Các dạng bài tập vận dụng cao phương pháp tọa độ trong không gian

Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc trong không gian gồm ba trục x'Ox, y'Oy, z'Oz vuông góc với nhau từng đôi một.. Điểm O được gọi là gốc tọa độ.[r]

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1 Hệ tọa độ không gian

Hệ trục tọa độ Đề-các vng góc khơng gian gồm ba trục x'Ox, y'Oy, z'Oz vng góc với đơi

Gọi , ,  i j k vectơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz Điểm O gọi gốc tọa độ

Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) mặt phẳng tọa độ Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz gọi không gian Oxyz 2 Tọa độ vectơ

Trong không gian Oxyz, cho vectơ u Khi

 

u x; y; z  u xi y j zk.    Chú ý:

1) 00;0;0 

2)

1 2 3 a b a b a b a b

     

    

3) a phương  

1 2 3 a kb

a k

b b b

a kb       

 

   

Biểu thức tọa độ phép toán vectơ Cho hai vectơ aa a a1; ;2 3,bb b b1; ;2 3

 

k số thực tùy ý Khi ta có:

 a b  a1b a1; 2b a2; 3b3  a b a1b a1; 2b a2; 3b3

 

 k a.ka ka ka1; 2; 3  a b a b1 a b2 2a b3 3

 

Ứng dụng tích vơ hướng:

 a b a.b 0  a b1 1a2.b2a b3 30

 2 2

 2 2 a  a  a a a

 

   1 2

2 2 2 2

3 3 a b a b a

a.b cos a;b

a b a a b b

b

a b



 

 

  

   

 

Với a 0, b 0.   

3 Tọa độ điểm

Trong không gian Oxyz, cho điểm M tùy ý Khi M x; y; z( )OMxi y j zk  

Tính chất

 Nếu A x ; y ; y A A Avà B x ; y ; y B B B  B A B A C A AB x x ; y y ;z z 

Khi  B A 2 B   

2

B

A A

AB AB  x x  y y  z z  Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB

A B A B A B

x x y y z z

; ;

I

2 2

  

 

 

 

 Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC

C C

A B A B A B C

x x y y z z

; ;

3

x y

3 z

G    







 

 Tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD

A B C D A B C D A B C D

x x x x y y y y z z z z

G ; ;

4 4

        

 

 

 

4 Tích có hướng hai vectơ Định nghĩa

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ bb ;b ; b 3 

Tích có hướng hai vectơ a b  vectơ vng góc với hai vectơ a b , kí hiệu a , b  xác định sau:

2 3 1 2 3 1

a a a a a a

a , b ; ;

b b b b b b

 

    

   

 

a2 3b a b ;a b3 a b1 3; ba1 a2 1b 

   

Tính chất

 a phương với a bb ,   0.  a , b vng góc với hai vectơ a b 

Chú ý: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (x; y; z) ta có khẳng định sau:

M  O M0; 0; 

 b ,a  a , b  

 a , b   a b sin a ; b      5 Phương trình mặt cầu

Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu tâm I a; b;c bán kính R có phương trình x a  2 y b  2 z c2R 2

Ngược lại phương trình

  2

x y z 2Ax 2By 2Cz D    

Với A2B2C2 D 0 phương trình mặt cầu tâm I  A B C; ;  có bán kính R A2B2C2D.

Chú ý: Điều kiện để phương trình (1) phương trình mặt cầu là: 2 0.

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm tọa độ điểm, vectơ hệ trục Oxyz 1 Phương pháp

Sử dụng định nghĩa khái niệm có liên quan đến điểm, vectơ: Tọa độ điểm, vectơ; độ dài vectơ, phép tốn vectơ để tính tổng, hiệu vectơ; tìm tọa độ trọng tâm tam giác,

a, b  phương a , b 0 a , b    a , b   a , b   a b sin a ; b    

Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz

Hệ tọa độ Đề-các vng góc Oxyz gồm ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz

Điểm O gốc tọa độ

Các vectơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz   i, j, k

Các mặt phẳng tọa độ: Oxy , Oyz , Ozx      HỆ TỌA ĐỘ

KHÔNG GIAN Tích có hướng

Tích có hướng hai vectơ vectơ

 3

a a ;a ;a , bb ;b ; b 1 2 3 3 1 2 3 1

a a a a a a

a , b ; ;

b b b b b b

 

    

   

 

a2 3b a b ;a b3 a b1 3; ba1 a2 1b 

   

Tọa độ vectơ Tọa độ điểm

 

u x; y;z u xi y j zk



   



    M x; y;z 

OM xi y j zk    

2 2 2 2

x y z

u  u    AB x Bx ; yA By ; zA CzA 

Biểu thức tọa độ phép toán vectơ  3

a a ;a ;a , bb ;b ; b 1 2 3  1; 2; 3 a b   a b a b a b

 3

k.a ka ;k a ;k a với k số thực 1 2 3

2 Bài tập

Bài tập Trong không gian Oxyz, cho a2; 2;0 , b 2; 2;0 , 2; 2;2  c  Giá trị a b c   

A.6 B. C.11 D. 11

Hướng dẫn giải Chọn D

T a có a b c    2;6;2 nên   a b c   226222  44 11.

Bài tập Trong không gian Oxyz cho hai điểm A1; 2;3 , 1;0;1  B   Trọng tâm G tam giác OAB có tọa độ là:

A. 0;1;1  B 0; ;2 3

 

 

  C. 0; 2;  D.   2; 2;  Hướng dẫn giải

Tọa độ trọng tâm tam giác là: G

G

G

1

x

3

2 0 2

y G 0; ;

3 3

3 z

3

 

  

 

 

     

  



 

  



Chọn B

Bài tập Trong không gian Oxyz, cho vectơ a1; 2;4 ,  bx y z0; ;0 0 ) phương với vectơ a Biết vectơ b tạo với tia Oy góc nhọn b  21 Giá trị tổng x0y0z0

A. 3 B.6 C. 6 D.3

Hướng dẫn giải Chọn A

Lại có b  21 suy k2 4k2 16k2 21 k k

 

    

  

Với k 1 ta có b 1; 2; ,  suy góc bvà Oy thỏa mãn

  b.j

cos b,Oy ,

b j 

  

  b.j   2

Suy góc tạo b Oy góc tù Suy k 1 khơng thỏa mãn Với k 1 ta có b   1;2; ,  suy góc bvà Oy thỏa mãn

  b.j

cos b,Oy ,

b j 

  

  b.j 0.  

Do b   1;2;   Suy x0y0z0     1

Bài tập Trong khơng gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    có A 3; 1;1 ,  hai đỉnh B, C thuộc trục Oz AA 1 (C không trùng với O) Biết vectơ ; ;u(a b 2) (vớia, b) vectơ phương đường thẳng A C Tính T a2b2.

A. T 5. B. T 16 C. T 4. D. T 9.

Hướng dẫn giải Chọn B

Lấy M trung điểm BC Khi ta có AM BC

AA BC

    

 nên BCA M M; suy M hình chiếu A trục Oz

 

M 0;0;1 A M 2.

 

Mặt khác AM A M 2AA2  3. Lại có ABC nên AM 3BC

2

 

BC MC

   

Gọi C 0;0;c ,c 0   suy MC c c

MC c 1

c  

       ( loại c 0 ) C 0;0;  

 

A C   3;1;1 vectơ phương đường thẳng A C Suy u  3;2;2 vectơ phương A C Vậy a 2 3;b2 Suy T a2b2 16.

1 Phương pháp giải

Để tính tích có hướng hai vectơ, ta áp dụng cơng thức:

2 3 1 2 3 1

, a a ;a a a; a

a b

b b b b b b

 

    

   

 

a2 3b a b a b3 2; 3 1a b a b1 3; 1 2a2 1b 

Bài tập: Tính tích có hướng hai vectơ 1;0;1 , 2;1; 1

  

 

a b

Hướng dẫn giải

 

0 1 1

, ; ; 1;3;1

1 1 2

a b  

    

     

 

2 Bài tập mẫu

Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ ,a b  khác 0. Kết luận sau sai?

A ,3 a b3a b ,  B. 2 , a b2a b , 

C. 3 ,3 a b3a b ,  D a , b   a b sin   a , b  Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có: ,3 a b3a b,39a b ,  (C sai)

Bài tập Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ a1; 2;1 , b0;2; ,  c(m,1;0 ) Tìm giá trị thực tham số m để ba vectơ ; ;a b c  đồng phẳng

A. m 1. B. m 0. C. m

4

  D. m

4  Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có a b ,     4;1;2 

Ba vectơ ; ;a b c   đồng phẳng a, b c 4m m  

        

Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho năm điểm A0;0;3 , 2; 1;0 , B   C3; 2; , 1;3;5 ,

D E4;2;1 tạo thành hình chóp có đáy tứ giác Đỉnh hình chóp tương ứng

A.Điểm C B.Điểm A C.Điểm B D.Điểm D

Hướng dẫn giải Chọn A

Xét đáp án A, giả sử C đỉnh hình chóp, ta có:

2; 1; , 1;3; , 4; 2; , 3;2;1       AB   AD AE  AC

AB, AD AE 4.7 2.7 2.7 AB, AD AC 3.7 2.7 1.7 14

     

 

 

     

 



     

Suy A, B, D, E đồng phẳng Vậy điểm C đỉnh hình chóp

Bài tập Trong không gian Oxyz cho điểm A1;0;0 , 0; 2;0 , 0;0;3 , 2; 2;0  B  C  D   Có tất mặt phẳng phân biệt qua điểm O, A, B, C, D?

A.10 B.7 C.5 D.6

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có AB  1;2;0 , 1; 2;0 , AD   suy điểm A, B, D thẳng hàng

Từ xác định vị trí điểm hệ trục độ Oxyz đếm trực tiếp ta có mặt phẳng qua điểm O, A, B, C, D là:

OCB , , , ,OCA OCD OAB ABC

Dạng Ứng dụng tích có hướng để tính diện tích thể tích 1 Phương pháp giải

 Diện tích hình bình hành: SABCD  AB, AD    Tính diện tích tam giác: SABC AB, AC 

 

 Tính thể tích hình hộp: VABCD.A B C D    AB, AC AD    

 Tính thể tích tứ diện: ABCD

1

V AB, AC AD

6  

  

   2 Bài tập

Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1; 2;0 , 2;1; , 1;3;1  B  C   Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

A. 10 B.3 10

5 C.

10

5 D. 10

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có: AB1; 1;2 ,  AC  2;1;1 , 3;2; 1 BC    Suy AB AC  6;BC 14

Suy SABC AB, AC 35

2  

Gọi RABC bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có

ABC

ABC

AB.AC.BC 6 14 10

R

4S 4. 35

2

  

Bài tập Trong không gian Oxyz, cho A2; 1; ,   B 3;0;1 , C(2; 1;3) D nằm trục Oy Thể tích tứ diện ABCD Tọa độ D

A. D 0; 7;0    B. D 0;8;0  

C. D 0; 7;0   D 0;8;0   D. D 0;7;0  D 0; 8;0    Hướng dẫn giải

Chọn C

Vì D Oy nên D 0; y;0 Khi Thể tích tứ diện ABCD  

1

V AB, AC AD 4y

6  

     

Theo đề ra, ta có 4y y y

       



Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có tọa độ đỉnh 0;0;0 , 0; ;0 ,   3; ;0 0;0; 

2

 



 

 

 

a a

A B a C và A a Gọi D trung điểm cạnh BB' M di động

trên cạnh AA' Diện tích nhỏ tam giác MDC' A

2 3

a B 5

a C 6

a D 15

a Hướng dẫn giải

Ta có    

 

  a a

CC AA C ; ;2a

2

 

    

CC BB B 0;a;2a

Điểm D trung điểm BB' nên D0; ; a a (0;0; )

M t với t 2a.  Ta có        

 

 a 3 a 

DC ; ;a ,DM 0; a;t a

2

Ta có:

 



 

 

  

     

2 2

2 2

MDC

a 2t 3a 6a

1 a 4t 12at 15a a

S DC ,DM

2 4

Suy minSMDC a 62

4  t a

2

Dạng 4: Phương trình mặt cầu 1 Phương pháp giải

Cách viết phương trình mặt cầu:

 Mặt cầu tâm I a; b;c , bán kính R có phương trình  x a  2 y b  2 z c2R 2

Bài tập: Phương trình mặt cầu tâm I2; 1;1 ,  bán kính R = x 2  2 y 1  2 z 12 9.  Xét phương trình:

  y2 z2 2ax 2by 2cz d *

x       

Ta có  * x22ax  y22by  z22cz d x a  2 y b  2 z c2 a2b2 c2 d.

 

Điều kiện để phương trình (*) phương trình mặt cầu a2b2c2 d.

Khi (S) có  

 

   



 

 2 2

taâm I a; b; c

bán kính R a b c d Đặc biệt mặt cầu  S : x2y2z2 R2 (S) có

 

  

Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình  S : x2y2z22x 6y 6z 0.    Tính diện tích mặt cầu (S)

A.100  B.120  C.  D. 42 

Hướng dẫn giải Chọn A

Mặt cầu (S) có tâm I 1; 3;3  , bán kính r 9 5.    Vậy diện tích mặt cầu 4 r 24 5 100 

Bài tập Trong không gian Oxyz, cho điểm I 1; 2;3    Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox hai điểm A B cho AB 3.

A x 1   2 y 2  2 z 32 16 B. x 1 2(y 2 )2 z 32 20. C. x 1  2 y 2  2 z 3225 D. x 1  2 y 2  2 z 329 Chú ý:

Tính khoảng cách từđiểm A đến đường thẳng : - Xác định điểm M 

- Áp dụng công thức: d A,  AM, u u

 

 

 

 



Hướng dẫn giải Chọn A

Gọi H trung điểm ABIHAB HIH d I; AB  dI;Ox

Lấy M 2;0;0  Ox IH dI,Ox IM,i i

   

    

 



Bán kính mặt cầu cần tìm R IA  IH2HA2 4.

Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   S : x 1  2 y 2  2 z 12 9 hai điểm A 4;3;1 , B 3;1;3 ;    M điểm thay đổi (S) Gọi m, n giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P 2MA 2MB 2 Giá trị (m n)

A.64 B.60 C.68 D.48

Hướng dẫn giải Mặt cầu (S) có tâm I 1;2; 1   bán kính R =

Lấy điểm E cho 2AE BE 0    E 5;5;    Ta có IE 5. Dễ thấy điểm E điểm nằm mặt cầu (S)

Khi P 2MA 2MB2 2 ME AE   2 ME BE  2ME22AE2BE 2 P lớn nhỏ ME lớn nhỏ

max ME IE R 8; ME IE R 2.     

Do m max P 64  2AE2BE2; n mi n P 2AE  2BE2. Suy m n 60. 

BÀI PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Phương trình mặt phẳng

Vectơ pháp tuyến

Vectơ nρ0ρ vectơ pháp tuyến   giá nρ vng góc với   Cặp vectơ phương mặt phẳng

Hai vectơ ,a bρ ρ không phương cặp vectơ phương   giá chúng song song nằm  

Chú ý:

 Nếu nρ vectơ pháp tuyến   kn kρ 0 vectơ pháp tuyến    Nếu ,a bρ ρ cặp vectơ phương   nρ  a bρ ρ,  vectơ pháp tuyến  

Phương trình tổng quát mặt phẳng

Ax By Cz D    với A2B2C2 0

 Nếu ( ) có phương trình Ax By Cz D   0 n( ; ; )A B C vectơ pháp tuyến ( )

 Phương trình mặt phẳng qua M x y z0 0; ;0 0 có vectơ pháp tuyến ( ; ; )n A B C là:  0  0  0

A x x B y y C z z  Các trường hợp đặc biệt

Các hệ số Phương trình mặt phẳng   Tính chất mặt phẳng  

D Ax By Cz  0   đi qua gốc tọa độ O

A By Cz D  0   / / Ox hoặc   Ox

B Ax Cz D  0   / /Oy hoặc   Oy

C Ax By D  0   / /Oz hoặc   Oz

A B  Cz D 0    / / Oxy hoặc     Oxy

A C  By D 0    / / Oxzhoặc     Oxz

    Oyz

Nếu ( ) cắt trục toạđộ điểm ( ;0;0),(0; ;0),(0;0; )a b c với abc0 ta có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ( ) : x y z

a b  c



Chú ý: Nếu phương trình ( ) khơng chứa ẩn ( ) song song chứa trục tương ứng 2 Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho điểm A x y z A; A; A mặt phẳng

( ) : Ax By Cz D   0

Khi khoảng cách từđiểm A đến mặt phẳng ( ) tính theo cơng thức: 2

d( ,( ))A AxA ByA CzA D

A B C

  



 

 3 Vị trí tương đối

Vị trí tương đối hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng

1 1 2 2

( ) : A x B y C z D   0; ( ) : A x B y C z D   0

+) 1 1

2 2

( ) ( ) A B C D

A B C D

    

 

+) 1 1

2 2

( ) / /( ) A B C D

A B C D

   

 

+) 1

2

( ) ( ) A B

A B

  

  1

2

B C

B  C +) ( ) ( )   A A1 2B B1 2C C1 0

Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng mặt cầu

( ) : Ax By Cz D   0;

2 2

( ) : (S x a ) (y b )  (z c) R Để xét vị trí ( ) ( )S ta làm sau: +) Nếu d I ,  R ( ) không cắt ( )S

+) Nếu d I ,   R   cắt  S theo đường trịn có phương trình

2

2 2

( ) ( )

( ) :

0

x a y b z c R

C

Ax By Cz D

      

 

   



Bán kính  C r R2d [ ,( )]2 I 

Tâm J (C) hình chiếu vng góc I   4 Góc hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng

1 1

( ) : A x B y C z D   0 ( ) : A x B y C z D2  2  2  2 0

Góc ( ) ( ) bù với góc hai vectơ pháp tuyến , n n   Tức    

   2

2 2 2

1 1 2

cos , cosn n, n n A A B B C C

n n A B C A B C

 

  

     

 

 

 

 

   

 

Chùm mặt phẳng

 Tập hợp tất mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng ( ) ( ) gọi chùm mặt phẳng

 Gọi  d giao tuyến hai mặt phẳng

1 1

2 2

( ) :

( ) :

A x B y C z D A x B y C z D

   

   

 

Khi  P mặt phẳng chứa  d mặt phẳng  P có dạng  1 1  2 2

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến viết phương trình mặt phẳng 1 Phương pháp

1 Mặt phẳng   qua điểm M x y z 0; ;0 0 có vectơ pháp tuyến nρA B C; ;   0  0  0

A x x B y y C z z 

2 Mặt phẳng ( ) qua điểm M x y z 0; ;0 0 có cặp vectơ phương , a b  Khi vectơ pháp tuyến ( ) n[ , ].a b 

2 Bài tập

Bài tập 1: Cho mặt phẳng  Q x y:  2z 2 Viết phương trình mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng  Q , đồng thời cắt trục Ox Oy, điểm M N, cho MN 2

A. ( ) :P x y 2z 2 B. ( ) :P x y 2z0 C. ( ) :P x y 2z 2 D. ( ) :P x y 2z 2

Hướng dẫn giải Chọn A

( ) / /( )P Q nên phương trình mặt phẳng ( )P có dạng x y 2z D 0 (D 2)

Khi mặt phẳng ( )P cắt trục ,Ox Oy điểm (M D;0;0), (0; ;0)N D Từ giả thiết: MN 2 2 2D2 2 2D2 (do 2).D 

Chú ý: Mặt phẳng   đi qua điểm M x y z 0; ;0 0 và song song với mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D   0 thì   có phương trình

 0  0  0 A x x B y y C z z 

Bài tập 2: Cho điểm (1;2;5).M Mặt phẳng ( )P qua điểm M cắt trục tọa độ Ox Oy Oz, , , ,A B C cho M trực tâm tam giác ABC Phương trình mặt phẳng ( )P

A. x y z   8 0. B. x2y5z30 0 C.

x  y z . D. 1

5

x  y z .

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có OA (OBC) OA BC BC (OAM) BC OM (1)

AM BC

 

     

 

Tương tự AB OM (2)

Từ (1) (2) suy OM (ABC) hay OM ( )P Suy OM(1;2;5) vectơ pháp tuyến ( )P Vậy phương trình mặt phẳng  P

   

1 2 5 30

x  y  z   x y z 

Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có đỉnh (8; 14; 10);A   AD AB AC, , song song với ,Ox Oy Oz, Phương trình mặt phẳng BCD qua (7; 16; 15)H   trực tâm BCD có phương trình

A. x2y5z100 0 B. x2y5z100 0

C.

7 16 15

x y  z 

  D. 16 15

x y  z 

 

Hướng dẫn giải Chọn B.

Theo đề ra, ta có (BCD) qua H(7; 16; 15),  nhận HA(1; 2;5) vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng BCD

( 7) 2( 16) 5( 15)

2 100

x y z

x y z

     

    

Vậy (BCD x) : 2y5z100 0

Bài tập 4: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng ( ) : x y z   3 cách ( ) khoảng

A. x y z   6 0;x y z  0 B. x y z   6

Hướng dẫn giải Chọn A.

Gọi ( ) mặt phẳng cần tìm Ta có (0;0;3) ( )A   Do ( ) / /( )  nên phương trình mặt phẳng ( ) có dạng:

0

x y z m    với m3

Ta có d(( ), ( )) d( ,( )) | | 3

m

A 

    

  

6 | |

0 m m

m  

    



 (thỏa mãn)

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm

x y z    x y z  0

Bài tập 5: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng

( ) :P x3z 2 0,( ) :Q x3z 4 Mặt phẳng song song cách ( )P ( )Q có phương trình là:

A. x3z 1 B. x3z 2 C. x3z 6 D. x3z 6 Hướng dẫn giải

Chọn A.

Điểm M x y z( ; ; ) cách ( )P ( )Q d M P( ;( ))d M Q( ;( ))

3

| | | |

3

1 9

2

3

3

x z x z

x z x z

x z x z

x z

x z

    



   

   

     

  

  

        

Vậy M thuộc ( ) : x3z 1 Nhận thấy ( ) song song với ( )P ( )Q

Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2;1 , B 3; 4;0 mặt phẳng ( ) :P ax by cz  46 0 Biết khoảng cách từ ,A B đến mặt phẳng ( )P Giá trị biểu thức T   a b c

A. 3 B. 6 C.3 D.6

Hướng dẫn giải Gọi H K, hình chiếu A B, mặt phẳng ( )P Theo giả thiết, ta có: AB3,AH6,BK3

Do ,A B phía với mặt phẳng ( )P

Lại có: AB BK  AKAH Mà AB BK  AH nên H K

Suy A B H, , ba điểm thẳng hàng B trung điểm AH nên tọa độ H(5;6; 1)

Vậy mặt phẳng ( )P qua (5;6; 1)H  nhận (2; 2; 1)AB  vectơ pháp tuyến nên có phương trình 2(x 5) 2(y 6) 1(z  1) 2x2y z 23 0

Vậy T     a b c

Dạng Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu 1 Phương pháp

Viết phương trình mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H

Giả sử mặt cầu  S có tâm I bán kính ,R ta viết phương trình mặt phẳng ( ) qua H có vectơ pháp tuyến n IH

2 Bài tập

Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S có phương trình

2 2

(x1) (y2)  (z 3) 12 mặt phẳng ( ) : 2P x2y z  3 Viết phương trình mặt phẳng song song với ( )P cắt ( )S theo thiết diện đường tròn ( )C cho khối nón có đỉnh tâm mặt cầu đáy hình trịn (C) tích lớn

A. 2x2y z  2 2x2y z  8 B. 2x2y z  1 2x2y z  11 C. 2x2y z  6 2x2y z  3 D. 2x2y z  2 2x2y z  2

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có ( ) / /( ) P nên ( ) : 2 x2y z d  0 (d 3) Mặt cầu  S có tâm (1; 2;3),I  bán kính R2

Gọi  H khối nón thỏa mãn đề với đường sinh IM  R

Đặt ( , ( )).x h d I   Khi bán kính đường trịn đáy hình nón r 12x2 . Thể tích khối nón  2

( )

12

H

V   x x với 0 x Xét hàm số: ( ) 12 2

3

f x   x x với 0 x

Ta có

2 2

5 11

| 2.1 ( 2) |

( ,( )) 2

5

2 ( 1)

d d

d d I

d d

    

    

    

    

    



Chú ý: Công thức tính thể tích hình nón:

1

.2

3

V  hS R h

Trong R là bán kính đáy, h chiều cao

Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2y2 (z 1)24 điểm (2; 2; 2).A Từ A kẻ ba tiếp tuyến AB AC AD, , với mặt cầu ( , ,B C D tiếp điểm) Phương trình mặt phẳng BCD

A. 2x2y z  1 B. 2x2y z  3 C. 2x2y z  1 D. 2x2y z  5

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có mặt cầu  S có tâm I(0;0;1) bán kính R2

Do AB AC AD, , ba tiếp tuyến mặt cầu ( )S với B C D, , tiếp điểm nên

AB AC AD

IA IB IC ID R

 

 

   

 trục đường tròn ngoại tiếp BCD

( )

IA BCD

 

Khi mặt phẳng BCD có vectơ pháp tuyến (2; 2;1)n IA Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp BCD J IA IJ BJ Ta có IBA vuông B BJIA nên

2

2 4

3

IB

IB IJ IA IJ IJ IA

IA

     

Đặt J x y z( ; ; ) Ta có IJ ( ; ;x y z1);IA(2; 2;1)

Từ

9 IJ  IA  

suy 8 13; ; 9 J 

  Mặt phẳng (BCD) qua 8 13; ;

9 9 J 

  nhận vectơ pháp tuyến n(2;2;1)



có phương trình:

8 13

2 2

9 9

x y z x y z

             

     

     

A. 1; 1;

4 2

   

 

 . B. (0; 1;3) C.

3 ;0;2

 

 

  D. 0;3; 1  Hướng dẫn giải

Chọn D

Mặt cầu  S có tâm I(1;1;1) bán kính R2

Xét điểm M a b c( ; ; ) ( ); ( ; ; ) ( ) P A x y z  S nên ta có hệđiều kiện:

2 2

2 2

( 1) ( 1) ( 1) 12

2 11

x y z

AI AM IM

a b c

      

  



     

2 2

2 2 2

( 1) ( 1) ( 1) 12 (1)

12 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) (2)

2 11 (3)

x y z

x a y b z c a b c

a b c

     

           

  

  

   

Lấy (1) (2) ta có:

2 2 2

(x1) (y1)  (z 1) 12 ( x a) (y b )  (z c) 

2 2

12 (a 1) (b 1) (c 1) 

       

(a 1)x (b 1)y (c 1)z a b c

          

Vậy mặt phẳng qua ba tiếp điểm là:

( ) : (Q a1)x (b 1)y (c 1)z a b c    9

Kết hợp với (3) suy mặt phẳng qua điểm cốđịnh (0;3;-1) Dạng Phương trình mặt phẳng đoạn chắn 1 Phương pháp

Phương trình mặt phẳng ( ) qua ba điểm ( ;0;0), (0; ;0)A a B b (0;0; )C c với abc0 là:

x y z

a b  c 2 Bài tập

Bài tập 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm (3;0;0), (2;2; 2)M N Mặt phẳng ( )P thay đổi qua M N, cắt trục Oy Oz, B(0; ;0), (0;0; )b C c với b c, 0 Hệ thức đúng?

A. b c 6 B. bc3(b c ) C. bc b c  D. 1 b c  Hướng dẫn giải

Chọn D

Mặt phẳng ( )P qua M(3;0;0), (0; ;0), (0;0; )B b C c với b c, 0 nên phương trình mặt phẳng ( )P theo đoạn chắn là:

3

x y z

b c

Mặt phẳng ( )P qua (2;2;2)N suy 2 1 1 3     b c b c

Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm G1; 4;3  Phương trình mặt phẳng cắt trục tọa độ , ,

Ox Oy Oz , ,A B C cho G trọng tâm tứ diện OABC

A.

3 12 x y  z

B.

4 16 12 x y  z 

C. 3x12y9z78 0 D. 4x16y12z104 0 Hướng dẫn giải

Chọn B.

Giả sử ( ,0, 0); (0, , 0); (0;0; )A a B b C c

(1;4;3)

G trọng tâm tứ diện

4

4

4

A B C D

G

A B C D

G

A B C D

G

x x x x

x

y y y y

OABC y

z z z z

x

  

   

  

  



  

  

0 0 4.1

0 0 4.4 16

0 0 4.3 12

a a

b b

c c

      

 

              

Ta có phương trình mặt phẳng (ABC) là: 16 12 x y  z  .

Bài tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng  P qua điểm (1;2;3)

M cắt trục ,Ox Oy Oz, ba điểm , ,A B C khác với gốc tọa độ O cho biểu thức 12 12 2

OA OB OC có giá trị nhỏ

A. ( ) :P x2y z 14 0 B. ( ) :P x2y3z14 0 C. ( ) :P x2y3z 11 D. ( ) :P x y 3z14 0

Hướng dẫn giải Chọn B.

Gọi H trực tâm ABC

Ta có BH AC AC (OBH) AC OH  1

OB AC



    

 



Chứng minh tương tự, ta có: BCOH  2 Từ (1), (2) ta có OH (ABC)

Vậy để biểu thức 12 12 12

OA OB OC đạt giá trị nhỏ OH đạt giá trị lớn Mà OH OM nên OH đạt giá lớn OM hay H M

Khi (OM  ABC) nên ( )P có vectơ pháp tuyến OM(1;2;3) Phương trình mặt phẳng ( )P

1(x 1) 2(y 2) 3(z   3) x 2y3z14 0

Bài tập 4: Trong khơng gian Oxyz, có mặt phẳng qua điểm M4; 4;1  chắn ba trục tọa độ Ox Oy Oz, , theo ba đoạn thẳng có độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội 1?

2

A.1 B.2 C.3 D.4

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi A a( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )B b C c với abc0 giao điểm mặt phẳng ( )P trục toạđộ Khi

đó ( )P có phương trình x y z a b  c Theo giả thiết ta có:

4 8, 4, 2

( )

8, 4,

1 1 1

| | | | | | 16, 8,

2 2 4

a b c

M P

a b c a b c

OC OB OA c b a

a b c

           

 

       

    

        



 



Vậy có ba mặt phẳng thỏa mãn

Bài tập 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A1;0;0 , B 0;1;0  Mặt phẳng

x ay bz c    qua điểm ,A B đồng thời cắt tia Oz C cho tứ diện OABC tích

6 Giá trị a3b2c

A.16 B.1 C.10 D.6

Hướng dẫn giải Chọn D

Mặt phẳng qua điểm ,A B đồng thời cắt tia Oz C0;0;t với t0 có phương trình

1 x y z

t    Mặt khác: OABC

1

6

V   OA.OB.OC 1

6 t

  

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng 1 1

x y z

x y z

        Vậy 1,a b  c 1

Suy a3b2c 1 3.1 6 

1 Phương pháp Cho hai mặt phẳng:

( ) :P Ax By Cz D   0;  P :A x B y C z D      0 Khi đó:

 ( )P cắt  P  A B C: :  A B C : :   ( ) / /P  P A B C D

A B C D

    

     ( )P  P A B C D

A B C D



    

     ( )P  P n( )P n P n n ( )P  P 0

0 AA BB CC 

   

Chú ý:

Nếu A0 tương ứng A 0 Nếu B0 tương ứng B 0 Nếu C0 tương ứng C 0

Ví dụ: Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : x2y z  1 ( ) : 2 x4y mz  2

Tìm m để     song song với Hướng dẫn giải

Ta có ( ) / /( ) 1

2 m

 

   

 

 

(vô lý

1

  

 )

Vậy không tồn mđể hai mặt phẳng     , song song với 2 Bài tập

Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P có phương trình

( 1) 10

mx m y z   mặt phẳng ( ) : 2Q x y 2z 3 Với giá trị m ( )P ( )Q vng góc với nhau?

A. m 2 B. m2 C. m1 D. m 1 Hướng dẫn giải

Chọn C

( ) :P mx(m1)y z 10 0 có vectơ pháp tuyến n1( ;m m1;1) ( ) : 2Q x y 2z 3 có vectơ pháp tuyến n2 (2;1; 2)

1

Dạng Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng 1 Phương pháp

Cho mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D   0 mặt cầu tâm ;I bán kính R  ( ) ( )S khơng có điểm chung d I( ,( )) R

 ( ) tiếp xúc với ( )S d I( ,( )) R Khi ( ) tiếp diện  ( ) ( )S cắt d I( ;( )) R

Khi  O có tâm hình chiếu I   bán kính r R2d I2( ;( )) 2 Bài tập

Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2y2z26x4y12 0 Mặt phẳng cắt  S theo đường trịn có bán kính r3?

A. 4x3y z 4 26 0 B. 2x2y z 12 0 C. 3x4y5z17 20 0  D. x y z   0

Hướng dẫn giải Chọn C.

Phương trình mặt cầu  S x2y2z26x4y12 0. Suy tâm I3; 2;0  bán kính R5

Ta gọi khoảng cách từ tâm I mặt cầu tới mặt phẳng đáp án h, để mặt phẳng cắt mặt cầu  S theo đường trịn có bán kính r3 h R2r2  25 4 

Đáp án A loại |18 26 | 26

h  

Đáp án B loại 14 h  Chọn đáp án C h4

Đáp án D loại h  

Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I1; 2; 2  mặt phẳng

( ) : 2P x2y z  5 Phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng ( )P theo giao tuyến đường trịn có diện tích 16

A. (x2)2(y2)2 (z 1)2 36. B. (x1)2(y2)2 (z 2)29. C. (x1)2(y2)2 (z 2)225. D. (x1)2(y2)2 (z 2)216.

Chọn C Ta có

2 2 | 2.1 2.2 |

( ;( ))

2

a d I P     

 

Bán kính đường trịn giao tuyến là: r S  16 4



Mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng  P theo giao tuyến đường trịn nên ta có

2 2 9 16 25 5

R a r     R

Vậy phương trình mặt cầu tâm I, bán kính R5 là:

2 2

(x1) (y2)  (z 2) 25

Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S có phương trình x2y2z22x4y6z 2 0 mặt phẳng ( ) : 4 x3y12z10 0. Tìm phương trình mặt phẳng   thỏa mãn đồng thời điều kiện: tiếp xúc với  S ; song song với ( ) cắt trục Oz ởđiểm có cao độ dương

A. 4x3y12z78 0 B. 4x3y12z26 0 C. 4x3y12z78 0 D. 4x3y12z26 0

Hướng dẫn giải Chọn C

Mặt cầu ( )S có tâm I(1;2;3), bán kính R 1222  32 2 4

Vì ( ) / /( )  nên phương trình ( ) có dạng: 4x3y12z d 0,d 10 Vì ( ) tiếp xúc mặt cầu ( )S nên

( ,( )) 2 2 2

26 | 4.1 3.2 12.3 | 4 | 26 | 52

78 ( 12)

I

d d

d R d

d   

  

       



   



Do ( ) cắt trục Oz ởđiểm có cao độ dương nên chọn d 78 Vậy phương trình mặt phẳng ( ) : 4 x3y12z78 0

Dạng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 1 Phương pháp

Khoảng cách từđiểm M x y z0 0; ;0 0 đến mặt phẳng   :Ax By Cz D   0  

  0

0, 2 2 2

Ax By Cz D

d M

A B C

  

 

 

2 Bài tập

Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, khoảng cách hai mặt phẳng  P x: 2y2z10 0  Q x: 2y2z 3

A.

3 B.3 C.

8

3 D.

Chọn D

Vì    P / / Q nên d P   , Q d A Q ,  với A P Chọn A0;0;5   P   

2 2 2.0 2.5

1 2

d A Q     

 

Chú ý: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng này đến mặt phẳng

Nếu hai mặt phẳng khơng song song khoảng cách chúng

Bài tập 2: Trong không gian với hệ trục toạđộ Oxyz, cho A1; 2;3 , B 3; 4;  Tìm tất giá trị tham số m cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  P : 2x y mz   1 độ dài đoạn thẳng AB

A. m2 B. m 2 C. m 3 D. m 2 Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có υυυρAB2; 2;1AB 222212 3   Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  P

2 2

| 2.1 1| | 3 | ( , ( ))

2

m m

d A P

m m

    

 

   (2)

Vì  2

2 | 3 |

( , ( )) 9( 1)

5 m

AB d A P m m m

m 

        



Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A1;2;1 , B2;1;3 , (3; 2;2), (1;1;1)

C D Độ dài chiều cao DH tứ diện

A. 14

14 B.

14

14 C.

4 14

7 D.

3 14 Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có AB(1; 1;2), AC(2;0;1)[ AB AC; ] ( 1;3;2)  vectơ pháp tuyến mặt phẳng (ABC)

Vậy phương trình mặt phẳng (ABC)

1(x 1) 3(y 2) 2(z 1) x 3y 2z

            

Độ dài chiều cao DH tứ diện ABCD khoảng cách từ D đến (ABC)

Suy

2 2

| 1.1 3.1 2.1 | 14 ( , ( ))

14 ( 1)

DH d D ABC      

Bài tập 4: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A a b c ; ;  với , ,a b c0 Xét  P mặt phẳng thay đổi qua điểm A Khoảng cách lớn từđiểm O đến mặt phẳng ( )P

A. a2b2c2 . B. 2 a2b2c2 . C. 3 a2b2c2 . D. 4 a2b2c2 . Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng  P Khi

2 2 ( ,( ))

d O P OH OA  a b c

Dạng Góc hai mặt phẳng 1 Phương pháp

Cho hai mặt phẳng     , có phương trình:  

 

1 1

2 2

:

:

A x B y C z D A x B y C z D

    

    

Góc     , bù với góc hai vectơ pháp tuyến n nυρ υυρ1, 2    •

  2

cos ,

n n n n   

υρ υυρ

υρ υυρ 2

2 2 2

1 1 2

A A B B C C

A B C A B C

 



   

Chú ý: 0o      •,  90 o

2 Bài tập Bổ sung sau

Dạng Một số toán cực trị

Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A1;1;1 , B 1; 2;0 , C 3; 1; 2  M điểm thuộc mặt phẳng   : 2x y 2z 7

Tính giá trị nhỏ P 3MAυυυρ5υυυρMB7MCυυυυρ

A. Pmin 20. B. Pmin 5 C. Pmin 25 D. Pmin 27 Hướng dẫn giải

Chọn D

Gọi điểm I x y z ; ;  cho 3IAυυρ5υυρIB7ICυυρ0.ρ Khi

     

     

     

 

3 23

3 20 23;20; 11

11

3

x x x x

y y y y I

z

z z z

      

   

 

           

 

         

Xét P 3MAυυυρ5υυυρMB7MCυυυυρ  3υυυρ υυρMI IA  5 υυυρ υυρMI IB  7 MI ICυυυρ υυρ 

3 

MI IA IB IC MI MI

 υυυρ υυρ υυρ υυρ  υυυρ 

P MI ngắn hay M hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng  

Khi đó:       

 

min 2

2

2 23 20 11

, 27

2

P d I        

  

Bài tập 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A3;5; , 5; 3;7  B   mặt phẳng ( ) :P x y z  0 Tìm toạđộđiểm M mặt phẳng ( )P cho MA22MB2 lớn nhất

A. ( 2;1;1)M  B. (2; 1;1)M  C. (6; 18;12)M  D. ( 6;18;12)M  Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi I thỏa mãn IA2IB 0

Khi  IO OA 2( IO OB ) 0  OI2OB OA  I(13; 11;19).

Ta có MA22MB2     MA 22 MB   MI IA  22  MI IB 2  MI2IA22IB2. 2

MA  MB lớn MI nhỏ Khi I hình chiếu vng góc M lên ( )P Ta tìm M(6; 18;12)

Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho điểm M m( ;0;0),N(0; ;0), (0;0; )n P p không trùng với gốc tọa độ thỏa mãn m2n2p23 Giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng MNP bằng

A.

3 B. C.

1

3 D.

1 27 Hướng dẫn giải

Chọn C

Do , ,M N P không trùng với gốc tọa độ nên m0,n0,p0

Phương trình mặt phẳng (MNP) là: x y z 1 x y z m n   p m n  p   Suy

2 2 ( , ( ))

1 1

d O MNP

m n p



 

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương m n p2, ,2 2 ba số dương

m 2

1 ,

n p ta có:

2 2 33 2

m n p  m n p

2 2 2

1 1

3

m n  p  m n p

Suy  2 2

2 2

1 1

9

m n p

m n p

 

     

 2 

2 2

1 1

3 m n p

m n p

 

       

 

2 2 2

2 2

1 1 1 1

3

1 1

m n p m n p

m n p

         

 

Vậy ( ,( ))

d O MNP  Dấu "=" xảy m2 n2  p2 1

Vậy giá trị lớn khoảng cách từ O đến mặt phẳng MNP

Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x2y2z 3 mặt cầu 2

( ) :S x y z 2x4y2z 5 Giả sử M( )P N( )S cho MN phương với vectơ (1;0;1)

u khoảng cách M N lớn Tính MN

A. MN 3 B. MN 1 2 C. MN 3 D. MN 14 Hướng dẫn giải

Chọn C

 S có tâm I( 1;2;1) bán kính R1 Ta có:

2 2 | 2.2 2.1 |

( ,( ))

1 2

d I P       R

 

Gọi H hình chiếu vng góc N mặt phẳng  P  góc MN NH Vì MNυυυυρ phương với u nên góc  có sốđo khơng đổi

MNH

 vng H có  •HNM nên cos cos

HN MN MN  HN

 Do MN lớn  HN lớn HN d I P( ,( )) R

Có cos cos( , )

P

u n

 

   nên

cos

MN  HN 



Bài tập 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi  P ax by cz:    3 (với a b c, , số nguyên không đồng thời 0) mặt phẳng qua hai điểm M0; 1; ,  N 1;1;3 không qua điểm H(0;0; 2) Biết khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( )P đạt giá trị lớn Giá trị tổng

2 12

T  a b c

A. 16 B.8 C.12 D.16

Hướng dẫn giải Chọn D

Suy 1 7; ; 3 E  

 

Vậy mặt phẳng ( )P cần tìm mặt phẳng nhận 1; 1; 3 HE   

 



làm vectơ pháp tuyến qua M có phương trình     x y z

Suy

1 1 a b c

         

BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Phương trình đường thẳng

Vectơ phương đường thẳng

Cho đường thẳng  Vectơ u0 gọi vectơ phương

đường thẳng  giá song song trùng với  Cho đường thẳng  qua M x y z 0; ;0 0 có vectơ

phương ua b c; ; 

Chú ý:

+ Nếu u vectơ phương 

thì k u k. 0 vectơ

phương 

+Nếu đường thẳng đi qua hai điểm A, B AB vectơ phương. Phương trình tham số đường thẳng

Phương trình tham số đường thẳng  có dạng

0 0

, (1)

 



   



   



x x at y y bt t z z ct

Cho đường thẳng  có phương trình (1) thì

+ ua b c; ;  là vectơ chỉ

phương của

+ Với điểm M 

 0 ; 0 ; 0 

M x at y bt z ct t là giá trị cụ thể tương ứng với từng điểm M

Phương trình tắc

Nếu a b c, , 0 phương trình tắc đường thẳng  có dạng

 

0 0 2

    

x x y y z z

a b c

2 Khoảng cách

Khoảng cách từđiểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng đi qua M0, có vectơ phương u điểm M  Khi để tính khoảng cách từ M đến  ta có cách sau:

Cách 1: Sử dụng công thức:  ,   0, 

  

MM u d M d

u

Cách 2:

+ Lập phương trình mặt phẳng  P qua M vng góc với  + Tìm giao điểm H  P với 

Cách 3:

+ Gọi N d , suy tọa độ N theo tham số t + Tính MN2 theo t.

+ Tìm giá trị nhỏ tam thức bậc hai

Khoảng cách hai đường thẳng chéo

Cho hai đường thẳng chéo  qua M0 có vectơ phương u  qua M0 có vectơ

chỉ phương u Khi khoảng cách hai đường thẳng   tính theo cách sau:

Cách 1: Sử dụng công thức:  ,  , 0 ,

  

 

   

 

 

    

u u M M d

u u

Cách 2: Tìm đoạn vng góc chung MN Khi độ dài MN khoảng cách cần tìm

Cách 3: Lập phương trình mặt phẳng  P chứa qua  song song với  Khi khoảng cách cần tìm khoảng cách từ điểm  đến  P

3 Vị trí tương đối

Vị trí tương đối hai đường thẳng

Trong khơng gian Oxyz, hai đường thẳng

0 0

1:

    

x x y y z z d

a b c qua M x y z1 0; ;0 0 có

vectơ phương u1a b c; ; ,

0 0

2:

  

    

  

x x y y z z d

a b c qua M x y z2 0; ;0 0 có

vectơ phương u2 a b c  ; ; 

Để xét vị trí tương đối d1 d2, ta sử dụng phương pháp sau:

Phương pháp hình học + d1 trùng d2

3

1

1

1

1

1

/ /   

 

 



  

  a a a u u

b b b

M d M d

+ 1 2

1

,

/ /

,

u u d d

u M M

  

 

 

  

 



  

  

3

1

1

1

1

1

||   

 

 



  

  a a a u u

b b b

M d M d

Ta dùng phương pháp đại số để xét vị

trí tương đối: Dựa vào số nghiệm hệ

phương trình đường thẳng Chú ý trường hợp vô nghiệm

+ Nếu 1;

 

u u cùng phương d d 1//

+ Nếu 1;

 

u u không phương d d1;

+ d1 cắt d2

1 2

,

,

                   u u

u u M M

+ d1 chéo d2 u u  1, 2.M M1 2 0

Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

  :Ax By Cz D   0 có vectơ pháp tuyến

 ; ;  



n A B C đường thẳng

0 0 :           

x x at d y y bt z z ct

đi qua

 0; ;0 0

M x y z có vectơ phương ud a b c; ; 

Phương pháp đại số

Xét hệ phương trình

        0                 

x x at y y bt z z ct Ax By Cz D Để xét vị trí tương đối d   ta sử dụng phương

pháp sau:

Phương pháp hình học

Nếu

 0; ;0 0           d u n M x y z



 d 

Nếu

 0; ;0 0           d u n M x y z



 d// 

Nếu ud n phương ud k n. với k0 d  

Nếu u n d  0; ud n khơng phương d

cắt  

Thay (1), (2), (3) vào (4), ta

      * 

A x at B y bt C z ct  D +) Nếu phương trình (*) vơ nghiệm t

 

//

d 

+) Nếu phương trình (*) có nghiệm t d cắt  

+) Nếu phương trình (*) có vơ số nghiệm t

thì d  

Chú ý: Để tìm điểm chung đường thẳng

d mặt phẳng   ta giải phương trình (*), sau thay giá trị t vào phương trình tham số

của d để tìm x y z; ; 

Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng mặt cầu có phương trình là:

0 0 : ,             

x x at d y y bt t

z z ct

    2  2 2 2

:      

S x a y b z c R

Phương pháp hình học

Bước 1: Tìm khoảng cách từ tâm I  S đến d Bước 2:

+ Nếu d I d , R d khơng cắt  S + Nếu d I d , R d tiếp xúc  S + Nếu d I d , R d cắt  S

Phương pháp đại số

thay x, y, z từ phương trình tham số d vào phương trình  S , ta phương trình bậc hai theo t Biện luận số giao điểm

 d  S theo số nghiệm phương trình bậc hai theo t

Chú ý:Để tìm điểm chung đường thẳng mặt cầu ta giải phương trình bậc hai theo t, sau thay giá trị t vào phương trình tham số d để tìm x y z ; ; 

4 Góc

Góc hai đường thẳng

Trong khơng gian Oxyz, cho hai đường thẳng d d1, 2 có vectơ pháp tuyến u u 1, 2

Góc d1 d2 bù với góc u1

2



u

Ta có:  2  2

1

cos , cos ,

 

   

 u u

d d u u

u u

Chú ý: Góc hai đường thẳng góc nhọn.

Góc đường thẳng mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có vectơ

chỉ phương ud mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến



n

Góc đường thẳng d mặt phẳng   góc đường thẳng d với hình chiếu d

 

Ta có: sin ,  cos , 

 

   

 d

d

d

u n

d u n

u n

 





SƠ ĐỒ HỆ THỐNG

Đi qua M x y z0 0; ;0 0 có vectơ phương u a b c ; ; 

Tham số:

0 0

,

 



   



   



x x at y y bt t z z ct

Chính tắc:

Nếu , ,a b c0

0 0

    

x x y y z z

a b c

u 

Phương trình đường

ĐƯỜNG THẲNG

Vị trí tươn g đối

Hai đường thẳng d d1, 2

1 2

1 2

1 2

/ / / /

; / /

 

 

  

 

 

 

   

u u u u

d d d d

M d M d

;

1

d cắt d2

1, 0; 1,

   

u u  u u  M M 

1

d chéo d2  1, 2 0

  

u u M M Đường thẳng d mặt phẳng  

  ;  0; ;0 0  

 d  

d  u n M x y z 

  ;  0; ;0 0  

// d  

d  u n M x y z  d cắt   u n d  0, ,u n d 

không phương

Đường thẳng d mặt cầu S I R , 

d không cắt  S d I d , R d tiế ú  S d I d  R

Khoảng cách

Khoảng cách từđiểm M đến đường thẳng



  0,

,   

  

MM u d M

u

Khoảng cách đường thẳng chéo  , 

  ,

,   

  

 

    

u u M M d

Góc

Giữa hai đường thẳng

dvà d

 2  2

cos d d,  cos  u u,

Góc đường thẳng

d mặt phẳng  

 

  

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng 1 Phương pháp

 Đường thẳng d qua điểm M x y z0 0; ;0 0và có vectơ phương  1; ;2 3



a a a a có phương

trình tham số  

0

0

0

 



   



   



x x a t y y a t t z z a t

 Đường thẳng d qua hai điểm A, B: Một vectơ phương d AB

Đường thẳng d qua điểm M x y z0 0; ;0 0 song song với đường thẳng  cho trước: Vì d//

nên vectơ phương  vectơ phương d

Đường thẳng d qua điểm M x y z0 0; ;0 0 vng góc với mặt phẳng  P cho trước: Vì

  

d P nên vectơ pháp tuyến  P vectơ phương d

Đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng  P ,  Q Cách 1: Tìm một điểm vectơ phương

Tìm toạđộ điểm A d cách giải hệ phương trình mặt phẳng  P ,  Q với việc chọn giá trị cho ẩn

Tìm vectơ phương d: ,a n n P Q

Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d viết phương trình đường thẳng qua hai điểm

Đường thẳng d qua điểm M x y z0 0; ;0 0 vng góc với hai đường thẳng d d1, 2: Vì

1,

 

d d d d nên vectơ phương d là: u  u ud1, d2

2 Bài tập

Bài tập 1. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A2;1; ,  B 2;3;1 C0; 1;3  Gọi d đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với mặt phẳng ABC Phương trình đường thẳng d

A. 1

1 1

    

x y z

B.

1 1

  

x y z

C.

2 1



 



x y z. D.

1 1

  

x y z.

Hướng dẫn giải Chọn B

 2; 2; 4 4 16

       



AC AC

2; 4; 2 16

      



BC BC

Vậy tam giác ABC nên tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm G0;1;1 Ta có  AB AC,   12;12;1212 1;1;1 

Đường thẳng d qua G0;1;1 có vectơ phương phương với  AB AC, , chọn u1;1;1

Phương trình đường thẳng d 1           x t y t z t Với t 1, ta có điểm A1;0;0d

Vậy đường thẳng d qua A1;0;0 có vectơ phương u1;1;1

Bài tập 2. Trong không gian Oxyz, cho hai M1; 2;3 , N3; 4;5 mặt phẳng

 P x: 2y3z14 0 Gọi  đường thẳng thay đổi nằm mặt phẳng  P , điểm H K,

lần lượt hình chiếu vng góc ,M N  Biết MH NK trung điểm HK

ln thuộc đường thẳng d cốđịnh, phương trình đường thẳng d

A. 13

4            x t y t z t

. B. 13

4            x t y t z t

C. 13

4            x t y t z t D. 13            x y t z t Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi I trung điểm HK

Do MH NK nên HMI  KNI IM IN Khi I thuộc mặt phẳng  Q mặt phẳng trung trực đoạn MN

Ta có  Q qua trung điểm MN điểm J2;3; 4 nhận 1;1;1

 

 

n MN làm vectơ

pháp tuyến nên có phương trình  Q x y z:    9

Mà I A  P Suy    :

2 14

    

       



x y z

I d P Q

x y z

Tìm 0;13; 4  d vectơ phương d 1; 2;1 

Vậy : 13

4            x t

d y t

z t

Bài tập 3. Trong không gian Oxyz Cho điểm E1;1;1, mặt cầu  S x: 2y2z24 mặt phẳng

 P x: 3y5z 3 Gọi  đường thẳng qua E, nằm  P cắt  S hai điểm ,

A B cho OAB tam giác Phương trình tham số 

A.

1 1

          

x t

y t

z t

. B.

1

          

x t

y t

z t

C.

1 1

          

x t

y t

z t

D.

1 1

          

x t

y t

z t

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi ua b c; ;  vectơ phương  với a2b2c20.

Ta có nP 1; 3;5 

Vì   P nên unPu n  P   0 a 3b5c  0 a 3b5c (1) Mặt cầu  S có tâm O0;0;0 bán kính R2

Gọi H hình chiếu vng góc O AB

Ta có OAB tam giác cạnh R nên 3

 R 

OH

Suy khoảng cách từ O đến đường thẳng  OH  Khi  ,  

  

u OE u

  2  2 2 3 2 2

 a b  b c  c a  a b c

 2

0

 a b c      a b c (2) Thay (1) vào (2) ta được:

3b5c b c       0 b c a 2c Thay c 1 b 1 a2

Ta vectơ phương  u2; 1; 1  

Vậy phương trình đường thẳng 

1 1

          

x t

y t

z t

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng phương pháp tham số hóa 1 Phương pháp

Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M x y z0 0; ;0 0, vng góc cắt đường thẳng  Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc M0 đường thẳng  Khi H , M H0 u Khi đường thẳng d đường thẳng qua M H0,

Cách 2: Gọi  P mặt phẳng qua M0 vuông góc với d  Q mặt phẳng qua M0 chứa d Khi d    P  Q

Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M x y z0 0; ;0 0 cắt hai đường thẳng d d1, 2 Cách 1: Gọi M1 d1 d M, 2 d2 d Suy M M M0, 1, 2 thẳng hàng Từđó tìm M M1, 2 suy phương trình đường thẳng d

Cách 2: Gọi  P mặt phẳng qua M0 chứa d1;  Q mặt phẳng qua M0 chứa d2 Khi d    P  Q Do vectơ phương d chọn u n n P, Q

Đường thẳng d nằm mặt phẳng  P cắt hai đường thẳng d d1, 2: Tìm giao điểm

   

1 ,

A d  P B d  P Khi d đường thẳng AB

Đường thẳng d song song với  cắt hai đường thẳng d d1, 2: Viết phương trình mặt phẳng

 P song song với  chứa d1, mặt phẳng  Q song song với  chứa d2 Khi

   

 

d P Q

Đường thẳng d đường vuông góc chung hai đường thẳng d d1, chéo nhau:

Cách làm: Gọi Md N d1,  2 Từđiều kiện

 

 



MN d

MN d , ta tìm M N, Viết phương trình đường thẳng MN đường vng góc chung d d1, 2

2 Bài tập

Bài tập 1. Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz, cho mặt phẳng  P x y z:    1 đường

thẳng :

2

    



x y z

d Phương trình đường thẳng d hình chiếu vng góc d mặt phẳng  P

A.

5

 

 

x y z

B.

5

 

 



x y z

C.

5

 

 



x y z . D.

5

 

 

Hướng dẫn giảii

Chọn B

Đường thẳng d có phương trình tham số  

2

  

    



    



x t

y t t

z t

Lấy điểm M  d  P M4 ; 2 ; 1 t   t   t d Thay đổi tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng  P ta được: 2       t 2t t t

Suy M0; 2;1

Do d P M0; 2;1

Lấy A4; 2; 1   d Gọi H hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  P

Đường thẳng AH qua A4; 2; 1   nhận n P 1;1; 1  làm vectơ phương nên AH có

phương trình  

1

1

1

4

  

    



    



x t

y t t

z t

Suy H4    t1; t1; t1

Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng  P

1 1

2 10

4 1 ; ;

3 3

t t t t H 

              

 

MH hình chiếu d lên mặt phẳng  P , MH qua M0; 2;1 nhận

 

10 14

; ; 5;7;2

3 3

 

     

 



MH vectơ phương nên có phương trình

2

5

 

 



x y z .

Bài tập 2. Cho đường thẳng 1: 1

1

   



x y z

d đường thẳng 2:

1 2

   

x y z

d

Phương trình đường thẳng đi qua A1;0; 2, cắt d1 vng góc với d2

A.

2

   



x y z

B.

4 1

   

 

x y z

C.

2

   



x y z

D.

2

   

x y z

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi I  d1 , I1  t, ,t t  AIt t; 1;  t 2 vectơ phương  Do ud2 1; 2; 2



Suy   0 2 1     2 2     0

 

d

AI u t t t t t

Vậy AI 2;3; 4  Phương trình đường thẳng  cần tìm

2

   



x y z

Bài tập 3. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt phẳng  P : 3x y 2z0 hai đường

thẳng 1:

1

   



x y z

d 2:

3

    

 

x y z

d Đường thẳng vng góc với  P cắt hai

đường thẳng d1 d2 có phương trình

A.

3

   



x y z

B.

3

   

x y z

C.

3

    



x y z

D. 2

3

    



x y z

Hướng dẫn giải

Chọn A

1

1

1

: ,

1

                  x t

x y z

d y t t

z t

 

1 ;6 ;

    

M d M t t t

2

1

1

: ,

3

4                         x t

x y z

d y t t

z t

 

1 ; 2 ; 4

     

N d N t t t

2 ; 2 ; 4 

        



MN t t t t t t

 P : 3x y 2z0 có vectơ pháp tuyến n3;1; 2 

Đường thẳng  d vng góc với  P cắt hai đường thẳng d1 M cắt d2 N suy

2 3

4

4

                             

  t t k t

MN kn t t k t

t t k k

 

2 1; 2;

   

t M

Do    d  P nên u d n P Phương trình đường thẳng d

1 ; 2               x s

y s s

z s

Chọn  2;1;0 :

3

 

       



x y z

Bài tập 4. Viết phương trình đường thẳng d qua A1; 2;3 cắt đường thẳng

2 :

2 1

  

x y z

d

song song với mặt phẳng  P x y z:    2

A.            x t y t z t B.           x t y t z C.           x t y t z D.            x t y t z t Hướng dẫn giải

Chọn C

Do d  d1 B B m m m2 ; ; 2AB2m1;m2;m1

d song song với mặt phẳng  P nên

         

 0  1  2     1  1; 1;0

  

P

AB n m m m m AB

Vậy phương trình đường thẳng           x t y t z

Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x y z  10 0 , điểm

1;3; 2

A đường thẳng : 1

2 1

    



x y z

d Tìm phương trình đường thẳng  cắt  P d

lần lượt M N cho A trung điểm MN

A.

7

    



x y z . B.

7

    



x y z .

C.

7

    

 

x y z . D.

7

    

 

x y z .

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có N    d N 2 ;1 ;1t t t

A trung điểm MN M4 ;5 t t;3t

Mà M P nên tọa độ M thỏa phương trình  P , ta được:

         

2 2 t     5 t t 10 0    t N  6; 1;3 ,M 8;7;1 Suy MN 14;8; 2 

Đường thẳng  qua hai điểm M N nên có vectơ phương 7;4; 1

  

 

u NM

nên có phương trình

7

    



x y z

Bài tập 6. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A3;3; 3  thuộc mặt phẳng

  : 2x2y z 15 0 mặt cầu   S : x2 2 y3 2 z 52100 Đường thẳng  qua A, nằm mặt phẳng   cắt  S ,M N Đểđộ dài MN lớn phương trình đường thẳng



A. 3

1

    

x y z

B. 3

16 11 10

    



x y z

C.

3

3

   

  

    

x t

y

z t

D. 3

1

    

x y z

Hướng dẫn giải

Chọn A

Mặt cầu  S có tâm I2;3;5 bán kính R10 Mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến n2; 2;1 

Gọi H K, hình chiếu vng góc I lên  mặt phẳng  

 

IK   nên phương trình đường thẳng IK qua I vng góc với mặt phẳng   2

3

          

x t

y t

z t

Tọa độđiểm K nghiệm hệ phương trình   2

3

2;7;3

2 15

     

  

   

    



x t

y t

K

z t

x y z

Vì    nên IHIK Do IH nhỏ H trùng với K

Để MN lớn IH phải nhỏ

Khi đường thẳng  cần tìm qua A K Ta có AK1;4;6

Đường thẳng  có phương trình là: 3

1

    

x y z

Bài tập 7. Trong không gian Oxyz, cho ABC có A2;3;3, phương trình đường trung tuyến kẻ từ

B : 3

1

    

 

x y z

d , phương trình đường phân giác góc C

2

:

2 1

  

  

 

x y z

Đường thẳng AB có vectơ phương

Chọn C

Ta có phương trình tham số  là:  

2

4 2 ;4 ;2

2

  

      

    

x t

y t C t t t

z t

Gọi M trung điểm AC nên ;7 ;5

2

 

 

  

 

t t

M t

Vì Md nên  

7

3

2 2 1 1

1 1

 

   

   

             

   

t t

t t t t t

Suy C4;3;1

Phương trình mặt phẳng  P qua A vng góc với  là: 2x y z   2 Gọi H giao điểm  P  H2; 4; 2

Gọi A điểm đối xứng với A qua đường phân giác , suy H trung điểm



AA A2;5;1

Do ABC nên đường thẳng BC có vectơ phương CA   2; 2;0 2 1;1;0  Suy phương trình đường thẳng BC

4

         

x t

y t

z

Vì B BM BCB2;5;1A

Đường thẳng AB có vectơ phương AB0;2; 2  2 0;1; 1 

Bài tập 8. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

2 1

 

  



x y z hai điểm

4; 2; ,  0;0; 2 

A B Gọi d đường thẳng song song cách  khoảng , gần

đường thẳng AB Đường thẳng d cắt mặt phẳng Oxy điểm đây?

A. 2;1;0 B. 2; 14;0

3

  

 

 . C. 3; 2;0 D. 0;0;0

Hướng dẫn giải Chọn D

Phương trình tham số đường thẳng AB có dạng:

2

     

    

x t y t

z t

Đoạn vng góc chung hai đường thẳng AB  MN với M0; 5;1 ,  N 3;1;1

Để d gần đường thẳng AB d phải qua điểm D nằm đoạn MN mà

 ,  5,

   

DN d d MN Do MN3DN D 2; 1;1  Vectơ phương đường thẳng d u d 2; 1;1 

Suy phương trình tham số d

2 1

  

    

   

x t

y t

z t

Đường thẳng d cắt Oxy điểm có 1 0

 

        



x

z t t

y

Vậy giao điểm d Oxy 0;0;0

Bài tập 9. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho bốn đường thẳng

1

2 1

: ; :

1 1

    

     

  

x y z x y z

3

2

: ; :

1 1

x y z x y a z b

     



Biết không tồn đường thẳng không gian mà cắt đồng thời bốn đường thẳng Giá trị biểu thức T  a 2b

A.2 B.3 C.2 D.3

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có:  1//

Gọi  P mặt phẳng chứa 1  3  P x: 2y z  3 Gọi I  2  P I0; 1;1 

Gọi 4   22 3; 24;

6 6

      

 

     

 

a b b a b

2 22 18 14

; ;

6 6

      

 

   

 

 a b b a b

IJ

Để thỏa mãn u cầu tốn IJ phải phương với  

1 1; 1;

   



u

Suy 22 18 14 2

6 6

           

 

a b b a b

a b

Dạng Góc đường thẳng mặt phẳng 1 Phương pháp

Cho đường thẳng

  :x x  y y  z z

a b c mặt phẳng

  :Ax By Cz D   0

Gọi  góc hai mặt phẳng  

và   ta có công thức:

2 2 2

sin

 



   

Aa Bb Cc

A B C a b c



Chú ý: , ,A B C , ,a b c không đồng thời

Ví dụ: Trong khơng gian với hệ trục tọa độOxyz cho

đường thẳng :

2 1

 

 x  y  z mặt phẳng

  : 3x4y5z 8 Tính góc tạo    Hướng dẫn giải

 có vectơ phương u2;1;1

  có vectơ pháp tuyến n3;4;5 Ta có: sin,   cos , n u 

2 2 2

3.2 4.1 5.1

2

3 1

 

 

   

Suy ,   60

2 Bài tập

Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng :

1

  

 x  y  z mặt phẳng

 P x y:  2z 6 Biết  cắt mặt phẳng  P A M, thuộc  cho AM 2 Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng  P

A. B.2 C. D.3

Hướng dẫn giải Chọn B

Đường thẳng :

1

  

 

   

sin , cos , sin

3

u n

P u n

u n 

    

   

 

Suy  ,  sin

3

    

d M MH MA 

Dạng 4: Góc hai đường thẳng 1 Phương pháp

Cho hai đường thẳng:

  0

1 :

  

 x x  y y  z z

a b c

  0

2 :

  

  

  

x x y y z z

a b c

Gọi  góc hai đường thẳng  1

 2

Ta có:

2 2 2

cos

   

  

   

aa bb cc

a b c a b c



Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, cho hai đường thẳng

1

1

:

2

  

  



x y z

;

2

3

:

1

  

  



x y z

Tính góc hai đường thẳng Hướng dẫn giải

Vectơ phương 1 u1  2;1;2 Vectơ phương 2 u2 1;1; 4 

   

1 2

1

cos , cos ,

u u u u

u u

   

   

 

   

 2 2 2  2

2 1.1

2 1

   



     

9

2 3.3

 

Vậy góc hai đường thẳng cho 45

2 Bài tập

Bài tập Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  d giao tuyến hai mặt phẳng

 : sin cos 0;  : cos sin 0; 0;

 

       

 

P x z   Q y z     Góc  d trục Oz là:

A. 30 B. 45 C. 60 D. 90

Hướng dẫn giải Chọn B.

 d giao tuyến  P  Q nên vectơ phương  d là:

    ,  sin ;cos ;1

  

d P Q

u n n  

Vectơ phương  Oz u Oz 0;0;1

Suy    

2 2

0.sin 0.cos 1.1

cos , , 45

2

sin cos 0

 

    

   

d Oz   d Oz

 

Vậy góc  d trục  Oz 45

Bài tập 2. Trong không gian Oxyz, d đường thẳng qua điểm A1; 1; 2 , song song với mặt phẳng  P : 2x y z   3 0, đồng thời tạo với đường thẳng : 1

1 2

 

  



x y z một góc lớn nhất.

Phương trình đường thẳng d

A. 1

4

    



x y z

B. 1

4

    



x y z

C. 1

4

    



x y z

D. 1

4

    

x y z

Hướng dẫn giải

Chọn D

Mặt phẳng  P : 2x y z   3 có vectơ pháp tuyến n P 2; 1; 1  

Đường thẳng : 1

1 2

 

  



x y z có một vectơ chỉ phương là 1; 2;2

  



u

Giả sửđường thẳng d có vectơ phương ud

Do 0 d,   90 mà theo giả thiết d tạo  góc lớn nên  ,    90  

 

d

d u u

Lại có d// P nên ud n P Do chọn ud u n,  P 4;5;3

  

Vậy phương trình đường thẳng d 1

4

    

x y z

Bài tập 3. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 2

4

    



x y z

d mặt phẳng

 P : 2x y 2z 1 Đường thẳng  qua E2;1; 2 , song song với  P có vectơ

phương um n; ;1, đồng thời tạo với d góc bé Tính T m2n2.

A.T  5 B. T 4 C. T 3 D. T  4

Hướng dẫn giải Chọn D

Mặt phẳng  P có vectơ pháp tuyến n2; 1; 2 ; đường thẳng d có vectơ phương

4; 4;3

 



v

  2 2

//

Mặt khác ta có:  

 2

2 2

4 4 3

cos ;

1 4

 

  

    

 

 u v m n

d

u v m n

   

2 2

2

2

4 5 16 40 25

5 5

41 41

41

   

  

   

 

m m m m

m m m m

m m

Vì 0   ,d  90 nên  ,d bé cos ,d lớn

Xét hàm số    

 

2

2

2 2

16 40 25 72 90

5 5 8 5

    

  

   

t t t t

f t f t

t t t t

x 

4

 



f  + 

f

16

5

0

16 Dựa vào bảng biến thiên ta có: max f t  f  0 5

Suy  ,d bé m  0 n Do T m2n2 4

Dạng 5: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 1 Phương pháp

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho

đường thẳng : 2

1 2

    



x y z

d

Tính khoảng cách từ M2;1; 1  tới d Cho đường thẳng   qua điểm

 

0 0; ;0

M x y z có vectơ phương

 ; ;  



u a b c Khi khoảng cách từđiểm M1 đến   tính cơng thức:

 

1

;

, M M u

d M

u

 

 

 

  

Hướng dẫn giải

Ta có

1; 2; 2    3; 1;1 ,  1; 2; 2 

A d AM u

Khoảng cách từđiểm M đến đường thẳng d là:

 ;  ;

3

 

 

 

  

AM u d M d

u

2 Bài tập

Bài tập 1. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A1;1; 1  cho trước, nằm mặt phẳng  P : 2x y z   2 cách điểm M0; 2;1 khoảng lớn

A. 1

1

    

 

x y z

B. 1

1

    

x y z

C. 1

1

    



x y z

D. 1

1

    

 

x y z

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta gọi B hình chiếu M lên đường thẳng d MB MA

Suy MBmaxMA nên đường thẳng d qua điểm A vng góc với MA

Đồng thời đường thẳng dnằm mặt phẳng  P nên ta có

   

, 1;3;

 

  

  

d P

u MA n

Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz, cho hai điểm A2;1; ,  B 5;1;1 mặt cầu

 S :x2y2z26y12z 9 0 Xét đường thẳng d đi qua A tiếp xúc với  S cho

khoảng cách từ B đến d nhỏ Phương trình đường thẳng d

A.

2

2

     

    

x

y t

z t

. B.

2

2

     

    

x

y t

z t

C.

2 2

2

      

    

x t

y t

z t

D.

2

2

      

    

x t

y t

z t

Hướng dẫn giải

Chọn C

Mặt cầu  S :x2y2z26y12z 9 0 có tâm I0; 3; 6   bán kính R6

 

6 , 10

     

IA R A S IB R nên B nằm  S

Đường thẳng d qua A tiếp xúc với  S nên d nằm mặt phẳng  P tiếp xúc với mặt cầu  S A

Mặt phẳng  P qua A nhận IA làm vectơ pháp tuyến có phương trình x2y2z0 Gọi H hình chiếu B lên  P tọa độ H4; 1; 1  

Ta có: d B d ; d B P ; BH

Suy phương trình đường thẳng d là: 2 2             x t y t z t

Dạng 6: Khoảng cách hai đường thẳng chéo 1 Phương pháp

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau: 1 có vectơ phương

 ; ;  



u a b c qua M x y z0 0; ;0 0; 2 có vectơ phương ua b c  ; ;  qua

 

0   0; ;0

M x y z

Khi khoảng cách 1 2 tính

bởi cơng thức  1, 2 , 0 ,                 

u u M M d

u u

Nếu  1// 2 (u1 u2 phương

0 2

M ) d  1, 2 d M 0,2

Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, tính khoảng cách hai đường thẳng

1

1

:

2 1

   



x y z

d 2

1

: ,

2               x t

d y t t

z t

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d1 qua điểm M1; 2;0  có

một vectơ phương u12; 1;1 

Đường thẳng d2 qua điểm N1; 1; 2  có vectơ phương u24; 2;2 

Do u1 phương với u2 Md2 nên

1//

d d

Suy  2  1

1 , ;  ;       u MN d d d d N d

u

Ta có MN0;1; , u MN ,    3; 4; 2

Suy    

 

2 2

1

2

1

, 3 4 2 174

6

2 1

                u MN u

Vậy  1; 2 174



d d d

2 Bài tập

Bài tập 1. Cho phương trình mặt phẳng  P : 2x y z   3 0, đường thẳng :

1



 x  y z

d

điểm A0; 2;1 Viết phương trình đường thẳng d qua A, nằm  P cho khoảng cách

d d đạt giá trị lớn

A.

1

 

 



x y z . B.

1

 

 

C.

1

 

 



x y z

D.

1

 

 

 

x y z

Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi d1 đường thẳng qua A song song với d

Phương trình d1 là: 2

         

x t

y t

z t

Trên đường thẳng d1 lấy điểm B1;0;0 Gọi  Q mặt phẳng chứa d d1

Ta có d d d , d d Q , d B Q , 

Do d1 cốđịnh d d d ,   d B Q , d B d , 1

Đẳng thức xảy n  Q BH H hình chiếu B lên d1 Ta tìm 2 1; ;

3 3



 

 

 

H nên 1; ;    5;2;1

3 3



 

   

 

 

Q

BH n

Ta có ud n  P ;n Q 1;7; 9 

Vậy phương trình đường thẳng d

1

 

 



x y z .

Lưu ý : Vì đường thẳng d qua A nên ta loại đáp án cách thay tọa độđiểm A vào

đáp án bài

Dạng 7: Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng 1 Phương pháp

Trong không gian Oxyz, xét đường thẳng   có vectơ phương aa a a1; ;2 3 qua

 

0 0; ;0

M x y z mặt phẳng   :Ax By Cz D   0 có vectơ pháp tuyến nA B C; ; 

  cắt    0 1 2 0

 

a n Aa Ba Ca

     

0 0

0

0

0

//      

  

   

 



 

Aa Ba Ca a n

Ax By Cz D

M P



     

0 0

0

0

0

     



   

   

 



 

Aa Ba Ca a n

Ax By Cz D

M P



      a n phương a a a1: 2: 3 A B C: :

Ta biện luận vị trí tương đối dựa vào số nghiệm phương trình đường thẳng   mặt phẳng  

2 Bài tập

Bài tập 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

1

   

 

x y z

d mặt

phẳng  P : 3x3y2z 6 Mệnh đề đúng?

A. d cắt khơng vng góc với  P B. d song song với  P

C. d vng góc với  P D. d nằm  P Hướng dẫn giải

Chọn A

Đường thẳng d nhận u1; 3; 1   làm vectơ phương Mặt phẳng  P nhận n3; 3;2  làm vectơ pháp tuyến

Do u n 0 hai vectơ không phương nên đường thẳng d cắt không vuông góc với  P

Bài tập 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình

2 1

:

1 1

    



x y z

d mặt phẳng  P x my:  m21z 7 0 với m tham số thực Tìm

m cho đường thẳng d song song với mặt phẳng  P

A. m1 B. m 1 C.

2

     

m

m D. m2

Hướng dẫn giải Chọn B

Đường thẳng d có vectơ phương u1;1; 1  mặt phẳng  P có vectơ pháp tuyến 1; ; 1

 



n m m

  . 0 1 1 0 2 0

2

//                 

 

    m

d P u n u n m m m m

Thử lại ta thấy với m 2 d P (loại) Vậy m 1

Bài tập 3. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :

2

    

x y z

d mặt phẳng

  :x y 2z 5 0, mệnh đề đúng?

A. d//  B. d  

C. d cắt   khơng vng góc với   D. d   Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có

1

: ,

3

  

   

    



x t

d y t t

z t

Xét hệ phương trình:

       

1

2

3

2 *

   

  

  



     

x t

y t

z t

x y z

Thay (1), (2), (3) vào (*) ta 2  t 2 4t 2 3  t Phương trình có vơ số nghiệm

Do đó, đường thẳng d nằm mặt phẳng  

Bài tập 4. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng

 P x: 2y z  1 0,  Q : 2x y z   2

và hai đường thẳng 1: 1, 2:

2 1

   

     



x y z x y z

Đường thẳng  song song với hai mặt phẳng    P , Q cắt  1, 2 tương ứng ,H K Độ dài

đoạn HK

A. 11

7 B. C.6 D.

11 Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có u n nP, Q    1; 1; 3

Gọi H2 ;1 ; ;t   t t K m ; 2m;1 2 m

 ;1 ;2 2  HK  m t  m t  m t

2 2

1

      

m t m t m t

Tính 2;

7



 

m t Suy 11

7



HK

Bài tập 5. Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz, cho mặt phẳng

 P : 2m2 m 2 x m21ym2z m 2  m 1 0 chứa đường thẳng  cố định khi

m thay đổi Khoảng cách từ gốc tọa độđến  là?

A.

3 B.

2

3 C.

2

3 D.

2 Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có: 2m2 m 2 x m21ym2z m 2  m 1 0,  m 

   

2 2 1 2 1 4 2 1 0,

m x y  m x z   x y  z   m 

2

2

2

2

4

                               x y

x y y z

x z

x z x y

x y z

Vậy  P chứa đường thẳng   cốđịnh:

1 2             t x y t z t

Đường thẳng đi qua 1;0;0

 

 

 

A có vectơ phương 1;1;1

   

 



u

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độđến  là:  ;  ,             OA u d O u

Dạng 8: Vị trí tương đối hai đường thẳng 1 Phương pháp

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 0 1:

x x y y z z d

a b c

    

đi qua M x y z1 0; ;0 0

có vectơ phương u1a b c; ;  0 2:

x x y y z z d

a b c

  

    

   qua M x y z2   0; ;0 0 có vectơ

phương u2a b c  ; ; 



+) d1 trùng d2

3

1

1

1

1

1

/ / a a a

u u b b b

M d M d

            

+) 1 2

1

,

,

// u u

d d

u M M

               

  

3

1

1

1

1

1

/ / a a a

u u b b b

M d M d

            

+) d1 cắt d2

1 2

,

,

u u

u u M M

                  

+) d1 chéo d2u u  1, 2.M M1 20

2 Bài tập

Bài tập 1. Trong không gian tọa độOxyz, cho hai đường thẳng

1

1

:

1

x y z

d      2  

3

:

4

x y z

d m

m

     

Tập hợp giá trị m thỏa mãn d d1// 2 có số phần tử là:

A.1 B.0 C.3 D.2

Hướng dẫn giải Chọn B

Đường thẳng d1 qua A1; 1; 2  có vectơ phương u11;2;1

Đường thẳng d2 qua B  3; 9; 2 có vectơ phương  2 4;8;

u m

Đường thẳng d d1// 2 u1 phương với u2 hai đường thẳng d1 d2 không trùng

Vì 2

1

       

nên B nằm đường thẳng d1

Do hai đường thẳng ln có điểm chung B nên hai đường thẳng song song

Bài tập 2. Trong không gian tọa độOxyz, xét vị trí tương đối hai đường thẳng

1

1 3

: , :

2

x y z x y z

     

 

A. 1 song song với 2 B. 1 chéo với 2

C. 1 cắt 2 D. 1 trùng với 2

Hướng dẫn giải Chọn C.

Vì 2

1

  nên vectơ phương u12; 2;3



Suy 1 chéo với 2 1 cắt 2

Lấy M1; 1;0  1, N3;3; 2   2 Ta có MN2;4; 2  Khi u u1, 2.MN 0

  

Suy u u MN  1, ,2 đồng phẳng Vậy 1 cắt 2

Dạng 9: Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu 1 Phương pháp

Cho đường thẳng

     

0

0

0

1

:

3

x x a t d y y a t

z z a t

 

 

 



   

mặt cầu   S : x a 2y b 2 z c2R2

có tâm I a b c ; ; , bán kính R

Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S x: 2y2 z 22 25 đường

thẳng d có phương trình

2 2

3

x t

y t

z t

   

   

    

Chứng minh d cắt  S hai điểm phân biệt

Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I mặt cầu  S đến đường thẳng d

 

, IM a

h d I d

a

 

 

 

  

Hướng dẫn giải

Mặt cầu  S có tâm I0;0; 2  bán kính

R

Đường thẳng d qua M2; 2; 3  có vectơ

chỉ phương u2;3; 2 Ta có h d I d , IM u,

u

 

 

  

  

Bước 2: So sánh d I d , với bán kính R

của mặt cầu:

Nếu d I d , R d khơng cắt  S

Nếu d I d , R d tiếp xúc  S

Nếu d I d , R d cắt  S hai

điểm phân biệt ,M N MN vng góc với đường kính (bán kính) mặt cầu  S

Vì h R nên d cắt mặt cầu  S hai điểm phân biệt

Thế (1), (2), (3) vào phương trình  S rút gọn đưa phương trình bậc hai theo

 *

t

Nếu phương trình (*) vơ nghiệm d

khơng cắt  S

Nếu phương trình (*) có nghiệm d tiếp xúc  S

Nếu phương trình (*) có hai nghiệm

d cắt  S hai điểm phân biệt ,M N Chú ý: Để tìm tọa độ M N, ta thay giá trị t

vào phương trình đường thẳng d

  2 2  2

: 17

S x y  z  cắt trục Oz hai

điểm ,A B Tìm độ dài đoạn AB Hướng dẫn giải

Gọi M giao điểm  S với trục Oz Ta có M Oz nên M0;0;t

Mà M S nên 0202 t 22 17

 2 17

2 17 17

2 17

t

t t

t

   

       

  



Suy tọa độ giao điểm A0;0; 2  17,

0;0; 17 17

B   AB

2 Bài tập

Bài tập Trong không gian tọa độOxyz, cho điểm A0;0; 2  đường thẳng  có phương trình

là 2

2

x  y  z

Phương trình mặt cầu tâm A, cắt  hai điểm B C cho BC8

A. x2 2 y3 2 z 1216. B. x2y2 z 22 25

C. x22y2z2 25. D. x2y2 z 22 16.

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi  S mặt cầu tâm A0;0; 2  có bán kính R

Đường thẳng đi qua M2; 2; 3  có vectơ phương u2;3; 2 Gọi H trung điểm BC nên AH BC

Ta có AH d A ,  MA u

u

 

 

  

  

Với  

   

   2 2

2 2

2; 2;1 10

7; 2;10

2;3;2

MA

MA u AH

u

      

       

  

  





 



Bán kính mặt cầu  S là: R AB AH2HB2  3242 5

Bài tập Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt cầu   S : x1 2 y1 2 z 229 điểm M1;3; 1  Biết tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu cho thuộc đường trịn  C có tâm J a b c ; ; 

Giá trị 2a b c 

A. 134

25 B.

116

25 C.

84

25 D.

62 25 Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có mặt cầu  S có tâm I1; 1;2  bán kính R3 Khi IM   5 R M nằm mặt cầu

Phương trình đường thẳng MI

1

x

x t

z t

 

    

   

Tâm J a b c ; ;  nằm MI nên J1; ; 3  t  t Xét MHI vuông H có

2

5;

MI IH MH  MI HI 

Mặt khác  

     

2

1;3;

4 3

1; ;2

M

MJ t t

J t t



      



  



2 16

5

MJ MIMH MJ    2 2 256

4

25

t t

     

2

9

369 25

25 50

41 25

25

t

t t

t

  

     

  

Suy 1;11 23; 25 25

J 

 

139 73

1; ;

25 25

J  

 

+) Với 1;11 23; 25 25

J 

 

9

IJ  IM (nhận) +) Với 1;139; 73

25 25

J  

 

41

IJ  IM (loại) Vậy 1;11 23;

25 25

J 

  nên

84

25

Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S có phương trình

  2  2 2 14

1

3

x  y  z  đường thẳng d có phương trình 4

3 2

x  y  z

Gọi

 0; ;0 0

A x y z , x0 0 điểm nằm đường thẳng d cho từ A kẻđược ba tiếp tuyến đến mặt cầu  S có tiếp điểm , ,B C D cho ABCD tứ diện

Giá trị biểu thức P x 0y0z0

A.6 B.16 C.12 D.8

Hướng dẫn giải Chọn C

I tâm mặt cầu I1;2;3

Gọi O giao điểm mặt phẳng BCD đoạn AI

Vì theo giả thiết ABACAD 14

3

IB IC ID   nên AI

vng góc với mặt phẳng BCD O Khi O tâm đường trịn ngoại tiếp BCD

Đặt 14

3

AI x x  

 

Ta có 2 14

3

AB AI IB  x 

2

2 . 14 2 14 14

3 3

IB IO IA OI OB IB IO

x x

 

         

 

2 2 2 . .cos120 3

BD OB OD OB OD OB

     

2

14 196

3 3

3

BD OB BD OB

x

 

       

 

Do ABCD tứ diện nên

2

2

14 14 196 14 196

3 14

3 3

AB BD x x

x x

 

         

 

2

4

2

14

3 56 196 14

14

x

x x x

x

  

     

 

A d nên A4 ; ; 4 t  t t

 

 

4; 4;

1

2 2;0;

A t

t

t A

 



       



 

Do x0 0 nên điểm A có tọa độ A4; 4; 4 Suy P12

Bài tập Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho ba điểm , ,P Q R di động ba trục tọa độ Ox Oy Oz, , (không trùng với gốc tọa độ O) cho 12 12 12

8

OP OQ OR  Biết mặt phẳng

PQR tiếp xúc với mặt cầu  S cố định Đường thẳng  d thay đổi qua

1

; ;0

2

M 

  cắt  S hai điểm ,A B phân biệt Diện tích lớn AOB

A. 15 B. C. 17 D.

Hướng dẫn giải Chọn D.

Gọi H hình chiếu vng góc điểm O mặt phẳng PQR

Dễ thấy 2 12 12 12 2 2

8 OH

OH OP OQ OR OH   

Khi PQR tiếp xúc với mặt cầu  S tâm O, bán kính R2

Ta có

4

OM     R nên điểm M nằm mặt cầu  S Gọi I trung điểm AB, OAB cân O nên

2

OAB

S  OI AB

Đặt OIx Vì OI OM nên 0 x AB2 8x2

Ta có .2 8 8 8

2

OAB

S  x x x x  x x Xét hàm số f x 8x2x4, 0 x 1

Vì f x 4 4x x20 với mọi x0;1 nên f x  f  1 7.

Dạng 10: Một số toán cực trị

Bài tập 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M 2; 2;1 , A 1; 2; 3 

đường thẳng :

2

x y z

d    

 Tìm vectơ phương u



đường thẳng  qua M , vng góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A khoảng bé

A. u2;2; 1 . B. u1;7; 1  C. u1;0; 2 D. u3; 4; 4  Hướng dẫn giải

Chọn C

Xét  P mặt phẳng qua M    P  d

Mặt phẳng  P qua M 2; 2;1 có vectơ pháp tuyến

2;2; 1

P d

n u   nên có phương trình: 2x2y z  9 Gọi H K, hình chiếu A lên  P 

Khi AKAH const nên AK đạt giá trị nhỏ K H

Đường thẳng AH qua A1; 2; 3  có vectơ phương ud 2;2; 1  nên AH có phương trình tham số

1 2

3

x t

y t

z t

      

    

Vì HAH nên H1 ; 2 ; 3 t  t  t

Lại H P nên 2  t 2 2 t         3 t t H  3; 2; 1 Vậy u  HM 1;0; 2

Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S có phương trình

2 2 4 2 2 3 0

x y z  x y z  điểm A5;3; 2  Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt mặt cầu hai điểm phân biệt ,M N

Tính giá trị nhỏ biểu thức S  AM 4AN

A. Smin 30. B. Smin 20. C. Smin 5 34 9 D. Smin  34 3 Hướng dẫn giải

Mặt cầu  S có tâm I2; 1;1 , bán kính R 22  1 2   12  3 3

Ta có: AI  2 5  2  1 3 2 1 22  34R nên A nằm mặt cầu  S Ta lại có: S AM 4AN

Đặt AM x x,  34 3; 34 3  

Mà AM AN. AI2 R2 34 25 AN 25

AM

      

Do đó: S f x  x 100 x

   với x 34 3; 34 3   Ta có:  

2

100 100

1 x

f x

x x



     với x 34 3; 34 3  

Do đó:    

34 3; 34 3min f x f 34 34

   

 

   

Dấu “=” xảy A M N I, , , thẳng hàng AM  34 3; AN 34 3

Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A9;6;11 , B 5;7; 2 điểm M di động mặt cầu   S : x1 2 y2 2 z 32 36

Giá trị nhỏ AM2MB

A. 105 B. 26 C. 29 D. 102

Hướng dẫn giải Chọn C

Mặt cầu   S : x1 2 y2 2 z 3236 có tâm I1; 2;3 bán kính R6 Ta có IA12 2 R

Gọi E giao điểm IA mặt cầu  S suy E trung điểm IA nên E5; 4;7 Gọi F trung điểm IE suy F3;3;5

Xét MIF AIM có AIM chung

IF IM IM  IA 

Suy MIF AIMc.g.c MA AI MA 2MF

MF MI

 #     