Đang tải... (xem toàn văn)
với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I. Do đó AKDE là tứ giác nội tiếp. Phương pháp 3 chứng minh: “ Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằn[r]
(1) Sưu tầm
CÁC BÀI TOÁN
VỀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP
(2)Chủ đề 1: CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
Tứ giác nội tiếp đường tròn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn Đường trịn gọi đường trịn ngoại tiếp tứ giác
I Phương pháp chứng minh: Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cách điểm CÁC VÍ DỤ
Mức độ 1: NB
Cho hình thang ABCD (AB/ / ,CD AB <CD) có
60
C=D= ,CD=2AD Chứng minh bốn điểm
, , ,
A B C D thuộc đường tròn
Hướng dẫn giải
Gọi I trung điểm CD, ta có / /
IC AB
ICBA
IC AB
=
⇒
hình hành⇒BC= AI (1)
Tương tự AD=BI (2)
ABCDlà hình thang có C =D=600 nên ABCDlà hình thang cân(3); mà
Từ (1), (2), (3) ta có hai tam giác ICB IAD; hayIA=IB=IC=ID hay bốn điểm A B C D, , , thuộc đường tròn
Cho hình thoiABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo M N R, , S hình chiếu O AB BC CD, , DA Chứng minh bốn điểm M N R, , Scùng thuộc đường tròn
(3)Do ABCD hình thoi nên O trung điểm AC, BD; AC, BD phân giác góc , , ,A B C D nên MAO SAO NCO PDO OM ON OP OS
∆ = ∆ = ∆ = ∆ ⇒ = = = hay bốn điểm M N R, , S thuộc đường tròn
Cho tam giác ABC có đường cao BH vàCK
Chứng minh , , , B K H C nằm đường tròn Xác định tâm đường trịn
Hướng dẫn giải
Gọi I trung điểm CB, ∆CHB;∆CKB vuông H K, nên IC=IB=IK =IH hay , , , B K H C nằm đường tròn tâm I
Mức độ 2: TH
Cho đường tròn tâm O đường kínhAB Vẽ dây cung CD vng góc với AB I (I nằm A O ) Lấy điểm E cung nhỏ BC (E khác B C ),AE cắt CD F Chứng minh: BEFI tứ
giác nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải
F
E
I O
D C
B A
Tứ giác BEFI có: BIF=900(gt)
BEF=BEA=90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy tứ giác BEFI nội tiếp đường trịn đường kính BF
Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O R; ) ta vẽ hai tiếp tuyến AB AC, với đường tròn (B, C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M , vẽ MI ⊥AB ,MK ⊥AC, MI⊥AB, MK⊥AC
(I∈AB K, ∈AC)
(4)b) VẽMP⊥BC (P∈BC) Chứng minh: CPMK tứ giác nội tiếp Hướng dẫn giải
H
O P
K I
M
C B
A
a) Ta có:AIM =AKM=900(gt), suy tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM b) Tứ giác CPMK có
MPC=MKC=90 (gt) Do CPMK tứ giác nội tiếp
Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt tạiE Lấy I thuộc cạnh AB, M thuộc cạnh BC cho: IEM=900( I M không trùng với đỉnh hình vng )
a) Chứng minh BIEM tứ giác nội tiếp đường trịn b) Tính số đo góc IME
c) Gọi N giao điểm tia AM tia DC; K giao điểm BN tia EM Chứng minBKCE tứ giác nội tiếp
Hướng dẫn giải
I
E M
N
B C
A D
K
a)Tứ giác BIEM :IBM =IEM=900(gt);hay tứ giác BIEM nội tiếp đường trịn đường kính IM b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra: IME =IBE=450(do ABCD hình vng)
c) ∆EBI ∆ECM cóBE=CE, BEI =CEM( IEM =BEC=900)
(5)Vì CN / / BA nên theo định lí Thalet, ta có: MA MB
MN= MC= IA
IB Suy IM song song với BN
(định lí Thalet đảo)
BKE IME 45
⇒ = = (2) Lại có
BCE=45 (do ABCD hình vuông) Suy BKE =BCE⇒ BKCE tứ giác nội tiếp
Mức độ 3: VDT
Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB=2R tia tiếp tuyến Ax phía với nửa đường trịn AB Từ điểm M Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C tiếp điểm).AC cắt
OM E; MB cắt nửa đường tròn ( )O D (D khác B ) Chứng minh: AMCO AMDE tứ giác nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải
x N
I H E D M
C
O B
A
Vì MA MC, tiếp tuyến nên: MAO =MCO=900 ⇒ AMCO tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MO
ADB=90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)⇒ADM=900(1)
Lại có: OA=OC=R; MA=MC (tính chất tiếp tuyến) Suy OM đường trung trực AC
AEM 90
⇒ = (2)
Từ (1) (2) suy AMDE tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA
Cho hai đường trịn ( )O (O )′ cắt A B Vẽ AC, AD thứ tự đường kính hai đường trịn ( )O (O )′
a) Chứng minh ba điểm C B D, , thẳng hàng
b) Đường thẳng AC cắt đường tròn(O )′ E; đường thẳng ADcắt đường tròn ( )O F (E F, khác A) Chứng minh bốn điểm C D E F, , , nằm đường tròn
(6)d
K I
N M
F E
O/ O
C
D B
A
a) ABC ABDlần lượt góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ( )O (O )′ ⇒ABC =ABD=900 Suy C B D, , thẳng hàng
b) Xét tứ giác CDEF có:
CFD=CFA=90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))
CED=AED=90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O/)
CFD CED 90
⇒ = = suy CDEF tứ giác nội tiếp
Cho đường tròn ( )O (O )′ cắt hai điểm A B phân biệt Đường thẳng OAcắt ( )O ,
(O )′ điểm thứ hai C D Đường thẳng O A′ cắt ( )O , (O )′ điểm thứ hai E E, F
1 Chứng minh đường thẳng AB, CE DF đồng quy điểm I Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải:
I
Q
O O'
F H
P E
D
C B
A
Ta có: ABC=90o(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
o
ABF=90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) nên B, C, F thẳng hàng AB, CE DF đường cao tam giác ACF nên chúng đồng quy
2 Do IEF =IBF=900 suy BEIFnội tiếp đường tròn Mức độ 4: VDC
(7)a) Chứng minh ACNM BDNM tứ giác nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆CMD từ suy IMKN tứ giác nội tiếp Hướng dẫn giải
K I
y x
D
C N
M O B
A
a)Ta có tứ giác ACNM có: MNC=900(gt) MAC =900( tínhchất tiếp tuyến)
⇒ ACNM tứ giác nội tiếp đường trịn đường kínhMC Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường trịn đường kính.MD
b) ∆ANB ∆CMD có:
ABN=CDM (do tứ giác BDNM nội tiếp)
BAN=DCM (do tứ giác ACNM nội tiếp ) nên ∆ANB∆CMD (g.g)
c) ∆ANB∆CMD ⇒CMD =ANB=90o(do ANB góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ( )O ) Suy
IMK=INK=90 ⇒ IMKN tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính IK
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Mức độ 1: NB
Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M N, hình chiếu B đường thẳng AC AD, Chứng minh bốn điểm A B M N, , , nằm đường tròn
HD: Chứng minh bốn điểm A B M N, , , cùng nằm đường trịn đường kính AB
Bài Cho tam giác ABC có hai đường cao BD CE cắt tạiH
Chứng minh bốn điểm A D H E, , , nằm đường trịn (gọi tâm O) HD Chứng minh bốn điểm A D H E, , , cùng nằm đường trịn đường kính AB
Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O R; ) Các đường cao BE CF cắt tạiH
Chứng minh: AEHF BCEFlà tứ giác nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải:
Tứ giác AEHF có:
AEH=AFH=90 (gt) Suy AEHF tứ giác nội tiếp - Tứ giác BCEF có: BEC =BFC=900(gt) Suy BCEF tứ giác nội tiếp
II Phương pháp chứng minh “Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù ( tổng hai góc đối diện
(8)I
E
x M O
C B
A
Mức độ 1: NB
Hình chữ nhật; Hình thang cân; Hình bình hành Hình nội tiếp đường trịn? Chứng minh Hướng dẫn giải
Ta có hình chữ nhật hình thang cân có tổng hai góc đối diện bù nên chúng nội tiếp đường tròn
Cho tứ giác ABCD cho: AD cắt BC M MA MD =MB MC Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp
Hướng dẫn giải
Xét hai tam giác MAB, MCD
Có AMB=CMD MA MD MB MC MA MC
MB MD
= ⇒ = hay ∆MAB∆MCD hay
o
180
MCD=MAB⇒DAB+BCD= hay tứ giác ABCD nội tiếp
Cho đường trịn (O R; ),đường kính AB DâyBC=R Từ B kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn Tia AC cắt Bxtại M Gọi E trung điểm AC
Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải
Ta có E trung điểm AC⇒OE⊥ AC
Mà Bx⊥AB ⇒ ABx=90onên tứ giác OBME nội tiếp Mức độ 2: TH
Cho đường trịn tâm O đường kínhAB Vẽ dây cung CD vng góc với AB I (I nằm A O ) Lấy điểm E cung nhỏ BC (E khác B C ),AE cắt CD F Chứng minh: BEFI tứ giác nội tiếp đường tròn
Hướng dẫn giải
F
E
I O
D C
B A
(9)Cho đường trịn tâm O đường kínhAB, điểm M nửa đường trịn (M khác A, B ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I ; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax tạiH, cắt AM K Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp
Hướng dẫn giải
X
2 1 2
1
E K I
H
F M
B O
A
Ta có: AMB=90o ( nội tiếp chắn nửa đường trịn ) ⇒KMF=90o (vì hai góc kề bù)
90o
AEB= ( nội tiếp chắn nửa đường trịn ) ⇒KEF=90o (vì hai góc kề bù)
180o
KEF KMF
⇒ + = EFMKlà tứ giác nội tiếp
Cho đường tròn tâm O đường kínhAB, Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đường tròn Các tia AC AD cắt Bx E, F (F B E)
1 Chứng minh: ABD=DFB
2 Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp
D C
A O B
F E
X
Hướng dẫn giải: 1) ∆ADB có o
90
ADB= ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) o
90
ABD BAD
⇒ + = (vì tổng ba góc tam giác 180o)(1)
ABF
∆ có ABF =90o ( BF tiếp tuyến ).⇒ AFB+BAF =90o(vì tổng ba góc tam giác
o
180 ) (2)
Từ (1) (2) ⇒ ABD=DFB
2) Tứ giác ACDB nội tiếp ( )O ⇒ABD +ACD = 180o
o
180
ECD ACD
⇒ + = ∠( Vì hai góc kề bù) ⇒ ECD=DBA
Theo ABD=DFB,ECD =DBA⇒ ECD=DFB Mà o
180
EFD +DFB = ( Vì hai góc kề bù)
nên o
180
ECD AEFD
(10)Cho đường tròn (O R; ); AB CD hai đường kính khác đường trịn Tiếp tuyến B
đường tròn (O R; ) cắt đường thẳng AC, AD thứ tự E F a) Chứng minh tứ giác ACBD hình chữ nhật
b) Chứng minh ∆ACD∆CBE
c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải
F E
O D
C
B A
a) Tứ giác ACBD có hai đường chéo AB CD cắt trung điểm đường, suy ACBD hình chữ nhật
b) Tứ giác ACBD hình chữ nhật suy CAD =BCE=900(1) Lại có CBE
2
= sđBC(góc tạo tiếp tuyến dây cung); ACD
= sđAD(góc nội tiếp), mà
BC=AD(do BC= AD ) ⇒CBE =ACD(2) Từ (1) (2) suy ∆ACD∆CBE
c) Vì ACBDlà hình chữ nhật nên CB song song vớiAF, suy ra: CBE =DFE(3) Từ (2) (3) suy ACD =DFE tứ giác CDFE nội tiếp đường trịn
Cho nửa đường trịn đường kính BC=2R Từ điểm A nửa đường tròn vẽ AH ⊥BC Nửa đường trịn đường kínhBH , CH có tâm O1; O2 cắt AB CA thứ tự D E
a) Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật, từ tính DE biết R=25 BH =10 b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường trịn
Hướng dẫn giải
a) Ta có BAC =90o(vì góc nội tiếpchắn nửa đường trịn) Tương tự có o
BDH=CEH=90
Xét tứ giác ADHE có A =ADH=AEH=90ohay ADHE hình chữ nhật
Từ DE= AH mà AH2=BH CH (Hệ thức lượng tam giác
vuông)
hay AH2 =10.40=202(BH =10;CH =2.25 10− =40)⇒DE=20
b) Ta có:BAH = C (góc có cạnh tương ứng vng góc) mà DAH =ADE (1)
(Vì ADHE hình chữ nhật) => C =ADE C BDE + =180o nên tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn Cho đường tròn (O R, ) đường kính AB Các tia AC, AD cắt Bx E F (Fnằm
B E)
O1 O2
D
O
B H C
A
(11)Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp Hướng dẫn giải
D C
A O B
F E X
thật vậy. ABD=BFD(1) (cùng phụ với DBF )
Mặt khác A B C D, , , nằm đường tròn nên ECD= ABD(2) Từ (1) (2) ECD=BFD⇒ECD +EFD=180o hay CEFD tứ giác nội tiếp Mức độ 4: VDC
Cho ∆ABC cân A, I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường tròn bàng tiếp góc A, O trung điểm củaIK Chứng minh bốn điểm B I C K, , , thuộc đường tròn tâm O
2
2
4
1
K I H
B C
A
O
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết ta có:B = B , B = B Mà 1
0
1
B + B + B + B = 180 B 2+B3 =900 Tương tự
2
C + C = 90
Xét tứ giác BICK có B + C = 180 ⇒ bốn điểm B I C K, , , thuộc đường trịn tâm O đường kính IK Cho tam giác ∆ABCvuông A (AB>AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB E, nửa đường trịn đường kính HC cắt AC F Chứng minh:
1) Tứ giác AFHE hình chữ nhật
(12)o2 o1 o
e f
h
c b
a
Từ giả thiết suy
CFH = 90 , HEB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Trong tứ giác AFHE có: A=F=E= 90 o ⇒ AFHE hình chữ nhật
2) Vì AFHE hình chữ nhật ⇒ AFHEnội tiếp ⇒ AFE = AHE (góc nội tiếp chắn AE ) (1) Ta lại có AHE = ABH (góc có cạnh tương ứng ⊥) (2)
Từ (1) (2)
⇒AFE = ABH mà
CFE + AFE = 180
CFE + ABH = 180
⇒ Vậy tứ giác BEFC nội tiếp
Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB C điểm nằm O A Đường thẳng vng góc
với AB C cắt nửa đường tròn I K điểm nằm đoạn thẳng CI (K khác C I ), tia AK cắt nửa đường tròn ( )O M , tia BM cắt tia CI D
Chứng minh:
1) ACMD tứ giác nội tiếp đường tròn 2) ∆ABD ~∆MBC
3) AKDE tứ giác nội tiếp Hướng dẫn giải
E
D
M I
C K
O B
A
1) Ta có: AMB=900(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)⇒AMD=900 Tứ giác ACMD có
AMD=ACD=90 , suy ACMD nội tiếp đường trịn đường kính AD
2) ∆ABD ∆MBC có: B chung BAD =BMC (do ACMDlà tứ giác nội tiếp) Suy ra: ∆ABD ~∆MBC (g – g)
3) Lấy E đối xứng với B qua C E cố định EDC =BDC, lại có: BDC=CAK (cùng phụ với B), suy ra: EDC =CAK Do AKDE tứ giác nội tiếp
(13)CÁC VÍ DỤ Mức độ 1: NB
Cho tam giác ABC,lấy điểm Dthay đổinằm cạnh BC (D không trùng với B C).Trên tia AD lấy điểm P cho D nằm A P đồng thời DA DP DB DC .Đường tròn T qua hai điểm A D, cắt cạnh AB AC, F E Chứng minh rằng: Tứ giác ABPC nội tiếp
1
1
1 1 1
2
P
H K
F
E
D C
B
A
Hướng dẫn giải:
Ta có DA DP DB DC DA DC
DB DP
= ⇒ = mà ADB=CDP nên hai tam giác ADB CDP, đồng dạng Suy ra,
DAB DCP Tứ giác ABPC nội tiếp
Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O R; ) ta vẽ hai tiếp tuyếnAB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M, vẽMI⊥ AB, MK ⊥AC (I∈AB K, ∈AC ) Chứng minh: AIMK tứ giác nội tiếp đường tròn
Hướng dẫn giải
H
O P
K I M
C B
A
Ta có:AIM =AKM=900(gt), suy tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM
(14)Hướng dẫn giải:
K I
y x
D
C N
M O B
A
Tứ giác ACNMcó: MNC=90o(gt) MAC=90o( tínhchất tiếp tuyến)
⇒ ACNM tứ giác nội tiếp đường trịn đường kínhMC Tương tự tứ giác BDNMnội tiếp đường trịn đường kính MD
Mức độ 2: TH
Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O R; ) ta vẽ hai tiếp tuyếnAB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M , vẽMI ⊥AB, MK ⊥AC (I∈AB K, ∈AC )
a) Chứng minh: AIMK tứ giác nội tiếp đường tròn b) Vẽ MP⊥BC (P∈BC) Chứng minh: MPK =MBC Hướng dẫn giải
H
O P
K I
M
C B
A
a) Ta có:AIM =AKM=900(gt), suy tứ giác AIMK nội tiếp đường trịn đường kính AM
b) Tứ giác CPMK có MPC =MKC=900(gt) Do CPMKlà tứ giác nội tiếp⇒MPK =MCK(1) Vì KC tiếp tuyến ( )O nên ta có: MCK =MBC (cùng chắn MC ) (2)
Từ (1) (2) suy MPK =MBC(3)
Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI tứ giác nội tiếp
(15)Hướng dẫn giải:
Vì AB⊥CD nên AC =AD
Suy MHB =MKB (vì 1(sdAD sdMB)
2 + ⇒ tứ giác BMHKnội tiếp đường tròn
Cho đường trịn ( )O có đường kính AB Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn ( )O Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By Đường thẳng qua N vng góc với MN cắt Ax By thứ tự C D
a) Chứng minh ACNM BDNM tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ∆ANB ∆CMD
c) Gọi I giao điểm AN CM, K giao điểm BN DM Chứng minh IMKN tứ giác nội tiếp
Hướng dẫn giải:
K I
y x
D
C N
M O B
A
Tứ giác ACNMcó: MNC=90o(gt) MAC=90o( tínhchất tiếp tuyến)
⇒ ACNM tứ giác nội tiếp đường trịn đường kínhMC Tương tự tứ giác BDNMnội tiếp đường trịn đường kính MD
b) ∆ANB ∆CMD có:
ABN=CDM(do tứ giác BDNM nội tiếp)
BAN=DCM(do tứ giác ACNM nội tiếp) ⇒∆ANB ∆CMD (g.g)
c) ∆ANB ∆CMD ⇒CMD =ANB=90o (do ANBlà góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)) Suy IMK =INK=90o ⇒ IMKN tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính IK
(16)Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Lấy I thuộc cạnh AB, M thuộc cạnh BC cho: IEM=900( I M không trùng với đỉnh hình vng )
a) Chứng minh BIEM tứ giác nội tiếp đường trịn b) Tính số đo góc IME
c) Gọi N giao điểm tia AM tia DC; K giao điểm BN tia EM Chứng minBKCE tứ giác nội tiếp
Hướng dẫn giải
I
E M
N
B C
A D
K
a)Tứ giác BIEM :IBM =IEM=900(gt);hay tứ giác BIEM nội tiếp đường trịn đường kính IM b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra: IME =IBE=450(do ABCD hình vng)
c) ∆EBI ∆ECM cóBE=CE, BEI =CEM(
IEM=BEC=90 )
⇒ ∆EBI =∆ECM (g-c-g) ⇒MC=IB⇒MB=IA Vì CN / / BA nên theo định lí Thalet, ta có: MA MB
MN= MC= IA
IB Suy IM / /BN (định lí Thalet đảo)
BKE IME 45
⇒ = = (2) Lại có
BCE=45 (do ABCD hình vng) Suy BKE =BCE⇒ BKCE tứ giác nội tiếp
Cho đường tròn ( )O với dây BC cố định điểm A thay đổi cung lớn BC cho AC> AB AC>BC Gọi D điểm cung nhỏ BC Các tiếp tuyến ( )O D C cắt E Gọi P, Q giao điểm cặp đường thẳng AB với CD; AD với CE
1) Chứng minh rằng: DE/ /BC
(17)q o
p
e d
c b
a
1) CDE DC BD = BCD
1
2Sđ = Sđ
= ⇒DE/ /BC
2) APC (AC - DC) = AQC 2sđ
=
⇒ PACQ nội tiếp đường trịn (vì APC = AQC )
Cho tam giác ABC có
90
C< <B , đường cao AH trung tuyến AM a) Chứng minh BAC =900 BAH =MAC
b) Nếu BAH =MAC tam giác ABC có vng khơng, sao? Hướng dẫn giải
M H
B
A C
N
Ta có: BAH =BCA (cùng phụ với ABC)
MCA=MAC(Tam giác MAC cân M theo tính chất trung tuyến tam giác vng) Suy BAH =MAC
b) Giả sử tam giác ABC tam giác vuông Kẻ đường cao CN tam giác ABC
Ta có MAC =BAH (giả thiết)
BAH =BCN (cùng phụ với ABC)
MCN =MNC (Tam giác MNC cân N )
Suy MAC =MNC Do ACMN tứ giác nội tiếp mà ANC =900⇒ AMC =900 ⇒H ≡M
Suy tam giác ABC cân (mâu thuẫn giả thiết)
(18)Mức độ 4: VDC
Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B C nửa đường trịn đường kính AD, tâm O Hai đường chéo AC BD cắt E Gọi H hình chiếu vng góc E xuống AD I trung điểm DE Chứng minh rằng:
1) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đường tròn 2) E tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH
3) Năm điểm , , , , B C I O H thuộc đường tròn
Hướng dẫn giải
I O H E
D C
B
A
1) Tứ giác ABEHcó: B = 90 (góc o nội tiếp nửa đường trịn); H = 90 o (giả thiết) nên tứ giác ABEHnội tiếp
Tương tự, tứ giác DCEHcó C = H = 90 o, nên nội tiếp
2) Trong tứ giác nội tiếpABEH, ta có: EBH = EAH (cùng chắn cung EH ) Trong ( )O ta có: EAH = CAD = CBD (cùng chắn cung CD )
Suy ra: EBH = EBC , nên BE tia phân giác góc HBC
Tương tự, ta có: ECH = BDA = BCE , nên CE tia phân giác góc BCH Vậy E tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH
3) Ta có I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vng ECD, nên BIC = 2EDC (góc nội tiếp góc tâm chắn cung EC ) Mà EDC = EHC , suy BIC = BHC
+ Trong ( )O , BOC = 2BDC = BHC (góc nội tiếp góc tâm chắn cung BC ) Hay năm điểm B C I O H, , , , thuộc đường trịn
Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt tạiE Lấy I thuộc cạnh AB, M thuộc cạnh BC cho: IEM=900(I M khơng trùng với đỉnh hình vuông )
a) Chứng minh BIEM tứ giác nội tiếp đường trịn b) Tính số đo góc IME
c) Gọi N giao điểm tia AM tia DC; K giao điểm BN tia EM Chứng minh BKCElà tứ giác nội tiếp, từ suy : CK ⊥ BN
(19)I
E M
N
B C
A D
K
a) Tứ giác BIEM có:IBM =IEM=900(gt); suy tứ giác BIEM nội tiếp đường trịn đường kính IM b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra: IME =IBE=450(do ABCDlà hình vng)
c) ∆EBI ∆ECM có:IBE =MCE=450, BE=CE, BEI =CEM( IEM =BEC=900)
( )
EBI ECM g c g MC IB MB IA
∆ = ∆ ⇒ = ⇒ =
⇒ Vì CN/ /BA nên theo định lí Thalet, ta có:
MA MB
MN = MC= IA
IB Suy MI / /BN (định lí Thalet đảo)
BKE IME 45
⇒ = = (2) Lại có
BCE=45 (do ABCD hình vng) Suy BKE =BCE⇒ BKCE tứ giác nội tiếp
Suy ra: BKC BEC 180 + = 0mà BEC=900; suy BKC =900; hay CK ⊥ BN
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp ( )O , đường cao BD, CE cắt H (D∈AC E; ∈AB) Kẽ
đường kính BK , Kẽ CP⊥BK (P∈BK)
a) Chứng minh BECD tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh EDPC tứ giác nội tiếp, từ suy ED=CP ( trích HK2-Sở bắc ninh 2016-2017)
Hướng dẫn giải
(20)Nên BECD, EDPC tứ giác nội tiếp
CHỦĐỀ 3- GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN, TỨ GIÁC NỘI TIẾP A.BÀI TẬP MINH HỌA
Câu Cho tứ giác ABCD có đường trịn đường kính AD tiếp xúc với BC đường trịn
đường kính BC tiếp xúc với AD Chứng minh AB/ /CD
Câu Cho tam giác ABC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A vẽ nửa đường
trịn đường kính BC , D điểm nủa đường tròn cho sđCD 600 Gọi M là giao điểm
của AD với BC Chứng minh BM 2MC
Câu Cho đường tròn O R; O R'; ' tiếp xúc A RR' Tiếp tuyến điểm M
bất kỳ O R'; ' cắt O R; B C Chứng minh BAM MAC
Câu Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O R; , AH đường cao H BC Chứng
minh rằng: AB AC 2 R AH
Câu Cho tam giác ABC có A nhọn nội tiếp đường tròn O R; Chứng minh rằng:
2 sin
BC R BAC
Câu Cho hai đường tròn O O' cắt A B Qua A vẽ hai cát tuyến CAD EAF (C E nằm đường tròn O , D F nằm đường tròn O' ) cho
CAB BAF Chứng minh CD EF
Câu Cho đường tròn O đường kính AB C điểm cung AB (C khác A B) Vẽ
CH AB H AB Vẽđường tròn C CH; cắt đường tròn O D E DE cắt CH
M Chứng minh MH MC
Câu Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O R; Vẽ AD đường cao tam giác ABC
Chứng minh BAD OAC
Câu Cho hình bình hành ABCD Đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD cắt đường thẳng AC
tại E Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE tiếp xúc với BD
Câu 10 Cho đoạn thẳng AB M điểm di động đoạn thẳng AB (M khác A B) Vẽ
đường thẳng xMy vng góc với AB M Trên tia Mx lấy C D cho
,
MC MA MD MB Đường trịn đường kính AC cắt đường trịn đường kính BD N (N
khác A) Chứng minh đường thẳng MN luôn qua điểm cốđịnh
Câu 11 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O R; có đỉnh A cốđịnh, đỉnh B C, di
động.Dựng hình bình hành ABDC Chứng minh trực tâm H tam giác BDC điểm
(21)Câu 12 Cho tam giác nhọn ABC Vẽđường tròn O đường kính BC Vẽ AD đường cao
của tam giác ABC, tiếp tuyến AM AN, với đường tròn O (M N, tiếp điểm) MN
cắt AD E Chứng minh E trực tâm tam giác ABC
Câu 13 Cho tam giác nhọn ABC , trực tâm H Từ A vẽ tiếp tuyến AM AN, với đường trịn
O đường kính BC (M N, tiếp điểm) Chứng minh M H N, , thẳng hàng
Câu 14 Cho tam giác ABC cân đỉnh A, đường trung trực AB cắt BC D Chứng minh
rằng AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD
Câu 15 Cho tam giác ABC A 900và AB AC Vẽđường trịn tâm A bán kính AB cắt BC D, cắt AC E Chứng minh DB CB. EB2
Câu 16 Cho tam giác vuông ABC nội tiếp đường tròn O R AB; AC A, 900 Đường tròn
I qua B C, tiếp xúc với AB B, cắt đường thẳng AC D Chứng minh OABD
Câu 17 Cho đoạn thẳng AB 2a có trung điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AB
dựng nửa đường trịn O đường kính AB nửa đường trịn O' đường kính AO Trên O'
lấy điểm M(khác A O), tia OM cắt O C , gọi D giao điểm thứ hai CA với O'
a) Chứng minh tam giác ADM cân
b) Tiếp tuyến C O cắt tia OD E, xác định vịtrí tương đối đường thẳng EA
đối với O O'
Câu 18 Cho đường trịn tâm O có đường kính AB 2R Gọi M điểm di động đường
tròn O Điểm M khác A B, ; dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với AB H Từ A B kẻ
hai tiếp tuyến AC BD với đường tròn tâm M vừa dựng
a) Chứng minh BM AM, tia phân giác góc ABD BAC
b) Chứng minh ba điểm C M D, , nằm tiếp tuyến đường tròn tâm O điểm M
c) Chứng minh AC BD không đổi, từđó tính tích AC BD theo CD
d) Giả sử ngồi A B, nửa đường trịn đường kính AB khơng chứa M có điểm N cố
định gọi I trung điểm MN , kẻ IP vng góc với MB Khi M chuyển động P
chuyển động đường cốđịnh
Câu 19 Cho nửa đường trịn O đường kính AB, điểm C thuộc nửa đường tròn Gọi I
điểm AC, E giao điểm AI BC Gọi K giao điểm AC BI
a) Chứng minh EK AB
(22)c) Chứng minh AK AC. BK BI. AB2
d) Nếu sin
3
BAC Gọi H giao điểm EK AB Chứng minh
KH KH HE HE KE
Câu 20 Cho đường trịn O đường kính AB 2A, điểm C thuộc đường tròn C A C, B
Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn O Gọi M
điểm cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax Q, tia AM cắt BC N
a) Chứng minh tam giác BAN MCN cân
b) Khi MB MQ, tính BC theo R
Câu 21 Cho đường tròn O R; đường kính AC Trên đoạn thẳng OC lấy điểm B vẽ
đường trịn O' có đường kính BC Gọi M trung điểm AB, qua M kẻ dây cung vng
góc với ABcắt đường tròn O D E Nối CD cắt đường tròn O' I
a) Tứ giác DAEB hình có đặc tính gì? Vì sao?
b) Chứng minh MD MI MI tiếp tuyến đường tròn O'
c) Gọi H hình chiếu vng góc I BC Chứng minh CH MB BH MC
Câu 22 Cho tam giác ABC đều, dựng nửa đường trịn tâm D đường kính BC tiếp xúc với ,
AB AC K L, Lấy điểm P thuộc cung nhỏ KL, dựng tiếp tuyến với nửa đường
tròn P cắt cạnh AB AC, M N,
a) Chứng minh BMD CDN suy
4 BC
BM CN
b) Chứng minh
2
MDN ABC
S MN
S BC
c) Gọi E F, nằm cạnh AB AC, cho chu vi AEF nửa chu vi ABC
Chứng minh EDF 600
Câu 23 Cho tam giác ABC có AC 2AB nội tiếp đường tròn O R; Các tiếp tuyến đường tròn O A C, cắt M BM cắt đường tròn O D Chứng minh rằng:
a) MA AD
MB AB b) AD BC AB CD
c) AB CD AD BC AC BD d) CBD cân
Câu 24 Trên nửa đường tròn tâm O R; , đường kính AB lấy hai điểm M E, theo thứ tự , , ,
A M E B Hai đường thẳng AM BE cắt C , AE BM cắt D
(23)b) Gọi H giao điểm CD AB Chứng minh BE BC BH BA
c) Chứng minh tiếp tuyến M E đường tròn O cắt điểm I
thuộc CD
d) Cho BAM 45 ,0 BAE 300 Tính diện tích tam giác ABC theo R
Câu 25 Cho tam giác ABC đều, gọi O trung điểm cạnh BC Các điểm D E, di
động cạnh AB AC, cho DOE 600
a) Chứng minh BD CE không đổi,
b) Chứng minh tia DO tia phân giác BDE
c) Dựng đường tròn tâm O tiếp xúc với AB Chứng minh đường trịn ln tiếp xúc
với DE AC
d) Gọi P Q, tiếp điểm O với AB AC, I N giao điểm PQ
với OD OE Chứng minh DE 2IN
Câu 26 Cho đường tròn O R; điểm A ởbên ngồi đường trịn Vẽ hai tiếp tuyến AB AC,
với đường tròn O (B C, tiếp điểm) Gọi M trung điểm AB
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp xác định tâm I đường tròn
b) Chứng minh AM AO AB AI
c) Gọi G trọng tâm tam giác ACM Chứng minh MG/ /BC
d) Chứng minh IG vng góc với CM
Câu 27 Cho đường tròn O R; nội tiếp ABC, tiếp xúc với cạnh AB AC, D vàE
a) Gọi O' tâm đường tròn nội tiếp ADE, tính OO' theo R
b) Các đường phân giác B C cắt đường thẳng DE M N Chứng
minh tứ giác BCMN nội tiếp đường tròn
c) Chứng minh MN DM EN
BC AC AB
(24)D O
M C
B
A
Câu Giải:
Gọi O trung điểm BC
thì tam giác OCD nên OCD 600
/ / AB CD
Để chứng minh:BM 2MC
Ta cần chứng minh AB 2CD
Xét tam giác vng BDC ta có:
0 sin 30
2
CD BC BC suy BC AB 2CD
Câu Giải:
Ta gọi giao điểm AM cung BC
là D.Ta có BAM MAC BD DC
' / / OD BC O M OD
'
AMO ADO
Để chứng minh: AMO'ADO ta
dựa vào tam giác cân O AM' OAD
Câu Giải:
Vẽđường kính AD đường
trịn O , suy ACD 900
(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
Xét HBA CDA có:
O' O
M D
C B
A
O
H
D C B
(25) 90 ;0
AHB ACD HBACDA (góc nội tiếp chắn AC), Do
AH AB
HBA CDA AB AC AD AH
AC AD
Mà AD 2R Do AB AC 2 R AH
Câu Giải:
Vẽđường kính BD đường trịn
O R; BCD 900 (góc nội tiếp
chắn nửa đường trịn)
BCD
có C 900 nên BC BDsinBDC Ta lại có BD 2 ;R BDC BAC (góc nội tiếp
chắn BC) nên BC 2 sinR BAC
Từ toán ta cần ghi nhớ kết quả quan trọng: Trong tam giác ABC ta có:
sin sin sin
a b c R
A B C Câu Giải:
Ta có: AB tia phân giác CAF,
Vẽ BH CD BK, EF
Thì suy BH BK
Ta có: CBD$EBF suy
1
CD BH CD EF
EF BK Đó điều phải chứng minh
Câu Giải:
Dựng đường kính HN đường trịn
C cắt đường tròn O K ta có
CN CH HK
MC MK MH MN MD ME
MC MK HC MC HC MC
2
MC MK HC MC
MC MC( MK)HC2
Hay MC MC( MK)HC2 MC HC.2 HC2 HC 2MC là điều phải chứng minh Câu Giải:
Dựng đường kínhAE đường
A
B C
D O
O' O
K H
F E
D
C
B A
D
N
E C
K
O H
M
(26)tròn O R; .Ta có AEC ABD (cùng chắn cung AC )
suy DBACEA, từđó suy
BAD OAC
Câu
Ta có: BEC BDC (cùng chắn cung )
BC ABD BDC(so le trong)
suy BEC ABD
Vì tia BD tia tiếp tuyến
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE
Câu Giải:
+ Vẽđường trịn đường kính AB
MBD
vng M có MB MD
(gt) nên tam giác vuông cân
450
ACM
Từđó ta có
450
ANM ACM (hai góc nội
tiếp chắn AM)
900
ANB ANM MNB ; N thuộc đường trịn đường kính AB
+ Gọi E giao điểm MN AB (E khác N) Ta có
450
ANM MNB AE EB E cốđịnh Vậy MN qua điểm cốđịnh E
Câu 10 Giải:
Dựng đường kính AH O
Ta chứng minh H trực tâm
BDC
Thật ta có: ACH 900
CH AC CH BD
Tương tựta có:
BH AB BH CD Như H
là trực tâm BDC Suy trực tâm H điểm cốđịnh
Câu 11 Giải:
AB cắt O B F Vì AEH$ADO
A
B C
D
E O
x E
D C
B A
x
y E C D
N
M
B A
H O
D C B
(27)suy AE AD. AH AO. AM2
Để chứng minh E trực tâm
của tam giác ABC, ta cần chứng
minh AFE 900, nghĩa cần có AF AB. AE AD.
Nhưng ta có: AF AB. AM2(Tính chất tiếp tuyến, cát tuyến)
hoặc có thểdùng tam giác đồng dạng
Câu 12 Giải:
Gọi D E, giao điểm đường tròn
O với cạnh AC AB, H
là giao điểm BD CE,
Chứng minh AMH AMN,
từđó có M H N, , thẳng hàng Câu 13 Giải:
Hai tam giác cân ABC DAB,
có chung góc ởđáy ABC,
do BAC ADC Suy BA tiếp
tuyến đường tròn ngoại tiếp
tam giác ACD
Câu 14 Giải:
Vẽ tiếp tuyến Ax đường tròn O
xAB ACB góc tạo
bởi tia tiếp tuyến dây cung
góc nội tiếp chắn cung AB
O nên xAB ACB
ABD ACB góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung BD I nên ABD ACB
Do xAB ABD Ax/ /BD Mà OAAx OA, BD suy OABD
F A
M
N E
H
B D O C
D
O C
B
H E
N M
A
K
M
O
D C
B
A
I O
D
C B
A
(28)Câu 15 Giải:
Giả sửCA cắt O F EF
đường kính A AB; , ta có BF BE
(vì BAEF) Ta có: BED BFD,
1s
2
BCF BCE đBF DE
1s 1s
2 BE DE BD BFD
đ đ
Từđó suy BED ECB
Xét tam giác BCE,BED có B chung, BED ECB
2
BC BE
BCE BED DB CB EB
BE BD
$
Câu 16 Giải:
a) Ta có OAOC a OAC cân O Mà ADO 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
O' ) OD AC OD đường phân giác AOC, nghĩa AOD DOM
AD DM
(hai góc tâm
nhau nên cung chắn nhau)
AD DM ADM
cân D
b) AOE COE có OE (chung);
AOE COE (cmt); OAOC a, AOE COE (c.g.c) EAO ECO 900 hay
EAAB A, OAa bán kính O EA tiếp tuyến O O' Câu 17 Giải:
O
C D
B
E A
F
O' O
N M
K H E
D C
B A
2
1 A
B C
D M
N
P
O H
K
(29)a) Do BD BH, hai tiếp tuyến cắt đường tròn M
BM
tia phân giác ABD 1 2
2
HBD
B B
Lý luận tương
tự AM tia phân giác BAC 1 2
2
BAC
A A
b) AMB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
1 90
A B
0
90 180
2
HBD BAC
HBD BAC
Vậy AC / /BD, mà MD BD MC, AC (gt)
nên M C D, , thẳng hàng Ta có OM đường trung bình hình thang vng ABDC nên / /
OM AC mà CD AC (gt) OM CD M , CM bán kính M CD tiếp
tuyến đường tròn O M
c) Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt đường trịn, có:
2
AC AH
AC BD AH BH AB R const BD BH
Áp dụng hệ thức lượng tam
giác vuông: . . 2
4 CD
AC BD AH BH MH (do CHD vng có HM trung tuyến ứng
với cạnh huyền)
d) Ta có IP / /AM (vì vng góc với MB).Kéo dài IP cắt AN K; AMN có IK
đường trung bình K trung điểm AN Mà A N, cốđịnh nên K cốđịnh Điểm P ln
nhìn hai điểm K B, cốđịnh góc vng nên P chuyển động đường trịn đường
kính KB
Câu 18 Giải:
a) Ta có AIB 900 (góc nội tiếp
chắn nủa đường tròn) BI AE
Tương tự AC BE AEB có
hai đường cao AC BI, cắt
K K trực tâm AEB EK AB (tính chất ba đường cao)
b) Do I điểm AC IA IC IBA IBC (hai góc nội tiếp chắn hai cung
bằng nhau) Mà IAC IBC (hai góc nội tiếp chắn IC) IAC IBA
FAK
có AI đường cao AI BIđồng thời đường trung tuyến (F K đối xứng qua
I)
A B
C E
H K F
(30)FAK
cân AFAI IAK.Ta có
900
FAB FAI IAB IAK IAB IBA IAB AF AB AAF tiếp tuyến O c) sinKAH KH
AK mà
2
sin
3
KH
BAC AK HK
AK
ABE có BI vừa đường cao vừa đường
phân giác ABE cân B nên BI đường trung trực KAKE K BI
3 1
EH EK KH KH
Ta có
2 2 1 3 6
2
KH KH HE KH KH KH KH
Và 2 . 2 1 . 3 6
2
HE KE HK HK HK
Suy KH KH 2HE2HE KE
Câu 19 Giải:
a) Do M điểm AC
MA MC
NBM ABM (hai góc nội tiếp chắn hai cung
bằng nhau) BM đường phân
giác ABN ABM
Mặt BMA 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
BAN
có BM vừa đường cao vừa đường phân giác BAN cân B
BAN BNA
Ta lại có BAN MCN (vì bù BCM) Do BNA MCN CMN
cân M
b) Do MB MQ (gt) BMQ cân M MBQ MQB MCB MNQ (vì bù với hai
góc nhau) BCM QNM (g.g) BC CM
QN MN
(do CMN cân M nên
CM MN )QN BC BCA 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Xét BAQ vng
tại A, AC BQ có:
2 .
AB BC BQ BC BN NQ BC ABBC (1) Đặt BC x x, 0, biết AB 2R, từ
(1) cho 4R2 x R2 xx2 2Rx4R2 0 ' R2 4R2 5R2 ' R 5,
1
x R R x2 R R 0 (loại) Vậy BC 51R [
A B
C
M
N Q
(31)Câu 20 Giải:
a) Đường kính AC vng góc
với dây DE M MD ME
Tứ giác ADBE có MD ME,
MAMB (gt), AB DE
ADBE
hình thoi (hình bình
hành có hai đường chéo vng góc nhau)
b) Ta có BIC 900 (góc nội tiếp chắn nủa đường tròn O' )
900
ADC (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn O )BI CD AD DC nên AD/ /BI ,
mà BE / /AD E B I, , thẳng hàng (tiên đềƠclit) DIE có IM đường trung tuyến ứng với
cạnh huyền MI MD Do MI MD (cmt) MDI cân M MID MDI
+ O I' O C' R O IC' cân O' O IC' O CI' Suy
' ' 900
MIDO IC MDI O CI (MCD vuông M) Vậy MI O I' I , O I' R'
bán kính đường trịn O' MI tiếp tuyến đường tròn O'
c) BCI BIM (góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn BI) BCI BIH (cùng
phụ HIC) BIM BIH IBlà phân giác MIH MIH Ta lại có BI CI IC
phân giác ngồi đỉnh I MIH Áp dụng tính chất phân giác MIH có:
BH IH CH
CH MB BH MC
MB MI CM
Câu 21 Giải:
Xét tứ giác AKDL có KDLKAL 1800
(vì K L 900)KDL 1800 600 1200
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt
ta có DM DN, tia phân giác KDP PDL
0 120 60
2 2
KDP PDL KDL
MDN
Ta có:
600
MDC MDN NDC NDC ;MDC B BMD 600 NDC (góc ngồi BMD)
NDC BMD
, mà MBD DCN 600 (ABC đều) BMD CDN (g.g)
2
4 BM BD BM CN BD CD BC CD CN
L A
B C
D M
N P
(32)b) Ta có
1 .
2 . .
1 .
2
MDN ABC
MN PD
S MN PD MN KD MN
S AD BC BC AD BC AD BC
Vì D MD tia phân giác BMN DK DP , AKD có
90 ,0 300
2
AD KD
K KAD KD
AD
c) Dựng đường trịn bàng tiếp góc A có tâm O AEF Do AD đường trung tuyến
của ABC nên AD tia phân giác BAC Suy OAC Gọi P K L', ', '
tiếp điểm O với EF AB AC, , Ta có AK'AL P E'; ' EK P F'; ' FL' (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
' '
AEF
P AE EF FA AE EP P F FA
' ' ' ' '
AE EK FL FA AK AL AK
Mà
2
AEF ABC
P P (gt)
1
2 '
2 ABC
AK P AB
(ABC đều) ' '
4
AB
AK AB BK
(vì AK'K B' AB)
2 '
4 AB BK AB
Mặt khác
2 2
2
2
BD BC
BD
(D trung điểm BC); AB BC
(ABC đều) BK AB'. BD2 BKD'BDA (c.g.c) BK D' BDA 900 Ta lại có
' 900
OK B O D (vì O D, AD) Mà K AL' 'K DL' '1800 (vì AK DL' ' tứ giác nội
tiếp) mà K AL' '600 K DL' '1200 EDF 600 (tia phân giác của hai góc kề)
Câu 22 Giải:
a) Xét MAD MBA có AMB chung;
MAD MBA (góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây chắn AD)
MAD MBA
$ (g.g)
MA AD MD MB AB MA
b) Ta có MAMC (tính chất hai tiếp
tuyến cắt đường tròn) MD MD
MA MC
Lập luận tương tự, ta có MD CD
MC BC Suy
ra AD CD AD BC AB CD
AB BC
c) Dựng điểm E AC cho EDC ADB
(33)DAB
DEC có ADBEDC (cách dựng), ABD ECD (hai góc nội tiếp chắn
AD) DAB$DEC (g.g) AB BD AB DC EC BD
EC DC
(1) Do
EDC ADB BDC ADE, nên DAE$DBC (g.g)AD BC BD AE (2)
Từ (1) (2) ta có AB CD AD BC BD AE ECBD AC
c) Ta có
AD BC AB CD
AB CD AC BD AD BC AB CD AC BD
Mà AC 2AB (gt) 2AB CD 2AB BD CD BD Suy tam giác BCD cân D
Câu 23 Giải:
a) Áp dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ta có:
900
AEB AMB ,
900
BMC AEC
1800
AEC BMC
Tứ giác MCED nội tiếp đường trịn ABC có hai đường cao
,
BM AE cắt D D trực tâm ABC CD AB b) cosABC BE BH BE BC BH AB
AB BC
c) + Gọi I giao điểm tiếp tuyến M đường tròn O với CD Trong đường tròn
O có IMD MAB (góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây chắn MB),
MAB MDI (cùng phụ với ACH)IMD MDI IMD cân I IM ID
Ta lại có IMC ICM (cùng phụ với hai góc nhau) MIC cân I IM IC
Vậy IM ID IC I trung điểm CD
+ CED có EI trung tuyến ứng với cạnh huyền nên IE IC ID IM , CED IED
có IM IE (cmt), OI chung, OM OE R IMO IEO
(c.c.c)IEO IMO 900 IE OE OE, R nên IE tiếp tuyến của đường tròn O tại
E Nghĩa tiếp tuyến M E, đường tròn O cắt điểm I thuộc CD
d) AHC có H 900, CAH 450 AHC vuông cân tại H CH AH x
300 600
EAB EBA ; cotEBA HB cot600 3 HC
3
3
HB HC x
Ta có 3 3
3 3 3
R
AB AH HB R x x R
I
A B
C E
H O
(34)Vậy 1.2 3 3
2
ABC
AB CH
S R R R (đvdt)
Câu 24 Giải:
a) Ta có
0
0
180 120
180 120
BDO BOD B
BDO COE
BOD COE DOE
,
mà DOE B 600
BDO COE
(g.g) BD OB
OC CE BC BD CE OB OC
(không đổi)
b)
BDO COE
OD BD BD
OE OC OB
mặt khác
600
DBO DOE BDO ODE (c.g.c) BDO ODE, mà tia DO nằm hai tia
,
DB DE DO tia phân giác BDE
c) ABC nên đường trung tuyến AO đường phân giác BAC, mà DO
là phân giác đỉnh D O tâm đường trịn bàng tiếp góc A
ADE
ĐƯờng trịn O ln tiếp xúc DE AC,
d) AP AQ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), AB AC
/ / 60
AP AQ PQ BC IQA ACB AB AC
, mà DOE 600 IQE IOE 60 ; ,0 O Q
hai đỉnh liên tiếp tứ giác IOQE Tứ giác IOQE nội tiếp (cùng thuộc cung chứa góc)
Suy EIO EQO 900 Lý luận tương tự DNE 900 Vậy tứ giác DINE (DIE DNE
cùng nhìn DE góc vng) ONI ODE Vậy ONI ODE (g.g)
0
cos 60
2 IN ON
DE NI DE OD
Câu 25 Giải:
a) Do AB AC, hai tiếp tuyến
cắt đường tròn O
nên ABO ACO 900 B C,
(35)thuộc đường trịn đường kính OA có tâm I trung điểm OA
b) Ta có
2
AB
AM AO AI AB AI
c) Gọi E trung điểm MA, G trọng tâm CMA nên G CE
3
GE
CE Mặt khác
1
ME
BE (vì 2
MA MB
ME nên
3
BE
ME ) GE ME
CE BE
, theo định lý Ta-lét đảo
/ / MG BC
d) Gọi G' giao điểm OA CM G' trọng tâm ABC Nên '
3 '
G M GE
CM CE , theo
định lý Ta-lét đảo GG'/ /ME (1)
MI đường trung bình OAB MI / /OB, mà AB OB (cmt) MI AB, nghĩa
là MI ME (2) Từ (1) (2) cho MI GG', ta lại có GI' MK (vì OAMK) nên I trực
tâm MGG'GI G M' tức GI CM
Câu 26 Giải:
a) Gọi O' giao điểm AO
với cung nhỏ DE đường tròn
O O' thuộc đường phân giác
của A ADE Ta có
DOAEOA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) DO'O E'
Mà ' 1sđ '; ' 1sđ'
2
ADO DO EDO O E ADO'EDO'DO' phân giác D O' tâm
đường tròn nội tiếp ADE Do OO'R
b) Do AB AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ADE cân A nên
0
180 90
2
BAC BAC
ADE Mà
2 ABC
ADE ABM NMB NMB (do BO
phân giác ABC nên
2 ABC
ABM ) 900
2 2
B BAC ABC ACB
NMB ADE
Mặt
khác
2 ACB
NCB (do CO tia phân giác ACB) Suy NMB NCB, mà M C, hai đỉnh
liên tiếp tứ giác BCMN Tứ giác BCMN nội tiếp (vì thuộc cung chứa góc)
c) NMO BCO có NOM BOC (đối đỉnh); NMO BCO (cmt) NMO$BCO
(g.g) OM ON MN
OC OB BC
Tương tự DMO$ACO (g.g) DM OM
AC OC
; NEO$BAO
(36)