Trong hai bài toán 1 và 2, từ giả thiết ta đã có sẳn ba đường thẳng đôi một vuông góc nhau, đây là điều kiện lý tưởng để có thể chọn một hệ trục tọa độ Oxyz, việc còn lại chỉ còn là vấn [r]
(1)ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
I MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HAI CÁCH GIẢI CHO CÙNG MỘT BÀI TOÁN Bài 1.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N hai điểm nằm hai cạnh B’C’ CD cho B’M =
2
B’C’, CN =3
CD Chứng minh AMBN. Giải:
Cách giải (phương pháp tổng hợp) Cách giải (phương pháp toạ độ)
- Dựng ME // CC’(E thuộc BC) Nối AE - Hai tam giác vuông ABE BCN nhau,
góc AEB góc BNC.
AEBN (1) Mặt khác: Vì ME // CC’(ABCD) nên ME (ABCD)
ME BN (2) Từ (1) (2) BN(AEM)
BN AM (đpcm).
- Chọn hệ trục toạ độ Oxyz hình vẽ (O A’) Đặt AA’= a Ta có:
A(0;0;a), B(a;0;a), M(a; 2a
;0),N(3;a;0 a
)
⇒ AM.BN a.( 23a)23a.a(a).00 BN
AM
(đpcm).
Bài 2 (TSĐH - khối B năm 2006)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a , SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Gọi M, N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB
Giải:
Cách giải (phương pháp tổng hợp) Cách giải (phương pháp toạ độ) *) Chứng minh: (SBM) (SAC).
- Gọi K trung điểm CD, E giao
* Chọn hệ trục toạ độ Oxyz hình vẽ (OA)
Gọi E giao điểm AC BD Ta có:
A
A’
B’ B
C’
D’ D
C
M
N
x
y z
O A
A ’ B’ B
C’ D’ D
C
(2)điểm AC BD Ta có MK// AC Mặt khác: Tam giác vng BAM có
2
2
2 AM a
BA
BM
Tam giác vuông MDK có
3
2
2 DK a
MD
MK
2
2
2 DK a
MD
MK
Tam giác vng BCK có:
2
2 CK a
BC
BK
Dễ thấy BM2+ MK2 = BK2 nên tam giác
BMK vuông M,
=> MKBM => ACBM.
Hơn BMSA Từ ta có BM (SAC) Vậy (SBM) (SAC) (đpcm). *) Tính thể tích khối tứ diện ANIB - Ta có NE // SA
=> NE(AIB) NE = a/2.
- Vì I trọng tâm tam giác ABD
3
3
3 AE a AI a
a
AC
Tam giác ABI vuông I có
6
2 AI a
AB
BI
Vậy thể tích khối tứ diện ANIB 36
1 a3
NE IA BI NE
S
V AIB
(đvtt)
A(0;0;0), B(a;0;0),
) ; 2 ; ( ), ; 2 ; ( ), ; 2 ; ( ), ; ; ( ), ; ; ( ), ; ; ( a M a a E a a a N a S a D a a C
và ;0) ; (a a I
, I trọng tâm ABD
*) Chứng minh: (SBM) (SAC).
- Ta có ;0), ( ; 2;0)
;
( a a AC a a
BM
AC BM AC
BM
.
Mặt khác: SA(ABCD) nên BMSA. Từ suy BM(SAC)
=> (SBM) (SAC) (đpcm).
*) Tính thể tích khối tứ diện ANIB
Ta có ;0)
2 ; ( ), ; ;
(a AI a a
AB
và ;2) ;
(a a a
AN
=> )
2 ; ; ( , 2 a a AN
AB
Vậy thể tích khối tứ diện ANIB
362
,
1 a3
AI AN AB
V
(đvtt)
Bài 3 (TSĐH - khối A năm 2007)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vng góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP
Giải
(3)* Chứng minh AM vng góc với BP Gọi H trung điểm AD
Do ΔSAD nên SH AD Do(SAD) (ABCD)nên SH (ABCD)
⇒ SH BP (1).
Xét hình vng ABCD ta có ΔCDH = ΔBCP ⇒
CH BP (2) Từ (1) (2) suy BP (SHC)
Vì MN // SC AN // CH nên (AMN) // (SHC) Suy BP (AMN) ⇒ BP AM * Tính thể tích khối tứ diện CMNP Kẻ MK (ABCD), K (ABCD) Ta có: VCMNP=
1
3MK SCNP
Vì MK=1
2SH=
a√3
4 ,
SCNP =
2 CN.CP =
a2
Nên VCMNP = a
√3 96
* Gọi H trung điểm AD Do ΔSAD nên SH AD Do(SAD) (ABCD)nên SH (ABCD)
- Dựng đường thẳng Az vng góc với (ABCD), ta có AD, AB, Az ba tia đơi vng góc Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ ( O≡ A ) Ta có:
A(0;0;0), S( a
2;0;
a√3
2 ), M(
a
4;
a
2;
a√3
4 ) B(0; a ;0), P( a ;
a
2;0¿
, C( a ;a ;0 ), N(a
2; a ;0) * Chứng
minh AM vng góc với BP Ta có: ⃗AM ⃗BP=a
2
4 −
a2
4+0=0
⇒ BP AM
* Tính thể tích khối tứ diện CMNP Ta có: [⃗CP,⃗CN]=(0;0;−a
2
4)
⃗CM=(−3a
4 ;−
a
2;
a√3
4 )
Nên: VCMNP=1
6|[⃗CP,⃗CN].⃗CM|=
a3
√3 96
II SO SÁNH
Cách giải (phương pháp tổng hợp) Cách giải (phương pháp toạ độ)
1) Kiến thức:
- Cần có kiến thức rộng đầy đủ hình học (hình học phẳng hình học không gian)
1) Kiến thức:
- Cần có kiến thức vững vectơ toạ độ vectơ không gian
- Nhớ công thức, phương trình
M
P
N
S
H
B A
C
D
M
P
N
S
x
y z
H
B
D
C
A
(4)- Nhớ định lý, hệ
- Đôi cần phải dựng thêm hình vẽ phụ
2) Kĩ năng:
- Kĩ vẽ hình, dựng hình - Kĩ chứng minh, tính tốn
3) Tư duy:
- Đòi hỏi khả tư cao - Phạm vi liên kết kiến thức rộng
đường thẳng, mặt phẳng mối quan hệ đường thẳng mặt phẳng
- Khơng cần dựng hình vẽ phụ
2) Kĩ năng:
- Kĩ tính tốn
3) Tư duy:
- Khả tư bình thường
- Phạm vi liên kết kiến thức hẹp (Chủ yếu tập trung vào việc chọn hệ trục tọa độ thích hợp)
* Nhận xét
Trong hai toán 2, từ giả thiết ta có sẳn ba đường thẳng đơi vng góc nhau, điều kiện lý tưởng để chọn hệ trục tọa độ Oxyz, việc cịn lại chỉ cịn vấn đề tính toán Đối với 3, để chọn hệ trục tọa độ thích hợp có khó khăn chút Với ý: SH (ABCD), ta chọn hệ trục khác, hệ gồm ba trục HD, HN HS đơi vng góc tương ứng Ox, Oy, Oz.( O≡ H ).
III MỘT VÀI VÍ DỤ VỀ CÁCH CHỌN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ KHI GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
VÍ DỤ Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC cân với AB = AC = a góc BAC= 1200 , cạnh bên BB’= a Gọi I trung điểm CC’
a) Chứng minh tam giác AB’I vng A
b) Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’I) c) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB’ BC’
Nhận xét : Từ giả thiết toán , khơng có ba đường thẳng xuất phát từ
một điểm đơi vng góc , nên ta phải cố gắng tìm mối liên kết thích hợp , để từ đó chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho xác định tọa độ tất các điểm liên quan đến vấn đề mà ta cần giải Để làm điều cần ý , lăng trụ đã cho lăng trụ đứng tam giác đáy tam giác cân Từ , gọi O , O’ lần lược là trung điểm B’C’ BC ta có ba tia OO’, OB’ OA’ đôi vuông góc * Gọi O, O’ trung điểm B’C’ BC
Ta có : OO’ OA’ , OO’B’C’
Tam giác A’B’O nửa tam giác có cạnh A’B’ = a nên A’O =
3 a
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Ta có :
) ; ;
3 ( ' a B
, ;0;0) ( ' a C
, (0; 2;a) a A
) ; ;
3
(a a
B
, ;0; )
( a a
C
, ;0;2)
( a a
I
* Từ ta dễ dàng chứng minh tam giác AB’I vuông
tại A tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’I) Riêng câu c, sử
A
A’
B
B’
C’ C
I
x
y z
O’
(5)dụng phương pháp tổng hợp để giải tốn hồn tồn khơng dễ chút Cịn dùng phương pháp tọa độ hồn tồn ngược lại.
VÍ DỤ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB = a , BC = 2a , cạnh SA vuông góc với đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC Chứng minh tam giác AMB cân M tinh diện tích tam giác AMB theo a
Nhận xét : Với nhận xét tương tự toán VD1, ta cần tạo ba tia đơi vng góc Dễ dàng nhận thấy , từ B dựng tia Bz vng góc với mp(ABC) ba tia BA,BC,Bz đơi vng góc , từ ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ ( gốc tọa độ O trùng với B)
Ta có A(a;0;0) , C(0;2a;0) , S(a;0;2a) , (2;a;a)
a M
* Từ đây, cơng việc cịn lại thực dễ dàng. IV KẾT LUẬN.
Phương pháp tọa độ phương pháp hỗ trợ, thay phương pháp tổng hợp, dù chưa phải tối ưu áp dụng phạm vi rộng tốn (có chứa quan hệ vng góc), khắc phục khiếm khuyết học sinh tư thời gian, nhược điểm lớn phương pháp biểu thức tính tốn kồng kềnh Tuy nhiên biết vận dụng cách thích hợp phương pháp hữu hiệu giải tốn hình học khơng gian kỳ thi tuyển sinh vào trường Đại học Cao đẳng
A S
z
M
C B
O
x
(6)