Chuyên đề khảo sát hàm số và bài toán liên quan

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 LÝ THUYẾT KHẢO SÁT HÀM SỐ I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Định nghĩa: Hàm số f đồng biến K ⇔ ∀x1, x ∈ K , x1 < x ⇒ f (x1 ) < f (x ) Hàm số f nghịch biến K ⇔ ∀x1, x ∈ K , x1 < x ⇒ f (x1 ) > f (x ) Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f đồng biến khoảng I f '(x ) ≥ 0, ∀x ∈ I b) Nếu f nghịch biến khoảng I f '(x ) ≤ 0, ∀x ∈ I Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f '(x ) ≥ 0, ∀x ∈ I ( f '(x ) = số hữu hạn điểm) f đồng biến I b) Nếu f '(x ) ≤ 0, ∀x ∈ I ( f '(x ) = số hữu hạn điểm) f nghịch biến I c) Nếu f '(x ) = f không đổi I Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng f phải liên tục Điều kiện hàm số đồng biến miền xác định Cho hàm số y = f (x , m ) , m tham số, có tập xác định D • Hàm số f đồng biến D ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ D • Hàm số f nghịch biến D ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ D Từ suy điều kiện m Chú ý: ● y ' = xảy số hữu hạn điểm ●Nếu y ' = ax + bx + c thì:  a = b =  c ≥ • y ' ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔  a >  ∆ ≤  a = b =   c ≤ • y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔  a <  ∆ ≤  ●Định lí dấu tam thức bậc hai g(x ) = ax + bx + c : ♣ Nếu ∆ < g (x ) dấu với a b ) 2a ♣ Nếu ∆ > g (x ) có hai nghiệm x1, x khoảng hai nghiệm g (x ) khác dấu với a , khoảng hai nghiệm g (x ) dấu với a ♣ Nếu ∆ = g (x ) dấu với a (trừ x = − ●So sánh nghiệm x1, x tam thức bậc hai g(x ) = ax + bx + c với số 0: ∆ >  ♣ x1 < x2 < ⇔  P >  S <  ∆ >  ♣ < x1 < x ⇔  P >  S >  ♣ x1 < < x ⇔ P < ●Để hàm số y = ax + bx + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2 ) d BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 ta thực bước sau: Bước 1: Tính y ' Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến: a ≠   ∆  > (1) Bước 3: Biến đổi x − x = d thành (x + x ) − 4x 1x = d (2) Bước 4: Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Khái niệm cực trị hàm số Giả sử hàm số f xác định tập D (D ⊂ R) x ∈ D a) x – điểm cực đại f tồn khoảng (a ;b ) ∈ D x ∈ (a;b) cho f (x ) < f (x ), ∀x ∈ (a;b) \ {x 0} Khi f (x ) gọi giá trị cực đại (cực đại) f b) x – điểm cực tiểu f tồn khoảng (a ;b ) ∈ D x ∈ (a;b) cho f (x ) > f (x ), ∀x ∈ (a;b) \ {x 0} Khi f (x ) gọi giá trị cực tiểu (cực tiểu) f c) Nếu x điểm cực trị f điểm (x ; f (x )) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm x đạt cực trị điểm f '(x ) = Chú ý: Hàm số f đạt cực trị điểm mà đạo hàm đạo hàm Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a ;b ) chứa điểm x có đạo hàm (a;b) \ {x 0} a) Nếu f '(x ) đổi dấu từ âm sang dương x qua x f đạt cực tiểu x b) Nếu f '(x ) đổi dấu từ dương sang âm x qua x f đạt cực đại x Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a; b) chứa điểm x , f '(x ) = có đạo hàm cấp hai khác điểm x a) Nếu f ''(x ) < f đạt cực đại x b) Nếu f ''(x ) > f đạt cực tiểu x Quy tắc tìm cực trị Qui tắc 1: Dùng định lí BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 • Tìm f '(x ) • Tìm điểm x i (i = 1, 2, …) mà đạo hàm đạo hàm • Xét dấu f '(x ) Nếu f '(x ) đổi dấu x qua x i hàm số đạt cực trị x i Qui tắc 2: Dùng định lí • Tính f '(x ) • Giải phương trình f '(x ) = tìm nghiệm x i (i = 1, 2, …) • Tính f ''(x ) f ''(xi ) (i = 1, 2, …) Nếu f ''(x i ) < hàm số đạt cực đại x i Nếu f ''(x i ) > hàm số đạt cực tiểu x i III SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ Cho hai đồ thị (C ) : y = f (x ) (C ) : y = g(x ) Để tìm hoành độ giao điểm (C1) (C2) ta giải phương trình: f (x ) = g (x ) (*) (gọi phương trình hoành độ giao điểm) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm hai đồ thị Đồ thị hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) cắt trục hoành điểm phân biệt ⇔ Phương trình ax + bx + cx + d = có nghiệm phân biệt ⇔ Hàm số y = ax + bx + cx + d có cực đại, cực tiểu yCÑ yCT < IV TOÁN TIẾP TUYẾN Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C ) : y = f (x ) điểm M (x ; y ) : • Nếu cho x tìm y0 = f (x ) Nếu cho y0 tìm x nghiệm phương trình f (x ) = y0 • Tính y ' = f '(x ) Suy y '(x ) = f '(x ) • Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y − y0 = f '(x ).(x − x ) Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C ) : y = f (x ) , biết ∆ có hệ số góc k cho trước Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm • Gọi M (x ; y ) tiếp điểm Tính f '(x ) • ∆ có hệ số góc k ⇒ f '(x ) = k (1) • Giải phương trình (1), tìm x tính y0 = f (x ) Từ viết phương trình ∆ Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc • Phương trình đường thẳng ∆ có dạng: y = kx + m • ∆ tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau có nghiệm: f (x ) = kx + m   f '(x ) = k  • Giải hệ (*), tìm m Từ viết phương trình ∆ Chú ý: Hệ số góc k tiếp tuyến ∆ cho gián tiếp sau: + ∆ tạo với chiều dương trục hoành góc α k = tan α + ∆ song song với đường thẳng d : y = ax + b k = a BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN (*) Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 + ∆ vuông góc với đường thẳng d : y = ax + b (a ≠ 0) k = − a k −a = tan α + ka Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C): y = f (x ) , biết ∆ qua điểm A(x A; yA ) Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm • Gọi M (x ; y ) tiếp điểm Khi đó: y0 = f (x ); y '0 f '(x ) + ∆ tạo với đường thẳng d : y = ax + b góc α • Phương trình tiếp tuyến ∆ M : y − y0 = f '(x )(x − x ) • ∆ qua A(x A; yA ) nên: yA = −y = f '(x )(x A − x ) (2) • Giải phương trình (2), tìm x Từ viết phương trình ∆ Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc • Phương trình đường thẳng ∆ qua A(x A; yA ) có hệ số góc k : y − yA = k (x − x A ) • ∆ tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau có nghiệm:  f (x ) = k (x − x ) + y  A A   f '(x ) = k  (*) • Giải hệ (*), tìm x (suy k ) Từ viết phương trình tiếp tuyến ∆ V ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC Điều kiện cần đủ để hai đường (C ) : y = f (x ) (C ) : y = g(x ) tiếp xúc hệ phương trình sau có nghiệm:  f (x ) = g(x )    f '(x ) = g '(x )  Nghiệm hệ (*) hoành độ tiếp điểm hai đường Nếu (C ) : y = px + q (C ) : y = ax + bx + c (*) (C1) (C2) tiếp xúc ⇔ phương trình ax + bx + c = px + q có nghiệm kép VI KHOẢNG CÁCH Khoảng cách hai điểm A, B: AB = (x B − x A )2 + (yB − yA )2 Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = d(M, ∆) = ax + by + c a + b2 VII ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Cách 1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị • Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối • Chia miền xác định thành nhiều khoảng, khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 • Vẽ đồ thị hàm số tương ứng khoảng miền xác định Cách 2: Thực phép biến đổi đồ thị Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f (x ) Đồ thị (C′) hàm số y = f (x ) suy từ đồ thị (C) hàm số y = f(x) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) phía trục hoành + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) phía trục hoành qua trục hoành + Đồ thị (C′) hợp hai phần Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) Đồ thị (C′) hàm số y = f ( x ) suy từ đồ thị (C) hàm số y = f(x) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung + Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung + Đồ thị (C′) hợp hai phần BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 PHẦN I: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ HT Cho hàm số y = (m − 3)x + mx + (3m − 2)x (1) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến tập xác định Giải • Tập xác định: D = R y ′= (m − 3)x + 2mx + 3m − (1) đồng biến R ⇔ y ′≥ 01 ∀x ⇔ (m − 3)x + 2mx + 3m − ≥ 01 ∀x m − = 2m = m >   3m − ≥ m >   ⇔  ⇔ ⇔ m ≤ ⇔ m ≥ −2m + 5m − ≤  m − >    ≥ m   m − (m − 3)(3m − 2) ≤   HT Cho hàm số y = x + 3x − mx − (1) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến khoảng (−∞; 0) Giải • Tập xác định: D = ℝ ; y ' = 3x + 6x − m , (1) đồng biến khoảng (-∞;0) ⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ (-∞;0) ⇔ 3x + 6x − m ≥ ∀x ∈ (-∞;0) x -∞ -1 f’(x) - + x + f(x) -3 ⇔ 3x + 6x ≥ m ∀x ∈ (-∞;0) Xét hàm số f(x) = 3x + 6x − m (-∞;0] +∞ Có f’(x) = 6x + 6; f’(x) = ⇔ x = -1 Từ bảng biến thiên: ⇒ m ≤ −3 HT Cho hàm số y = 2x3 − 3(2m + 3)x + 6m(m + 3)x + có đồ thị (Cm) Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (2; +∞) Giải BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 • Tập xác định: D = ℝ y ' = 6x − 6(2m + 3)x + 6m(m + 3) có ∆ = (2m + 3)2 − 4(m + m ) = > x = m y ' = ⇔  x = m + Ta có: y’ ≥ 0, ∀x (-∞;m) (m + 1; +∞) Do đó: hàm số đồng biến (2; +∞) ⇔ m + ≤ ⇔ m ≤ HT Cho hàm số y = x + (3 − 2m )x + (2 − m )x + m + Tìm m để hàm đồng biến (0;+∞) Giải • Tập xác định: D = ℝ y ′= 3x + 2(3 − 2m )x + (2 − m ) Hàm đồng biến (0; +∞) ⇔ y ′= 3x + 2(3 − 2m )x + (2 − m ) ≥ với ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ f (x ) = Ta có: f ′(x ) = 2(2x + x − 3) (4x + 3)2 3x + 2x + ≥ m với ∀x ∈ (0; +∞) 4x + x = −  = ⇔ 2x + x − = ⇔  x =  2 Lập bảng biến thiên hàm f (x ) (0; +∞) , từ ta đến kết luận: 3 f   ≥ m ⇔ ≥ m   HT Cho hàm số y = x − 2mx − 3m + (1), (m tham số) Tìm m để hàm số (1) đồng biến khoảng (1; 2) Giải • Tập xác định: D = ℝ Ta có y ' = 4x − 4mx = 4x (x − m) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 + m ≤ , y ′≥ 01 ∀x ∈ (3;2) ⇒ m ≤ thoả mãn + m > , y ′= có nghiệm phân biệt: − m 01 m Hàm số (1) đồng biến (1; 2) khi m ≤ ⇔ < m ≤ HT Cho hàm số y = mx + x +m Vậy m ∈ (−∞;3 (1) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) nghịch biến khoảng (−∞;3) Giải • Tập xác định: D = R \ {–m} m2 − y ′= (x + m )2 Hàm số nghịch biến khoảng xác định ⇔ y ′< ⇔ −2 < m < (1) Để hàm số (1) nghịch biến khoảng (−∞;3) ta phải có −m ≥ ⇔ m ≤ −3 (2) Kết hợp (1) (2) ta được: −2 < m ≤ −3  π HT Chứng minh rằng, hàm số y = sin2 x + cos x đồng biến đoạn 0;  nghịch biến  3   π  đoạn  ; π 3    Giải Hàm số cho xác định  0; π  Ta có: y ' = sin x (2 cos x − 3)1 x ∈ (0; π) Vì x ∈ (0; π) ⇒ sin x > nên (0; π) : y ' = ⇔ cos x = π ⇔x =  π + Trên khoảng 0;  : y ' > nên hàm số đồng biến đoạn    π 0;   3   π  + Trên khoảng  ; π : y ' < nên hàm số nghịch biến đoạn   BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN π   ; π 3    Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT Cho hàm số y = x + 3x + mx + m Tìm m để hàm số nghịch biến đoạn có độ dài Giải Hàm số cho xác định ℝ Ta có: y ' = 3x + 6x + m có ∆ ' = − 3m + Nếu m ≥ y’ ≥ 0, ∀x ∈ ℝ , hàm số đồng biến ℝ , m ≥ không thỏa mãn + Nếu m < 3, đó: y’ = có hai nghiệm phân biệt x3 , x (x3 < x ) hàm số nghịch biến đoạn: x 3; x  với độ dài l = x − x   Theo Vi-ét ta có: x + x = −21 x3x = m Hàm số nghịch biến đoạn có độ dài ⇔ l = ⇔ (x − x3 ) = ⇔ (x3 + x )2 − 4x3x = ⇔ − m = ⇔ m = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 PHẦN 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HT Cho hàm số y = x + 31 2y )x + 32 y )x + y + (m tham số) (1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ Giải • Tập xác định: D = ℝ y ′= 3x + 231 − 2y )x + − y = g3x ) YCBT ⇔ phương trình y ′= có hai nghiệm phân biệt x 1, x thỏa mãn: x1 < x <  ′ ∆ = 4y − y − >  ⇔ ⇔ S − y  = ∆ ' = −y − 2y + > −3 < y <    y ⇔ P = ⇔ y < ⇔ y < ⇔ −3 < y < −2 >    33y + 2) y + < y < −2    −3  = > S  y +2 HT 11 Cho hàm số y = x − 3(y + 2) x + 6(5y + 1) x − (4y3 + 2) Tìm y để hàm số đạt cực tiểu x0 ∈ (1;  Giải Vì hàm số bậc nên để hàm số có hai điểm cực trị ⇔ y ' = có nghiệm phân biệt Do hệ số x dương nên đó: xCT > xCD BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 10 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Giải Gọi M (x ; y3 ) điểm cần tìm Khi phương trình sau với m ẩn: y = x 33 − m 3x 32 + 2mx + m − (1) vô nghiệm Ta viết lại: m 3x 32 − m − 2mx + y + − x 33 = (2) vô nghiệm Nếu x ≠ m (2) phương trình bậc Ta biết phương trình bậc có nghiệm Vì để (2) vô nghiệm x = Với x = (2) trở thành: −m + y + = ⇔ m = y + (3) Để (3) vô nghiệm y + < ⇔ y < −1 Vậy tập hợp điểm nửa đường thẳng: x = với y < −1 HT 172 Cho hàm số y = x + 2(m − 1)x + (m − 4m + 1)x − 2(m + 1) Tìm điểm mặt phẳng tọa độ cho đồ thị không qua với m Giải Gọi M (x ; y3 ) điểm cần tìm Khi phương trình sau với m ẩn: y = x 33 + 2(m − 1)x 32 + (m − 4m + 1)x − 2(m + 1) (1) vô nghiệm Viết lại (1) thành: (x − 2)m + 2x (x − 2)m + x 33 − 2x 32 + x − − y = (2) Xét khl sau: Trường hợp 1: x ≠ Khi (2) vô nghiệm khi: ∆ ' = x 32 (x − 2)2 − (x 33 − 2x 32 + x − − y )(x − 2) < ⇔ (x − 2)(x 33 − 2x 32 − x 33 + 2x 32 − x + + y ) < x − <   −x + y + > ⇔ (x − 2)(−x + y + 2) < ⇔  x − >  −x + y + <  BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 108 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT 173 Cho hàm số y = 2x − (C ) Tìm đồ thị (C) hai điểm y, B phân biệt cho ba điểm x −1 y, B, I (3; −1) thẳng hàng đồng thời thỏa mãn: Iy.IB = Giải Do y, B, I (3; −1) thẳng hàng nên y, B nằm đường thẳng ∆ qua I (3; −1) Do y, B thuộc đồ thị hàm số (C) nên y, B giao điểm đồ thị hàm số (C) với đường thẳng ∆ : y = kx − Xét phương trình hoành độ giao điểm (C) ∆ ta có: 2x − = kx − ⇔ kx − (k + 3)x + = (*);(x ≠ 1) x −1 ∆ cắt (C) hai điểm phân biệt y, B ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác k ≠  ⇔ ∆ = k − 2k + > ⇔ k ≠  k − (k + 3) + ≠  Gọi y(x1; y1 ); B(x ; y2 ) y, B thuộc ∆ nên y1 = kx1 − 1; y2 = kx − Ta có: Iy.IB = ⇔ x12 + kx12 x 22 + kx 22 = ⇔ Theo Viet ta có: x 1x = x 1x (k + 1) = 2 thay vào ta được: (k + 1) = ⇔ k = ±1 k k ( ) ( Với k = ta được: y − 2;1 − ; B + 2;1 + ( ) ( ) Với k = −1 ta được: y − 3; −2 + ; B + 3; −2 − ) 2x − (C ) Tìm đồ thị (C ) hai điểm A, B đối xứng qua đường x +1 thẳng MN, biêt M (−3; 3), N (−1; −1) HT 174 Cho hàm số y = Giải Phương trình đường thẳng MN: x + 2y + =   Xét hai điểm A, B đồ thị (C), ta có: y a;2 −    , B b;2 −  , a , b ≠ −1 a + 1  b + 1 a + b 3   trung điểm đoạn AB ;2 − −  a + b + 1 Gọi I  Theo yêu cầu toán ta có: BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 109 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  b − a − + =  yB ⊥ MN  = yB MN    a +1 b +1 ⇔  ⇔  ⇔ ⇔  I ∈ MN I ∈ MN b + a 6  − − = −7   a +1 b +1  a =   b =  a =  b =  Vậy, y(2; 3); B(3; −4) B(2; 3); y(3; −4) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 110 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 CÁC BÀI TỔNG HỢP HT 175 Cho hàm số y = 2x + (C ) Tìm m để đường thẳng d : y = 2x + m cắt đồ thị hai điểm x −2 phân biệt cho tiếp tuyến hai điểm đồ thị hàm số song song với Giải Phương trình hoành độ giao điểm d với đồ thị (C) là: 2x + = 2x + m ⇔ 2x + (m − 6)x − 2m − = 0(1) (x = không nghiệm phương trình) x −2 d cắt (C) hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến song song với ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x thỏa mãn: y '(x ) = y '(x ) hay x + x =  ∆ = (m − 6) + 8(2m + 3) > ⇔ 6 − m ⇔ m = −2  =4  HT 176 Cho hàm số y = x − (2m + 1)x + (m + 2)x + (C m ) Gọi A giao điểm (C m ) với 3 trục tung Tìm m cho tiếp tuyến (C m ) A tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Giải  1 Ta có: A 0;  y ' = 4x − 2(2m + 1)x + m + Suy y '(0) = m +    −1  ; 0 Tiếp tuyến đồ thị A d : y = (m + 2)x + Đường thẳng d cắt Ox B   3m +  Khi đó, diện tích tam giác tạo d với hai trục tọa độ là: 1 −1 S = OAOB = = 2 3m + 18 m +  m = − 13 1  Theo giả thiết ta có: = ⇔ m +2 = ⇔  11 18 m + m = −   BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 111 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT 177 Cho hàm số y = x − 2mx + 2mx − (C ) Tìm m để đồ thị hàm số (C) cắt trục hoành điểm phân biệt A(1; 0), B C cho k1 + k2 = BC k1, k2 hệ số góc tiếp tuyến B, C đồ thị hàm số (C) Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị với Ox : x =   x − 2mx + 2mx − = ⇔ (x − 1) x + (1 − 2m )x + 1 = ⇔    x + (1 − 2m)x + = (*)  Đề đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt phương trình (*) phải có nghiệm phân biệt khác Tức phương trình: x + (1 − 2m)x + = có nghiệm phân biệt khác  m ≤ −    m ≤ − ∆ = 4m − 4m − >   ⇔ ⇔ m ≥ ⇔ 1 + (1 − 2m ) + ≠     m ≥  m ≠  Giả sử B(x1; 0),C (x ; 0) Vì x1, x nghiệm phân biệt phương trình (*) nên theo định lý Viet ta có: x + x = 2m − x 1.x = Ta có: BC = (x − x1 )2 = (x + x )2 − 4x1.x = 4m − 4m − Mặt khác: k1 + k2 = 3x 12 − 4mx + 2m + 3x 22 − 4mx + 2m = 3(x + x )2 − 6x 1x − 4m(x + x ) + 4m = 4m − 4m − Theo giả thiết ta có: k1 + k2 = BC ⇔ 4m − 4m − = 5(4m − 4m − 3) ⇒ 4m − 4m − = Vì 4m − 4m − > m = −1 (t / m ) ⇔ m − m − = ⇔  m = (t / m ) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 112 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 m = −1 KL:  m = HT 178 Cho hàm số y = x − 3x + mx + − m (C m ) Tìm m để (C m ) cắt trục hoành điểm phân biệt A, B,C cho tổng hệ số góc tiếp tuyến (C m ) A, B,C Giải Phương trình hoành độ giao điểm (C m ) với trục hoành là: x = x − 3x + mx + − m = (1) ⇔ (x − 1)(x − 2x + m − 2) = ⇔  x − 2x + m − = (2)  (C m ) cắt trục Ox điểm phân biệt ⇔ (1) có nghiệm phân biệt ⇔ (2) có nghiệm phân biệt   ∆ > 3 − m > ⇔ m < 3(*) ⇔ khác ⇔    f (1) ≠ 0, f (x ) = x − 2x + m − m ≠   x + x = 2 Khi đó, gọi x1, x hai nghiệm (2) Theo Viet ta có:  (**), f '(x ) = 3x − 6x + m x1x = m −  ⇔ −3m = −6 ⇔ m = (thỏa mãn (*)) KL: m = x +3 (C ) Lập phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C) biết tiếp x −1 tuyến cắt hai đường tiệm cận (C) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB 17π , với I giao điểm hai đường tiệm cận Giải  x +   ∈ (C ) tiếp điểm Gọi M x ;  x −  HT 179 Cho hàm số y = Phương trình tiếp tuyến d M y = x0 + x x ( − ) + x0 − (x − 1)2 −4  x +   Tiếp tuyến d cắt với tiệm cận đứng A 1;  x −  Tiếp tuyến d cắt với tiệm cận ngang B (2x − 1;1) Vì tam giác IAB vuông I nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB: R= AB 16 = (x − 1)2 + (x − 1)2 Theo giả thiết ta có: S = 17 π ⇔ R 2π = 17 π ⇔ (x − 1)4 − 17(x − 1)2 + 16 = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 113 GV.Lưu Huy Thưởng x  x ⇔  x x  0968.393.899 y  y =0 ⇒ tiếp tuyến:  =2 y y =3  = −1 HT 180 Cho hàm số y = = −x − = −4x − = −4x + 13 = −x + x +m (m ≠ 1) (1) Gọi k1 hệ số góc tiếp tuyến giao điểm x +1 đồ thị hàm số (1) với trục hoành Gọi k2 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) điểm có hoành độ x = Tìm tất giá trị tham số m cho k1 + k2 đạt giá trị nhỏ Giải Ta có: y ' = 1−m (x + 1)2 Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số (1) với trục hoành x = −m Hệ số góc tiếp tuyến: Tại điểm có hoành độ x = −m k = Tại điểm có hoành độ x = k2 = Ta có: k1 + k2 = 1−m 1−m 1−m 1−m + = + ≥ 1, ∀m ≠ 1−m 1−m Đẳng thức xảy khi: 1−m = 1−m 1 − m = ⇔  ⇔ m − = −  m = −1  m =  Vậy: k1 + k2 đạt giá trị nhỏ m ∈ { − 1; 3} Cho hàm số y = − x + x − (C ) Gọi M điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ x = 3 Tìm giá trị tham số m để tiếp tuyến với (C) M song song với đường thẳng HT 181 d : y = (m − 4)x + 9m + Giải Ta có y(2) = −  4 ⇒ M 2; −  3   Tiếp tuyến ∆ với (C) M có phương trình: y = y '(2)(x − 2) − 4 14 ⇔ y = −3(x − 2) − ⇔ y = −3x + 3 m − = −3   m = ⇔ m = −1 Ta có: ∆ / /d ⇔  9m + 14 ⇔  m ≠  ≠   3 Kết luận: m = −1 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 114 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x +2 (C ) Viết phương trình đường thẳng d1; d2 qua giao điểm I x −1 hai tiệm cận cắt đồ thị (C) điểm phân biệt đỉnh hình chữ nhật biết HT 182 Cho hàm số: y = đường chéo hình chữ nhật có độ dài 30 Giải Do I (1;1) tâm đối xứng đồ thị hàm số Giả sử d1 cắt (C) A, B; d2 cắt (C) Tại C D I trung điểm AB CD Do đó, ACBD hình bình hành Để ACBD hình chữ nhật thỏa mãn đề AB = CD = 30 Gọi d1 đường thẳng qua I có hệ số góc k Phương trình đường thẳng d1 : y = k (x − 1) + ⇔ y = kx − k + Phương trình hoành độ giao điểm d1 (C) là: x +2 = kx − k + x −1 ⇔ kx − 2kx + k − = (1) Để d1 cắt (C) hai điểm phân biệt A(x 1; y1 ), B(x ; y2 ) (1) có nghiệm phân biệt ≠ ⇔ k > x + x =  Áp dụng định lý Viet ta có:  x x = k −  k y + y = y = kx − k + 1 1 Do đó:  ⇒   y2 = kx − k + y1y2 = k 2x1x − k(k − 1)(x1 + x ) + (k − 1)2 = − 3k   Để AB = 30 thì: (x1 − x )2 + (y1 − y2 )2 = 30 ⇔ (x1 + x )2 + (y1 + y2 )2 − 4x 1x − 4y1y2 = 30 Vậy, d1 : 2x − y − = 0; d2 : x − 2y + = ngược lại ⇔ 12k − 30k + 12 = ⇔ k = ∨ k = HT 183 Cho hàm số y = x − mx + m − (1), m tham số Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) M có hoành độ x = −1, cắt đường tròn (C) tâm I (2; 3) bán kính R = theo dây cung AB có độ dài nhỏ Giải Ta có: y '(−1) = − m Phương trình tiếp tuyến M (−1;2m − 2) là: ∆ : y = (3 − m )(x + 1) + 2m − = (3 − m )x + m + ⇔ (3 − m )x − y + m + = Để ∆ ∩ (C ) d(I , ∆) < Nhận thấy dây cung AB nhỏ d(I , ∆) lớn d(I , ∆) = −m (3 − m )2 + Ta có: d(I , ∆) = −m (3 − m )2 + = (3 − m ) + (3 − m )2 + ≤ (3 − m )2 + (3 − m )2 + d(I , ∆) ≤ < R BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 115 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Ta có tiếp tuyến cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt AB ⇔ d (I , ∆) = ⇔ m = Kết luận: m = x +2 (C ) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng 2x − d : y = x + m cắt đồ thị (C) điểm A, B phân biệt cho trọng tâm G tam giác OAB cách HT 184 Cho hàm số y = đường thẳng d khoảng (với O gốc tọa độ) Giải x +2 = x + m ⇔ g(x ) = 2x + 2(m − 1)x − m − = 0, x ≠ 2x − Đường thẳng d cắt (C) A, B phân biệt phương trình g (x ) = có hai nghiệm phân Phương trình hoành độ giao điểm: (m − 1)2 + 2(m + 2) = m + > ∆ ' > ⇔  ∀m ∈ ℝ biệt khác ⇔    ( ) ≠ g + − − − ≠ m m     Gọi x 1, x nghiệm g(x ) = ⇒ A(x1; x1 + m ) B(x ; x + m )  − m + m   ; Điều kiện O ∉ d ⇒ m ≠ ⇒ trọng tâm G    Ta có: d(G, d ) = 1−m 1+m − +m 3 = m = = ⇔  m = −6 m HT 185 Cho hàm số y = x − 3x + (m + 1)x + 1(1) Tìm m để đường thẳng d : y = x + cắt đồ thị hàm số (1) điểm phân biệt P (0;1), M , N cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN với O(0; 0) Giải (C) có hai điểm cực trị A(1;1), B(2; 0) ⇒ AB = Phương trình đường thẳng AB : x + y − = S ∆ABN = d (N , AB ).AB = ⇔ d (N , AB ) = 2 Gọi d đường thẳng qua N d / /AB Phương trình đường thẳng d có dạng: x + y + c = ⇒ d (A, d ) = d (N , AB ) ⇔ c +2 c = = ⇔  ⇒ = − c   N (0; −4)(l ) N (3; 5)  Với N (3;5) giả sử M (x ; y ) Phương trình tiếp tuyến với (C) M là: y = y '(x )(x − x ) + y0 Do tiếp tuyến qua N nên ta có: = (6x 02 − 18x + 12)(3 − x ) + 2x 03 − 9x 02 + 12x − x = 3(loai, vi N ≠ M )  25   Vậy, M  ;  ⇔ (x − 3) (4x − 3) = ⇔  x =  32   BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 116 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 TUYỂN TẬP ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2009 HT 186 (ĐH A – 2009) Cho hàm số y = x +2 (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm 2x + số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB cân gốc tọa độ O Giải Ta có, ∆OAB vuông cân O suy hệ số góc tiếp tuyến ±1 Gọi tọa độ tiếp điểm M (xo ; yo ) , ta có: x = −2  = ± ⇔  (2xo + 3) x = −1 −1 TH1: Với x = −1, y = Phương trình tiếp tuyến y = −x (loại qua gốc tọa độ O nên không tồn ∆OAB ) TH2: x = −2; y0 = Phương trình tiếp tuyến y = −x − 2(t / m ) KL: y = −x − HT 187 (ĐH B – 2009) Cho hàm số: y = 2x − 4x (1) Với giá trị m, phương trình x x − = m có nghiệm thực phân biệt Đ/s: < m < HT 188 (ĐH D – 2009) Cho hàm số y = x − (3m + 2)x + 3m có đồ thị (C m ) với m tham số Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị (C m ) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ Giải Phương trình hoành độ giao điểm (C m ) đường thẳng y = −1; x − (3m + 2)x + 3m = −1 Đặt t = x 2, t ≥ Phương trình trở thành: t − (3m + 2)t + 3m + = ⇔ t = t = 3m + 0 < 3m + < Yêu cầu toán tương đương với:  ⇔ − < m < 1, m ≠ 3m + ≠  HT 189 (ĐH A – 2010) Cho hàm số y = x − 2x + (1 − m)x + m (1), với m tham số thực Tìm m để đồ thị (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ x 1, x 2, x thỏa mãn điều kiện: BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 117 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x 12 + x 22 + x 32 < Giải Phương trình hoành độ giao điểm: x − 2x + (1 − m)x + m = x = ⇔ (x − 1)(x − x − m ) = ⇔  x − x − m = 0(*) Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt phương trình (*) có nghiệm phân biệt, khác Kí hiệu, g (x ) = x − x − m; x1 = 1; x x nghiệm (*) Yêu cầu toán khi: HT 190  ∆  > g (1) ≠  x + x < 3   1 + 4m > ⇔ −m ≠ ⇔ − < m < m ≠  1 + 2m <  (ĐH B – 2010) Cho hàm số y = 2x + (C ) Tìm m để đường thẳng y = −2x + m x +1 cắt đồ thị (C ) hai điểm A B cho tam giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ) Giải Phương trình hoành độ giao điểm: 2x + = −2x + m x +1 ⇔ 2x + = (x + 1)(−2x + m ) (do x = −1 không nghiệm phương trình) ⇔ 2x + (4 − m )x + − m = (1) ∆ = m + > với m, suy đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B với m Gọi A(x1; y2 ), B(x ; y ) x1, x nghiệm (1): y1 = −2x1 + m y2 = −2x + m Ta có: d(O ,AB ) = S ∆OAB HT 191 m AB = (x1 − x )2 + (y1 − y2 )2 = 5(x1 + x )2 − 20x1x = m = AB.d(O ,AB ) = m2 + , suy ra: m m2 + 5(m + 8) = ⇔ m = ±2 (D – 2010) Cho hàm số y = −x − x + (C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x − BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Đ/s: y = −6x + 10 Page 118 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 −x + (C ) Chứng minh với m đường thẳng 2x − y = x + m cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A B Gọi k1, k2 hệ số góc tiếp HT 192 (A – 2011) Cho hàm số y = tuyến với (C ) A B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn Giải Hoành độ giao điểm d : y = x + m (C) nghiệm phương trình: x + m = ⇔ (x + m )(2x − 1) = −x + (vì x = −x + 2x − không nghiệm phương trình) ⇔ 2x + 2mx − m − = (*) ∆ ' = m + 2m + > 0, ∀m Suy d cắt (C) hai điểm phân biệt với m Gọi x1, x nghiệm (*), ta có: k1 + k2 = − (2x − 1)2 − (2x − 1)2 =− 4(x1 + x )2 − 8x 1x − 4(x1 + x ) +  4x x − 2(x + x ) + 1   Theo định lý Viet, suy ra: k1 + k2 = −4m − 8m − = −4(m + 1)2 − ≤ −2 Suy ra: k1 + k2 lớn −2 , m = −1 HT 193 (B – 2011) Cho hàm số y = x − 2(m + 1)x + m (1) (với m tham số) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C cho OA = BC; O gốc tọa độ, A điểm cực trị thuộc trục tung, B C hai điểm cực trị lại Giải y '(x ) = 4x − 4(m + 1)x = 4x (x − m − 1) x = y '(x ) = ⇔  x = m + (1)  Đồ thị hàm số có điểm cực trị (1) có hai nghiệm phân biệt khác ⇔ m > −1 (*) ≥ ) ≥ Khi đó: A(0; m ), B − m + 1; −m − m − ,C ) m + 1; −m − m − Suy ra: OA = BC ⇔ m = 4(m + 1) ⇔ m − 4m − = ⇔ m = ± 2 (thỏa mãn (*)) Vậy giá trị cần tìm: m = ± 2 2x + (C ) Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + cắt đồ thị x +1 (C ) hai điểm phân biệt A, B cho khoảng cách từ A B đến trục hoành HT 194 (D – 2011) Cho hàm số y = Giải Gọi d : y = kx + 2k + 1, suy hoành độ giao điểm d với (C) nghiệm phương trình: kx + 2k + = 2x + ⇔ 2x + = (x + 1)(kx + 2k + 1) x +1 (do x = −1 không nghiệm) ⇔ kx + (3k − 1)x + 2k = (1) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 119 GV.Lưu Huy Thưởng d 0968.393.899 cắt (C) hai điểm phân biệt A, B, (1) có hai nghiệm phân biệt k ≠  k ≠ k ≠    ⇔ ⇔ ⇔ k < − 2 ∆ > k − 6k + >  (*)   k > + 2  Khi đó, A(x1; kx1 + 2k + 1) B(x ; kx + 2k + 1) , x1, x nghiệm (1) d(A,Ox ) = d(B,Ox ) ⇔ kx1 + 2k + = kx + 2k + ⇔ k (x1 + x ) + 4k + = (do x1 ≠ x ) Áp dụng định lý Viet (1), suy ra: (1 − 3k ) + 4k + = ⇔ k = −3 (thỏa mãn (*)) Vậy giá trị cần tìm: k = −3 HT 195 (A,A1 – 2012) Cho hàm số y = x − 2(m + 1)x + m (1) , với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị tạo thành đỉnh tam giác vuông Giải Ta có: y ' = 4x − 4(m + 1)x = 4x (x − m − 1) Đồ thị hàm số có điểm cực trị m + > ⇔ m > −1 (*) ≥ Suy ra: AB = ≥− m + 1; −(m + 1) ) AC = ≥ ) ≥ m + 1; −(m + 1) ) Các điểm cực trị đồ thị hàm số A(0; m ), B − m + 1; −2m − ,C ) m + 1; −2m − Ta có: AB = AC nên tam giác ABC vuông khi: AB.AC = ⇔ (m + 1)4 − (m + 1) = Kết hợp (*), ta m = Đ/s: m = HT 196 (B – 2012) Cho hàm số y = x − 3mx + 3m (1), m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B cho tam giác OAB có diện tích 48 Giải Ta có: y ' = 3x − 6mx ; y ' = ⇔ x = ∨ x = 2m Đồ thị hàm số có điểm cực trị m ≠ ≥ ) ≥ Các điểm cực trị đồ thị hàm số: A 0; 3m ; B 2m; −m ) Suy ra: OA = m d(B,OA) = m S ∆OAB = 48 ⇔ 3m = 48 ⇔ m = ±2(t / m (*)) Đ/s: m = ±2 x − mx − 2(3m − 1)x + (1), m tham số thực Tìm m 3 để hàm số (1) có hai điểm cực trị x1; x cho: x 1x + 2(x1 + x ) = HT 197 (D – 2012) Cho hàm số y = Giải Ta có: y ' = 2x − 2mx − 2(3m − 1) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 120 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị phương trình y ' = có hai nghiệm phân biệt ⇔ 13m − > ⇔ m > 13 13 ∨m ⇔ m ≤ x − 2x , ∀x > Xét: f (x ) = x − 2x với x > Ta có: f '(x ) = 2x − 2; f '(x ) = ⇔ x = Lập bảng biến thiên (nhớ lập nhé) ta giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán: m ≤ −1 Đ/s: m ≤ −1 HT 199 (B – 2013) Cho hàm số y = 2x − 3(m + 1)x + 6mx (1), với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + Giải Ta có: y ' = 6x − 6(m + 1)x + 6m; y ' = ⇔ x = ∨ x = m Điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị m ≠ Ta có: điểm cực trị đồ thị hàm số A(1; 3m − 1); B(m; −m + 3m ) Hệ số góc đường thẳng AB k = −(m − 1)2 Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + k = −1 ⇔ m = ∨ m = Vậy giá trị m cần tìm m = 0; m = HT 200 (D – 2013) Cho hàm số y = 2x − 3mx + (m − 1)x + (1), với m tham số thực Tìm m để đường thẳng y = −x + cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số (1) với đường thẳng y = −x + là: x = 2x − 3mx + (m − 1)x + = −x + ⇔  2x − 3mx + m = (*) Yêu cầu toán ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 121 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 m < 9m − 8m >   ⇔ ⇔  m ≠ m >  Đ/s: m < 0; m > UPDATING……………… BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 122 [...]... để đồ thị hàm số (C) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số (C) tới trục Ox bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (C) tới trục Oy Giải x = y Ta có: y ' = 3x 2 + 63y + 1)x + 3y3y + 2); y ' = 0 ⇔  x = y + 2 Hàm số có cực trị với mọi y Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C) là: A3y; y 3 + 3y 2 + y − 2), B3y + 2; y 3 + 3y 2 + y − 6) Ta có hàm số là hàm bậc... y PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là y = 2x − y 2 + y HT 21 Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + yx + 2 3C y ) Tìm y để 3C y ) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của hàm số cách đều đường thẳng d : x − y − 1 = 0 Giải Ta có : y ' = 3x 2 − 6x + y; y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 6x + y = 0 31) Hàm số 3C y ) có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ y < 3 Giả sử... ≠ 0  HT 17 Cho hàm số y = 1 3 4 x − 3y + 1)x 2 + 3y + 1)3 3C ) Tìm y để các điểm cực trị của hàm số 3 3 (C) nằm về hai phía (phía trong và phía ngồi) của đường tròn có phương trình: x 2 + y 2 − 4x + 3 = 0 Giải Ta có: y ' = x 2 − 23y + 1)x x = 0 y ' = 0 ⇔  x = 23y + 1) 4 y30) = 3y + 1)3 ; y32y + 2) = 0 3 Đề hàm số có cực trị thì y ≠ −1  4  Gọi hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A 0; 3y... - m;-m) và xCD = −2 − y; yCD = 4; xCT = −y; yCT = 0 Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm cực trị là: 3−2 − y + y )2 + 34 − 0)2 = 2 5 ⇒ Điều phải chứng minh HT 44 Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 − yx + 2 (1) với m là tham số thực Định m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân Giải Ta có: y ' = 3x 2 − 6x − y Hàm số có cực... 0968.393.899 HT 13 Cho hàm số y = −x 4 + 2yx 2 − 4 3C y ) Tìm các giá trị của m để tất cả các điểm cực trị của 3C y ) đều nằm trên các trục tọa độ Giải x = 0 Ta có: y ' = −4x 3 + 4yx ; y ' = 0 ⇔  2 x = y Nếu m ≤ 0 ⇒ đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị duy nhất và điểm đó nằm trên trục tung Nếu m > 0 thì đồ thị hàm số khi đó có 3 điểm cực trị Một điểm cực trị nằm trên trục tung và hai điểm cực trị còn... 0968.393.899 ⇔ 3y + 1)2 ≤ 4 ⇔ −3 ≤ y ≤ 1 (2) + Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là −3 ≤ y < −1 − 3 và −1 + 3 < y ≤ 1 HT 27 Cho hàm số y = x 3 + 31 − 2y )x 2 + 32 − y )x + y + 2 , với y là tham số thực Xác định y để hàm số đã cho đạt cực trị tại x 1, x 2 sao cho x1 − x 2 > 1 3 Giải • Tập xác định: D = ℝ Ta có: y ' = 3x 2 + 231 − 2y )x + 32 − y ) Hàm số có CĐ, CT ⇔ y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x... Bảng biến thiên: + 0 - - - 0 + 0 Từ bảng biến thiên và kết hợp với nhận xét trên 1 ⇒ Hàm số đạt cực tiểu tại x0 ∈ (1;2] ⇔ − ≤ y < 0 3 HT 12 Cho hàm số y = 1 4 3 x − yx 2 + (1) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà 2 2 khơng có cực đại Giải • Tập xác định: D = ℝ x = 0 y ′= 2x 3 − 2yx = 2x 3x 2 − y) y ′= 0 ⇔  2 x =y  Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại ⇔ PT y ′= 0... 3t  HT 43 Cho hàm số y = x 3 + 33y + 1)x 2 + 3y3y + 2)x + y 3 + 3y 2 Chứng minh rằng với mọi m BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 28 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 hàm số ln có 2 cực trị và khoảng cách giữa hai điểm này khơng phụ thuộc vào vị trí của m Giải x = −2 − y Ta có: y ' = 3x 2 + 63y + 1)x + 6y3y + 2); y ' = 0 ⇔  x = −y Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-2 - m) và (-m;+∞), nghịch... < 0 ⇔ y < Kết hợp điều kiện ta có: y < 1 2 1 2 HT 18 Cho hàm số y = x 3 − 3yx 2 + 4y 3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x Giải • Tập xác định: D = ℝ x = 0 Ta có: y ′ = 3x 2 − 6yx ; y ′ = 0 ⇔  Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ≠ 0 x = 2y Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) ⇒ AB = 32y;... 3 HT 34 Cho hàm số y = x 3 − 3y − 2)x 2 − 33y − 1)x + 1 31), y là tham số Tìm y > 0 để đồ thị 2 hàm số (1) có giá trị cực đại, cực tiểu lần lượt là yCD , yCT thỏa mãn: 2yCD + yCT = 4 Giải Ta có: y ' = 3x 2 − 33y − 2)x − 33y − 1), ∀x ∈ ℝ x = x = − 1 1 y ' = 0 ⇔ x 2 − 3y − 2)x − y + 1 = 0 ⇔  x = x = y −1 2  Chú ý rằng với y > 0 thì x 1 < x 2 Khi đó hàm số đạt cực đại tại x 1 = −1 và đạt cực tiểu ... trị đồ thị hàm số f Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm x đạt cực trị điểm f '(x ) = Chú ý: Hàm số f đạt cực trị điểm mà đạo hàm đạo hàm Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị... Cho hàm số y = 3y + 2)x + 3x + yx − , m tham số Tìm giá trị m để điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số cho có hoành độ số dương Giải • Các điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số cho có hoành độ số. .. 11 Cho hàm số y = x − 3(y + 2) x + 6(5y + 1) x − (4y3 + 2) Tìm y để hàm số đạt cực tiểu x0 ∈ (1;  Giải Vì hàm số bậc nên để hàm số có hai điểm cực trị ⇔ y ' = có nghiệm phân biệt Do hệ số x dương