• Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc.. • Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt.[r]
(1)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
§1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ
TỪ 00
ĐẾN 1800 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy.Với góc
0
0 180 , ta xác định điểm M trên đường nửa đường tròn đơn vị tâm O cho xOM Giả sử điểm M có tọa độ x y;
Khi đó:
y x
y
x y
0 0
sin ; cos x; tan ( 90 ); cot ( , 180 )Các
số sin , cos , tan , cot gọi giá trị lượng giác góc Chú ý: Từ định nghĩa ta có:
• Gọi P, Q hình chiếu M lên trục Ox, Oy M OP OQ;
• Với 00 1800
ta có sin 1; cos
• Dấu giá trị lượng giác:
Góc 00
900 1800
sin + +
cos + -
tan + -
cot + -
2 Tính chất
• Góc phụ
0
0
0
sin(90 ) cos
cos(90 ) sin
tan(90 ) cot
cot(90 ) tan
• Góc bù
0
0
0
sin(180 ) sin
cos(180 ) cos
tan(180 ) tan
cot(180 ) cot
3 Giá trị lượng giác góc đặc biệt
x y
P O
M(x;y)
Q
(2)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Góc 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800
sin
0
2
2
3
2
3
2
1
2
cos
1
2
2
1
2
1
2
3
2 –1
tan
0
3
3
3
cot
3
3
3
3
4 Các hệ thức lượng giác
0
0 0
2
2
2
2 0
2 sin
1) tan ( 90 ) ;
cos cos
2) cot ( ; 180 )
sin
3) tan cot ( ; 90 ; 180 )
4) sin cos
1
5) tan ( 90 )
cos
6) cot ( ; 180 )
sin Chứng minh:
- Hệ thức 1), 2) 3) dễ dàng suy từ định nghĩa - Ta có sin OQ, cos OP
Suy OQ OP OQ OP
2
2 2
sin cos
+ Nếu ,0 900 1800 dễ dàng thấy sin2 cos2 + Nếu ,0 900 1800 theo định lý Pitago ta có
sin2 cos2 OQ2 OP2 OQ2 QM2 OM2 Vậy ta có sin2 cos2
Mặt khác
2 2
2
2 2
sin cos sin
1 tan
cos cos cos suy 5)
Tương tự
2 2
2
2 2
cos sin cos
1 cot
(3)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG : Xác định giá trị lượng giác góc đặc biệt 1 Phương pháp giải
• Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác góc
• Sử dụng tính chất bảng giá trị lượng giác đặc biệt
• Sử dụng hệ thức lượng giác 2 Các ví dụ
Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức sau: a) A a2sin 900 b2cos 900 c2cos1800 b) B sin 902 cos 602 tan 452
c) C sin 452 sin 502 cos 452 sin 402 tan 55 tan 350 Lời giải
a) A a2.1 b2.0 c2 a2 c2
b) B
2
2
3
2
c) C sin 452 cos 452 sin 502 sin 402 tan 55 cot550
C
2
2
2
3 sin 50 cos 40 4
2 2
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức sau:
a) A sin 32 sin 152 sin 752 sin 872
b) B cos 00 cos200 cos 400 cos1600 cos1800 c) C tan tan10 tan15 tan 80 tan 850 0 0
Lời giải
a) A sin 32 sin 872 sin 152 sin 752
2 2
sin cos sin 15 cos 15
1
b) B cos 00 cos1800 cos200 cos1600 cos 800 cos1000
0 0 0
cos cos cos 20 cos 20 cos 80 cos 80
0
c) C tan tan 850 tan15 tan 75 tan 45 tan 450 0
0 0 0
tan cot5 tan15 cot5 tan 45 cot5
3 Bài tập luyện tập:
Bài 2.1: Tính giá trị biểu thức sau:
a) A sin 450 cos 600 tan 300 cot1200 sin1350 b) B sin 45a2 3( tan 45 )a (2 cos 45 )a
c) C sin 352 sin 732 cos 352 cos 732 d) D 122 0 tan 85 cot950 12 sin 1042
1 tan 76
(4)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ f) F cos 13 cos 23 cos 33 cos 1793 cos 1803 Bài 2.2: Tính giá trị biểu thức sau:
x
P x x x x
x
0
2
8 tan
4 tan sin cot 26 cos
1 tan
x 300
DẠNG : Chứng minh đẳng thức lượng giác, chứng minh biểu thức không phụ thuộc x, đơn giản biểu thức
1 Phương pháp giải
• Sử dụng hệ thức lượng giác
• Sử dụng tính chất giá trị lượng giác
• Sử dụng đẳng thức đáng nhớ 2 Các ví dụ
Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau(giả sử biểu thức sau có nghĩa) a) sin4x cos4x sin cos2x 2x
b) x x
x x
1 cot tan
1 cot tan
c) x x x x x
x
3
3
cos sin
tan tan tan
cos
Lời giải
a) sin4x cos4x sin4x cos4x sin2xcos2x sin2xcos2x
x x x x
x x
2
2 2
2
sin cos sin cos
1 sin cos
b)
x
x x x x
x x x
x x
1 tan
1
1 cot tan tan tan
1 cot tan tan
1
tan tan
c) x x x
x x x
3
cos sin sin
cos cos cos x x x
2
tan tan tan
tan3x tan2x tanx Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Chứng minh
B B
A C
B
A C A C B
3
sin cos cos
2 .tan 2
sin
cos sin
2
Lời giải
Vì A B C 1800 nên
B B
B
VT B
B
B B
3 0
0
sin cos cos 180
2 .tan
sin
180 180
cos sin
(5)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
B B
B B B
B VP
B B B
3
2
sin cos cos
2 .tan sin cos 1 2
sin 2
sin cos
2
Suy điều phải chứng minh
Ví dụ 3: Đơn giản biểu thức sau(giả sử biểu thức sau có nghĩa) a) A sin(900 x) cos(1800 x) sin (12x tan )2x tan2x b) B
x x x
1 1
sin cos cos
Lời giải
a) A x x x x
x
2
2
1
cos cos sin tan
cos
b) B x x
x x x
1 cos cos
sin cos cos
x x x x
x x
2
2
1 2
sin cos sin sin
1
2 cot
sin
Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x
P sin4x 6 cos2x 3 cos4x cos4x 6 sin2x 3 sin4x Lời giải
P 1 cos2x 6 cos2x 3 cos4x 1 sin2x 6 sin2x 3 sin4x
x x x x
x x
x x
4
2
2
2
4 cos cos sin sin
2 cos sin
2 cos sin
3
Vậy P không phụ thuộc vào x 3 Bài tập luyên tập
Bài 2.3 Chứng minh đẳng thức sau(giả sử biểu thức sau có nghĩa) a) tan2x sin2x tan sin2x 2x
b) sin6x cos6x sin cos2x 2x
c) x x x x
x x
x x
3
3
2
tan cot
tan cot
sin cos
sin cos
d) sin2x tan2x tan (cos6x 2x cot )2x e) tan tan sin sin
tan tan sin sin
a b a b
a b a b
2 2
2 2
Bài 2.4 Đơn giản biểu thức sau(giả sử biểu thức sau có nghĩa)
a) A x x
x
2
2
1
tan 180 cos 180
(6)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
b) B x x x
x x
2
2
2
cos sin
cos
cot tan
c) C a a
a a a a
3
2
sin cos
cos sin (sin cos )
d) D a a
a a
1 sin sin
1 sin sin
Bài 2.5 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào (giả sử biểu thức sau có nghĩa)
a) (tan cot )2 (tan cot )2 b) 2(sin6 cos6 ) 3(sin4 cos4 )
c) cot 30 (sin2 cos ) cos 60 (cos8 sin ) sin (906 ) tan2
d) (sin4x cos4x 1)(tan2x cot2x 2)
e) sin cos
sin cos cos
x x
x x x
4
6
3
3
Bài 2.6: Cho tam giác ABC Hãy rút gọn a) A cos2B cos2A C tanBtanA C
2 2
b)
B B
A C
B B
A C A C B
sin cos cos
2 .tan
sin
cos sin
2
DẠNG : Xác định giá trị biểu thức lượng giác có điều kiện 1 Phương pháp giải
• Dựa vào hệ thức lượng giác
• Dựa vào dấu giá trị lượng giác
• Sử dụng đẳng thức đáng nhớ 2 Các ví dụ
Ví dụ 1: a) Chosin với
0
90 180 Tính cos tan
b) Cho cos
3 Tính sin cot
c) Cho tan 2 tính giá trị lượng giác cịn lại Lời giải
a) Vì 900 1800 nên cos mặt khác sin2 cos2 suy
2 2
cos sin
9
Do
1
sin 3
tan
cos 2 2 2 2
3
(7)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
b) Vì sin2 cos2 nên sin cos2
2
cos 3
cot
sin 5 5
3
c) Vì tan 2 cos mặt khác tan2 12
cos nên
2
1 1
cos
8
tan
Ta có tan sin sin tan cos 2 2
cos 3
1
cos 3
cot
sin 2 2 2 2
3
Ví dụ 2: a) Cho cos với
0
0 90 Tính A tan cot
tan cot
b) Cho tan Tính B 3 sin 3cos
sin cos sin
Lời giải a) Ta có A
2 2
2
2 1
2
tan tan 3
tan cos 1 2 cos
1 tan 1
tan
tan cos
Suy A 17
16
b) B
2
3
3 3
3 3
sin cos
tan tan tan
cos cos
sin cos sin tan tan tan
cos cos cos
Suy B
3
2 2
2 2
Ví dụ 3: Biết sinx cosx m
a) Tìm sin cosx x sin4x cos4x b) Chứng minh m
Lời giải
a) Ta có sinx cosx sin2x 2sin cosx x cos2x 2sin cosx x (*) Mặt khác sinx cosx m nên m2 sin cos hay m
2 1
sin cos
(8)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Đặt A sin4x cos4x
Ta có
A sin2x cos2x sin2x cos2x sinx cosx sinx cosx A2 sinx cosx sinx cosx 1 2 sin cosx x 1 2 sin cosx x
m m m m
A2 1 1 2
2
Vậy A 2m2 m4
b) Ta có sin cosx x sin2x cos2x kết hợp với (*) suy
x x x x
sin cos sin cos
Vậy m
3 Bài tập luyện tập
Bài 2.7: Tính giá trị lượng giác lại, biết
a) sin
5 với
0
0 90 b) cos
c) cot d) tan cot sin
5
Bài 2.8 a) Cho cosa
3 Tính
a a
A
a a
cot tan cot tan b) Chosina
3 với a
0
90 180 Tính B a a
a a
3 cot tan
cot tan
c) Cho tana Tính C a a
a a
2 sin cos sin cos ;
d) Cho cota Tính D cos2a sin cosa a Bài 2.9: Biết tanx cotx m
a) Tìm tan x2 cot x2 b)
6
4
tan x cot x
tan x cot x c) Chứng minh m Bài 2.10: Cho sin cos 12
25 Tính
3
sin cos
Bài 2.11: Cho tana cota Tính giá trị biểu thức sau: a) A tan2a cot2a
b) B tana cota c) C tan4a cot4a
Bài 2.12: a) Cho sin4x cos4x
4 Tính A x x
4
(9)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ b) Cho sin4x cos4x
2 Tính B x x
4
sin 3cos
c) Cho sin4x cos4x
4 Tính C x x
4
oup: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/