Chuyên đề hình học không gian OXYZ - Công thức nguyên hàm

Tính bán kính c ủa đườ ng tròn đó.. A..[r]

(1)

(2)

TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN

A - LÝ THUYẾT CHUNG

1 Véc tơ không gian

* Định nghĩa

Trong không gian, vecto đoạn thẳng có định hướng tức đoạn thẳng có quy định thứ tự hai

đầu

Chú ý: Các định nghĩa hai vecto nhau, đối phép toán vecto

không gian xác định tương tựnhư mặt phẳng

2 Vecto đồng phẳng

* Định nghĩa: Ba vecto a b c  , , khác 

gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng

Chú ý:

n vecto khác 

gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng

Các giá vecto đồng phẳng đường thẳng chéo

* Điều kiện để vecto khác 0 

đồng phẳng Định lý 1:

, ,

a b c   đồng phẳng  m n, : ambnc

* Phân tích vecto theo ba vecto không đồng phẳng Định lý 2: Cho vecto e e e1, 2,

  

khơng đồng phẳng Bất kì vecto a 

khơng gian

có thểphân tích theo ba vecto đó, nghĩa la có ba số thực x x x1, 2, 3

1 2 3

ax e x e x e

   

Chú ý: Cho vecto a b c  , , khác 

:

1 a b c  , , đồng phẳng có ba số thực , ,m n p không đồng thời cho: manb pc0 a b c  , , không đồng phẳng từ manb pc 0 mn p0

3 Tọa độ vecto

Trong khơng gian xét hệ trục Ox ,yz có trục Ox vng góc với trục Oy O, trục Oz vng góc với mặt phẳng Oxy O Các vecto đơn vị trục Ox,Oy Oz,

1; 0;0 , 0;1; , 0;0;1 

i j k

  

a) aa a a1; 2; 3a a i1a j2a k3

b) M x M,yM,zMOMx iMyMjz kM

D3

D1

D2

a b

c

Δ1

Δ2 Δ3

(3)

c) Cho A x A,yA,zA,B x B,yB,zB ta có:

 B A; B A; B A

AB x x y y z z 

AB xB xA2yByA2zB zA2

d) M trung điểm AB ; ;

2 2

B A B A B A

x x y y z z

M    

 

e) Cho a a a a1; 2; 3 bb b b1; 2; 3 ta có:

1

2

3

a b

a b a b

a b

     

  

 

 1; 2; 3 a b   a b a b a b

 3

; ;

k a ka ka ka

  1 2 3

cos ;

a b  a b  a b  a b a b a b

2 2

1

a  a a a

  1 2 3

2 2 2

1 3

cos cos ;

a b a b a b a b

a a a b b b

 

 

   

 

 (với a   0,b0 )

a b vng góc: a b  0a b1 1a b2 2a b3 3 0

a b phương:

1

2

3

:

a kb

k R a kb a kb

a kb         

  

 

4 Tích có hướng ứng dụng

Tích có hướng aa a a1; 2; 3 bb b b1; 2; 3 là:

 

2 3 1

2 3 1 2 3 1

, a a ;a a ;a a ; ;

a b a b a b a b a b a b a b

b b b b b b

 

      

 

 

 

a Tính chất:

, , ,

a b a a b b

       

     

 

, sin ,

a b a b a b   

 

     

a 

b 

cùng phương: a b ,   0 , ,

a b c   đồng phẳng a b c  ,  0

b Các ứng dụng tích có hướng

Diện tích tam giác: ,

2 ABC

S   AB AC

Thể tích tứ diện ,

6 ABCD

V  AB AC AD

 

(4)

Thể tích khối hộp: VABCD A B C D ' ' ' '    AB AD, .AA' 5 Một số kiến thức khác

a) Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k MAk MB ta có:

; ;

1 1

A B A B A B

M M M

x kx y ky z kz

x y z

k k k

  

  

   với k 1

b) G trọng tâm tam giác ; ;

3 3

A B C A B C A B C

G G G

x x x y y y z z z

ABC x    y    z   

G trọng tâm tứ diện ABCDGA GB GC GD   0

    

B - CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Dạng A B C, , thẳng hàng  AB AC, phương  AB AC, 0

Dạng A B C, , ba đỉnh tam giác  A B C, , không thẳng hàng  AB AC, không phương

,

AB AC

 

 

 

  

Dạng G x G;yG;zG trọng tâm tam giác ABCthì:

; ;

3 3

A B C A B C A B C

G G G

x x x y y y z z z

x    y    z   

Dạng Cho ABCcó chân E F, đường phân giác ngồi gócAcủa ABC

trênBC Ta có: EB AB.EC

AC  

 

, FB AB.FC AC 

 

Dạng , ABC

S   AB AC

 diện tích hình bình hành ABCDlà: SABCD  AB AC,   

Dạng Đường cao AH củaABC: ABC

S  AH BC 

, 2.S ABC AB AC AH

BC BC



 

 

 

 

Dạng TìmDsao cho ABCD hình bình hành: Từ t/c hbh có cặp vecto AB DC  

hoặc ADBC   

tọa độD

Dạng Chứng minh ABCD tứ diện   AB AC AD; ; không đồng phẳng

,

AB AC AD

 

   

Dạng G x G;yG;zG trọng tâm tứ diện ABCD thì:

; ;

4 4

A B C D A B C D A B C D

G G G

x x x x y y y y z z z z

x     y     z    

Dạng 10 Thể tích khối tứ diệnABCD: ,

ABCD

V  AB AC AD

 

(5)

Dạng 11 Đường cao AH tứ diệnABCD:

3 BCD BCD

V

V S AH AH

S

   



Dạng 12 Thể tích hình hộp: VABCD A B C D ' ' ' ' AB AD AA,  '

 

  

Dạng 13 Hình chiếu điểm A x A;yA;zAlên mặt phẳng tọa độ trục: Xem lại mục 1, cơng thức 17, 18

Dạng 14 Tìm điểm đối xứng với điểm qua mặt phẳng tọa độ, trục gốc tọa độ:

(Thiếu tọa độ đổi dấu tọa độđó, có mặt tọa độ để ngun tọa độđó)

OXY: A x1 A;yA;zA OXZ: A x2 A;yA;zA OYZ: A3xA;yA;zA

OX: A x4 A;yA;zA OY: A5xA;yA;zA OZ: A6xA;yA;zA

Qua gốc O: A7xA;yA;zA C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho điểm S1, 2, ; A2, 2,3 ; B1,3,3 ; C1, 2,  SABC là:

A Tứ diện B Hình chóp

C Tứ diện D Hình thang vuông

Câu 2: Cho bốn điểm S1, 2, ; A2, 2,3 ; B1,3,3 ; C1, 2,  Gọi M N P, , trung điểm BC CA, AB Khi SMNP là:

A Hình chóp B Hình chóp C Tứ diện D Tam diện vuông

Câu 3: Cho bốn điểm S1, 2, ; A2, 2,3 ; B1,3,3 ; C1, 2,  Xác định tọa độ trọng tâm G hình chóp SABC

A 5,9,13  B 5, 3,13

3

 

 

  C

7 1, ,

4

 

 

  D

5 13 , , 4

 

 

 

Câu 4: Cho vectơ a 1,1, ;  b2, 1, ;  c  2, 3,   Xác định vec tơ d thỏa mãn

4; 5; a d  b d  c d 

A 3, 6,5  B 3, 6, 5  C 3, 6,5

2

 

 

 

D 3, 6,5

 

 

 

Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho điểm A2;0; ,  B 3; 1; ,   C2; 2;0 Điểm D mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm cho thể tích khối tứ diện ABCD khoảng cách từD đến mặt phẳng (Oxy) là:

A D0; 3; 1   B D0;2; 1  C D0;1; 1  D D0;3; 1 

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1; 2; 0, B3; 4;1, D1;3; 2 Tìm

tọa độ điểm C cho ABCD hình thang có hai cạnh đáy AB, CD có góc C 45 

 A A A

(6)

A C5;9;5 B C1;5;3 C C3;1;1 D C3; 7; 4

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có A trùng với gốc tọa độ O, đỉnh B m( ; 0; 0), D(0; ; 0)m , A(0; 0; )n với m n, 0 m n 4 Gọi

M trung điểm cạnh CC Khi thể tích tứ diện BDA M đạt giá trị lớn

A 245

108 B

9

4 C

64

27 D

75 32

Câu 8: Cho ba điểm A3;1; , B0; 1;0 ,  C0; 0; 6  Nếu tam giác A B C   thỏa mãn hệ thức

0 A A B B C C     

có tọa độ trọng tâm là:

A 1;0;   B 2; 3;   C 3; 2;0   D 3; 2;1  

Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm M3; 0; , N m n , , , P0;0;p Biết MN  13,MON600, thể tích tứ diện OMNP Giá trị biểu thức

2

Am n p

A 29 B 27 C 28 D 30

Câu 10: Cho hình chóp S ABCD biết A2; 2; , B3;1;8 , C1; 0; , D1; 2;3 Gọi H trung

điểm CD, SH ABCD Để khối chóp S ABCD tích 27

2 (đvtt) có hai điểm S S1, 2 thỏa mãn yêu cầu tốn Tìm tọa độtrung điểm I S S1 2

A I0; 1; 3   B I1; 0; 3 C I0;1; 3 D I1; 0;   Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vng ABCD, B(3;0;8), D( 5; 4; 0)  Biết

đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy) có tọa độ số nguyên, CA CB  bằng:

A 5 10 B 6 10 C 10 D 10

Câu 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 4; 1) ,B(1; 4; 1) , C(2; 4;3) (2; 2; 1)

D  Biết M x y z ; ; , để 2 2

MA MB MC MD đạt giá trị nhỏ xyz

bằng

A 7 B 8 C 9 D 6

D  Biết M x y z ; ; , để 2 2

bằng

A 7 B 8 C 9 D 6

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A4; 2; , B2; 4; , C2; 2;1 Biết

điểm H a b c ; ;  trực tâm tam giác ABC Tính S   a b 3c

(7)

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A3; 2; ,  B1; 4; 4  điểm

0; ; 

C a b thỏa mãn tam giác ABC cân C có diện tích nhỏ Tính S2a3b

A 62 25

S  B 73

25

S C 239

10

S  D 29

5 S 

Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho hai điểm A2; 2; , B2; 0; 2  điểm

 , , 

M a b c với a b c, , số thực thay đổi thỏa mãn a2b c  1 Biết MAMB góc AMB có sốđo lớn Tính S a2b3c

A 16 11

S  B 15

11

S  C

11

S   D 11 S 

Câu 16: Trong không gian Oxyzcho ba điểm M2;3; , N  1;1;1 , P 1; m 1; 2    Tìm giá trị nhỏ

nhất sốđo góc MNP

A arccos

85 B

6 arcsin

85 C

2 arccos

9 D

2 arcsin

9

Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1;1;1,B2;1; 0,C2; 3;1 

.ĐiểmS a b c ; ;  cho 2

2

SA  SB  SC đạt giá trị nhỏ Tính T a b c A

2

T  B T  1 C

T   D T   .

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A4; 0; , B a b ; ; , C0;0;c với

a b c, , 0 thỏa mãn độ dài đoạn AB2 10, góc AOB45 thể tích khối tứ diện

OABC Tính tổng T a b c 

(8)

D - HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Cho điểm S1, 2, ; A2, 2,3 ; B1,3,3 ; C1, 2,  SABC là:

A Tứ diện B Hình chóp

C Tứ diện D Hình thang vng

Hướng dẫn giải:

 1;1; ; 0; 1;1 ;  1;0;1 AB  BC  AC 

  

2

AB BC CA ABC

     tam giác

1; 0; ; 0;1; ; 0; 0;1 SA SB SC SASBSC

  

 

1 0

, , 1

0

D SA SB SC   

Hay ta tính SA SB SC   ;  0

, , SA SB SC 

  

không đồng phẳng

SABC

 hình chóp đều, đỉnh S

Chọn B

Câu 2: Cho bốn điểm S1, 2, ; A2, 2,3 ; B1,3,3 ; C1, 2,  Gọi M N P, , trung điểm BC CA, AB Khi SMNP là:

A Hình chóp B Hình chóp C Tứ diện D Tam diện vuông

Tam giác: ABC có ABBCCA

2 MN NP PM

   

1; 0; ; 0;1;0 ; 0;0;1

SA SB SC

SA SB SA SB

  

   

  

 

Tương tự SASC SB, SC

Các tam giác vuông SAB SBC SCA, , vuông S, có trung tuyến:

2

AB

SPSM SN   MN NPPM

Ta có: SPSAB SM; SBC;SN SCA

, ,

SP SM SN

    không đồng phẳng

SMNP

 tứ diện

Chọn C

Câu 3: Cho bốn điểm S1, 2, ; A2, 2,3 ; B1,3,3 ; C1, 2,  Xác định tọa độ trọng tâm G hình chóp SABC

M N

P A

B

(9)

A 5,9,13  B 5, 3,13

3

 

 

  C

7 1, ,

4

 

 

  D

5 13 , , 4

 

 

 

Ta có GS GA GB GC      4OG    OA OB OC OS  

 

1

2 1

4

1

2 2

4

1 13

3

4

x G y z 

    

  

      

 

    

  Chọn D

Câu 4: Cho vectơ a 1,1, ;  b2, 1, ;  c  2, 3,   Xác định vec tơ d thỏa mãn

4; 5; a d  b d  c d 

A 3, 6,5  B 3, 6, 5  C 3, 6,5

2

 

 

 

D 3, 6,5

 

 

 

     

4

2

a d x y z

b d x y z

x y z c d

     

 



    

 

 

   



 

      

   1  : 3x 9 x3    2  : 2y12 y6

 1 : 1 4 13 4 3; 6;5

2 2

z xy     d   

 



Chọn D

Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho điểm A2;0; ,  B 3; 1; ,   C2; 2;0 Điểm D mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm cho thể tích khối tứ diện ABCD khoảng cách từD đến mặt phẳng (Oxy) là:

A D0; 3; 1   B D0;2; 1  C D0;1; 1  D D0;3; 1 

Do DOyzD0; ;b c với c0

Theo giả thiết: ,  1 1  0; ; 1

1

 

     

  

 

  

c loai

d D Oxy c D b

c

Ta có AB1; 1; ,   AC   4; 2; , AD  2; ;1b 

(10)

Cũng theo giả thiết, ta có: ,

 

 

             

ABCD

b

V AB AC AD b

b Chọn D

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1; 2; 0, B3; 4;1, D1;3; 2 Tìm

tọa độ điểm C cho ABCD hình thang có hai cạnh đáy AB, CD có góc C 45 

A C5;9;5 B C1;5;3 C C3;1;1 D C3; 7; 4

Hướng dẫn giải: Chọn D

Cách AB(2; 2;1)

Đường thẳng CD có phương trình

1

:

2

x t

CD y t

z t

   

       

Suy C 1 ;3 ; 2t  t t;CB(4 ;1 ; 1 t  t  t), CD ( ; ;t  t t)

Ta có 

2 2 2

(4 )( ) (1 )( ) ( )( ) cos

(4 ) (1 ) ( ) ( ) ( ) ( )

t t t t t t

BCD

t t t t t t

        



          

Hay

2 2 2

(4 )( ) (1 )( ) ( )( )

2

(4 ) (1 ) ( ) ( ) ( ) ( )

t t t t t t

        

           

(1)

Lần lượt thay t 3;1; 1; 2 (tham số t tương ứng với toạđộđiểm C ởcác phương án A,

B, C, D), ta thấy t2 thoả (1)

Cách

Ta có AB(2; 2;1),AD ( 2;1; 2) Suy

ABCD  

AB AD Theo giả thiết, suy DC2AB Kí hiệu C a b c( ; ; ), ta có

( 1; 3; 2)

DC  a b c 

, 2AB(4; 4; 2) Từ C(3; 7; 4)

D C

(11)

z

y

x m

n

m D'

C' B' A'

D

C

B AO

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có A trùng với gốc tọa độ O, đỉnh B m( ; 0; 0), D(0; ; 0)m , A(0; 0; )n với m n, 0 m n 4 Gọi

M trung điểm cạnh CC Khi thể tích tứ diện BDA M đạt giá trị lớn

A 245

108 B

9

4 C

64

27 D

75 32 Hướng dẫn giải:

Tọa độđiểm ( ; ; 0), ( ; ;; ), ; ; n C m m C m m n M m m  

 

 ; 0; ,  ; ; , 0; ; n BA  m n BD m m BM   m 

 

  

 2

, ; ;

BA BD mn mn m

     

 

 

2

1

,

6

BDA M

m n V   BA BD BM  

  

Ta có

3

2

2 512 256

.(2 )

3 27 27

m m n

m m n      m n

 

64 27 BDA M V 

 

Chọn C

Câu 8: Cho ba điểm A3;1; , B0; 1;0 ,  C0; 0; 6  Nếu tam giác A B C   thỏa mãn hệ thức

0 A A B B C C     

có tọa độ trọng tâm là:

A 1;0;   B 2; 3;   C 3; 2;0   D 3; 2;1  

Hướng dẫn giải: Chọn A

* Cách diễn đạt thứ nhất:

Gọi G, G’ theo thứ tự trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’ Với điểm T khơng gian có:

 1 :   A A B B C C'  '  ' 0TA TA  '  TB TB  '  TC TC  '0

 

' ' '

TA TB TC TA TB TC          

Hệ thức (2) chứng tỏ Nếu T G tức TA TB TC     0 ta có TA   'TB'TC'0

(12)

Ta có tọa độ G là: 0 1 0 6; ; 1; 0; 2

3 3

G        

 

Đó tọa độ trọng tâm G’ A B C' ' ' * Cách diễn đạt thứ hai:

Ta có:    AA'BB'CC'0 (1)

A G' ' G G GA'  B G' ' G G GB'  C G' ' G G' GC

                GA GB GC A G' ' B G' ' C G' ' 'G G

             (2)

Nếu G, G’ theo thứ tự trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’ nghĩa

' ' ' ' ' '

GA GB      GC A G B G C G  2 G G ' 0G'G

Tóm lại (1) hệ thức cần đủđể hai tam giác ABC, A’B’C’ có trọng tâm

Ta có tọa độ G là: 0 1 0 6; ; 1; 0; 2

3 3

G        

  Đó tọa độ trọng

tâm G’ A B C' ' '

Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm M3; 0; , N m n , , , P0;0;p Biết MN  13,MON600, thể tích tứ diện OMNP Giá trị biểu thức

2

Am n p

A 29 B 27 C 28 D 30

3; 0; ,  ; ; 0 OM ON m n OM ON  m

0

2

1

cos 60

2

OM ON m

OM ON OM ON

OM ON m n

    

  

   

 

 2

3 13

MN  m n 

Suy m2;n 2

1

, 6 3

6

OM ON OP p V p p

        

 

  

(13)

Câu 10: Cho hình chóp S ABCD biết A2; 2; , B3;1;8 , C1; 0; , D1; 2;3 Gọi H trung

điểm CD, SH ABCD Để khối chóp S ABCD tích 27

2 (đvtt) có hai điểm S S1, 2 thỏa mãn u cầu tốn Tìm tọa độtrung điểm I S S1 2

A I0; 1; 3   B I1; 0; 3 C I0;1; 3 D I1; 0;   Hướng dẫn giải:

Ta có  1; 1; , 1; 2;1 , 3

2

ABC

AB   AC  S  AB AC 

   

 2; 2; ,  1; 1; 2 DC   AB   DC AB

   

ABCD

 hình thang

9 3

2

ABCD ABC

S  S 

Vì . 3

3

S ABCD ABCD

V  SH S SH 

Lại có H trung điểm CDH0;1;5

Gọi S a b c ; ; SH  a;1b;5cSHk AB AC , k3;3;3  ;3 ;3k k k

Suy 3 9k29k29k2 k 1 +) Với k 1 SH3;3;3S 3; 2; 2

+) Với k  1 SH    3; 3; 3S3; 4;8

Suy I0;1; 3

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vng ABCD, B(3;0;8), D( 5; 4; 0)  Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy) có tọa độ số nguyên, CA CB  bằng:

A 5 10 B 6 10 C 10 D 10

Ta có trung điểmBD I( 1; 2; 4)  ,BD12và điểmAthuộc mặt phẳng (Oxy) nên

( ; ;0) A a b

ABCD hình vng 

2

AB AD

AI BD

  

  

   

 



2 2 2

2 2

( 3) ( 5) ( 4)

( 1) ( 2) 36

a b a b

a b

        

 

     

(14)

2

4

( 1) (6 ) 20

b a

a a

    

   



1

a b

   

 

17

14

a b 

   

    

 A(1; 2; 0) 17; 14;0

5

A  

 

(loại) Với A(1; 2; 0) C( 3; 6;8) 

D  Biết M x y z ; ; , để 2 2

bằng

A 7 B 8 C 9 D 6

Gọi G trọng tâm ABCD ta có: 14; ; 3 G 

 

Ta có: MA2MB2 MC2MD2 4MG2GA2GB2GC2GD2

 GA2GB2GC2GD2 Dấu xảy M  14; ;

3

G xy z

 

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A4; 2; , B2; 4; , C2; 2;1 Biết

điểm H a b c ; ;  trực tâm tam giác ABC Tính S   a b 3c

A S  6 B S 2 C S6 D S 2

Hướng dẫn giải: Chọn B

Ta có: HA4a; 2b;c,HB2a; 4b;c,BC0; 2;1 ,  AC   2; 0;1

     

, 2; 2; , 2 2 12

BC AC BC AC HA a b c a b c

   

              

   

    

Vì H trực tâm tam giác ABCnên:

 

7

2 2 4

7

2

3

2

2 12

, 2

3 a

HB AC a c a c

HA BC b c b c b S a b c

a b c a b c

BC AC HA

c 

 

     

 

 

 

  

              

   

      

   

    

  

 

   

 

  

.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A a ; 0; , B1; ; ,b  C1;0;cvới , ,

a b c số thực thay đổi cho H3; 2;1là trực tâm tam giác ABC Tính

S a b c

A S 2 B S19 C S11 D S 9

(15)

Để H3; 2;1là trực tâm tam giác ABC

 

AH BC BH AC H ABC

 

 

 

   

   

3 ; 2;1 , 0; ;  AH  a BC b c

 

2; ;1 , 1 ; 0;  BH b AC a c

 

Ta có  AH BC 0 2b c 0c2b

 

BH AC  a  c  

, thay c2b ta a b

Khi AB  b b; ; 0AB phương với u1;1; 0, ACb; 0; 2b AC

phương với v1; 0; 2 

Ta cóu v,   2; 2;1

 

Để HABCkhi u v AH  , , đồng phẳng

  11

, ,

2

u v AH a a b c

 

             

Vậy a b  c 19

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A3; 2; ,  B1; 4; 4  điểm

0; ; 

C a b thỏa mãn tam giác ABC cân C có diện tích nhỏ Tính S2a3b

A 62 25

S  B 73

25

S C 239

10

S  D 29

5 S 

Ta có: AB  4; 6; ,  AC   3;a2;b4

Điều kiện để A B C, , ba đỉnh tam giác là:

2

1

6

4

2

8

a

a b

b  



 

 

  



 

 

      



Gọi I trung điểm AB ta có: I1;1; 0

Tam giác ABC cân C nên CI ABCI AB 01.4  1a.6  b   8 0  

 

3

6 1

4 a

a b a b b 

          

Diện tích tam giác ABC là:

2 ABC

S  CI AB.Do diện tích tam giác ABC nhỏ

(16)

Khi đó:  2  2 2  

1 2

CI   a  b  a  a b Thay (1) vào (2) ta có:

2 2

2 25 38 33 19 464 29

2

4 16 25 20

a a a

CI  a  a        a   

   

Vậy CI nhỏ 19 62

25 25 25

a b S  a b

Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho hai điểm A2; 2; , B2; 0; 2  điểm

 , , 

M a b c với a b c, , số thực thay đổi thỏa mãn a2b c  1 Biết MAMB góc AMB có sốđo lớn Tính S a2b3c

A 16 11

S  B 15

11

S C

11

S  D 11 S 

Vì MAMB nên M thuộc mặt phẳng trung trực  P đoạn AB

Ta có  P :y z nên

2 1

b c c b

a b c a b

   

 



 

     

 

1 ; ; , 1 ; ;  MA  b b b MB  b b  b

 

    

       

2

2 2 2 2

1 2

cos

1 3 2 . 1 3 2

b b b

MA MB AMB

MA MB b b b b b b

  

  

       

   

2 2

9 11

9 4 11

b b b b b b

     

 

      

Xét  

2

11

b b

f b

b b

  

  có  

 

2

4 22

0

11 11

b

f b b

b b

 

    

 

Nhận thấy f b  nhỏ 14,

11 11 11

b  a c

Nên 14 15

11 11 11 11 a b c   

Câu 16: Trong không gian Oxyzcho ba điểm M2;3; , N  1;1;1 , P 1; m 1; 2    Tìm giá trị nhỏ

nhất sốđo góc MNP

A arccos

85 B

6 arcsin

85 C

2 arccos

9 D

2 arcsin

9 Hướng dẫn giải:

(17)

2

cos

17. 4 9

NM NP m

MNP

NM NP m m

 

 

 

Để sốđo góc MNPnhỏ

2

cos

17. 4 9

NM NP m

MNP

NM NP m m

 

 

 

là sốdương lớn

nhất Khi

2 2

2

cos

17. 4 9 17

NM NP m m

MNP

NM NP m m m m

  

   

 

Xét hàm số

2

1

( )

9

4 1 5

3

m f m

m m

m m m

   

     

 

 

 

2 2

2

cos

17. 4 9 17 85

NM NP m m

MNP

NM NP m m m m

   

   

 

Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1;1;1,B2;1; 0,C2; 3;1 

.ĐiểmS a b c ; ;  cho SA22SB23SC2 đạt giá trị nhỏ Tính T a b c A

2

T  B T  1 C

T   D T   . Hướng dẫn giải:

Chọn D

Gọi G điểm cho 1; 1;

2

GA GB GC G   

 

   

 2  2  2

2 2

2 3

6

SA SB SC SA SB SC SG GA SG GB SG GC

SG GA GB GC

          

   

        

2 2

SA SB SC nhỏ S G hay 1; 1;

2

S   

 

.Nên T  5

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A4; 0; , B a b ; ; , C0;0;c với

a b c, , 0 thỏa mãn độ dài đoạn AB2 10, góc AOB45 thể tích khối tứ diện

OABC Tính tổng T a b c 

A T 2 B T 10 C T 12 D T 14



1

.sin

3

OABC OAB

V  S OC OA OB OC AOB 1.4 2

6 a b

   2 2

288 c a b

(18)

Lại có AB a42b2 2 10  2

4 40

a b

   

Theo định lí hàm số cơ-sin ta có:

 

2 2 2 2

2 .cos 45 16 40

AB OA OB  OA OB   a b  a b 

2

72 a b

   288

72 c

    c 2; 8a16 72 40 a6b6

(19)

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG NÂNG CAO

1 Định nghĩa

Trong không gian Oxyz phương trình dạng AxBy Cz D0 với A2B2C2 0 gọi

phương trình tổng quát mặt phẳng

Phương trình mặt phẳng  P :AxByCzD0 với 2

A B C  có vec tơ pháp tuyến

 ; ;  n A B C 

Mặt phẳng  P qua điểm M0x y z0; 0; 0 nhận vecto nA B C; ; ,n0 làm vecto pháp tuyến dạng  P :A x x0B y y0C z z00

Nếu  P có cặp vecto aa a a1; 2; 3;bb b b1; 2; 3 khơng phương, có giá song song nằm  P Thì vecto pháp tuyến  P xác định na b, 

 

  

2 Các trường hợp riêng mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho mp   :AxByCzD0, với A2B2C2 0 Khi đó:

D   qua gốc tọa độ

0, 0, 0,

A B C D   song song trục Ox

0, 0, 0,

A B C D   song song mặt phẳng Oxy

, , ,

A B C D Đặt a D,b D,c D

A B C

      Khi đó:  :x y c

ab z  

3 Phương trình mặt chắn cắt trục tọa độ điểm A a ; 0; , B0; ; ,b  C0; 0;c:

1 ,

x y z

abc a b c  

4 Phương trình mặt phẳng tọa độ: Oyz:x0; Oxz:y0; Oxy:z0

5 Chùm mặt phẳng (lớp chuyên):

Giả sử      ' d đó: ( ) : AxBy Cz D0 ( ') : A x' B y' C z' D'0 Pt mp chứa d có dạng: m Ax ByCzDn A x ' B y' C z' D'0 (với m2n2 0)

(20)

Trong không gian Oxyz cho   :AxByCzD0  ' :A x' B y' C z' D'0

  cắt  '

' '

AB A B BC B C CB C B

  

 

 



  //  '

' '

' ' ' '

' '

AB A B

BC B C va AD A D CB C B

  

  

 



    '

' '

AB A B

BC B C

CB C B

AD A D

      

    

Đặt biệt:      ' n n 1 2 0A A 'B B 'C C '0

7 Khoảng cách từ M0x y z0; 0; 0 đến ( ) : Ax By Cz D   0

 

  0

2 2

, Ax By Cz D

d M

A B C

  



  

Chú ý:

 Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng

 Nếu hai mặt phẳng không song song khoảng cách chúng 0 8 Góc hai mặt phẳng

Gọi  góc hai mặt phẳng 00 900

 P :AxByCzD0  Q :A x' B y' C z' D'0

  2 2 2

' ' '

cos = cos ,

' ' '

P Q P Q

P Q

n n A A B B C C n n

n n A B C A B C

    

   

   

 

 Góc ( ) , ()bằng bù với góc hai vtpt

 ()()n1n2  AA'BB'CC' 0

1 Các hệ quả hay dùng:

 Mặt phẳng   //    có vtpt n n với n vtpt mặt phẳng  

1

n n , 

 

0

(21)

 Mặt phẳng   vng góc với đường thẳng d   có vtpt n ud với ud vtcp đường thẳng d

 Mặt phẳng  P vng góc với mặt phẳng  Q n P n Q

 Mặt phẳng  P chứa song song với đường thằng d n P ud  Hai điểm A B, nằm mặt phẳng  P ABn p

B - CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT THẲNG

Muốn viết phương trình mặt phẳng cần xác định: 1 điểm véctơ pháp tuyến

Dạng Mặt phẳng ( ) đi qua điểm có vtpt

(): hay AxBy Cz D0 với D Ax0By0Cz0

Dạng Mặt phẳng ( ) đi qua điểm có cặp vtcp a b ,

 Khi vtpt () n a b, 

    



 Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng Mặt phẳng ( ) qua điểm không thẳng hàngA B C , ,

 Cặp vtcp: AB AC,  

 Mặt phẳng ( ) qua A (hoặc B hoặcC ) có vtpt n AB AC, 

 Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng( )

Dạng Mặt phẳng trung trực đoạnAB

 Tìm tọa độ M trung điểm đoạn thẳng AB (dùng công thức trung điểm)

 Mặt phẳng ( ) qua M có vtpt n AB  

Dạng Mặt phẳng ( ) qua M và vng góc đường thẳng d (hoặcAB)

 Mặt phẳng ( ) qua M có vtpt vtcp đường thẳng d (hoặc n AB

 

)

Dạng Mặt phẳng ( ) qua M song song ( ) : AxBy Cz D0

 Mặt phẳng ( ) qua M có vtpt  n n A B C; ;   Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng Mặt phẳng   quaM , song song với d vng góc với      có vtpt n u nd,  

   

 với ud 

vtcp đường thẳng d n  

 vtpt    Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng Mặt phẳng ( ) chứa M đường thẳng d không qua M

 Lấy điểm M0x y z0; 0; 0   d

 0 0

M x ; y ; z nA; B;C  0  0  0

A xx B yy C zz 

(22)

 Tính MM0 Xác định vtcp ud đường thẳng d  Tính n MM u 0, d

 Mặt phẳng ( ) qua M (hoặc M0) có vtpt n

Dạng Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng cắt ( ) , ( ) :

 Xác định vtpt ( ) ( )  Một vtpt ( ) là: n u n,  

 

    



 Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng 10 Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M song song với hai đường thẳng chéo d d : 1, 2

 Xác định vtcp a b,  

đường thẳng d d1, 2

 Một vtpt ( ) là: n a b, 

    



Dạng 11 Mặt phẳng ( ) qua M N vng góc , ( ) :

 Tính MN



 Tính n MN n , 

 Mặt phẳng ( ) qua M (hoặc N ) có vtpt n

Dạng 12 Mặt phẳng   chứa đường thẳng d vng góc với      có vtpt n u nd, 

 

  



 với ud 

vtcp d  Lấy điểm M0x y z0; 0; 0d M0x y z0; 0; 0( )  Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng 13 Mặt phẳng ( ) chứa  d và song song  d/ (với ( ), ( ')d d chéo nhau)  Lấy điểm M0x y z0; 0; 0d M0x y z0; 0; 0( )

 Xác định vtcp u u d; d'của đường thẳng d đường thẳng d'

 Mặt phẳng ( ) qua M0 có vtpt n u u d, d'

Dạng 14 Mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng song song  1, 2

 Chọn điểm M1x y z1; 1; 1 1 M2x y z2; 2; 2 2

 Tìm vtcp u1 đường thẳng 1 vtcp u2 đường thẳng 2  Vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ) n u M M1, 1 2

  

n u M M2, 1 2

  

 Sử dụng toán để viết phương trình mặt phẳng ( )

Dạng 15 Mặt phẳng ( ) đi qua đường thẳng cắt d d : 1, 2

(23)

 Xác định vtcp a b , đường thẳng d d1, 2

 Một vtpt ( ) là: n a b , 

 Lấy điểm M thuộc d1 d2 M( )

Dạng 16 Mặt phẳng ( ) đi qua đường thẳng  d cho trước cách điểm M cho trước một khoảng k không đổi:

 Giả sử ( ) có phương trình:

 Lấy điểm A B, ( )d  A B, ( ) (ta hai phương trình (1), (2))

 Từđiều kiện khoảng cách , ta phương trình (3)

 Giải hệphương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị ẩn, tìm ẩn cịn lại)

Dạng 17 Mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu  S tại điểm H :

 Giả sử mặt cầu  S có tâm I bán kính R Vì H tiếp điểm H( )

 Một vtpt ( ) là:

Dạng 18 Mặt phẳng ( ') đối xứng với mặt phẳng ( ) qua mặt phẳng ( )P

 TH1: ( ) ( )P d:

- Tìm M N, hai điểm chung ( ), ( ) P

- Chọn điểm I( ) Tìm I’ đối xứng Iqua ( )P

- Viết phương trình mp ( ') qua I M N’, ,  TH2: ( ) / /( ) P

- Chọn điểm I( ) Tìm I’ đối xứng I qua ( )P

- Viết phương trình mp ( ') qua I’ song song với ( )P

CÁC DẠNG TOÁN KHÁC

Dạng Tìm điểm H hình chiếu vng góc của M lên ( )  Cách 1:

- H hình chiếu điểm M  P 

- Giải hệ tìm H  Cách 2:

- Viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc với ( ) :ta có a d n

AxByCz+D A2B2C20

d M( ,( )) k

n IH  

MH n phương

H P

, ( ) 

  

(24)

- Khi đó: H d ( )  tọađộ H nghiệm hpt:  d ( ) Dạng Tìm điểm M’ đối xứng M qua ( )

 Tìm điểm H hình chiếu vng góc M lên ( )

 H trung điểm MM/(dùng công thức trung điểm)  tọa độ H

Dạng Viết phương trình mp ( ')P đối xứng mp ( )P qua mp  Q  TH1: ( )Q   P d

- Lấy hai điểm bất kỳA B, ( )P ( )Q (hayA B, d)

- Lấy điểmM ( )P (M bất kỳ) Tìm tọa độđiểm M/đối xứng với M qua ( )Q - Mặt phẳng ( ')P mặt phẳng qua d M'

 TH2: ( )Q / /  P

- Lấy điểmM ( )P (M bất kỳ) Tìm tọa độđiểm M/đối xứng với M qua ( )Q - Mặt phẳng ( ')P mặt phẳng qua M' song song ( )P

C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ

2 2

  

    

y

x y z Oxyz cho điểm M1;0;0 0;0; 1 

N , mặt phẳng  P qua điểm M N, tạo với mặt phẳng  Q :xy40 góc 45O Phương trình mặt phẳng  P

A

2 2

  

    

y

x y z B

0

2 2

  

    

y

x y z

C 2

2 2

    

     

x y z

x y z D

2 2

   

    

x z

Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho  P :x4y2z 6 0, Q :x2y4z 6 Lập phương trình mặt phẳng   chứa giao tuyến của   P , Q cắt trục tọa độ

điểm A B C, , cho hình chóp O ABC hình chóp

A xy  z B xy  z C xy  z D xy  z

Câu 3: Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho đường thẳng:

, mặt cầu

1

2 1

:

1

x y z

  

 2:

1 x t

y t

z t

  

   

   

2 2

(25)

Viết phương trình mặt phẳng song song với hai đường thẳng cắt mặt cầu (S)

theo giao tuyến đường tròn (C) có chu vi

A B C D

Câu 4: Cho tứ giác ABCD có A0;1; ;  B1;1; ; C1; 1; ;  D0; 0;1  Viết phương trình mặt phẳng  P qua A B, chia tứ diện thành hai khối ABCE ABDE có tỉ số thể tích

A 15x4y5z 1 B 15x4y5z 1

C 15x4y5z 1 D 15x4y5z 1

2 2

y

x y z

 

     

Oxyz cho điểm M1; 0; 0

0; 0; 1

N  , mặt phẳng  P qua điểm M N, tạo với mặt phẳng  Q :xy 4 góc 45O Phương trình mặt phẳng  P

A

2 2

y

x y z

 

     

. B

2 2

y

x y z

 

     

C 2

2 2

x y z

    

     

. D 2

2 2

x z

   

    

Câu 6: Cho tứ giác ABCD có A0;1; ;  B1;1; ; C1; 1; ;  D0; 0;1  Viết phương trình tổng quát mặt phẳng  Q song song với mặt phẳng BCD chia tứ diện thành hai khối

AMNF MNFBCD có tỉ số thể tích 27

A 3x3z 4 B y  z

C y  z D 4x3z 4

Câu 7: Từ gốc O vẽ OH vng góc với mặt phẳng   P , OH  p; gọi   , , góc tạo vec tơ pháp tuyến  P với ba trục Ox,Oy Oz, Phương trình  P là:

A xcos ycoszcos  p0 B xsinysinzsin p0

C xcos ycoszcos  p0 D xsinysinzsin p0

Câu 8: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng  P cắt hai trục y Oy' z Oz'

0, 1, , 0, 0,1

A  B tạo với mặt phẳng yOz góc 45

A 2xy  z B 2xy  z

( )  1,

2 365



5 0; 10

x y z  x y z 

5 10

x y z 

5 3 511 0; 3 511

x y z   x y z  

5

(26)

C 2xy  z 0; 2xy  z D 2xy  z 0; 2xy  z Câu 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:

Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá

véc tơ , vng góc với mặt phẳng tiếp xúc với (S)

A 2

2 21

    



    

x y z

x y z B

2

2 21

    



    

x y z

C

2

    

     

x y z

x y z D

2 13

2

    

     

x y z

Câu 10: Cho điểm (0;8; 2)A mặt cầu ( )S có phương trình

2 2

( ) : (S x5) (y3) (z7) 72

điểm (9; 7; 23)B  Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua Atiếp xúc với ( )S cho khoảng cách từ Bđến ( )P lớn Giả sử n(1; ; )m n



vectơ pháp tuyến ( )P Lúc A m n 2 B m n  2 C m n 4 D m n  4

Câu 11: Cho mặt phẳng  P qua hai điểm A3, 0, , B3, 0, 4 hợp với mặt phẳng xOy

một góc 30 c0 y Oy' C Viết phương trình tổng quát mặt phẳng  P A y 3z4 30 B y 3z4 30

C y 3z4 30 D xy 3z4 30

Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng

1

1:

0 x t d y

z   

    

, 2 2

1 :

0 x d y t

z   

    

,

3

1

:

x d y

z t   

    

Viết phương trình mặt phẳng qua điểm H3; 2;1 cắt ba đường thẳng d1,

2

d , d3 A, B, C cho H trực tâm tam giác ABC

A 2x2y z 11 0 B x   y z

C 2x2y  z D 3x2y z 140

Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: d’:

Viết phương trình mặt phẳng () chứa (d) tạo với mặt phẳng Oyz góc nhỏ

A B

C D

2 2

2

x y z  x y z  (1;6; 2)

v ( ) : x4y z 110

3 2

   

   

  

x t

y t

z t

'

5 '

2 '

  

  



  

 x t

y t

z t

3xy 2z70 3xy 2z 7

3

(27)

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

1

x y z

d    

 Viết phương

trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d cắt trục Ox, Oy A B cho

đường thẳng AB vuông góc với d

A  P :x2y5z 4 B  P :x2y5z 5 C  P :x2y  z D  P : 2x  y

Câu 15: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng mp

Viết phương trình mặt phẳng qua d tạo với góc nhỏ

A B

C D

Câu 16: Cho hai đường thẳng 1

2

:

2

x t

d y t

z t    

     

2

:

x t

d y z t

    

     

Mặt phẳng cách hai đường

thẳng d1 d2 có phương trình

A x5y2z120 B x5y2z120

C x5y2z120 D x5y2z120

Câu 17: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho hai đường thẳng d d1, 2lần lượt có phương trình

2

:

2

x y z

d      , 2:

2

x y z

d     

 Phương trình mặt phẳng   cách hai đường thẳng d d1, 2 là:

A 7x2y4z0 B 7x2y4z 3

C 2x y 3z 3 D 14x4y8z 3

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng song song cách

đều hai đường thẳng

A B

C D

Câu 19: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P : 5x  z hai đường thẳng d d1; 2 lần

lượt có phương trình 1;

1 2 1

x y z x y z

   

 Viết phương trình mặt

phẳng    Q / / P , theo thứ tự cắt d d1, 2 A B, cho AB

:

2

x t

d y t

z t

   

   

   

 P : 2x y 2z 2  R  P

3

x   y z x   y z

3

x   y z x   y z

 P

2 :

1 1

y

x z

d   



1

:

2 1

y

x z

d    

 

(28)

A  1 : 25 331 0; 2: 25 331

7

Q x z    Q x z   

B  Q1 : 5x  z 0;Q2: 55x11z140

C  Q1 : 5 x  z 0;Q2: 55 x11z140

D  Q1 : 5x  z 0;Q2: 55x11z 7

Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1; 2; 3 đường thẳng d:

Mặt phằng  P chứa đường thẳng d có khoảng cách từ A đến  P lớn Khi  P có véctơ pháp tuyến

A B C D

Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng

Viết phương trình mặt phẳng chứa cho góc mặt phẳng đường thẳng lớn

A xy z 60 B 7x y5z 9 C xy  z D xy  z

Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm Viết phương trình mặt phẳng

đi qua gốc tọa độ cách khoảng lớn

A B C D

Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1

:

1

x y z

d    



2

:

2

x y z

d    

 Gọi  P mặt phẳng chứa d1 cho góc mặt phẳng  P đường thẳng d2 lớn Chọn mệnh đềđúng mệnh đề sau:

A  P có vectơ pháp tuyến n 1; 1; 2 

B  P qua điểm A0; 2; 0

C  P song song với mặt phẳng  Q : 7xy5z 3

D  P cắt d2 điểm B2; 1; 4 

Câu 24: Trong không gian với hệ trục toạđộ Oxyz,cho tứ diện ABCD có điểm A1;1;1 , B2; 0; 2,

 1; 1;0 , 0;3; 4

C   D Trên cạnh AB AC AD, , lấy điểm B C D', ', ' thỏa:

3

2 1

 

 



x y z

4 13

( ; ; )

n 

4 13

( ; ; )

n 



4 13

( ; ; )

n  

4 13

( ; ; )

n  

Oxyz 1:

1

x y z

d    



2

:

2

x y z

d    

 ( )P d1

( )P d2

,

Oxyz M1; 2;  

  O0; 0; 0 M

2

x y z 

1

y

x z

  

(29)

4

' ' '

AB AC AD

AB AC AD  Viết phương trình mặt phẳng B C D' ' ' biết tứ diện AB C D' ' ' có

thể tích nhỏ nhất?

A 16x40y44z390 B 16x40y44z390

C 16x40y44z390 D 16x40y44z390

Câu 25: Trong không gian với hệ toạđộOxyz, cho mặt phẳng   qua điểm M1; 2;3 cắt trục Ox, Oy, Oz A , B , C ( khác gốc toạđộ O) cho M trực tâm tam giác

ABC Mặt phẳng   có phương trình là:

A x2y3z140 B

1

x y z

   

C 3x2y z 100 D x2y3z140

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): đường thẳng Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng (Q) góc nhỏ

A B

C D

Câu 27: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A3; 0; 2, B3; 0; 2 mặt cầu

2 2

( 2) ( 1) 25

x  y  z  Phương trình mặt phẳng   qua hai điểm A, B cắt mặt cầu  S theo đường tròn bán kính nhỏnhất là:

A x4y5z170 B 3x2y  z

C x4y5z130 D 3x2yz– 11 0

A x   y z B x   y z C x   y z D x   y z

Câu 29: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm N1;1;1 Viết phương trình mặt phẳng

 P cắt trục Ox Oy Oz, , A B C, , (không trùng với gốc tọa độO) cho N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

A  P :xy  z B  P :xy  z

C  P :xy  z D  P :x2y  z

Câu 30: Phương trình mặt phẳng sau qua điểm M1; 2;3 cắt ba tia Ox, Oy, Oz

lần lượt A,B, C cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất?

x2y z 50

x y z

d: 1

2 1

  

 

 P :y z 40  P : x z 40

(30)

A 6x3y2z180 B 6x3y3z21 0

C 6x3y3z21 0 D 6x3y2z180

Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E(8;1;1) Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua E cắt nửa trục dương Ox Oy Oz, , , ,A B C cho OG nhỏ với G trọng tâm tam giác ABC

A x y 2z11  B 8xy z 66=0

C 2x  y z 180 D x2y2z120

Câu 32: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;1; ,) B(1;2; 4) I(1;3; ) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A B, cho khoảng cách từ I đến (P) lớn

A 3x7y6z350 B 7x y5z 9

C xy  z D x y  z

Câu 33: Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz, cho hai điểm Mặt phẳng (P)đi qua M, N cho khoảng cách từ đến (P) đạt giá trị lớn (P) có vectơ

pháp tuyến là:

A B C D

Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho điểm A1; 0; , B2; 0;3 , M0;0;1 N0;3;1  Mặt phẳng  P qua điểm M, N cho khoảng cách từ điểm B đến  P gấp hai lần khoảng cách từđiểm A đến  P Có bao mặt phẳng  P thỏa mãn đầu bài?

A Có vơ số mặt phẳng  P B Chỉ có mặt phẳng  P C Khơng có mặt phẳng  P D Có hai mặt phẳng  P Câu 35: Trong không gian tọa độOxyz, cho phương trình mặt phẳng

Xét mệnh đề sau:

(I) Với mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu không đổi

(II) Với mặt phẳng ln cắt mặt phẳng (Oxz)

(III)

Khẳng định sau đúng?

A Chỉ (I) (II) B Chỉ (I) (III) C Chỉ (II) (III) D Cả3

(0; 1;2)

M  N( 1;1; 3)

0; 0;2 K

(1;1; 1) (1; 1;1) (1; 2;1) (2; 1;1)

 : 3 5 1 4 20 0, 1;1

m mx m y mz m

        

1;1

m     m

m   m

 

; m 5, 1;1

(31)

một góc 30 c0 y Oy' C Tính khoảng cách từ O đến  P

A 4 B C 3 D 2

Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hai mặt phẳng 4x4y2z 7 0và 2x2y  z chứa hai mặt hình lập phương Thể tích khối lập phương

A 27

8

V  B 81

8

V 

.

C

2

V  D 64

27

V 

Câu 38: Trong không gian với hệ toạ độ , gọi mặt phẳng qua hai điểm đồng thời hợp với mặt phẳng góc Khoảng cách từ O tới là:

A B C D

Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  Q :xy z hai điểm

4, 3,1 , 2,1,1 

A  B Tìm điểm M thuộc mặt phẳng  Q cho tam giác ABM vuông cân M

A

1; 2;1

17

; ;

7 7

M M              

B

1; 2;1 17

; ; 7 M M            C

 1; 2;1

13

; ;

7 7

M M              

D

1;1;1

9

; ;

7 7

M M             

Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho điểm A1;3; , B3; 2;1 mặt phẳng

 P :x2y2x110 Tìm điểm M  P cho MB 2,MBA 30



 

A  

  1; 2;3 1; 4;1 M M   

B  

  1; 2;3 1; 4;1 M M     

C  

  2;1;3 4;1;1 M M   

D  

  1; 2;3 1; 4;1 M M     

Câu 41: Trong không gian tọa độ , cho tám điểm , , ,

, , , , Hỏi hình đa diện tạo

tám điểm cho có mặt đối xứng

A 3 B 6 C 8 D 9

Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A1; 2;0 ,  B0; 1;1 ,  C2;1; , 

3;1; 4 D

Hỏi có mặt phẳng cách bốn điểm đó?

A 1 B 4 C 7 D Vô số

Oxyz   A2; 0;1

 2;0;5

B  Oxz

45  

3 2

Oxyz A2; 2; 0  B3; 2; 0  C3; 3; 0  2; 3; 0

(32)

Câu 43: Trong khơng gian cho điểm M(1; 3; 2) Có mặt phẳng qua M cắt trục tọa độ A B C, , mà OAOBOC0

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 44: Có mặt phẳng qua điểm M(1;9; 4) cắt trục tọa độ điểm A, B, C

(khác gốc tọa độ) cho OAOBOC

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 2; 0) , đường thẳng

1

:

1

x y z

  

 Biết mặt phẳng ( )

P có phương trình ax by czd 0 đi qua A, song song với và khoảng cách từ  tới mặt phẳng ( )P lớn Biết ,a b số nguyên dương có ước chung lớn Hỏi tổng a b c d   bao nhiêu?

A 3 B 0 C 1 D 1

Câu 46: Trong không gain Oxyz, cho hai đường thẳng 1:

1

x y z

d     



2

:

2

x t

d y t

z    

      

Mặt phẳng  P :ax by czd 0 (với a b c d; ; ; ) vng góc với đường thẳng d1 chắn d d1, 2 đoạn thẳng có độ dài nhỏ Tính a  b c d

A 14 B 1 C 8 D 12

Câu 47: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A10; 2;1 đường thẳng

1

:

2

x y z

d     Gọi  P mặt phẳng qua điểm A, song song với đường thẳng d

sao cho khoảng cách d  P lớn Khoảng cách từ điểm M1; 2;3 đến mp

 P

A 97

15 B

76 790

790 C

2 13

13 D

3 29 29

Câu 48: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A2;5;3 đường thẳng

1

:

2

x y z

d     Gọi  P mặt phẳng chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ A đến  P lớn Tính khoảng cách từđiểm M1; 2; 1  đến mặt phẳng  P

A 11 18

18 B 3 C

11

18 D

4

Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A a ; 0; , B0; ;0 ,b  C0; 0;c với , ,a b c

(33)

, ,

a b c thay đổi quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng  P cố định Tính khoảng cách từ M2016; 0; 0 tới mặt phẳng  P

A 2017 B 2014

3 C

2016

3 D

2015

Câu 50: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 3xy  z hai

điểm A1; 0; 2, B2; 1;   Tìm tập hợp điểm M x y z ; ;  nằm mặt phẳng  P cho tam giác MAB có diện tích nhỏ

A 7

3

x y z

x y z     



    

B 14

3

x y z

    



    

C 7

3

x y z

x y z     



    

D

3

x y z

    



    

Câu 51: Trong khơng gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có điểm A trùng với gốc hệ trục tọa độ, ( ;0; 0)B a , D(0; ; 0)a , A(0; 0; )b (a0,b0) Gọi M trung điểm cạnh CC Giá trị tỉ số a

b để hai mặt phẳng (

)

A BD

MBD vng góc với là:

A 1

3 B

1

2 C 1 D 1

Câu 52: Trong không gian với hệ trục toạ độ cho điểm Gọi mặt phẳng qua cho tổng khoảng cách từ đến lớn biết không cắt đoạn Khi đó, điểm sau thuộc mặt phẳng ?

A B C D

Câu 53: Trong không gian với hệ trục toạ độ cho điểm

trong dương mặt phẳng Biết vng góc với , mệnh đềnào sau đúng?

A B C D

Câu 54: Cho hình lập phương ABCD A B C D    có cạnh Tính khoảng cách hai mặt phẳng AB D  vàBC D 

A

3 B C

3

2 D

2 ,

Oxyz A1;0;1 ; B3; 2; ;  C1; 2; 2 

 P A B C  P

 P BC  P

 2; 0; 

G  F3; 0;   1;3;1 E  H0;3;1

,

Oxyz A1;0;0 , B 0; ;0 ,b  C0; 0;c

,

b c  P :y  z mp ABC   

mp P  ,  d O ABC 

(34)

Câu 55: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A5;5;0 ,  B1; 2;3 ,  C3;5; 1  mặt phẳng P : xy  z

Tính thể tích V khối tứ diện SABC biết đỉnh S thuộc mặt phẳng  P SASBSC

A 145

6

V  B V 145 C 45

6

V  D 127

3

V 

Câu 56: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2;3;1 hai mặt phẳng

 P :x2y2z 3  Q :2x2y  z Gọi B P C,  Q cho chu vi tam giác ABC nhỏ Tính P ABBCCA

A 321

9

P B 231

9

P C 321

9

P D 231

9 P

Câu 57: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm Gọi mặt phẳng qua cho cắt trục tọa độ điểm cho khoảng cách từ gốc tọa độ

tới lớn Thể tích khối tứ diện là?

A B C D

Câu 58: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1; 2; ,  M2; 4;1 , N1;5;3 Tìm tọa độ điểm C nằm mặt phẳng  P :x z 270 cho tồn điểm B D, tương ứng thuộc tia AM AN, để tứ giác ABCD hình thoi

A C6; 17; 21  B C20;15; 7 C C6; 21; 21 D C18; 7;9 

Câu 59: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x2y2z 3 hai điểm

1; 2;3 , 3; 4;5

A B Gọi M điểm di động  P Giá trị lớn biểu thức

2 MA

MB 

bằng:

A 3 6 78 B 3 3 78 C 54 78 D 3

Câu 60: Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz

gọi d đường thẳng qua điểm

1, 0, 0

A có hình chiếu mặt phẳng

 P :x2y2z 8 d' Giả sử giá trị lớn nhỏ khoảng cách từ điểm M2, 3, 1   tới d'   Tính giá trị T ?

A B

2

Oxyz M3; 4;5  P

M  P A B C, ,

 P OABC

6250

3125

24

(35)

C

2 D

(36)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho ba mặt phẳng

  :x2y  z 0;  :x2y  z 0;  :x2y  z

Một đường thẳng  thay đổi cắt ba mặt phẳng       ;  ;  A B C, , Hỏi giá trị

nhỏ biểu thức P AB2 144 AC

  là?

A 108 B 72 3 C 96. D 36

Câu 62: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2; 2; , B2;0; 2  mặt phẳng

 P :x2y  z

Tìm điểm M P cho MAMB góc AMB có số đo lớn

A 14; 1; 11 11 11

M  

  B

2

; ;

11 11 11

M  

  C M2; 1;    D M2; 2;1 

Câu 63: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :xy z 20 hai điểm

3; 4;1 , 7; 4; 3

A B   Gọi M x y z 0; 0; 0 điểm thuộc mặt phẳng  P cho

 

2

2 96

MA MB  MA MB  MA MB   MA MB đạt giá trị lớn Tính y0

A 0

y  B 0

y  C 0

3

(37)

D - HƯỚNG DẪN GIẢI

2 2

 

     

y

x y z Oxyz cho điểm M1;0;0 0;0; 1 

N , mặt phẳng  P qua điểm M N, tạo với mặt phẳng  Q :xy40 góc 45O Phương trình mặt phẳng  P

A

2 2

 

     

y

x y z B

0

2 2

 

     

y

x y z

C 2

2 2

    



    

x y z

x y z D

2 2

   



   

x z

Gọi vectơ pháp tuyến mp P  Q nPa b c; ;   

2 2

0

  

a b c , nQ  P qua M1;0;0 P :a x 1bycz0

 P qua N0;0; 1  a c

 P hợp với  Q góc 45 O   O

2

0

, 45

2



 

     

 

 

  P Q

a a b

cos n n cos

a b

Với a  0 c chọn b1 phương trình  P :y0

Với a 2b chọn b  1 a2 phương trình mặt phẳng  P : 2x y2z20

Chọn A

Câu 2: Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz,cho  P :x4y2z 6 0, Q :x2y4z 6 Lập phương trình mặt phẳng   chứa giao tuyến của   P , Q cắt trục tọa độ

A xy  z B xy  z C xy  z D xy  z

Chọn M6; 0; , N2; 2; 2 thuộc giao tuyến của   P , Q

Gọi A a ; 0; , B0; ; ,b  C0; 0;c giao điểm   với trục Ox Oy Oz, ,

 : x y z 1a b c, , 0

(38)

  chứa M N,

6

2 2

1

a

a b c



 

  

    



Hình chóp O ABC hình chóp đềuOAOBOC a  b  c Vây phương trìnhxy  z

Chọn B

Câu 3: Trong không gian với hệ toạđộOxyz, cho đường thẳng:

, mặt cầu

Viết phương trình mặt phẳng song song với hai đường thẳng cắt mặt cầu (S)

theo giao tuyến đường tròn (C) có chu vi

A B C D Chọn B

+ qua có vectơ chỉphương

qua có vectơ chỉphương

+ Mặt phẳng () song song với nên có vectơ pháp tuyến:

Phương trình mặt phẳng () có dạng:

+ Mặt cầu (S) có tâm bán kính

Gọi r bán kính đường trịn (C), ta có:

Khi đó:

1

2 1

:

1

x y z

  

 2:

1 x t

y t

z t

  

   

   

2 2

( ) :S x y z 2x2y6z 5

( )  1, 2

2 365



5 0; 10

x y z  x y z 

5 10

x y z 

5 3 511 0; 3 511

x y z   x y z  

5

x y z 

1

 M1(2; 1;1) u1(1; 2; 3)



2

 M2(0; 2;1) u2 (1; 1; 2)



1,

  u u1, 2 (1; 5; 3) 

   

 x5y3zD0

I(1; 1;3) R4

2 365 365

2

5

r  r

   

  2 35

, ( )

5

d I   R r  35

10

35

D D

D  

 

   

(39)

+ Phương trình mặt phẳng

Vì nên M1 M2 không thuộc loại (1)

Vậy phương trình mặt phẳng () cần tìm là:

Chọn B

Câu 4: Cho tứ giác ABCD có A0;1; ;  B1;1; ; C1; 1; ;  D0; 0;1  Viết phương trình mặt phẳng  P qua A B, chia tứ diện thành hai khối ABCE ABDE có tỉ số thể tích

A 15x4y5z 1 B 15x4y5z 1

C 15x4y5z 1 D 15x4y5z 1

 P cắt cạnh CD E E, chia đoạn CD theoo tỷ số 3

3 3.0

4 4

3 3.0

4 4

3 3.1

4 4

C D

x x

x

y y

E y

z z

z

 



  

 

   



    



 



  

 

1; 0;3 ; 1; 7; 11; 5; 7

4 4

AB AE   

 

 

Vecto pháp tuyến

 : , 15; 4; 5   : 15  1  4 1 5

15

P n AB AE P x y z

x y z

 

            

       

Chọn A

2 2

y

x y z

  

    

Oxyz cho điểm M1; 0; 0

0; 0; 1

N  , mặt phẳng  P qua điểm M N, tạo với mặt phẳng  Q :xy 4 góc 45O Phương trình mặt phẳng  P

A

2 2

y

x y z

  

    

. B

2 2

y

x y z

  

    

C 2

2 2

x y z

    

     

. D 2

2 2

x z

   

    

( ) : x5y3z 4 (1) hay x5y3z100 (2) 1/ /( ), / /( )

  ( ) 

5 10

x y z 

F N

C B

A

(40)

Gọi vectơ pháp tuyến mp P  Q nPa b c; ;  a2b2c2 0, nQ  P qua M1; 0; 0 P :a x 1bycz0

 P qua N0; 0; 1  a c

 P hợp với  Q góc 45 O   O

2

0

, 45

2

P Q

a a b

cos n n cos

a b



 

     

 

 

 

Với a0c0 chọn b1 phương trình  P :y0

Với a 2b chọn b  1 a2 phương trình mặt phẳng  P : 2xy2z 2

Chọn A

Câu 6: Cho tứ giác ABCD có A0;1; ;  B1;1; ; C1; 1; ;  D0; 0;1  Viết phương trình tổng quát mặt phẳng  Q song song với mặt phẳng BCD chia tứ diện thành hai khối

AMNF MNFBCD có tỉ số thể tích 27

A 3x3z 4 B y  z

C y  z D 4x3z 4

Tỷ số thể tích hai khối AMNF MNFBCD:

3

1 27 AM

AB

 



 

 

1 AM

M AB

   chia cạnh AB theo tỉ số 2

 

   

1 2.0

3

1 2.1

1 ; 0;1;1 ; 1;1;1

3

2

0

x

E y BC BD

x  

 

 

 

       



  

 

 

 

Vecto pháp tuyến  Q :n0;1; 1 

        

 

1

: 1

3

:

M Q Q x y z

P y z

 

             

   

Chọn B

Câu 7: Từ gốc O vẽ OH vng góc với mặt phẳng   P , OH  p; gọi   , , góc tạo vec tơ pháp tuyến  P với ba trục Ox,Oy Oz, Phương trình  P là:

(41)

C xcos ycoszcos  p0 D xsinysinzsin p0

 cos , cos , cos   cos , cos , cos  H p  p  c  OH p  p  c 

Gọi: M x y z , ,    P HMxpcos , ypcos , zccos

     

 

cos cos cos cos cos cos

: cos cos cos

OH HM

x p p y p p z c p

P x y z p

     

  



     

    

 

Chọn A

Câu 8: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng  P cắt hai trục y Oy' z Oz'

0, 1, , 0, 0,1

A  B tạo với mặt phẳng yOz góc 45

A 2xy  z B 2xy  z

C 2xy  z 0; 2xy  z D 2xy  z 0; 2xy  z Hướng dẫn giải:

Gọi C a , 0, 0 giao điểm  P trục x' Ox

0, 1, ;  , 0, 1

BA BC a

    

Vec tơ pháp tuyến  P nBA BC , 1,a a, 

Vec tơ pháp tuyến yOz là: e11, 0, 0

Gọi  góc tạo  P  

2

1

os45

2

1

yOz c a a

a

       



Vậy có hai mặt phẳng  P : 2xy  z 2xy  z 0; 2xy  z Chọn D

Câu 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá

véc tơ , vng góc với mặt phẳng tiếp xúc với (S)

A 2

2 21

    

     

x y z

x y z B

2

2 21

    

     

x y z

C

2

    

     

x y z

x y z D

2 13

2

    

     

x y z

Vậy: (P): (P):

(S) có tâm I(1; –3; 2) bán kính R = VTPT

 VTPT (P) là:  PT (P) có dạng:

2 2

2

x y z  x y z  (1;6; 2)

v ( ) : x4y z 11 0

2x y 2z 3 0 2x y 2z21 0

( ) n(1;4;1)  ,  (2; 1;2)

P

(42)

Vì (P) tiếp xúc với (S) nên

Vậy: (P): (P):

Chọn B

Câu 10: Cho điểm (0;8; 2)A mặt cầu ( )S có phương trình

2 2

( ) : (S x5) (y3) (z7) 72

điểm (9; 7; 23)B  Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua Atiếp xúc với ( )S cho khoảng cách từ Bđến ( )P lớn Giả sử n(1; ; )m n



vectơ pháp tuyến ( )P Lúc A m n 2 B m n  2 C m n 4 D m n  4

Mặt phẳng ( )P qua Acó dạng a x( 0)b y( 8)c z( 2)0ax by cz8b2c0

Điều kiện tiếp xúc:

2 2 2

5 11

( ; ( )) a b c b c a b c

d I P

a b c a b c

     

    

   

(*)

Mà

2 2 2

9 23 15 21

( ; ( )) a b c b c a b c

d B P

a b c a b c

     

 

   

2 2

5a 11b 5c 4(a b )c

a b c

    

 

 

2 2 2

2 2 2 2 2

5 11 ( 1)

4 18

a b c a b c a b c

a b c a b c a b c

        

    

     

Dấu xảy

1

a b c

 

 Chọn a1;b 1;c4 thỏa mãn (*) Khi ( ) :P x y 4z0 Suy m 1;n4 Suy ra: m n  4

một góc 30 c0 y Oy' C Viết phương trình tổng quát mặt phẳng  P A y 3z4 30 B y 3z4 30

C y 3z4 30 D xy 3z4 30 Hướng dẫn giải:

0, , ;  3, , ;  6, 0, 0 C c AC  c  AB 

Vec tơ pháp tuyến  P :n  AC AB, 6 0, 4, c Vec tơ pháp tuyến xOz:e3 0, 0,1

( ,( ))

d I P  21

3

m m

    

 

(43)

 

        

0

2

cos 30 48 0, 4,

2 16

: 0 4 3

c

c c n

c

P x y z y z

         



           



Chọn C

Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng

1

1:

0 x t d y z        

, 2 2

1 :

0 x d y t

z         , 3 : x d y z t        

Viết phương trình mặt phẳng qua điểm H3; 2;1 cắt ba đường thẳng d1,

2

d , d3 A, B, C cho H trực tâm tam giác ABC

A 2x2y z 11 0 B x   y z

C 2x2y  z D 3x2y z 140

Gọi A a;0;0 , B1; ; 0b , C1; 0;c

1 ; ; , 0; ; , 2; 2;1 , 3 ; 2;1 AB a b BC b c CH  c AH  a

   

Yêu cầu toán

     

2

, 2 2 1 1 1 0

0

9

2

AB BC CH bc c a c b a

b

AB CH a b b b

b c b BC AH                                           

Nếu b0suy AB(loại)

Nếu

2

b , tọa độ 11; 0;

A   ,

9 1; ;

2

B 

 , C1; 0;9 Suy phương trình mặt phẳng ABC 2x2y z 11 0

Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: d’:

Viết phương trình mặt phẳng () chứa (d) tạo với mặt phẳng Oyz góc nhỏ

A B

C D

3 2            x t y t z t ' '

2 '

           x t y t z t

3xy 2z70 3xy 2z 7

3

(44)

Giả sử (β): (đk: ), (β) có vtpt

d (β)   

=

TH 1: A = (không thoảđb không nhỏ nhất)

TH 2: A ≠ 0, ta có:

= = =

nhỏ  lớn  nhỏ 

 nên Vậy: (β):

Chọn D

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho đường thẳng :

1

x y z

d    

 Viết phương

trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d cắt trục Ox, Oy A B cho

đường thẳng AB vng góc với d

A  P :x2y5z 4 B  P :x2y5z 5 C  P :x2y  z D  P : 2x  y Hướng dẫn giải:

Cách (Tự luận)

0

   

Ax By Cz D A2B2C20 ( ; ; )





n A B C

( )

 

   

  

A n a

 3 2 0

2

  

  

  

 

A B D A B C

2

    



  



D A C

B A C



cos(( ), ( )) cos( , )   

Oyz n i



2 2

( 2)

  

A

A A C C

 ( ), ( Oyz)

 cos(( ),( Oyz))

2

1

1 (1 C ) ( )C

A A

2

1

6 12

( 3) 2 ( )

3

  

C C

A A

2

6 12

( )

3

 

C A 

( ), ( Oyz) cos(( ),( Oyz)) ( 6)2  C

A

3

 

C A

1 (choïn)

   

   

A C

1

7

          B D

(45)

Đường thẳng d qua M(2;1;0) có VTCP ud 1; 2; 1 

Ta có:ABd ABOz nên AB có VTCP là: uAB u kd, 2; 1; 0 

  

(P) chứa d AB nên (P) điqua M(2;1; 0), có VTPT là: nu ud, AB1; 2;5

  

 P :x2y5z 4  Chọn A

Cách 2: Dùng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Đường thẳng d qua điểm M(2;1;0) N(3;3;-1)

Giả sử mp(P) cắt Ox, Oy, Oz A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)

 P : x y z

abc 

ABd  AB u d 0a2b  

(1)

 P chứa d nên d qua M, N  1

ab  (2),

3

1

a b c



   (3)

Từ (1), (2), (3)  a = 4, b = 2, c =

5  P :x2y5z 4

Chọn A

Câu 15: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng mp

Viết phương trình mặt phẳng qua d tạo với góc nhỏ

A B

C D

Đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng:

Do mặt phẳng qua d thuộc chùm mặt phẳng:

:

2

x t

d y t

z t

   

   

   

 P : 2x y 2z 2  R  P

3

x   y z x   y z

3

x   y z x   y z

1

2

1

2

1

x y

x z x z

 

 

    



 

 

     

 

 

 R  R

 

(46)

Hay mp : (*) Mp có

Vậy:

Do nhỏ lớn

Vậy thay vào (*) ta có mp

Chọn B

Câu 16: Cho hai đường thẳng

2

:

2

x t

d y t

z t    

     

2

:

x t

d y z t

    

     

Mặt phẳng cách hai đường

thẳng d1 d2 có phương trình

A x5y2z120 B x5y2z120

C x5y2z120 D x5y2z120

1

d qua A2;1; 0 có VTCP u11; 1; 2 ;

d qua B2;3; 0 có VTCP u2   2; 0;1

Có u u 1, 2    1; 5; 2; AB0; 2; 0, suy u u 1, 2.AB 10, nên d d1; 2 chéo Vậy mặt phẳng  P cách hai đường thẳng d d1, 2 đường thẳng song song với d d1, 2

đi qua trung điểm I2; 2; 0 đoạn thẳng AB

Vậy phương trình mặt phẳng  P cần lập là: x5y2z120

Câu 17: Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz,cho hai đường thẳng d d1, 2lần lượt có phương trình

2

:

2

x y z

d      , 2:

2

x y z

d     

 Phương trình mặt phẳng   cách hai đường thẳng d d1, 2 là:

A 7x2y4z0 B 7x2y4z 3

C 2x y 3z 3 D 14x4y8z 3

Ta có d1 qua A2; 2;3 có  

1 2;1;3

d u  

, d2 qua B1; 2;1 có  

2 2; 1;

d

u   R 2m x  y mz 1 2m0  R

   

1 2;1; ; P 2; 1;

n  m m n   

 

   

1

2 2 2

1

2 2

5

cos

3 3

3

2 4

P P

m m

n n

m m

n n m m m

       

 

      

  

 cos m1

 R :x   y z

A

B

(47)

 1;1; ; d1; d2 7; 2; 4 AB   u u   

  

;

1;

d d

u u AB

 

   

 

  

nên d d1, 2 chéo

Do   cách d d1, 2 nên   song song với d d1, 2n ud1;ud27; 2; 4     



 

  có dạng 7x2y4zd 0

Theo giả thiết d A ,  d B ,  

2

69 69

d d

d

 

   

 :14x 4y 8z

     

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng song song cách

đều hai đường thẳng

A B

C D

Ta có: qua điểm có VTCP

và qua điểm có VTCP Vì song songvới hai đường

thẳng nên VTPT

Khi có dạng loại đáp án A C

Lại có cách nên qua trung điểm Do

Chọn B

Câu 19: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P : 5x  z hai đường thẳng d d1; 2 lần

lượt có phương trình 1;

1 2 1

x y z x y z

   

 Viết phương trình mặt

phẳng    Q / / P , theo thứ tự cắt d d1, 2 A B, cho AB

 P

2 :

1 1

y

x z

d   



1

:

2 1

y

x z

d    

 

 P : 2x2z 1  P : 2y2z 1  P : 2x2y 1  P : 2y2z 1

1

d A2; 0; 0 u1  1;1; 1

2

d B0;1; 2 u2 2; 1;     P

d d2  P n u u 1, 2  0;1; 1   P y z D  0 

 P d1 d2  P 0; ;11

2

M 

  AB

(48)

A  1 : 25 331 0; 2: 25 331

7

Q x z    Q x z   

B  Q1 : 5x  z 0;Q2: 55x11z140

C  Q1 : 5 x  z 0;Q2: 55 x11z140

D  Q1 : 5x  z 0;Q2: 55x11z 7 Hướng dẫn giải:

 

   

1

1 '

: , : ' ; : 0,

1 '

3 15 12 30

; ; , ; ;

3 3 9

x t x t

d y t d y t Q x z d d

z t z t

d d d d d d

Q d A Q d B

   

 

 

        

 

       

 

        

   

       

   

Suy ; ;30 16 ; ;30 

9 9

d d d

AB      d   d  d

 



Do 16 2  2 30 2

3

AB  d    d   d

2

25 331

80

42 300 252

9 25 331

7

d

d d

d

     

     

     

Vậy, tìm hai mặt phẳng thỏa mãn:

 1  2

25 331 25 331

: 0; :

7

Q x z    Q x z    Chọn A

Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1; 2; 3 đường thẳng d:

Mặt phằng  P chứa đường thẳng d có khoảng cách từ A đến  P lớn Khi  P có véctơ pháp tuyến

A B C D

Gọi H,K lần lươt hình chiếu vng góc A lên d (P)

Khi đó: d(A,(P)) = AK AH hay d(A,(P)) lớn

Ta có:

Suy ra:

3

2 1

 

 



x y z

4 13

( ; ; )

n 

4 13

( ; ; )

n 



4 13

( ; ; )

n  

4 13

( ; ; )

n  

 H K

3 2 1

( ; ; ); ( ; ; )

H   t   t t a 

 4

0

3

AH a  t  

4 13

3 3

( ; ; )

(49)

Hay véctơ pháp tuyến (P)

Chọn A

Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng

Viết phương trình mặt phẳng chứa cho góc mặt phẳng đường thẳng lớn

A xy z 60 B 7xy5z 9 C xy  z D xy  z

Ta có: qua có

Phương trình mặt phẳng có dạng:

Ta có:

Gọi

Với

Với Đặt , ta

Xét hàm số Ta có:

Dựa vào BBT ta có:

Khi đó:

Vậy Phương trình mặt phẳng

4 13

( ; ; )

n 

Oxyz 1:

1

x y z

d    



2

:

2

x y z

d    

 ( )P d1

( )P d2

1

d M(1; 2; 0) VTCPu(1;2; 1) 

( )P A x( 1)B y( 2)Cz0,(A2B2C2 0)

( )

d P u n CA B

 

2

2 2 2 2

4 1 (4 3 )

(( ), ) sin

3

A B A B

P d

A AB B

       

 

0

B sin 2

3



 

0

B t A

B 

2

1 (4 3) sin

3

t

t t

  

 

2

(4 3) ( )

2

t f t

t t

 

 

2

16 124 84 '( )

(2 5)

t t

f t

t t

 



 

'( ) 4

7

t f t

t 

  

 

   

25 max ( )

3

f t  t 7 A

B

  

5 sin ( 7)

9

f

   

5 sin

9

  A

(50)

Chọn B

Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm Viết phương trình mặt phẳng

đi qua gốc tọa độ cách khoảng lớn

A B C D

Gọi hình chiếu vng

Khi qua vng góc với vecto

pháp tuyến phương trình mặt phẳng hay

Chọn A

Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:

1

x y z

d    



2

:

2

x y z

d    

 Gọi  P mặt phẳng chứa d1 cho góc mặt phẳng  P đường thẳng d2 lớn Chọn mệnh đềđúng mệnh đề sau:

A  P có vectơ pháp tuyến n 1; 1; 2 

B  P qua điểm A0; 2; 0

C  P song song với mặt phẳng  Q : 7xy5z 3

D  P cắt d2 điểm B2; 1; 4 

1

d qua M1; 2;0  có VTCP u1; 2; 1  Vì d1 P nên M  P Pt mặt phẳng  P có dạng: A x 1B y 2Cz0A2 B2C2 0 Ta có: d1 P u n 0C A2B

 

Gọi    

2

2 2 2 2

4

, sin

3

A B A B

P d

A AB B

 

   

 

 

TH1: Với B0 sin 2





TH2: Với B0 Đặt t A B

 , ta được:  

2

4

1 sin

3

t

t t

 

 



,

Oxyz M1; 2;  

  O0; 0; 0 M

2

x y z 

1

y

x z

  

 x y z  0 x y z   2

H M ( )P  MHO H  MH MO

max MH

  MO ( )P M MO MO(1; 2; 1)



( )P  ( )P 1(x0) 2( y0) 1( z0) 0

2

(51)

Xét hàm số    

2

4

2

t f t

t t

 

  Dựa vào bảng biến thiên ta có:  

25 max

7

f x  t 7

khi A

B  

Khi sin  7

f

  



So sánh TH1 TH2  lớn với sin



 A

B  

Vậy phương trình mặt phẳng  P : 7xy5z 9

Chọn B

Câu 24: Trong không gian với hệ trục toạđộ Oxyz,cho tứ diện ABCD có điểm A1;1;1 , B2; 0; 2,

 1; 1;0 , 0;3; 4

C   D Trên cạnh AB AC AD, , lấy điểm B C D', ', ' thỏa:

' ' '

AB AC AD

AB AC AD  Viết phương trình mặt phẳng B C D' ' ' biết tứ diện AB C D' ' ' có

thể tích nhỏ nhất?

A 16x40y44z390 B 16x40y44z390

C 16x40y44z390 D 16x40y44z390

Áp dụng bất đẳng thức AM GM ta có: 33

' ' ' ' ' '

AB AC AD AB AC AD

   

' ' ' 27

64

AB AC AD AB AC AD

   ' ' ' ' ' ' 27

64

AB C D ABCD

V AB AC AD

V  AB AC AD  ' ' '

27 64

AB C D ABCD

V V

 

Để VAB C D' ' ' nhỏ ' ' '

AB AC AD

AB  AC  AD 

3 7

' ' ; ;

4 4

AB AB B  

    

 

 

Lúc mặt phẳng B C D' ' ' song song với mặt phẳng BCDvà qua ' 7; ; 4

B  

 

B C D' ' ' :16 x 40y 44z 39

    

Câu 25: Trong không gian với hệ toạđộOxyz, cho mặt phẳng   qua điểm M1; 2;3 cắt trục Ox, Oy, Oz A , B , C ( khác gốc toạđộ O) cho M trực tâm tam giác

(52)

A x2y3z140 B

1

x y z

   

C 3x2y z 100 D x2y3z140

Cách 1:Gọi Hlà hình chiếu vng góc Ctrên AB , Klà hình chiếu vng góc B

AC.M trực tâm tam giác ABC M BKCH

Ta có: AB CH AB COH AB OM(1)

AB CO

 

   

  

(1)

Chứng minh tương tự, ta có: ACOM (2) Từ (1) (2), ta có: OM ABC

Ta có: OM1; 2;3

Mặt phẳng   qua điểmM 1; 2;3và có VTPT OM1; 2;3 nên có phương trình là: x12y23z30x2y3z140

Cách 2:

+) Do A B C, , thuộc trục Ox Oy Oz, , nên A a( ; 0; 0), (0; ; 0), (0; 0; )B b C c (

, ,

a b c  )

Phương trình đoạn chắn mặt phẳng(ABC)là: x y z

abc 

+) Do M trực tâm tam giác ABC nên

( )

AM BC BM AC

M ABC

 

 

 

   

   

Giải hệđiều kiện ta

, ,

a b c

Vậy phương trình mặt phẳng:x2y3z140

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): đường thẳng Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng (Q) góc nhỏ

A B

C D

x2y z  5

x y z

d: 1

2 1

  

 

 P :y z 40  P : x z 40

 P : x  y z 40  P :y z 40 M

K

H O z

y

x C

B

(53)

PT mặt phẳng (P) có dạng: Gọi

Chọn hai điểm Ta có:

 (P): 

TH1: Nếu a = 

TH2: Nếu a  Đặt

Xét hàm số

Dựa vào BBT, ta thấy

Do chỉcó trường hợp thoả mãn, tức a = Khi chọn

Vậy: (P):

Chọn A

Câu 27: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A3; 0; 2, B3; 0; 2 mặt cầu

2 2

( 2) ( 1) 25

x  y  z  Phương trình mặt phẳng   qua hai điểm A, B cắt mặt cầu  S theo đường trịn bán kính nhỏnhất là:

A x4y5z170 B 3x2y  z

C x4y5z130 D 3x2yz– 11 0

Mặt cầu  S có tâm I0; 2;1 , bán kính R5 Do IA 17R nên AB ln cắt  S

Do ( ) ln cắt  S theo đường trịn  C có bán kính r R2d I ,  2 Đề bán kính rnhỏ d I , P  lớn

ax by cz d   0 (a2b2c20) a (( ),( ))P Q M( 1; 1;3), (1; 0; 4)  N d M P c a b

N P d a b

( )

     



    

 

ax by  ( 2a b z ) 7a4b0 a b

a2 ab b2

3 cos

6 5 4 2

 

 

b b2

3

cos

2 2

   a 300

b a

b b

a a

2

1

cos

5



 

       

b x

a

 f x( ) cos 2

x x

f x

x x

2

9

( )

6

 



 

f x 0

min ( )0cos 0a 90 30

b1,c1,d 4

(54)

Mặt phẳng   qua hai điểm A, B vng góc với mpABC

Ta có AB(1; 1; 1)  ,AC   ( 2; 3; 2) suy ABC có véctơ pháp tuyến

, ( 1; 4; 5)

nAB AC  

 

  

(α) có véctơ pháp tuyến n n AB,   ( 6; 3)  3(3; 2;1)

 

   

Phương trình    : x– 22y–11z– 3 0 3x2yz– 11 0

A x   y z B x   y z C x   y z D x   y z

Chọn M6; 0; , N2; 2; 2 thuộc giao tuyến của   P , Q

Gọi A a ; 0; , B0; ; ,b  C0;0;c giao điểm   với trục Ox Oy Oz, ,

 :x y z 1a b c, , 0

abc   

  chứa M N,

6

2 2

1

a

a b c



 

  

    



Hình chóp O ABC hình chóp đềuOAOBOC a  b  c Vây phương trìnhx   y z

Câu 29: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm N1;1;1 Viết phương trình mặt phẳng

 P cắt trục Ox Oy Oz, , A B C, , (không trùng với gốc tọa độO) cho N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

A  P :xy  z B  P :xy  z

C  P :xy  z D  P :x2y  z

(55)

 P : x y z 1a b c, , 0

a b c  

Ta có:

 

1 1

1

1 3

1

N P a b c

NA NB a b a b c x y z

NA NC a c



   

 

 

             

 

     

 



Câu 30: Phương trình mặt phẳng sau qua điểm M1; 2;3 cắt ba tia Ox, Oy, Oz

lần lượt A,B, C cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất?

A 6x3y2z180 B 6x3y3z21 0

C 6x3y3z21 0 D 6x3y2z180

Giả sử A a( ; 0;0), B(0; ;0), (0;0; ) ( , ,b C c a b c0)

(ABC): x y z

abc  (1)

M(1;2;3) thuộc (ABC):

abc 

Thể tích tứ diện OABC:

V  abc

Áp dụng BDT Cơsi ta có: 1 33 27.6 27 27

6abc V

a b c abc abc

         

Ta có: V đạt giá trị nhỏ

3

1

27

3

9 a

V b

a b c

c   

       

  

Vậy (ABC): 6x3y2z180 Chọn (D)

Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E(8;1;1) Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua E cắt nửa trục dương Ox Oy Oz, , , ,A B C cho OG nhỏ với G trọng tâm tam giác ABC

A x y 2z11  B 8xy z 66=0

C 2x  y z 180 D x2y2z120

Cách :

Với đáp án A: (11; 0; 0); B(0;11; 0); C(0; 0;11) (11 11 11; ; ) OG2 121

2 3

(56)

Với đáp án B: (33;0; 0); B(0;66; 0); C(0; 0; 66) (11; 22; 22) OG2 15609

4 16

A G  

Với đáp án C: (9; 0; 0); B(0;18; 0); C(0; 0;18) (3;18 18; ) OG2 81

3

A G  

Với đáp án D: A( 12; 0; 0); B(0;6; 0); C(0; 0; 6) G( 4; 2; 2)  OG2 24 Cách :

Gọi A a ; 0; , B0; ; ,b  C0;0;cvới a b c, , 0 Theo đề ta có :8 1

abc  Cần tìm

giá trị nhỏ a2b2c2

Ta có a2b2c24 1    a.2b.1c.126.a2b2c22a b c2

Mặt khác

    

 

2 2

2

4 1 1

8 1

2

4 1 36

a b c a b c

a b c

a b c

      

 

      

 

   

Suy a2b2c263 Dấu '''' xảy

2

a

b c a b c

    

Vậy 2

a b c đạt giá trị nhỏ 216 a12,b c Vậy phương trình mặt phẳng :

12 6

x y z

   hay x2y2z120

Câu 32: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;1; ,) B(1;2; 4) I(1;3; ) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A B, cho khoảng cách từ I đến (P) lớn

A 3x7y6z350 B 7x y5z 9

C xy  z D x y  z

Ta có 2

3 29

   

IA 2

0 29

   

IB Gọi M trung điểm

đoạn thẳng AB, IA=IB nên IMAB, ta có 1; ;5 ;

2

 

 

 

M 94

2 

(57)

P

M

N K

H' H

Gọi H hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng (P):

Nếu H, M hai điểm phân biệt tam giác IHM vng H, IH<IM hay 94 

IH

Nếu H trùng với M 94

2

 

IH IM Vậy ta có 94

2 

IH , IH lớn HM

Khi (P) có vectơ pháp tuyến 7; ;3 2

 

    

 

   P

n IH IM Vậy phương trình mặt phẳng

(P) 3 2 7 1 3 6

2 x 2 y  z  hay 3x7y6z350

Chọn A

Câu 33: Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz, cho hai điểm Mặt phẳng (P) qua M, N cho khoảng cách từ đến (P) đạt giá trị lớn (P) có vectơ

pháp tuyến là:

A B C D

- Khoảng cách từK đến (P) lớn KH, H’ trùng H

- Vậy mặt phẳng (P) qua MN vng góc với KH - Tìm H viết (P) hoặc:

- (P) chứa MN vng góc với (MNP) Gọi H, H’ hình chiếu K lên MN (P)

Ta có: khơng đổi

Vậy lớn H’ trùng H hay (P) vng góc với KH

;

(MNK) có vtpt

Do nên HK có vtcp

Chọn A

(0; 1;2)

M  N( 1;1; 3)

0; 0;2 K

(1;1; 1) (1; 1;1) (1; 2;1) (2; 1;1)

 

( ,( )) '

d k P KH KH

( ,( ))

d K P

   

 

(0;1;0); (1; 1; 1)

MK NK  



( 1;2;1)

MN

 

   

 

  

, ( 1;0; 1)

n MK NK

 

  

( )

HK MNK

HK MN

   

 

 

, (2;2; 2)

(58)

Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho điểm A1; 0; , B2; 0;3 , M0;0;1 N0;3;1  Mặt phẳng  P qua điểm M, N cho khoảng cách từ điểm B đến  P gấp hai lần khoảng cách từđiểm A đến  P Có bao mặt phẳng  P thỏa mãn đầu bài?

A Có vơ số mặt phẳng  P B Chỉ có mặt phẳng  P C Khơng có mặt phẳng  P D Có hai mặt phẳng  P Hướng dẫn giải:

Chọn A

Giả sử  P có phương trình là:  2 

z 0

ax by c d  a b c 

Vì M  P  c d0d  c

Vì N P 3b c d 0 hay b0 c d 0

 P :ax cz c

   

Theo ra: d B P , 2d A P ,  

2 2

2

a c c a c

a c a c

   



 

c a a c

   

Vậy có vơ số mặt phẳng  P

Câu 35: Trong không gian tọa độOxyz, cho phương trình mặt phẳng

Xét mệnh đề sau:

(I) Với mặt phẳng ln tiếp xúc với mặt cầu không đổi

(II) Với mặt phẳng ln cắt mặt phẳng (Oxz)

(III)

Khẳng định sau đúng?

A Chỉ (I) (II) B Chỉ (I) (III) C Chỉ (II) (III) D Cả3 Hướng dẫn giải:

+ Ta có , với

 : 3 5 1 4 20 0, 1;1

m mx m y mz m

        

1;1

m    m

m   m

 

; m 5, 1;1

d O      m  

 

2 2

20 20

;

25

9 25 16

m

d O

m m m



    

 

(59)

Do với m thay đổi mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tâm

O, bán kính Khẳng đinh (I)

+ Vectơ pháp tuyến mặt phẳng vectơ pháp tuyến

của mặt phẳng (Oxz)

cắt (Oxz) Khẳng đinh (II)

+ Khẳng đinh (III) sai Chọn A

một góc

30 cắt y Oy' C Tính khoảng cách từ O đến  P

A 4 B C 3 D 2

Vẽ OH KC với K giao điểm AB trục z Oz'

Ta có: C 300 K 60 ;0 OK

 

   

 

, sin 60

3

4

2

d O P OH OK

  

 

Chọn D

Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hai mặt phẳng 4x4y2z 7 0và 2x2y  z chứa hai mặt hình lập phương Thể tích khối lập phương

A 27

8

V  B 81

8

V 

.

C

2

V  D 64

27

V  Hướng dẫn giải:

Theo hai mặt phẳng 4x4y2z 7 0và 2x2y  z chứa hai mặt hình lập phương Mà hai mặt phẳng ( ) : 4P x4y2z 7 ( ) : 2Q x2y  z song song với nên khoảng cách hai mặt phẳng cạnh hình lập phương

1;1

 

 

   m

4

R

 m  

2

3 ;5 ;

n  m m m

0;1;0

j 



 m n j; m

    

 

 

 

30

P

-3

3

B

y z

O

x

K

A

C x'

(60)

Ta có M(0; 0; 1) ( )Q nên

2 2

2

(( ), ( )) ( , ( ))

2

4 ( 4)

d Q P d M P       

Vậy thể tích khối lập phương là: 2

3 3 27

V  

Câu 38: Trong không gian với hệ toạ độ , gọi mặt phẳng qua hai điểm đồng thời hợp với mặt phẳng góc Khoảng cách từ O tới là:

A B C D

Gọi hình chiếu vng góc điểm lên đường thẳng mặt phẳng

Ta có:

Suy tam giác vng cân

Khi đó:

Mặt khác:

Khi đó:

Chọn A

Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  Q :xy z hai điểm

4, 3,1 , 2,1,1 

A  B Tìm điểm M thuộc mặt phẳng  Q cho tam giác ABM vuông cân M

Oxyz   A2; 0;1

 2;0;5

B  Oxz

45  

3

1

2

;

K H O AB

 

 

,

A B Oxz    Oxz AB

  

 

OH HK AB

OK AB OK AB

 

  





 

 

 



  

 Oxz ,   KH OK,  OKH

  

OHK H

 

 , 

2

OK d O  OH 

 , 

2

OA AB

OK d O AB

AB 

  

  

 

 , 

2

OK

d O  OH  

450

H K



(61)

A

1; 2;1

17

; ;

7 7

M M              

B

1; 2;1 17

; ; 7 M M            C

 1; 2;1

13

; ;

7 7

M M              

D

1;1;1

9

; ;

7 7

M M              Hướng dẫn giải:

Gọi M a b c M , ,   Q a b c  0  

Tam giác ABM cân M khi:

 2  2  2  2  2  2  

2

4 1

AM BM  a  b  c  a  b  c   a b 

Từ  1  2 ta có:  *

2 5

a b c a b

a b c b

                  

Trung điểm AB I3; 1;1   Tam giác ABM cân M, suy ra:

 2  2  2  

3 1

2 AB

MI   a  b  c 

Thay  *  3 ta được:  2  2  2

2

2 9

7

b

b b b

b                  

2 1, 1; 2;1

9 17 17

, ; ;

7 7 7

b a c M

      

 

          

 

Chọn A

Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho điểm A1;3; , B3; 2;1 mặt phẳng

 P :x2y2x110 Tìm điểm M  P cho MB 2,MBA 30



 

A  

  1; 2;3 1; 4;1 M M   

B  

  1; 2;3 1; 4;1 M M     

C  

  2;1;3 4;1;1 M M   

D  

  1; 2;3 1; 4;1 M M      Hướng dẫn giải:

Nhận thấy A P ,B P ,AB

Áp dụng định lý côsin tam giác MAB ta có:

2 2 2

2 os30

MA MB BA  MB BA c  MB MB BA Do tam giác MAB vng A

Ta có:    

1

, 0; 5;5 : 1;3 ;

2

AM p

x

u AB n AM y t M t t

z t                      

(62)

Với t  1 M1; 2;3 ; t   1 M1; 4;1 Chọn A

Câu 41: Trong không gian tọa độ , cho tám điểm , , ,

, , , , Hỏi hình đa diện tạo

tám điểm cho có mặt đối xứng

A 3 B 6 C 8 D 9

Vì tám điểm chõ tạo nên hình lập phương, nên hình đa diện tạo tám điểm có mặt đối xứng

Chọn D

Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A1; 2;0 ,  B0; 1;1 ,  C2;1; , 

3;1; 4 D

Hỏi có mặt phẳng cách bốn điểm đó?

A 1 B 4 C 7 D Vô số

Ta có AB  1;1;1 , AC1;3; ,  AD2;3;4

Khi  AB AC,     4;0; 4  suy   AB AC AD,   240

Do A B C D, , , không đồng phẳng đỉnh tứ diện

Khi có mặt phẳng cách đễu bốn đỉnh tứ diện Bao gồm: mặt phẳng qua trung điểm ba cạnh tứ diện mặt phẳng qua trung điểm bốn cạnh tứ diện (như hình vẽ)

Oxyz A2; 2; 0  B3; 2; 0  C3; 3; 0  2; 3; 0

(63)

Chọn C

Câu 43: Trong không gian cho điểm M(1; 3; 2) Có mặt phẳng qua M cắt trục tọa độ A B C, , mà OAOBOC0

A 1 B 2 C 3 D 4

Hướng dẫn giải: Chọn C

Giả sử mặt phẳng ( ) cần tìm cắt Ox Oy Oz, , (a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, c)(a, b, c 0)

A 

( ) :x y z

abc 

 ; ( ) qua M(1; 3; 2) nên: ( ) :1 1(*)

abc  

(1) (2)

0

(3) (4)

a b c

OA OB OC a b c

a b c

  

    

       

    

    

Thay (1) vào (*) ta có phương trình vơ nghiệm

Thay (2), (3), (4) vào (*) ta tương ứng 4, 6,

4

a  a a 

Vậy có mặt phẳng

Câu 44: Có mặt phẳng qua điểm M(1;9; 4) cắt trục tọa độ điểm A, B, C

(khác gốc tọa độ) cho OAOBOC

A 1 B 2 C 3 D 4

Giả sử mặt phẳng ( ) cắt trục tọa độ điểm khác gốc tọa độ ( ; 0; 0), (0; ; 0), (0; 0; )

(64)

Phương trình mặt phẳng ( ) có dạng x y z

abc 

Mặt phẳng ( ) qua điểm M(1;9; 4) nên (1)

abc 

Vì OAOBOC nên a  b  c, xảy trường hợp sau: +) TH1: a b c

Từ (1) suy a 14,

aaa    nên phương trình mp( ) xy z 140

+) TH2: a  b c Từ (1) suy a 6,

aaa    nên pt mp( ) xy  z

+) TH3: a  b c Từ (1) suy a 4,

aaa     nên pt mp( )

4

x   y z

+) TH4: a   b c Từ (1) có a 12,

aaa     nên pt mp( )

12

x  y z 

Vậy có mặt phẳng thỏa mãn

Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 2; 0) , đường thẳng

1

:

1

x y z

  

 Biết mặt phẳng ( )

P có phương trình ax by czd 0 đi qua A, song song với và khoảng cách từ  tới mặt phẳng ( )P lớn Biết ,a b số nguyên dương có ước chung lớn Hỏi tổng a b c d   bao nhiêu?

A 3 B 0 C 1 D 1

Gọi H hình chiếu vng góc A đường thẳng  Do H  H( 1 t t;3 ; 2t) AH   ( t 3;3t2;t2) Do AH    AH u  0 với u  ( 1;3;1)

1.( t 3) 3.(3t 2) 1.(t 2) 11t 11

              t 1H0; 3;1 

(65)

Suy d( , ( )) P max HA Dấu “=” xảy F AAH ( )P , hay toán phát biểu lại là:

“ Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua A vng góc với AH” Ta có AH    2; 1;1 (2;1; 1) , suy n( )P (2;1; 1)

Suy phương trình mặt phẳng ( )P là: 2(x2)    y z 2x   y z

Do , * 2,

( , ) 1,

a b a b

a b c d

a b c d

  

 

     

 

    

 



Chọn B

Câu 46: Trong không gain Oxyz, cho hai đường thẳng

1

:

1

x y z

d     



2

:

2

x t

d y t

z    

      

Mặt phẳng  P :ax by czd 0 (với a b c d; ; ; ) vng góc với đường thẳng d1 chắn d d1, 2 đoạn thẳng có độ dài nhỏ Tính a  b c d

A 14 B 1 C 8 D 12

Ta có mặt phẳng (P) vng dóc với đường thẳng d1 nên (P) có véctơ pháp tuyến n1; 2;1

Phương trình (P) có dạng  P :x2y z d 0

Gọi M giáo điểm (P) với d1 N giao (P) với d2 suy

2 10

; ;

6

d d d

M    

 ,

4

; ;

3

d d

N     

 

Ta có

2

2 16 155

18 9

d d

MN   

Để MN nhỏ

MN nhỏ nhất, nghĩa d  16

Khi a  b c d  14

Chọn A

Câu 47: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A10; 2;1 đường thẳng

1

:

2

x y z

(66)

sao cho khoảng cách d  P lớn Khoảng cách từ điểm M1; 2;3 đến mp

 P

A 97

15 B

76 790

790 C

2 13

13 D

3 29 29 Hướng dẫn giải::

 P mặt phẳng qua điểm A song song với đường thẳng d nên  P

chứa đường thẳng dđi qua điểm A song song với đường thẳng d

Gọi H hình chiếu A d, K

là hình chiếu H  P Ta có d d P ,  HK AH (AH không đổi)

 GTLN d d( , ( ))P AH

 d d P ,   lớn AHvng góc với  P

Khi đó, gọi  Q mặt phẳng chứa A d  P vng góc với  Q

 

    

, 98;14; 70

97

:7 77 ,

15

P d Q

n u n

P x y z d M P

 

   

      

  

Câu 48: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A2;5;3 đường thẳng

1

:

2

x y z

d     Gọi  P mặt phẳng chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ A đến  P lớn Tính khoảng cách từđiểm M1; 2; 1  đến mặt phẳng  P

A 11 18

18 B 3 C

11

18 D

4

Hướng dẫn giải::

Gọi H hình chiếu A d;

K hình chiếu A  P Ta có d A P ,   AK AH (Không

đổi)

 GTLN d d( , ( ))P AH

⟹ d A P ,   lớn KH Ta có H3;1; 4,  P qua H  AH

d H

K A

P

d'

d

K H

(67)

 P :x 4y z

    

Vậy  ,  11 18

18

d M P 

Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A a ; 0; , B0; ;0 ,b  C0; 0;c với , ,a b c

dương Biết A B C, , di động tia Ox Oy Oz, , cho a b c  2 Biết , ,

a b c thay đổi quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng  P cố định Tính khoảng cách từ M2016; 0; 0 tới mặt phẳng  P

A 2017 B 2014

3 C

2016

3 D

Chọn D

Gọi   mặt phẳng trung trực đoạn OA  

  qua điểm ; 0;0

a D 

  có VTPT OAa; 0; 0a1; 0; 0 

 :

2

a x

   

Gọi   mặt phẳng trung trực đoạn OB  

  qua điểm 0; ;0

a E 

  có VTPT OB0; ;0a a0;1; 0 

 :

2

a y

   

Gọi   mặt phẳng trung trực đoạn OC  

  qua điểm 0; 0;

a F 

  có VTPT OC0; 0;aa0; 0;1 

 :

2

a z

   

Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC       ; ;

2 2

a a a

I I 

      

 

  

Mà theo giả thiết,  :

2 2

a b c

a b c        I P x  y z

Vậy,  ,  2016 2015

3

d M P   

Câu 50: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 3xy  z hai

(68)

A 7

3

x y z

x y z     



    

B 14

3

x y z

    



    

C 7

3

x y z

x y z     



    

D

3

x y z

    



    

Ta thấy hai điểm A B, nằm phía với mặt phẳng  P AB song song với  P

Điểm M P cho tam giác ABM có diện tích nhỏ

( ; )

2

ABC

AB d M AB S

  nhỏ d M AB ;  nhỏ nhất, hay M       P  Q , Q mặt phẳng qua AB vng góc với  P

Ta có AB1; 1; 2 , vtpt  P n P 3;1; 1 

Suy vtpt  Q : n Q AB n,  P   1; 7; 4

 

  

PTTQ  Q : 1 x17y4z20

7

x y z

    

Quỹ tích M 7

3

x y z

x y z     



    

Câu 51: Trong khơng gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có điểm A trùng với gốc hệ trục tọa độ, ( ;0; 0)B a , D(0; ; 0)a , A(0; 0; )b (a0,b0) Gọi M trung điểm cạnh CC Giá trị tỉ số a

b để hai mặt phẳng (

)

A BD MBD vng góc với là: A 1

3 B

1

2 C 1 D 1

Ta có  ; ; 0 ' ; ;  ; ;

2

b ABDCC a a C a a b M a a 

 

 

Cách

Ta có 0; ;

2

b MB  a 

 



; BD  a a; ; 0 A B' a; 0;b

Ta có ; ; ;

2

ab ab uMB BD a 

 

  

BD A; 'B   a2; a2; a2

   

 

(69)

   

' 0

2

ab ab a

A BD MBD u v a a b

b            Cách 2

' ' '

A B A D A X BD

AB AD BC CD a

MB MD MX BD

 

 

     

 

 

với X trung điểm BD

A BD'  ; MBD A X MX' ; 

 

 

 

; ;0 2

a a X 

  trung điểm BD

' ; ;

2

a a A X  b

 



, ; ;

2 2

a a b

MX     

 



A BD'   MBDA X' MX

'

A X MX  

2 2

0

2 2

a a b

   

      

   

a b  

Câu 52: Trong không gian với hệ trục toạ độ cho điểm Gọi mặt phẳng qua cho tổng khoảng cách từ đến lớn biết khơng cắt đoạn Khi đó, điểm sau thuộc mặt phẳng ?

A B C D

Gọi trung điểm đoạn ; điểm hình chiếu

trên

Ta có tứ giác hình thang

đường trung bình

Mà (với khơng đổi)

Do vậy, lớn

đi qua vng góc với

,

Oxyz A1;0;1 ; B3; 2; ;  C1; 2; 2 

 P A B C  P

 P BC  P

 2; 0; 

G  F3; 0;   1;3;1 E  H0;3;1

I BC

, ,

B C I   B C I, ,

 P

BCC B  II

 

 ,   ,  

d B P d C P BB CC II

    

II IA IA  

 ,   ,   d B P d C P I A

 P

 A IA



2; 0; 

I 

 P : x 2z E1; 3;1  P

      

A

I' C'

B'

I

C B

(70)

Câu 53: Trong không gian với hệ trục toạ độ cho điểm

trong dương mặt phẳng Biết vng góc với , mệnh đềnào sau đúng?

A B C D

Ta có phương trình mp(

Ta có

Từ (1) (2)

Câu 54: Cho hình lập phương ABCD A B C D    có cạnh Tính khoảng cách hai mặt phẳng AB D  BC D 

A

3 B C

3

2 D

Chọn A

Ta chọn hệ trục tọa độ cho đỉnh hình lập phương có tọa độnhư sau:

       

0; 0; 2; 0; 2; 2;0 0; 2;

0;0; 2;0; 2; 2; 0; 2;

A B C D

A B C D

   

2; 0; , 0; 2; , 2; 2;0 , 0; 2;

AB AD

BD BC

 



  

 

* Mặt phẳng AB D  qua A0; 0; 0 nhận véctơ

 

1

, 1; 1;1

4

n  AB AD    làm véctơ pháp tuyến

Phương trình AB D  là: xy z

* Mặt phẳng BC D  qua B2; 0; 0 nhận véctơ , 1;1; 1

m  BD BC   làm véctơ

pháp tuyến

Phương trình BC D  là: x   y z

,

Oxyz A1;0;0 , B 0; ;0 ,b  C0; 0;c

,

b c  P :y  z mp ABC   

mp P  ,  d O ABC 

bc 2bc1 b3c1 3bc3

)

ABC

1

x y z b c

  

ABC  P 1 b c(1)

b c

     

 

  2

2

1 1 1

, (2)

3 1

1 d O ABC

b c b c

     

 

1

b c b c

     

A' D'

C' B'

B

C

(71)

Suy hai mặt phẳng AB D  BC D  song song với nên khoảng cách hai mặt phẳng khoảng cách từđiểm A đến mặt phẳng BC D :

 

 ,  2 3

d A BC D  

Cách khác: Thấy khoảng cách cần tìm   ,  1.2 3

3 3

d AB D  BC D  AC 

Câu 55: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A5;5;0 ,  B1; 2;3 ,  C3;5; 1  mặt phẳng P : xy  z

Tính thể tích V khối tứ diện SABC biết đỉnh S thuộc mặt phẳng  P SASBSC

A 145

6

V  B V 145 C 45

6

V  D 127

3

V 

Gọi S a b c ; ;    P a   b c 1  Ta có: AS  a52b52c2,

 12  22  ,2  32  52  12 BS a  b  c CS  a  b  c

Do

           

         

2 2 2

1 3

5 5

4 21

4 15

a b c a b c

SA SB SC

a b c a b c

a b c

a c

           

    

          

     

 

   

Ta có hệ:

6

4 21

23 13

4 15 6; ;

2 2

5

9

a

a b c

a c b S

a b c

c       

 

   

         

   

 

     

 

   

Lại có:

 4; 3;3 ,  2;0; 1 AB   AC  

 

   

23 145

3; 10; ; 1; ; 145

2 S ABC

AB AC AS   AB AC AS V

            

 

     

Câu 56: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2;3;1 hai mặt phẳng

(72)

A 321

P B 231

9

P C 321

9

P D 231

9 P

Gọi A A1, 2 điểm đối xứng A qua    P , Q ta có BABA CA1, CA2

1 2

2 321 PA BBCCA A A P

Dấu xảy B P A A C1 2,  Q A A1 2 Trong tọa độ A1 nghiệm hệ

2

2 2

2

1 2

x y z

                                    x y z             

4 ; ; 3

A  

  

 

Tọa độ điểm A2 nghiệm hệ

2

2 2

2

x y z

                                      43 9 x y z             

2 43 ; ; 9

A  

  

 

Câu 57: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm Gọi mặt phẳng qua cho cắt trục tọa độ điểm cho khoảng cách từ gốc tọa độ

tới lớn Thể tích khối tứ diện là?

A B C D

Ta có: có

Chọn B

Câu 58: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1; 2; ,  M2; 4;1 , N1;5;3 Tìm tọa độ điểm C nằm mặt phẳng  P :x z 270 cho tồn điểm B D, tương ứng thuộc tia AM AN, để tứ giác ABCD hình thoi

A C6; 17; 21  B C20;15; 7 C C6; 21; 21 D C18; 7;9 

C giao phân giác AMN với  P Ta có: AM 3;AN 5

Oxyz M3; 4;5  P

M  P A B C, ,

 P OABC

6250 3125 24 144    ; max

d O P OM  P n OM 3; 4;5  P : 3x 4y 5z 50

    

50 25 10

3

x y z

    50, 25, 10 3125

3 OABC

a b c V

(73)

Gọi E giao điểm phân giác AMN MN Ta có:

5 EM AM

EN  AN  13 35

5 ; ;

8

EM EN E 

     

 

  

 

1

: 19

1 22

x t

AE y t

z t

   

   

    

6; 21; 21 C



Câu 59: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x2y2z 3 hai điểm

1; 2;3 , 3; 4;5

A B Gọi M điểm di động  P Giá trị lớn biểu thức

2 MA

MB 

bằng:

A 3 6 78 B 3 3 78 C 54 78 D 3

Ta dễ dàng nhận thấy A P AB2 P MA MA AB

MB MB

 

 

Áp dụng định lý hàm số sin:

sin sin

2 cot cos cot

sin 2

MBA AMB MAB MBA AMB MAB

P

MAB

       

       

     

Do Pmax  MAB nhọn đạt giá trị nhỏ tù đạt giá trị lớn Điều xảy M nằm đường thẳng hình chiếu AB  P tam giác

MAB cân A

Chọn C

gọi d đường thẳng qua điểm

1, 0, 0

A có hình chiếu mặt phẳng

 P :x2y2z 8 d' Giả sử giá trị lớn nhỏ khoảng cách từ điểm M2, 3, 1   tới d'   Tính giá trị T ?

A B

2 C

2 D

Ta có xét A hình chiếu A  P Khi đường thẳng d' qua điểm A Ta gọi

G hình chiếu M đường thẳng d' H hình chiếu M  P Ta có

đánh giá:

6

(74)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho ba mặt phẳng

  :x2y  z 0;  :x2y  z 0;  :x2y  z

Một đường thẳng  thay đổi cắt ba mặt phẳng       ;  ;  A B C, , Hỏi giá trị

nhỏ biểu thức P AB2 144 AC

  là?

A 108 B 72 3 C 96. D 36

Vì ba mặt phẳng       / /  / /  , nên theo định lí Thales khơng gian, ta có:

   

 

   

,

3

,

d AB AC d

 

 

 

  

  

Do sử dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

2 144 144 72 72 3 72 72

9 9 108

P AB AC AC AC

AC AC AC AC AC AC

        

Chọn A

Câu 62: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2; 2; , B2;0; 2  mặt phẳng

 P :x2y  z

Tìm điểm M P cho MAMB góc AMB có số đo lớn

A 14; 1; 11 11 11

M  

  B

2

; ;

11 11 11

M  

  C M2; 1;    D M2; 2;1 

Ta có  

 2  2  2  2

2

2 2

x y z

M P

x y z x y z

MA MB

    

 

 



 

         

 

 

3

x z

y z

  

    

Do M3z 1; z z;  MA1 ; 2 z z;z,MB1 ; ; 2 z z  z

Do       

   

2

2 2

1 2

cos

1 3 2

z z z z z

MA MB AMB

MA MB z z z

    

 

   

(75)

2

4

1

27

1 54

11

11 11

z

  

 

 

 

 



arccos 27 AMB

 

Dấu đạt

11

z 14; 1; 11 11 11 M  

  

 

Câu 63: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :xy z 20 hai điểm

3; 4;1 , 7; 4; 3

A B   Gọi M x y z 0; 0; 0 điểm thuộc mặt phẳng  P cho

 

2

2 96

MA MB  MA MB  MA MB   MA MB đạt giá trị lớn Tính y0

A 0

y  B 0

y  C 0

3

y   D 0 3 y 

Hướng dẫn giải: ChọnC

 2

2

2 96

MA MB  MA MB  MA MB  

 2

2

2 96

MA MB MA MB MA MB

       

  2 2  2

96 96

MA MB MA MB AB MA MB

           

 2

MA MB MA MB MA MB

       

Khi theo AM – GM Pitago, ta có

2 2

48

2

MA MB AB

MA MB   

Dấu xảy AMB vng cân M , tọa độ điểm M nghiệm

của hệ      

     

2 2

0 0

2 2

2

7

3 48 , ,

3 3 3

7 48

x y z

x y z x y z

x y z

     



            

 

     

 

(76)

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG NÂNG CAO

1 Định nghĩa

Phương trình tham số đường thẳng  qua điểm M0x y z0; 0; 0 có vec tơ phương  1; 2; 3,

a a a a a :

0

x x a t y y a t z z a t

          

Nếu a a a1; 2; 3 khác không Phương trình đường thẳng  viết dạng tắc sau:

0 0

1

x x y y z z

a a a

  

 

Ngoài đường thẳng cịn có dạng tổng qt là: 1 1

2 2

0

A x B y C z D A x B y C z D

   

 

   



với A B C A B C1, 1, 1, 2, 2, 2 thỏa A12B12C12 0,A22B22C22 0 2 Vịtrí tương đối hai đường thẳng

Chương trình Chương trình nâng cao

1 )Vịtrí tương đối của hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

0 1

0 2

0 3

' ' '

: ; ' : ' ' '

' ' ' x x a t x x a t d y y a t d y y a t

z z a t z z a t

                     

Vtcp u 

đi qua M0 d' có vtcp u'



đi qua M0'

, ' u u   cùng phương: 0 ' ' / / ' ; ' ' '

u ku u ku

d d d d

M d M d

                   , '

u u  không phương:

 

0 1

0 2

0 3

' ' ' ' ' ' ' ' ' x a t x a t y a t y a t I z a t y a t

             

d chéo d’  hệphương trình  1 vơ nghiệm d cắt d’  hệphương trình  1 có nghiệm

1 ) Vịtrí tương đối của hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

0 1

0 2

0 3

' ' '

: ; ' : ' ' '

' ' ' x x a t x x a t d y y a t d y y a t

z z a t z z a t

                     

Vtcp u 

đi qua M0 d' có vtcp u'



đi qua M0'

   

0

, ' / / ' ' u u d d M d                 

, ' ' ' u u d d M d                  

, '

at '

, '

u u

d c d

u u MM                   

 d cheo d ' u u, '  MM0 0

  

(77)

3 Vịtrí tương đối đường thẳng mặt phẳng

Phương pháp 1 Phương pháp 2

Trong không gian Oxyz cho:

  :Ax+By+Cz+D=0

0

:

x x a t d y y a t

z z a t

 

 

 



   

Pt:

      1 

A x a t B y a t C z a t D Phương trình  1 vơ nghiệm d/ / 

Phương trình  1 có nghiệm d cắt  

Phương trình  1 có vơ số nghiệm d 

Đặc biệt: d  a n , phương

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d qua M x y z 0; 0; 0 có vtcp: a a a a1; 2; 3

  :Ax+By+Cz+D=0 có vtpt nA B C; ;   d

cắt   a n 0

 

   

 

/ / a n

d

M 

     

  

 

 d

nằm mp  

 

a n

M 

    

  

 

4 Khoảng cách

Khoảng cách từ M x y z 0; 0; 0 đến mặt phẳng   :Ax+By+Cz+D=0cho công thức

  0

0 2 2 2

Ax

, By Cz D

d M

A B C

    

 

Khoảng cách từM đến đường thẳng  d Phương pháp 1:

Lập ptmp   qua M vng góc với d Tìm tọa độgiao điểm H mp   d

 , 

d M d MH

Khoảng cách hai đường thẳng chéo

Phương pháp 1:

d qua M x y z 0; 0; 0; có vtpt a a a a1; 2; 3

'

d qua M 'x0';y0';z0'; vtpt

 

' '; '; '

a  a a a 

Lập phương trình mp   chứa d song song với d’: d d d , 'd M ',  

Khoảng cách từM đến đường thẳng  d Phương pháp 2:

(d đi qua M0 có vtcp u )

 ,  ,

M M u d M

u

 

 

 

  

Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp 2:

d qua M x y z 0; 0; 0; có vtpt a a a a1; 2; 3

'

d qua M'x0';y0';z0'; vtpt a'a1';a2';a3'

 , ' , ' '

, '

hop

day

a a MM V

d

S a a

   

   

      

(78)

0 0

1

x x y y z z

d

a a a

( ) :     

1

o o o

x x a t

d y y a t t R

z z a t

( ) : ( )

   

  



   

5 Góc hai đường thẳng

Góc hai đường thẳng

  qua M x y z 0; 0; 0có VTCP a a a a1; 2; 3  ' qua M'x0';y0';z0'có VTCP a'a1';a2';a3'

  1 2 3

2 2 2

1 3

' ' ' '

cos cos , '

' ' ' '

a a a a a a a a a a

a a a a a a a a

     

   

   

 

6 Góc đường thẳng mặt phẳng

Góc đường thẳng mặt phẳng   qua M0 có VTCP a, mặt phẳng   có VTPT

 ; ;  n A B C 

Gọi  góc hợp   mặt phẳng    

2 2 2

1

Aa

: sin cos ,

Ba Ca

a n

A B C a a a

     

   

 

B - CÁC DẠNG TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d một VTCP nó.

Dạng Viết phương trình đường thẳng  d đi qua M x y z0 0; 0; 0 có vtcpaa a a1; ;2 3



:

hoặc

Dạng Đường thẳng d đi qua A B :

 Đường thẳng d qua A (hoặcB ) có vtcp ad AB  

 Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d

Dạng Đường thẳng dqua A song song 

 Đường thẳng d qua A có vtcp ud u  

Dạng Đường thẳng d qua A vng góc mp( )  Đường thẳng d qua A có vtcp ud n

 

Dạng Đường thẳng  d qua A và vng góc đường thẳng d1 d2:

 Đường thẳng d qua A có vtcp

1,

d d

uu u 

 

  

(79)

 Cách 1: Tìm điểm vtcp

– Tìm toạđộ điểm A d: Bằng cách giải hệphương trình

(với việc chọn giá trị cho ẩn ta giải hệ tìm giá trị hai ẩn cịn lại)

– Tìm vtcp d:ud n nP, Q

 

  

 Cách 2: Tìm hai điểm A B, thuộc d, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Dạng Đường thẳng  d đi qua điểm M x y z0 0; 0; 0 vng góc với hai đường thẳng

1, d d :

 Vì d d1 , d d2 nên vtcp d là:

1,

d d d

u u u 

 

  

Dạng Đường thẳng  d đi qua điểm M x y z0 0; 0; 0, vng góc cắt đường thẳng

 Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc M0 đường thẳng 

Ta có H

Khi đường thẳng d đường thẳng qua M H0, (trở dạng 2)

 Cách 2: Gọi  P mặt phẳng qua M0 vng góc với ;  Q mặt phẳng qua M0

và chứa

 Khi d P  Q (trở dạng 6).

 Cách 3: Gọi  P mặt phẳng qua M0 vng góc với 

- Tìm điểm B P  

- Viết phương trình đường thẳng  qua hai điểm M B0, (quay dạng 2) Dạng Đường thẳng( )d nằm mặt phẳng ( )P , vng góc cắt đường thẳng 

 Tìm giao điểm M  ( )P M d

 Vì d ,

d P

u u

u u n

u n



 

  

 

  

  

 

  

 

Dạng 10 Đường thẳng  d qua A cắt d d1, 2:

 d( ) ( )   với mp( ) chứa A d1; mp( ) chứa A d2 (trở dạng 6) Dạng 11 Đường thẳng( )d nằm mặt phẳng( )P cắt cảhai đường thẳngd d1, 2:

 Tìm giao điểm Ad1 P B d,  2 P Khi d đường thẳngAB (về dạng P

Q

( ) ( )   

0

H

M H u    



 

(80)

Dạng 12 Đường thẳng  d / / cắt d d1, 2:

 Viết phương trình mặt phẳng  P chứa d d1 , mặt phẳng  Q chứa d vàd2 Khi d P  Q (trở dạng 6).

Dạng 13 Đường thẳng ( )d qua A  d1 , cắt d2 :

 Cách 1:

- Viết phương trình mp ( ) qua A vng góc với d1

- Tìm Bd2( )

- Khi  d đường thẳng AB (về dạng 2).  Cách 2:

- Viết phương trình mặt phẳng  P qua A vng góc với d1

- Viết phương trình mặt phẳng  Q chứa A d2

- Khi d P  Q (trở dạng 6)  Cách 3:

- Viết phương trình tham số t đường thẳng d2 (nếu chưa có)

- Tìm điểm Bdd2(B có tọa độ theo tham số t) thỏa mãn

1 d

AB u   

Giải phương trình tìm tB

- Viết phương trình đường thẳng  qua hai điểm A B,

Dạng 14 Đường thẳng    d  P cắt d d1, 2 :

 Tìm mp( ) chứa d1, P ; mp( ) chứa d2, P

 d( ) ( )   (trở dạng 6).

Dạng 15 Đường thẳng d’là hình chiếu của d lên ( ) :

 Cách 1:

- Viết phương trình mặt phẳng   chứa dvà vng góc với ( ) - Đường thẳng d' giao tuyến ( ) ( ) (trở dạng 6).  Cách 2:

- Xác định A giao điểm d ( )

- Lấy điểm M A d Viết phương trình đường thẳng  qua M vng góc với ( ) - Tìm tọa độđiểm H giao điểm với ( )

- Đường thẳng đường thẳngAH (trở dạng 2). 

(81)

Đặc biệt: Nếu d song song ( ) d' đường thẳng qua H song song với d

Dạng 16 Phương trình đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo  d1  d2

:

 Cách 1:

- Chuyển phương trình đường thẳng    d1 , d2 dạng tham sốvà xác định u u 1, 2 vtcp    d1 , d2

- Lấy A B, thuộc    d1 , d2 (tọa độ A B, phụ thuộc vào tham số) - Giả sử AB đường vng góc chung Khi đó:

2 0

AB u

  



 

 

 

 

   

2

*

AB u AB u

 

 

 

  

 

Giải hệphương trình  * tìm giá trị tham số Từđó tìm đượcA B, - Viết phương trình đường vng góc chung AB

 Cách 2:

- Vì d  d1 d  d2 nên vtcp d là:

1,

d d d

a a a 

 

  

- Lập phương trình mặt phẳng  P chứa đường thẳng cắt d vàd1, cách: + Lấy điểm A d1

+ Một vtpt  P là:

1 ,

P d

n a a 

 

  

- Tương tự lập phương trình mặt phẳng  Q chứa đường thẳng cắt d vàd2 Khi d P  Q (trở dạng 6).

 Cách 3:

- Vì dd1 dd2nên vtcp d là:

1,

d d d

a a a 

 

  

- Lập phương trình mặt phẳng  P chứa đường thẳng cắt d vàd1, cách: + Lấy điểm A d1

+ Một vtpt  P là:

1 ,

P d

n a a 

 

  

- Tìm Md2( )P Khi viết phương trình d qua M có vtcp ad

CÁC DẠNG TỐN KHÁC

Dạng Tìm H hình chiếu của M trên đường thẳng  d

 Cách 1:

(82)

- Khi đó: H d ( )  tọa độ H nghiệm hpt:  d ( )

 Cách 2:

- Đưa  d dạng tham số Điểm H xác định bởi:

Dạng Điểm M/đối xứng với M qua đường thẳng d:

 Cách 1:

- Tìm hình chiếu Hcủa M  d

- Xác định điểm M' cho H trung điểm đoạn MM' (công thức trung điếm)

 Cách 2:

- Gọi H trung điểm đoạn MM' Tính toạđộđiểm H theo toạđộ M M, ' (cơng thức trung điếm)

- Khi toạđộ điểm M/ xác định bởi:

Dạng Đường thẳng ( ')d đối xứng đường thẳng ( )d qua mặt phẳng  P

 TH1: ( )d  P A

- Xác định A giao điểm d ( )P

- Lấy điểmM d (M bất kỳ) Tìm tọa độđiểm M/đối xứng với M qua ( )P - Đường thẳng đường thẳngAM'

 TH2: ( )d / /  P

- Lấy điểmM d (M bất kỳ) Tìm tọa độđiểm M/đối xứng với M qua ( )P - Đường thẳng đường thẳng quaM' song song d

C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Đường thẳng  song song với :

3

x y z

d     

 cắt hai đường thẳng

1

:

3

  

 

x y z

d 2:

2

 

 

x y z

d Phương trình khơng phải đường thẳng 

A : 1

3

  

  



x y z

B

7

3 3 3

:

3

 



  



y z

x

C :

3

  

  



x y z

D : 1

3

  

  



x y z

d

H d MH a   

 

 

d

MM a

H d

'

 

  

 

d '

(83)

Câu 2: Cho đường thẳng

1 ( ) :

x t

d y t

z t          

mp (P) :xy 2 Tìm phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng (P) cắt vng góc với (d)

A 2 x t y t z           B 3 x t y t z           C 2 x t y t z           D 1 x t y t z          

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng mặt phẳng

Phương trình đường thẳng nằm cho cắt vng góc với đường thẳng

A B

C D

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng : 2

2 1

x y z

d     mặt phẳng

 P :x2y  z Viết phương trình đường thẳng  nằm  P cho  vng góc với d khoảng cách hai đường thẳng  d

A

7

:

1 1

3 :

1 1

x y z

                

B

7

:

1 1

3 :

1 1

x y z

               C :

2 1

3 :

1

x y z

             

D

7

:

1 1

3

:

1 1

x y z

                   

Câu 5: Cho hai điểm A3;3;1 ,  B0; 2;1và mặt phẳng   :xy  z Đường thẳng d nằm   cho điểm d cách điểm A B, có phương trình

A

2 x t y t z t         

B

2 x t y t z t         

C

2 x t y t z t           D x t y t z t          ,

Oxyz :

1 1

x y z

  



 P :x2y2z40 d  P d



 

:

1

x t

d y t t

z t                 : 2 x t d y t t

z t              

:

4

x t

d y t t

z t                 

: 3

3

x t

d y t t

(84)

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng :

1

x y z

d    

  mặt phẳng

 P :xy  z Gọi I giao điểm d P,  Tìm M P cho MI vng góc với d MI 4 14

A  

  5;9; 11 3; 7;13 M M      

B  

 

5; 7; 11 3; 7;13 M M      

C  

  5;9; 11 3; 7;13 M M      

D  

 

5; 7;11 3; 7; 13

M M     

Câu 7: Trong không gian Ox ,yz cho hai mặt phẳng  P :x2y2z0, Q : 2x2y  z

Viết phương trình đường thẳng d qua A0; 0;1 , nằm mặt phẳng  Q tạo với mặt phẳng  P góc 45

A 1: ; 2:

1

x t x t

d y t d y t

z t z

                 

B 1: 1; 2:

1

x t x t

d y t d y t

z t z

                  

C 1 2

3

: ; :

1 4

x t x t

d y t d y t

z t z t

                   

D 1 2

1

: ; :

1

x t x t

d y t d y t

z t z

                   

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB CD, thỏa mãn CD2AB diện tích 27; đỉnh A 1; 1; ; phương trình đường thẳng chứa

cạnh CD

2

x y z

  Tìm tọa độ điểm D biết hồnh độ điểm B lớn

hoành độ điểm A

A D 2; 5;1 B D 3; 5;1 C D2; 5;1  D D3; 5;1  Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho hai đường thẳng 1: ;

1

x y z

d    

2

2 1

:

2 1

x y z

d      mặt phẳng  P :xy2z 5 Lập phương trình đường thẳng d song song với mặt phẳng  P cắt d d1, 2 A B, cho độ dài đoạn

AB đạt giá trị nhỏ

A : 2

1 1

x y z

d      B : 2

1 1

x y z

d     



C : 2

1 1

x y z

d      D : 2

1 1

x y z

d     

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho đường thẳng :

2 1

x y z

d     

 mặt

(85)

thẳng  nằm mặt phẳng  P , vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M đến 

bằng 42

A

5

:

2

3

:

2

x y z

                  

B

5

:

2

3

:

2

x y z

                     C

5

:

2

3

:

2

x y z

                  

D

5

:

2

3

:

2

x y z

               

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A1; 2;3 , đường thẳng :

2

x y z

d   



và mặt phẳng  P :x2y  z Gọi d' đường thẳng đối xứng với d qua  P Tìm tọa độđiểm B d' cho AB9

A

62 16 151 26 151 31 151

; ;

27 27 27

62 16 151 26 151 31 151

; ;

27 27 27

B B                              B

62 151 26 151 31 151

; ;

27 27 27

62 151 26 151 31 151

; ;

27 27 27

B B                              C

16 151 151 151

; ;

27 27 27

16 151 151 151

; ;

27 27 27

B B                        D

62 151 26 151 31 151

; ;

27 27 27

62 151 26 151 31 151

; ;

27 27 27

B B                             

Câu 12: Cho hai điểm hai mặt phẳng

Viết phương trình đường thẳng qua cắt cho tam giác cân nhận đường trung tuyến

1; 2;3 , 2; 4; 4

M A  P :xy2z 1 0,

 Q :x2y  z  M  P , Q

,

(86)

A B

C D

Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi d đường thẳng qua điểm A1; 0; 1 ,

cắt 2

2 1

x y z

 

 , cho cosd;2là nhỏ nhất, biết phương trình đường thẳng

2

3

:

1 2

x y z

  

 Phương trình đường thẳng d là?

A 1

2

x y z  

 B

1

4

x y z  



C 1

4

x y z

 

  D

1

2

x y z  

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm đường thẳng có phương

trình: Viết phương trình đường thẳng qua , vng góc cắt

A B

C D

Câu 15: Trong không gian tọa độ Oxyz cho M(2;1;0) đường thẳng d có phương trình:

1

2 1

x y z

 

 Gọi  đường thẳng qua M, cắt vng góc với d Viết phương

trình đường thẳng ?

A x t y t z t            B x t y t z t            C 1 x t y t z t            D x t y t z t           

Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ MNN  t; ;1t t gọi d qua A1; 0; 1 , cắt

1 2

:

2 1

x y z

  

 , cho góc d

3

:

1 2

x y z

  

 nhỏ

Phương trình đường thẳng d

A 1

2

x y z  

 B

1

4

x y z  

 C

1

4

x y z

 

  D

1

2

x y z  

2 2 x t y t z t             

cho hai đường thẳng 1:

2 1

x y z

d    



2

1 2

:

1

x y z

d     

 Gọi  đường thẳng song song với  P :xy  z cắt

1

:

1 1

x y z

  

 

1

:

2 1

x y z

  



1

:

1 1

x y z

   :

1 1

x y z

  



,

Oxyz A1; 0; 2 d

1

y

x z

   A d

1

:

1 1

y

x z

   :

1 1

y

x z

  



1

:

2 1

y

x z

   :

1

y

x z

  

(87)

1,

d d hai điểm A B, choAB ngắn Phương trình đường thẳng 

là A 12 x t y z t            B x t y z t                C x y t z t                D x t y t z t                 Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1

:

2 1

x y z

d    



2

1

:

3

x t

d y t

z           

Phương trình đường thẳng vng góc với  P : 7x y4z0 cắt hai

đường thẳng d1, d2 là:

A

2 1

x y z

  B

7

x y z

  

C

7

x y z

 

  D

2

7

x y z

 

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1

:

3

x y z

  

2

1

:

1

x y z

   Phương trình đường thẳng song song với

3

:

4 x

d y t

z t           

cắt hai

đường thẳng  1; 2 là:

A x y t z t           B x y t z t              C x y t z t              D x y t z t           

Câu 20: Trong không gian Oxyz, cho điểm A3;3; 3 thuộc mặt phẳng   :2 – 2x y z 150và mặt cầu  

2 2

: (x 2) (y 3) (z 5) 100

S      

Đường thẳng  qua A, nằm mặt phẳng

 

cắt ( )S A, B Đểđộ dài AB lớn phương trình đường thẳng  là:

A 3

1

x y z 

  B 3

16 11 10

x y z 

   C 3 x t y z t            

D 3

1

x y z 

(88)

Câu 21: Phương trình sau khơng phải phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng

d: mặt phẳng (Oxy):

A B

C D

Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 12 1,

4

x y z

d      mặt

thẳng  P : 3x5y  z Gọi d'là hình chiếu d lên  P Phương trình tham số

' d

A 62 25 61 x t y t z t           B 62 25 61 x t y t z t           C 62 25 61 x t y t z t            D 62 25 61 x t y t z t          

Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ BH cho đường thẳng

1

:

3

x t

d y t

z t            

Hình chiếu song

song  aBH nQ 1; 2; 2  lên mặt phẳng  

 

1

:

3

1 ; ;3

10 11

; ;

9 9

x t

BH y t

z t

H BH H t t t

H P t H

                             theo

phương :

1 1

x y z

  

  có phương trình là:

A x t y z t           B x t y z t           C x t y z t            D x t y z t          

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ  Q :x2y2z 1 gọi d qua A3; 1;1 , nằm mặt phẳng  P :xy  z 0, đồng thời tạo với :

1 2

x y z

   góc 450 Phương

trình đường thẳng d

2 ,

x t

y t t R

z t             

3 ' ' , '

x t

y t t R

z           

1 ' ', '

x t

y t t R

z            

1 ' ', '

x t

y t t R

z           

5 ' ', '

x t

y t t R

(89)

A

3 15 x t y t z t              B x t y t z            C 15 x t y t z t             D 1 x t y t z            và 15 x t y t z t            

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua điểm A1; 1; 2 , song song với

 P : 2xy  z 0, đồng thời tạo với đường thẳng : 1

1 2

 

  



x y z

góc lớn Phương trình đường thẳng d

A 1

1

  

 



x y z

B 1

4

  

 



x y z

C 1

4

  

 

x y z

D 1

1

  

 

 

x y z

Câu 26: Trong không gian cho đường thẳng :

1

x y z

   đường thẳng

3

:

3

x y z

d      Viết phương trình mặt phẳng  P qua  tạo với đường thẳng

d góc lớn

A 19x17y20z770 B 19x17y20z340

C 31x8y5z910 D 31x8y5z980

Câu 27: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :xy z 20 hai

đường thẳng

1 :

2

x t

d y t

z t           ;

' :

1

x t

d y t

z t              

Biết có đường thẳng có đặc điểm: song song với  P ; cắt d d,  tạo với d góc O

30 Tính cosin góc tạo hai đường thẳng

A

5 B C D

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm Đường thẳng cắt mặt phẳng điểm Tính tỉ số

A B C D

 2; 3;1

A  B5; 6; 2

AB Oxz M AM

BM

2 AM

BM 

AM BM 

1 AM

BM 

(90)

Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 2; 2; 1),  B1; 2; 3  đường

thẳng :

2

x y z

d    

 Tìm vectơ chỉphương u 

của đường thẳng  qua A, vng góc với d đồng thời cách điểm B khoảng bé

A u(2;1; 6) B u (2; 2; 1) C u (25; 29; 6)  D u(1; 0; 2)

Câu 30: Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho hai điểm A1; 2; ,  B7; 2;3  đường thẳng

d có phương trình

2

2 (t R)

x t

y t

z t

   

  

    

Điểm M d cho tổng khoảng cách từ M

đến A B nhỏ có tổng tọa độ là:

A M 2;0;  B M 2; 0;1  C M 1; 0;  D M 1; 0;  Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz,cho điểm (2;3;0),A B(0; 2; 0), 6; 2;

5

M  

 

và đường thẳng : x t d y

z t

  

     

Điểm Cthuộcdsao cho chu vi tam giácABClà nhỏ nhấ độ

dàiCM

A 2 B 4 C 2 D 2

5

Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ., cho bốn điểm Kí hiệu d đường thẳng qua D cho tổng khoảng cách từ điểm A B C, , đến d lớn Hỏi đường thẳng d qua điểm đây?

A M 1; 2;1 B N5;7;3 C P3; 4;3 D Q7;13;5

Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1;1;1 hai đường thẳng

1

2

:

2

x t

d y

z t

   

 

    

và 2

5

:

3

x s

d y

z s

   

     

Gọi ,B C điểm di động d d1, 2 Hỏi giá trị nhỏ biểu thức P ABBCCA là?

A 2 29 B 2 985 C 5 10 29 D 5 10

Câu 34: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng Gọi

là điểm cách trục Khoảng cách ngắn bằng:

A B C D

Oxyz

0 :

1

x

d y t

z   

    

0; 4; 0 A

M d x Ox' A M

1

2

(91)

Câu 35: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng có phương trình

1

1 2 2

: ; : ; : ; :

1 2 4 1 2

x y z x y z x y z x y z

d     d     d    d    

  

Biết đường thẳng  có vector chỉphương u2; ;a b 

cắt bốn đường thẳng cho Giá trị biểu thức 2a3b bằng:

A 5 B 1 C

2

 D

2 

Câu 36: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz gọi  đường thẳng qua điểm A2,1, 0, song song với mặt phẳng  P :x  y z có tổng khoảng cách từ điểm

0, 2, , 4, 0, 0

M N tới đường thẳng đạt giá trị nhỏ nhất? Vector chỉphương  là?

A u 1, 0,1 B u 2,1,1 C u 3, 2,1 D u 0,1, 1  Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

2

x y z

   hai điểm

1; 1; 1

A   ,B2; 1;1  Gọi C D, hai điểm phân biệt di động đường thẳng  cho tồn điểm I cách tất mặt tứ diện ABCD I thuộc tia Ox Tính độ dài đoạn thẳng CD

A 12 17

17 B 17 C

3 17

11 D 13

Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   S : x12y22 z32 4

Xét đường thẳng

 

1 :

1

x t

d y mt t R z m t    

  



  



, m tham số thực Giả sử  P  P hai mặt phẳng chứa d, tiếp xúc với  S T T Khi m thay đổi, tính giá trị nhỏ độdài đoạn thẳng TT

A 4 13

5 B 2 C

12 13

13 D

(92)

Câu 1: Đường thẳng  song song với :

3

x y z

d     

 cắt hai đường thẳng

1

:

3

  

 

x y z

d 2:

2

 

 

x y z

d Phương trình khơng phải đường thẳng 

A : 1

3

  

  



x y z

B

7

3 3 3

:

3

       y z x

C :

3

  

  



x y z

D : 1

3

  

  



x y z

Giải: Gọi M, N giao điểm  d d1, 2

Khi M, N thuộc d d1, 2 nên

2 '

1 , '

2 '

                       N M M N M N x t x t

y t y t

z t z t

Vector chỉphương  MN    ' ;4t  t 4 't   t; t' 2t

 song song với :

3

  

 



x y z

d nên ' 4 ' '

3

       

 



t t t t t t

Giải hệta ' 1;    

t t Vậy  4; 1; , 3; 7;

3

 

      

 

N M

Vậy : 1

3

  

  



x y z

Chọn A

Câu 2: Cho đường thẳng

1 ( ) :

x t

d y t

z t          

mp (P) :xy 2 Tìm phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng (P) cắt vng góc với (d)

A 2 x t y t z           B 3 x t y t z           C 2 x t y t z           D 1 x t y t z           Hướng dẫn giải:

Gọi I giao điểm (d) (P): I(1t;1t t I; ), ( )P   t I(1;1;0)

(d) có vectơ chỉphương u  ( 1; 1; 2), (P) có vectơ pháp tuyến n(1;1; 0)

Vectơ pháp tuyến mặt phẳng cần tìm u u v, 

 

  

(93)

Phương trình mặt phẳng cần tìm 2 x t y t z           Chọn A

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng mặt phẳng

Phương trình đường thẳng nằm cho cắt vng góc với đường thẳng

A B

C D

Vectơ chỉphương , vectơ pháp tuyến  P n P 1; 2; 2

Vì

Tọa độgiao điểm nghiệm hệ

Lại có , mà Suy

Vậy đường thẳng qua có VTCP nên có phương trình

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng : 2

2 1

x y z

d     mặt phẳng

 P :x2y  z Viết phương trình đường thẳng  nằm  P cho  vng góc với d khoảng cách hai đường thẳng  d

,

Oxyz :

1 1

x y z

  



 P :x2y2z40 d  P d



 

:

1

x t

d y t t

z t                 : 2 x t d y t t

z t              

:

4

x t

d y t t

z t                 

: 3

3

x t

d y t t

z t                

:u 1;1;

  

   

; 4; 3;1

d

d P

d u u

u u n

d P u n

                                   H    P

 

1

2 2; 1;

2

x t

y t

t H

z t

x y z                      

d;   P d H    P Hd

d H 2; 1; 4 ud 4; 3;1  

 

:

4

x t

d y t t

(94)

A

7

:

1 1

3 :

1 1

x y z

                

B

7

:

1 1

3 :

1 1

x y z

               C :

2 1

3 :

1

x y z

             

D

7

:

1 1

3

:

1 1

x y z

                   

Đường thẳng d có VTCP ud 2;1;1  Mặt phẳng  P có VTPT np 1; 2; ,  ta có

 

, 3; 3;

p d n u

    

 

 

Vì  , ; 0; 1;1

3 d

P d VTPT u u u 

         Khi đó, phương trình mặt phẳng  Q :y z m0

Chọn A1; 2; 0 d, ta có:

 

 ;   ;  2

0

m m

d A Q d d

m             

Với m4 Q :y z 40

Vì     P  Q   qua 7; 0; 4 :

1 1

x y z

B      

 

Với m0 Q :y z

Vì     P  Q   qua 3;0; 0 :

1 1

x y z

C     

 

Chọn A

Câu 5: Cho hai điểm A3;3;1 ,  B0; 2;1và mặt phẳng   :xy  z Đường thẳng d nằm   cho điểm d cách điểm A B, có phương trình

A

2 x t y t z t         

B

2 x t y t z t         

C

2 x t y t z t           D x t y t z t          Hướng dẫn giải:

Chọn A

Mọi điểm d cách hai điểm A B, nên d nằm mặt phẳng trung trực đoạn

AB

Có AB   3; 1; 0 trung điểm AB 5; ;1 2

I 

(95)

3

2

x y x y

   

          

   

Mặt khác d   nên d giao tuyến hai mặt phẳng: 7

7

x y y x

x y z z x

    

 



 

    

 

Vậy phương trình :  

x t d y t t

z t   

  

   



Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng :

1

x y z

d    

  mặt phẳng

 P :xy  z Gọi I giao điểm d P,  Tìm M P cho MI vng góc với d MI 4 14

A  

 

5;9; 11 3; 7;13

M M

 



  

B  

 

5; 7; 11 3; 7;13

M M

 



  

C  

 

5;9; 11 3; 7;13

M M

  



 

D  

 

5; 7;11 3; 7; 13

M M

 



 

Vì Id nên I2  t; ;t t

Hơn I P    2 t 2t 3 0   t I1;1;1

Gọi M a b c ; ;  Do:  

3

d 2

M P a b c

MI d IM u a b c

     

 

        



 

   

IM  a1;b1;c1 ,ud  1; 2; 1  

Do MI 4 14a12 b12c12 224 Khi ta có hệphương trình:

 2  2  2  2

3

2

11 13

1 1 224 16

a b c b a a a

a b c c a b b

c c

a b c a

           

 

   

           

   

      

 

       

 

 

Với a b c; ;   5;9; 11 M5;9; 11 

Với a b c; ;    3; 7;13M 3; 7;13 Chọn A

Câu 7: Trong không gian Ox ,yz cho hai mặt phẳng  P :x2y2z0, Q : 2x2y  z

(96)

A 1: ; 2:

1

x t x t

d y t d y t

z t z

 

 

 

  

 

    

 

B 1: 1; 2:

1

x t x t

d y t d y t

z t z

 

 

 

   

 

    

 

C 1 2

3

: ; :

1 4

x t x t

d y t d y t

z t z t

 

 

 

   

 

     

 

D 1 2

1

: ; :

1

x t x t

d y t d y t

z t z

  

 

 

   

 

    

 

Ta có n 2; 2;1 vecto pháp tuyến  Q b,1; 2; 2  vec tơ pháp tuyến  P Gọi a a b c a; ; , b2c2 0 vecto chỉphương d

Vì đường thẳng d qua A0; 0;1 mà A0; 0;1 , A Q

Do d Q an a n  02a2b c 0c 2a2b

Góc hợp d  P 45 :

 

0

2 2

2

2 2

2 2 2

sin 45 cos ;

2

18( ) 2

a b a b c

a b

a b a b c

a b c a b c a b

 

    

 

        

   

 

 

1 1;

a b b a c

            

Vậy 1: ; 2:

1

x t x t

d y t d y t

z t z

 

 

 

  

 

    

 

là đường thẳng cần tìm

Chọn A

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB CD, thỏa mãn CD2AB diện tích 27; đỉnh A 1; 1; ; phương trình đường thẳng chứa

cạnh CD

2

x y z

  Tìm tọa độ điểm D biết hoành độ điểm B lớn

hoành độ điểm A

A D 2; 5;1 B D 3; 5;1 C D2; 5;1  D D3; 5;1  Hướng dẫn giải:

Đường thẳng CD qua M2; 1;3  có vec tơ chỉphương u2; 2;1

Gọi H2 ; ;3 t   t t hình chiếu A lên CD, ta có:

     

; 2.2 (3 0; 3; , ,

AH u  t t t    t H  d A CD  AH   

(97)

2

3 SABCD 18 6; 3;

AB CD AB AB DH HC

AH

       

Đặt AB tu 2 ; ;t t t t 0xB xA t AB AB4; 4; 2 B3;3; 2

u

         



  



   

9

6; 6;3 6;3;5

6

2; 2; 2; 5;1

6

HC AB C

HD AB D

  

          

 

Chọn A

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho hai đường thẳng 1: ;

1

x y z

d    

2

2 1

:

2 1

x y z

d      mặt phẳng  P :xy2z 5 Lập phương trình đường thẳng d song song với mặt phẳng  P cắt d d1, 2 A B, cho độ dài đoạn

AB đạt giá trị nhỏ

A : 2

1 1

x y z

d      B : 2

1 1

x y z

d     



C : 2

1 1

x y z

d      D : 2

1 1

x y z

d      Hướng dẫn giải:

Vì Ad B1; d2 A 1 a; 2 ;  a a,B22 ;1b b;1b

Ta có AB   a 2b3; 2 a b 3;  a b 1  P có vec tơ pháp tuyến    

 

1;1; , / / AB n

n AB P

A P

  

   

  

  

 

3 2 5; 1;

ABn AB n   a b  a b   a b  ba AB a   a

    

Do đó: AB a52   a 12  3  2a22 273

minAB 3

  a2A1; 2; 2

 3; 3; , 1; 2; 2  

AB    A  P



Vậy phương trình đường thẳng : 2

1 1

x y z

d      Chọn A

2 1

x y z

d     

 mặt

(98)

thẳng  nằm mặt phẳng  P , vng góc với d đồng thời khoảng cách từ M đến 

bằng 42

A

5

:

2

3

:

2

x y z

                  

B

5

:

2

3

:

2

x y z

                     C

5

:

2

3

:

2

x y z

                  

D

5

:

2

3

:

2

x y z

                Hướng dẫn giải:

Phương trình tham số

3

:

1

x t

d y t

z t             

Mặt phẳng  P có VTPT nP 1;1;1 , d có VTCP ud 2;1; 1 

Vì M d P M1; 3;0 

Vì  nằm  P vng góc với d nên: VTCP u u nd; P2; 3;1 

  

Gọi N x y z ; ;  hình chiếu vng góc M , đó: MNx1;y3;z

Ta có:  

   

 

2 2

2

5; 2;

2 11

3; 4;5

1 42

42

MN u x y z

N

N P x y z

N

x y z

MN                                         

Với 5; 2; 5 : 5

2

x y z

N          

Với  3; 4;5 :

2

x y z

N          

Chọn A

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A1; 2;3 , đường thẳng :

2

x y z

d   



và mặt phẳng  P :x2y  z Gọi d' đường thẳng đối xứng với d qua  P Tìm tọa độđiểm B d' cho AB9

A

62 16 151 26 151 31 151

; ;

27 27 27

62 16 151 26 151 31 151

; ;

27 27 27

(99)

B

62 151 26 151 31 151

; ;

27 27 27

62 151 26 151 31 151

; ;

27 27 27

B

      

  

  



     



 



 



C

16 151 151 151

; ;

27 27 27

16 151 151 151

; ;

27 27 27

B

  

  

  



   



 



 



D

62 151 26 151 31 151

; ;

27 27 27

62 151 26 151 31 151

; ;

27 27 27

B

      

  

  



     



 



 



Có d cắt  P I2; 1;1   Chọn M0; 0; 1 d M' điểm đối xứng M qua

 P Khi M' d' Ta tìm M'

Gọi  đường thẳng qua M vuông góc với mặt phẳng  P

1; 1 :

1

P

x y z

VTCP u VTPT n 

       



 

Gọi H trung điểm MM' tọa độ H định:

1 2 2

; ; ; ;

1

3 3 3

2

x y z

x y z H

x y z

 

 

  

           

  

 

     

Từđó: ' 2 ; ;  2; 4;

3 3

H M H M H M

M x x y y z z     

 

Suy d’ đường thẳng qua I2; 1;1  nhận VTCP:

8 1

' ; ; ' :

3 3

x y z

M I  d     

 



 

' ; ;1

Bd B  t  t  t Theo đề ta phải có:

 2  2  2 2 151

9 81 81 67

(100)

62 16 151 26 151 31 151

; ;

27 27 27

62 16 151 26 151 31 151

; ;

27 27 27

B

      

  

  

 

     



 



 

 Chọn A

Câu 12: Cho hai điểm hai mặt phẳng

Viết phương trình đường thẳng qua cắt cho tam giác cân nhận đường trung tuyến

A B

C D

Gọi , từ giả thiết suy trung điểm , suy

nên có hai pt:

Tam giác cân nên:

Từ có hệ:

Đường thẳng qua có pt

Chọn D

Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi d đường thẳng qua điểm A1; 0; 1 ,

cắt 2

2 1

x y z

 

 , cho cosd;2là nhỏ nhất, biết phương trình đường thẳng

2

3

:

1 2

x y z

  

 Phương trình đường thẳng d là?

A 1

2

x y z  

 B

1

4

x y z  



C 1

4

x y z

 

  D

1

2

x y z  

Gọi M d  1 M1 ; 2 t   t; t

1; 2;3 , 2; 4; 4

M A  P :x y 2z 1 0,

 Q :x2y  z  M  P , Q

,

B C ABC A AM

1

:

1 1

x y z

  

 

1

:

2 1

x y z

  



1

:

1 1

x y z

   :

1 1

x y z

  



 ; ; 

B a b c M BC C2a; 4b; 6c

 ,  

B P C Q a b 2c 1  1 ;  a 2b c  8  2

 1; 2; , 2 ; ; 

AM    BC  a  b  c

 

ABC A  AM BC 0a2b c  8  3

   1 ,  3    

2 0

2 0;3; , 2;1;

2

a b c a

a b c b B C

a b c c

    

 

 

       

 

      

 

 B C :

1 1

x y z

  

(101)

d có vectơ chỉphương ud  AM 2t2;t2; 1 t  

2

 có vectơ chỉphương u2   1; 2; 2



 

2

cos ;

3 14

t d

t t

 

 

Xét hàm số  

2

6 14

t f t

t t 

  , ta suy f t  f  0 0 Do cos d;20 t0 Nên AM 2; 2; 1 

Vậy phương trình đường thẳng d là: 1

2

x y z  

 Chọn A

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm đường thẳng có phương

trình: Viết phương trình đường thẳng qua , vng góc cắt

A B

C D

Do cắt nên tồn giao điểm chúng Gọi

Phương trình tham số : Do , suy

Do nên vectơ chỉphương

Theo đề bài, vng góc nên ( vector chỉphương ) Suy

Giải Vậy

Chọn B

Câu 15: Trong không gian tọa độ Oxyz cho M(2;1;0) đường thẳng d có phương trình:

1

2 1

x y z

 

 Gọi  đường thẳng qua M, cắt vng góc với d Viết phương

trình đường thẳng ?

,

Oxyz A1; 0; 2 d

1

y

x z

   A d

1

:

1 1

y

x z

   :

1 1

y

x z

  



1

:

2 1

y

x z

   :

1

y

x z

  



 d B d B

B d        

 

d

1 , x t

y t t z t    

 

    

 B d B t 1; ;t t1

 ; ; 3 AB t t t

  



,

A B  AB





 d ABu

 

(1; 1; 2)

u d

AB u  

t1 AB1;1; 1 

 1 2

:

1 1

y

x z

  

(102)

A x t y t z t            B x t y t z t            C 1 x t y t z t            D x t y t z t            Hướng dẫn giải:

PTTS d

1 x t y t z t            

Gọi H hình chiếu vng góc M lên d, đường thẳng  cần tìm đường thẳng MH Vì H thuộc d nên H1 ; 1 t   t; tsuy MH (2t   1; t; t)

Vì MH d d có VTCP u(2;1; 1) nên MH u 0  



3

t Do

1

; ;

3 3

MH     

 



Vậy PTTS  là:

2 x t y t z t            Chọn A

Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ MNN  t; ;1t t gọi d qua A1; 0; 1 , cắt

1 2

:

2 1

x y z

  

 , cho góc d

3

:

1 2

x y z

  

 nhỏ

Phương trình đường thẳng d

A 1

2

x y z  

 B

1

4

x y z  

 C

1

4

x y z

 

  D

1

2

x y z   Hướng dẫn giải:

Gọi M d  1 M1 ; 2 t   t; t

d có vectơ chỉphương a d AM 2t2;t2; 1 t

2

 có vectơ chỉphương a2   1; 2; 2

 

2

cos ;

3 14

t d

t t

 

 

Xét hàm số  

2

6 14

t f t

t t 

  , ta suy f t  f 0 0 t Do cos ,d0  t AM 2; 1 

Vậy phương trình đường thẳng d 1

2

x y z  

(103)

Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ 2 x t y t z t             

cho hai đường thẳng 1:

2 1

x y z

d    



2

1 2

:

1

x y z

d     

 Gọi  đường thẳng song song với  P :xy  z cắt

1,

d d hai điểm A B, choAB ngắn Phương trình đường thẳng 

là A 12 x t y z t            B x t y z t                C x y t z t                D x t y t z t                 Hướng dẫn giải:

 

1

1 ; ;

1 ; ; 2

A d A a a a

B d B b b b

    

     

 có vectơ chỉphương ABb2 ;3a b a 2; 2 b a 4  P có vectơ pháp tuyến nP 1;1;1

Vì / / P nên ABnP  AB n P 0ba1    

.Khi AB   a 1; 2a5; 6a

 2  2  2

2

1

30 62

5 49

;

2 2

AB a a a

a a a a                       

Dấu "" xảy 6; ;5 , 7; 0;7

2 2 2

a  A   AB  

   



Đường thẳng  qua điểm 6; ;5

2

A  

  vec tơ chỉphương ud   1; 0;1 

(104)

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:

2 1

x y z

d    



2

1

:

3

x t

d y t

z           

Phương trình đường thẳng vng góc với  P : 7xy4z0 cắt hai

đường thẳng d1, d2 là:

A

2 1

x y z

  B

7

x y z

  

C

7

x y z

 

  D

2

7

x y z

  Hướng dẫn giải:

Gọi d đường thẳng cần tìm Gọi Add B1, dd2

 

1

2 ;1 ; 2 ;1 ;3

2 1; ;

A d A a a a

B d B b b

AB a b a b a

    

    

      



 P có vectơ pháp tuyến nP 7;1; ,  d  P  AB n, p phương  có số k thỏa ABk np

2 2 1

0

5 4

a b k a b k a

a b k a b k b

a k a k k

                                      

d qua điểm A2; 0; 1  có vectơ chỉphương a d nP 7;1 4 

Vậy phương trình d

7

x y z

  

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:

3

x y z

  

2

1

:

1

x y z

   Phương trình đường thẳng song song với

3

:

4 x

d y t

z t           

cắt hai

đường thẳng  1; 2 là:

A x y t z t           B x y t z t              C x y t z t              D x y t z t            Hướng dẫn giải:

(105)

 

1

1 ; ;1 ; ;

3 2; 2;

A A a a a

B B b b b

AB a b a b a b

      

     

         



d có vectơ chỉphương ad 0;1;1 

/ /d AB a, d

   phương  có số k thỏa ABk ad

3

2 2

a b a b a

a b k a b k b

a b k a b k k

        

  

  

           

          

  

Ta có A2;3;3 ; B2; 2; 2

 qua điểm A2;3;3 có vectơ chỉphương AB0; 1; 1  

Vậy phương trình 

2 3 x

y t

z t

  

      

Câu 20: Trong không gian Oxyz, cho điểm A3;3; 3 thuộc mặt phẳng   :2 – 2x y z 150và mặt cầu  

2 2

: (x 2) (y 3) (z 5) 100

S      

Đường thẳng  qua A, nằm mặt phẳng

 

cắt ( )S A, B Đểđộ dài AB lớn phương trình đường thẳng  là:

A 3

1

x y z 

  B 3

16 11 10

x y z 

 



C

3

x t

y

z t

   

  

    

D 3

1

x y z 

 

Mặt cầu  S có tâm I2;3;5, bán kính R10 Do d(I, ( )) R nên  cắt  S

A, B

Khi AB R2d(I, ) 2 Do đó, ABlớn d I ,   nhỏ nên  qua H, với H hình chiếu vng góc I lên   Phương trình

x 2t

y

5

:

z t

BH t

   

      

   

( ) 2 2 – 15

H    t  t   t     t H2; 7; 3

Do vậyAH(1; 4; 6) véc tơ phương  Phương trình 3

1

x y z 

(106)

Câu 21: Phương trình sau khơng phải phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng

d: mặt phẳng (Oxy):

A B

C D

A(1;-2;3), B(3;1;4) thuộc d Hình chiếu A,B mặt phẳng (Oxy) A/(1;-2;0), B/(3;1;0)

Phương trình hình chiếu qua nhận véc tơ phương với

làm véc tơ chỉphương Chọn C

Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 12 1,

4

x y z

d      mặt

thẳng  P : 3x5y  z Gọi d'là hình chiếu d lên  P Phương trình tham số

' d

A 62 25 61 x t y t z t           B 62 25 61 x t y t z t           C 62 25 61 x t y t z t            D 62 25 61 x t y t z t           Hướng dẫn giải:

Cách 1:

Gọi Ad P

 

   

12 ;9 ;1

3 0; 0;

A d A a a a

A P a A

    

     

d qua điểm B12;9;1

Gọi H hình chiếu B lên  P  P có vectơ pháp tuyến nP 3;5; 1 

BH qua B12;9;1 có vectơ chỉphương a BH nP 3;5; 1 

1 2 ,

x t

y t t R

z t             

3 ' ' , '

x t

y t t R

z           

1 ' ', '

x t

y t t R

z            

1 ' ', '

x t

y t t R

z           

5 ' ', '

x t

y t t R

z            /

A B/ A B/ / 2;3; 0

(107)

   

12

:

1

12 ;9 ;1

78 186 15 113

; ;

35 35 35

186 15 183

; ;

35 35

x t

BH y t

z t

H BH H t t t

H P t H

AH

  

       

    

 

       

 

 

  

 



'

d qua A0;0; 2  có vectơ chỉphương ad' 62; 25; 61 

Vậy phương trình tham số d'

62 25 61 x t

y t

z t

  

  

    

Cách 2:

Gọi  Q qua d vuông góc với  P

d qua điểm B12;9;1 có vectơ chỉphương ad 4;3;1 

 P có vectơ pháp tuyến nP 3;5; 1 

 Q qua B12;9;1 có vectơ pháp tuyến nQa n d, P  8; 7;11

 Q : 8x7y11z220 '

d giao tuyến  Q  P

Tìm điểm thuộc d', cách cho y0

Ta có hệ 0;0; 2 '

8 11 22

x z x

M d

x z y

  

 

   

 

   

 

'

d qua điểm M0; 0; 2 và có vectơ chỉphương ad n n P; Q62; 25;61 

Vậy phương trình tham số d'

62 25 61 x t

y t

z t

  

  

(108)

Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ BH cho đường thẳng

1

:

3

x t

d y t

z t            

Hình chiếu song

song  aBH nQ 1; 2; 2  lên mặt phẳng  

 

1

:

3

1 ; ;3

10 11

; ;

9 9

x t

BH y t

z t

H BH H t t t

H P t H

                             theo

phương :

1 1

x y z

  

  có phương trình là:

A x t y z t           B x t y z t           C x t y z t            D x t y z t           Hướng dẫn giải:

Giao điểm d mặt phẳng  

 

1

:

3

1 ; ;3

10 11

; ;

9 9

x t

BH y t

z t

H BH H t t t

H P t H

                            

là: M0(5; 0;5)

Trên

1

:

3

x t

d y t

z t            

chọn M bất kỳ khơng trùng với M0(5; 0;5); ví dụ: M(1; 2;3) Gọi A

là hình chiếu song song M lên mặt phẳng  

 

1

:

3

1 ; ;3

10 11

; ;

9 9

x t

BH y t

z t

H BH H t t t

H P t H

                             theo

phương :

1 1

x y z

  

 

+/ Lập phương trình d’đi qua M song song trùng với :

1 1

x y z

  

(109)

+/ Điểm A giao điểm d’  

 

1

:

3

1 ; ;3

10 11

; ;

9 9

x t

BH y t

z t

H BH H t t t

H P t H

                            

+/ Ta tìm A(3; 0;1)

Hình chiếu song song

1

:

3

x t

d y t

z t            

lên mặt phẳng

 

1

:

3

1 ; ;3

10 11

; ;

9 9

x t

BH y t

z t

H BH H t t t

H P t H

                            

theo phương :

1 1

x y z

  

  đường thẳng

đi qua M0(5; 0;5) A(3; 0;1)

Vậy phương trình là:

3 x t y z t          

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ  Q :x2y2z 1 gọi d qua A3; 1;1 , nằm mặt phẳng  P :xy  z 0, đồng thời tạo với :

1 2

x y z

   góc 450 Phương

trình đường thẳng d

A

3 15 x t y t z t              B x t y t z            C 15 x t y t z t             D 1 x t y t z            và 15 x t y t z t             Hướng dẫn giải:

 có vectơ chỉphương a 1; 2; 2 

d có vectơ chỉphương ad a b c; ;  

(110)

   

     

0

2 2

;

, 45 cos , cos 45

2 2

2

2 ;

d P

d P a n b a c

d d

a b c a b c

                        

Từ 1:

1

x y z

   2: 1

1

x y z

   , ta có:14 30 0

15

c c ac a c         

Với c0, chọn ab1, phương trình đường thẳng d

3 1 x t y t z           

Với 15a7c0, chọn a7  c 15;b 8, phương trình đường thẳng d

3 15 x t y t z t            

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua điểm A1; 1; 2 , song song với

 P : 2xy  z 0, đồng thời tạo với đường thẳng : 1

1 2

 

  



x y z

góc lớn Phương trình đường thẳng d

A 1

1

  

 



x y z

B 1

4

  

 



x y z

C 1

4

  

 

x y z

D 1

1

  

 

 

x y z

 có vectơ chỉphương a 1; 2;2  d có vectơ chỉphương ad a b c; ;   P có vectơ pháp tuyến nP 2; 1; 1  

Vì d  P nên ad nP a n d P 02a  b c 0c2ab

   

2

5

cos ,

3

 

  

 

a b a b

d

a ab b

Đặt t a

b, ta có:  

 2

2

5

1

cos ,

3

     t d t t

2

5

 

  t f t

t t , ta suy được:  

1

max

5

    

(111)

Do đó: max cos ,  1

27 5

       

 

 

a

d t

b

Chọn a 1 b 5,c7

Vậy phương trình đường thẳng d 1

1

  

 



x y z

Chọn A

Câu 26: Trong không gian cho đường thẳng :

1

x y z

   đường thẳng

3

:

3

x y z

d      Viết phương trình mặt phẳng  P qua  tạo với đường thẳng

d góc lớn

A 19x17y20z770 B 19x17y20z340

C 31x8y5z910 D 31x8y5z980

Đường thẳng d có VTCP u1 3;1; 2

Đường thẳng  qua điểm M3; 0; 1  có VTCP u1; 2;3

Do   P nên M P Giả sử VTPT  P nA B C; ; ,A2B2C2 0

Phương trình  P có dạng A x 3ByC z 10 Do   P nên u n  0 A2B3C0 A 2B3C Gọi  góc d  P Ta có

 

1

2 2 2 2

1

3

14 14. 2 3

u n A B C B C B C

sin

u n A B C B C B C

     

  

     

    

 2

2

5 7

5 12 10

14

14 12 10

B C B C

B BC C

 

 

 



TH1: Với C 0 70

14 14

sin  

TH2: Với C 0 đặt t B C

 ta có  

2

5

1

5 12 10

14

t sin

t t

 

 



2

5

5 12 10

t f t

t t

 

(112)

Ta có  

 

2

50 10 112

5 12 10

t t

f t

t t

  

 

 

 

8 75

5 14

0 50 10 112

7

0

5

t f

f t t t

t f

  

    

  

       

  

    

  

  

Và    

2

5

lim lim

5 12 10

x x

t f t

t t

 



 

 

Bảng biến thiên

Từđó ta có   75

14

Maxf t  8

5

B t

C

   Khi 75

5 14

14

sin  f      



So sánh TH1 Th2 ta có sin lớn 75

14

sin 

5

B C 

Chọn B  8 C  5 A31

Phương trình  P 31x38y5z1031x8y5z980

Câu 27: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :xy z 20 hai

đường thẳng

1 :

2

x t

d y t

z t

   

     

;

3

' :

1

x t

d y t

z t

    

   

    

Biết có đường thẳng có đặc điểm: song song với  P ; cắt d d,  tạo với d góc O

30 Tính cosin góc tạo hai đường thẳng

A

5 B

1

2 C

2

3 D

1

Hướng dẫn giải::

Gọi  đường thẳng cần tìm, nP VTPT mặt phẳng  P

(113)

Gọi M1t t; ; 2 t giao điểm  d; giao điểm

Ta có:

Ta có

Vậy, có đường thẳng thoả mãn

Khi đó,

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm Đường thẳng cắt mặt phẳng điểm Tính tỉ số

A B C D

Ta có: ; ;

Ta có: thẳng hàng

và

Chọn A

Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 2; 2; 1),  B1; 2; 3  đường

thẳng :

2

x y z

d    

 Tìm vectơ chỉphương u 

của đường thẳng  qua A, vng góc với d đồng thời cách điểm B khoảng bé

A u (2;1; 6) B u(2; 2; 1) C u(25; 29; 6)  D u (1; 0; 2)

Hướng dẫn giải: Cách (Tự luận)

Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với d, B’ hình chiếu B lên (P)

3 ;1 ;1 

M t t  t 

'

d

 

' ;1 ; 2

MM  t t    t t t t 

MM//     4 ; ;3 

P

M P

P t MM t t t

MM n

  

 

        

  



  

 

O

2

4

6

3

cos30 cos ,

1

2 36 108 156

d

t t

MM u

t

t t



  



    

 

  

 

1

5

: ; :

10

x x t

y t y

z t z t



 

 

 

             

 

 2

cos ,

2   

 2; 3;1

A  B5; 6; 2

AB Oxz M AM

BM

2 AM

BM 

AM BM 

1 AM

BM 

AM BM 

   ;0; 

M Oxz M x z AB7 1; ; AB 59



 2; 3; 1 AM x  z 

, ,

A B M AMk AB k 

 



2

3

1

x k x

k k

z k z

     

 

     

    

 

 ;0;  M

 

 14; 6; 2 118

BM    BM  AB

(114)

Khi đường thẳng  đường thẳng AB’ u B'A

Ta có  : ( 2; 2;1) (P) : 2

(2; 2; 1)

P d Qua A

P x y z

VTPT n u   



    



  

 

 

Gọi d’ đường thẳng qua B song song d’

1

' 2

3

x t

d y t

z t

   

   

    

B’ giao điểm d’ (P) B'( 3; 2; 1)   u B A' (1; 0; 2)  Chọn D

Cách 2: Khơng cần viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với d

Gọi d’ đường thẳng qua B song song d’

1

' 2

3

x t

d y t

z t

   

   

    

B’ d’B A'   2t3; 2 t4;t4

AB’ d u B A d '     0 t u B A' (1;0; 2)  Chọn D

Câu 30: Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho hai điểm A1; 2; ,  B7; 2;3  đường thẳng

d có phương trình

2

2 (t R)

x t

y t

z t

   

  

    

Điểm M d cho tổng khoảng cách từ M

đến A B nhỏ có tổng tọa độ là:

A M 2;0;  B M 2; 0;1  C M 1; 0;  D M 1; 0;  Hướng dẫn giải:

Nếu M nằm d điểm I có tọa độ M=(2+3t;-2t;4+2t) Từđó ta có:

3 1; 2 ;2 5 3 12 2 2 2 52

AM  t   t t AM  t   t  t

Tương tự: BM 3t5; 22 ;2t t1BM  3t52 22t22t12 Từ (*): MA=MB = 3t12 22t22t52 = 3t5222t2 2t12 Hay:  17t234t30 17t2 36t30 34t36t0 11 70t0 t

Tọa độ M thỏa mãn yêu cầu là: M=(2;0;4 )

(115)

Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz,cho điểm (2;3;0),A B(0; 2; 0), 6; 2;

M  

 

và đường thẳng : x t d y

z t

  

     

Điểm Cthuộcdsao cho chu vi tam giácABClà nhỏ nhấ độ

dàiCMbằng

A 2 B 4 C 2 D 2

5

Do ABcó độdài khơng đổi nên chu vi tam giácABCnhỏ khiACCBnhỏ VìC d C t ; 0; 2t AC  2t2 229,BC  2t 224

 2 22  22

AC CB t t

       

Đặtu 2t2 2;3 , v  2t 2; 2ápdụngbấtđẳngthứcu  v  u v  2t 22  2t 22  2 22 25

         Dấubằngxảyrakhivàchỉ

khi

2

2 2 7

; 0; 2

2 5 5 5

2

t

t C CM

t

      

              

       

Chọn C

Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ., cho bốn điểm Kí hiệu d đường thẳng qua D cho tổng khoảng cách từ điểm A B C, , đến d lớn Hỏi đường thẳng d qua điểm đây?

A M 1; 2;1 B N5;7;3 C P3; 4;3 D Q7;13;5

Ta có phương trình mặt phẳng qua A,B,C là:  :

3

x y z

ABC     x y  z Dễ thấy DABC.Gọi hình chiếu vng góc A B C, , d

Suy d A d , d B d , d C d ,  AA'BB'CC'ADBDCD.Dấu xảy

' ' '

A B C D Hay tổng khoảng cách từcác điểm A B C, , đến d lớn d

đường thẳng qua D vng góc với mặt phẳng  

1

: ;

1

x t

ABC d y t N d

z t

   

    

   

(116)

Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1;1;1 hai đường thẳng

1

2

:

2

x t

d y

z t

   

 

    

và 2

5

:

3

x s

d y

z s

   

     

Gọi ,B C điểm di động d d1, 2 Hỏi giá trị nhỏ biểu thức P ABBCCA là?

A 2 29 B 2 985 C 5 10 29 D 5 10

Gọi A A1, 2 điểm đối xứng A qua d d1, 2 ta có BABA CA1, CA2,

1 2 29

PA BBCCA A A 

Dấu xảy Bd1A A C1 2, d2A A1 2

Trong A11;1; ,  A23;1;7 , A A1 2 2 29 Kiểm tra dấu bằng, dễ thấy 1 2 1 1;1; 11

6 12

A A d B  

 , 2

31 69 ;1;

17 17

A A d C 

 

Câu 34: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng Gọi

là điểm cách trục Khoảng cách ngắn bằng:

A B C D

Gọi ta có:

Do

Khi

Chọn C

Câu 35: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng có phương trình

1

1 2 2

: ; : ; : ; :

1 2 4 1 2

x y z x y z x y z x y z

d     d     d    d    

  

Biết đường thẳng  có vector chỉphương u2; ;a b 

cắt bốn đường thẳng cho Giá trị biểu thức 2a3b bằng:

A 5 B 1 C

2

 D

2  Hướng dẫn giải:

Ta phát đường thẳng đầu đồng phẳng ta viết phương trình mặt phẳng qua đường thẳng Tiếp xác định giao điểm đường thẳng d d3, 4 với mặt phẳng vừa tìm  đường thẳng qua giao điểm

Oxyz

0 :

1

x

d y t

z   

    

0; 4; 0 A

M d x Ox' A M

1

2

65

 ; ; 

M a b c  

   

2

,

d M Ox b c

d M d a c

  

 

   



 2

2 2 2

1

b c a  c  a b  c

 2  2  2

2

4 2

(117)

Câu 36: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz gọi  đường thẳng qua điểm A2,1, 0, song song với mặt phẳng  P :x  y z có tổng khoảng cách từ điểm

0, 2, , 4, 0, 0

M N tới đường thẳng đạt giá trị nhỏ nhất? Vector chỉphương  là?

A u 1, 0,1 B u 2,1,1 C u 3, 2,1 D u 0,1, 1  Hướng dẫn giải:

Ta gọi  Q :x   y z mặt phẳng qua điểm

2,1, 0

A , song song với mặt phẳng  P :x  y z

Đồng thời ta phát điểm A2,1, 0 trung

điểm MN

Khi tổng khoảng cách

   ,  MFNGMCND=2d M Q

Đẳng thức xảy  đường thẳng

qua A hai hình chiếu C D điểm

0, 2, , 4, 0, 0

M N tới mặt phẳng  Q

Chọn A

Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

2

x y z

   hai điểm

1; 1; 1

A   ,B2; 1;1  Gọi C D, hai điểm phân biệt di động đường thẳng  cho tồn điểm I cách tất mặt tứ diện ABCD I thuộc tia Ox Tính độ dài đoạn thẳng CD

A 12 17

17 B 17 C

3 17

11 D 13

Ta có ACD: 2xy2z 1 0;BCD:x2y2z20

Gọi I m ; 0; 0, với m0, ta có

 

 ,   ,  2

1

3

m

m m

d I ACD d I BCD

m 

  

    

  

Vì m0 nên I1;0; 0 d I BCD , 1 Gọi C2t2; 2t 1; 3t3 , ta có

ABC : 4t4x5t4y6t6z7t 6

Vì      

 2  2  2

1

11 10

, , 1 8

4 6 11

t t

d I ACD d I BCD

t

t t t z

  

 

    

  

    



Suy   

2

2 2

1

8 17

2 17

11 11

CD   t t     

(118)

Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   S : x12y22z32 4

Xét đường thẳng

 

1 :

1

x t

d y mt t R z m t    

  



  



, m tham số thực Giả sử  P  P hai mặt phẳng chứa d, tiếp xúc với  S T T Khi m thay đổi, tính giá trị nhỏ độdài đoạn thẳng TT

A 4 13

5 B 2 C

12 13

13 D

2 11

Ta có

 

1 :

1

x t

d y mt t R z m t    

  

 

 



, suy xy z

Nên đường thẳng d P :x   y z

Do  ,  1 2 13

5

(119)

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU NÂNG CAO A - LÝ THUYẾT CHUNG

1 Định nghĩa mặt cầu

Tập hợp điểm không gian cách điểm O cốđịnh khoảng cách R cho trước mặt cầu tâm O bán kính R Kí hiệu S O R ; 

Trong không gian với hệ trục Oxyz:

- Mặt cầu  S tâm I a b c , ,  bán kính R có phương trình là: xa2y b 2zc2 R2

- Phương trình: x2y2z22ax2by2czd 0, với a2b2c2d 0 phương trình mặt cầu tâm I a b c ; ; , bán kính R a2b2c2d

2 Vịtrí tương đối mặt phẳng  P mặt cầu  S  

 , 

d I P R  P không cắt mặt cầu  S  

 , 

d I P R  P tiếp xúc mặt cầu  S  

 , 

d I P R  P cắt mặt cầu  S theo giao tuyến đường tròn nằm mặt phẳng  P có tâm

H có bán kính r R2d2

3 Vịtrí tương đối mặt cầu đường thẳng

a) Cho mặt cầu S O R ;  đường thẳng  Gọi H hình chiếu O lên  d OH khoảng cách từ O đến 

Nếu dR  cắt mặt cầu điểm phân biệt (H.3.1) Nếu d R  cắt mặt cầu điểm (H.3.2)

A

O

B H

O H

O

H

R

I

H

(120)

Nếu dR  khơng cắt mặt cầu (H.3.3)

B - CÁC DẠNG TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Dạng Biết trước tâm I a b c bán kính ; ;  R: Phương trình

   2  2  2

; :

S I R xa  y b  zc R Dạng Tâm I và qua điểmA:

 Bán kính RIA

 Phương trình    2  2  2

; :

S I R xa  y b  zc R

Dạng Mặt cầu đường kính AB

 Tâm I trung điểm AB:  Bán kính RIA

 Phương trình S I R ;  : xa2y b 2zc2 R2

Dạng Mặt cầu tâm I a b c ti ; ;  ếp xúc mặt phẳng   :

 Bán kính  

2 2

; Aa Bb Cc D

R d I

A B C

  

 

  

 Phương trình S I R ;  : xa2y b 2zc2 R2

Dạng Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (đi qua điểm A B C D, , , )

 Giả sử mặt cầu  S có dạng: x2y2z22ax2by2czd0 2 

 Thế tọa độ điểm A B C D, , , vào phương trình (2) ta phương trình

 Giải hệphương trình tìm a b c d, , ,  Viết phương trình mặt cầu

Dạng Mặt cầu qua A B C, , tâm I  :AxBy Cz D0:

 Giả sử mặt cầu  S có dạng: x2y2z22ax2by2czd0 2 

 Thế tọa độ điểm A B C, , vào phương trình (2) ta phương trình

 I a b c ; ;     AaBb Cc D0

 Giải hệ4 phương trình tìm a b c d, , ,  Viết phương trình mặt cầu

Dạng Mặt cầu S đi qua hai điểm A B, tâm thuộc đường thẳng d

2 2

A B A B A B

I I I

x x y y z z

x   ; y   ; z  

(121)

Cách 1:

 Tham số hóa tọa độ tâm I theo đường thẳng d (tham số t)

 Ta có A B, ( )S 2

IA IB R IA IB

     Giải pt tìm t tọa độ I, tính R

Cách 2:

 Viết phương trình mặt phẳng trung trực  P đoạn thẳng AB

 Tâm mặt cầu giao mặt phẳng trung trực đường thẳng d (giải hệ tìm tọa độ tâm I

)

 Bán kính RIA Suy phương trình mặt cầu cần tìm

(Chú ý: Nếu d  P d/ /  P khơng sử dụng cách này) Dạng Mặt cầu  S có tâm I tiếp xúc với mặt cầu  T cho trước:

 Xác định tâm J bán kính R' mặt cầu  T

 Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu  S

(Xét hai trường hợp tiếp xúc tiếp xúc ngoài)

Dạng Mặt cầu  S ' đối xứng Mặt cầu  S qua mặt phẳng  P  Tìm điểm I’ đối xứng với tâm I qua mp  P

 Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm I’ có bán kính R’R

Dạng 10 Mặt cầu  S ' đối xứng mặt cầu  S qua đường thẳng d

 Tìm điểm I’ đối xứng với tâm I qua mp d (xem cách làm phần đường thẳng)

 Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm I’ có bán kính R’R

(122)

Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm

Mặt cầu tâm I qua độ dài (biết tâm I có hồnh độ ngun, O gốc tọa độ) Bán kính mặt cầu

A B C D

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho A1; 0; , B2; 1; ,  C1;1;   Viết phương

trình mặt cầu có tâm thuộc trục Oy, qua A cắt mặt phẳng ABC theo đường trịn có bán kính nhỏ

A

2

x y  z 

 

B

2

x y  z 

 

C

2

x y  z 

  D

2

x y  z 

 

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz viết phương trình mặt cầu có tâm I1; 2;3 tiếp

xúc với đường thẳng

1 2

x y z

 



A  12  22 ( 3)2 233

x  y  z  B  12  22 ( 3)2 243

x  y  z 

C  12  22 ( 3)2 2223

x  y  z  D  12  22 ( 3)2 333

x  y  z  Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho mặt cầu có phương trình

2 2

4 12

x y z  x y z  đường thẳng d x:  5 ;t y4;z 7 t Viết

phương trình đường thẳng  tiếp xúc mặt cầu  S điểm M 5; 0;1 biết đường thẳng 

tạo với đường thẳng d góc  thỏa mãn cos  

A

5 13

: :

1 11

x t x t

y t y t

z t z t

   

 

 

       

     

 

B

5 13

: :

1 11

x t x t

y t y t

z t z t

   

 

 

       

     

 

C

5 13

: :

1 11

x t x t

y t y t

z t z t

   

 

 

      

     

 

D

5 13

: :

1 21

x t x t

y t y t

z t z t

   

 

 

       

     

 

1 2

x y z

d    

 Tìm tọa độ

điểm M thuộc đường thẳng d cho mặt cầu  S tâm M tiếp xúc với trục Oz có bán kính

A 2; 0; 2 6; 2;

5 5

M  M  

  B  

6

2; 0; ; ;

5 5 M M 

 

Oxyz A0; 2;0 , B 1;1;4 C3; 2;1 

 S A B C, , OI 

 S

(123)

C 2; 0; 2 7; 4;

5 5

M  M  

 

D 4; 0; 2 6; 2;

5 5

M  M  

 

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho hai đường thẳng  1, 2 có phương trình:

1

2 1

: ; :

1 1

x y z x y z

     

 Viết phương trình mặt cầu có bán kính

nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng  1, 2?

A  2

2

x  y z  B  2

2

x  y z 

C x2y22z2 6 D x2y22z2 6

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho mặt cầu  S :x2y2z22x4y2z 3

Viết phương trình mặt phẳng  P chứa trục Ox cắt mặt cầu  S theo đường trịn có bán kính

A  P :y2z0 B  P :x2z0 C  P :y2z0 D  P :x2z0 Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1

2 1

x y z

d    

 cắt mặt

phẳng  P :x2y  z điểm M Viết phương trình mặt cầu  S có tâm I thuộc

đường thẳng d tiếp xúc với mặt phẳng  P điểm A, biết diện tích tam giác IAM

bằng 3 tâm I có hồnh độ âm

A    2  2

: 1

S x y  z  B    2  2

: 1 36

S x y  z 

C   S : x12y2 z12 6 D   S : x12y2z12 6

Câu 9: Trong không gian tọa độ Ox ,yz viết phương trình mặt cầu qua ba điểm

1; 1; , 2;1; 1

A  B 

 1; 2; 3

C   biết tâm mặt cầu nằm mặt phẳng Oxz

A  

2

12 1326

:

11 11 121

S x  y z  

    B  

2

12 1327

:

11 11 121

S x  y z  

   

C  

2

12 1328

:

11 11 121

S x  y z  

    D  

2

12 1329

:

11 11 121

S x  y z  

   

Câu 10: Trong không gian Oxyz cho điểm A13; 1; ,  B2;1; ,  C1; 2; 2 mặt cầu

  2

: 67

S x y z  x y z  Viết phương trình mặt phẳng  P qua qua A, song song với BC tiếp xúc với mặt cầu    S S có tâm I1; 2;3 có bán kính R9

A  P : 2 x2y z 280  P : 8x4y z 1000

(124)

C  P : 2 x2y z 280  P : 8x4y z 1000

D  P : 2 x2y2z280  P : 8x4y z 10000 Câu 11: Trong không gian Ox ,yz cho mặt cầu  

2 2

: 2 0,

S x y z  x y z 

mặt phẳng

 P :xy  z

và hai điểm A1;1; , B2; 2;1  Viết phương trình mặt phẳng   song song với AB, vng góc với mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S theo đường tròn

 C

có bán kính

A   :xy2z 1 mp   :x y 2z110

B   :x5y2z 1 mp   :x y 2z110

C   :xy2z 1 mp   :x5y2z110

D   :x5y2z 1 mp   :x5y2z110

Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A2; 0; , B0; 2;  Điểm C thuộc trục Ox cho tam giác ABC tam giác đều, viết phương trình mặt cầu  S có tâmO tiếp xúc với ba cạnh tam giác ABC

A  S :x2y2z2 2 B  S :x2y2 z2  2

C  S :x2y2z2  D  S :x2y2z2   Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho đường thẳng : 1

1

x y z

d     

  mặt cầu

  S : x12y22z12 25 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm

 1; 1; ,

M    cắt đường thẳng d mặt cầu  S hai điểm A B, cho AB8

A

1

:

2

x t

y t

z t

   



         

B

1

:

2

x t

y t

z t

   



         

C

1

:

2

x t

y t

z t

   

    

   

D

2

:

2

x t

y t

z t

   



         

Câu 14: Trong khơng gian Ox ,yz viết phương trình mặt cầu  S tiếp xúc với mặt phẳng

 Q : 2xy2z 1 M1; 1; 1   tiếp xúc mặt phẳng  P :x2y2z 8

A      

       

2 2

:

c x y z

     



      



B      

       

2 2

:

c x y z

     



      



(125)

C      

       

2 2

:

c x y z

     



      



D      

       

2 2

: 81

c x y z

     



      

 Câu 15: Trong không gian với hệ toạđộOxyz, cho đường thẳng:

, mặt cầu

Viết phương trình mặt phẳng song song với hai đường thẳng cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn (C) có chu vi

A B C D

Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho điểm mặt phẳng Mặt cầu S có tâm I nằm mặt phẳng , qua điểm A gốc tọa độ O cho chu vi tam giác

OIA Phương trình mặt cầu S là:

A

B

C

D

Câu 17: Cho điểm I1; 7;5và đường thẳng :

2

x y z

d    

 Phương trình mặt cầu có tâm I

cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác diện tích tam giác IAB 6015 là:

A x12y72z52 2018 B x12y72z52 2017

C x12y72z52 2016 D x12y72z52 2019

Câu 18: Cho điểm I(0; 0;3)và đường thẳng

1

:

2

x t

d y t

z t

   

      

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt

đường thẳng d hai điểm A B, cho tam giác IAB vuông là:

A x2y2z32 3 B x2y2 z32 8

1

2 1

:

1

x y z

  

 2:

1 x t

y t

z t

  

   

   

2 2

( ) :S x y z 2x2y6z 5

( )  1, 2

2 365



5 0; 10

x y z  x y z 

5 10

x y z 

5 3 511 0; 3 511

x y z   x y z  

5

x y z 

1, 0, 1

A   P :x   y z

 P

6

x22y22z12 9 x22y22z12 9

 2  2  2

2

x  y  z  x12 y22z22 9

 2  2  2

2

(126)

C 2  2

3

x y  z  D 2  2

3

3 x y  z 

Câu 19: Cho điểm A2;5;1 mặt phẳng ( ) : 6P x3y2z240, H hình chiếu vng góc

A mặt phẳng  P Phương trình mặt cầu ( )S có diện tích 784 tiếp xúc với mặt phẳng  P H, cho điểm A nằm mặt cầu là:

A x82y82z12 196 B x82y82z12 196

C x162y42z72 196 D x162y42z72 196

Câu 20: Cho mặt phẳng  P :x2y2z100 hai đường thẳng 1:

1 1

x y z

  

 ,

2

:

1

x y z

   Mặt cầu  S có tâm thuộc 1, tiếp xúc với 2 mặt phẳng  P ,

có phương trình:

A (x1)2(y1)2(z2)2 9

2 2

11 81

2 2

x y z

     

     

     

     

B (x1)2(y1)2(z2)2 9

2 2

11 81

2 2

x y z

     

     

     

     

C (x1)2(y1)2(z2)2 9

D (x1)2(y1)2(z2)2 3

Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng 1

1

: 1, ;

x d y t

z t   

 

   



2

: , ;

1 x

d y u u

z u

  

 

    

 : 1

1 1

x y z

   Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với d d1, 2 có tâm thuộc đường thẳng ?

A x12y2z12 1 B

2 2

1 1

2 2

x y z

     

     

     

     

C

2 2

3

2 2

x y z

     

     

     

      D

2 2

5

4 4 16

x y z

     

     

     

     

Câu 22: Cho mặt cầu   2

:   2 4  1

S x y z x z đường thẳng

2

:

  

  

   

x t

d y t z m t

Tìm m để d

cắt  S hai điểm phân biệt A B, cho mặt phẳng tiếp diện  S A B

vng góc với

(127)

C m 1 m0 D Cả A B C, , sai

Câu 23: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu   2

:   4 6  0

S x y z x y m đường thẳng

 : 1

2

 

 

x y z

d Tìm m để (d) cắt (S) hai điểm M, N cho độ dài MN

A m 24 B m8 C m16 D m 12

Câu 24: Cho đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng

và mặt cầu S có phương trình

Tìm m đểđường thẳng d cắt mặt cầu (S) hai điểm phân biệt A, B cho AB =

A 9 B 12 C 5 D 2

Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1; 0; 2), (3;1; 4), (3; 2;1)B C  Tìm tọa độ điểm S, biết SA vng góc với (ABC), mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có bán kính

3 11

2 Scó cao độ âm

A S( 4; 6; 4)  B S(3; 4; 0) C S(2; 2;1) D S(4;6; 4)

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A0;0; 4, điểm M nằm mặt phẳng

Oxy M O Gọi D hình chiếu vng góc O lên AM E trung điểm

OM Biết đường thẳng DE tiếp xúc với mặt cầu cố định Tính bán kính mặt cầu

đó

A R2 B R1 C R4 D R

Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét điểm A0; 0;1, B m ; 0; 0, C0; ;0n ,

1;1;1 D

với m0;n0 mn1 Biết m, n thay đổi, tồn mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng ABC qua d Tính bán kính R mặt cầu đó?

A R1 B

2

R C

2

R D

2

R

Câu 28: Trong không gian tọa độOxyz cho điểm mặt cầu (S) có phương trình: Tìm tọa độđiểm D mặt cầu (S) cho tứ diện

ABCD tích lớn

A B C D

1

x y z

d    

  mặt cầu

 S tâm I có phương trình   S : x12y22z12 18 Đường thẳng d cắt  S

tại hai điểm A B, Tính diện tích tam giác IAB

A 8 11

3 B

16 11

3 C

11

6 D

8 11

( ) : x 2y 2z 4  0 ( ) : 2x 2y  z 0, x2y2 z24x6ym0

(0;1;1), (1;0; 3), ( 1; 2; 3)

A B  C   

2 2

x y z  x z 

7

; ;

3 3

D   

 

1

; ;

3 3

D  

 

7 ; ; 3 D 

 

7

; ;

3 3

D  

(128)

Câu 30: Trong không gian Oxyz, cho điểm 1; 3;0

2

 

 

 

M mặt cầu  S :x2 y2z2 8 Đường thẳng d thay đổi, qua điểm M, cắt mặt cầu  S hai điểm phân biệt Tính diện tích lớn S tam giác OAB

A S  B S 4 C S2 D S 2

Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2;11; 5  mặt phẳng

     

: 1 10

P mx m  y m  z  Biết m thay đổi, tồn hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng  P qua A Tìm tổng bán kính hai mặt cầu

A 2 B 5 C 7 D 12 2

Câu 32: Cho hình chóp SABC có đáy tam giác cạnh 6cmvà SASBSC4 3cm

.Gọi D điểm đối xứng B qua C Khi bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABD bằng?

A 5cm B 3 2cm C 26cm D 37cm

2

x y z

d   

 mặt cầu   S : x12y22z12 2 Hai mặt phẳng  P và Q chứa d tiếp xúc với  S

Gọi M N, tiếp điểm Tính độdài đoạn thẳng MN

A 2 B

3 C D 4

Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A a ;0; ,  B0; ; , b  C0; 0;c,

a , b0, c0 7.

abc  Biết mặt phẳng ABC tiếp xúc với mặt cầu   : 12  22  32 72

7

S x  y  z  Thể tích khối tứ diện OABC

A 2

9 B

1

6 C

3

8 D

5

Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét điểm A0; 0;1, B m ; 0; 0,C0; ; 0n 

1;1;1

D , với m0,n0 mn1 Biết m n, thay đổi, tồn mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng ABC qua D Tính bán kính R mặt cầu

A R1 B

2

R C

2

R D

2 R

Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x2y2z 3 mặt cầu

  2

:

S x y z  x y z  Giả sử M P N S cho MN

(129)

A

2

MN  B MN 1 C MN 3 D MN 

Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2

2

x y z

d      mặt cầu

  2

:

S x y z  z  Giả sử Md N S cho MN 

cùng phương với véc

tơ u1; 0;1 khoảng cách MN nhỏ Tính MN

A MN 2 B 17 34

6

MN   C 17 34

6

MN   D 17 17

6

MN  

2

x y z

d      mặt cầu

  2

:

tơ u1; 0;1 khoảng cách MN lớn Tính MN

A MN 4 B 17 34

6

MN   C 17 34

6

MN   D 17 17

6

MN  

Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho  P : 2x y 2z140 mặt cầu

  2

:

S x y z  x y z  Điểm M P ,N S cho khoảng cách MN

nhỏ Tính MN

A MN 1 B MN 3 C MN 2 D MN 4

Câu 40: Các số thực a b c d e f, , , , , thỏa mãn

2 2

2

2 14

a b c a b c

d e f

       



   



Hỏi giá trị nhỏ

của biểu Pad2b e 2c f 2 bao nhiêu?

A 1 B 4 3 C 28 16 3 D 7 3

Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độOxyz, với m tham số thực thay đổi biết mặt cầu  S có

phương trình   2 2  2

sin cos sin cos

x m  y m  z m m  tiếp xúc với

mặt cầu cốđịnh Tìm bán kính mặt cầu

A R1 B R2 C R3 D R5

Câu 42: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi   ; ; ba góc tạo tia Ot với tia Ox;Oy;Oz mặt cầu   S : xcos2ycos2zcos2 4 Biết  S

luôn tiếp xúc với hai mặt cầu cốđịnh có bán kính R R1; 2 Tính T R1R2

A T 8 B T 4 C T 11 D T 9

(130)

AxBy Hai điểm M N, di động Ax By, cho MN tiếp tuyến  S Tính AM BN

A 19

AN BM  B AN BM 48 C AN BM 19 D AN BM 24

Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2; , B2; 3; 2  Gọi  S mặt cầu đường kính AB Ax tiếp tuyến  S A; By tiếp tuyến  S B

AxBy Hai điểm M N, di động Ax By, cho MN tiếp tuyến  S Hỏi tứ diện AMBN có diện tích tồn phần nhỏ là?

A 19 B 19 2 3 C 19 2  3 D 19 2  6 Câu 45: Trong khôn gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu

  2

: 11

S x y z  Hỏi giá trị lớn biểu thức

2 2 2

AB BC CA DA BD CD là?

A 99 B 176 C 132 D 66

Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A a ;0; , B0; ;b c C, 0; 0;c với

4, 5,

a b c mặt cầu  S có bán kính 10

2 ngoại tiếp tứ diện OABC Khi

tổng OA OB OC  đạt giá trị nhỏ mặt cầu  S tiếp xúc với mặt phẳng

đây?

A 2x2y 2z 6 20 B 2x 2y2z 7 2 0

C 2x2y2z 3 20 D 2x2y2z 3 20 Câu 47: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho với

tiếp xúc với mặt cầu cốđịnh có bán kính biết mặt cầu qua

A B C D

Câu 48: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với

 ;0; , 0; 1;0 , 0; 0; 4

A m B m C m thỏa mãn BC AD CA, BD AB, CD điểm

 ; ; 

I a b c tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Tính bán kính nhỏ mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

A

2 B

14

C D 14.

Oxyz S0; 0;1 , M m ; 0;0 , N0; ; 0n 

,

m n m n 1 SMN

1;1;1

M

(131)

Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A1; 2;1 ,  B2; 4; 6 Điểm M di động AB N điểm thuộc tia OM cho OM ON 4 Biết N thuộc đường trịn cốđịnh Tìm bán kính đường trịn

A 42

31

R B 31

42

R C 42 31

R D 31 42 R

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S :x2 y2z2 8 điểm

1

; ;

2

M 

 

Xét đường thẳng  thay đổi qua M , cắt  S hai điểm phân biệt A B, Hỏi diện tích lớn tam giác OAB là?

A 4 B C 2 D 8

Câu 51: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A m ; 0; 0, B0; ; 0n , C0;0; 2 

 ; ; 2 D m n 

, với m n, số thực thay đổi thỏa mãn 2mn1 Hỏi bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có giá trị nhỏ là?

A 105

10 B

17

4 C

21

5 D

17

Câu 52: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A m ;0; , B0;1; , C0; 0;n với m n,

là số thực thỏa mãn m n 2 Hỏi bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có bán kính nhỏ là?

A B

2 C

3

2 D

2

Câu 53: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A m ;0; , B0; ;0 ,n  C0; 0;1

 ; ;1

D m n với m n, số thực thỏa mãn m n 2 Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

có bán kính nhỏ là?

A B

2 C

3

2 D

5

là só thực thỏa mãn m2n2 Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có bán kính nhỏ

nhất là?

A B

2 C

3

10 D

3 Câu 55: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A10; 2;1 , B3;1; 4và mặt cầu

  S : x12y22z12 9 Điểm M di động mặt cầu  S Hỏi giá trị nhỏ

(132)

A 3 14 B 9 C 3 11 D 6

Câu 56: Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz cho mặt phẳng  P :x   y z tọa độ hai

điểm A1;1;1 , B  3; 3; 3 Mặt cầu  S qua hai điểm A B, tiếp xúc với  P

điểm C Biết C thuộc đường trịn cốđịnh Tính bán kính đường trịn đó?

A R4 B 33

3

R C 11

3

R D R6

Câu 57: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x2y  z Có tất mặt cầu có tâm nằm mặt phẳng  P tiếp xúc với ba trục tọa độ

' , ' , ' x Ox y Oy z Oz?

A 8 mặt cầu B 4 mặt cầu C 3 mặt cầu D 1 mặt cầu

Câu 58: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P : 2mxm21ym21z100

điểm A2;11; 5  Biết mthay đổi tồn hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng

 P qua A Tìm tổng bán kính hai mặt cầu

A 7 B 15 C 5 D 12

Câu 59: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình mặt phẳng  P :x y 2z 1  Q : 2x   y z Gọi  S mặt cầu có tâm thuộc Ox đồng thời cắt mặt phẳng

 P theo giao tuyến đường trịn có bán kính cắt mặt phẳng  Q theo giao tuyến đường trịn có bán kính r Xác định r cho tồn mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho

A 10

2

r B

2

r C r D 14

2 r

Câu 60: Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho mặt cầu  S :x2y2z22x2y2z0

điểm A2; 2; 0 Viết phương trình mặt phẳng OAB, biết điểm B thuộc mặt cầu  S , có hoành độdương tam giác OAB

A xy2z0 B x  y z C xy z D xy2z0 Câu 61: Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz cho A1, 0,1 , B3, 4, ,  C2, 2,3

Đường thẳng d qua A, cắt mặt cầu đường kính AB AC điểm M N, không trùng với A cho đường gấp khúc BMNC có độ dài lớn có vector chỉphương là?

A u 1, 0, 2 B u1, 0,1

(133)

Câu 62: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng

   2  2 2  2 2 

: 1

P n m x mny m n z m n m n   với m n, số

thực tùy ý Biết mặt phẳng  P tiếp xúc với mặt phẳng cốđịnh Tìm bán kính mặt cầu

A 2 B 1 C 4 D

Câu 63: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai mặt phẳng

 P :x y 2z 1 0; Q : 2xy  z

Gọi  S mặt cầu có tâm thuộc trục Ox,

đồng thời  S cắt  P theo giao tuyến đường trịn có bán kính 2;  S cắt  Q theo giao tuyến đường trịn có bán kính r Tìm r cho có mặt cầu  S thỏa mãn điều kiện toán

A 10

r B

2

r C r D

2 r

Câu 64: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho tứ diện ABCD có A B C, , giao điểm

của mặt phẳng  :

1

x y z

P

mm m  với trục tọa độ Ox Oy Oz, , ; 0;1; 4

m  tham số thực thay đổi Điểm O D, nằm khác phía với mặt phẳng  P

, ,

BCAD CABD ABCD. Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính nhỏ là?

A

2 B

14

2 C D 14

  2

:

phương với véc tơ u1; 0;1 khoảng cách MN lớn Tính MN

A MN 3 B MN  1 2 C MN 3 D MN 14

Câu 66: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A a ;0; , B0; ; ,b  C0; 0;c với

4, 5,

tổng OA OB OC  nhỏ mặt cầu  S tiếp xúc với mặt phẳng đây? A 2x2y 2z 6 20 B 2x2y2z 3 2 0

C 2x 2y2z 7 2 0 D 2x2y2z 3 2 0

(134)

A arccos2 10



B arccos 10



C arccos2 10



D arccos 10

9



Câu 68: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A10; 2;1 , B3;1; 4 mặt cầu

nhất biểu thức MA3MB là?

(135)

Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm

Mặt cầu tâm I qua độ dài (biết tâm I có hồnh độ ngun, O gốc tọa độ) Bán kính mặt cầu

A B C D

Phương trình mặt cầu (S) có dạng:

Vì điểm thuộc mặt cầu (S) nên ta có hệ:

Suy

Chọn B

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho A1; 0; , B2; 1; ,  C1;1;   Viết phương

trình mặt cầu có tâm thuộc trục Oy, qua A cắt mặt phẳng ABC theo đường trịn có bán kính nhỏ

A

2

x y  z 

  B

2

x y  z 

 

C

2

x y  z 

  D

2

x y  z 

 

Mặt phẳng ABC có phương trình: x   y z

Gọi  S mặt cầu có tâm IOy cắt ABC theo đường trịn bán kính r nhỏ Vì IOy nên I0; ; ,t  gọi H hình chiếu I lên ABC có bán kính

đường trịn giao ABC  S 2

r AH  IA IH

Ta có   

2

2 2 2 2

1, ,

3

t t t t t

IA t  IH d I ABC   r t       

Do đó, r nhỏ

t Khi

0; ;0 ,

2

I  IA 

 

Oxyz A0; 2;0 , B 1;1;4 C3; 2;1 

 S A B C, , OI 

 S

R R3 R4 R

2 2

x y z  ax by czd  O A B C, , ,

( ) 4

( ) 2 18

( ) 14

A S b d

B S a b c d

C S a b c d

   

 

 

       

 

       

 

2 2

5 5

OI  OI  a b c 

1; 0; 2;

(136)

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

2

x y  z 

 

Chọn A

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz viết phương trình mặt cầu có tâm I1; 2;3 tiếp

xúc với đường thẳng

1 2

x y z

 



A  12  22 ( 3)2 233

x  y  z  B  12  22 ( 3)2 243

x  y  z 

C  12  22 ( 3)2 2223

x  y  z  D  12  22 ( 3)2 333

x  y  z  Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng d qua M0; 2;0  có vec tơ chỉphương u 1; 2;   Tính

1; 4;3  MI 



+ Khẳng định tính  

, 233

,

3

MI u d I d

u    

 

  

+ Khẳng định mặt cầu cần tìm có bán kính d I d ,  viết phương trình:

 2  2 233

1 ( 3)

9

x  y  z  Chọn A

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho mặt cầu có phương trình

2 2

4 12

x y z  x y z  đường thẳng d x:  5 ;t y4;z 7 t Viết

phương trình đường thẳng  tiếp xúc mặt cầu  S điểm M 5; 0;1 biết đường thẳng 

tạo với đường thẳng d góc  thỏa mãn cos  

A

5 13

: :

1 11

x t x t

y t y t

z t z t

   

 

 

       

     

 

B

5 13

: :

1 11

x t x t

y t y t

z t z t

   

 

 

       

     

 

C

5 13

: :

1 11

x t x t

y t y t

z t z t

   

 

 

      

     

 

D

5 13

: :

1 21

x t x t

y t y t

z t z t

   

 

 

       

     

 

  S : x22y22z32 26 S có tâm I2; 1; 3   bán kính R 26

3;1; , 2; 0;1 IM  u 

 

(137)

Giả sử u2 a b c; ;  VTCP đường thẳng  2 

0 a b c

   

Do tiếp xúc mặt cầu  S M IM u2 3a b 4c0b 3a4c 1

Mà góc đường thẳng  đường thẳng d 

 2 2 2 2  

1

1 2 1

cos , os

7

u u a c

u u c

u u a b c

 

     

   

 

Thay  1 vào  2 ta được:

 2    

2 2 2 2

7 2ac  a  3a4c c 7 4a 4acc 5 a 9a 24ac16c c

2

3

22 92 78 13

11

a c

a ac c

a c

   

    

   

Với a 3c 2

a b c  nên chọn c  1 a3;b 5

 phương trình đường thẳng là:

5

:

1

x t

y t

z t

       

   

Với 13

11

a  c a2b2c2 0 nên chọn c 11a13;b5

 phương trình đường thẳng là:

5 13

:

1 11

x t

y t

z t

      

    Chọn A

1 2

x y z

d    

 Tìm tọa độ

điểm M thuộc đường thẳng d cho mặt cầu  S tâm M tiếp xúc với trục Oz có bán kính

A 2; 0; 2 6; 2;

5 5

M  M  

  B  

6

2; 0; ; ;

5 5 M M 

 

C 2; 0; 2 7; 4;

5 5

M  M  

  D  

6

4; 0; ; ;

5 5

M  M  

 

Vì MdM1  t; 2 ; t  t Trục Oz qua điểm O 0; 0; 0  có vtcp k 0;0;1 ;

   

2

1 ; 2 ; ; 2 ; ;

;

OM t t t OM k t t

OM k t t

 

          

 

     

  

(138)

Gọi R bán kính mặt cầu  S , ta có: Rd M Oz ;  5t26t5

 

2

2; 2;

2 5 1 6 8 2

; ;

5 5

M t

R t t t t

t M

 

 

 

            

    



   

Chọn A

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho hai đường thẳng  1, 2 có phương trình:

1

2 1

: ; :

1 1

x y z x y z

     

 Viết phương trình mặt cầu có bán kính

nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng  1, 2?

A  2

2

x  y z  B  2

2

x  y z 

C x2y22z2 6 D x2 y22z2 6 Hướng dẫn giải:

Mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng  1, 2 mặt cầu nhận đoạn vng góc chung  1, 2 làm đường kính Giả sử mặt cầu cần lập  S A B, lần

lượt tiếp điểm  S với  1, 2 Viết phương trình  1, 2 dang tham số ta có:

2 ;1 ;1 ,  ;3 ;  A m  m  m B  n n  n

Do AB đoạn vng góc chung  1, 2 nên:

   

1

2

3 21 0

0 2;1;1 , 2;3;

3

AB U n m

m n A B

n m AB U



    



      

 

 

 

 

   

Trung điểm I AB có tọa độ I0; 2; 0nên phương trình mặt cầu cần lập là:

 2

2

x  y z  Chọn A

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho mặt cầu   2

:

S x y z  x y z 

Viết phương trình mặt phẳng  P chứa trục Ox cắt mặt cầu  S theo đường trịn có bán kính

A  P :y2z0 B  P :x2z0 C  P :y2z0 D  P :x2z0 Hướng dẫn giải:

 S có tâm I1; 2; 1   bán kính R3

 P chứa trục Ox cắt mặt cầu  S theo đường trịn có bán kính nên  P

chứa Ox qua tâm I mặt cầu

(139)

Vậy  P :y2z0 Chọn A

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1

2 1

x y z

d    

 cắt mặt

phẳng  P :x2y  z điểm M Viết phương trình mặt cầu  S có tâm I thuộc

đường thẳng d tiếp xúc với mặt phẳng  P điểm A, biết diện tích tam giác IAM

bằng 3 tâm I có hồnh độ âm

A   S : x12y2z12 6 B   S : x12y2z1236

C    2  2

: 1

S x y  z  D    2  2

: 1

S x y  z  Hướng dẫn giải:

Một vec tơ chỉphương đường thẳng d u2;1;   Một vec tơ pháp tuyến đường thẳng mặt phẳng  P n1; 2;1  Gọi  góc đường thẳng d mặt phẳng

 P

Ta có sin cos , 2 1  300

2 6

u n IMA

          

Gọi R bán kính mặt cầu  S IAR Tam giác IAM vng A có

0

30 3 3

2

IMA

IMA AM R S IA AM R



       

Giả sử: 1 ;1 ; ,

I  t  t t t

Từ giả thuyết ta có khoảng cách:  ,  3

6

t

d I P R      t t (loại)

 1;0;1 I

 

Phương trình mặt cầu   S : x12 y2z12 6 Chọn A

Câu 9: Trong khơng gian tọa độ Ox ,yz viết phương trình mặt cầu qua ba điểm

1; 1; , 2;1; 1

A  B 

 1; 2; 3

C   biết tâm mặt cầu nằm mặt phẳng Oxz

A  

2

12 1326

:

11 11 121

S x  y z  

    B  

2

12 1327

:

11 11 121

S x  y z  

   

C  

2

12 1328

:

11 11 121

S x  y z  

    D  

2

12 1329

:

11 11 121

S x  y z  

   

(140)

Oxz

I nên I x ; 0;z,IAIBIC nên:        

       

2 2

1 2 1

1

x z x z

          



         



Giải hệta 12; 12; 0;

11 11 11 11

x  z  I  

 

Bán kính 1326

121

R

Phương trình mặt cầu  

2

12 1326

:

11 11 121

S x  y z  

   

Chọn A

Câu 10: Trong không gian Oxyz cho điểm A13; 1; ,  B2;1; ,  C1; 2; 2 mặt cầu

  2

: 67

S x y z  x y z  Viết phương trình mặt phẳng  P qua qua A, song song với BC tiếp xúc với mặt cầu    S S có tâm I1; 2;3 có bán kính R 9

A  P : 2 x2y z 280  P : 8x4y z 1000

B  P : 2 x2y z 280  P : 8x4y z 1000

C  P : 2 x2y z 280  P : 8x4y z 1000

D  P : 2 x2y2z280  P : 8x4y z 10000 Hướng dẫn giải:

Giả sử  P có vtpt nA B C; ; ,A2B2C2 0 ,  P / /BC nên:

   

, 1;1; 4 ; ;

n BC BC  n BC   AB Cn  B C B C

 P qua A13; 1;0  phương trình:   P : B4C x ByCz12B52C0  P tiếp xúc với    

 2 2

4 12 52

,

4

B C B C B C

S d I P R

B C B C

    

    

  

  

2 2

2

4

B C

B BC C B C B C

B C

  

         

  

Với B2C0 chọn ,

B C

  

  

ta phương trình:  P : 2 x2y z 280

Với B4C0 chọn 4,

B C

  

 

(141)

Câu 11: Trong không gian Ox ,yz cho mặt cầu  

2 2

: 2 0,

S x y z  x y z 

mặt phẳng

 P :xy  z

và hai điểm A1;1; , B2; 2;1  Viết phương trình mặt phẳng   song song với AB, vng góc với mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S theo đường trịn

 C

có bán kính

A   :xy2z 1 mp   :x y 2z110

B   :x5y2z 1 mp   :x y 2z110

C   :xy2z 1 mp   :x5y2z110

D   :x5y2z 1 mp   :x5y2z110 Hướng dẫn giải:

Pt  S viết dạng   S : x22y12z12 9

Suy  S có tâm I2; 1; 1  , bán kính R 3

Ta có AB3;1;1 VTPT mặt phẳng  P n1; 1;1  Do AB n  2; 2; 4 0

 

  

Gọi vec tơ VTPT mặt phẳng   Ta có:

     

/ /AB u AB

u

P u n

 



 

 

 

 

 

 

 

  

  phương với AB n 

   

Chọn 1; 1; 2

2

u  AB nu  

Mặt phẳng   có VTPT u nên phương trình có dạng x y 2zD0

Gọi d khoảng cách từ I đến mặt phẳng   cắt  S theo đường tròn  C có bán kính r Nên d  R2r2  3 

Ta có:  1 2 1 6

11

D D

d D

D

      

       

  

Với D1   :xy2z 1 khơng qua A1;1; 0 (vì   1 2.0 0  ) Nên   / /AB Tương tự, mặt phẳng song song với AB

Vậy có hai mặt phẳng   thỏa mãn yêu cầu toán có phương trình:

  :xy2z 1 mp   :x y 2z110

(142)

Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A2; 0; , B0; 2;  Điểm C thuộc trục Ox cho tam giác ABC tam giác đều, viết phương trình mặt cầu  S có tâmO tiếp xúc với ba cạnh tam giác ABC

A  S :x2y2z2 2 B  S :x2y2 z2  2

C  S :x2y2z2  D  S :x2y2z2   Hướng dẫn giải:

Vì COzC 0;0; c tam giác ABC khi:

2 2 2

2 2

ABAC BCAB  AC BC       c c

Vậy C0; 0; 2 C0;0; 2 

Lập luận tứ diện OABC OAOBOC2 tam giác ABC Gọi I trung điểm AB IOAB

2 2

1

2 2

2

I OI  AB OA OB   

(Tam giác OAB vuông O )

Lập luận mặt cầu  S có tâm O tiếp xúc với cạnh tam giác ABC có bán kính

 , 

Rd O AB IO

Do phương trình có mặt cầu  S :x2 y2z2 2 Chọn A

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho đường thẳng : 1

1

x y z

d     

  mặt cầu

  S : x12y22z12 25 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm

 1; 1; ,

M    cắt đường thẳng d mặt cầu  S hai điểm A B, cho AB8

A

1

:

2

x t

y t

z t

   



         

B

1

:

2

x t

y t

z t

   



         

C

1

:

2

x t

y t

z t

   

    

   

D

2

:

2

x t

y t

z t

   



         

Gọi: M1 d  M12t;1 ;1 t tMM13t; 2 ;3 t t

(143)

Mặt phẳng           1; 2;1 1; 2;1 : : P qua I qua I P P

P VTPT n MM

                 

  P : tx 1 2 2ty 2 3 tz 1

         

Gọi H trung điểm AB IH  AB IH, 3

Do   

2

1

3 15

3 , 3

6 22

5

t t

IM MH d M P

t t t                

Với

1

1 :

2

x t

t y t

z t                  

Với

1

:

5

2

x t

t y t

z t                  Chọn A

Câu 14: Trong không gian Ox ,yz viết phương trình mặt cầu  S tiếp xúc với mặt phẳng

 Q : 2xy2z 1 M1; 1; 1   tiếp xúc mặt phẳng  P :x2y2z 8

A      

       

2 2

:

c x y z

     



      



B      

       

2 2

:

c x y z

     



      



C      

       

2 2

:

c x y z

     



      



D      

       

2 2

: 81

c x y z

     



      

 Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng  Q có vec tơ pháp tuyến n 2;1;  Đường thẳng d qua M vng góc với  Q

có phương trình

1 x t y t z t             

Lấy I1 ; 1 t    t; 2td  

 

       

         

2 2

1 2 2

, 4

1 4

1 3; 0;1 , :

1 1; 2; , :

t t t

MI d I P t t t t

t I R S x y z

                                       Chọn A

(144)

, mặt cầu

Viết phương trình mặt phẳng song song với hai đường thẳng cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn (C) có chu vi

A B C D Chọn B

+ qua có vectơ chỉphương

qua có vectơ chỉphương

+ Mặt phẳng () song song với nên có vectơ pháp tuyến:

Phương trình mặt phẳng () có dạng:

+ Mặt cầu (S) có tâm bán kính

Gọi r bán kính đường trịn (C), ta có:

Khi đó:

+ Phương trình mặt phẳng

Vì nên M1 M2 khơng thuộc loại (1)

Vậy phương trình mặt phẳng () cần tìm là:

Chọn B

Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho điểm mặt phẳng Mặt cầu S có tâm I nằm mặt phẳng , qua điểm A gốc tọa độ O cho chu vi tam giác

OIA Phương trình mặt cầu S là:

A

B

C

1

2 1

:

1

x y z

  

 2:

1 x t

y t

z t

  

   

   

2 2

( ) :S x y z 2x2y6z 5

( )  1,

2 365



5 0; 10

x y z  x y z 

5 10

x y z 

5 3 511 0; 3 511

x y z   x y z  

5

x y z 

1

 M1(2; 1;1) u1(1; 2; 3)



2

 M2(0; 2;1) u2 (1; 1; 2)



1,

  u u1, 2  (1; 5; 3) 

 

 x5y3zD0

I(1; 1;3) R4

2 365 365

2

5

r  r

   

  2 35

, ( )

5

d I   R r  35

10

35

D D

D  

 

   

 

( ) : x5y3z 4 (1) hay x5y3z100 (2) 1/ /( ), 2/ /( )

  ( ) 

5 10

x y z 

1, 0, 1

A   P :x   y z

 P

6

(145)

D

Gọi tâm S

Khi nên ta suy hệ

Giải hệ ta tìm

Chọn D

Câu 17: Cho điểm I1; 7;5và đường thẳng :

2

x y z

d    

 Phương trình mặt cầu có tâm I

cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác diện tích tam giác IAB 6015 là:

A x12y72z52 2018 B x12y72z52 2017

C x12y72z52 2016 D x12y72z52 2019

Gọi H hình chiếu I1; 7;5 dH0;0; 4 IH d I d ; 2

2

8020

AIB AIB

S IH AB

S AB

IH 

    

2

2017

AB R IH  

    

 

Vậy phương trình mặt cầu là: x12y72z52 2017

Chọn B

Câu 18: Cho điểm I(0; 0;3)và đường thẳng

1

:

2

x t

d y t

z t

   

      

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt

đường thẳng d hai điểm A B, cho tam giác IAB vuông là:

A 2  2

3

2

x y  z  B 2  2

3

3 x y  z 

C 2  32

x y  z  D 2  32 x  y  z  Hướng dẫn giải:

x22y22z12 9 x12y22z22 9

 , ,  I x y z

 , ,

I P IOIA IOIAAO 

 2  2 2

2 2 2

1 1 0

2

3

x y z x y z x z

x y z x y z

       

    



 

        

 

         

 



2, 2,1

(146)

 Gọi H 1 t; ; 2t td hình chiếu vng góc I lên đường thẳng d

 ; ; 

IH t t t

    

 Ta có vectơ chỉphương d: ad 1; 2;1 IH d

1 2

; ;

3 3

d

IH a t t t t t H 

                 

 

 

2 2

3 3

IH      

              

 Vì tam giác IAB vuông I IAIBR Suy tam giác IAB vng cân I,

bán kính:

0 2

cos 45 2

2 3

RIA AB  IH  IH  

 Vậyphương trình mặt cầu  : 2  32 S x y  z 

Chọn B

Câu 19: Cho điểm A2;5;1 mặt phẳng ( ) : 6P x3y2z240, H hình chiếu vng góc

A mặt phẳng  P Phương trình mặt cầu ( )S có diện tích 784 tiếp xúc với mặt phẳng  P H, cho điểm A nằm mặt cầu là:

A x82y82z12 196 B x82y82z12 196

C x162y42z72 196 D x162y42z72 196

 Gọi d đường thẳng qua A vuông góc với  P Suy

2

:

1

x t

d y t

z t

   

        Vì H là hình chiếu vng góc A  P nên H d( )P Vì Hd nên H2 ;5 ;1 2 t  t  t

 Mặt khác, H( )P nên ta có: 6  t3 3  t2 2  t240  t Do đó, H4; 2;3

 Gọi I R, tâm bán kính mặt cầu

Theo giả thiết diện tích mặt cầu 784, suy 4R2 784 R14 Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  P H nên IH ( )P  I d

(147)

 Theo giả thiết, tọa độđiểm I thỏa mãn:

     

2 2

6 2 24 1

14 ( ,( )) 14

6 ( 2)

14

2

6 14

t t t t

d I P

t t

AI

t

t t t

                                          Do đó: I8;8; 1 

 Vậy phương trình mặt cầu ( ) :S x82y82z12 196

Chọn A

Câu 20: Cho mặt phẳng  P :x2y2z100 hai đường thẳng 1:

1 1

x y z

  

 ,

2

:

1

x y z

   Mặt cầu  S có tâm thuộc 1, tiếp xúc với 2 mặt phẳng  P ,

có phương trình:

A (x1)2(y1)2(z2)2 9

2 2

11 81

2 2

x y z

     

     

     

     

B (x1)2(y1)2(z2)2 9

2 2

11 81

2 2

x y z

     

     

     

     

C 2

(x1) (y1) (z2) 9

D 2

(x1) (y1) (z2) 3

 : x t y t z t           

; 2 qua điểm A(2;0; 3) có vectơ chỉphương a2 (1;1; 4)

 Giả sử I(2t t; ;1t) 1 tâm R bán kính mặt cầu  S

 Ta có: AI ( ; ; 4t t t)   AI a, 2  (5t4; ; 0) t   2

2

, 5 4

;

3 AI a t d I a           

2 2(1 ) 10 10

( , ( ))

3 4

t t t t

d I P        

 

  S tiếp xúc với 2  P  d I( ,2)d I P( ,( ))  5t4  t 10  t t       

 Với

2

t  11 7; ;

2 2

I    ,

9

R  

2 2

11 81

:

2 2

S x  y  z  

     

 Với t 1  I(1; 1; 2), R3    2

: ( 1) ( 1) ( 2)

(148)

Chọn A

Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng 1

1

: 1, ;

x d y t

z t   

 

   



2

: , ;

1 x

d y u u

z u

  

 

    

 : 1

1 1

x y z

   Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với d d1, 2 có tâm thuộc đường thẳng ?

A x12y2z12 1 B

2 2

1 1

2 2

x y z

     

     

     

     

C

2 2

3

2 2

x y z

     

     

     

     

D

2 2

5

4 4 16

x y z

     

     

     

     

Đường thẳng d1 qua điểm M11;1; 0 có véc tơ chỉphương  

1 0; 0;1

d

u

Đường thẳng d2 qua điểm M22;0;1 có véc tơ chỉphương ud2 0;1;1 

Gọi I tâm mặt cầu Vì I  nên ta tham số hóa I1t t; ;1t, từđó

   

1 ;1 ; , ; ;

IM  t   t t IM    t t t

 

Theo giả thiết ta có d I d ; 1d I d ; 2, tương đương với

   

1

2 2

1; 2;

0

1

d d

IM u IM u t t t

t

u u

      

   

    

   

 

Suy I1; 0;1 bán kính mặt cầu Rd I d ; 11 Phương trình mặt cầu cần tìm

 2  2

1 1

x y  z 

Câu 22: Cho mặt cầu  S :x2 y2 z22x4z 1 đường thẳng

2

:

  

  

   

x t

d y t z m t

Tìm m để d

cắt  S hai điểm phân biệt A B, cho mặt phẳng tiếp diện  S A B

vng góc với

A m 1 m 4 B m0 m 4

C m 1 m0 D Cả A B C, , sai

(149)

Để thỏa mãn yêu cầu đề trước tiên d phải cắt mặt cầu, tức phương trình

 2  2    

2t t  mt 2 2t 4 mt  1 có hai nghiệm phân biệt

 

2

3

 t  m tm  m 

Phương trình có hai nghiệm phân biệt  ' 0m12 3m212m 3

2

5

m  m 

Với phương trình có hai nghiệm phân biệt, áp dụng định lí Viet ta có

 

2

1 2

4

;

3

  

 m m   

t t t t m

Khi IA1t t m1; ;1  2 t1,IB1t t m2; ;2 2t2 Vậy IA IB  1t11t2t t1 2 m2t1m2t20

    2

1 2

3

 t t  m t t  m  

 2  2

2

4 1

3

 m  m  m  m  

4

      

 m

m (TM)

Chọn A

Câu 23: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu   2

:   4 6  0

S x y z x y m đường thẳng

 : 1

2

 

 

x y z

d Tìm m để (d) cắt (S) hai điểm M, N cho độ dài MN

A m 24 B m8 C m16 D m 12

(S) có tâm I2;3;0 bán kính R  2 23202m  13m m 13 Gọi H trung điểm M, N MH 4

Đường thẳng (d) qua A0;1; 1  có vectơ chỉphương

2;1; 2  ;  ,

   

   

  

 u AI

u d I d

u

Suy R MH2d2I d;  42 32 5

Ta có 13m 5 13m25m 12

Chọn D

Câu 24: Cho đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng

và mặt cầu S có phương trình

Tìm m đểđường thẳng d cắt mặt cầu (S) hai điểm phân biệt A, B cho AB =

A 9 B 12 C 5 D 2

(150)

I N

M A

S

B

C

Ta có VTPT (α) (β)

Suy VTCP đường thẳng d

Ta có A(6;4;5) điểm chung hai mặt phẳng (α) (β) nên Ad Mặt cầu (S) có tâm I(-2;3;0), bán kính với m < 13

Gọi H trung điểm AB 

Trong tam giác vng IHA ta có:

Vậy m = 12 giá trị cần tìm

Chọn B

Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1; 0; 2), (3;1; 4), (3; 2;1)B C  Tìm tọa độ điểm S, biết SA vng góc với (ABC), mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có bán kính

3 11

2 Scó cao độ âm

A S( 4; 6; 4)  B S(3; 4; 0) C S(2; 2;1) D S(4;6; 4)

Ta có AB(2;1; 2);AC(2; 2; 1)  , suy ABAC

Tam giác ABC vng nên I S sử dụng tính chất phép dụng tâm để tính

Tính IM

( ) ,

MI  ABC MIk AB AC k

AS  MI  

, tìm S

, (3; 6; 6)

AB AC

   

 

 

Gọi 3; 5; 2

M   

  trung điểm BC Ta có:

2

2 2 11 81

2

IM IB BM     IM 

 

( ) , (3; 6; 6)

MI  ABC MI k AB AC k  MI  k

 

  

Suy 9

2 k k  2

1

k  AS 2MI 3; 6; 6 S4; 6; 4  Chọn D

1

n (2; 2; 1), n  (1; 2; 2)

 

1

u n ; n (2;1; 2), 3 

   

  

R  13 m

IA(8;1;5)IA, u   ( 3; 6;6)d(I, d)3

  

AB

AH vµ IH

2

  

2 2

IA IH AH R  9 16

13 m 25 m 12

(151)

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A0;0; 4, điểm M nằm mặt phẳng

Oxy M O Gọi D hình chiếu vng góc O lên AM E trung điểm

OM Biết đường thẳng DE tiếp xúc với mặt cầu cố định Tính bán kính mặt cầu

đó

A R2 B R1 C R4 D R

Ta có tam giác OAM ln vng O

Gọi I trung điểm OA (Điểm I cốđịnh) Ta có tam giác ADO vng D có ID

đường trung tuyến nên 1 

2

ID OA

Ta có IE đường trung bình tam giác OAM

nên IE song song với AM mà OD AM ODIE

Mặt khác tam giác EOD cân E Từđó suy IE đường trung trực OD

Nên

  ;    90  2

DOEODE IODIDOIDEIOE  IDDE

Vậy DE tiếp xúc với mặt cầu tâm I bán kính 2

OA

R 

Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét điểm A0; 0;1, B m ; 0; 0, C0; ;0n ,

1;1;1 D

với m0;n0 mn1 Biết m, n thay đổi, tồn mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng ABC qua d Tính bán kính R mặt cầu đó?

A R1 B

2

R C

2

R D

2

R

Gọi I(1;1;0) hình chiếu vng góc D lên mặt phẳng (Oxy)

Ta có: Phương trình theo đoạn chắn mặt phẳng (ABC) là: x  y z 1 m n

Suy phương trình tổng quát (ABC) nxmymnzmn0 Mặt khác

2 2

1

( ,( ))  1

  mn d I ABC

m n m n

(vì m n 1) ID 1 d I ABC( ,( )) Nên tồn mặt cầu tâm I (là hình chiếu vng góc D lên mặt phẳng Oxy) tiếp xúc với (ABC) qua D

Chọn A

A

M D

E I

(152)

Câu 28: Trong không gian tọa độOxyz cho điểm mặt cầu (S) có phương trình: Tìm tọa độ điểm D mặt cầu (S) cho tứ diện

ABCD tích lớn

A B C D

Ta có (S) suy (S) có tâm I(1;0;-1), bán kính

Và

Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến

Suy mp(ABC) có phương trình:

Ta có nên lớn lớn

Gọi đường kính mặt cầu (S) vng góc với mp(ABC) Ta thấy với D điểm

bất kỳ thuộc (S)

Dấu “=” xảy D trùng với D1 D2

Đường thẳng qua I(1;0;-1), có VTCP

Do (D1D2) có phương trình:

Tọa độ điểm D1 D2 thỏa mãn hệ:

Ta thấy: Vậy điểm điểm cần tìm

Chọn D

1

x y z

d    

  mặt cầu

 S tâm I có phương trình   S : x12y22z12 18 Đường thẳng d cắt  S

tại hai điểm A B, Tính diện tích tam giác IAB

A 8 11

3 B

16 11

3 C

11

6 D

8 11 (0;1;1), (1;0; 3), ( 1; 2; 3)

A B  C   

2 2

x y z  x z 

7

; ;

3 3

D   

 

1

; ;

3 3

D  

 

7 ; ; 3 D 

 

7

; ;

3 3

D  

 

2 2

: (x1) y (z1) 4 R2

(1; 1; 4); ( 1; 3; 4) AB   AC   

 

, ( 8;8; 4)

nAB AC  

 

  

8x 8(y 1) 4(z 1) 2x 2y z

          

1

( ; ( ))

3

ABCD ABC

V  d D ABC S VABCD d D ABC( ;( ))

1 D D

 

( ;( )) max ( ; ( )); ( ; ( ))

d D ABC  d D ABC d D ABC

1

D D nABC (2; 2;1)



1 2    

  

    

x t

y t

z t

2 2

1 2

2 3

1

3

( 1) ( 1)

x t

t

y t

z t

t

x y z

 

 



   



  

    

 

        

1

7 1

; ; & ; ;

3 3 3

   

   

    

   

D D

1

( ; ( )) ( ; ( ))

d D ABC d D ABC 7; 4;

3 3

D   

(153)

Đường thẳng d qua điểm C1; 0; 3  có vectơ chỉphương u  1; 2; 1 

Mặt cầu  S có tâm I1; 2; 1 , bán kính R3

Gọi H hình chiếu vng góc I lên đường thẳng

d

Khi đó:

,

IC u IH

u     

 

 , với IC0; 2; 2  ; 2xy3z 4

Vậy

2 2

6 2 66

3

IH      

Suy 18 22

3

HB  

Vậy, 1 66 8 11

2 3

IAB

S  IH AB    

Câu 30: Trong không gian Oxyz, cho điểm 1; 3;0

2

 

 

 

M mặt cầu  S :x2 y2z2 8 Đường thẳng d thay đổi, qua điểm M, cắt mặt cầu  S hai điểm phân biệt Tính diện tích lớn S tam giác OAB

A S  B S 4 C S 2 D S 2

Mặt cầu  S có tâm O0;0;0 bán kính R2 Vì OM  1 R nên M thuộc miền

mặt cầu  S Gọi A, B giao điểm đường thẳng với mặt cầu Gọi H chân đường cao hạ

từ O tam giác OAB

Đặt xOH , ta có 0xOM 1, đồng thời

2 2

8

 OH  

HA R x Vậy diện tích tam

giác OAB

2

1

2   

 OAB

S OH AB OH HA x x

Khảo sát hàm số f x( )x 8x2 0;1, ta

được

0;1    

max f x  f 

A

(154)

Vậy giá trị lớn SOAB  7, đạt x1 hay H M , nói cách khác

 d OM

Chọn A

Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2;11; 5  mặt phẳng

     

: 1 10

P mx m  y m  z  Biết m thay đổi, tồn hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng  P qua A Tìm tổng bán kính hai mặt cầu

A 2 B 5 C 7 D 12 2

Gọi I a b c r ; ; , tâm bán kính mặt cầu Do mặt cầu tiếp xúc với  P nên ta có

 

     

 

2 2

2

2 1 10 10

,

1 2

ma m b m c b c m ma b c

r d I P

m m

         

  

 

   

2

2 10

2 2 10

b c m ma b c r m

b c r m ma b c r

b c r m ma b c r

      

        

 



       



TH1: b c r  2m22ma b c r   10 0  1

Do m thay đổi có mặt cầu cốđịnh tiếp xúc với  P nên yêu cầu toán trờ thành tìm

điều kiện a b c, , cho  1 khơng phụ thuộc vào m Do  1 với

2

0

2 10

b c r a b c r     

  

    

2

0

b r a c

    

     

Suy        

2 2

2

0;5 2; : 5

I r   S x  y r  z r

Lại có A S nên suy ra:  

2

2 2

4 11 12 40

10

r

r r r r

r  

          

  TH2: b c r 2m22ma b c  r 10 0làm tương tựTH1 (trường hợp không thỏa đề )

Tóm lại: Khi m thay đổi, tồn hai mặt cầu cốđịnh tiếp xúc với mặt phẳng  P

(155)

Câu 32: Cho hình chóp SABC có đáy tam giác cạnh 6cmvà SASBSC4 3cm

.Gọi D điểm đối xứng B qua C Khi bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABD bằng?

A 5cm B 3 2cm C 26cm D 37cm

Cách 1: Dựng CG vng góc với ABC, Qua E dựng mặt phẳng vng góc với SB, mặt phẳng cắt CG F Suy F tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD Đặt SF R

Xét hình chữ nhật:

 

2

1

FGSH FCSH FGSH  R CH

Lại có: FC R2CB2 2 Từ (1) (2) suy SH  R2CH2  R2CB2

 

2 2

6 R 12 R 36 5 R 120R 37 cm

Suy chọn D

Cách 2:

Chọn hệ trục tọa độnhư hình vẽ Ta có:

0; 0; ,  3; 3;0 ,  3;3; ,  3; 0;6

C A   B  S 

   2

0;0; 36 12

FCGF t FAFS  t   t

 

1 37

t SC cm

    suy chọn D

2

x y z

d   

 mặt cầu   S : x12y22z12 2 Hai mặt phẳng  P và Q chứa d tiếp xúc với  S

Gọi M N, tiếp điểm Tính độdài đoạn thẳng MN

A 2 B

3 C D 4

Mặt cầu  S có tâm I1; 2;1 , R

Đường thẳng d nhận u 2; 1; 4  làm vectơ chỉphương

Gọi H hình chiếu I lên đường thẳng d Hd H2t2;t; 4t

(156)

   

1; 2; 2; 1;

IH u  t  t t    

   

2 2t t 4t t

        

Suy tọa độ điểm H2; 0; 0 Vậy IH  1  

Suy ra: HM  2 2

Gọi K hình chiếu vng góc M lên

đường thẳng HI

Suy ra: 2 2 12 1

4

MK MH MI   

Suy ra:

3

MK  MN 

Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A a ;0; ,  B0; ; , b  C0; 0;c,

a , b0, c0 7.

abc  Biết mặt phẳng ABC tiếp xúc với mặt cầu

   2  2  2 72

:

7

S x  y  z  Thể tích khối tứ diện OABC

A 2

9 B

1

6 C

3

8 D

5

Cách 1: Ta có ABC:x y z

abc

Mặt cầu  S có tâm I1; 2;3 bán kính 72

R

Mặt phẳng ABC tiếp xúc với     

2 2

1

72

;

7

1 1

a b c

S d I ABC R

a b c

  

   

 

Mà 12 12 12

2

abc  a b c 

Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có

 

2

2 2

2 2 2

1 1 1

1

2

a b c a b c a b c

   

             

(157)

Dấu ""xảy

1

1 1

2 2, 1, ,

3

1

7

a b c

a b c a b c                

khi

6

OABC

V  abc

Cách 2: Ta có ABC:x y z 1,

abc  mặt cầu  S có tâm

72 (1; 2;3),

7

I R

Ta có ABC tiếp xúc với mặt cầu  S  

2 2

1

72 , ( )

7

1 1

a b c

d I P R

a b c

  

   

 

2 2 2

2 2

7 72 1 1

7

7 2

1 1 a b c a b c

a b c



          

 

2 2

1 1

2

a b c a b c

      

2 2

1 1

1

2

a b c

                      2 a b c           OABC V abc   

Cách 3: Giống Cách 2khi đến 12 12 12

a b c  Đến ta tìm a, b, c bất đẳng thức sau:

Ta có

 

2

2 2

2 2 2

1 1 1 1 1

7 3

2

a b c a b c a b c a b c

     

                 

     

Mà 12 12 12

2

a b c   Dấu “=” BĐT xảy

1 1

1

a  b  c , kết hợp với giả thiết

1

7

abc  ta a2, b1,

2

c Vậy:

6

OABC

V  abc

(158)

Cách 4: Mặt cầu  S có tâm I1; 2;3 bán kính 72

R Phương trình mặt phẳng (ABC) :x y z

abc 

Ta có:

1

1 7 7 7

7

abc   a  b  c  nên  

1 ; ; 7

M  ABC

 

Thay tọa độ 3; ;

7 7

M 

  vào phương trình mặt cầu ( )S ta thấy nên M( )S

Suy ra: (ABC) tiếp xúc với ( )S M tiếp điểm

Do đó: (ABC) qua 3; ; 7

M 

 , có VTPT  

6 12 18

; ; 1; 2;3

7 7

MI  n

 

 

(ABC) có phương trình: 2

2

3

x y z

x y z      a , b1,

c

Vậy

6

V  abc

Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét điểm A0; 0;1, B m ; 0; 0,C0; ; 0n 

1;1;1

D , với m0,n0 mn1 Biết m n, thay đổi, tồn mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng ABC qua D Tính bán kính R mặt cầu

A R1 B

2

R C

2

R D

2 R

Chọn A

Tư giảm ẩn, rút n 1 m ta được:

 :

1

x y z

ABC

m m      

2

1 m x my m m z m m

       

Gọi tâm mặt cầu I x y z 0; 0; 0 ta có điều kiện theo tốn: Rd I ,ABC Vì

   

2

0 0

2

2 2

1

m x my m m z m m

R

m m m m

     



   

   2

0 0

2

1

m x my m m z m m

m m

     



 

Ta cần chọn x y z0; 0; 0 cho      

2 2

0 0

1m x my  mm z mm k m m1 ,m

   

0 0 0

1 z m x y z m x km km k, m

           

0

0 0

0

1

1 z k

x y z k

x k

 

 

        



0

x k y k

z k

    

   

(159)

 12  12 1 12

R k ID k  k   k  k1 R1

  2

:

phương với véc tơ u1; 0;1 khoảng cách MN nhỏ Tính MN

A

2

MN  B MN 1 C MN 3 D MN 

Gọi H hình chiếu vng góc N lên  P , ta có:

  

cos cos , P

NH NH

MN

MNH u n

      

 

; 2 1

2

cos ,

2 P

d I P r u n

 

    

2

x y z

d      mặt cầu

  2

:

tơ u1; 0;1 khoảng cách MN nhỏ Tính MN

A MN 2 B 17 34

6

MN   C 17 34

6

MN   D 17 17

6

MN  

Xét điểm M 2 ; ; 2t  t   td MNku k; 0;k

2 2;3 2; 3

N t k t t k

      mà N S nên ta có

2t k 223t222t k 324 2 t k 32 3 017t28tk2k26k 8

 

2

0 16 17

t k k k



       17 17 17 17

6 k

 

  

Do 17 17 17 34

6

MN  k    

2

x y z

d      mặt cầu

  2

:

S x y z  z  Giả sử Md N S cho MN phương với véc

(160)

A MN 4 B 17 34

6

MN  C 17 34

6

MN  D 17 17

6

MN  

Xét điểm M 2 ; ; 2t  t   td MNkuk; 0;k

2 2;3 2; 3

N t k t t k

      mà N S nên ta có

2t k 223t222t k 324 2 t k 32 3 2

17t 8tk 2k 6k

     

 

2

0 16 17

t k k k



       17 17 17 17

6 k

 

  

Do 17 17 17 34

6

MN  k    

Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho  P : 2x y 2z140 mặt cầu

  2

:

S x y z  x y z  Điểm M P ,N S cho khoảng cách MN

nhỏ Tính MN

A MN 1 B MN 3 C MN 2 D MN 4

Mặt cầu  S có tâm I1; 2; 1   d I P ; 4 Gọi H hình chiếu vng góc N lên  P , ta có:

 

 ; 

MN NH  IHIN d I P R  

Dấu xảy M hình chiếu vng góc I lên  P ; N giao điểm đoạn

IM với  S

Câu 40: Các số thực a b c d e f, , , , , thỏa mãn

2 2

2

2 14

a b c a b c

d e f

       



   



Hỏi giá trị nhỏ

của biểu Pad2b e 2c f2 bao nhiêu?

A 1 B 4 3 C 28 16 3 D 7 3

(161)

Dễ có M a b c ; ;    S :x2 y2z22x4y2z 6 có tâm I1; 2; 1  , R2

điểm N d e f ; ;    P : 2x y 2z140

Gọi H hình chiếu vng góc M lên  P , ta có:

 

 ; 

MN NH  IHIN d I P R  Do  

2

4 28 16

PMN    

Dấu xảy N hình chiếu vng góc I lên  P ; M giao điểm đoạn

IN với  S

Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độOxyz, với m tham số thực thay đổi biết mặt cầu  S có

phương trình   2 2  2

sin cos sin cos

x m  y m  z m m  tiếp xúc với

mặt cầu cốđịnh Tìm bán kính mặt cầu

A R1 B R2 C R3 D R5 Hướng dẫn giải:

Chọn B

Mặt cầu  S có tâm Isin2m;cos2m, sinmcosm bán kính R1

Tâm Isin2m;cos2m, sinmcosm thuộc mặt cầu cốđịnh tâm O0;0;0 bán kính

4 2

sin cos sin cos

R  m m m m 

Gọi S mặt cầu cốđịnh mà S ln tiếp xúc, ta có ROIRRR2

Câu 42: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi   ; ; ba góc tạo tia Ot với tia Ox;Oy;Oz mặt cầu   S : xcos2ycos2zcos2 4 Biết  S

luôn tiếp xúc với hai mặt cầu cốđịnh có bán kính R R1; 2 Tính T R1R2

A T 8 B T 4 C T 11 D T 9

Chọn B

Chọn C

Ta có tâm mặt cầu ( )S có tâm Icos ; os ;cos c  , tâm I thuộc mặt cầu ( ')S tâm

  2

0; 0; , cos os cos

(162)

Mặt cầu ( )S tiếp xúc với hai mặt cầu cốđịnh ( ), (S1 S2)

( )S tâm O bán kính R1  OIR   2 1

(S )tâm O bán kính R2 OI R  2

1

S R R 

Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2; , B2; 3;   Gọi  S mặt cầu đường kínhABvàAxlà tiếp tuyến của S tạiA By; tiếp tuyến của S Bvà

AxBy Hai điểm M N, di động Ax By, cho MN tiếp tuyến  S Tính AM BN

A 19

AN BM  B AN BM 48 C AN BM 19 D AN BM 24

Giả sử  S tiếp xúc với MNtại O.Theo tính chất tiếp tuyến, ta có AM MO BN, NO

 

AB AM

AM ABN AM AN

BN AM

 

   

(163)

Theo định lí Pitago, ta có MN2 MO ON2 2AM BN2 2 2

MN AM AN AM AB BN

   

 

    



Do  2 2

AMBN  AM AB BN

Suy

2 2

3

19

2

AB

AM BN    

Chọn C

Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2; , B2; 3; 2  Gọi  S mặt cầu đường kính AB Ax tiếp tuyến  S A; By tiếp tuyến  S B

AxBy Hai điểm M N, di động Ax By, cho MN tiếp tuyến  S Hỏi tứ diện AMBN có diện tích tồn phần nhỏ là?

A 19 B 19 2 3 C 19 2  3 D 19 2  6

Chọn B

Giả sử  S tiếp xúc với MN điểm O

Theo tính chất tiếp tuyến, ta có xAM MO y, BN NO

 

AB AM

AM ABN AM AN

BN AM

 

   

  

Theo Pitago, ta có MN2 MO ON2 2AM BN2 2 2

MN AM AN AM AB BN

   

 

    



Do AM BN2  AM2AB2BN2

2 2

3

19

2

AB

xy AM BN  

    

Ta có:

1 38

2

ABM

S  AB AM  x

1 38

2

ABN

S  AB BN  y

2

1

38

2

AMN

S  AM AN  x y

2

1

38

2

BMN

S  BM BN  y x Khi theo bất đẳng thức AM – GM, ta có

 2

1

38 38 38 38

2 tp

S  x yx y y x

2

1

2 38 38 38 38

2 x y x y y x

 

     

 

 

2 2 2

38xy xy 38 38 x y x y

(164)

 

2 2

38xy xy 38 38.2xy x y 19

     

Câu 45: Trong khôn gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu

  2

: 11

S x y z  Hỏi giá trị lớn biểu thức

2 2 2

AB BC CA DA BD CD là?

A 99 B 176 C 132 D 66

Chọn B

Măt cầu  S có tâm O0; 0; 0 bán kính r 11

Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD ta có GA GB GC      GD0 Do 4OG    OA OB OC  OD Suy 16OG2 OA OB OC     OD2

2

OA OAOB

   2OAOB16OG24R2

Khi AB2BC2CA2DA2BD2CD2 OB OA  2 2R22OB OA  

12R 2OB OA

     2

12R 16OG 4R

   2

16R 16OG

  16R2 176 Dấu xảy GO

Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A a ;0; , B0; ;b c C, 0; 0;c với

4, 5,

tổng OA OB OC  đạt giá trị nhỏ mặt cầu  S tiếp xúc với mặt phẳng

đây?

A 2x2y 2z 6 20 B 2x 2y2z 7 2 0

C 2x2y2z 3 20 D 2x2y2z 3 20

Ta có: 2

90

a b c  a4,b5,c6 Khi đó: 4a 29;5b 38 Ta có: OA OB OC  a b c    a b 90a2b2  f a b , 

Xét  

2

1 45

2 90

a b

f a a

a b

      

 

Lập bảng biến thiên ta được:

        2

min f a b, min f ; f 29 min b 4 74b b;  29 61b Dễ có:

   

2 2

4 74 29 61 5; 38 , 74

b  b  b  b  b   f a b   b b  f b

Do  

2

1 37

74 b

f b b

b

     



nên lập bảng biến thiên ta

   

min f a b,  f 16

(165)

Câu 47: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho với

tiếp xúc với mặt cầu cốđịnh có bán kính biết mặt cầu qua

A B C D

Gọi tâm mặt cầu Khi đó:

Chú ý:

Vậy Chọn tâm

Chọn C

Câu 48: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với

 ;0; , 0; 1;0 , 0; 0; 4

A m B m C m thỏa mãn BC AD CA, BD AB, CD điểm

 ; ; 

I a b c tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Tính bán kính nhỏ mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

A

2 B

14

C D 14.

Chọn B

Oxyz S0; 0;1 , M m ; 0;0 , N0; ; 0n 

,

m n m n 1 SMN 1;1;1 M

2

 ; ; 

I a b c   

2

1 ,

1

a b c

m n

R d I MSN I

m n

  

  

 

2

1 1

1

m n m n mn

 

      

 

2

1 1

1

m n m n

   

       

   

2

1

1 m n

  

1

a b c

m n

R

m n

   

 

1

ab  c R a I a a ; ;1a

 2

2 1

IM a a a a R

        

B

A

C

D M

(166)

Có BCD ACDBN  ANMN AB

Tương tự ta có MN CD Gọi I trung điểm MN, I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

2 2

2 1, 17 , 16

AB m  m BC m  m AC  m  m

2 2 2 2

2

4

2 4

AC BC AB CD AC BC AB

MN  MC CN        m

   

2

1

=

1

2

1 14

2 14

2 2

m

MI MN

IB AB MN

m m m m

 

   

     

   

        

Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A1; 2;1 ,  B2; 4; 6 Điểm M di động AB N điểm thuộc tia OM cho OM ON 4 Biết N thuộc đường trịn cốđịnh Tìm bán kính đường trịn

A 42

31

R B 31

42

R C 42 31

R D 31 42 R Hướng dẫn giải:

Chọn C

Đặt

2

, V

SB SC SB SC

x y x y

SB SC V SB SC

   

    

Khi đó:

 2  

2 2 2

2 .cos .cos 30

AB SA SB  SA SB ASBa  ax  a ax  a  xx

S

A

C

(167)

2

1

AB a x x

   

Tương tự:

1

AC a  yy , 2

3

B C  a x  xyy

Ta có: 2p ABACB C a 1 3xx2  1 3yy2  x2 3xyy2

 

 

2 2 2

2

3

1

2 2

a y y x x x x

 

       

 

                

   

 

2 2

3 1

1 ( 1 )

2 2

a  x  x a x x a x x x x

               

   

 

2 2

2

1 3 1

2

2 2 2 2

a x x a a

         

   

 

                   

       

     

         

 

Dấu xảy khi:  

2

2 , 3 1 3 1 3 1 4 3

3

y x

V

x x x y

V y



           



Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S :x2 y2z2 8 điểm

1

; ;

2

M 

 

Xét đường thẳng  thay đổi qua M , cắt  S hai điểm phân biệt A B, Hỏi diện tích lớn tam giác OAB là?

A 4 B C 2 D 8

Ta có:   

2

1 1

.sin 2

2 2

OAB OAB

S  OA OB AOB OA OBS  

Diện tích tam giác OAB lớn sinAOB 1 AOB90

Câu 51: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A m ; 0; 0, B0; ; 0n , C0;0; 2 

 ; ; 2 D m n 

, với m n, số thực thay đổi thỏa mãn 2mn1 Hỏi bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có giá trị nhỏ là?

A 105

10 B

17

4 C

21

5 D

(168)

Gọi phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

  2  2 

: 2 0

S x y z  ax by czd  a b c d  Vì A B C D, , , thuộc mặt cầu nên:

2 2

2

2 4 2

2 2

4 4

2

m ma n bn c d m ma n bn

m ma d m ma n bn d

c d c d

n bn d n bn d

            

 

       

 



 

     

 

       

 

2

2 2

2

4

1

0

m a

m am

n

n bn

b c

c d

d 

  

  

 

 

 

 

 

 

 



  



  

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:

 

2

2 2 1 2 2

4 5

4 2

m n

R a b c d     m n   m   m   m  m

Ta có:

2

min

2 21 21 105

5 5

5 5 10

m  m  n    R 

 

là số thực thỏa mãn m n 2 Hỏi bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có bán kính nhỏ là?

A B

2 C

3

2 D

Chọn B

Gọi phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:

  2  2 

: 2 0

S x y z  ax by czd  a b c d 

Vì O A B C, , , thuộc mặt cầu nên:

2

0

2

1 2

1

2

2 m a d

m ma n

c b

n cn b

   

 

 

 

 

  

 

 

 

   

   



(169)

2

2 2 2

2

1 1

1

4 2

m n

R a b c d m n n

n  

          

Ta có: 42 2 42 min

2

n n R

n n

      

Câu 53: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A m ;0; , B0; ;0 ,n  C0; 0;1

 ; ;1

D m n với m n, số thực thỏa mãn m n 2 Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

có bán kính nhỏ là?

A B

2 C

3

2 D

Chọn D

Gọi phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

  2  2 

: 2 0

S x y z  ax by czd  a b c d  Vì A B C D, , , thuộc mặt cầu nên:

2 2

2

2 2

1

2

1 2

2 2 2

m ma d m n ma bn d

c d

n nb d

c d m ma d

m n ma bn c d m n ma bn

         

 

     

 



 

     

 

            

 

2

1

0

m ma

n bn

c d

  



  

 

  

  

2 2

m a

n b c d 

          

      

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

2

2 2 2 2

2

1 1

4 2

m n

R a b c d m n n n

n n

   

              

 

Ta có: 42 2 42 min

2

n n R

n n

      

là só thực thỏa mãn m2n2 Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có bán kính nhỏ

nhất là?

(170)

Gọi phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:

  2  2 

: 2 0

S x y z  ax by czd  a b c d 

Vì O A B C, , , thuộc mặt cầu nên:

2

0

2

1 2

1

2

2 m a d

m ma n

c b

n cn b

   

 

 

 

 

  

 

 

 

   

   



 

2

2 2 1 2 2

1 2

4 2

m n

R a b c d     m n   n   n   n  n

Ta có:

2

min

4 9

5

5 5 10

n  n  n    R 

 

Câu 55: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A10; 2;1 , B3;1; 4và mặt cầu

A 3 14 B 9 C 3 11 D 6

Gọi E điểm thỏa mãn:OE3OB E   

Gọi O trung điểm AB, ta có SOABC

Ta lại có: SC AH SC AHB SC OH

SC AB

 

   

  

Vì

2

1

2

16

2

3 19

4

V SH SO SO

SO

V  SC  SC  SO    

Câu 56: Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz cho mặt phẳng  P :x   y z tọa độ hai

điểm A1;1;1 , B  3; 3; 3 Mặt cầu  S qua hai điểm A B, tiếp xúc với  P

điểm C Biết C ln thuộc đường trịn cốđịnh Tính bán kính đường trịn đó?

A R4 B 33

3

R C 11

3

(171)

Ta dễ dàng tìm tọa độđiểm D3;3;3 giao điểm AB  P Do theo tính chất phương tích ta được: DA DB DI2R2 Mặt khác

DC tiếp tuyến mặt cầu  S

2 2

DC DI R Do

36

DC DA DB DC6 (Là giá trị không đổi)

Vậy C thuộc đường trịn cốđịnh tâm D với bán kính R6

Chọn D

Câu 57: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x2y  z Có tất mặt cầu có tâm nằm mặt phẳng  P tiếp xúc với ba trục tọa độ

' , ' , ' x Ox y Oy z Oz?

A 8 mặt cầu B 4 mặt cầu C 3 mặt cầu D 1 mặt cầu

Gọi tâm I a b c , , , ta có a2b c 4 Vì d I Ox , d I Oy , d I Oz , 

2 2 2

a b b c c a a b c

        

Nếu am b, m c,  m2m 4 m2I2; 2; 2  Nếu am b, m c, mm 1 I1;1;1

Nếu am b,  m c, m04(Loại)

Nếu a m b, m c, m2m4I2; 2; 2

Vậy có tất mặt cầu thỏa mãn điều kiện toán đưa

Câu 58: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P : 2mxm21ym21z100

điểm A2;11; 5  Biết mthay đổi tồn hai mặt cầu cốđịnh tiếp xúc với mặt phẳng

 P qua A Tìm tổng bán kính hai mặt cầu

A 7 B 15 C 5 D 12

Gọi tâm I a b c , ,  bán kính mặt cầu: RIAd I P , 

         

 

2

2 2

2

2 1 10

2 11

1

ma m b m c

R a b c

m

    

       



       

 

2

2 2

2

2 10

2 11

1

m b c ma b c

R a b c

m

    

       

 với  m 

Do 0

10

a a

b c b c c

 

 



 

     

 

nên

 2

1

9

4 11 12

25

b b

R b R R

b 

 

       

 

P

A I

C D

(172)

Câu 59: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình mặt phẳng  P :x y 2z 1  Q : 2x   y z Gọi  S mặt cầu có tâm thuộc Ox đồng thời cắt mặt phẳng

 P theo giao tuyến đường trịn có bán kính cắt mặt phẳng  Q theo giao tuyến đường trịn có bán kính r Xác định r cho tồn mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho

A 10

2

r B

2

r C r D 14

2 r

Ta gọi I a ; 0; 0 tâm mặt cầu Khi bán kính: R2 r2d I Q , 2 22d I P , 2

 2  2

2 1

4

6

a a

r  

    để có tâm mặt cầu thỏa mãn giải  0

Chọn B

Câu 60: Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho mặt cầu  S :x2y2z22x2y2z0

điểm A2; 2; 0 Viết phương trình mặt phẳng OAB, biết điểm B thuộc mặt cầu  S , có hồnh độdương tam giác OAB

A xy2z0 B x  y z C xy z D xy2z0

Ta có OA2 điểm B nằm mặt cầu tâm O tâm A có bán kính 2

nên tọa độ B nghiệm hệ:

   

 

2 2 2

2 2

8 2; 0;

2

x y z x y z x y z

x y z x y z B

x y

x y z

          

 



        

 

   

     

 

cho A1, 0,1 , B3, 4, ,  C2, 2,3

Đường thẳng d qua A, cắt mặt cầu đường kính AB AC điểm

,

M N không trùng với A cho đường gấp khúc BMNC có độ dài lớn có vector phương là?

A u 1, 0, 2 B u1, 0,1

C u 1, 0, 1  D u2, 0, 1 

Ta phát được tam giác ABC vuông tại A mặt khác:

 

   

2

MA MB MA MB AB

BM MN NC AB AC

NA NB NA NB AC

    



    



    

(173)

Chú ý đẳng thức xảy trường hợp tam giác MAB NAC, vng cân tam giác ABC vng A M N, , thẳng hàng đường thẳng d có u1, 0,1

(Học sinh cần tự tìm tọa độ M N, cho tam giác MAB NAC, vuông cân M N, nằm mặt phẳng ABC)

Chọn B

Câu 62: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng

   2  2 2  2 2 

: 1

P n m x mny m n z m n m n   với m n, số

thực tùy ý Biết mặt phẳng  P ln tiếp xúc với mặt phẳng cốđịnh Tìm bán kính mặt cầu

A 2 B 1 C 4 D

Gọi I x y z 0; 0; 0 tâm mặt cầu R bán kính, ta có:

 

        

      

2 2 2 2

0 0

2 2

2 1

,

2 1

n m x mny m n z m n m n

R d I P

n m mn m n

        

 

       

   

      

   

2 2 2 2

0 0

2

2 1

1

m n

        



  

 2  2 2  2 2 

0 0

2 2

2 1

m n m n

        



  

Chọn x0  y0 z0R4

Vậy  P tiếp xúc với mặt cầu cốđịnh I0;0;0 R4

Chọn C

Câu 63: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai mặt phẳng

 P :x y 2z 1 0; Q : 2xy  z

Gọi  S mặt cầu có tâm thuộc trục Ox,

đồng thời  S cắt  P theo giao tuyến đường trịn có bán kính 2;  S cắt  Q theo giao tuyến đường trịn có bán kính r Tìm r cho có mặt cầu  S thỏa mãn điều kiện toán

A 10

r B

2

r C r D

(174)

Gọi I m ;0;0 thuộc trụcOx tâm của S R bán kính  S Theo giả thiết, ta có:

 

       

2 2

,

, ,

,

d I P R

r d I Q d I P

d I Q r R

  



   



  



Vậy ta có phương trình:    

2

2 1 2

4 6 24

6

m m

r       m  m r  

Để có mặt cầu thỏa mãn phương trình có nghiệm nhất, đó:

 

9 24

2

m r r



      

Câu 64: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho tứ diện ABCD có A B C, , giao điểm

của mặt phẳng  :

1

x y z

P

mm m  với trục tọa độ Ox Oy Oz, , ; 0;1; 4

m  tham số thực thay đổi Điểm O D, nằm khác phía với mặt phẳng  P

, ,

BC AD CABD ABCD. Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính nhỏ là?

A

2 B

14

2 C D 14

Theo giả thiết, ta có A m ;0; , B0;m1;0 , C0; 0;m4và BC CA AB DB DA DC, , , , , lần

lượt đường chéo mặt hình hộp chữ nhật OAD C BA DC  như hình vẽdưới

Do mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật

đã cho Vì tâm mặt cầu ngoại tiếp ; 1;

2 2

m m m

I   

(175)

Do  

2

2 2

3 14

1 14

2 2 2

m

m m m

RIO            

      Dấu “=” xảy

1

m 

  2

:

phương với véc tơ u1; 0;1 khoảng cách MN lớn Tính MN

A MN 3 B MN  1 2 C MN 3 D MN 14

Mặt cầu  S có tâm I1; 2;1 , R1

Xét điểm M x y z ; ;    P  x 2y2z 3

Theo giả thiết MN ku k; 0;kN x k y z; ; k N S nên

 2  2    

2

xk y  zk  xk  y zk   x k 12 y 22 z k 12

        

Do x2y2z 3 x k 12y22z k 13k6 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwar, ta có:

 2   2 2  2  2  2

3k6   2 2  x k  y2  z k 9

    3 k 1

MN k

  

Chọn C

Dấu xảy k 3

Cách 2: Gọi H hình chiếu vng góc N lên  P , ta có:

  

cos cos , P

NH NH

MN

MNH u n

      

 

;

cos , P

r d I P u n 

  

1



 

Câu 66: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A a ;0; , B0; ; ,b  C0; 0;c với

4, 5,

tổng OA OB OC  nhỏ mặt cầu  S tiếp xúc với mặt phẳng đây? A 2x2y 2z 6 20 B 2x2y2z 3 2 0

(176)

Hướng dẫn giải: ChọnD

Tâm mặt cầu  S điểm ; ; 2 a b z I 

  bán kính

2 2

3 10

90

2 2

a b c

R          a b c 

     

Khi đó: OA OB OC  a b c   a2b22abc

2

90 c 2ab c 90 c 2.4.5 c

       

   

2

0;

130 c c miny y 16



     

Khi 2; ;5 2 I 

  rõ rang   

3 10

, : 2 2

2 d I P x y z   

Câu 67: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   S : x12y12z12 4 mặt phẳng  P : 2 y2z 7 Gọi  Q mặt phẳng thay đổi qua A2;1;1 tiếp xúc với mặt cầu  S Hỏi góc nhỏ hai mặt phẳng    P , Q là?

A arccos2 10



B arccos 10



C arccos2 10



D arccos 10

9



Hướng dẫn giải: ChọnC

Ta có  Q :a x 2b y 1c z 10 theo giả thiết, ta có

 

  2

2 2

3

, 2

4

a

d I Q b c a

a b c

     

 

Khi góc    P , Q xác định

2 2 2

2

cos

1 2

a b c

   

   

2 2 10

1 2

9 9

b c a

 

 

 

       

 

   

2 10 arccos

9

a 

 

Bởi  

2

2 2

5 10 10

;

4 2 2

b c b c

a b c b c

a a

 

 

 

          

   

Câu 68: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A10; 2;1 , B3;1; 4 mặt cầu

A 3 14 B 9 C 3 11 D 6

(177)

Mặt cầu  S tâm I1; 2;1 , R3

Ta chọn điểm C đoạn IA cho ICM IMA theo tỉ số 3; tức

2

2 2

1

3 9

IC IM MC IC IM R

IM  IA  MA   IA  IA  IA  

   

1

1; 0;0 2; 2;1

IC IA C

  

(178)

GTLN, GTNN TRONG HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXYZ A - LÝ THUYẾT CHUNG

Để tìm cực trị khơng gian thường sử dụng hai cách làm:

Cách 1: Sử dụng phương pháp hình học Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số

Bài tốn 1: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A x( A; yA; zA), (B xB; yB; zB) mặt phẳng

( ) :P ax by czd 0 Tìm điểm M( )P cho

1 MAMB nhỏ

2 MA MB lớn với d A( , ( ))P d B( , ( )).P

Phương pháp:

 Xét vị trí tương đối điểm A B, so với mặt phẳng ( ).P

 Nếu (axAbyAczAd ax)( BbyBczBd)0 hai điểm A B, phía với mặt phẳng ( ).P  Nếu (axAbyAczAd ax)( BbyBczBd)0 hai điểm A B, nằm khác phía với mặt phẳng

( ).P

1 MAMB nhỏ

 Trường hợp 1: Hai điểm A B, khác phía so với mặt phẳng ( ).P

Vì A B, khác phía so với mặt phẳng ( )P nên MAMB nhỏ

( )

M  P AB

 Trường hợp 2: Hai điểm A B, phía so với mặt phẳng

Gọi A' đối xứng với A qua mặt phẳng ( ),P A' B khác phía ( )P MAMA nên

MA MB MAMBA B

Vậy MAMB nhỏ A B M A B ( ).P 2 MA MB lớn

 Trường hợp 1: Hai điểm A B, phía so với mặt phẳng ( )P

Vì A B, phía so với mặt phẳng ( )P nên MA MB lớn

( )

M  P AB

 Trường hợp 2: Hai điểm A B, khác phía so với mặt phẳng ( )P

Gọi A' đối xứng với A qua mặt phẳng ( )P , A' B phía ( )P

MAMA nên MA MB  MAMB A B

Vậy MA MB lớn A B M  A B ( ).P Bài tốn 2: Lập phương trình mặt phẳng ( )P biết

1 ( )P qua đường thẳng  khoảng cách từ A đến ( )P lớn AB

(P)

(179)

2 ( )P qua  tạo với mặt phẳng ( )Q góc nhỏ 3 ( )P qua  tạo với đường thẳng d góc lớn

Phương pháp:

Cách 1:Dùng phương pháp đại số

1 Giả sử đường thẳng 1

:x x y y z z

a b c

  

   A x y z( ;0 0; 0)

Khi phương trình ( )P có dạng: A x( x1)B y( y1)C z( z1)0

Trong Aa Bb Cc A bB cC

a 

      (a0) (1)

Khi 1

2 2

( ) ( ) ( )

( , ( )) A x x B y y C z z

d A P

A B C

    



 

(2)

Thay (1) vào (2) đặt t B C

 , ta đươc d A P( , ( )) f t( )

Trong

2 ( )

' ' '

mt nt p

f t

m t n t p   

  , khảo sát hàm f t( ) ta tìm max ( )f t Từ suy biểu

diễn A B, qua C cho C giá trị ta tìm A B,

2. và 3 làm tương tự Cách 2: Dùng hình học

1 Gọi K H, hình chiếu A lên  ( )P , ta có:

( , ( ))

d A P AH  AK, mà AK khơng đổi Do d A P( , ( )) lớn H K

Hay ( )P mặt phẳng qua K, nhận AK làm VTPT

2 Nếu  ( )Q ( ), ( )P Q 900 nên ta xét  (Q) khơng vng góc với

 Gọi B điểm thuộc , dựng đường thẳng qua B vng góc với ( )Q Lấy điểm C

cố định đường thẳng Hạ CH ( ),P CK d Góc mặt phẳng ( )P mặt phẳng ( )Q

.

BCH Ta có sinBCH BH BK

BC BC

 

Mà BK

BC không đổi, nên 

BCH nhỏ H K

 Mặt phẳng ( )P cần tìm mặt phẳng chứa  vng góc với mặt phẳng (BCK) Suy

, ,

P Q

n u u n 

 

   

VTPT ( )P

3 Gọi M điểm thuộc , dựng đường thẳng d' qua M song song với d Lấy điểm A cố định đường thẳng Hạ AH ( ),P AK d Góc mặt phẳng ( )P đường thẳng d'

là AMH Ta có cosAMH HM KM

AM AM

(180)

Mà KM

AM không đổi, nên 

AMH lớn H K

 Mặt phẳng ( )P cần tìm mặt phẳng chứa  vng góc với mặt phẳng ( ',d  Suy '

, ,

P d

n u u u 

 

   

VTPT ( )P

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm mặt phẳng

Tìm tọa độđiểm thuộc cho nhỏ nhất?

A B

C D 2; 11 18;

5 5

M  

 

Câu 2: Cho hai điểm A1, 3, ;  B9, 4, 9 mặt phẳng  P : 2xy  z Điểm M thuộc (P) Tính GTNN AM BM

A B C D

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng hai điểm M điểm mặt phẳng Giá trị lớn là:

A B C D

Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình –x y  z hai điểm M3;1; , N9; 4;9  Tìm điểm I a b c ; ;  thuộc mặt phẳng (P) cho đạt giá trị lớn Biết a b c, , thỏa mãn điều kiện:

A B C D

Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2; , B5; 4; 4 mặt phẳng

 P : 2xy–z 6 Tọa độđiểm M nằm (P) saocho MA2MB2 nhỏ là:

A 1;3; 2 B 2;1; 11  C 1;1;5  D 1; 1;   Câu 6: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 P : 2x   y z 0,A8; 7; ,  B1; 2;   Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng  P

sao cho MA22MB2 nhỏ

A M0; 0; 1  B M0;0;1 C M1; 0;1 D M0;1; 0 Câu 7: Cho điểm A0, 0, ,  B2, 0, 1  mặt phẳng  P : 3x8y7z 1 Tìm M  P

,

Oxyz A1; 0; ;  B0; 1; 2   P :x2y2z120 M  P MA MB

2; 2;9

M ; 18 25;

11 11 11

M   

 

7 31 ; ; 6 M  

 

6 204 7274 31434

6

 2004 726

3 

3 26

( ) :P x   y z

 

(1; 3;0), 5; 1;

A  B   ( )P

T  MA MB

2

T  T 2 6

2

T 

3 T 

IM IN

21

(181)

A 283; 104; 214

183 183 183

M   

  B

283 104 214

; ;

183 183 183

M  

 

C 283; 14; 14 183 183 183

M   

  D

283 14 14

; ;

183 183 183

M 

 

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng hai điểm

và Biết điểm thuộc nhỏ nhất.Tìm

A B C D

Câu 9: Trong không gian với hệ trục toạđộ cho điểm

Điểm cho giá trị biểu thức nhỏ

nhất Khi đó, điểm cách khoảng

A B C D

Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A1;1;1, B0;1; 2, C2; 0;1

 P :xy  z

Tìm điểm N P cho S 2NA2NB2NC2 đạt giá trị nhỏ

nhất

A 3; ;

2 4

N 

  B N3;5;1 C N2;0;1 D

3

; ;

2

N      Câu 11: rong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A1;01;1 , B1; 2;1 , C4;1; 2  mặt

phẳng  P :xy z Tìm (P) điểm M cho MA2MB2MC2 đạt giá trị nhỏ

nhất Khi M có tọa độ

A M1;1; 1  B M1;1;1 C M1; 2; 1  D M1;0; 1  Câu 12: (Hình Oxyz) Cho A1;3;5 , B2; 6; ,  C 4; 12;5 điểm  P :x2y2z 5

Gọi M điểm thuộc  P cho biểu thứcS  MA4MB  MA MB   MC đạt giá trị

nhỏ Tìm hồnh độđiểm M

A xM 3 B xM  1 C xM 1 D xM  3

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2;1; 1 , B0;3;1 mặt phẳng

 P :xy  z Tìm tọa độ điểm M thuộc ( )P cho 2MA MB  có giá trị nhỏ

nhất

A M 4; 1; 0 B M 1; 4; 0 C M4;1; 0 D M1; 4;0 

Oxyz  

x t

y t t

z t

2

:

3    

     

  



 

A 2;0;3 B 2; 2; 3    M x y z 0; ;0 0  MA4 MB4 x0

x0  x0 1 x0 2 x0 

,

Oxyz A1; 2;3 ; B 0;1;1 ; C1; 0; 2 

 :

M P x   y z T MA22MB23MC2 M  Q :2x y 2z 3

121

54 24

2

(182)

Câu 14: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng 2x2y  z mặt cầu

2 2

( ) : (S x3) (y2) (z1) 100 Tọa độ điểm M nằm mặt cầu ( )S cho khoảng cách từđiểm M đến mặt phẳng ( )P đạt giá trị nhỏ là:

A 11 14 13; ;

3 3

M 

  B

29 26

; ;

3 3

M   

 

C 29 26; ;

3 3

M  

  D

11 14 13

; ;

3 3

M  

 

Câu 15: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x2y2z 4 mặt cầu

2 2

( ) :S x y z 2x2y2z 1 0.Giá trị điểm M  S cho d M , P  đạt GTNN là:

A 1;1;3 B 7; ; 3

 

 

  C

1 1

; ;

3 3

 

 

 

  D 1; 2;1  Câu 16: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu        

2 2

:

S x  y  z 

mặt phẳng

 P : 2x2y  z

Gọi M a b c ; ;  điểm mặt cầu  S cho khoảng cách từ M đến  P lớn Khi

A a  b c B a  b c C a  b c D a  b c Câu 17: Trong không gian Oxyz cho điểm , , , Gọi

M điểm nằm đường thẳng CD cho tam giác MAB có chu vi bé Khi

toạđộđiểm M là:

A B C D

Câu 18: Cho hình chóp O ABC có OAa OB, b OC, c đơi vng góc với Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng đến mặt phẳng

OBC , OCA , OAB 1,2,3 Khi tồn a b c, , thỏa thể tích khối chóp O ABC nhỏ

nhất, giá trị nhỏ thể tích khối chóp O ABC

A 18 B 27

C 6 D Không tồn a b c, , thỏa yêu cầu tốn

Câu 19: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M1; 2;1 Mặt phẳng  P thay đổi qua M cắt tia Ox Oy Oz, , A B C, , khác O Tính giá trị nhỏ thể tích khối tứ diện OABC

A 54 B 6 C 9 D 18.

Câu 20: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm với Giả sử thay đổi thỏa mãn khơng đổi Diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn

A B C D

2;3; 2

A B6; 1; 2   C 1; 4;3 D1; 6; 5 

0;1; 1

M  M2;11; 9  M3;16; 13  M 1; 4;3

 ; 0; , 0; ; , 0; 0; 

A a B b C c a b c, , 0

, ,

a b c a2b2c2 k2

2

3

k

6

k

3

(183)

Câu 21: Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) qua điểm , cắt tia Ox Oy Oz, , A B C, , cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ

A B C D

Câu 22: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có điểm A trùng với gốc tọa độ, B a( ; 0; 0),D(0; ; 0),a A(0; 0; )b với (a0,b0) Gọi M trung điểm cạnh CC Giả sử ab4, tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện A BDM ?

A max 64

27

A MBD

V   B maxVA MBD 1

C max 64

27

A MBD

V    D max 27

64

A MBD V  

Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;5;0 , B3;3;6 đường thẳng  có phương trình tham số

1 2

x t

y t

z t    



  

  

Một điểm M thay đổi đường thẳng  cho

chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ Tọa đô điểm M chu vi tam giác ABC

A M1; 0; ; P = 2( 11 29) B M1; 2; ; P = 2( 11 29)

C M1; 0; ; P = 11 29 D M1; 2; ; P = 11 29

M(9;1;1)

  1 3

x y z

  1 27 3

x y z

   27 3

x y z

   1 27 3

(184)

C - HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm mặt phẳng

Tìm tọa độđiểm thuộc cho nhỏ nhất?

A B

C D 2; 11 18;

5 5

M  

 

Thay tọa độ vào phương trình mặt phẳng , ta

 hai điểm A B, phía với mặt phẳng

Gọi điểm đối xứng A qua  P Ta có

Nên minMAMB A B M giao

điểm A B với  P

Phương trình ( qua

có véctơ chỉphương n P 1; 2; 1 )

Gọi H giao điểm AA  P , suy tọa độ H H0; 2; 4 , suy

 1; 4; 6

A   , nên phương trình : x t

A B y t

z t

  

        

Vì M giao điểm A B với  P nên ta tính tọa độ

Câu 2: Cho hai điểm A1, 3, ;  B9, 4, 9 mặt phẳng  P : 2xy  z Điểm M thuộc (P) Tính GTNN AM BM

A B C D

Ta có: 2. 1   3  21 2.  9   4 1720 A B, nằm phía so với mặt phẳng (P)

,

Oxyz A1; 0; ;  B0; 1; 2   P :x2y2z120 M  P MA MB

2; 2;9

M 6; 18 25;

11 11 11 M   

 

7 31 ; ; 6 M  

 

1; 0; ;  0; 1; 2

A B   P

   

P A P B   P

A

MAMBMAMBA B

1

:

2 x t AA y t

z t

      

   

AA A1; 0; 2

2 11 18

; ;

5 5

M   

 

6 204 7274 31434

6

 2004 726

3 

3 26

H M

B

A' A

(185)

Gọi A’ điểm đối xứng A qua (P) Mặt phẳng (P) có vtpt

Đường thẳng AA’ qua A1, 3, 2  có vtcp có pt:

Gọi H giao AA’  P ta có:

       

2  1 2t  3t   2 t  1 0  t H 1, 2,  Ta có H trung điểm

 

’ ’ 3,1, AA  A

Đường A’B qua A’(3, 1, 0) có vtcp có pt:

Gọi N giao điểm A’B mặt phẳng  P ta có:

     

2 4 t – 1t 3t 1 0  t N 1, 2,

Để MAMB nhỏ MAMB A B’ =

Chọn D

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng hai điểm M điểm mặt phẳng Giá trị lớn là:

A B C D

Ta có: A, B nằm khác phía so với (P) Gọi B’ điểm đối xứng với B qua (P) Suy

Đẳng thức xảy M A B, , ’ thẳng hàng

Chọn A

Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình –x y  z hai điểm M3;1; , N9; 4;9  Tìm điểm I a b c ; ;  thuộc mặt phẳng (P) cho đạt giá trị lớn Biết a b c, , thỏa mãn điều kiện:

A B C D

Nhận thấy điểm M, N nằm hai phía mặt phẳng (P)

2, 1,1 n 

1

2

x t

y t

z t

   

   

    

 

' 12,3,9

A B 



1

x t

y t

z t    

     

M N

 2 2

12 234 26

    

( ) :P x   y z

 

(1; 3;0), 5; 1;

A  B   ( )P

T  MA MB

2

T  T 2 6

2

T 

3 T 

'( 1; 3;4)

B  

' '

T  MA MB  MA MB AB 

IM IN

21

(186)

Gọi R điểm đối xứng M qua mặt phẳng (P), đường thẳng MR qua điểm M(3;

1; 0) vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình: Gọi

Ta có Đẳng thức xảy I, N, R thẳng hàng Do tọa độ

điểm I giao điểm đường thẳng NR: (t tham số ) mặt phẳng (P)

Dễ dàng tìm I(7; 2; 13)

Chọn A

Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2; , B5; 4; 4 mặt phẳng

 P : 2xy–z 6 Tọa độđiểm M nằm (P) saocho MA2MB2 nhỏ là:

A 1;3; 2 B 2;1; 11  C 1;1;5  D 1; 1;   Hướng dẫn giải:

+ Kiểm tra phương án A không thuộc (P)

+ Tính trực tiếp MA2 + MB2 phương án B,C,D so sánh Chọn C

Câu 6: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 P : 2x   y z 0,A8; 7; ,  B1; 2;   Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng  P

A M0; 0; 1  B M0;0;1 C M1; 0;1 D M0;1; 0 Hướng dẫn giải:

Gọi I điểm thỏa mãn IA2IB0I2; 1; 0 

Có MA22MB2  MIIA2 2 MIIB2 3MI2IA22IB2

Vì IA IB, khơng đổi nên MA22MB2min MImin M hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng  P

Đường thẳng d qua I vng góc với  P

   

2

: ; 0; 0;

x t

d y t d P M

z t    

       

   Chọn A

3

2 1

x y z

 



(P) (1; 2; 1) ( 1;3; 2)

H MR H  R  

IM IN  IR IN RN

1

2 11

x t

y t

z t

   

   

(187)

Câu 7: Cho điểm A0, 0, ,  B2, 0, 1  mặt phẳng  P : 3x8y7z 1 Tìm M P cho MA22MB2 nhỏ

A 283; 104; 214

183 183 183

M   

  B

283 104 214

; ;

183 183 183

M  

 

C 283; 14; 14 183 183 183

M   

  D

283 14 14

; ;

183 183 183

M 

 

Gọi I cho 4;0;5

3

IA IB  I 

 

 

 

2

2 2

2

2 2

2 2 2 2

2

2 2

MA MA MI IA MI IA MI IA

MB MB MI IB MI IB MI IB

MA MB MI IA IB MI IA IB MI IA IB

     

        

    

  

Suy  2

min

MA  MB MI bé hay M hình chiếu I  P

Tìm tọa độ 283; 104; 214

183 183 183

M   

 

Chọn A

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng hai điểm

và Biết điểm thuộc nhỏ nhất.Tìm

A B C D

Phương trình đường thẳng AB là: Dễ thấy đường thẳng AB cắt

nhau điểm suy AB đồng phẳng

Lại có

Ta có:

Oxyz  

x t

y t t

z t

2

:

3    

     

  



 

A 2;0;3 B 2; 2; 3    M x y z 0; ;0 0  MA4 MB4 x0

x0  x0 1 x0 2 x0 

 

x

y t t

z t

1

1 3   

 



   

 

 

I 2; 1;0 

   

IA 0;1; ,IB 0; 1; 3  IA IBIA IB AB

   

     

MA MB MA MB MA MB AB IA IB

2

4 2 1

2 2 8

 

         

(188)

Do nhỏ trùng với điểm

Chọn C

Câu 9: Trong không gian với hệ trục toạđộ cho điểm

Điểm cho giá trị biểu thức nhỏ

nhất Khi đó, điểm cách khoảng

A B C D

Gọi Ta có

với

nhỏ nhỏ hình chiếu vng góc

Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A1;1;1, B0;1; 2, C2; 0;1

 P :xy  z

Tìm điểm N P cho S2NA2NB2NC2 đạt giá trị nhỏ

nhất

A 3; ;

2 4

N 

  B N3;5;1 C N2;0;1 D

3

; ;

2

N      Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi I trung điểm BC J trung điểm AI Do 1; ;1 2

I   

3 0; ;

4

J   

Khi 2 2 2

2

S  NA  NI  BC  NJ IJ  BC

Do S nhỏ NJ nhỏ Suy J hình chiếu N  P

MA4 MB4

 M I 2; 1;0  

,

Oxyz A1;2;3 ; B 0;1;1 ; C1;0; 2 

 :

M P x   y z TMA22MB23MC2 M  Q :2x y 2z 3

121

54 24

2

101 54

 ; ; 

M x y z T6x26y26z28x8y6z31

2 2

2 145

6

3

T x  y  z              

     

 

 

2 145

6

6 T MI

   2; ;

3

I  

 

T

 MI M I  P

5 13

; ;

18 18

M 

    

(189)

Phương trình đường thẳng :

x t

NJ y t

z t

    

  

 

  



Tọa độđiểm J nghiệm hệ:

1

2

4

3

4

x y z

x x t

y

y t

z

z t

   

 

 

  

 

 

   

 

  

 

 

Câu 11: rong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A1;01;1 , B1; 2;1 , C4;1; 2  mặt phẳng  P :xy z Tìm (P) điểm M cho MA2MB2MC2 đạt giá trị nhỏ

nhất Khi M có tọa độ

A M1;1; 1  B M1;1;1 C M1; 2; 1  D M1;0; 1  Hướng dẫn giải:

Gọi G trọng tâm tam giác ABC, ta có G2;1; 0, ta có

 

2 2 2 2

3

MA MB MC  MG GA GB GC

Từ hệ thức (1) ta suy ra:

2 2

MA MB MC đạt GTNN MG đạt GTNN  M

là hình chiếu vng góc G (P)

Gọi (d) đường thẳng qua G vng góc với (P)

(d) có phương trình tham số

2

x t

y t

z t    

     

Tọa độ M nghiệm hệphương trình  

2

1

1; 0;

0

x t t

y t x

M

z t y

x y z z

   

 

    

 

  

 

 

 

      

 

Chọn D

Câu 12: (Hình Oxyz) Cho A1;3;5 , B2; 6; ,  C 4; 12;5 điểm  P :x2y2z 5 Gọi M điểm thuộc  P cho biểu thứcS  MA4MB  MA MB   MC đạt giá trị

nhỏ Tìm hồnh độđiểm M

(190)

Gọi I điểm IA4 IB0I3; 7;   Gọi G trọng tâm ta m giác ABCG 1; 1;3

Nhận thấy, M,I nằm khác phía so với mp(P)

Có S3MIMG3GI Dấu xảy M giao điểm GI (P) M1;3;1 Chọn C

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2;1; 1 , B0;3;1 mặt phẳng

 P :xy  z Tìm tọa độ điểm M thuộc ( )P cho 2MA MB  có giá trị nhỏ

nhất

A M 4; 1; 0 B M 1; 4; 0 C M4;1; 0 D M1; 4;0 

Gọi I a b c ; ;  điểm thỏa mãn 2  IAIB0, suy I4; 1; 3   Ta có 2MA MB 2MI2IAMIIBMI

      

Suy 2MA MB   MI MI

Do 2MA MB  nhỏ MI nhỏ hay M hình chiếu I mặt phẳng

 P Đường thẳng qua I vng góc với  P có :

1 1

x y z

d     



Tọa độ hình chiếu M I  P thỏa mãn

1; 

4

4;

3

0

1 M

x

y z

y x

z

    

  



 



  

 

Chọn D

Câu 14: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng 2x2y  z mặt cầu

2 2

( ) : (S x3) (y2) (z1) 100 Tọa độ điểm M nằm mặt cầu ( )S cho khoảng cách từđiểm M đến mặt phẳng ( )P đạt giá trị nhỏ là:

A 11 14 13; ;

3 3

M 

  B

29 26

; ;

3 3

M   

 

C 29 26; ;

3 3

M  

  D

11 14 13

; ;

3 3

M  

 

Mặt cầu ( )S có tâm I(3; 2;1)

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( )P : d I P( ; ( ))6R nên ( )P cắt ( )S

(191)

Phương trình

3

( ) : 2

1

x t

d y t

z t    

   

   

Ta có: M ( )d M(3 ; 2 ;1 t   t t)

Mà: M( )S

1

2

10 29 26

; ;

3 3

10 11 14 13

; ;

3 3

t M

  

     



 

 

  

   

  

 



Thử lại ta thấy: d M( 1, ( ))P d M( 2, ( ))P nên 11 14 13; ;

3 3

M 

  thỏa yêu cầu tốn

Câu 15: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x2y2z 4 mặt cầu

2 2

( ) :S x y z 2x2y2z 1 0.Giá trị điểm M  S cho d M , P  đạt GTNN là:

A 1;1;3 B 7; ; 3

 

 

  C

1 1

; ;

3 3

 

 

 

  D 1; 2;1  Hướng dẫn giải::

Ta có: d M P( , ( )) 3 R 2 ( )P ( )S  

Đường thẳng dđi qua I vng góc với (P) có pt:

1

1 ,

1

x t

y t t

z t

  



  

    



Tọa độgiao điểm d (S) là: 7; ; 3

A   ,

1 1

; ;

3 3

B   

 

Ta có: d A P( , ( )) 5 d B P( , ( )) 1. d A P( , ( ))d M P( , ( ))d B P( , ( )) Vậy: d M P( , ( ))min  1 M B

Câu 16: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu        

2 2

:

S x  y  z 

mặt phẳng

 P : 2x2y  z

Gọi M a b c ; ;  điểm mặt cầu  S cho khoảng cách từ M đến  P lớn Khi

A a  b c B a  b c C a  b c D a  b c Hướng dẫn giải:

Chọn C

Mặt cầu   S : x12y22z32 9 có tâm I1; 2;3 bán kính R3

(192)

Suy phương trình tham số đường thẳng d

1 2

x t

y t

z t

   

  

   

Gọi A B, giao d  S , tọa độ A B, ứng với t nghiệm

phương trình 1 12 2 22 3 32 1

t

t t t

t             

  

Với 3; 0; 4  ; ( ) 13

3

t  A d A P 

Với  1; 4; 2  ; ( )

3

t   B  d B P 

Với điểm M a b c ; ;   S ta ln có d B P ;( )d M ; ( )P d A P ; ( ) 

Vậy khoảng cách từ M đến  P lớn 13

3 M3; 0; 4

Do a  b c

Câu 17: Trong không gian Oxyz cho điểm , , , Gọi

M điểm nằm đường thẳng CD cho tam giác MAB có chu vi bé Khi

toạđộđiểm M là:

A B C D

Tam giác MAB có độ dài cạnh khơng đổi, chu vi bé bé

; Vì nên , suy điểm M cần tìm

hình chiếu vng góc A, hình chiếu vng góc Blên đường thẳngCD Từ

đó tìm điểm

Chọn A

Câu 18: Cho hình chóp O ABC có OAa OB, b OC, c đơi vng góc với Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng đến mặt phẳng

OBC , OCA , OAB 1,2,3 Khi tồn a b c, , thỏa thể tích khối chóp O ABC nhỏ

nhất, giá trị nhỏ thể tích khối chóp O ABC

A 18 B 27

C 6 D Không tồn a b c, , thỏa yêu cầu toán Hướng dẫn giải:

Chọn hệ trục tọa độ thỏa O0, 0, , A a , 0, , B0, , ,b  C0, 0,c

Điểm M cốđịnh thuộc tam giác ABC có khoảng đến mặt phẳng

OBC , OCA, OAB 1,2,3 nên tọa độđiểm M (1,2,3)

2;3; 2

A B6; 1; 2   C 1; 4;3 D1; 6; 5 

0;1; 1

M  M2;11; 9  M3;16; 13  M 1; 4;3

4

AB MAMB

4; 4; 4 AB   

2;10; 8

CD   AB CD 0 ABCD 0;1; 1

(193)

Phương trình mặt phẳng (ABC)

Vì M thuộc mặt phẳng (ABC) nên

VOABC=

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

Chọn B

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M1; 2;1 Mặt phẳng  P thay đổi qua M cắt tia Ox Oy Oz, , A B C, , khác O Tính giá trị nhỏ thể tích khối tứ diện OABC

A 54 B 6 C 9 D 18.

Gọi A a ; 0; , B0; ; ,b  C0, 0,c với a b c, , 0

Phương trình mặt phẳng  P : x y z

a bc 

Vì: M  P 1

a b c

    

Thể tích khối tứ diện OABC là:

OABC

V  abc

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 33 1.

abc a b c

Hay 1 33 1 54

abc abc

   Suy ra: 54

6

abc  abc

Vậy: VOABC 9

Câu 20: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm với Giả sử thay đổi thỏa mãn khơng đổi Diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn

A B C D

Hướng dẫn giải: Phương trình (ABC):

1

x y z

abc 

1

abc 

1 6abc

3

1 1 1

1 27

6abc

a b c a b c

     

 ; 0; , 0; ; , 0; 0; 

A a B b C c a b c, , 0

, ,

a b c 2 2

a b c k

2

3

k

6

k

3

k k2

(194)

Gọi hình chiếu vng góc O lên

Khi

Ta có

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có

Dấu “=” xảy

Vậy

Chọn B

Câu 21: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) qua điểm , cắt tia Ox Oy Oz, , A B C, , cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ

A B C D

Giá sử

Khi PT mặt phẳng (P) có dạng:

Ta có:  (1); (2)

(1)  ≥ 

Dấu "=" xảy   (P):

 ; ; 

H x y z ABC

       

     

2

2 2

2

2 2

2

2 2

0

ab c x

ab bc ca

H ABC bcx cay abz abc a bc

OH AB ax by y

ab bc ca

OH AC ax cz

a b c z

ab bc ca

  

 

 

     

  

      

  

 

   

  



  

 

 

 2  2  2 abc

OH

ab bc ca

 

 

1

6

OABC

V  OA OB OC  abc

 2  2  2

3

2 ABCD ABC

V

S ab bc ca

OH 

    

4 4 4

2 2 2 4

2 2

a b b c c a

a b b c c a       a b c

a b c

4

1

max

2

k k

S 

M(9;1;1)

  1 3

x y z

  1 27 3

x y z

   27 3

x y z

   1 27 3

x y z

A a( ;0; 0)Ox B, (0; ;0)b Oy C, (0;0; )c Oz ( , ,a b c0)

x y z

abc 1

M(9;1;1) ( ) P

a b c

9 1

   VOABC 1abc

6



abc9bcacab 9(3 abc)2 (abc)327.9(abc)2 abc243

a bc ac ab

b c a b c

27

3 1

1 3

 

  

 

  

   

  



x y z

(195)

Chọn B

Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có điểm A trùng với gốc tọa độ, B a( ; 0; 0),D(0; ; 0),a A(0; 0; )b với (a0,b0) Gọi M trung điểm cạnh CC Giả sử ab4, tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện A BDM ?

A max 64

27

A MBD

V   B maxVA MBD 1

C max 64

27

A MBD

V    D max 27

64

A MBD V   Hướng dẫn giải:

Ta có: ( ; ; 0), ( ;0; ), (0; ; ), ( ; ; ) ; ;

2

b C a a B a b D a b C a a b M a a 

 

Suy ra: ( ; 0; ), (0; ; ), ; ;

2

b A B  a b A D  a b AM a a  

 

  

2

, ( ; ; ) ,

2 A MBD

a b a b

A B A D ab ab a A B A D A M V 

        

     

   

    

Do a b, 0 nên áp dụng BĐT Côsi ta được: 4 1 33 2 64

2 27

a b a a b a b a b

       

Suy ra: max 64

27

A MBD

V  

Chọn A

Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;5;0 , B3;3;6 đường thẳng  có phương trình tham số

1 2

x t

y t

z t    



  

  

Một điểm M thay đổi đường thẳng  cho

chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ Tọa đô điểm M chu vi tam giác ABC

A M1; 0; ; P = 2( 11 29) B M1; 2; ; P = 2( 11 29)

C M1; 0; ; P = 11 29 D M1; 2; ; P = 11 29

Gọi P chu vi tam giác MAB P ABAM BM

Vì AB không đổi nên P nhỏ AM BM nhỏ

Điểm M  nên M 1 ;1t t; 2t AM BM  (3 )t 2(2 5)2  (3t6)2(2 5)2 Trong mặt phẳng tọa độOxy, ta xét hai vectơ u3 ; 5t  v   3t6; 5

Ta có u  (3 )t 2(2 5) ;2 v  (3t6)2(2 5)2

(196)

Mặt khác, ta ln có | |u | | |v  u v| Như AMBM 2 29

Đẳng thức xảy u v , hướng

3

t

t t

   

 

(1; 0; 2)

M

 min(AM BM)2 29 Vậy M(1;0;2) minP = 2( 11 29)

Định dạng
Số trang	196
Dung lượng	10,19 MB