Quan hệ vuông góc (Chuyên đề hình học lớp 11)

Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GÓC  Phương pháp d1 d2 d2' Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng d1'  90   Phương pháp a  b  u.v   Phương pháp (sử dụng định nghĩa) Với   u , v hai VTCP a b a b c P Nếu đường thẳng đường thẳng nằm mặt phẳng (P) a  (P)     a  b, a  c b   P  , c   P   a  ( P) đường thẳng a vng góc với  Phương pháp ( tính chất - tr 99) a P b Nếu đường thẳng a  ( P) đường thẳng b  ( P) vng góc với a a / /(P), b   P   b  a  Phương pháp 5( HĐ - tr 97 ) a C A B Nếu đường thẳng vng góc với hai cạnh tam giác vng góc với cạnh lại a  AC, a  BC  a  AB  Phương pháp (suy từ định nghĩa -nx tr 94-sgk) a b c Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng cịn lại b / /c , a  b  a  c  Phương pháp (Định lý ba đường vuông góc - tr 100 - sgk) B a A a' A' b B' Cho đường thẳng a khơng vng góc với mp (P) cho đường thẳng b nằm mp (P) Khi điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a’ a (P) Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc a  (P), b   P  ,a ' la hinh chieu cua a tren (P) a  b  a '  b PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG Bổ sung :( Sử dụng định nghĩa) : Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường nằm mặt phẳng a P b  Phương pháp 1( ĐL - tr 97) I c Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mp (P) đường thẳng d vng góc với mp (P) a  b, a  c     a  P b   P , c   P  , b  c  I  a  Phương pháp (Tc - tr 98 - sgk) b P Mặt phẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng lại a / /b ;  P   a   P   b a P  Phương pháp (tc - tr99-sgk) Q Đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng song song vng góc với mặt phẳng cịn lại  P / / Q ; a   P  a  (Q)  Phương pháp ( Sử dụng kết HĐ3 - tr 98 - sgk) d M C A O B Đường thẳng d qua hai điểm phân biệt cách ba đỉnh ABC d vng góc với mp (ABC) MA  MB  MC    d   ABC NA  NB  NC ; M, N  d  Chú ý : Khái niệm trục  tam giác ABC : đường thẳng vng góc với mp(ABC) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC N  Phương pháp (ĐL - tr 106 - sgk) P a a c Q c H Q b P Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với đường thẳng a nằm (P), vng góc với giao tuyến (P) (Q) vng góc với mặt phẳng (Q)  P   (Q),  P    Q   c     a  Q a  P, a  c   Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page Chuyên đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc  Phương pháp (Hệ - tr 107) Q a P R Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba  P   Q  a ;  P  (R) ; (Q)   R   a   R  PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH : HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC  Phương pháp 1(s d đn) Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 90  Phương pháp (ĐL - tr 105)  a P a c Q c H Q b P Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vng góc với a   P  ,a   Q   P    Q  Phương pháp R P Q Một mặt phẳng vng góc với hai mặt phẳng song song vng góc với mặt phẳng lại  P / /  Q ;  R    P   R   Q KHÁI NIỆM GĨC 1) Góc hai đường thẳng :Góc hai đường thẳng d1 d2 góc hai đường thẳng d1’ d2’ qua điểm song song (hoặc trùng) với d1và d2 d1 d2 d2' d1' 2) Góc đường thẳng mặt phẳng Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng (P) 900 Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) góc a hình chiếu a’ (P) gọi góc đường thẳng a mặt phẳng (P) a a a' P Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page Chuyên đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc 3) Góc hai mặt phẳng Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng d b q p a Q R P P Q Chú ý : Khi hai mặt phẳng (P) Q cắt theo giao tuyến d , để tính góc chúng, ta việc xét mặt phẳng (R) vng góc với d , cắt (P) (Q) theo giao tuyến p q Lúc góc (P) (Q) góc hai đường thẳng p, q B C A D E B' C' A' E' D' QUAN HỆ VUÔNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Bài 1: (VD – tr 101 – SGK) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; SA vng góc với mp(ABCD) Gọi M N hình chiếu điểm A đường thẳng SB SD a/ Chứng minh MN  BD SC   AMN  b/ Gọi K giao điểm SC với mp (AMN) Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vng góc Tính góc đường thẳng SC mp(ABCD) SA  a , AB = a Giải S N K M D A O B C 1.a/ * CMR: MN  BD +) Ta có: SAB SAD  AM  AN (2 đường cao tương ứng)  BM  ND (do MAB NAD ) SB  SD +) Xét SBD có   MN  BD  BM  DN * CMR: SC  mp  AMN   Cách 1: Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc  BC  AB  +) Vì   BC  SA   gt   SA   ABCD   BC   SAB   BC  MA  MA  BC  +) Có   MA  SC (1đường thẳng  với cạnh tam giác  với cạnh cịn  MA  SB  gt   lại) CM tương tự ta có: NA  SC Vậy SC  mp  AMN   Cách 2: +) Vì BC   SAB   SB hình chiếu SC (SAB) Lại có: MA  SB  MA  SC 1 +) CD   SAD  SD hình chiếu SC (SAD)  2 SC  mp  AMN  Lại có AN  SD  AN  SC Vậy từ (1) (2) ta có:  Cách 3: +) MN  BD Mà BD  AC với AC hình chiếu SC (ABCD)  MN  SC +) AM  SC  SC  ( AMN ) b/ CMR: AK  MN  BD  AC Có   BD   SAC   BD  SA Mặt khác: BD // MN  MN  (SAC )  MN  AK Tính góc đường thẳng SC mp(ABCD) SA  a , AB = a +) Vì AC hình chiếu SC (ABCD)  góc (ABCD) SC góc SC AC +) Vì  ASC có AS = AC = a  goc SCA  450  góc cần tìm 450 +) SBC vng B có SB  a 3, BC  a  BC  a   CSB  300  tanCSB  SB a 3 Bài 2: (BT 16 – tr 103 – SGK) Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đơi vng góc AB = a, BC = b, CD = c a/ Tính độ dài AD b/ Chỉ điểm cách A, B, C, D c/ Tính góc đường thẳng AD mp (BCD), góc đường thẳng AD mp (ABC) Giải Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc A O B D C a/ Vì AB  BC AB  CD nên AB  mp  BCD  Mặt khác BC  CD nên AC  CD (định lý ba đường vng góc) Vậy AD2  AC  CD2  AB2  BC  CD2 tức là: AD  a2  b2  c2 ABD ACD b/ Vì     900 nên điểm cách bốn điểm A, B, C, D trung điểm O AD Bài 3: (BT 17 – tr 103 – SGK) Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc a/ Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn b/ Chứng minh hình chiếu H điểm O mp (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC 1 1 c/ Chứng minh    2 OH OA OB OC Giải O C A H B A' a/ Ta có: AB2  OA2  OB2 BC  OB  OC AC  OA2  OC Vậy BC  AB  AC , tức góc BAC tam giác ABC góc nhọn Tương tự trên, ta chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn b/ * Cách 1: Vì H hình chiếu điểm O mp (ABC) nên OH   ABC  Mặt khác OA   OBC nên OA  BC Vậy AH  BC (định lý ba đường vng góc), tức H thuộc đường cao tam giác ABC Tương tự trên, ta có H thuộc đường cao thứ hai tam giác ABC Vậy H trực tâm tam giác ABC * Cách 2: Nếu K trực tâm tam giác ABC AK  BC , mặt khác OA  BC nên BC   AOK  , suy BC  OK Tương tự ta có: AB  OK Vậy OK   ABC  , tức K trùng với H c/ Nếu AH  BC A BC  OA Vì OH đường cao tam giác vuông AOA (vuông O) OA đường cao tam giác vuông BOC (vuông O) nên Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page Chuyên đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc 1 1 1   ;   2 2 OH OA OA OA OB OC 1 1 Vậy    2 OH OA OB OC Bài 4: (BT 18 – tr 103 – SGK) Cho hình chóp S.ABC có SA  mp  ABC , tam giác ABC SBC không vuông.Gọi H K trực tâm tam giác ABC SBC Chứng minh rằng: a/ AH, SK, BC đồng quy b/ SC  mp  BHK  c/ HK  mp SBC Giải S K A C H A' B a/ Gọi AA đường cao tam giác ABC, SA   ABC  nên SA  BC (định lý ba đường vng góc) Vì H trực tâm tam giác ABC, K trực tâm tam giác SBC nên H thuộc AA , K thuộc SA Vậy AH, SK, BC đồng quy A b/ Do H trực tâm tam giác ABC nên BH  AC , mà BH  SA nên BH  SC Mặt khác K trực tâm tam giác SBC nên BK  SC Vậy SC   BHK  c/ Từ câu b ta suy HK  SC Mặt khác HK  BC BC   SAA Vậy HK  mp  SBC  Bài 5: (BT 19 – tr 103 – SGK) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a SA = SB = SC = b Gọi G trọng tâm tam giác ABC a/ Chứng minh rằng: SG  mp  ABC Tính SG b/ Xét mặt phẳng (P) qua A vng góc với đường thẳng SC Tìm hệ thức liên hệ a b để (P) cắt SC điểm C1 nằm S C Khi tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABC cắt mp(P) Giải a/ Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc S A C H B Kẻ SH  mp  ABC  , SA  SB  SC nên ta có HA  HB  HC Mặt khác, ABC tam giác nên H trùng với trọng tâm G tam giác Vậy SG   ABC  a 3 SG  SA  AG  b        Từ đó: SG  b2  2 2 a2 (Với 3b2  a ) b/ S C1 A C G C' B Dễ thấy AB  SC Vì (P) qua A vng góc với SC nên AB nằm (P) Kẻ đường cao AC1 tam giác SAC (P) mp  ABC1  Do tam giác SAC cân S nên điểm C1 nằm đoạn thẳng SC   900 ASC Điều tương đương với AC  SA2  SC hay a2  2b2 Trong trường hợp này, thiết diện hình chóp bị cắt (P) tam giác ABC1 1 S ABC1  AB.C C1  a.C C1 2 (Với C  trung điểm AB) SG.CC  Mặt khác C C1.SC  SG.CC   C C1  SC Tức là: C C1  Vậy S ABC1  b2  a2 a 2  a 3b  a b 2b a 3b  a 4b Bài 6: (BT 23 – tr 111 – SGK) Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page Chuyên đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a a/ Chứng minh AC’ vng góc với hai mặt phẳng (A’BD) (B’CD’) b/ Cắt hình lập phương mặt phẳng trung trực AC’ Chứng minh thiết diện tạo thành lục giác Tính diện tích thiết diện Giải M B C N D A S P B' C' R A'       a/ Ta có AC   AB  AD  AA      BD  AD  AB            Vậy AC .BD  AB  AD  AA AD  AB     Tương tự ta có AC .BA  Vậy AC   ABD   Q D'  Do  ABD  //  BCD nên AC   BCD b/ Gọi M trung điểm BC MA  MC (vì a ) nên M thuộc mặt phẳng trung trực   AC Tương tự, ta chứng minh N, P, Q, R, S có tính chất (N, P, Q, R, S trung điểm CD, DD, DA, AB, BB ) Vậy thiết diện hình lập phương bị cắt mp   MNPQRS Dễ thấy lục giác cạnh a 2 Từ ta tính diện tích thiết diện là: a 2 3 S       a   Bài 7: (BT 24 – tr 111 – SGK) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a SA  mp  ABCD , SA = x Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) (SDC) tạo với góc 60o Giải Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page Chuyên đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc S O1 A D O B C Gọi O giao điểm AC BD Trong mặt phẳng (SAC) kẻ OO1 vng góc với SC, dễ thấy mp  BO1D vng góc với SC Vậy góc hai mặt phẳng (SBC) (SDC) góc hai đường thẳng BO1 DO1  Mặt khác OO  BD, OO  OC mà OC = OB nên BO O  450 1   Tương tự DO1O  450 , tức BO1D  900 Như vậy, hai mặt phẳng (SBC) (SDC) tạo với góc 600   BO1D  1200  BO1O  600 (Vì  BO1 D cân O1 )  BO  OO1.tan 600  BO  OO1 SA  Ta lại có: OO1  OC.sin OCO1  OC.sin   OC ACS SC SA Như BO  OO1  BO  3.OC  SC  3SA SC  x2  2a2  3x  x  a Vậy x = a hai mặt phẳng (SBC) (SDC) tạo với góc 600 Bài 8: (BT 27 – tr 112 – SGK) Cho hai tam giác ACD, BCD nằm hai mặt phẳng vng góc với AC = AD = BC = BD = a; CD = 2x Gọi I, J trung điểm AB CD a/ Tính AB, IJ theo a x b/ Với giá trị x hai mặt phẳng (ABC) (ABD) vng góc? Giải A I C J D B a/ Vì J trung điểm CD AC = AD nên AJ  CD Do mp  ACD  mp  BCD nên AJ  mp  BCD  Mặt khác: AC = AD = BC = BD nên tam giác AJB vuông cân, suy AB  AJ 2, AJ  a  x hay AJ  a2  x2 Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 10 Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác cạnh a, AD vng góc BC, AD = a khoảng cách từ D đến BC a Gọi H, I trung điểm BC AH Chứng minh BC vng góc mặt phẳng (ADH) tính độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng AD, BC Lêi gi¶i D K C A H I B +)Theo gi¶ thiÕt ABC Và HB HC BC AH Mặt kh¸c: BC  AD( gt )  BC  ( ADH ) +)Trong mặt phẳng (ADH) dựng KH AD V× BC  ( ADH )  BC  HK KH đ-ờng vuông góc chung AD BC Theo gt ta cã: DH  a  DHA cân D DI AH DI AH  2SADH  DI AH  HK AD  HK  AD a 3 a a 13 Mµ AD  a; AH  ; DI  DA2  AI  a         a 39 Bài 22 ( Đề CĐ sư phạm VP K D-B - 2007)(Đề số 39 – tr 51- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, M N trung điểm BC C’D’ mặt phẳng (AMN) cắt PC ' đường thẳng B’C’ P Tính tỉ s B 'C ' Lời giải Nối AM cắt CD t¹i Q Gäi I  CD ' QN  P  MI  B ' C ' MB  MC  CQ  BA (TalÐt)  CQ  CD  NC '  1/ 2C ' D '  1/ 2CD  1/ 2QC IC '  IC ' N đồng dạng ICQ IC PC ' IC ' IC ' P đồng dạng ICM  MC IC PC ' MC  1/ BC  1/ B ' C '   B 'C ' VËy HK  Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 26 Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc Bài 23 ( Đề CĐ khối -B - 2007)(Đề số 40 – tr 52- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O có SA = SC, SB = SD Chứng minh SO vuụng gúc vi mt phng (ABCD) Lời giải SAC cân OA OC SO AC SBD cân vµ OB  OD  SO  BD AC  BO  O VËy SO  ( ABCD) Bài 24 ( Đề CĐ khối -D - 2007)(Đề số 41 – tr 53- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a SA  a Tính góc mặt bên mặt đáy hình chóp S.ABCD Lêi gi¶i S N I M K D C O A H B Goi H,K lần l-ợt trung ®iĨm cđa AB vµ CD, ta cã: SH  AB, SK  CD   HSK  60o  HSK tam giác cạnh bàng a Gọi I SK  ( ABMN )  HI  (SHK )  ( ABMN ) ( ABMN )  ( SCD) vµ (SHK )  (SCD)  HI  (SCD) HI SK I trung điểm SK M,N lần l-ợt trung diểm SC,SD Tứ giác ABMN hình thang cân , có diện tÝch lµ: 3a S  ( AB  MN ).HI  Bài 25( Đề CĐ Công nghiệp Tp HCM 2007)(Đề số 42 – tr 54- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Các mặt bên (SAB) (SCD) tạo với góc 600 Qua AB dựng mặt phẳng ( ) vng góc với mặt phẳng (SCD), cắt SC SD M N Tính diện tích thiết diện ABMN Bài làm Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 27 Chuyên đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc S N I M K D C O A H B Gọi H, K trung điểm AB CD ta có: SH  AB, SK  CD   HSK  600  HSK tam giác cạnh a Gọi I  SK   ABMN   HI   SHK    ABMN  Do (ABMN) vng góc với (SCD) (SHK)vng góc với (SCD) Suy HI   SCD  HI SK I trung điểm SK M,N lần l-ợt trung diểm SC,SD Tứ giác ABMN hình thang cân , có diện tích là: 3a S  ( AB  MN ).HI  Bài 26 ( Đề CĐ KTKT- 2007)(Đề số 44 – tr 57- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho tứ diện ABCD có : AB = CD = a; AC = BD = b; BC = AD = c Chứng minh bốn mặt tứ diện tam giác có góc nhọn Bài làm  ACD,  ADC Vì mặt tứ diện tam giác nên BAC   BAD   Xét tam giác ACD có:   CAD    1800 ACD  ADC     BAC  CAD  DAB  1800    Tại góc tam diện đỉnh A có : BAC  CAD  DAB  Cộng vế (1) dốc BAC ta có: (1)     (1)  2BAC  CAD  DAB  BAC  1800   BAC  900 , ác góc khác chứng minh tương tự Vậy mặt tứ diện tam giác có góc nhọn Bài 27 ( Đề CĐ SP – HD - 2006)(Đề số 54 – tr 67- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, đường cao SH  a Tính góc mặt bên mặt đáy hình chóp SABCD Bài làm Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 28 Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc S I N M K D C O A H B Gọi H,K trung điểm AB CD, ta có: SH  AB, SK  CD   HSK  600  SHK tam giác cạnh a Gọi I  SK   ABMN   HI   SHK    ABMN  Do  ABMN    SCD  SHK    SCD  HI   SCD  HI  SK  I trung điểm SK m, N trung điểm SC, SD Tứ giác ABMN hình thang cân , có diện tích : a q S   AB  MN  HI , với AB=a, MN  HI  2 2 3a Ta có S  Bài 28( Đề CĐ HV – 2006)(Đề số 55 – tr 69- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng BD SC Bài làm Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 29 Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc S I K A B O D C Ta có SA  BD  BD   SAC  AC  BD  BD   SAC  O mặt phẳng (SAC), kẻ AI  SC kẻ OK  SC K; OK  BD  OK đường vng góc chung SC BD  Khoảng cách d(SC;BD)=OK= AI ( OK//AI, qua O trung điểm AC) Trong tam giác vng AIC, ta có: 1 1 a       AI  2 AI AS AC a 2a 2a AI a  Bài 29( Đề ĐH Khối A – 2002)(Đề số 19 – tr 26 - stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M N lần lựot trung điểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC) Bài làm Vậy d(BD; SC)=OK= S N I M C A K B Gọi K trung điểm BC I= SK  MN Từ giả thiết Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 30 Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc a BC  2 MN//BC  I trung điểm SK MN Ta có AMN cân A suy AI  MN Mặt khác  SBC    AMN    SBC    AMN  MN    AI   AMN   AI  MN   MN   AI   SBC   AI  SK Suy SAK cân A a  SA  AK   SB 3a a a SK  SB  BK    4 2  SK  3a a a 10  AI  SA  SI  SA         Ta có a 10 S SAK  MN AI  16 Bài 30( Đề ĐH Khối B – 2002)(Đề số 20 – tr 28 - stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a a.Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A1B B1D b.Gọi M, N, P trung điểm cạnh B1B, CD, A1D1 Tính góc hai đường thẳng MP C1N Bài làm 2 A' D' B' C' G I A B D C a)Tìm khoảng cách A;B B’D Chọn hệ tọa độ đề vng góc 0xyz cho A(0;0;0), B(a;0;a),D(0;a;0),A’(0,0,a) Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 31 Chuyên đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc  C  a; a;0  ; B '  a;0; a  ; C '  a; a; a  , D '  0; a; a           A ' B   a, 0, a  , B ' D   a; a; a  , A ' B '   a;0;0  [ A ' B, B ' D]   a ; 2a ; a        A ' B, B ' D  A ' B ' a3 a     Vậy d  A ' B, B ' D     a 6  A ' B, B ' D    c) từ ta tìm M,N,P  a a  a    MP   a, ;  , NC '   , 0, a   MP.NC '  2  2  Vậy MP vng góc với C’N Bài 31( Đề ĐH Khối D – 2002)(Đề số 20 – tr 28 - stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm; AB = cm; BC = cm.Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) Bài làm D H C A E B Từ giả thiết suy tam giác ABC vng A, AB  AC Lại có AD  mp  ABC   AD  AB AD  AC nên AB,AC,AD dooi vuông góc nhauDo chọn hệ tọa độ đề vng góc, gốc A cho B(3;0;0) C(0;4;0), D(0;0;4) Mặt phẳng (BCD) có phương trình: x y z   1  4 34 Khoảng cách cần tính  17 1   16 16 Bài 32( Đề ĐH Khối D – 2003)(Đề số 18 – tr 25 - stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng  Trên  lấy hai điểm A, B với AB = a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, mặt phẳng (Q) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với  AC = BD = AB Tính bán kiính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a Bài làm Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 32 Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc C P H B A Q D Ta có  P   Q =  P   Q Mà AC    AC  Q  AC  AD  Hay CAD  900 Tương tự ta có BD    Nên BD   P  CBD  900 Vậy A B nằm mặt cầu là: CD R  BC  BD 2 a  AB  AC  DB  2 Gọi H trung điểm BC  AH  BC BD   P  nên BD  AH  AH   BCD a BC  2 Bài 33( Đề ĐH Khối D – 2007)(Đề số – tr 11 - stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, gocABC  gocBAD  900 , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh Vậy AH khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) AH  bên SA vng góc với đáy SA  a Gọi H hình chiếu vng A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Bài làm I A B P Tìm m để tồn P thuộc d mà từ kẻ hai tiếp tuyến PA, PB tới đường tròn (C) cho tam giác PAB Đường tròn (C): ( x 1)2   y  2  tâm I(1;-2); bán kính R=3 tam giác PAB   BPI  300 API   PI  2IA  2R   P thuộc đường trịn bán kính R’=6, tâm I Mặt khác P thuộc d nên tọa độ P nghiệm hệ Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 33 Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc  x  12   y  2  36   3x  y  m   Theo giả thiết hệ có nghiệm , tức d phải tiếp xúc với (C’), tức khoảng cách từ tâm I (C’)tới d 3x1  y1  m H(I.d)= =6 32  42    2   m  m  11  30 6  m  19   m  41 Bài 34( Đề ĐH Khối B – 2007)(Đề số – tr 10 - stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính theo a khoảng cách hai đường thẳng MN AC Bài làm S E P M A D O B I N C Gọi P trung điểm SA Theo giả thiết ta có MP//AD//NC MP=NC nên MPCN hình bình hành Suy MN//PC  BD  AC  BD   SAC    BD  SO  BD  PC  BD  MN Vì MN//PC   SAC  nên d  MN , AC   d  MN ,  SAC    d  N ,  SAC    NI  a Bài 35(Đề ĐH Đà Nẵng Khối A-2001- tr 83- sttdt 2001) Cho tứ diện SABC có SC  CA  AB  a SC   ABC  , tam giác ABC vuông A, điểm M thuộc SA N thuộc BC cho AM = CN = t (0 < t < 2a) Tính độ dài đoạn thẳng MN Tìm giá trị t để đoạn MN ngắn nhất, Khi đoạn thẳng MN ngắn nhất, chứng minh MN đường vng góc chung BC SA Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 34 Chuyên đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc Bài làm S M C N H B A 1.Kẻ MH//SC Thì MH (ABC) vng góc Ta có MN  MH  NH Do giả thiết tam giác SAC vuông cân C, SC=CA= a Suy MAH vng cân H có cạnh huyền AM =t suy AH =MH= t  Trong tam giác có C  450 CH=AC-AH= a  t 2a-t  2 Vì CN=t NH  t  2  2a-t  2 2a  t 2  t  2a   2t t   t  2a  t  2 2 t 2  t  2a  t   t  2a  t   3t  4at  2a Do MN  2 2a 2.MN ngắn  t  2a MN ngắn t= 2a MN  4a 2a MA  t   MA2  AN  CN  CA2  2CN CA.cos450 Trong tam giác CNA ta có 10a  Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 35 Chuyên đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc 10a 4a 2a , AM  , MN  Xét tam giác AMN có 9 2  AN  AM  MN  MN  SA Tương tự ta có MN  BC Vậy MN đương vuồng góc chung BC SA Bài 36(Đề ĐH GTVT Khối A-2001- tr 90- sttdt 2001) Cho tam giác ABC vuông cân có AB = Ac = a, M trung điểm cạnh BC Trên nửa đường thẳng AA’ MM’ vng góc với mp(ABC) phía, lấy tương ứng điểm N I  N  AA '; I MM '  cho 2MI = NA = a Gọi H chân đường vuông góc hạ từ A xuống NB Chứng minh AH vng góc với NI Bài làm AN  N I H A B D M C Gọi D giao điểm NI AM Ta có AN//MI Xét AND , theo định lí ta lét: DM MI   DA AN Vậy M trung điểm AD Mà M trung điểm BC (gt)  ABCD hình chữ nhật Ta có : AN  (ABCD)  AN  DB  DB  ( ABN ), AH   ABN  Do ABCD hình vng  AH   NBD  AH  NI Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 36 Chuyên đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc CHUN ĐỀ QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN 27/02/2010 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; SA vng góc với mp(ABCD) Gọi M N hình chiếu điểm A đường thẳng SB SD a/ Chứng minh MN  BD SC   AMN  b/ Gọi K giao điểm SC với mp (AMN) Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vng góc Tính góc đường thẳng SC mp(ABCD) SA  a , AB = a Bài Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đơi vng góc AB = a, BC = b, CD = c a/ Tính độ dài AD b/ Chỉ điểm cách A, B, C, D c/ Tính góc đường thẳng AD mp (BCD), góc đường thẳng AD mp (ABC) Bài Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc a/ Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn b/ Chứng minh hình chiếu H điểm O mp (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC c/ Chứng minh    OH OA2 OB OC Bài Cho hình chóp S.ABC có SA  mp  ABC , tam giác ABC SBC không vuông.Gọi H K trực tâm tam giác ABC SBC Chứng minh rằng: a/ AH, SK, BC đồng quy b/ SC  mp  BHK  c/ HK  mp SBC Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a SA = SB = SC = b Gọi G trọng tâm tam giác ABC a/ Chứng minh rằng: SG  mp  ABC Tính SG b/ Xét mặt phẳng (P) qua A vng góc với đường thẳng SC Tìm hệ thức liên hệ a b để (P) cắt SC điểm C1 nằm S C Khi tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABC cắt mp(P) Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a a/ Chứng minh AC’ vng góc với hai mặt phẳng (A’BD) (B’CD’) b/ Cắt hình lập phương mặt phẳng trung trực AC’ Chứng minh thiết diện tạo thành lục giác Tính diện tích thiết diện Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a SA  mp  ABCD , SA = x Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) (SDC) tạo với góc 60o Bài Cho hai tam giác ACD, BCD nằm hai mặt phẳng vng góc với AC = AD = BC = BD = a; CD = 2x Gọi I, J trung điểm AB CD a/ Tính AB, IJ theo a x b/ Với giá trị x hai mặt phẳng (ABC) (ABD) vng góc? Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi, cạnh bên SA = AB SA vng góc với BC a/ Tính góc hai đường thẳng SD BC b/ Gọi I, J điểm thuộc SB SD cho IJ // BD Chứng minh góc AC IJ khơng phụ thuộc vào vị trí I J Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, SA = SC, SB = SD Gọi O giao điểm AC BD a/ Chứng minh SO  mp  ABCD b/ Gọi d giao tuyến mp(SAB) mp(SCD); d1 giao tuyến mp(SBC) mp(SAD) Chứng minh SO  mp  d , d1  Bài 11 Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm hai mặt phẳng khác cho hai đường chéo AC BF vng góc Gọi CH FK hai đường cao hai tam giác BCE ADF Chứng minh Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 37 Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc a/ ACH BFK tam giác vuông b/ BF  AH AC  BK Bài 12 a/ Cho tứ diện DABC có cạnh Gọi H hình chiếu D mp(ABC) I trung điểm DH Chứng minh tứ diện IABC có IA, IB, IC đơi vng góc b/ Cho tứ diện IABC có IA = IB = IC IA, IB, IC đôi vng góc; H hình chiếu I mp(ABC) Gọi D điểm đối xứng H qua I Chứng minh tứ diện DABC có cạnh Bài 13 Cho hình vng ABCD Gọi S điểm không gian cho SAB tam giác mp(SAB) vng góc với mp(ABCD) a/ Chứng minh mp  SAB  mp  SAD mp  SAB  mp  SBC  b/ Tính góc hai mặt phẳng (SAD) (SBC) c/ Gọi h I trung điểm AB BC Chứng minh mp  SHC   mp  SDI  Bài 14 Cho hình chữ nhật ABCD với tâm O, AB = a, BC = 2a Lấy điểm S khơng gian cho SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) , đặt SO = h Gọi M N trung điểm AB CD a/ Tính góc mặt phẳng (SMN) với mặt phẳng (SAB) (SCD) Tìm hệ thức liên hệ h a để mp(SMN) vng góc với mặt phẳng (SAB) (SCD) b/ Tính góc hai mặt phẳng (SAB) (SCD) Tính h theo a để hai mặt phẳng vng góc Bài 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, SA = a Tính: a/ Các góc hai mặt phẳng chứa mặt bên mặt phẳng đáy hình chóp b/ Góc hai mặt phẳng chứa hai mặt bên liên tiếp hai mặt bên đối diện hình chóp Bài 16Trong mp (P), cho hình thoi ABCD với AB = a, AC  2a Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (P) giao điểm O hai đường chéo hình thoi, ta lấy điểm S cho SB = a Chứng minh rằng: a/ Tam giác ASC vuông b/ Mặt phẳng (SAB) mặt phẳng (SAD) vuông góc với CHUN ĐỀ QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN (tiếp)26/03/2010 Bài 17 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam gíac cân với AB = AC = a góc BAC  1200 , cạnh bên BB’ = a Gọi I trung điểm CC’ Chứng minh tam giác AB’I vng A Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’I) Bài 18 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trực tâm H tam giác ABC, góc đường thẳng chứa cạnh bên mặt phẳng đáy hình lăng trụ  Chứng minh hai đường thẳng AA’ BC vng góc với Tính diện tích mặt bên BCC’B’ hình lăng trụ Bài19 ( Đề CĐ Giao thơng Vận tải 2007) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng A, biết AB = AC = AA’ = a (a > 0) Tính khoảng cách hai đường thẳng AC BC’ Bài 20 ( Đề CĐ Khối A- 2007) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Sa = 2a Tính khoảnh cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a Bài 21 ( Đề CĐ khí luyện kim - 2007)Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác cạnh a, AD vng góc BC, AD = a khoảng cách từ D đến BC a Gọi H, I trung điểm BC AH Chứng minh BC vng góc mặt phẳng (ADH) tính độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng AD, BC Bài 22 ( Đề CĐ sư phạm VP K D-B - 2007) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, M N trung điểm BC C’D’ mặt phẳng (AMN) cắt đường thẳng B’C’ P Tính tỉ số PC ' B 'C ' Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 38 Chuyên đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc Bài 23 ( Đề CĐ khối -B - 2007)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O có SA = SC, SB = SD Chứng minh SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) Bài 24 ( Đề CĐ khối -D - 2007)Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a SA  a Tính góc mặt bên mặt đáy hình chóp S.ABCD Bài 25( Đề CĐ Công nghiệp Tp HCM 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Các mặt bên (SAB) (SCD) tạo với góc 600 Qua AB dựng mặt phẳng ( ) vng góc với mặt phẳng (SCD), cắt SC SD M N Tính diện tích thiết diện ABMN Bài 26( Đề CĐ KTKT- 2007) Cho tứ diện ABCD có : AB = CD = a; AC = BD = b; BC = AD = c Chứng minh bốn mặt tứ diện tam giác có góc nhọn Bài 27 ( Đề CĐ SP – HD - 2006) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, đường cao SH  a Tính góc mặt bên mặt đáy hình chóp SABCD Bài 28( Đề CĐ HV – 2006) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng BD SC Bài 29( Đề ĐH Khối A – 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M N lần lựot trung điểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC) Bài 30( Đề ĐH Khối B – 2002) Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a a.Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A1B B1D b.Gọi M, N, P trung điểm cạnh B1B, CD, A1D1 Tính góc hai đường thẳng MP C1N Bài 31( Đề ĐH Khối D – 2002) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm; AB = cm; BC = cm.Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) Bài 32( Đề ĐH Khối D – 2003) Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng  Trên  lấy hai điểm A, B với AB = a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, mặt phẳng (Q) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với  AC = BD = AB Tính bán kiính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a Bài 33( Đề ĐH Khối D – 2007) cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, gocABC  gocBAD  900 , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA  a Gọi H hình chiếu vng A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Bài 34( Đề ĐH Khối B – 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD tính theo a khoảng cách hai đường thẳng MN AC Bài 35(Đề ĐH Đà Nẵng Khối A-2001) Cho tứ diện SABC có SC  CA  AB  a SC   ABC  , tam giác ABC vuông A, điểm M thuộc SA N thuộc BC cho AM = CN = t (0 < t < 2a) Tính độ dài đoạn thẳng MN Tìm giá trị t để đoạn MN ngắn nhất, Khi đoạn thẳng MN ngắn nhất, chứng minh MN đường vuông góc chung BC SA Bài 36(Đề ĐH GTVT Khối A-2001) Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 39 Chuyên đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc Cho tam giác ABC vng cân có AB = Ac = a, M trung điểm cạnh BC Trên nửa đường thẳng AA’ MM’ vng góc với mp(ABC) phía, lấy tương ứng điểm N I  N  AA '; I  MM ' cho 2MI = NA = a Gọi H chân đường vng góc hạ từ A xuống NB Chứng minh AH vng góc với NI Lời giải Bài 1: 1.a/ * CMR: MN  BD +) Ta có: SAB SAD  AM  AN (2 đường cao tương ứng)  BM  ND (do MAB NAD ) SB  SD +) Xét SBD có   MN  BD  BM  DN * CMR: SC  mp  AMN   Cách 1:  BC  AB  gt   +) Vì   BC   SAB   BC  MA  BC  SA  SA   ABCD     MA  BC  +) Có   MA  SC (1đường thẳng  với cạnh tam giác  với cạnh cịn  MA  SB  gt   lại) CM tương tự ta có: NA  SC Vậy SC  mp  AMN   Cách 2: +) Vì BC   SAB   SB hình chiếu SC (SAB) Lại có: MA  SB  MA  SC 1 +) CD   SAD  SD hình chiếu SC (SAD)  2 SC  mp  AMN  Lại có AN  SD  AN  SC Vậy từ (1) (2) ta có:  Cách 3: +) MN  BD Mà BD  AC với AC hình chiếu SC (ABCD)  MN  SC +) AM  SC  SC  ( AMN ) b/ CMR: AK  MN  BD  AC Có   BD   SAC   BD  SA Mặt khác: BD // MN  MN  (SAC )  MN  AK Tính góc đường thẳng SC mp(ABCD) SA  a , AB = a +) Vì AC hình chiếu SC (ABCD)  góc (ABCD) SC góc SC AC +) Vì  ASC có AS = AC = a  goc SCA  450  góc cần tìm 450 +) SBC vng B có Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 40 ... gọi góc đường thẳng a mặt phẳng (P) a a a'' P Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc 3) Góc hai mặt phẳng Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc. .. Việt Page 38 Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc Bài 23 ( Đề CĐ khối -B - 2007)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O có SA = SC, SB = SD Chứng minh SO vuông góc với mặt phẳng... Việt Page 26 Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc Bài 23 ( Đề CĐ khối -B - 2007) (Đề số 40 – tr 52- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O