Chuyên đề khảo sát hàm số, các bài toán liên quan

Chuyên đề khảo sát hàm số, các bài toán liên quan

Chủ đề 1: Hàm số 1 DẠNG 1 : KHẢO SÁT HÀM SỐ  Các bước tiến hành B1 : Tìm TXĐ của hàm số B2 : Xét sự biến thiên của hàm số a, Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có)  Tìm các đường tiệm cận của đồ thị (Nếu có) b, Lập bảng biến thiên của hàm số  Tìm đạo hàm của hàm số  Xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có)  Điền kết quả vào bảng B2 : Vẽ đồ thị hàm số  Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị ( Nếu có)  Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị hàm số ( Giao điểm đồ thị với các trục tọa độ, điểm uốn)  Nhận xét về đồ thị + Trục đối xứng ( Hàm chẵn) + Tâm đối xứng ( Hàm lẻ)  Chú ý - Khi lập bảng biến thiên cần điền đầy đủ các giá trị vào bảng - Tính đạo hàm cần chỉ ra các giá trị làm đạo hàm bằng không hoặc không xác định - Đối với các giá trị làm y hoặc y’ không xác định thi trong bảng biến thiên dùng kí hiệu || - Khi khảo sát hàm lượng giác ta làm tương tự. Tuy nhiên cần lưu ý : + Các hàm y=sinx; y=cosx tuần hoàn với chi kì 2π Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị + Các hàm y=tanx; y=cotgx thì tuần hoàn với chi kì π trong một chu kì Chủ đề 1: Hàm số 2  Ví dụ : y = x 3 - 3x 2 + 2 (C) 1. TXĐ: D = R 2. Sự biến thiên: * Giới hạn tạ vô cực + lim x  + y = + lim x  - y = - * Bảng biến thiên: + y’ = 3x 2 - 6x = 3x(x-2) ; y’ = 0  x = 0 hoặc x = 2 x - 0 2 + y’ + 0 - 0 + y 2 + - -2 + Hàm số đồng biến trên các khoảng (-;0) và (2;+) + Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) + Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y cđ = 2 + Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y ct = -2 3. Đồ thị : + Đồ thị nhận điểm uốn (1 ;0) làm tâm đối xứng x y 2 2 1 O Chủ đề 1: Hàm số 3 DẠNG 2 : BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ  Sơ đồ chung Đối xứng qua Ox Tịnh tiến theo Ox a đơn vị Đối xứng qua Oy Tịnh tiến theo Oy, b đv Đối xứng qua Tịnh tiến theo Tinh tâm O vector U(a;b) Tịnh tiến theo Ox Đối xứng qua Ox a đơn vị Đối xứng qua Oy Tịnh tiến theo Oy b đơn vị  Thông thường các bài toán bắt ta vẽ đồ thị của một hàm số tương đối khó vẽ từ một hàm cho trước, Chúng ta sẽ dựa vào các hàm cơ bản và thông qua các các phép biến đổi cơ bản để vẽ đồ thị các hàm đó  Các bước - Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của hàm cơ bản mà có quan hệ với hàm đã cho - Dựa vào mối liên hệ giữa các hàm mà ta vẽ được hàm đã cho y= - f(x) y= f(x+a) y= - f( - x) y=f(x) y=f(x+a)+b y=f( - x) y=f(x)+b Chủ đề 1: Hàm số 4 DẠNG 3 : TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ  Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm M 0 ( x 0 , y 0 )  Phương pháp : + TÍnh y’ +Tính y’( x 0 ) + Viết phương trình tiếp tuyến : y= y’( x 0 ) (x - x 0 ) + y 0  Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= x 2 +ax-1 x-1 tại giao điểm của nó với trục tung - Giao điểm của nó với trục tung là nghiệm của hệ: y= x 2 +ax-1 x-1 x=0 => M ( 0,1) - Tính y’ - y’(0) = 1-a - Phương trình tiếp tuyến là : y= (1-a) x +1  Bài toán 2 : Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A( x A ; y A )  Phương pháp : Thông thường đối với dạng bài này có 2 cách làm: C1: - Gọi phương trình cần tìm là : y= k( x- x A ) + y A - Ta có : y= k( x- x A ) + y A f’ (x) =k - Giải hệ ta được x 0 =>k => Phương trình tiếp tuyến C2: - Gọi tọa độ tiếp điểm M 0 ( x 0 , y 0 ) - Tính y’ và y’( x 0 ). Tính y 0 theo x 0 - Phương trình tiếp tuyến : y= y’( x 0 ) (x - x 0 ) + y 0 - Thay A( x A ; y A ) vào phương trình tiếp tuyến => x 0 => Phương trình tiếp tuyến.  Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc là k  Phương pháp - Tính y’ - Giải phương trình y’=k => x 0 => y 0 - Phương trình tiếp tuyến : y= k( x- x 0 ) + y 0 Chủ đề 1: Hàm số 5  Bài toán 4: Viết phương trình tiếp xúc với ( C ) tại 2 điểm phân biệt  Phương pháp - Giả sử tiếp tuyến có dạng : y= kx +m - Tiếp tuyến giao đường cong tại 2 điểm phân biệt  f (x) = kx +m : có 2 nghiệm phân biệt  f (x) -kx -m =(x-a) 2 ( x-b) 2 ¥ x - Đồng nhất hai đa thức ta tìm được phương trình tiếp tuyến  Bài toán 5: Cho hàm số y= f(x) ( C) . Tìm điểm A thỏa mãn tính chất K để từ đó kẻ được tiếp tuyến tới đồ thị ( C)  Phương pháp - Tìm điểm A thỏa mãn tính chất K cho trước, giả sử là : A( x 0 , y 0 ). - Tìm đường thẳng qua : A( x 0 , y 0 ) với hệ số góc k có dạng: y= k( x- x A ) + y A (d) - Đường thẳng (d) tiếp xúc với ( C) khi hệ sau có nghiệm y= k( x- x A ) + y A y’ = k - Số nghiệm của hệ là số tiếp tuyến kẻ được từ A  Bài tập đề nghị Bài 1: Cho hàm số y= 2 4 3 4 mx x x m    Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x=0 vuông góc với tiệm cận? (ĐS: m= ±4 ) Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):y= 2 1 1 x x   biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3 (ĐS: y= 3x−1 hay y= 3x+11 ) Bài 3: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y= 3 2 (1 2 ) (2 ) 2 x m x m x m       . Tìm m để (C) có tiếp tuyến tạo với (d):x+y+7=0một góc α sao cho cosα= 1 26 . (ĐS : m ≥ 1 12 hoặc m≤ 11 12  ; và m≥ 2 19 2   hoặc m≤ 2 19 2   Chủ đề 1: Hàm số 6 DẠNG 4 : ĐỒ THỊ HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Bài tập 1: Vẽ đồ thị hàm số y= | f(x) |  Ta có: | f(x) | = f(x) với f(x) ≥ 0 | f(x) | = - f(x) với f(x) <0 - Vẽ đồ thị hàm số y= f(x) ( C) - Giữ nguyên phần đồ thị ( C) nằm trên Ox - Bỏ phần đồ thị ( C) nằm dưới Ox - Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị nằm dưới Ox => ĐTHS Bài tập 2: Vẽ đồ thị hàm số y= f( |x|)  Ta có : f( |x| ) = f(x) nếu x≥ 0 f( |x| ) = f(-x) nếu x< 0 - Vẽ đồ thị hàm số y= f(x) ( C) - Giữ nguyên phần đồ thị ( C) nằm bên phải Oy - Bỏ phần đồ thị ( C) bên trái Oy - Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị nằm bên phải Oy=> ĐTHS Bài tập 3: Vẽ đồ thị hàm số | ( ) | ( ) P x Q x ; Q(x) ≠ 0 ¥x  Ta có : | P(x) | = P(x) với P(x)≥ 0 | P(x) | = - P(x) với P(x)< 0 - Vẽ đồ thị hàm số ( ) ( ) P x Q x ( C) - Giữ đồ thị ( C) khi P(x) ≥ 0 - Lấy đối xứng qua Ox phần ( C) khi P(x) <0. Ta được ĐTHS  Tương tự với: - y= ( ) | ( )| P x Q x Chủ đề 1: Hàm số 7 Bài tập 4: Nếu đề bài yêu cầu vẽ ĐTHS : y= | f(|x|) |  Ta có thể thực hiện theo các bước sau: - Áp dụng bài toán 1 ta vẽ được đồ thị hàm số: y= | f(x) |. Coi đây là đồ thị hàm số y= g(x) - Áp dụng bài toán 2 ta vẽ được đồ thị hàm số : y=g(|x|).=> ĐTHS Bài toán 5: Vẽ đồ thị hàm số y= | u(x) |.v(x)  Thông thường việc giải bài toán này sẽ phức tạp hơn một chút  Ta có : | u(x) | = u(x) khi u(x) ≥ 0 u(x) kho u(x)<0 - Vẽ đồ thị hàm số y=u(x).v(x) ( C) - Giữ nguyên phần đồ thị của ( C) khi u(x) ≥ 0 - Đối xứng qua Ox phần đồ thị ( C) khi u(x) <0 Bài toán 6: Vẽ đồ thị hàm số | y | =f(x)  Dễ dàng ta có : ĐTHS ( C) nhận Ox làm trục đối xứng  Ta có: | y | = f(x)  y = f( x) ¥ y≥ 0 - Vẽ ĐTHS y= f(x) - Lấy phần đồ thị ( C) nằm trên trục hoành - Lấy đối xứng phần đồ thị trên trục hoành qua Ox => ĐTHS | y | =f(x)  Lưu ý - Việc vẽ đồ thị các hàm số trên chỉ để ứng dụng trong các bài toán biện luận số nghiệm của phương trình là chính - Khi làm bài cần chỉ rõ cách vẽ hình Chủ đề 1: Hàm số 8 DẠNG 5 : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài toán 1 : Xác định điều kiện để hàm số y= f(x) có cực trị  Phương pháp: Điều kiện để hàm số có cực trị là : y’ =o có nghiệm y’ đổi dấu qua nghiệm Bài toán 2 : Xác định giá trị m để hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại 0 x x   Phương pháp C1 : - Hàm số đạt cực trị tại 0 x x   y’( 0 x ) =0 => m - Với giá trị của m thay vào hàm số và lập bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên để tìm giá trị thích hợp của m C2 : - Hàm số đạt cực đại tại 0 x x   y’( 0 x ) =0 y” ( 0 x ) < 0 - Hàm số đạt cực tiểu tại 0 x x   y’( 0 x ) =0 y” ( 0 x ) > 0  Lưu ý: 0 x được gọi là điểm cực trị của hàm số 0 y được gọi là giá trị cực trị 0 0 ( ; ) x y được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số Bài toán 3 : Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị  Phương pháp a, Đối với hàm đa thức ( thường là hàm bậc 3) - Chia y cho y’ ta được : y= y’.q(x) + r(x), trong đó r(x) là phần dư Chủ đề 1: Hàm số 9 - Gọi 0 0 ( ; )x y là điểm cực trị của đồ thị hàm số  0 0 '( ). ( ) ( )y y x q x r x  Mà 0 0 '( ) 0 ( )y x y r x   - Do đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là ( ) axy r x b   b, Đối với hàm hữu tỷ ( ) ( ) A x y B x  - Đường thẳng đị qua hai điểm cực trị là : '( ) '( ) cuctri A x y B x  - Bảng cực trị Hàm Một cực trị Hai cực trị Ba cực trị Không cực trị Đa thức bậc 3 0 X 0 X Đa thức bậc 4 X 0 X 0 Hàm hữu tỷ 1/1 0 X 0 0 Hàm hữu tỷ 2/1 0 X 0 X Hàm vô tỷ X X 0 X Hàm hữu tỷ 2/2 0 X 0 X  Ví dụ Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số: ( C1) a) ; b) ; c, . Lời giải a) TXĐ: , xác định với mọi Chủ đề 1: Hàm số 10 BBT Hàm số đạt cực đại tại Hàm số đạt cực tiểu tại b) TXĐ: , xác định với mọi BBT Vậy hàm số đạt cực tiểu tại c) TXĐ: , xác định với mọi BBT Vậy hàm số đạt cực đại tại hàm số đạt cực tiểu tại [...]... ( x) xD xD 16 Chủ đề 1: Hàm số  DẠNG ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ LOẠI HÀM SỐ Hàm bậc 3 : y  ax 3  bx 2  cx  d Hàm bậc 3: y  ax 3  bx 2  cx  d + a>0 + a>0 + Hàm có 2 cực trị + Hàm không có cực trị Hàm bậc 3 : y  ax 3  bx 2  cx  d Hàm bậc 3: y  ax 3  bx 2  cx  d + a . cosα= 1 26 . (ĐS : m ≥ 1 12 hoặc m≤ 11 12  ; và m≥ 2 19 2   hoặc m≤ 2 19 2   Chủ đề 1: Hàm số 6 DẠNG 4 : ĐỒ THỊ HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Bài tập 1: Vẽ đồ thị hàm số y=. Chủ đề 1: Hàm số 1 DẠNG 1 : KHẢO SÁT HÀM SỐ  Các bước tiến hành B1 : Tìm TXĐ của hàm số B2 : Xét sự biến thiên của hàm số a, Tìm giới hạn tại vô cực. + Hàm nghịch biến + Hàm đồng biến + Hàm x y a  + Hàm log a y x  a> ;1 0 <a< ;1 a> ;1 0<a< ;1 Chủ đề 1: Hàm số 20 + Hàm