Hinh hoc khong gian hay

Hq 2: hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy lớn AB. Chứng minh SI song [r]

ŀ

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh

364

Chun đề V

HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

Chủ đề 1: QUAN HỆ SONG SONG

1 Vị trí tương đối hai đường thẳng không gian:

Trong không gian cho hai đường thẳng ∆ '∆

* Nếu ∆ ∆' thuộc mặt phẳng ∆ ∆' có ba vị trí tương đối song song, trùng nhau, cắt

* Nếu khơng có mặt phẳng qua ∆ '∆ ta gọi hai đường thẳng ∆ '

∆ chéo

2 Các tính chất:

Định lí 1: Nếu ba mặt phẳng cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đơi song song chúng đồng quy

Định lí 2: Nếu hai mp phân biệt chứa hai đường thẳng song song với giao tuyến chúng có song song với hai đường thẳng

3 Đường thẳng song song với mặt phẳng

a Định nghĩa: Đường thẳng a( )P chúng khơng có điểm chung

b Các tính chất

Định lí 1: Nếu đường thẳng a không nằm ( )P a song song với đường thẳng nằm ( )P a song song với ( )P

Chú ý: Từ định lí ta rút phương pháp để chứng minh đường thẳng a song song với mp P ta cần chứng minh a song song với đường thẳng ( ) nằm trongmp P ( )

Định lí 2: Nếu đường thẳng a( )P mp qua a cắt ( )P theo giao tuyến song song với a

Hq: Nếu hai mặt phẳng song song với đường thẳng giao tuyến chúng có song song với đường thẳng

Chú ý: Định lí hệ giúp việc tìm giao tuyến hai mặt phẳng mà có mp song song với đường thẳng cho trước

Định lí 3: Cho hai đường thẳng chéo Khi ln tồn mp chứa đường thẳng song song với đường thẳng

Định lí 4: (Định lí Talet khơng gian)

Điều kiện cần đủ để đường thẳng AA ,BB1 1 CC1 song song với mặt phẳng 1

1 B A BA

BC=B C , ba điểm (A, B, C ) (A , B , C1 1) thuộc hai đường thẳng chéo a b

Hai mặt phẳng song song

I

P

E

N M

D A S

B

C

b Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song

Định lí 1: Nếu mp P chứa hai đường thẳng cắt song song với ( ) mp Q ( ) ( ) ( )P Q

Nhận xét: Định lí phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song

c Các tính chất:

Tính chất 1: Qua điểm nằm ngồi mặt phẳng, có mặt phẳng song song với mặt phẳng

Hq 1: Nếu đường thẳng a( )P tồn mặt phẳng ( )Q qua a song song với mp P ( )

Hq 2: hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với

Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng ( )P ( )Q song song mặt phẳng ( )R cắt ( )P phải cắt ( )Q giao tuyến chúng song song với

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB Gọi M,N trung điểm SA SB

1. Chứng minh MN song song với CD

2. Gọi P giao điểm SC (ADN), I giao điểm AN

DP Chứng minh SI song song với CD

Lời giải

1 Ta có MN đường trung bình tam giác SAB nên MN AB . Lại có ABCD hình thang ⇒AB CD

Vậy MN AB MN CD

CD AB 

⇒ 



2 Trong (ABCD) gọi E=AD∩BC,

(SCD) gọi P SC= ∩EN Ta có E AD∈ ⊂(ADN)

( ) ( )

⇒EN⊂ AND ⇒ ∈P ADN Vậy P SC= ∩(ADN)

Do ( )

( )

I SAB I AN

I AN DP

I DP I SCD

 ∈ ∈

 

= ∩ ⇒ ⇒

∈ ∈

 

( ) ( )

SI SAB SCD

Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh

N J

E

I

C

A B

D S

M

G

Ta có

( ) ( ) ( ) ( )

AB SAB

CD SCD

SI CD AB CD

SAB SCD SI

 ⊂

 ⊂

 ⇒

 

 ∩ =



.

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi

G trọng tâm tam giác SAB, I trung điểm AB M điểm trên cạnh AD cho AM=1AD

3

a Đường thẳng qua M song song với AB cắt CI N Chứng minh NG(SCD)

b Chứng minh MG(SCD).

Lời giải

a Ta có IN= BJ =AM=1

IC BC AD 3, =

IG IS IN IG

NG SC IC IS

⇒ = ⇒ ,

Hơn SC⊂(SCD)⇒NG(SCD) b Gọi E giao điểm IM

CD

Ta có IM=AM= ⇒1 IM=IG

IE AD IE IS

MG SE

⇒ , SE⊂(SCD)⇒GM(SCD).

Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất mặt hình vng cạnh a Các điểm M,N AD',BD cho AM DN= =x

(0 x a 2< < )

a Chứng minh x biến thiên, đường thẳng MN song song với một mặt phẳng cố định

b. Chứng minh x=a

3 MN A'C .

367 a.Gọi ( )P mặt phẳng qua AD song song với (A'D'CB) Gọi ( )Q mặt phẳng qua M song song với (A'D'CB) Giả sử ( )Q cắt BD điểm

N'

Theo định lí Thales ta có AM=DN' 1( ) AD' DB

Vì mặt hình hộp hình vuuong cạnh

a nên AD' DB a 2= =

Từ ( )1 ta có AM DN'= , mà DN=AM⇒DN' DN= ( )

N' N MN Q

⇒ ≡ ⇒ ⊂

Mà ( ) ( )

( ) ( )

Q A'D'CB

MN A'D'CB

MN Q



⇒ 

⊂ 

Vậy MN song song với mặt phẳng cố định (A'D'CB) b Gọi O=AC∩BD Ta có DN= =x a 2,DO=a 2⇒DN=2DO

3 suy N

trọng tâm tam giác ACD

Tương tự M trọng tâm tam giác A'AD

Gọi I trung điểm AD ta có IN IM, IN IM MN A'C IC=3 IA'= ⇒3 IC=IA'⇒

Bài tập tự luyện

1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy AD

BC Biết AD a,BC b= = Gọi I J trọng tâm tam giác SAD

và SBC Mặt phẳng (ADJ) cắt SB,SC M,N Mặt phẳng (BCI) cắt

SA,SD P,Q

a Chứng minh MN song sonng với PQ

b. Giải sử AM cắt BP E; CQ cắt DN F Chứng minh EF song song với MN PQ Tính EF theo a,b

Hướng dẫn giải:

M N

O I

A' B'

C'

D

A

B

Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh K F E Q P N M B C A S J I D

a Ta có

( ) ( ) ( )

∈ ⇒ ∈ ∩

I SAD I SAD IBC

Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) AD SAD BC IBC AD BC

SAD IBC PQ

 ⊂  ⊂     ∩ =  ( ) PQ AD BC

⇒

Tương tự

( ) ( ) ( )

∈ ⇒ ∈ ∩

J SBC J SBC ADJ

Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) AD ADJ BC SBC AD BC

SBC ADJ MN

 ⊂  ⊂     ∩ =  ( ) MN AD BC

⇒

Từ ( )1 ( )2 suy MN PQ

b Ta có ( )

( )  ∈  = ∩ ⇒  ∈  E AMND

E AM BP

E PBCQ ;

( ) ( )  ∈  = ∩ ⇒  ∈  F AMND

F DN CQ

F PBCQ

Do EF=(AMND) (∩ PBCQ) Mà AD BC EF AD BC MN PQ MN PQ  ⇒  

Tính EF: Gọi K=CP∩EF⇒EF=EK KF+ Ta có EK BC EK PE 1( )

BC PB

⇒ =

, PM AB PE PM

EB AB

⇒ =

Mà PM=SP= ⇒2 PE=2 AB SA EB 3

Từ ( )1 suy = = = = ⇒ = =

+ +

EK PE PE 2

EK BC b

EB

BC PB PE EB 1 5

PE

Tương tự KF=2a

5 Vậy = + = ( + )

2

EF EK KF a b

5

2 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi M,N trung điểm CD CC'

a Xác định đường thẳng ∆ qua M đồng thời cắt AN A'B

b Gọi I,J giao điểm ∆ với AN A'B Hãy tính tỉ số IM IJ

Hướng dẫn giải:

369 ∆

J

I

I'

N' N C'

D' B'

B

A

D

C A'

M

Xét phép chiếu song song lên (ABCD theo phương chiếu A'B ) Khi ba điểm J,I,M có hình chiếu B,I',M Do J,I,M thẳng hàng nên B,I',M thẳng hàng Gọi N' hình chiếu N An' hình chiếu AN Vì

∈ ⇒ ∈ ⇒ = ∩

I AN I' AN' I' BM AN' Từ phân tích suy cách dựng: Lấy I' AN' BM = ∩

Trong (ANN' dựng II' NN') ( có NN' CD' ) cắt AN I

Vẽ đường thẳng MI , đường thẳng cần dựng

b Ta có MC CN' suy = MN' CD= =AB Do I' trung điểm BM Mặt khác II' JB nên II' đường trung bình tam giác MBJ, suy IM IJ= ⇒IM=1

IJ

Chủ đề 2: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

* Véc tơ khơng gian phép tốn định nghĩa hoàn toàn tương tự mặt phẳng

* Ba véc tơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng

* Cho a,b,c

Khi a,b,c đồng phẳng m,n∃ ∈: a=mb nc+ Ba vectơ a,b,c không đồng phẳng

Khi đó: ma nb pc 0+ + = ⇔ m= = =n p

* Cho ba véc tơ a,b,c khơng đồng phẳng Khi với véc tơ d khơng gian, ta ln có phân tích: d=ma nb pc+ +

Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất mặt hình thoi cạnh a góc BAA' BAD DAA' 60=== 0.Tính độ dài đường chéo AC'

Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh

C B

D

A'

B' C'

D' A

C'

B' A'

D

A B

C D'

M

N

Cách 1:

Đặt AB a,AD b,AA' c= = =

( ) ( ) ( )

a= b= =c a, a,b = b,c = c,a =60

Ta có AC' a b c= + +

2 2

AC' a b c 2ab 2bc 2ca

⇒ = + + + + +

2 0

3a a b cos60 b c cos60 c a cos60

= + + +

2

6a

= ⇒AC' a 6=

Cách 2: Gọi I,J tâm ABCD, A'B'C'D A'BD, CB'D'

∆ ∆ tam giác cạnh a , suy A'I CJ a

= =

Mà AI IC A'I C'J a AC A'C'

2 2

= = = = = = nên AA'C∆ vuông A', C'A'C∆ vuông C Suy A'C= A'C'2−CC'2= ( )a 2−a2 =a

ACC'A' hình bình hành, O trung điểm A'C nên O trung điểm AC'

2 2 a

AC' 2AO AA' A'O a a

2

 

= = − = +  =

 

Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất mặt hình vng canh a Lấy M thuộc đoạn AD' , N thuộc đoạn BD với AM DN= =x a∈(0,a 2) Tính MN theo a x

Lời giải Cách 1:

Đặt AB a, AD b, AA' c= = =

Ta có: a =b =c =a, a,b( ) ( ) ( )= b,c = c,a =900

( ) ( )

DN x x

DN DB AB AD a b

DB a a

= = − = −

( ) ( )

AM x x

AM AD' AD AA' b c

AD' a a

= = + = +

Suy ra: MN MA= +AD DN+

( ) ( )

x x x x x

a b b b c a b c

a a a a a

 

= − + + + = + −  −

 

2 2 2

2 2

2

2

x x x x x x

MN a b c a b c

a a a 2a a 2a

     

= + −  −  = + −  +

   

 

2

2 2

2 2x 2x

x a 3x 2ax a

a a

 

= + − +  = − +

 

2

MN 3x 2ax a

⇒ = − +

Cách 2: Gọi O hình chiếu M lên AD MO⊥(ABCD)⇒MO DD'

AM AO MO

AD' AD DD'

⇒ = = hay x MO AO MO AO x

a a

a 2= = ⇒ = =

ODN

∆ có OD a x ,

= − ND=x, ODN=450

2

2 x x

ON OD ND 2OD.ND.cos45 a x a x

2

   

⇒ = + − =  −  + −  − 

   

2

2 x x x

MN ON OM a x a x

2 2

     

⇒ = + =  −  + −  −  + 

     

2

MN 3x 2ax a

⇒ = − +

Chủ đề 3: HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

a) Góc hai đường thẳng cắt nhau:

Cho hai đường thẳng a b cắt nhau, chúng chia mặt phẳng thành bốn miền góc Góc nhọn bốn góc gọi góc hai đường thẳng a b Kí hiệu:(a,b)

b) Góc hai đường thẳng chéo

Cho hai đường thẳng a b chéo Từ điểm O ta dựng đường thẳng a' b' song song với a b Khi góc hai đường thẳng a' b' gọi góc hai đường thẳng a b

Chú ý: Nếu hai đường thẳng a,b có u,v véc tơ phương

( )

cos(a,b)=cos u,v

c) Hai đường thẳng vng góc

* Hai đường thẳng a b gọi vng góc với góc chúng 90 Kí hiệu: a0 ⊥b

* Nếu u,v VTCP hai đường thẳng a,b a⊥ ⇔ ⊥b u v

u.v

⇔ =

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác SC a 2= Gọi H,K trung điểm cạnh AB AD Tính thể tích hình chóp S.ABCD chứng minh AC⊥SK, CK⊥SD

Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh

φ N

P M

S

A

B

C K

H

D

B C A

S

a Vì H trung điểm AB tam giác SAB nên SH⊥AB

Lại có SH a 3,SC a 2,

= =

HC = DH2 DC2 a

2

+ =

Do

2

2 3a 5a 2

HC HS 2a SC

4

+ = + = =

HSC

⇒ ∆ vuông H⇒SH⊥HC Vậy SH HC SH (ABCD)

SH AB

⊥ 

⇒ ⊥

 ⊥



Vậy, VS.ABCD 1SABCD.SH

= , SABCD=a ,2 SH a = Suy

3

S.ABCD ABCD

1 a a

V S SH a

3

= = = ( đvtt )

b Ta có AC⊥HKvà AC⊥SH⇒AC⊥(SHK)⇒AC⊥SK Tương tự CK⊥HD CK⊥SH⇒CK⊥(SDH)⇒CK⊥SD.

Ví dụ Cho hình chóp S.ABC đáy ABC tam giác vng cân A có SA SC a= = BC a 2= Tính góc hai đường thẳng AB SC

Lời giải

Gọi M,N,P trung điểm SA,SB, AC , MN AB nên (AB,SC)=(MN,SC)

Đặt ϕ =NMP, tam giác MNP có ( )

2 2

MN MP NP

cos

2MN.MP

+ −

ϕ =

Ta có MN MP a

= = , AC2=BC2−AB2=a2⇒AC a=

2

2 2 5a

PB AP AB ,

4

= + = 3a2

PS =

Trong tam giác PBS có

2

2 2 2

2

5a 3a

PB PS SB 4 4 a 3a

PN

2 4

+ +

= − = − =

Thay MN,MP,NP vào ( )1 ta cos 1200

Chủ đề 4: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG

Định nghĩa: Đường thẳng a gọi vng góc với mặt phẳng ( )P a vuông với đường thẳng nằm mặt phẳng ( )P

Tính chất:

• Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng a b cắt nằm mặt phẳng ( )P d vng góc với ( )P

• Có mặt phẳng ( )P qua điểm O vng góc với đường thẳng a cho trước

• Có đường thẳng d qua điểm O vng góc với mặt phẳng ( )P cho trước

• Cho đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng ( )P đường thẳng b nằm mặt phẳng ( )P Điều kiện cần đủ để a vng góc với b b vng góc với hình chiếu a’ a lên ( )P (Định lí ba đường vng góc)

Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng a mặt phẳng ( )P

• Nếu a⊥( )P ta nói góc a (P) 90

• Nếu a khơng vng góc với ( )P góc a hình chiếu a’ a lên ( )P gọi góc a ( )P

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, O tâm đáy

( )

SO⊥ ABCD M,N trung điểm SA,CD Góc MN với (ABCD ) 60 Tính thể tích hình chóp S.ABCD góc MN (SBD )

Lời giải

Ta có: MN 1(SC AB)

= +

( )

1

SO OC AO OB

= + + + 1(SO AC OB)

= + +

( )

2 2 2 5a

MN SO AC OB SO

4

 

⇒ = + + =  + 

 

2

1 5a

MN SO

2

⇒ = +

Do góc đường thẳng MN (ABCD )

bằng 60 nên ( )

2

2 2

2

1 SO MN.SO

3 2

4SO 2SO 5a

2 MN SO 1 5a

SO SO

2

= ⇔ = ⇔ = +

+

2

2SO 15a

⇔ = hay SO a 15

2

Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh K I J H N M O D A B C S

Vậy, VS.ABCD 1SABCD.SO a3 15

3

= = ( đvtt )

Cách 1:

Gọi ϕ góc MN (SBD nên ) MN.n

sin

MN n

ϕ = ( n vec tơ có giá vng góc với (SBD ) )

Do AC SO AC (SBD)

AC BD ⊥  ⇒ ⊥  ⊥

 nên chọn n=AC

, từ ta có:

( )

2

1

SO AC OB AC

sin

1 5a

SO a

2 + + ϕ = + ( )

2 2

2

1 AC

2a

1 5a 2SO 5a

SO a

2

= = ∗

+ +

Với SO a 15

= thay vào ( )∗ suy sin arcsin

5

ϕ = ⇒ ϕ =

Vậy, góc MN (SBD ) arcsin

ϕ =

Cách 2: Kẻ MH SO,H OA ∈ Do ( ) ( ) MH SO MH ABCD SO ABCD  ⇒ ⊥  ⊥ 

suy NH hình chiếu MN (ABCD )

MNH

⇒ góc đường thẳng MN với (ABCD ) Ta có

2 2 2 2

2 2 a a a a 5a a

HB OH OB NH

4 8 2

   

= + =  +  = + = ⇒ =

   

Xét MHN∆ có

0 a

HN 2 2 a a 15

MN ,MH NHtan60

1 2 2 2

cos60

= = = = =

Gọi I trung diểm OB,J trung điểm SO MJ IN MJ=IN Gọi

K IJ MN JK IJ

2

= ∩ ⇒ = MJ⊥(SBD)⇒MKJ góc MN (SBD ) Ta có

2

2 2 2 15a a 2

IJ JO OI MH OI 2a

8

 

= + = + = +  =

  ⇒ =IJ a

a IK

2

L K

I

J

D

B C

A S

H

Đặt

a

MJ 4 1

MKJ tan sin arcsin

JK a 2 5

2

= ϕ ⇒ ϕ = = = ⇒ ϕ = ⇒ ϕ =

Vậy, góc MN (SBD ) arcsin

ϕ =

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a,= BC a 3= mặt bên SBC tam giác vuông B , mặt bên SCD vuông D SD a 5= Tính thể tích hình chóp S.ABCD Đường thẳng qua A vng góc với AC cắt CB,CD I,J Gọi H hình chiếu A SC Gọi K,L giao điểm K,L SB,SD với ( )HIJ Chứng minh AK⊥(SBC , AL) ⊥(SCD)

Lời giải

a ∆SBC vuông B⇒BC⊥SB mà BC⊥AD⇒BC⊥(SAB)

BC SA

⇒ ⊥

Tương tự ta có SA⊥CD nên

( )

SA⊥ ABCD Ta có

2

SC= DS +DC =a

2

SB SC BC a

⇒ = − =

2

SA SB AB a

⇒ = − =

Vậy SA=a

2

ABCD S.ABCD ABCD

1

S AB.BC a.a a V S SA a 3.a a

3

= = = ⇒ = = = ( đvtt )

b Do IJ AC IJ (SAC) IJ SC IJ SA

⊥ 

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

 ⊥ 

Lại có AH⊥SC⇒( )HIJ ⊥SC⇒AK⊥SC 1( ) Dế thấy BC⊥(SAB)⇒BC⊥AK 2( )

Từ ( ) ( )1 , suy AK⊥(SBC) Lập luận tương tự ta có AL⊥(SCD)

Chủ đề 5: HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC

a) Góc hai mặt phẳng:

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh

* Cách xác định góc hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng ( )P ( )Q cắt theo giao tuyến ∆ Dựng mặt phẳng ( )R vng góc với ∆, cắt hai mặt phẳng ( )P , ( )Q theo hai giao tuyến a,b Khi góc a b góc hai mặt phẳng ( )P ( )Q

* Cơng thức hình chiếu

Gọi S diện tích đa giác H mặt phẳng ( )P S' diện tích hình chiếu H’ H lên mặt phẳng ( )P’ S' S.cos= ϕ, ϕ góc hai mặt phẳng ( )P ( )P’

b) Hai mặt phẳng vng góc

* Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi vng góc góc chúng 90

* Tính chất

• Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vng góc với

• Nếu hai mặt phẳng ( )P ( )Q vng góc với đường thẳng a nằm ( )P , vng góc với giao tuyến ( )P ( )Q vng góc với mặt phẳng ( )Q

• Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba

Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cân A với AB=AC a= góc BAC 120= 0, cạnh bên BB' a= Gọi I trung điểm

CC' Chứng minh tam giác AB'I vuông A Tính sin góc hai mặt phẳng (ABC ) (AB'I )

Lời giải

Ta có:

a

AH AC.sin ACH a.sin30

= = =

0 BC 2BH 2.acos30= = =a

2

2 2

2 a

IB' IC' B'C' 3a

4

13a

⇒ = + = +

=

AA'B'B hình vuông cạnh a nên AB' a 2=

2 2 5a , AI IC AC

4

= + =

2

2 5a 13a

AI AB' 2a IB'

4

⇒ + = + = = ⇒ ∆AB'I vng A

Ta có:

2 AB'I

1 a 10

S AI.AB'

2

∆ = = ;

2 ABC

1 a

S AH.BC

2

∆ = =

Gọi ϕ =((ABC),(AB'I)) ABC AB'I

S 30

cos

S 10

∆ ∆

⇒ ϕ = =

Ví dụ Cho hình chóp S.ABC, có độ dài cạnh đáy a Gọi M,N trung điểm cạnh SB,SC Tính diện tích tam giác AMN biết

(AMN) (⊥ SBC)

Lời giải

Gọi K trung điểm BC I SK= ∩MN Từ giả thiết ta có MN 1BC a,

2

= = I trung điểm SK MN

Ta có MN BC ⇒ ∆SAB= ∆SAC⇒ hai trung tuyến tương ứng AM=AN ⇒ ∆AMN cân

A⇒AI⊥MN

Mặt khác

( ) ( )

( ) ( )

( )

SBC AMN

SBC AMN MN

AI AMN

AI MN

 ⊥



∩ =

 

⊂ 

 ⊥



I

K N

M S

A

C

Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh O M B' C' D' A D C B A' ( )

AI SBC AI SK SAK

⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∆ cân A SA AK a

2

⇒ = =

Ta có

2 2

2 2 3a a a

SK SB BK

4

= − = − =

2

2 2 SK a 10

AI SA SI SA

2   ⇒ = − = −  =   Ta có AMN

1 a 10

S MN.AI

2 16

= = ( đvdt )

Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=AD a, AA' b= = Gọi M trung điểm CC' Xác định tỉ số a

b để hai mặt phẳng (A'BD ) (MBD ) vng góc với

Lời giải

Gọi O tâm hình vng ABCD Ta có BD=(A'BD) (∩ MBD ,) AC BD

AA' BD ⊥ 

 ⊥



(ACC'A') BD

⇒ ⊥ Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ACC'A' BD

ACC'A' A'BD OA'

ACC'A' MBD OM

 ⊥  ∩ =   ∩ = 

góc

hai đường thẳng OM,OA' góc hai mặt phẳng (A'BD ) (MBD ) Ta có

2 2 2

AC' AB AD AA' 2a b

OM

2 2

+ + +

= = =

2 2

2 2 a 2 a

OA' AO AA' b b

2

 

= + =  + = +

 

2

2 2 2 b 5b

MA' A'C' MC' a b a

2

 

= + = + +  = +

 

Hai mặt phẳng (A'BD ) (MBD vng góc với ) ⇔ ∆OMA' vng

2 2

O⇔OM +OA' =MA'

2 2

2 2

2a b a 5b a

b a a b

4 b

   

+

⇔ + +   = + ⇔ = ⇔ =

   

(A'BD) (⊥ MBD) a

b= ( Khi ABCD.A'B'C'D' hình lập phương)

1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng ∆ điểm M Gọi H hình chiếu M lên ∆ Khi độ dài đoạn MH khoảng cách từ M đến ∆

Để tính khoảng cách ta gắn MH vào tam giác sử dụng kết hình học phẳng để tính MH

Chú ý: Cho ABC∆ , đường cao AH •Nếu ABC∆ cạnh a AH a

2 = • Nếu ABC∆ vng A

2 2

1 1

AH =AB +AC • Nếu ABC∆ cân A

2

2 BC

AH AB

4

= −

• Trong trường hợp ABC∆ thường ta ý cơng thức diện tích:

ABC

2S AH

BC

∆

=

2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

Cho mp( )P điểm M nằm mp( )P Gọi H hình chiếu M lên mp( )P , MH khoảng cách từ M đến ( )P .

Chú ý: Để chọn H ta cần ý số trường hợp sau:

TH 1: Nếu có mp( )Q chứa M mà ( ) ( )Q ⊥ P ta tìm H sau: * Tìm giao tuyến d ( )P ( )Q

* H hình chiếu M lên d

TH 2: Nếu có MA=MB MC= H tâm đường trịn ngoại tiếp ABC∆ Lúc ta có: MH= MA2−R2, R bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC∆ Trong trường hợp để tính MH ta ý đến định lí hàm số sin

TH 3: Nếu MA=MB H hình chiếu M lên đường thẳng trung trực đoạn AB nằm mp( )P

TH 4: Nếu có đường thẳng ∆( )P , ta vẽ đường thẳng d∆ Khi H giao điểm d mp( )P

Trong trường hợp ta cần ý đến định lí Talet

MH OP OQ

PQ MH

PQ OM OH

⇒ = =

.

3 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng mang yếu tố song song

a) Khoảng cách từ đường thẳng đến mp song song khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mp

Ĉ

Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh

c) Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc mp đến mp

4 Khoảng cách hai đường thẳng chéo

a) Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đường vng góc chung hai đường thẳng

Do để tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo ta cần tìm đoạn vng góc chung hai đường thẳng

b) Ngồi có mp chứa đường thẳng song song với đường thẳng khoảng cách hai đường thẳng khoảng cách từ đường thẳng song song đến mp nói

Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA , M trung điểm AE , N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính (theo a ) khoảng cách hai đường thẳng MN AC

Lời giải

Gọi P trung điểm SA

Ta có MP đường trung bình tam giác EAD

MP AD MP NC

⇒ ⇒

Và MN 1AD NC

= = Suy ra: MNCP hình bình hành

( )

MN CP MN SAC

⇒ ⇒

Ta dễ dàng chứng minh ( )

BD⊥ SAC ⇒BD⊥MN Vì MN / / SAC nên: ( )

( ) ( ( )) ( ( )) 2a

d MN, AC d N, SAC d B, SAC BD

2 4

= = = =

Vậy d MN, AC( ) 2a =

Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA 3a= SA⊥(ABC) Tam giác ABC có AB BC 2a= = , góc ABC 120= Tính khoảng cách từ A đến (SBC )

120

S

A

C

B I H

N

M

C'

A'

B

A

C B'

I H

Kẻ AI⊥BC,I BC∈ , ta có BC AI BC SA

⊥  

⊥

 ⇒BC⊥( )SAI Kẻ AH⊥SI AH SI AH (SBC)

AH BC

⊥ 

⇒ ⊥

 ⊥



Vậy d A, SBC( ( ))=AH

Ta có ABI 60 ,= AI ABsin600 2a a

= = =

( ) ( )

2 2 2

1 1 1 3a

AH

AH AS AI 3a a 3 9a

= + = + = ⇒ =

Vậy d A, SBC( ( )) 3a =

Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông BA=BC a= , cạnh bên AA' a 2= Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM,B'C

Lời giải

Cách 1: Gọi N trung điểm BB' Ta có

( ) ( )

B'C MN

B'C AMN

MN AMN

 ⇒

 ⊂



( ) ( ( ))

d AM,B'C =d B', AMN Mặt khác N trung điểm BB' nên d B', AMN( ( ))=d B, AMN( ( )) Kẻ BI⊥AM AM⊥(BNI),kẻ BH⊥NI

( )

BH AMN

⇒ ⊥ nên d B, AMN( ( ))=BH Ta có

2 2 2 2

1 1 1

BH BN BI BN BA BM a

= + = + + =

a BH

7

⇒ = Vậy d AM,B'C( ) a 7

=

Cách Kẻ BI⊥AM (IBB')⊥AM, kẻ CK AM CK⊥(IBB')

Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh

K M

C'

A' B

A

C B'

I H

N M

C'

B'

B

C A

A'

I K

Hạ IH⊥B'K,H B'K∈ , ta có

2 2

1 1

BI BA BM a

= + =

a BI

5

⇒ = Ta thấy BK 2a 5, =

2

2 a 14

B'K BK BB' 2a a

5

= + = + =

Ta có KHI KBB' IH IK BB' B'K

∆ ∼∆ ⇒ =

IK.BB' a 5 a

IH a

B'K a 14

⇒ = = =

Vậy d AM,B'C( ) a 7

=

Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB a, AC 2a, AA' 2a 5= = = BAC 120= Gọi M trung điểm cạnh CC' Chứng minh MB⊥MA' tính khoảng cách từ A đến (A'BM )

Lời giải

Áp dụng định lí sin ta có

2 2

BC =AB +AC −2AB.ACcos A

2 2

a 4a 2.2a.a 7a BC a

2

 

= + − − = ⇒ =

 

Ta có BM= BC2+MC2 =2a 3,

2

A'B= AB +AA' =a 21

2

A'M= A'C +C'M =3a, từ ta có

2 2

MB +MA' =21a =A'B nên tam giác MA'B vuông M hay MB⊥MA' Kẻ BI⊥AC I

Gọi N=A'M∩AC, ta có IA∩(A'BM)=N nên ( ( ))

( )

( )

d A, A'BM NA NI d I, A'BM = Ta có AN 2AC 4a, AI ABcos600 a

2

= = = = nên IN IA AN a 4a 9a

2

= + = + = ,

( )

( )

( )

( )

d A, A'BM 4a 8 9a d I, A'BM

2

Dễ thấy BI⊥(ACC'A')⇒BI⊥A'M, A'M BI A'M (IMB) A'M MB

⊥ 

⇒ ⊥

 ⊥ 

(IBM) (⊥ A'BM)=BM nên kẻ IK⊥BM IK⊥(A'BM) Vậy d I, A'BM( ( ))=IK

Ta có

2

2 5a 2a 3a

IM IC CM

2 2

 

 

= + =   +  =

   

2 2 2

1 1 4 64 3a

IK

IK IM IB 3a 45a 45a

= + = + = ⇒ =

Do d A, A'BM( ( )) 3a a

9

= =

Bài tập tự luyện

1 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng

B , AB a, AA' 2a, A'C 3a= = = Gọi M trung điểm đoạn thẳng A'C' , I giao điểm AM A'C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC )

Hướng dẫn giải:

Hạ IH⊥AC (H AC∈ ) ⇒IH⊥(ABC ; IH) đường cao tứ diện IABC⇒IH / /AA' IH CI

AA' CA'

⇒ = =

2

2 4a

IH AA' , AC A'C A'A a 5,

3

⇒ = = = − =

2

BC= AC −AB =2a

Diện tích tam giác ABC :S ABC 1AB.BC a2

∆ = =

Thể tích khối tứ diện IABC :

3 ABC

1 4a

V IH.S

3 ∆

= =

Hạ AK⊥A'B K( ∈A'B) Vì BC⊥(ABB'A') nên AK⊥BC⇒AK⊥(IBC) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC AK )

AA'B

2

2S AA'.AB 2a

AK

A'B A'A AB

∆

= = =

+

Chủ đề 7: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

• Thể tích khối chóp có diện tích đáy B chiều cao h là:

V Bh

3

Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh

• Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h là: V=Bh

• Thể tích khối hộp có diện tích đáy B chiều cao h là: V=Bh • Thể tích khối hộp chữ nhật: V=abc

• Thể tích khối lập phương : V=a3

• Tỉ số thể tích: Nếu A',B',C' thuộc cạnh SA,SB,SC hình chóp S.ABC thì:

S.A'B'C' S.ABC

V SA'.SB'.SC' V = SA.SA.SC

Ví dụ Cho hình chóp S.ABC , cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy bằng60 Tính thể tích khối chóp S.ABC

Lời giải

Gọi O tâm tam giác ABC , I trung điểm BC Ta có S.ABC hình chóp nên

( )

SO⊥ ABC ⇒(SA, ABC( ))=SAO 60=

a 2 a a

AI , AO AI

2 3

= = = = a

SO AOtan60 a

3

= = = ,

2 ABC

a

S

4 =

2

S.ABC ABC

1 a a

V SO.S a

3 12

= = = (đvtt)

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O , SA vng góc với (ABCD , AB a,SA) = =a Gọi H,K hình chiếu vng góc A SB,SD Chứng minh: SC⊥(AHK) tính thể tích khối chóp OHAK theo a

Lời giải

Cách 1: Ta có:BC⊥(SAB)⇒BC⊥AH mà AH⊥SB ( )

AH SBC AH SC

Do

2

2 2

SH SH.SB SA 2a

SB= SB =SB =3a =3 ,

2

2 2

SK SK.SD SA 2a

SD= SD =SD =3a =3

SH SK

HK / /BD SB SD

⇒ = ⇒

HK 2BD 2a 2 2a

3 3

= = =

Gọi G giao điểm SO KH G trung điểm KH , mà AH=AK⇒AG⊥HK

Dễ thấy G trọng tâm SAC∆ , nên

2 2a

AG AM SC

3 3

= = = ( M trung điểm SC) Vậy

2 AHK

1 2a 2a 2a

S AG.HK

2 3

= = =

Gọi I trung điểm AM , ta có OI / /CM⇒OI⊥(AHK)và

2

O.AHK AHK

CM SC a 1 a 2a 2a

OI V OI.S

2 3 27

= = = ⇒ = = =

Cách 2: Gọi E hình chiếu A SO AE⊥(OHK)nên AE đường cao hình chóp A.OHK

Ta có:

2 2 2

1 1

AE a AE =AS +AO =2a +a =2a ⇒ = Đặt SSBD=x, ta có SHK SHK

SBD

S SH.SK 4

S x

S =SB.SD= ⇒9 =9

BOH

BOH

2

SBD

S BH.BO BH.BS BA 1

S x

S =BS.BD =2 BS =2BS = ⇒6 =6 , DOK

1

S x

6

= SOHK SSBD (SSHK SBOH SDOK) 2x

⇒ = − + + =

Mà SSBD 1SO.BD AS2 AO BD2

2

= = +

2

2

1 a a

2a a

2 2

= + = SOHK a2

9

⇒ =

Vậy

2

AOHK OHK

1 a a

V AE.S a

3 27

Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh

Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất mặt hình thoi cạnh a, góc BAA' BAD DAA' 60=== Tính thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D' theo a

Lời giải

Gọi H,I,J hình chiếu A' lên

(ABCD , AB, AD ) Ta có: A'H AB

A'I AB ⊥  

⊥ 

( )

AB A'HI AB HI

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

Tương tự: HJ⊥AD, hai tam giác vng A'AI A'AJ có

AA' chung A'AI A'AJ 60 



= =

 ⇒ ∆A'AI= ∆A'AJ

0 a AI AJ AA'cos60

2

= = = ⇒HI HJ=

Vậy H cách AB AD nên nằm phân giác góc:BAD⇒ ∈H AC

Ta có

0 a

AI 2 a

AH

3

cos30

= = = ;

2

2 2 a 2a

A'H AA' AH a

3

= − = − =

2 A'H a

3

⇒ =

2 ABCD

a

S AB.AD.sin60

⇒ = =

2

ABCD.A'B'C'D' ABCD

2 a a

V A'H.S a

3 2

⇒ = = = (đvtt)

Bài tập tự luyện

1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD Gọi H giao điểm CN DM Biết

SH vng góc với mặt phẳng (ABCD SH a 3) = Tính thể tích khối chóp S.CDNM khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a

Ta có: VS.CDNM 1SH.SMNDC

=

Mà SMNDC=SABCD−S∆AMN−S∆MBC

( )

2

AB AM.AN BC.BM

2

= − +

2

2 a2

a 5a

a

8

= − − =

Nên

2

S.CDNM

1 5a 3a

V a

3 24

= = (đvtt)

Lại thấy: DM.CN 1(2DA DC ) (1 2DC DA) DA2 DC2

2

= − − = − =

Vậy CN⊥DM từ SC⊥DM :

( ) ( ) HSC

2

2S SH.CH SH.CH

d SC;DM d H;SC

SC SC SH CH

∆

= = = =

+

Lại có: CH 2S CMD S( ABCD S AMD S CMB) 2a

DM DM

∆ ∆

∆ − −

= = =

Từ suy ra: d SC;DM( ) 2a 19

57

=

Chú ý:

1 Trong mặt phẳng (SHC hạ KH) ⊥SC, đó:

( )

ADM DCN ADM DCN DM CN DM SHC

∆ = ∆ ⇒ = ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

DM HK HK

⇒ ⊥ ⇒ đoạn vng góc chung DM SC Trong DCN∆ , ta có:

2

2

2

CD CD 2a

CD CH.CN CH

CN CD DN

= ⇒ = = =

+ Trong SHC∆ , ta có:

2 2 2 2

1 1 HS.HC a 57

HK

19 HK =HS +HC ⇒ = HS +HC =

2 ∆ADM= ∆DCN⇒AMD ADM 90+= hay DNC ADM 90+= 0⇒NHD 90= Mà DN AD a

2

= = DM AM2 AD2 a

= + =

HDN

∆ ADM∆ đồng dạng HN DN HN a

AM DM 10

⇒ = ⇒ =

Mà NC DM HC CN HN a a 2a

2 10

Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh Trong SHC∆ , ta có:

2 2 2 2

1 1 HS.HC a 57

HK

19 HK =HS +HC ⇒ = HS +HC =

2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA⊥(ABCD) SA=a Gọi I hình chiếu I lên AC Từ I vẽ đường thẳng song song với SB,SD cắt BC, CD P, Q Gọi E,F giao điểm PQ với AB, AD Tính thể tích khối chóp SAEF khoảng cách từ F đến mặt phẳng (SBD )

Hướng dẫn giải:

Gọi O tâm hình vng ABCD Qua A dựng AH⊥SOvà dễ dàng chứng minh AH⊥BD,

( )

( )

AH d A; SBD=

Trong tam giác vuông SAC , ta có:

2

2 IC AC CI.SC AC

SC SC

= ⇒ =

( )

2 2

2 2 2

AC AB BC

SA AC SA AB BC

+

= =

+ + +

2 2

2a

5 2a 3a

= =

+ CBS

∆ có IP SP IP CP CI CP

SB CB CS CB

⇒ = = ⇒ =

Áp dụng định lí Talet:BE BP BE BC CP

CQ PC CQ PC

−

= = ⇒ = =

Mà AB CD CQ QP CQ BE 5BE

= = + = + =

AEF

∆ vuông A AEF

1

S AE.AF AE

2

= = 1(AB BE)2 32AB2 32a2

2 25 25

= + = = (đvdt)

( )

( ) ( ( ))

DA 5

d E; SBD d A; SBD

DE= ⇒3 =3

Tam giác SAO vuông A ,

2

2 2

1 1 3a

AH

AH =SA +AO ⇒ =

Vậy d E; SBD( ( )) 3a 21 35

3 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B , BA 3a,BC= =4a mặt phẳng (SBC vng góc với mặt phẳng ) (ABC Biết SB 2a 3) = SBC 30= Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC ) theo a

Hướng dẫn giải:

Gọi H hình chiếu S xuống BC Vì (SBC) (⊥ ABC) nên SH⊥(ABC) Ta có

SH SB.sinSBC a 3= = Thể tích : V(SABC) 1S ABC.SH

3

= 13a.4a a 3 2a3 3

3

 

=   =

 

Ta có : Tam giác SAC vng S , SA=a 21, SC = 2a, AC = 5a Diện tích SSAC=a2 21 ( ( ))

3 SABC

2 SAC

3V 3.2a 6a

d B, SAC

S∆ a 21

⇒ = = =

Chú ý: Hạ HD⊥AC D AC , HK( ∈ ) ⊥SD K SD( ∈ )

( ) ( ( ))

HK SAC HK d H; SAC

⇒ ⊥ ⇒ =

BH SBsinSBC 3a= = ⇒BC=4HC Hay d B, SAC( ( ))=4d H, SAC( ( ))

2 HC 3a

AC AB BC 5a,HC BC BH a HD AB

AC

= + = = − = ⇒ = =

2

SH.HD 3a 17

HK

14

SH HD

= =

+

Vậy d B, SAC( ( )) 4d H, SAC( ( )) 4HK 6a 7

= = =

4 Cho lăng trụ ABCD.A B C D có đáy ABCD hình chữ nhật AB a, AD a 31 1 1 = = Hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng 1 (ABCD trùng với giao điểm )

AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD A1 1) (ABCD ) 60 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng 1 (A BD theo a 1 )

Hướng dẫn giải:

Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh

1

a A I IMtan A MI

2

⇒ = =

Diện tích SABCD=AB.CD a= 3 ABCD.A B C D1 1 1 ABCD

3a

V S A I

2

= =

Gọi B điểm chiếu 2 B xuống 1 mặt phẳng (ABCD )

Do d B , A BD đường ( 1 1 ) cao vẽ từ B 2 ∆OB B2

( )

2 OBB2

1 a

S a a

2

= =

(OBB2)

S OB.B H

2

= B H 2.2 a2 a

4 a

⇒ = =

Để ý: B C A D1 1 ⇒B C1 (A BD1 )⇒d B , A BD( 1( 1 ))=d C, A BD( ( 1 )) Dựng CH⊥BH H BD( ∈ )⇒CH⊥(A BD1 )⇒d C, A BD( ( 1 ))=CH Suy ( 1( 1 ))

2

CD.CB a

d B ; A BD CH

2

CD CB

= = =

+

5 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , AB BC 2a= = hai mặt phẳng (SAB ) (SAC vng góc với ) mặt phẳng (ABC Gọi M trung điểm AB mặt phẳng qua SM ) song song với BC , cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC ) (ABC ) 60 Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng qua SA song song với BC cắt AC N N trung điểm AC

Do (SAB)⊥BC nên SBA góc hai mặt phẳng (SBC ) (ABC suy )

a Do MN BC ⇒N trung điểm AC ,

BC AB

MN a,BM a

2

= = = =

( ) ( )

2 BCNM

BC MN BM 3a

S

2

+

= = (đvdt)

(S.BCNM) (BCNM)

V S SA a

3

= = (đvtt)

Chú ý: ( ) ( )

2 BCNM ABC

3 3a

S S

4

= =

b Gọi P trung điểm BC NP AB ⇒AB(SNP) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( ))

d AB;SN =d AB; SPN =d A; SPN =d C; SPN

SPCN PCN

1 a

V SA.S

3

= = ( đvtt )

Dựng AH⊥PN PN⊥(SAH)⇒PN⊥SH⇒SH đường cao SPN∆ SAH

∆ vuông A, AH BP a= = nên SH= SA2+AH2=a 13

2 SPN

a 13 S

2

⇒ = (

đvdt ) ( ( )) SPCN SPN

3V 2a 39

d C; SPN

S 13

⇒ = =

Cách 2:

Chọn hệ tọa độ Oxyz cho B O, A Ox,C Oy ,Oz≡ ∈ ∈ ⊥(ABC) ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A 2a;0;0 ,C 0;2a;0 ,S 2a;0;2a ,M a;0;0 ,N a;a;0

Ta có ( ) ( )

2 BCMN

1 3a

S MN BC MB a 2a a

2

= + = + =

2 S.BCMN BCNM

1 3a

V SA.S 2a 3a

3

= = = Ta có BA=(2a;0;0 ,)

( ) ( 2)

SN= −a;a; 2a 3− ⇒BA;SN= 0;4a 3;2a

( ) ( )2

2 2

BA;SN 4a 2a 13a

 

⇒   = + + =

( )

BN= a;a;0 ⇒BA,SN BN  =4a

Vậy ( )

3

BA,SN BN 4a 3 39

d AB,SN 2a

13 2a 13

BA,SN

 

 

= = =

 

 

Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh

của cạnh SB,BC,CD Chứng minh AM vng góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP

Hướng dẫn giải:

Gọi H trung điểm AD Ta có tam giác SAD ⇒SH⊥AD (SAD) (⊥ ABCD)⇒SH⊥(ABCD)⇒SH⊥BP ( )1

Ta có ABCD hình vng nên:

CDH BCP

∆ = ∆ ⇒BP⊥CH ( )2 Từ ( )1 ( )2 suy ra: BP⊥(SHC)

( ) ( )

MN / /SC;AN HC ⇒ AMN SHC ⇒BP⊥AM ( đpcm ) Gọi K=BH∩AN

Ta có MK đường trung bình tam giác SBH

( )

MK SH MK CPN ;

⇒ ⇒ ⊥

1 3a

MK SH

2

= =

Diện tích tam giác CPN :

CPN

1 a

S CP.CN

2

= =

Thể tích khối tứ diện CMNP :

3 CMNP CPN

1 3a

V MK.S

3 96

= = (đvtt)

Mở rộng: Tính góc hai đường thẳng AN,SB

7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D ,

AB=AD 2a,CD a= = Góc hai mặt phẳng (SBC ) (ABCD ) 60 Gọi I trung điểm AD Biết hai mặt phẳng ( )SBI ( )SCI vng góc với

(ABCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a )

Hướng dẫn giải:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

SBI ABCD

SI ABCD

SCI ABCD

 ⊥

 ⇒ ⊥

 ⊥

SI

⇒ đường cao hình chóp S.ABCD

ABCD

AB DC

S AD

2 + =

2 2a a

.2a 3a

+

= =

Kẻ KI⊥BC (K BC∈ )

( )

BC SIK SKI 60

⇒ ⊥ ⇒ =

2 IAB ICD

2 IBC

1 1 3a

S S AI.AB DI.DC a.2a a.a

2 2 2

3a S

2

+ = + = + =

⇒ =

( )2 2SIBC 5a

BC AB CD AD a IK

BC

= − + = ⇒ = =

15a

SI IK tanSKI

⇒ = =

3 S.ABCD ABCD

1 15a

V SI.S

3

⇒ = = (đvtt)

8 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông B ,

AB a, AA' 2a, A'C 3a= = = Gọi M trung điểm đoạn thẳng A'C' , I giao điểm AM A'C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC )

Hướng dẫn giải:

Hạ IH⊥AC H AC( ∈ )⇒IH⊥(ABC), IH đường cao tứ diện IABC IH / /AA' IH CI

AA' CA'

⇒ ⇒ = =

2 4a

IH AA'

3

⇒ = =

2

AC= A'C −A'A =a 5,

2

BC= AC −AB =2a

Diện tích tam giác ABC S ABC 1AB.BC a2

Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh Thể tích khối tứ diện IABC :

2 ABC

1 4a

V IH.S

3 ∆

= =

Hạ AK⊥A'B K( ∈A'B) Vì BC⊥(ABB'A') nên AK⊥BC, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC AK )

AA'B

2

2S AA'.AB 2a

AK

A'B AA' AB

∆

= = =

+

9 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' , có đáy ABC tam giác vng A Khoảng cách từ AA' đến (BCC'B' a , khoảng cách từ C đến ) (ABC' b , góc hai mặt ) phẳng(ABC' và) (ABC ) ϕ

a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' theo a,b ϕ

b. Khi a=b không đổi, xác định ϕ để thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' nhỏ

Hướng dẫn giải:

a. Hạ AH⊥BC⇒AH⊥(BCC'B'),

( ) ( ( ))

AA' BCC'B' ⇒d AA', BCC'B'

( )

( )

d A, BCC'B' AH a

= = =

Hạ CK⊥AC', AB⊥AC AB⊥AA'

⇒AB⊥(ACC'A')⇒AB⊥CK

( )

CK ABC'

⇒ ⊥ ⇒CK=d C, ABC'( ( ))=b Ta có AB⊥(ACC'A')

CAC'

⇒ góc hai mặt phẳng (ABC' và) (ABC) ⇒CAC'= ϕ

CK b

AC

sin sin

= =

ϕ ϕ,

CK b

CC'

cos cos

= =

ϕ ϕ

2 2

2 2 2 2

1 1 sin b a sin

AB AH AC a b a b

ϕ − ϕ

= − = − =

2 2 ab AB

b a sin

⇒ =

− ϕ

ABC 2 2 2

2 2

1 ab b

S AB.AC

2 b a sin sin

ab 2sin b a sin

∆ = = ϕ

− ϕ

=

Thể tích lăng trụ ABC.A'B'C' là:

2

ABC 2 2 2 2 2 2

b ab ab

V CC'.S

cos 2sin b a sin sin2 b a sin

∆

= = =

ϕ ϕ − ϕ ϕ − ϕ

b Khi

3 a

a b V

2sin cos = ⇒ =

ϕ ϕ

Do ( )

3

2

2

2 2 2sin 2cos

sin cos 2sin cos cos

2

 ϕ + ϕ

ϕ ϕ = ϕ ϕ ϕ ≤  

 

2 sin cos

9

⇒ ϕ ϕ ≤ V 3a3

4

⇒ ≥

Đẳng thức xảy

2 1

2sin cos tan arctan

2

ϕ = ϕ ⇔ ϕ = ⇔ ϕ =

Vậy arctan

ϕ = V đạt giá trị nhỏ

10 Cho hình chóp S.ABC , gọi G trọng tâm tam giác SBC Mặt phẳng quay quanh AG cắt cạnh SB, SC theo thứ tự M,N Gọi V thể tích tứ diện 1

SAMN ; V thể tích tứ diện SABC Tìm giá trị lớn nhỏ tỷ số V1 V

Hướng dẫn giải:

Gọi E trung điểm BC Đặt x SM,y SN

SB SC

= =

(0 x,y≤ ≤1)

Ta có: V1 SM.SN xy V = SB.SC = SMN SMG SNG

SBC SBC

S S S

S S

∆ ∆ ∆

∆ ∆

+

=

SMG SNG SBE SCE

S S

2S 2S

∆ ∆

∆ ∆

= + SM.SG SN.SG 1(x y) ( )1

2SB.SE 2SC.SE

= + = +

Lại có: S SMN SM.SN xy ( )2 S SBC SA.SB

∆ = =

∆

Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh

( ) ( )

1

xy x y 3x y x

3

= + ⇔ − = y x x

3x

 

⇔ =  ≠ 

−  

Vậy ( )

2

V x

xy f x

V = =3x 1− = Từ x;y 1 x

x y 3xy

≤ ≤



⇒ ≤ ≤ 

+ =

 Xét ( )

2

x

f x , x ;1

3x

 

= ∈ 

−  

Dễ dàng tìm ( )

;1

1

max f x x

2

 

 

 

= = x 1=

( )

;1

4

min f x x

9

 

 

 

= =

Vậy minV1 4;maxV1 V =9 V =2

11 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD mà khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC b Góc mặt bên mặt đáy hình chóp bẳng ) α Tìm α để thể tích khối chóp S.ABCD nhỏ Tìm giá trị nhỏ

Hướng dẫn giải:

Gọi I,J trung điểm BC, AD , ta có

SIJ= α

Ta có AD BC ⇒AD(SBC)

( ) ( )

d A,(SBC) d J,(SBC)

⇒ =

Trong tam giác SIJ vẽ đường cao JH Chứng minh JH⊥(SBC)

Suy d J,(SBC)( )=JH=b

Trong tam giác vng IHJ , ta có :

2 2

ABCD

JH b b

IJ S AB IJ

sin sin sin

= = ⇒ = = =

α α α

Gọi O tâm đáy, SO IO.tan b tan b

2sin 2cos

= α = α =

α α

3 S.ABCD ABCD 2

1 b

V S SO

3 6sin cos

= =

( )

S.ABCD 2

1

V min sin cos max

sin cos

⇔ ⇔ α α

α α (

0

0 < α <90 )

(cos (1 sin2 ) max)

⇔ α − α

Xét hàm f x( )=x x( − 2), x( =cosα∈(0;1)) Lập bảng biến thiên, tìm ( )

x (0;1)

2 max f x

9

∈ =

3 x

3 = Kết luận

3 S.ABCD

b 3

min(V ) cos

4

= ⇔ α = ; 00< α <900

12 Cho tứ diện SABC có SA=SB SC 1= = Một mặt phẳng P thay đổi ( ) qua trọng tâm G tứ diện SABC, cắt cạnh SA, SB, SC D, E, F Tìm giá trị lớn biểu thức: 1

SD.SE+SE.SF+SF.SD

Hướng dẫn giải:

Gọi G’ giao điểm SG với (ABC ) G’ trọng tâm tam giác ABC nên SG'AB SG'BC SG'CA SABC

1

V V V V

3

= = =

Ta có SG SG'=4 SGDE SG'AB

V SG.SD.SE

SD.SE

V SG'.SA.SB

⇒ = =

SGDE SABC

V

SD.SE

V

⇒ =

Tương tự: SGEF SGFD

SABC SABC

V V

SE.SF, SF.SD

V =4 V =4

Vậy SDEF ( )

SABC

V

SD.SE SE.SF SF.SD

V =4 + +

4SD.SE.SF SD.SE SE.SF SF.SD

⇔ = + + 1

SD SE SF

⇔ + + =

Áp dụng BĐT: (a b c+ + )2≥3 ab bc ca( + + ) ta có

1 1 1

3

SD SE SF SD.SE SE.SF SF.SD

 + +  ≥  + + 

   

Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh

1 1 16

SD.SE SE.SF SF.SD

⇔ + + ≤

Vậy max( 1 ) 16 SD SE SF

SD.SE+SE.SF+SF.SD = ⇔ = = =4

13 Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC tam giác vuông A AB SA= =SB SC= =a,SA, SB, SCcùng tạo với đáy góc α Xác định cosα để thể tích hình chóp lớn

Hướng dẫn giải:

Hạ SO⊥ ∆ABC Vì SA=SB SC= ⇒OA=OB OC=

⇒ O trung điểm cạnh huyền ABC∆ vuông A

2

SO asin , AC a 4cos 1, cos

 

= α = α −  α > 

 

2

2 ABC

1 a

S AB.AC 4cos

2

∆ = = α −

3

2 S.ABC

3

2

a

V sin 4cos

6 a

4sin 4cos 12

= α α −

= α α −

3 2

S.ABC

a 4sin 4cos a

V

12

α + α −

≤ =

Dấu đẳng thức xảy 4sin2 4cos2 cos 2

α = α − ⇒ α = >

Vậy:cos 2

α = thể tích hình chóp S.ABC lớn

Chủ đề 8: DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH THIẾT DIỆN CỦA HÌNH TRỤ

* Phải xác định chiều cao h bán kính R hình trụ

* Nếu thiết diện hình trụ song song chứa trục hình trụ thiết diện hình chữ nhật

Ví dụ Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O' , bán kính

chiều cao a Trên đường tròn tâm O lấy điểm A , Trên đường tròn tâm O' lấy điểm B cho AB 2a= Tính thể tích khối tứ diện OO'AB

Lời giải

Kẻ đường sinh AA' , gọi D điểm đối xứng với A' qua tâm O' H hình chiếu B A'D

Ta có BH⊥(AOO'A') nên V 1BH.SAOO'

=

Ta có A'B= 3a,BD a= , tam giác BO'D suy raBH 3a

2 =

Ta có SAOO' 1a2 =

Vậy thể tích tứ diện OO'AB

3 OO'AB

3a V

12

= (đvtt)

Bài tập tự luyện

1 Cho hình nón có đỉnh S , đáy đường tròn tâm O,SA,SB hai đường sinh, biết SO 3= , khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB , diện tích tam giác SAB ) 18 Tính thể hình nón cho

Hướng dẫn giải:

Gọi E trung điểm AB , ta có: OE⊥AB, SE⊥AB, suy (SOE)⊥AB Dựng OH⊥SE⇒OH⊥(SAB)

vậy OH khoảng cách từ O đến (SAB ,theo giả thiết ) OH 1=

Tam giác SOE vuông O,OH đường cao 12 12 12

OH =SO +OE

2 2

1 1

OE OH SO

⇒ = − 1 OE2 OE

9

= − = ⇒ = ⇒ =

2 2 81

SE OE SO

8

= + = + = SE

4

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh SAB

SAB

2S

1 36

S AB.SE AB

9

2 SE

2

= ⇔ = = =

2

2 2

OA AE OE AB OE

2

 

= + =  +

  ( )

2 9 9 265

4 32

8 8

= + = + =

Thể tích hình nón cho: V OA SO2 265.3 265

3 8

= π = π = π( đvtt)

2 Cho hình trụ trịn xoay hình vng ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A,Bnằm đường trịn đáy thứ hình trụ, hai đỉnh lại nằm đường tròn đáy thứ hai hình trụ Mặt phẳng (ABCD tạo với đáy hình trụ ) góc45 Tính thể tích hình trụ

Hướng dẫn giải:

Gọi M,N theo thứ tự trung điểm AB CD Khi OM⊥AB O'N⊥CD Giả sử I giao điểm MN OO'

Đặt R=OAvà h OO'= Khi đó: IOM

∆ vuông cân O nên:

2 h a

OM OI IM

2 2

= = ⇒ = h 2a

2 ⇒ = Ta có:

2

2 2 a a

R OA AM MO

2

 

 

= = + =  +  

   

2 2

a a 3a

4 8

= + = 3a2 a a3

V R h

8 16

π

⇒ = π = π = (đvtt)

Chủ đề 9: DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH MẶT CẦU 1 Khái niệm mặt cầu

• Nếu AB đường kính mặt cầu ( )

S O,R với điểm M thuộc mặt cầu (trừ A B ) AMB 90=

• Ngược lại với điểm M nằm không gian thỏa mãn AMB 90= điểm M thuộc mặt cầu đường kính AB

2 Vị trí tương đối điểm với mặt cầu

Cho mặt cầu S O,R điểm A khơng gian ( ) • Nếu OA>R A ngồi mặt cầu

• Nếu OA=R A mặt cầu • Nếu OA<R A mặt cầu

3 Vị trí tương đối hình phẳng với mặt cầu

Cho mặt cầu S O,R mặt phẳng ( ) ( )P khơng gian.Gọi H hình chiếu O lên ( )P

• Nếu OH R> ( )P khơng cắt mặt cầu

• Nếu OH R= ( )P ( )S có điểm chúng H

Khi ta nói: ( )P tiếp xúc với mặt cầu và( )P gọi mặt phẳng tiếp diện, H gọi tiếp điểm

• Nếu OH R< ( )P cắt mặt cầu theo đường tròn ( )C có tâm H bán kính

2

r= R −OH

Nếu O nằm ( )P ( )C gọi đường trịn lớn có bán kính R

4 Vị trí tương đối đường thẳng với mặt cầu

Cho mặt cầu S O,R đường d khơng gian Gọi H hình ( ) chiếu O lên d

• Nếu OH R> d mặt cầu khơng có điểm chung

• Nếu OH R= d mặt cầu ( )S có điểm chung H Khi ta nói d tiếp xúc với mặt cầu d gọi tiếp tuyến mặt cầu, H gọi tiếp điểm

• Nếu OH R< d mặt cầu có hai điểm chung Khi ta nói d cắt mặt cầu hai điểm phân biệt

5 Mặt cầu ngoại tiếp mặt cầu nội tiếp hình đa diện

Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh

• Mặt cầu nội tiếp hình đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình đa diện

Nhận xét

* Một đa diện có mặt cầu ngoại tiếp tất mặt đa diện có đường trịn ngoại tiếp

* Nếu tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện thuộc mặt đa diện đường trịn ngoại tiếp đa diện đường trịn lớn

* Khoảng cách từ tâm mặt cầu nội tiếp đa diện đến mặt đa diện bán kính mặt cầu nội tiếp đa diện

6 Diện tích mặt cầu thể tích khối cầu

Diện tích hình cầu bán kính R : S= π4 R2 Thể tích khối cầu bán kính R : V R3

3 = π

Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy AB a= , cạnh bên hợp với mặt đáy góc 60 Xác định tâm bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Lời giải

Gọi H hình chiếu S lên mặt phẳng (ABC , ta có H tâm ABC) ∆ Nên SH trục đường tròn ngoại tiếp

ABC

∆ Trong ∆SAH dựng đường trung trực Ix cạnh SA Gọi O Ix= ∩SH

O SH OA OB OC

O Ix OS OA

∈ = =

 

⇒ ⇒

 

∈ =

  O tâm

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bán kính R=SO

Để tính bán kính R ta thực theo hai cách sau Cách

Ta có SAH=(SA, ABC( ))=600 ;

2 3a 3a

AH AM

3 3

= = = ( M trung điểm cạnh BC )

0

3a AH 3a

SH AH tan60 a, SA

3 cos60

Do

2

SI SO SA.SI SA 2a

SIO SHA SO

SH SA SH 2SH

∆ ∼ ∆ ⇒ = ⇒ = = =

Vậy bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp R 2a =

Cách Gọi D giao điểm AH với mặt cầu, tâm O thuộc mp (SAD nên ) đường tròn ngoại tiếp SAD∆ đường tròn lớn Dễ thấy SAD∆ tam giác nên bán kính R 3SA 3a 2a

3 3

= = =

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD Hai mặt bên (SAB ) (SAD vng góc ) với đáy Đáy ABCD tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O , bán kính r Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD biết SA=h

Lời giải

Gọi M trung điểm SA , ( )α mặt phẳng trung trực SA I= ∆ ∩ α( )

( )

I IA IB IC ID,

I IS IA

∈∆ ⇒ = = =

∈ α ⇒ =

IS IA IB IC ID

⇒ = = = =

nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S.ABCD

Tứ giác MAOI hình chữ nhật nên

SA h OI AM

2

= = =

2

2 2 h h

IA OA OI r R IA r

4

= + = + ⇒ = = +

Bài tập tự luyện

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AB a= , góc hai mặt phẳng (A'BC ) (ABC ) 60 Gọi G trọng tâm tam giác A'BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a

Luyện thi cấp tốc mơn tốn theo chun đề - Nguyễn Phú Khánh

Gọi H trung điểm BC , theo giả thiết ta có :

(A'BC) (ABC) BC A'H BC

AH BC

 ∩ =

 ⊥ 

 ⊥



(A'BC , ABC) ( ) A'HA

⇒ =

hay A'HA=600

ABC

a

S

4

= AA' AH.tan A'HA a 3.t an600 3a

2

= = =

Vậy thể tích khối lăng trụ

2

ABC.A'B'C'

a 3a 3a

V

4

= = (đvtt)

Gọi I hình chiếu vng góc G (ABC , suy I trọng tâm tam ) giác ABC, suy GI / /AA'⇒GI⊥(ABC)

Gọi J tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC suy J giao điểm GI với đường trung trực đoạn GA M trung điểm GA, ta có:

GM.GA=GJ.GI

2

GM.GA GA 7a

R GI

GI 2GI 12