Trục tọa độ và hệ trục tọa độ - Chuyên đề Hình học 10 - Hoc360.net

A. Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ. x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của điểm M.. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác. Biểu thứ tọa độ của các phép toán v[r]

(1)

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

§4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT : I.TRỤC TỌA ĐỘ:

1 Định nghĩa: Trục tọa độ (Trục , hay trục số ) đường thẳng ta xác định điểm O vectơ đơn vị i ( tức i 1)

Điểm O gọi gốc tọa độ , vec tơ i gọi vectơ đơn vị trục tọa độ Kí hiệu (O ; i ) hay x Ox' đơn giản Ox

2 Tọa độ vectơ điểm trục:

+ Cho vec tơ u nằm trục (O ; i ) có số thực a cho u a i với a R Số a gọi tọa độ vectơ u trục (O ; i )

+ Cho điểm M nằm (O ; i ) có số m cho OM m i Số m gọi tọa độ điểm M trục (O ; i )

Như tọa độ điểm M trọa độ vectơ OM

3 Độ dài đại số vec tơ trục :

Cho hai điểm A, B nằm trục Ox tọa độ vectơ AB kí hiệu AB gọi độ dài đại số vectơ AB trục Ox

Như AB AB i Tính chất :

+ AB BA

+ AB CD AB CD

+ A B C; ; ( ; ) :O i AB BC AC

II HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

1 Định nghĩa: Hệ trục tọa độ gồm hai trục vng góc Ox Oy với hai vectơ đơn vị i j, Điểm O gọi gốc tọa độ, Ox gọi trục hoành Oy gọi trục tung

Kí hiệu Oxy hay O i j; ,

2 Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ

+ Trong hệ trục tọa độ O i j; , u xi y j cặp số ;

x y gọi tọa độ vectơ u, kí hiệu u x y; hay u x y; x gọi hoành độ, y gọi tung độ vectơ u

+ Trong hệ trục tọa độ O i j; , , tọa độ vectơ OM gọi tọa độ điểm M, kí hiệu ;

M x y hay M x y; x gọi hoành độ, y gọi tung độ điểm M i

x' O x

Hình 1.30

x y

H O

M K

(2)

Nhận xét: (hình 1.31) Gọi H, K hình chiếu M lên Ox Oy ;

M x y OM xi y j OH OK

Như OH xi OK, y j hay x OH y, OK

3 Tọa độ trung điểm đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm tam giác

+ Cho A x y( ; ), ( ; )A A B x yB B M trung điểm AB Tọa độ trung điểm M x yM; M

đoạn thẳng AB A B A B

M M

x x y y

x , y

2

+ Cho tam giác ABC có A x y( ; ), ( ; ),A A B x yB B C x yC; C Tọa độ trọng tâm G x yG; G tam giác ABC xG xA xB xC

3

A B C

G

y y y

y

2

4 Biểu thứ tọa độ phép toán vectơ

Cho u ( ; )x y ;u' ( '; ')x y số thực k Khi ta có : 1) u u x x

y y

' '

'

2) u v (x x y'; y') 3) k u ( ; )kx ky

4) u' phương u(u 0) có số k cho x kx

y ky

'

5) Cho A x y( ; ), ( ; )A A B x yB B AB xB x yA; B yA

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 DẠNG 1: Tìm tọa độ điểm; tọa độ vectơ; độ dài đại số vectơ chứng minh hệ thức liên quan trục (O ; i )

1 Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức sau:

• Điểm M có tọa độ a OM a i

• Vectơ AB có độ dài đại số m AB AB mi

• Nếu a, b tọa độ A, B AB b a

• Các tính chất

+ AB BA

+ AB CD AB CD

+ A B C; ; ( ; ) :O i AB BC AC

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Trên trục tọa độ (O ; i ) cho điểm A ; B ; C có tọa độ –2 ;

(3)

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ b) Chứng minh B trung điểm AC

Lời giải

a) Ta có AB 3, BC 3,CA

b) Ta có BA BC BA BC suy B trung điểm AC

Ví dụ 2: Trên trục tọa độ (O; i ) cho điểm A B C D, , , Chứng minh ABCD AC DB AD BC

Lời giải

Cách 1: Giả sử tọa độ điểm A, B, C, D a, b, c, d Ta có AB CD b a d c bd ac bc ad

AC DB c a b d bc ad cd ab

AD BC d a c b cd ab ac bd

Cộng vế với vế lại ta ABCD AC DB AD BC Cách 2: ABCD AC DB AD BC

AB AD AC AC AB AD AD AC AB

AB AD AB AC AC AB AC AD AD AC AD AB

0

3 Bài tập luyện tập

Bài 1.80.Trên trục tọa độ (O; i ) Cho điểm A B có tọa độ avà b a)Tìm tọa độ điểm M cho MA kMB (k 1)

b)Tìm tọa độ trung điểm I AB

c)Tìm tọa độ điểm N cho 2NA 5NB

Bài 1.81.Trên trục (O ; i ) cho điểm A ; B ; C có tọa độ a ; b ; c Tìm điểm I

cho : IA IB IC

Bài 1.82 Trên trục tọa độ (O ; i ) cho điểm A B C D, , , có tọa độ a b c d, , , thỏa mãn hệ thức2(ab cd) (a b c)( d) Chứng minh DA CA

DB CB

 DẠNG 2: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ mặt phẳng Oxy 1 Phương pháp

• Để tìm tọa độ vectơ a ta làm sau

Dựng vectơ OM a Gọi H K, hình chiếu vng góc M lên Ox Oy, Khi a a a1; với a1 OH a, OK

• Để tìm tọa độ điểm A ta tìm tọa độ vectơ OA

• Nếu biết tọa độ hai điểm A x y( ; ), ( ; )A A B x yB B suy tọa độ AB xác định theo công

(4)

Chú ý: OH OH H nằm tia Ox(hoặc Oy ) OH OH H nằm tia đối tia Ox(hoặc Oy)

2 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho điểm

; M x y

Tìm tọa độ điểm

a) M1 đối xứng với M qua trục hoành b) M2 đối xứng với M qua trục tung c) M3 đối xứng với M qua gốc tọa độ

Lời giải (hình 1.32)

a) M1 đối xứng với M qua trục hoành suy M x y1 ; b) M2 đối xứng với M qua trục tung suy M2 x y; c) M3 đối xứng với M qua gốc tọa độ suy M3 x; y

Ví dụ 2: Trong hệ trục tọa độ (O; i ; j ), cho hình vng ABCD tâm I có A(1; 3) Biết điểm B thuộc trục (O; i ) BC hướng với i Tìm tọa độ vectơ AB BC, AC

Từ giả thiết ta xác định hình vng mặt phẳng tọa độ

(hình bên)

Vì điểm A(1; 3) suy AB 3,OB Do B 0; ,C 0; ,D 3;

Vậy AB 3; ,BC 0; AC 3;

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho hình thoi ABCD

cạnh a BAD 600 Biết A trùng với gốc tọa độ O, C thuộc trục Ox 0, 0

B B

x y

Tìm tọa độ đỉnh hình thoi ABCD

Từ giả thiết ta xác định hình thoi mặt phẳng tọa độ Oxy

Gọi I tâm hình thoi ta có

sin sin a

BI AB BAI a 300

2

a a

AI AB BI a

2

2 2

4

Suy

; , a ;a , ; , a ; a

A 0 B C a D

2 2

3 Bài tập luyên tập

Bài 1.83: Trong hệ trục tọa độ (O; i ; j ), Cho tam giác ABC cạnh a, biết O trung điểm BC, i hướng với OC, j hướng OA

a) Tính tọa độ đỉnh tam giác ABC b) Tìm tọa độ trung điểm E AC

x y

O

M(x;y)

M1

M2

M3

Hình 1.32

x y

O C O

A D

B

Hình 1.33

x y

I

C A

B

D

(5)

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 1.84: Trong hệ trục tọa độ (O; i ; j ), Cho hình thoi ABCD tâm O có ,

AC BD Biết OC i hướng, OB j hướng a) Tính tọa độ đỉnh hình thoi

b) Tìm tọa độ trung điểm I BC trọng tâm tam giác ABC

Bài 1.85: Cho hình bình hành ABCD có AD chiều cao ứng với cạnh AD = 3, BAD 600 Chọn hệ trục tọa độ A i j; , cho i AD hướng, 0

B

y Tìm tọa độ vecto AB BC CD, , vàAC

Bài 1.86: Cho lục giác ABCDEF Chọn hệ trục tọa độ (O; i; j ), O tâm lục giác ,i hướng với OD, j hướng EC Tính tọa độ đỉnh lục giác , biết cạnh lục giác

 DẠNG 3: Xác định tọa độ điểm, vectơ liên quan đến biểu thức dạng

, ,

u v u v k u

1 Phương pháp

Dùng cơng thức tính tọa độ vectơu v u, v k u,

Với u ( ; )x y ;u' ( '; ')x y số thực k, u v (x x y'; y') k u ( ; )kx ky

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho vecto: a 3; b 1;5 c 2;

Tìm tọa độ vectơ sau

a) u 2v với u 3i 4j v i b) k 2a b l a 2b 5c

Lời giải

a) Ta có u 2v 3i 4j i i 4j suy u 2v ; b) Ta có 2a (6; 4) b ( 1;5)suy k 1; 5;9 ;

a ( 3; 2), 2b ( 2;10) 5c ( 10; 25) suy

l 10; 10 25 15; 17

Ví dụ 2: Cho a (1;2), b ( 3;4) ; c ( 1;3) Tìm tọa độ vectơ u biết a) 2u 3a b b) 3u 2a 3b 3c

Lời giải

a) Ta có 2u 3a b u 3a 1b

2

Suy u 3;3 1;

2

(6)

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Suy u 1; 4 4;

3 3

Ví dụ 3: Cho ba điểm A 0; ,B 3; C 1; a) Xác định tọa độ vectơ u 2AB AC

b) Tìm điểm M cho MA 2MB 3MC Lời giải

a) Ta có AB 3; ,AC 1; suy u 5;

b) Gọi M x y; , ta có MA x; y ,MB x;3 y ,MC x;1 y Suy MA 2MB 3MC 6x 6; y

Do

x x

MA MB MC

y

6 3

2

6

2 Vậy M 3;

3

Bài 1.87.Cho vecto a 2;0 ,b 1;1 ,c 4;6

2

Tìm tọa độ vectơ u biết a) u 2a 4b 5c b) a 2b 2u c

Bài 1.88 Cho ba điểm A 0; ,B 0; C 3; a) Tìm tọa độ vectơ u AB 2BC 3CA

b) Tìm điểm M cho MA MB MC

 DẠNG 4: Xác định tọa độ điểm hình 1 Phương pháp

Dựa vào tính chất hình sử dụng cơng thức

+ M trung điểm đoạn thẳng AB suy xM xA xB, yM yA yB

2

+ G trọng tâm tam giác ABC suy xG xA xB xC,

A B C

G

y y y

y

2

+ u x y u x y x x

y y

'

; ' '; '

'

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(2;1), ( 1; 2), ( 3;2)B C a) Tìm tọa độ trung điểm M cho C trung điểm đoạn MB b) Xác định trọng tâm tam giác ABC

b) Tìm điểm D cho ABCD hình bình hành

(7)

a) C trung điểm MB suy

2

M B

C M C B

x x

x x x x

và yC yM yB yM 2yC yB

Vậy M 6;

b) G trọng tâm tam giác suy

A B C

G

x x x

x

3 3

A B C

G

y y y

y 2

2 3

Vậy G 1; 3

c) Gọi D x y( ; ) DC ( x;2 y) Ta có: ABCD hình bình hành suy

x x

AB DC D

y y

3

(0;5)

2

Vậy D 5;

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A 1; ,B 2; I 1; Xác định tọa độ điểm C, D cho tứ giác ABCD hình bình hành biết I trọng tâm tam giác

ABC Tìm tọa tâm O hình bình hành ABCD

Lời giải

Vì I trọng tâm tam giác ABC nên

A B C

I C I A B

x x x

x x 3x x x

3

A B C

I C I A B

y y y

y y 3y y y

2 suy C 4;

Tứ giácABCD hình bình hành suy

D D

x x

AB DC D

y y

1

(5; 7)

2

Điểm O hình bình hành ABCD suy O trung điểm AC

A C A C

O O

x x y y

x 2,y O 2;

2 2

Bài 1.89: Cho ba điểm A(3; 4), (2;1), ( 1; 2)B C

a) Tìm tọa độ trung điểm cạnh BC tọa độ trọng tâm tam giác ABC b) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành

Bài 1.90: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A 4; ,B 2; ,I 1; Xác định tọa độ điểm C, D cho tứ giác ABCD hình bình hành I trung điểm cạnh CD Tìm tọa tâm O hình bình hành ABCD

Bài 1.91: Cho tam giác ABC có A 1; ,B 3; , đỉnh C nằm Oy trọng tâm G nằm trục Ox Tìm tọa độ đỉnh C

(8)

Bài 1.93: Cho tam giác ABCcó A 4; ,B 2; ,C 1; A' điểm đối xứng A qua B, B' điểm đối xứng B qua C, C' điểm đối xứng C qua A

a) Tìm tọa độ điểm A', B', C'

b) Chứng minh tam giác ABC A B C' ' ' có trọng tâm

 DẠNG 5: Bài toán liên quan đến phương hai vectơ Phân tích vectơ qua hai vectơ không phương.

1 Phương pháp

• Cho u ( ; )x y ;u' ( '; ')x y Vectơu' phương với vectơ u(u 0) có số k cho x kx

y ky

' '

Chú ý: Nếu xy ta có u' phương u x y

x y

' '

• Để phân tích c c c1; qua hai vectơ a a a1; ,b b b1; không phương, ta giả sử c xa yb Khi ta quy giải hệ phương trình a x b y c

a x b y c

1 1

2 2

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho a (1;2), b ( 3;0) ; c ( 1;3) a) Chứng minh hai vectơ a ; b không phương b) Phân tích vectơ c qua a ; b

Lời giải

a) Ta có a

1 b không phương b) Giả sử c xa yb Ta có xa yb x ;2y x

Suy

x

x y

c a b

x

y

3 3 2 5

2

9

Ví dụ 2: Cho u m2 m ; v ( ;2)m Tìm m để hai vecto u v, phương

Lời giải

+ Với m 0: Ta có u ( 2; 4) ;v (0;2)

Vì

2 nên hai vectơ u v; không phương

+ Với m 0: Ta có u v; phương m

m

m m

2

m

2

Vậy với m m giá trị cần tìm

(9)

b) Xác định điểm D trục hoành cho ba điểm A, B, D thẳng hàng c) Xác định điểm E cạnh BC cho BE 2EC

d) Xác định giao điểm hai đường thẳng DE AC

Lời giải

a) Ta có AB 3; ,AC 5; Vì

5 suy ABvà AC không phương Hay A, B, C ba đỉnh tam giác

b) D trục hoành D x;0

Ba điểm A, B, D thẳng hàng suy ABvà AD không phương Mặt khác AD x 3; x x 15

9

Vậy D 15 0;

c) Vì E thuộc đoạn BC BE 2EC suy BE 2EC Gọi E x y; BE x 3;y ,EC x; y

Do

x

x x

y y

y

3 3

6 2

3 Vậy E 2;

3

d) Gọi I x y; giao điểm DE AC Do DI x 15;y DE, 46 2;

3 phương suy

x y

3 15

23 15

46 (1)

; , ;

AI x 6y AC 5 phương suy x y x y

5 (2)

Từ (1) (2) suy

x

2 y

Vậy giao điểm hai đường thẳng DE AC 1; 2 I

3 Bài tập luyên tập

Bài 1.94 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A 2; ,B 3; ,C 4; ;

D

a) Bộ ba điểm thẳng hàng b) Chứng minh AB AC khơng phương

c) Phân tích CD qua AB AC

Bài 1.95 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A 1; ,B 3; ,C 7; D 3; Tìm giao điểm đường thẳng AC BD

Bài 1.96 Cho a (3;2), b ( 3;1) a) Chứng minh a b không phương

(10)

Bài 1.97 Cho tam giác ABC có A(3; 4), (2;1), ( 1; 2)B C Tìm điểm M đường thẳng BC cho SABC 3SABM

Bài 1.98 Cho ba điểm A( 1; 1), (0;1), (3; 0)B C

a) Chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành tam giác

b) Xác định tọa độ điểm D biết D thuộc đoạn thẳng BC 2BD 5DC

c) Xác định tọa độ giao điểm AD BG G trọng tâm tam giác ABC

Bài 1.99 Tìm trục hồnh điểm P cho tổng khoảng cách từ P tới hai điểm A B

nhỏ nhất, biết:

a) A 1; B 4; b) A 2; B 4;