Khảo sát hàm số và bài toán liên quan

Dương Phước Sang - 1 - THPT Chu Văn An Phn PhnPhn Phn I II I. KHO SÁT . KHO SÁT . KHO SÁT . KHO SÁT HÀM S HÀM SHÀM S HÀM S VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUANVÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN 1. Hàm số bậc ba, hàm số trùng phương và các vấn đề liên quan a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1 Tập xác định: D = ℝ 2 Tính y ′ 3 Cho 0y ′ = để tìm các nghiệm 0 x (nếu có). 4 Tính hai giới hạn: lim ; lim x x y y →−∞ →+∞ 5 Vẽ bảng biến thiên của hàm số. 6 Nêu sự đồng biến, nghịch biến và cực trị (nếu có) của hàm số. 7 Tìm điểm uốn (đối với hàm số bậc ba). 8 Lập bảng giá trị. 9 Vẽ đồ thị hàm số và nêu nhận xét. 3 2 ( 0) y ax bx cx d a= + + + ≠ Số nghiệm của phương trình 0y ′ = 0a > 0a < 0y ′ = có 2 nghiệm phân biệt 0y ′ = có nghiệm kép 0y ′ = vô nghiệm Đồ thị hàm số bậc ba luôn đối xứng qua điểm uốn www.VNMATH.com  01688559752 dpsang@gmail.com Tài liệu tham khảo - 2 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán 4 2 ( 0) y ax bx c a= + + ≠ Số nghiệm của phương trình 0y ′ = 0a > 0a < 0y ′ = có 3 nghiệm phân biệt 0y ′ = có 1 nghiệm duy nhất Đồ thị hàm số trùng phương luôn đối xứng qua trục tung b) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 1 – biết toạ độ tiếp điểm M 0 ) 1 Chỉ rõ 0 x và 0 y (hoành độ & tung độ của điểm M 0 ) 2 Tính 0 ( )f x ′ 3 Công thức: 0 0 0 ( )( )y y f x x x ′ − = − c) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 2 – biết trước hệ số góc k) 1 Lập luận để có được 0 ( )f x k ′ = (*) 2 Thay 0 ( )y x ′ vào (*) để tìm 0 x 3 Có 0 x , tìm 0 y và dùng công thức 0 0 0 ( )( )y y f x x x ′ − = −  Lưu ý:  Tiếp tuyến song song với y ax b= + có hệ số góc k = a  Tiếp tuyến vuông góc với ( 0)y ax b a= + ≠ có hệ số góc 1 a k = − d) Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị (C ):y = f(x) 1 Đưa phương trình về dạng: ( ) ( )f x BT m= 2 Lập luận: số nghiệm của phương trình đã cho bằng với số giao điểm của đồ thị ( ) : ( )C y f x= và đường thẳng : ( )d y BT m= . 3 Vẽ 2 đường đó lên cùng 1 hệ trục toạ độ và lập bảng kết quả www.VNMATH.com Dương Phước Sang - 3 - THPT Chu Văn An  Lưu ý: nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các giá trị của m để phương trình có đúng 3 nghiệm, 4 nghiệm,… ta không cần lập bảng kết quả như trên mà chỉ cần chỉ rõ các trường hợp thoả đề. e) Sự tương giao giữa đồ thị (C ):y = f(x) và đường thẳng d: y = ax + b 1 Lập phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và d: ( )f x ax b= + (*) 2 Lập luận: số giao điểm của ( )C và d bằng với số nghiệm của (*) 3 Đếm số nghiệm của (*) suy ra số giao điểm của ( )C và d VÍ DỤ MINH HOẠ Bài 1 : Cho hàm số 3 2 6 9 1y x x x= − + + a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại giao điểm của ( )C với trục tung. c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất: 3 2 6 9 0x x x m− + + = Bài giải Câu a: Hàm số 3 2 6 9 1y x x x= − + +  Tập xác định: D = R  Đạo hàm: 2 3 12 9y x x ′ = − +  Cho 2 0 3 12 9 0 1y x x x ′ = ⇔ − + = ⇔ = hoặc 3x =  Giới hạn: lim ; lim x x y y →−∞ →+∞ = −∞ = +∞  Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞;1) và (3;+∞) Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3) Đồ thị hàm số có điểm cực đại (1;5)D , điểm cực tiểu (3;1)T  Cho 6 12. 0 2 3y x y x y ′′ ′′ = − = ⇔ = ⇒ = . Điểm uốn (2;3)I  Bảng biến thiên: (chú ý: do a > 0) x −∞ 1 3 +∞ y ′ + 0 – 0 + y 5 + ∞ – ∞ 1 m BT(m) Số giao điểm… Số nghiệm pt… … … …. …. www.VNMATH.com  01688559752 dpsang@gmail.com Tài liệu tham khảo - 4 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán  Bảng giá trị: x 0 1 2 3 4 y 1 5 3 1 5  Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng qua điểm (2; 3)I như hình vẽ bên đây: Câu b: Cho 0 (0) 1x y= ⇒ = . Giao điểm của ( )C với trục tung là: (0;1)A  (0) 9f ′ =  Phương trình tiếp tuyến của ( )C tại A là: 1 9( 0) 9 1y x y x− = − ⇔ = + Câu c: Ta có, 3 2 3 2 6 9 0 6 9x x x m x x x m− + + = ⇔ − + = − 3 2 6 9 1 1x x x m⇔ − + + = − (*)  Phương trình (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đồ thị ( )C và đường thẳng : 1d y m= − cắt nhau tại 1 điểm duy nhất 1 5 4 1 1 0 m m m m   − > < −   ⇔ ⇔   − < >     Bài 2 : Cho hàm số 2 3 3 2y x x= − a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại các giao điểm của ( )C với trục hoành. c) Biện luận theo a số nghiệm phương trình: 3 2 4 6 3 0x x a− − = Bài giải Câu a: Hàm số 2 3 3 2y x x= −  Tập xác định: D = ℝ  Đạo hàm: 2 6 6y x x ′ = −  Cho 2 0 6 6 0 0y x x x ′ = ⇔ − = ⇔ = hoặc 1x =  Giới hạn: lim ; lim x x y y →−∞ →+∞ = +∞ = −∞  Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1)  Bảng biến thiên: (chú ý: do a < 0) x −∞ 0 1 +∞ y ′ – 0 + 0 – y +∞ 1 0 –∞ www.VNMATH.com Dương Phước Sang - 5 - THPT Chu Văn An Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; 0)−∞ và (1; )+∞ Đồ thị hàm số có điểm cực đại (1;1)D , điểm cực tiểu (0; 0)O  Cho 1 1 2 2 6 12 . 0y x y x y ′′ ′′ = − = ⇔ = ⇒ = . Điểm uốn 1 1 2 2 ( ; )I  Bảng giá trị: x 1 2 − 0 1 2 1 1 2 y 1 0 1 2 1 0  Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng qua điểm 1 1 2 2 ( ; )I như hình vẽ bên đây: Câu b: Cho 2 3 0 3 2 0y x x= ⇔ − = 3 2 0x x  =  ⇔  =   Giao điểm của ( )C với trục hoành là: (0; 0)O và 3 2 ( ; 0)B  Tại (0; 0)O : (0) 0f ′ = , phương trình tiếp tuyến là: 0y =  Tại 3 2 ( ; 0)B : 3 9 2 2 ( )f ′ = − , phương trình tiếp tuyến là: 27 9 3 9 2 2 2 4 0 ( )y x y x− = − − ⇔ = − + Câu c: Ta có, 3 2 2 3 2 3 4 6 3 0 6 4 3 3 2x x a x x a x x− − = ⇔ − = − ⇔ − 3 2 a= − (*)  Số nghiệm phương trình (*) bằng với số giao điểm của đồ thị ( )C và đường thẳng 3 2 :d y a= − , do đó ta có bảng kết quả sau đây: a 3 2 a− Số giao điểm của ( )C và d Số nghiệm của phương trình (*) 2 3 a < − 3 2 1a− > 1 1 2 3 a = − 3 2 1a− = 2 2 2 3 0a− < < 3 2 0 1a< − < 3 3 0a = 3 2 0a− = 2 2 0a > 3 2 0a− < 1 1 www.VNMATH.com  01688559752 dpsang@gmail.com Tài liệu tham khảo - 6 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán Bài 3 : a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số 3 2 3 3 2 x x x y + + = b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 3 2 : y x∆ = c) Tìm toạ độ các giao điểm của ( )C với đường thẳng 3 2 2y x= + Bài giải Câu a: 3 2 3 3 2 x x x y + + =  Tập xác định: D = ℝ  Đạo hàm 2 3 6 3 0, 2 x x y x + + ′ = ≥ ∀ ∈ ℝ do đó hàm số luôn đồng biến trên ℝ và không đạt cực trị.  Giới hạn: lim ; lim x x y y →−∞ →+∞ = −∞ = +∞  Bảng biến thiên:  1 2 3 3 0 1y x x y ′′ = + = ⇔ = − ⇒ = − Điểm uốn 1 2 ( 1; )I − −  Bảng giá trị: x 3 − 2− 1− 0 1 y 9 2 − 1− 1 2 − 0 7 2  Đồ thị hàm số là đường cong đối xứng qua điểm 1 2 ( 1; )I − − Câu b: Tiếp tuyến của ( )C song song với đường thẳng 3 2 : y x∆ = có hệ số góc 3 0 2 ( )k f x ′ = = 2 0 0 3 6 3 2 x x+ + ⇔ = 3 2 2 0 0 0 0 0 3 6 0 2 x x x x  =  ⇔ + = ⇔  = −    Với 0 0x = thì 0 (0) 0y y= = , tiếp tuyến tương ứng là 3 3 2 2 0 ( 0)y x y x− = − ⇔ = (trùng với ∆ ) x −∞ 1− +∞ y ′ + 0 + y +∞ –∞ 1 2 − www.VNMATH.com Dương Phước Sang - 7 - THPT Chu Văn An  Với 0 2x = − thì 0 ( 2) 1y y= − = − , tiếp tuyến tương ứng là 3 3 2 2 1 ( 2) 2y x y x+ = + ⇔ = + (song song với ∆ )  Vậy, tiếp tuyến thoả đề là 3 2 2y x= + Câu c: Hoành độ giao điểm (nếu có) của ( )C và 3 2 2y x= + là nghiệm phương trình 3 2 3 3 2 x x x+ + = 3 2 3 2 3 3 3 4 2 x x x x x+ ⇔ + + = + 3 2 2 1 3 4 0 ( 1)( 4 4) 0 2 x x x x x x x  =  ⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔  = −    7 2 1x y= ⇒ = và 2 1x y= − ⇒ = −  Vậy, ( )C và 3 2 : 2d y x= + cắt nhau tại 2 điểm: ( ) 7 2 1;A và ( 2; 1)B − − Bài 4 : a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số: 4 2 2 3y x x = − − b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C tại điểm trên ( )C có hoành độ x là nghiệm của phương trình ( ) 20f x ′′ = c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có nhiều hơn hai nghiệm: 4 2 2 0x x m− + = Bài giải Câu a:Hàm số 4 2 2 3y x x= − −  Tập xác định: D = ℝ  3 4 4y x x ′ = −  Cho 3 0 4 4 0 0; 1y x x x x ′ = ⇔ − = ⇔ = = ±  Giới hạn: lim ; lim x x y y →−∞ →+∞ = +∞ = +∞  Bảng biến thiên: x –∞ –1 0 1 +∞ y ′ – 0 + 0 – 0 + y +∞ 3 − +∞ –4 –4  Hàm số đồng biến trên các khoảng trên (–1;0), (1;+∞) và nghịch biến trên các khoảng (–∞;–1), (0;1). www.VNMATH.com  01688559752 dpsang@gmail.com Tài liệu tham khảo - 8 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán Đồ thị hàm số có điểm cực đại (0; 3)D − và hai điểm cực tiểu 1 2 ( 1; 4), (1; 4)T T− − −  Bảng giá trị: x 2− –1 0 1 2 y –3 –4 –3 –4 –3  Đồ thị hàm số là đường cong đối xứng qua trục tung như hình vẽ Câu b:Ta có, 2 2 2 12 4 20 12 24 2 2y x x x x ′′ = − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±  Đáp số: 4 2 11y x= − và 4 2 11y x= − − (học sinh tự giải) Câu c:Ta có, 4 2 4 2 2 0 2 3 3x x m x x m− + = ⇔ − − = − − (*)  Phương trình (*) có nhiều hơn 2 nghiệm khi và chỉ khi ( )C và : 3d y m= − − cắt nhau tại nhiều hơn 2 điểm (3 hoặc 4 điểm) 3 3 0 0 1 3 4 1 m m m m m     − − ≤ − ≥   ⇔ ⇔ ⇔ ≤ <     − − > − <       Bài 5 :a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số: 4 2 4 3y x x= − + − b) Dùng đồ thị ( )C biện luận số nghiệm pt sau: 4 2 4 0x x m− + = Hướng dẫn giải và đáp số Câu a: HS tự giải để có được đồ thị: Câu b: Biến đổi phương trình ta được:  4 2 4 2 4 0 4 3 3x x m x x m− + = ⇔ − + − = −  Bảng kết quả số nghiệm của phương trình đã cho m m – 3 Số giao điểm của ( )C và d Số nghiệm của phương trình (*) m > 4 m – 3 > 1 0 0 m = 4 m – 3 = 1 2 2 0 < m < 4 – 3 < m – 3 < 1 4 4 m = 0 m – 3 = – 3 3 3 m < 0 m – 3 < – 3 2 2 www.VNMATH.com Dương Phước Sang - 9 - THPT Chu Văn An BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC BA VÀ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG Bài 6 : Cho hàm số 3 – 3 1y x x= + có đồ thị là ( )C a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. b) Viết pttt với ( )C tại điểm thuộc ( )C có hoành độ bằng 2. c) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9. d) Tìm điều kiện của m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 3 – 3 1 2 0x x m+ + = . Bài 7 : Cho hàm số 3 2 1 3 2 2 2y x x= − + − a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. b) Viết pttt với ( )C song song với đường thẳng d: 9 2 2y x= − + c) Tìm các giá trị của k để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất: 3 2 3 4 0x x k − − − = Bài 8 : Cho hàm số 3 2 2 3 1y x x = + − a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. b) Viết pttt với ( )C tại giao điểm của ( )C với trục hoành. c) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến song song với : 12 1d y x= − d) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: 3 2 2 3 2 0x x m+ + = Bài 9 : Cho hàm số 3 2 1 3 5 3 2 2 y x x= − + − có đồ thị là ( )C a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. b) Viết pttt với ( )C tại điểm trên ( )C có hoành độ x thoả 1y ′′ = c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C và : 2 0d y − = . d) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 3 2 2 9 6 0 x x e e m− + = Bài 10 : Cho hàm số 3 2 1 3 y x x= − a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. b) Viết pttt của ( )C tại điểm trên ( )C có tung độ bằng 0. c) Viết pttt của ( )C song song với đường thẳng 8 3y x= − d) Tìm các giá trị của a để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất: 3 2 3 log 0x x a − − = www.VNMATH.com  01688559752 dpsang@gmail.com Tài liệu tham khảo - 10 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán Bài 11 : Cho hàm số 3 2 2 3 1y x x= − − (*) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. b) Tìm toạ độ giao điểm của ( )C với đường thẳng d: 1y x= − − c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3 2 4 6 1 0x x m− + − = Bài 12 : Cho hàm số 3 2 3 2y x x = − + , m là tham số. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số. b) Viết pttt của ( ) C vuông góc với đường thẳng d: 1 1 3 3 y x= − c) Tìm các giá trị của a đường thẳng 2y ax= + cắt ( ) C tại ba điểm phân biệt. Bài 13 : Cho hàm số 3 2 3 2 y x x= − + − có đồ thị ( ) C a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại điểm A(0; –2) c) Viết pttt của ( ) C biết tiếp tuyến song song với 9 4 4 0x y− − = d) Biện luận theo m số giao điểm của ( ) C và : 2d y mx= − Bài 14 : Cho hàm số 3 4 3 1 y x x= − − , có đồ thị là ( ) C a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số. b) Tìm m để phương trình 3 4 3 1 x x m − − = có đúng 3 nghiệm. c) Viết pttt với ( ) C tại giao điểm của ( ) C với trục hoành. d) Viết pttt với ( ) C biết tiếp tuyến vuông góc với 1 72 :d y x = − Bài 15 : Cho hàm số 3 2 2 6 6 2y x x x= − + − a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C , Ox , 1, 2x x= = Bài 16 : Cho hàm số 2 2 (2 )y x x= − a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. b) Viết pttt với ( )C tại điểm trên ( )C có hoành độ bằng 2− c) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 24. d) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có 4 nghiệm 4 2 2 0x x m− + = www.VNMATH.com [...]... Kho sỏt v v th (C ) ca hm s khi m = 2 c) Gi (H ) l hỡnh phng gii hn bi (C ) v trc honh Tớnh th tớch vt th trũn xoay to ra khi quay (H ) quanh trc honh Dng Phc Sang - 11 - THPT Chu Vn An www.VNMATH.com 01688559752 dpsang@gmail.com 2 Hm s nht bin v cỏc vn liờn quan a) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (c 0, ad cb 0) y= ax + b cx + d { c} 1 Tp xỏc nh: D = \ d 2 Tớnh y = ad cb 2 v khng nh y dng... ) y = (e x ) (cos x sin x ) + e x (cos x sin x ) = 2e x cos x y + 2y + 2y = 2e x cos x + 2e x (cos x sin x ) + 2e x sin x = 0 Vy, vi y = e x sin x thỡ y + 2y + 2y = 0 BI TP V CC VN KHC LIấN QUAN HM S Bi 39 : Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca cỏc hm s sau õy a) f (x ) = 2x 3 3x 2 12x + 10 trờn on [2; 0] b) f (x ) = x 5 5x 4 + 5x 3 + 1 trờn on [1;2] c) f (x ) = x 4 2x 3 + x 2 1 trờn . KHO SÁT . KHO SÁT . KHO SÁT . KHO SÁT HÀM S HÀM SHÀM S HÀM S VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUANVÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN. An BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC BA VÀ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG Bài 6 : Cho hàm số 3 – 3 1y x x= + có đồ thị là ( )C a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm