Giải hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

tọa độ như dạng tam diện vuông.. + ThiÕt lËp biÓu thøc cho ®èi t-îng cÇn t×m cùc trÞ.. T×m tØ lÖ thÓ tÝch cña tø diÖn SBCM vµ tø diÖn SABC.. Chân đường cao là trọng tâm của đáy. [r]

1

CHUYÊN ĐỀ

GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ I PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Để giải tốn hình khơng gian phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ chọn độ dài cạnh hình

PHƯƠNG PHÁP:

Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vị trí gốc O) Bước 2: Xác định toạ độ điểm có liên quan

(có thể xác định toạ độ tất điểm số điểm cần thiết) Khi xác định tọa độ điểm ta dựa vào :

 Ý nghĩa hình học tọa độ điểm (khi điểm nằm trục tọa độ, mặt phẳng tọa

độ)

 Dựa vào quan hệ hình học nhau, vng góc, song song ,cùng phương ,

thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ

 Xem điểm cần tìm giao điểm đường thẳng, mặt phẳng

 Dưạ vào quan hệ góc đường thẳng, mặt phẳng

Bước 3: Sử dụng kiến thức toạ độ để giải toán

Các dạng toán thường gặp:

 Độ dài đọan thẳng

 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

 Khoảng cách hai đường thẳng

 Góc hai đường thẳng

 Góc đường thẳng mặt phẳng

 Góc hai mặt phẳng

 Thể tích khối đa diện

 Diện tích thiết diện

 Chứng minh quan hệ song song , vng góc

 Bài tốn cực trị, quỹ tích

Bổ sung kiến thức :

1) Nếu tam giác có diện tích S hình chiếu có diện tích S' tích S với cosin

góc giữa mặt phẳng tam giác mặt phẳng chiếu

S' S.cos

2) Cho khối chóp S.ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A', B', C' khác với S

Ta có:

SC SC SB SB SA SA V

V

ABC S

C B A S

' ' '

' ' '



o Diện tích hình bình hành: SABCD AB AD,  ( )

o Diện tích tam giác: , ( )

2 ABC

S  AB AC  ;  

2 2

ABC

S  AB AC  AB AC o Thể tích khối hộp: ' ' ' '

'

, AA ( )

ABCD A B C D

V  AB AD 

o Thể tích tứ diện: , AD ( )

6 ABCD

V  AB AC 

Ta thường gặp dạng sau

Ví dụ Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi vng góc Điểm M cố định thuộc tam

giác ABC có khoảng cách đến mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) 1, 2, Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)

d[M, (OAB)] = zM =

Tương tự M(1; 2; 3)

pt(ABC): x y z

a b c

1

M (ABC)

a b c (1)

O.ABC

1

V abc

6 (2)

3

1 3

(1)

a b c a b c

1abc 27

6

(2)

1

V 27

a b c

Ví dụ:

1) Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC vuông A, AD = a, AC = b, AB = c

Tính diện tích S tam giác BCD theo a, b, c chứng minh : 2S abc a b c   

(Dự bị – Đại học khối D – 2003) Giải

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có tọa độ điểm :A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a)

       

     

 

     

     

     



2 2 2 BCD

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

BC c;b;0 ,BD c;0;a , BC,BD ab;ac;bc

1

S BC,BD a b a c b c

2

ñpcm a b a c b c abc(a b c)

a b a c b c abc(a b c)

Theo BĐT Cauchy ta :

a b +b c 2ab c

b c +c a

 

      



  

2 2 2 2

2 2 2

2bc a Cộng vế : a b a c b c abc(a b c)

c a a b 2ca b

b Dạng khác

Ví dụ Tứ diện S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy ABC vuông C Độ dài cạnh SA = 4, AC = 3, BC = Gọi M trung điểm cạnh AB, H điểm đối xứng C qua M

Tính cosin góc phẳng nhị diện [H, SB, C]

Hướng dẫn giải

z

y

x A

B

3 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có:

A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) H(1; 0; 0)

mp(P) qua H vng góc với SB I cắt đường thẳng SC K, dễ thấy

[H, SB, C] = IH, IK (1)

SB ( 1; 3; 4), SC (0; 3; 4) suy ra:

ptts SB:

x t

y 3t

z 4t

, SC:

x

y 3t

z 4t

và (P): x + 3y – 4z – =

5 15 51 32

I ; ; , K 0; ;

8 25 25

IH.IK cos[H, SB, C]

IH.IK = …

Chú ý: Nếu C H đối xứng qua AB C thuộc (P), ta khơng cần phải tìm K

Ví dụ (trích đề thi Đại học khối A – 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a

Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích AMN, biết (AMN) vng góc với (SBC)

Hướng dẫn giải

Gọi O hình chiếu S (ABC), ta suy O

là trọng tâm ABC Gọi I trung điểm BC,

ta có:

3 a

AI BC

2

a a

OA , OI

3

Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vng góc với OA Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta được:

O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A a 3; 0;

3 a

I ; 0;

6 ,

a a

B ; ;

6 ,

a a

C ; ;

6 ,

a a h

M ; ;

12

và N a 3; a h;

12

2

(AMN) ah 5a

n AM, AN ; 0;

4 24 ,

2

(SBC) a

n SB, SC ah; 0;

6

2

2

(AMN) (SBC) 5a AMN a 10

(AMN) (SBC) n n h S AM, AN

12 16

2 Hình chóp tứ giác

a) Hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đáy hình vng (hoặc hình chữ nhật) Ta chọn hệ trục

tọa độ dạng tam diện vuông

b) Hình chóp S.ABCD có đáy hình vng (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vng góc với đáy Ta

O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h)

c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD AB = b SAD cạnh a vng góc với đáy Gọi H trung điểm AD, (ABCD) ta vẽ tia Hy vng góc với AD Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có:

H(0; 0; 0), A a; 0; , B a; b;

2

a a a

, C ; b; , D ; 0; , S 0; 0;

2 2

3 Hình lăng trụ đứng

Tùy theo hình dạng đáy ta chọn hệ trục dạng

Ví dụ: Cho hình lập phơng ABCD A'B'C'D' CMR AC' vuông góc mp’ (A'BD)

Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz

sao cho O  A; B  Ox; D Oy

và A' Oz Giả sử hình lập phuơng

ABCD A'B'C'D' cú cnh a đơn vị

A'

D'

C'

C

B A

D B'

I O I'

Z

Y

5

 A(0;0;0), B (a;0;0), D(0;a;0), A' (0;0;a) C'(1;1;1) Phơng trình đoạn chắn mặt phẳng

(A'BD):

x + y + z = a hay x + y + z –a =

Pháp tuyến mặt phẳng (A'BC): n (A'BC) = (1;1;1) mµ AC' = (1;1;1)

VËy AC' vu«ng gãc (A'BC)

2 Tứ diện ABCD: AB, AC, AD đơi vng góc với nhau; AB = 3; AC = AD= Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD)

Lêi gi¶i:

+ Chän hƯ trơc Oxyz cho A  O

D Ox; C  Oy vµ B  Oz

 A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0)

Phơng trình đoạn chắn (BCD) là:

1 4  4

x y z

 3x + 3y + 4z – 12 =

Khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) là:

Nhn mnh cho hc sinh:

II Ph-ơng pháp gi¶i:

Để giải tốn hình học khơng gian ph-ơng pháp sử dụng tọa độ Đề không gian ta làm nh- sau:

* B-ớc 1: Thiết lập hệ tọa độ thích hợp, từ suy tọa độ điểm cần thiết * B-ớc 2: Chuyển hẳn tốn sang hình học giải tích khơng gian Bằng cách:

+ Thiết lập biểu thức cho giá trị cần xác định

+ Thiết lập biểu thức cho điều kiện để suy kết cần chứng minh

+ Thiết lập biểu thức cho đối t-ợng cần tìm cực trị + Thiết lập biểu thức cho đối t-ợng cần tìm quỹ tích…… III Luyện tập

z

O

B

y C

x D

Bài 1: Cho hình chóp SABC, cạnh có độ dài 1, O tâm ABC I trung điểm ca SO

1 Mặt phẳng (BIC) cắt SA M T×m tØ lƯ thĨ tÝch cđa tø diƯn SBCM tứ diện SABC

2 H chân đ-ờng vuông góc hạ từ I xuống cạnh SB CMR: IH ®i qua träng t©m G cđa SAC

Lêi gi¶i:

Chọn hệ trục Oxyz cho O gốc tọa độ

AOx, S Oz, BC//Oy

Tọa độ điểm: ( 3; 0; 0)

3

A ; ( 3; 1; 0)

6

 

B ; ( 1; ; 0)

6



C ; (0; 6)

3

S ; (0; 0; 6)

6

I

Ta có: BC(0;1;0); ( 1; ; 6)

6

  

IC ; , ( 6; 0; 3)

6

 

BC IC 

Phơng trình mặt phẳng (IBC) là:

6

( 0) 0( 0) ( )

6 6

 x  y  z 

Hay:

6

  z  mà ta lại có: ( 3;0; 6) // (1;0; 2)

3

  SA

SA SA u

Phơng trình ®ưêng th¼ng SA: ;

3

 

x t y0;z   2t

+ Tọa độ điểm M nghiệm hệ:

3 (1) (2) (3) 0(4)                  x t y y t x z

Thay (1) (2) (3) vµo (4) cã:

3 6

; 0; ( ;0; )

12 12

 x y z M ; ( 3; 0; 6)

12 12

SM   SA SM

 M nằm đoạn SA

4

 SM

SA

( )

( )

 SBCM 

SABC

V

V

2 Do G trọng tâm cđa ASC

 SG ®i qua trung ®iĨm N cña AC

 GI  (SNB)  GI SB đồng phẳng (1)

Ta lại có tọa độ G ( 1; ; 6)

18

3

( ; ; )

18 18

GI   

3

( ; ; )

18 18

GI    GI SB  0 GI SB (2)

7

Bài 2: Cho hình lăng trụ ABCD A1B1C1 có đáy tam giác cạnh a AA1 = 2a vng góc với mặt

phẳng (ABC) Gọi D trung điểm BB1; M di động cạnh AA1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ

diƯn tÝch MC1D

Lêi gi¶i:

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A  O; B  Oy; A1  Oz Khi đó.A(0;0;0), B(0;a;0); A1 (0;0;2a)

1

3

( ; ; )

2

a a

C a vµ D(0;a;a)

Do M di động AA1, tọa độ M (0;0;t)với t  [0;2a]

Ta cã :

1

1

,

DC M   

S DC DM

Ta có:

3

( ; ; )

2

(0; ; )

 

  

a a

DC a

DM a t a

,

 

DG DM ( ; 3( ); 3)



 a t a ta a

2 2

, ( ) 3( )

2

 

DG DM a t a  ta  a

1

2

2

4 12 15

2

12 15

2 

  

  

DC M

a

t at a

a

S t at a

z

x

y I

O B

A

C S

M

z

x

y I

O H

A

C S

G N

z

x C

C1 M

A

A1 B1

Giá trị lớn hay nhỏ nhÊt cña

1

DC M

S tïy thuộc vào giá trị hàm số

Xét f(t) = 4t2 – 12at + 15a2

f(t) = 4t2 – 12at + 15a2 (t [0;2a])

f'(t) = 8t – 12a

'( )

2

   a

f t t

Lp BBT giá trị lớn

1

15



DC M

a

S t =0 hay M A

Chú ý

+ Hình chóp tam giác có đáy tam giác cạnh bên nhau, không thiết phải đáy Chân đường cao trọng tâm đáy

+ Tứ diện hình chóp tam giác có cạnh bên đáy

+ Hình hộp có đáy hình bình hành khơng thiết phải hình chữ nhật

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

1 CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TAM GIÁC

Bài (trích đề thi Đại học khối D – 2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc (ABC), AC = AD =

4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD)

Bài Cho ABC vuông A có đường cao AD AB = 2, AC = Trên đường thẳng vng góc với (ABC) A lấy điểm S cho SA = Gọi E, F trung điểm SB, SC H hình chiếu A EF

1 Chứng minh H trung điểm SD

2 Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (ACE) Tính thể tích hình chóp A.BCFE

Bài Cho hình chóp O.ABC có cạnh OA = OB = OC = 3cm vng góc với đơi Gọi

H hình chiếu điểm O lên (ABC) điểm A’, B’, C’ hình chiếu H lên (OBC), (OCA), (OAB)

1 Tính thể tích tứ diện HA’B’C’

2 Gọi S điểm đối xứng H qua O Chứng tỏ S.ABC tứ diện

Bài Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vng góc với đôi Gọi M, N, P lần

lượt trung điểm BC, CA, AB

1 Tính góc (OMN) (OAB)

2 Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu O (ABC) trọng tâm ANP

Bài Cho hình chóp S.ABC có ABC vng cân A, SA vng góc với đáy Biết AB = 2,

0

(ABC),(SBC) 60

1 Tính độ dài SA

2 Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC)

Bài Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vng góc với đơi

1 Tính bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bài (trích đề thi Đại học khối D – 2003) Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với nhau, giao tuyến

đường thẳng (d) Trên (d) lấy hai điểm A B với AB = a Trong (P) lấy điểm C, (Q) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với (d) AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a

Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, AB = a, BC = 2a Cạnh SA vuông góc với đáy

9 Tính khoảng cách MB AC theo a

Bài 10 Cho tứ diện S.ABC có ABC vng cân B, AB = SA = Cạnh SA vng góc với đáy Vẽ AH vng góc với SB H, AK vng góc với SC K

1 Chứng minh HK vng góc với CS

2 Gọi I giao điểm HK BC Chứng minh B trung điểm CI Tính sin góc SB (AHK)

4 Xác định tâm J bán kính R mặt cầu ngoại tiếp S.ABC

Bài 11 Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông C, AC = 2, BC = Cạnh bên SA = vng góc với đáy Gọi D trung điểm cạnh AB

1 Tính cosin góc hai đường thẳng AC SD Tính khoảng cách BC SD

Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a SA vng góc với đáy SA a Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC)

2 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC

Bài 13 Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a, đường cao SH = h Mặt phẳng ( ) qua AB vng góc với SC

1 Tìm điều kiện h theo a để ( ) cắt cạnh SC K

2 Tính diện tích ABK

3 Tính h theo a để ( ) chia hình chóp thành hai phần tích Chứng tỏ

tâm mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp trùng

2 CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TỨ GIÁC

Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = a vng góc với đáy Gọi E trung

điểm CD

1 Tính diện tích SBE

2 Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE)

3 (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần

Bài 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA a Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD)

2 Tính khoảng cách hai đường thẳng SD AC

Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 3cm Cạnh bên SA vng góc với đáy

SA cm Mp( ) qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD H, M, K

1 Chứng minh AH vng góc với SB, AK vng góc với SD

2 Chứng minh BD song song với ( )

3 Chứng minh HK qua trọng tâm G SAC

4 Tính thể tích hình khối ABCDKMH

Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, AD = b Cạnh bên SA vng góc với đáy

và SA = 2a Gọi M, N trung điểm cạnh SA, SD Tính khoảng cách từ A đến (BCN) Tính khoảng cách SB CN

3 Tính góc hai mặt phẳng (SCD) (SBC)

4 Tìm điều kiện a b để cos CMN

3 Trong trường hợp tính thể tích hình chóp

S.BCNM

Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a SAD vng góc với (ABCD) Gọi H trung điểm AD

1 Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD)

2 Mặt phẳng ( ) qua H vng góc với SC I Chứng tỏ ( ) cắt cạnh SB, SD

Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O SO vng góc với đáy SO 2a , AC =

4a, BD = 2a Mặt phẳng ( ) qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD B', C', D'

1 Chứng minh B'C' D'

Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a Đường cao SA = 2a Trên

cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0 m a)

1 Tìm vị trí điểm M để diện tích SBM lớn nhất, nhỏ

2 Cho m a

3, gọi K giao điểm BM AD Tính góc phẳng nhị diện [A, SK, B]

3 CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG

Bài 21 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I, K, M, N trung điểm A’D’,

BB’, CD, BC

1 Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng Tính khoảng cách IK AD Tính diện tích tứ giác IKNM

Bài 22 (trích đề thi Đại học khối A – 2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính góc phẳng nhị

diện [B, A’C, D]

Bài 23 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tìm điểm M cạnh AA’ cho (BD’M) cắt

hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ

Bài 24 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a

1 Chứng minh A’C vng góc với (AB’D’) Tính góc (DA’C) (ABB’A’)

3 Trên cạnh AD’, DB lấy điểm M, N thỏa AM = DN = k (0 k a 2)

a Chứng minh MN song song (A’D’BC)

b Tìm k để MN nhỏ Chứng tỏ MN đoạn vng góc chung AD’ DB

Bài 25 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AD = 4, AA’ = Các điểm M, N thỏa

AM mAD, BN mBB' (0 m 1) Gọi I, K trung điểm AB, C’D’

1 Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD) Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng

3 Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp A' BD

4 Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ

Bài 26 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh 2cm Gọi M trung điểm AB, N tâm

hình vng ADD’A’

1 Tính bán kính R mặt cầu (S) qua C, D’, M, N

2 Tính bán kính r đường tròn (C) giao (S) mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D Tính diện tích thiết diện tạo (CMN) hình lập phương

Bài 27 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh

a, BAD 60 Gọi M, N trung điểm cạnh AA’, CC’

1 Chứng minh B’, M, D, N thuộc mặt phẳng Tính AA’ theo a để B’MDN hình vng

MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA=a vng góc với đáy 1) Tính khỏang cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

2) Tính khỏang cách từ tâm O hình vng ABCD đến mặt phẳng (SBC) 3) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC)

Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, SO vng góc với

đáy.Gọi M,N theo thứ tự trung điểm SA BC Biết góc MN (ABCD) 600

1) Tính MN SO

2) Tính góc MN mặt phẳng (SBD)

Bài 3: Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh a AC=a, Từ trung điểm H cạnh AB dựng

SH(ABCD) với SH=a

1) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Bài 4: Cho góc tam diện Oxyz, Ox, Oy, Oz lấy điểm A,B,C

11

2) Giả sử A cố định cịn B, C thay đổi ln thỏa mãn OA=OB+OC Hãy xác định vị

Bài 7: Cho tam giác ABC cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vng

góc với mặt phẳng (ABC) D lấy điểm S cho

2

a

SD , CMR hai mặt phẳng (SAB)

(SAC) vng góc với

Bài 9: Cho tứ diện SABC có SC=CA=AB=a 2, SC( ABC), ABC vuông A, điểm M thuộc SA N thuộc BC cho AM=CN=t (0<t<2a)

1) Tính độ dài đoạn MN Tìm giá trị t để MN ngắn

2) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN đường vng góc chung BC SA

Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi có AC=4, BD=2 tâm O.SO=1 vng góc

với đáy Tìm điểm M thuộc đoạn SO cách hai mặt phẳng (SAB) (ABCD)

Bài 11: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Gọi M,N theo thứ tự trung điểm

cạnh AD,CD Lấy '

BB

P cho BP=3PB' Tính diện tích thiết diện (MNP) cắt hình lập

phương

Bài 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a, AD=2a, AA'=a

1) Tính theo a khoảng cách AD' B'C

2) Gọi M điểm chia đọan AD theo tỷ số 3

MD

AM Hãy tính khoảng cách từ M đến mặt

phẳng (AB'C)

3) Tính thể tích tứ diện AB'D'C

Bài 13: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Gọi M, N trung điểm BC DD'

1) CMR AC' (A'BD)

2) CMR MN//(A'BD)

3) Tính khoảng cách BD nà MN theo a

Bài 14: Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, góc A=600 B'O

vng góc với đáy ABCD, cho BB'=a

1) Tính góc cạnh bên đáy

2) Tính khoảng cách từ B, B' đến mặt phẳng (ACD')

Bài 15: Cho hình vuông ABCD cạnh a tâm I Trên hai tia Ax, By chiều vuông

góc với mặt phẳng (ABCD) lấy hai điểm M,N Đặt AM=x, CN=y 1) Tính thể tích hình chóp ABCMN

2) CMR điều kiện cần đủ để góc MIN=900 2xy=a2

Bài 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân ABC với cạnh huyền AB =

Cạnh bên SC (ABC) SC = Gọi M trung điểm AC, N trung điểm AB

1) Tính góc hai đường thẳng SM CN

2) Tính độ dài đọan vng góc chung SM CN

Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh

1) Gọi M, N trung điểm AD, BB' Chứng minh A C MN' 

Tính độ dài đọan MN

2) Gọi P tâm mặt CDD'C' Tính diện tích MNP

Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC tam giác cạnh a cạnh bên SA vng góc với

mặt phẳng đáy (ABC) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết

SA=a

2

Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng

Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cân với AB=AC=a góc

BAC = 1200, cạnh bên BB' = a Gọi I trung điểm CC' Chứng minh tam giác AB'I vuông

A Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB'I)

Một số thi đại học

Bài :(ĐH:Khối A :2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S , có độ dài cạnh đáy a Gọi M,N trung điểm SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN biết mặt phẳng AMN vng góc với mặt phẳng SBC

Bài 2: (ĐH:Khối B :2002) Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a

a) Tính theo a khoảng cách A1B B1D

b) Gọi M,N,P theo thứ tự trung điểm cạnh BB1,CD,A1D1.Tính góc MP C1N

* Đáp Số : a) (ĐS:

a ) ; b) (ÑS:

10 30 )

Bài 3: (ĐH:Khối D :2002) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC),AC=AD=4cm ,AB=3cm, BC=5cm Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD)

Bài 4: (ĐH:Khối B :2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a

,

BAD60 Gọi M trung điểm cạnh AA’ N trung điểm cạnh CC’ Chứng minh bốn điểm

B’, M , D , N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN hình vng

Bài 5: (ĐH:Khối A :2004) Trong không gian 0xyz cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thoi AC cắt BD gốc toạ độ O Biết A(2;0;0) , B(0;1;0) , S(0;0;2 ) Gọi M trung điểm cạnh SC a) Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA,BM

b) Giả sử mặt phẳng (ABM ) cắt đường thẳng SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Bài 6: (ĐH:Khối B :2004) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a , góc cạnh bên

và mặt đáy

; (0 90 )

    Tính tang góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) theo 

Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a vaø 

Bài 7: (ĐH:Khối D :2004) Trong khơng gian 0xyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 Biết A(a;0;0) ,

B(-a;0;0) , C(0;1;0) , B1( -a;0;b) với a>0 ; b>0

a) Tính khoảng cách hai đường thẳng B1C AC1 theo a b

b) Cho a , b thay đổi ln thoả mãn a+b=4 Tìm a , b để khoảng cách hai đường thẳng B1C

và AC1 lớn

Bài 8: (ĐH:Khối B :2005) Trong khơng gian 0xyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1

Bieát A(0;-3;0) , B(4;0;0) , C(0;3;0) , B1( 4;0;4)

a) Tìm toạ độ đỉnh A1 C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với

mặt phẳng (BCC1B1)

b) Gọi M trung điểm A1B1.Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A,M va øsong song với

BC1.Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 điểm N.Tính độ dài đoạn MN

Bài 9: (ĐH:Khối A :2006) Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz , cho hình lập phương

ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1;0;0) , D(0;1;0) , A’(0;0;1) Gọi M N trung điểm AB CD

a) Tính khoảng cách hai đường thẳng A’C MN

b) Viết phương trình mp chứa A’C tạo với mặt phẳng 0xy góc ,biếtcos

6

 

Bài 10: (ĐH:Khối B :2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a ,

AD=a 2, SA=a SA(ABCD) Gọi M,N trung điểm AD SC ; I giao điểm

13

Bài 11: (ĐHSP TP:HCM : 2002) Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1, cạnh a Gọi M,N Theo

thứ tự trung điểm cạnh AD,CD Lấy điểm P thuộc BB1 cho BP=3PB1 Tính diện tích thiết diện

do mp (MNP) cắt hình lập phương

(ĐS:

16 7a2

S  )

Bài 11:Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,AD=2a,AA1=a

a) Tính khoảng cách AD1và B1C theo a

b) Gọi M điểm chia đoạn AD theo tỷ số 3

MD

AM Hãy tính d(M; (AB

1C) )

c) Tính thể tích tứ diện AB1D1C

* ÑS : a) a ; b)

2

a ; c) V=

3 2a 3

Bài 13: (ĐHBK HN Khối D:2001) Trong mp(P) cho tam giác ABC cạnh a , đường thẳng vng góc với mp(P) B C lấy điểm D,E nằm phía với (P) cho BD=

2

a ,

CE=a

a)Tính độ dài cạnh AD,AE ,DE

b) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoai tiếp tứ diện ABCE

* ÑS : a) AD=

2

a , AE=2a , DE=

2

a ; b) O(a a a 3 a 39 , , ) ; R

2 6 2  6

Bài 14: (ĐHNT TP:HCM :2001) Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a Gọi M,N trung

điểm BC DD1

a) CMR: MN// (A1BD)

b) Tính khoảng cách BD MN theo a (ĐS:

3

a )

Bài 15 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB2a, ADa Mặt

bên SAB tam giác cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Biết đường thẳng SD tạo với đáy góc 45 Tính thể tích khối chóp 0 S ABCD khoảng cách hai đường thẳng SA BD 4 93

31 a

Bài 16 : Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình thoi cạnha, BAD 600, Glà trọng tâm tam

giác ABDvà SG (ABCD),

3

a

SG GọiMlà trung điểm củaCD Tính thể tích khối chóp

S ABMDvà khoảng cách giữaABvàSMtheoa ( , ) 2

a d AB SM

Bài 18 : ) Cho hình chóp S ABCDcó đáy ABCD hình chữ nhật có AB2 ;a ADa Tam giác

SAB vng S có SBa 3 nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ABCD Tính thể  tích khối chóp S ABCDvà khoảng cách hai đường thẳng AC SD theo a d(AC,SD) = IJ=a

10

Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh ,a cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng

đáy, cạnh bên SC tạo với đáy góc 600

Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD b Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

7 42 ))

( ,

(A SBC AH a

Bài 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a,

a

SD Hình chiếu H đỉnh S lên (ABCD) trung điểm đoạn AB Gọi K trung điểm đoạn AD Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng HK SD ( ( , )

3

a d HK SD  )

Bài 21: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC vuông B, đường thẳng SA vng góc với mặt

phẳng ABC Biết ABa BC, a SA3a Tính thể tích khối chóp S ABC khoảng cách từ

điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a ( , ( )) 10

10

 a

d A SBC

Bài 22 : Cho hình chóp S ABC có ABC tam giác vng B, AB a 3 , ACB600, hình chiếu

vng góc S lên mặt phẳng (ABC) trọng tâm tam giác ABC, gọi E trung điểm AC biết



SE a Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).

 

 ,  78

9

a d C SAB  GH 

Bài 23:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a, SA vng góc với đáy (ABCD) mặt bên (SCD) hợp với mặt đáy góc 60o

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD).

  

3 B,

2

a d SCD AH 

Bai 24 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, ABa 2, BC2a, SA(ABCD), góc

giữa đường thẳng SM mặt phẳng (ABCD) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SM AC ( , )

14

d SM AC  a

Bài 25: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, cạnh huyền a 2 Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABC trọng tâm G tam giác  ABC, biết

10 a

SB Tính theo a thể tích khối chóp S ABCvà khoảng cách từBđến mặt phẳngSAC

 

  30

,

54

a d B SAC  a 

Bài 26 : Cho hình chóp S ABCDcó đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng

(ABCD), góc đường thẳng SB mặt đáy 60 Gọi M N, trung điểm đoạn

,

AD CD Tính thể tích khối chóp S BMN khoảng cách hai đường thẳng BM SN, theo a

3 15

( , )

17