• Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một thiết diện song song với đáy cắt tất cả các cạnh bên của hình chóp được gọi là hình chóp cụt đều.. - Hai đáy của hình chóp cụt đều là hai đ[r]
(1)HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC
A CHUẨN KIẾN THỨC
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA 1 Góc hai mặt phẳng
Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng với hai mặt phẳng
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
a P
P , Q a,b
b Q
⊥
=
⊥
Nếu hai mặt phẳng song song trùng ta nói góc hai mặt phẳng
0
Diện tích hình chiếu S' Scos= φ
Trong S diện tích đa giác nằm ( )P , S' diện tích đa giác nằm
( )Q φ góc ( )P ( )Q 2 Hai mặt phẳng vng góc. 2.1 Định nghĩa
Hai mặt phẳng vng góc với góc chúng
90
( ) ( ) (( ) ( ))
P ⊥ Q P , Q =90 2.2 Tính chất
• Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng có đường thẳng vng góc với mặt phẳng
( )
( ) ( ) ( )
a P
P Q
a Q
⊥
⊥
• Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tyến vng góc với mặt phẳng
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
P Q
a P
a Q
b P Q
a b
⊥
⊥
=
⊥
b a
Q P
Q P
(2)• Cho hai mặt phẳng ( )P ( )Q vng góc với Nếu từ điểm thuộc mặt phẳng ( )P dựng đường thẳng vng góc với mặt phẳng ( )Q đường thẳng nằn ( )P
( ) ( ) ( )
( ) ( )
A P
P Q a P
A a Q
⊥
⊥
• Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
P R
Q R Δ R
P Q Δ
⊥
⊥ ⊥
=
3 Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật
• Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với hai mặt đáy
- Các mặt bên hình chữ nhật - Các mặt bên vng góc với hai đáy
- Lăng trụ đứng có đáy đa giác gọi lăng trụ
• Hình hộp chữ nhật hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật
- Tất mặt hình chữ nhật
- Đường chéo 2
d= a +b +c với a,b,c ba kích thước
• Hình lập phương hình hộp chữ nhật có đáy mặt bên hình vng
4 Hình chóp hình chóp cụt
• Hình chóp hình chóp có đáy đa giác chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy
- Các cạnh bên hình chóp tạo với đáy cácgóc
- Các mặtbên hình chóp tam giáccân
- Các mặt bên hình chóp tạo với đáy cácgóc
O D
B C S
(3)• Phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy cắt tất cạnh bên hình chóp gọi hình chóp cụt
- Hai đáy hình chóp cụt hai đa giác đồng dạng
B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Bài toán 01: TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Phương pháp:
Để tính góc hai mặt phẳng ( )α ( )β ta thực theo cách sau:
Cách 1.Tìm hai đường thẳng a,b vng góc với hai mặt phẳng ( )α
( )β Khi góc hai đường thẳng a,b góc hai mặt phẳng ( )α ( )β
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
a α
α , β a,b
b β
⊥
=
⊥
Cách 2.Tìm hai vec tơn ,n 1 2 có giá vng góc với ( )α ( )β góc hai mặt phẳng ( )α ( )β xác định
1
n n cosφ
n n
=
Cách 3.Sử dụng công thức hình chiếu S' Scos= φ, từ để tính cosφ ta cần tính S S'
Cách 4.Xác định cụ thể góc hai mặt phẳng sử dụng hệ thức lượng tam giác để tính Ta thường xác định góc hai mặt phẳng theo hai cách sau:
a)
• Tìm giao tuyến Δ=( ) ( )α β
• Chọn mặt phẳng ( )γ ⊥Δ
• Tìm giao tuyến a=( ) ( )γ α ,b=( ) ( )γ β
• (( ) ( )α , β )=( )a,b b)
a b
p q γ
β α
D' C'
B'
O D
B C
A
(4)• Tìm giao tuyến Δ=( ) ( )α β
• Lấy M( )β Dựng hình chiếu H M ( )α
• Dựng HN⊥ Δ MN⊥Δ
Phương pháp có nghĩa tìm hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng ( ) ( )α , β vng góc với giao tuyến Δ điểm giao tuyến
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB a,AD a 3= = Cạnh bên SA vng góc với đáy SA a= a) Góc hai mặt phẳng (SCD ) (ABCD )
b) Góc hai mặt phẳng (SBC ) (SAD )
Lời giải
a) Ta có (SCD) ( ABCD)=CD
( )
CD SA
CB SAD CD AD
⊥
⊥
⊥
(SAD) ( ABCD)=AD, SAD( ) ( SCD)=SD
( ) ( )
( SCD , ABCD ) (DA,SD) SDA φ
= = =
0
SA a
tanφ φ 30
AD a 3
= = = =
b) Ta có
( )
( ) ( ) ( )
AD SAD
BC SBC SAD SBC d AD BC
AD BC
=
Vì SA d SA d d AD
⊥
⊥
,
d AD
d AB AD AD
⊥
⊥
nên (SAB)⊥d
(SAB) ( SBC)=SB, SAB( ) ( SAD)=SA suy ASB góc hai mặt phẳng (SBC ) (SAD )
Tam giác ASB vuông cân A nên ASB 45=
Ví dụ 2.Cho hình lập phương ABCD.A' B'C' D' Tính góc hai mặt phẳng
(A'BC ) (A'CD )
Lời giải. Cách
φ β
α
M
N H
d
β
α A
B C
(5)Ta có (A'BC) ( A'CD)=A'C Gọi O tâm hình vng ABCD H hình chiếu vng góc O A'C
Do BD AC BD (ACA') BD A'C BD AA'
⊥
⊥ ⊥
⊥
Vậy A'C OH A'C (BDH) A'C BD
⊥
⊥
⊥
(BDH) ( A'CD)=HD, BDH( ) ( A'BC)=BH
( ) ( )
( A'BC , A'BD ) (HB,HD)
=
Tam giác BCA' vng B có đường cao BH,
( )
2 2 2
1 1 1
BH =BA' +BC = a 2 +a =2a
2 BH a
3
=
Tương tự DH a
=
Áp dụng định lí cơsin cho ΔHBD ta có
2
2
2 2
2
2a 2a 2a
HB HD BD 3 3
cos BHD
2HB.HD 2a
2
+ −
+ −
= = = −
0
BHD 120
= Vậy (( ) ( )) ( )
A'BC , A'BD = HB,HD =60
Cách 2.Gọi H A'C= (BDC'), mặt chéo (BDC' ) ứng với đường chéo A'C nên (BDC')⊥A'C Vậy góc hai đường thẳng HB,HD góc hai mặt phẳng (A'BC ) (A'CD )
Do CB CD CC'= = HB HD HC'= = BD BC' DC' a 2= = = suy H la tâm
của tam giác
C'BDBHD 120=
Vậy (( ) ( )) ( )
A'BC , A'BD = HB,HD =60
Cách 3: Do AB' A' B AB' (A' BC) AB' BC
⊥
⊥
⊥
Tương tự AD'⊥(A'CD) nên (( ) ( )) ( )
A'BC , A'BD = AB',AD' =60 ( ΔAB'D' đều)
Ví dụ Cho tứ diện ABCD cóAB b,AC c,AD d= = = đơi vng góc.Gọi
α,β,γ góc mặt phẳng (BCD ) với mặt phẳng
(ACD , ABD , ABC ) ( ) ( )
a)Chứng minh cos2α cos β cos γ 1+ + =
O C' B'
D'
A
B C
D A'
(6)b) Tính SBCD theo 0
α 30 ,β 45 ,γ 60= = =
Lời giải. a) Cách 1.
Kẻ đường cao AH tam giác ACD,
( )
AB AC
AB ACD AB CD AB AD
⊥
⊥ ⊥
⊥
Vậy (ABH)⊥CD CD giao tuyến hai mặt phẳng (ACD ) (BCD) nên α AHB=
Ta có
AB b tanα
AH AH
= = , mà 2 12 12 12 12 AH =AC +AD =c +d nên
2
b c d tanα
cd
+
=
Mặt khác
2
2
2 2 2 2
1 c d
1 tan α cos α
cos α b c c d d b
+ = =
+ +
Tương tự ta có :
2 2
2 2 2
b d cosβ
b c c d d b
=
+ + ,
2 2
2 2 2
b c cos γ
b c c d d b
=
+ +
Từ suy 2
cos α cos β cos γ 1+ + =
Cách 2.Gọi H hình chiếu A (BCD) I trung điểm CD Đặt AB b,AC c,AD d= = = b=b, c=c, d =d
Dễ thấy AH⊥(BCD) ( )
2
2 2 2
2 2
2
BH.BI BA b b c d
BH
k
c d IH c d
IH.IB IA
c d
= = +
= =
= =
+
Suy AH AB k AI
1 k k
= +
+ + , mà
2 2
2 2 2
IC AC c d c
AI AC CD
ID=AD =d =c +d +c +d nên
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
c d b c d b d c
AH AB AC AB
b c c d d b b c c d d b c d c d
+
= + +
+ + + + + +
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
c d d b b c
b c d
b c c d d b b c c d d b b c c d d b
= + +
+ + + + + +
Lại có b,c,d vec tơ vng góc với mặt phẳng
(ACD , ABD , ACB) ( ) ( ).Từ ta có:
α B
A
C
(7)2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
b c d
b.AH cd
b c c d d b cosα
b AH b c c d d b b c c d d b b
b c d
+ +
= = =
+ + + +
Tương tự :
2 2 2 2 2 2
c.AH bd d.AH bc
cosβ ,cosγ
b AH b c c d d b b AH b c c d d b
= = = =
+ + + +
Suy cos2α cos β cos γ 1+ + = b) Sử dụng cơng thức hình chiếu
Gọi H hình chiếu A (BCD ) Trước tiên ta chứng minh tam giác BCD nhọn Không giảm tổng quát, giả sử B lớn Ta có 2 2
CD =AC +AD =c +d
Tương tự 2 2 2
CB =b +c ,DB =b +d Áp dụng định lí cơsin cho ΔBCD ta có
2 2
BC BD CD cos B
2BC.BD
+ −
=
( ) ( ) ( )
( )( )
2 2 2
2 2
b c b d c d
2 b c b d
+ + + − +
=
+ +
( )( )
2
2 2
2b
0 b c b d
=
+ + B nhọn, hay tam giác BCD nhọn
Ta có AH CD BH CD AB CD
⊥
⊥
⊥
, tương tự ta có CH⊥BD từ suy H trực
tâm ΔBCD, mà ΔBCD nhọn nên H thuộc miền tam giác BCD.Do
BCD HBC HBD HCD ABC ABD ACD
S =S +S +S =S cosγ S+ cosβ S+ cosα
0 0
1 1 bc 2bd 3cd
bc cos60 bdcos 45 cdcos 30
2 2
+ +
= + + =
Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AB 2a= ; cạnh bên SA vng góc với đáy
SA a 3=
a) Tính góc hai mặt phẳng (SAD ) (SBC ) b) Tính góc hai mặt phẳng (SBC ) (SCD )
Lời giải.
I A
B
D
(8)a) Gọi I AD= BC SI=(SAD) ( SBC) BD AD BD (SAD) BD SI BD SA
⊥
⊥ ⊥
⊥
Dựng DE SI,E SI⊥ (BDE)⊥SI Do BED góc hai mặt phẳng
(SAD) (SBC)
Do đáy ABCD nửa lục giác nên
IAB IBA 60= = ΔIBA Vì AI AB 2a= = , 2 ( )2 ( )2
SI= SA +AI = a + 2a =a
Dễ thấy ΔSAI ΔDEI DE DI a DE SA a
SA SI a 7 7 7
= = = = =
( )
BD⊥ SAD BD⊥DE Trong tam giác vng BDE ta có BD a
tan BED BED arctan
DE
a
= = = =
Vậy ((SAD , SBC) ( ))=arctan b) Dựng AP SH,P SH⊥
Do CD⊥(SAH)AP⊥CDAP⊥(SCD) Tương tự, dựng AQ SC,Q SC⊥ AQ⊥(SBC)
Do PAQ=((SBC , SCD) ( )) Trong tam giác SAH ta có :
( )
2 2 2
1 1 1
AP AS AH a 3 a 3 3a
2
AP a
= + = + =
=
Dễ thấy ΔSAC vuông cân A nên AQ 1SC SA a
2 2
= = =
( )
AP⊥ SCD AP⊥PQ
Trong ΔAPQ có
3 a
AP 5 10 10
cos APQ APQ arccos
AQ a 6 5
2
= = = =
Vậy ((SBC , SCD) ( )) arccos 10
=
Bài toán 02: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC Phương pháp:
I
D C
B S
A E
H P
(9)Để chứng minh hai mặt phẳng ( )α ( )β vuông góc với ta dùng cách sau:
Cách 1.Xác định góc hai mặt phẳng , tính trực tiếp góc
90
( ) ( )
( ) ( ) ( )
α , β =90 α ⊥ β
Cách Chứng minh mặt phẳng có đường thẳng vng góc với mặt phẳng
( )
( ) ( ) ( )
a α
α β
a β
⊥
⊥
Cách 3.Tìm hai vec tơ n ,n 1 2 vuông góc với mặt phẳng ( ) ( )α , β chứng minh n n1 2=0
Các ví dụ
Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA a= , cạnh cịn lại b a) Chứng minh (SAC) (⊥ ABCD) (SAC) (⊥ SBD)
b) Tính đường cao hình chóp S.ABCD theo a,b
c) Tìm liên hệ a b để S.ABCD hình chóp
Lời giải
a) Gọi O AC= BD, tứ giác ABCD có tất cạnh b nên hình thoi,
AC⊥BD O trung điểm BD
Mặt khác SB SD b= = ΔSBD cân S, SO⊥BD
Vậy BD AC BD (SAC) BD SO
⊥
⊥
⊥
(SAB) (ABCD)
⊥ (SAC) (⊥ SBD)
b) Ta có ( ) ( )
( ) ( )
SAC ABCD SAC ABCD AC
⊥
=
nên (SAC )
kẻ SH AC,H AC⊥ SH⊥(ABCD), hay SH đường cao hình chóp Do hình chóp có cạnh SB SD b,CB Cd b,AB AD b= = = = = = nên tam giác
SBD,CBD,ABD tam giác cân suy OS OA OC= = ΔSAC
vng S Từ ta có
2
SA.SC ab SH.AC SA.SC SH
AC a b
= = =
+
b) Hình chóp S.ABCD hình chóp cạnh bên nên a=b
O B
A
D C S
(10)Và a b= AC a 2= mà ABCD hình thoi cạnh a nên hình vng , tứ S.ABCD hình chóp
Vậy S.ABCD hình chóp a=b
Ví dụ 2.Cho tam giác ABC cạnh a Gọi D điểm đối xứng A qua BC Trên đường thẳng d⊥(ABCD) A lấy điểm S cho SD a
2
=
Chứng minh (SAB) (⊥ SAC)
Lời giải
Gọi I trung điểm BC AI⊥BC I trung điểm AD Ta có BC AD BC (SAD) BC SA
BC SD
⊥
⊥ ⊥
⊥
Dựng IH SA,H SA⊥ , ta có
( )
SA IH
SA HCB SA CB
⊥
⊥
⊥
Suy góc hai
mặt phẳng (SAB) (SAC) BHC Ta có ΔAHI ΔADS IH AI
SD AD
=
Mà AI a 3,AD 2AI a
= = = ,
( )2
2 a 3a
SA AD SD a
2
= + = + =
suy
a a
AI.SD 2 2 a BC IH
AD 3a 2
2
= = = =
BHC 90
=
Ví dụ Cho hình chóp S.ABC, có độ dài cạnh đáy a Gọi M,N trung điểm cạnh SA,SB Tính diện tích tam giác AMN biết
(AMN) (⊥ SBC) ( ĐH khối A-2002) Lời giải
I A
D
B C
S
(11)Gọi K trung điểm BC I SK= MN Từ giả thiết ta có
1 a
MN BC ,MN / /BC I
2
= = trung điểm SK MN Ta có
ΔSAB ΔSAC= hai trung tuyến tương ứng AM AN= ΔAMN cân
AAI⊥MN
Mặt khác
( ) ( ) ( ) ( )
( )
SBC AMN
SBC AMN MN
AI AMN AI MN
⊥
=
⊥
( )
AI SBC AI SK ΔSAK
⊥ ⊥ cân
a A SA AK
2
= =
Ta có
2 2
2 2 3a a a
SK SB BK
4
= − = − =
2
2 2 SK a 10
AI SA SI SA
2
= − = − =
Ta có
2 AMN
1 a 10
S MN.AI
2 16
= =
Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A' B'C' D'có AB AD a,AA' b= = = Gọi M trung điểm CC' Xác định tỉ số a
b để hai mặt phẳng (A'BD ) (MBD vuông ) góc với ( ĐH khối A-2003)
Lời giải
Gọi O tâm hình vng ABCD Ta có BD=(A'BD) ( MBD),
( )
AC BD
ACC'A' BD AA' BD
⊥
⊥
⊥
Vậy
( )
( ) ( )
( ) ( )
ACC'A' BD
ACC'A' A'BD OA' ACC'A' MBD OM
⊥
=
=
do góc hai đường thẳng OM,OA'
chính góc hai mặt phẳng (A'BD ) (MBD ) Ta có
2 2 2
AC' AB AD AA' 2a b
OM
2 2
+ + +
= = =
I
K N
M S
A
C
B
O M
B'
C' D'
A
D C
(12)2
2
2 2 a 2 a
OA' AO AA' b b
2
= + = + = +
2 2
2 2 2 b 5b
MA' A'C' MC' a b a
2
= + = + + = +
Hai mặt phẳng (A'BD) (MBD ) vng góc với nhauΔOMA' vng
2 2
OOM +OA' =MA'
2 2
2 2
2a b a 5b a
b a a b
4 b
+
+ + = + = =
(A'BD) (⊥ MBD) a
b= ( Khi ABCD.A' B'C' D' hình lập phương) Bài tốn 03: ỨNG DỤNG CƠNG THỨC HÌNH CHIẾU
Giả sử S diện tích đa giác ( )H nằm ( )P S' diện tích hình chiếu ( )H' ( )H
trên ( )P' S' Scos= φ φ góc hai mặt phẳng ( )P ( )P'
Các ví dụ
Ví dụ Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A' B'C' D' Một mặt phẳng ( )α hợp với mặt phẳng đáy (ABCD)một góc
45 cắt cạnh bên lăng trụ
M,N,P,Q Tính diện tích thiết diện, biết cạnhđyá lăng trụ a
Lời giải
Gọi S diện tích thiết diện MNPQ Ta có hình chiếu MNPQ xng (ABCD)
chính hình vng ABCD
2 ABCD
S' S= =a
Gọi φ=(( ) (α , ABCD))
φ 45=
Do 2
S' S cosφ S S 2S' 2a
= = = =
Ví dụ Cho tam giác ABC có AB 3a= , đường
cao CH a= AH a= nằm mặt phẳng ( )P Trên đường thẳng vng góc với ( )P kẻ từ A,B,C lấy điểm A',B',C' tương ứng nằm phía ( )P cho AA1=3a,BB1=2a,CC1=a Tính diện tích tam giác A'B'C'
Lời giải
S'=Scosα H'
H
P'
P
α Q
C' B' A'
D
A B
C D'
M
(13)Ta có
2 ABC
3a S
2
=
Vì CH⊥AB,CH a,AH a= = AC a 2=
0
BAC 45=
Gọi I B'C' BC,J A'C' AC= = Ta có CC' 1BB' BC CI
2
= =
1 a
CC' AA' CJ AC
3 2
= = =
Xét ΔBCH ta có
2 2
BC =BH +CH =5a BC a 5=
Mặt khác 2
AB =CA +CB −2CA.ABcosC
2 2
CA CB AB
cosC
2CA.CB 10
+ −
= = −
Xét ΔICJ ta có
2
2 2 26a
IJ CI CJ 2CI.CJ cosICJ
= + − =
Kẻ đường cao CK ΔICK, CC'⊥( )ICJ nên C'K IJ⊥ Vậy C'KC góc hai mặt phẳng (ABC ) (A'B'C' ) nên SABC=SA'B'C'cosC'KC
Ta có
2 ICJ ABC
1 3a
S S
2
= = , mặt khác SICJ 1IJ.CK
=
2
ICJ
3a
2S 2 3a
CK
IJ 26a 26
= = =
Xét ΔC'CK ta có tanC'KC CC' a 26
3a
CK
26
= = =
Mà tan C'KC2 21 cosC'KC 35 cos C'KC
+ = =
Vậy ABC
ABC A'B'C' A'B'C'
S 35
S S cosC'KC S a
2 cosC'KC
= = =
Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A' B'C' D' có cạnh a Gọi ( )α mặt phẳng qua tâm Ocủa hình lập phương vng góc với đường chéo AC' Tính diện tích thiết diện hình lập phương ABCD.A' B'C' D' cát ( )α
Lời giải
Gọi M trung điểm BC , MA MC' a 5= = nên ΔMAC' cân K I
J A
B
C A'
H
(14)M, mà O trung điểm AC'MO⊥AC' M ( )α
Tương tự , ( )α cắt cạnh DC,DD',A'D',A',B'BB' điểm N,P,Q,N,S Thiết diện lục giác MNPQRS.Xét phép chiếu vng góc xuống mặt phẳng
(A'B'C'D'), ta có hình chiếu lục giác MNPQRS lục giác M'N'D'QRB' Gọi S,S' diện tích lực giác
MNPQRS M'N'D'QRB' S' Scos= φ 1( ) với φ góc mặt phẳng ( )α mặt phẳng
(A'B'C'D')
Ta có S' S= A'B'C'D'−(SA'QR+SC'M'N')
( )
2 2
2 a a 3a
a
8
= − + =
Gọi I tâm hình vng A' B'C' D'
(ICC')⊥B'D' nên CIC' góc hai mặt phẳng (CB'D' ) mặt phẳng (A'B'C'D' )
Ta có
2 2
2
a
IC IC 2
cosCIC'
IC' CC' IC a 3
a
= = = =
+ +
Lại có ( ) (α / / CB'D') nên φ CIC' cos φ 3( )
= =
Từ ( ) ( ) ( )1 , , ta có
2
2
3a
S' 4 3a S
1
cosφ
3
= = =
Vậy diện tích thiết diện
2
3 3a S
4
=
Bài toán 01: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CHỨA MỘT ĐƯỜNG THẲNG VÀ VNG GĨC VỚI MỘT MẶT PHẲNG
Phương pháp:
Bài Toán:Cho mặt phẳng ( )α đường thẳng a khơng vng góc với ( )α Xác định mặt phẳng ( )β
chứa a vuông góc với ( )α
Để giải tốn ta làm theo bước sau:
• Chọn điểm A a
• Dựng đường thẳng b qua A vng góc với
( )α Khi mp a,b ( ) mặt phẳng ( )β
I
N' M'
S
R Q
P N M
O D
C A
B'
A'
D' C' B
a
b d
β
α
A
(15)Các ví dụ
Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a
cạnh SA⊥(ABCD) SA a 3= Goi ( )α mặt phẳng chứa AB vng góc với mặt phẳng (SCD) Xác định tính thiết diện hình chóp S.ABCD cắt ( )α
Lời giải Kẻ AH⊥SD
Do SA⊥(ABCD)SA⊥CD , lại có CD⊥ADnên CD⊥(SAD)CD⊥AD Từ ta có AH SD AH (SCD)
AH CD
⊥
⊥
⊥
(ABH) (SCD)
⊥
Vậy (ABH ) mặt phẳng ( )α
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
AB α CD SCD AB CD
H α SCD
( ) (α SCD) HK AB CD
= Thết diện tứ
giác AHKB
Dễ thấy AHKB hình thang vng A H , nên SAHKB 1(AB HK AH)
= +
Ta có
( )
2 2 2
1 1 1 a
AH AH =AS +AD = a 3 +a =3a =
Trong ΔSCDcó HK CD nên
2
2
HK SH SH.SD SA CD =SD= SD =SD
2
2 2
SA 3a
4 SA AD 3a a
= = =
+ +
3
HE CD a
4
= =
Vậy ( )
2 AHKB
1 3a 3a 7a
S AB HK AH a
2 16
= + = + =
Ví dụ
a) ( )α mặt phẳng chứa SD vng góc với (SAC) Xác định tính diện tích thiết diện ( )α với hình chóp S.ABCD
K A
B C
D S
(16)b) Gọi M trung điểm SA, N điểm thuộc cạnh AD cho AN x= Mặt phẳng ( )β qua MN vng góc với (SAD) Xác định tính diện tích thiết diện hịnh chóp cắt ( )β
Lời giải
a) Gọi E trung điểm cạnh AB O giao điểm AC DE ADCE hình vng có tâm O
Ta có SA⊥(ABCD)SA⊥OD, thêm OD⊥ACOD⊥(SAC) Từ ta có OD⊥(SAC) ( SDO) (⊥ SAC)
Vậy (SDO) mặt phẳng ( )α
Thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( )α tam giác SDE
Ta có
2
2 a 2
SO OA AS a a
2
= + = + =
BC DE a 2= = ,
( ) SDE
1
DE SAC DE AO S SO.DE
2
⊥ ⊥ =
2
1 a
.a a
2 2
= =
b) Ta có ( )
( ) ( ) ( )
AB SAD
AB β
β SAD
⊥
⊥
Vậy
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
M β SAB
AB SAB β SAB MQ AB,Q SB
AB β
=
Tương tự,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
N β ABCD
AB ABCD β ABCD NP AB,P BC
AB β
=
Thiết diện tứ giác MNPQ Do NP AB NP MQ 1( )
MQ AB
Lại có ( )
( ) ( )
MN SAD
AB MN AB SAD
⊥
⊥
Từ ( ) ( )1 , suy tứ giác MNPQ hình thang vng M N Do SMNPQ 1(NP MQ MN)
2
= +
Q
P M
O
A E
D C
B S
(17)2 2
2 a a 4x
MN AM AN x
4
+
= + = + = , MQ 1AB a
2
= =
( ) ( )
2a a x
NP DN AB.DN
NP a x
AB DA DA a
−
= = = = −
Vậy ( ( ) ) ( )
2
2
MNPQ
3a x a 4x
1 a 4x
S a x a
2 2
− +
+
= − + =
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
64 Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đơi vng góc OA OB OC a= = = Gọi I trung điểm BC Hãy dựng tính độ dài đoạn vng góc chung cặp đường thẳng:
a) OA BC b) AI OC
65. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh
( )
SA⊥ ABC SA a
2
= Tính khoảng cách từ A đến (SBC) 66.Cho tứ diện ABCD có AD⊥(ABC), AC AD 4cm= = , AB 3cm,=
BC 5cm= Tính khoảng cách từ A đến (BCD )
( Trích đề thi ĐH Khối D Năm 2002) 67 Cho hai mặt phẳng ( )P ( )Q vng góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng Δ Trên Δ lấy hai điểm A,B cho AB a= Trong mặt phẳng ( )P lấy điểm C, mặt phẳng ( )Q lấy điểm D cho AC,BD vng góc với
Δ AC BD AB= = Xác định điểm O cách điểm A,B,C,D tính khoảng cách từ A đến (BCD )
68.Cho tứ diện ABCD có AB a,AC b,AD c= = =
BAC CAD DAB 60= = = Tính khoảng cách từ D đến (ABC )
69 Cho hình chóp S.ABC có SA 3a= SA⊥(ABC) Tam giác ABC có AB BC 2a= = , góc
ABC 120= Tính khoảng cách từ A đến (SBC ) 70.Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B'C' có đáy ABC tam giác vng
BA BC a= = , cạnh bên AA' a 2= Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM,B'C
( Trích đề thi ĐH Khối D Năm 2008) 71 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B ,
BA BC a,AD 2a= = = Cạnh bên SA⊥(ABCD) SA a 2= Gọi H hình chiếu vng góc A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính khoảng cách từ H đến (SCD )
(18)72 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a Gọi SH đường cao hình chóp Khoảng cách từ trung điểm I SH đến (SBC ) b Tính SH 73. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a
AC a= Gọi H trung điểm cạnh AB, biết SH⊥(ABCD) SH a= Tính khoảng cách
a) Từ O đến (SCD ) b) Từ A đến (SBC )
74.Cho lăng trụ ABC.A' B'C' có tất cạnh a Gọi M,N trung điểm AA',BB' Tính khoảng cách hai đường thẳng B'M CN
75. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , SO⊥(ABCD), AC 4,BD 2,SO= = = Tính
a) Khoảng cách từ A đến (SBC )
b) Khoảng cách hai đường thẳng AB SD
76.Cho tứ diện ABCD có AB CD a,AD BC b,AC BD c= = = = = = Tính khoảng cách cặp cạnh đối tứ diện
77 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE , N trung điểm
BC Chứng minh MN⊥BD tính khoảng cách hai đường thẳng MN AC
( Trích đề thi ĐH Khối B Năm 2007) 78 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a,AD 2a= = , cạnh SA⊥(ABCD), cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc
60 Trên SA lấy điểm M cho AM a
3
= Tính khoảng cách từ S đến (BCM )
79. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M,N trung điểm cạnh AB AD ; H giao điểm CN DM Biết
( )
SH⊥ ABCD SH a 3= Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC
80.Cho lăng trụ đứng ABC.A' B'C' có AB a,AC 2a,AA' 2a 5= = =
0
oup: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/