DC ( x;2 y) Ta có: ABCD hình bình hành suy
x x
AB DC D
y y
3
(0;5)
2
Vậy D 5;
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A 1; ,B 2; I 1; Xác định tọa độ điểm C, D cho tứ giác ABCD hình bình hành biết I trọng tâm tam giác
ABC Tìm tọa tâm O hình bình hành ABCD
Lời giải
Vì I trọng tâm tam giác ABC nên
A B C
I C I A B
x x x
x x 3x x x
3
A B C
I C I A B
y y y
y y 3y y y
2 suy C 4;
Tứ giácABCD hình bình hành suy
D D
D D
x x
AB DC D
y y
1
(5; 7)
2
Điểm O hình bình hành ABCD suy O trung điểm AC
A C A C
O O
x x y y
x 2,y O 2;
2 2
3 Bài tập luyện tập
Bài 1.89: Cho ba điểm A(3; 4), (2;1), ( 1; 2)B C
a) Tìm tọa độ trung điểm cạnh BC tọa độ trọng tâm tam giác ABC b) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành
Bài 1.90: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A 4; ,B 2; ,I 1; Xác định tọa độ điểm C, D cho tứ giác ABCD hình bình hành I trung điểm cạnh CD Tìm tọa tâm O hình bình hành ABCD
Bài 1.91: Cho tam giác ABC có A 1; ,B 3; , đỉnh C nằm Oy trọng tâm G nằm trục Ox Tìm tọa độ đỉnh C
(8)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Bài 1.93: Cho tam giác ABCcó A 4; ,B 2; ,C 1; A' điểm đối xứng A qua B, B' điểm đối xứng B qua C, C' điểm đối xứng C qua A
a) Tìm tọa độ điểm A', B', C'
b) Chứng minh tam giác ABC A B C' ' ' có trọng tâm
DẠNG 5: Bài toán liên quan đến phương hai vectơ Phân tích vectơ qua hai vectơ không phương.
1 Phương pháp
• Cho u ( ; )x y ;u' ( '; ')x y Vectơu' phương với vectơ u(u 0) có số k cho x kx
y ky
' '
Chú ý: Nếu xy ta có u' phương u x y
x y
' '
• Để phân tích c c c1; qua hai vectơ a a a1; ,b b b1; không phương, ta giả sử c xa yb Khi ta quy giải hệ phương trình a x b y c
a x b y c
1 1
2 2
2 Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho a (1;2), b ( 3;0) ; c ( 1;3) a) Chứng minh hai vectơ a ; b không phương b) Phân tích vectơ c qua a ; b
Lời giải
a) Ta có a
1 b không phương b) Giả sử c xa yb Ta có xa yb x ;2y x
Suy
x
x y
c a b
x
y
3 3 2 5
2
9
Ví dụ 2: Cho u m2 m ; v ( ;2)m Tìm m để hai vecto u v, phương
Lời giải
+ Với m 0: Ta có u ( 2; 4) ;v (0;2)
Vì
2 nên hai vectơ u v; không phương
+ Với m 0: Ta có u v; phương m
m
m m
m m
2
2
m
2
2
Vậy với m m giá trị cần tìm
(9)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
b) Xác định điểm D trục hoành cho ba điểm A, B, D thẳng hàng c) Xác định điểm E cạnh BC cho BE 2EC
d) Xác định giao điểm hai đường thẳng DE AC
Lời giải
a) Ta có AB 3; ,AC 5; Vì
5 suy ABvà AC không phương Hay A, B, C ba đỉnh tam giác
b) D trục hoành D x;0
Ba điểm A, B, D thẳng hàng suy ABvà AD không phương Mặt khác AD x 3; x x 15
9
Vậy D 15 0;
c) Vì E thuộc đoạn BC BE 2EC suy BE 2EC Gọi E x y; BE x 3;y ,EC x; y
Do
x
x x
y y
y
3 3
6 2
3 Vậy E 2;
3
d) Gọi I x y; giao điểm DE AC Do DI x 15;y DE, 46 2;
3 phương suy
x y
x y
3 15
23 15
46 (1)
; , ;
AI x 6y AC 5 phương suy x y x y
5 (2)
Từ (1) (2) suy
x
2 y
Vậy giao điểm hai đường thẳng DE AC 1; 2 I
3 Bài tập luyên tập
Bài 1.94 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A 2; ,B 3; ,C 4; ;
D
a) Bộ ba điểm thẳng hàng b) Chứng minh AB AC khơng phương
c) Phân tích CD qua AB AC
Bài 1.95 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A 1; ,B 3; ,C 7; D 3; Tìm giao điểm đường thẳng AC BD
Bài 1.96 Cho a (3;2), b ( 3;1) a) Chứng minh a b không phương
(10)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Bài 1.97 Cho tam giác ABC có A(3; 4), (2;1), ( 1; 2)B C Tìm điểm M đường thẳng BC cho SABC 3SABM
Bài 1.98 Cho ba điểm A( 1; 1), (0;1), (3; 0)B C
a) Chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành tam giác
b) Xác định tọa độ điểm D biết D thuộc đoạn thẳng BC 2BD 5DC
c) Xác định tọa độ giao điểm AD BG G trọng tâm tam giác ABC
Bài 1.99 Tìm trục hồnh điểm P cho tổng khoảng cách từ P tới hai điểm A B
nhỏ nhất, biết:
a) A 1; B 4; b) A 2; B 4;
oup: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/