Chuyên đề Góc, bài toán liên quan Toán lớp 6

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN   CHUYÊN ĐỀ GĨC – BÀI TỐN LIÊN QUAN PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ I NỬA MẶT PHẲNG 1. Hình gồm đường thẳng  a  và một phần mặt phẳng bị chia ra bởi  a  được gọi là một nửa mặt  phẳng bờ  a   Nhận xét: bất kỳ đường thẳng nào nằm trên mặt phẳng cũng là bờ chung của hai nửa mặt phẳng đối  nhau.  y 2. Tia  Oz  nằm giữa hai tia  Ox  và  Oy , nếu tia  Oz  cắt  B đoạn thẳng  AB  tại điểm  M  nằm giữa  A  và  B   ( A  Ox, B  Oy; A  và  B  khác  O )  z  M Nhận xét: Nếu hai tia  Ox  và  Oy  đối nhau thì mọi tia  O Oz  khác  Ox ,  Oy  đều nằm giữa hai tia  Ox ,  Oy    3. Hai điểm  A  và  B  cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ  A x a  thì đoạn thẳng  AB  khơng cắt  a   4. Hai điểm  A  và  C  thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ  a  thì đoạn thẳng  AC  cắt d tại điểm M  nằm giữa  A  và  C   B   A d II - GÓC, SỐ ĐO GÓC CỘNG SỐ ĐO HAI GĨC M  C  1. Góc là hình gồm hai tia chung gốc. Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai tia đối nhau    có hai tai chung gốc là Ox và Oy  xOy tia Ox là tia đối của tia Oy    có                      Góc bẹt  xOy y   y O x   O 2. Mỗi góc có một số đo dương. Số đo của góc bẹt là  180  Số đo của mỗi góc khơng vượt qua    1800   3.So sánh góc.    cùng số đo  A  B A   và  B     số đo     A B A   số đo  B x HSG VÀ TOÁN CHUYÊN   B    số đo   A A   số đo  B 4. Các loại góc:  00   góc nhọn    góc vng  (900 )   góc tù   bẹt  (1800 )   5. Hai góc kề nhau là hai góc có một cạnh chung và hai cạnh cịn lại nằm trên hai nửa mặt phẳng  đối nhau có bờ là cạnh chung.  6. Góc phụ. Góc bù  A  phụ với  B    900   A B A  bù với  B A  B   1800   Hai góc vừa kề vừa bù gọi là hai góc kề bù.  Hai góc kề bù có tổng bằng  1800  và hai cạnh ngồi là hai tia đối nhau     7. Nếu tia  Oy  nằm giữa hai tia  Ox  và  Oz  thì  xOy yOz  xOz    thì  Oy  nằm giữa hai tia  Ox  và  Oz   Ngược lại, nếu  xOy yOz  xOz    thì  Oy  nằm giữa hai tia  Ox, Oz   Nếu  xOy yOz  xOz Nếu tia   Oy  nằm giữa hai tia  Ox  và  Oz ; tia  Ot  nằm giữa hai tia  Oy  và  Oz  thì:     xOz    xOy yOt  tOz 8. Hai góc  AOB  và  AOC  là hai góc kề, tia  OA  là tia đối của  OA     B     A A O    C AOB   AOC  1800  thì tia  OA  nằm giữa hai tia  OB  và  OC  - Nếu     1800  thì tia  OA  nằm giữa hai tia  OB  và  OC   - Nếu   AOB  AOC III VẼ GÓC CHO BIẾT SỐ ĐO 1. Trên nửa mặt phẳng cho trước có bờ chứa tia  Ox , bao giờ cũng vẽ được   và chỉ   tia  Oy  sao  z  cho  xOy  m  (độ).      y O  x     m0 , xOz   n0 ; nếu  m  n  thì tia  Oy  nằm  2.Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứ tia  Ox , có  xOy giữa hai tia  Ox, Oz   CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN   m0 , xOz   n ; xOt   p  Nếu  m  n  thì  3. Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia  Ox , có  xOy Oz  nằm giữa hai tia  Oy  và  Ot     t   z       y O   x IV TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GĨC 1. Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng  nhau  z         y O    x    zOy   xOy 2. Nếu tia  Oz  là tia phân giác của góc  xOy  thì:  xOz    xOy  tia  Oz  là tia phân giác của góc  xOy Nếu tia  Oz  nằm giữa hai tia  Ox, Oy  và  xOz 4. Đường thẳng chứa tia phân giác của một góc gọi là đường phân giác của góc đó. Mỗi góc có một  đường phân giác duy nhất - Ba cạnh:  AB, BC , AC , B ,C  - Ba góc:  A 3. Nếu một đường thẳng khơng đi qua các đỉnh của một tam giác và cắt một cạnh của tam giác ấy  thì nó cắt một và chỉ một trong hai cạnh cịn lại.  B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính số góc tạo thành từ điểm (hoặc từ tia) cho trước * Nếu có n tia chung gốc số góc tạo thành n(n1) góc Giải thích: - Vì tia với tia cịn lại tạo thành góc - Xét tia, tia với n - tia cịn lại tạo thành n - góc - Làm với n tia ta n.(n-1) góc HSG VÀ TỐN CHUN - Nhưng góc tính lần có tất n( n1) góc Bài tập 1: Cho 10 điểm trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Nối các điểm đó với nhau. Hỏi  tất cả có bao nhiêu góc tạo thành (có đỉnh là các điểm đã cho) ?  Hướng dẫn Giả sử có 10 điểm A1, A2,…A10 trong đó khơng có 3 điểm nào thẳng hàng.  * Xét đoạn thẳng A1A2  Nối A1 với 8 điểm cịn lại ta được 8 góc có đỉnh là A1  Nối A2 với 8 điểm cịn lại ta được 8 góc có đỉnh là A2  Vậy với đoạn thẳng A1A2   ta được 16 góc  Mà ở đây có tổng cộng  10.9  45  đoạn thẳng do đó có 45. 16 góc.  Nhưng nếu vậy mỗi góc đã được tính hai lần. Vậy số gúc là  1045.16  360 góc.  Bài tập 2: Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm 2006 tia phân  biệt (khơng trùng với các tia OA;OB;OC;OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc?  Hướng dẫn  Tất cả có 2010 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong 2010 tia đó tạo với 2009 tia cịn lại thành 2009 góc. Có  2010 tia nên tạo thành  2010.2009 góc  Nhưng như thế mỗi góc được tính hai lần .  Vậy có tất cả  2010.2009  = 2 019 045 góc  Bài tập 3: Vẽ hai góc kề bù xOy và zOy. Vẽ tia Om và tia On theo thứ tự là tia phân giác của các  góc xOy và góc zOy. Vẽ tia Om' là tia đối của tia Om. Cần vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt chung  gốc O và khơng trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành tất cả 300 góc.  Hướng dẫn Giả sử cần vẽ thêm n tia phân biệt chung gốc O và khơng trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo  thành tất cả 300 góc.  Khi đó tổng số tia gốc O trên hình là n + 6  Cứ 1 tia gốc O tạo với n + 5 tia gốc O cịn lại thành n + 5  n y góc, mà có n + 6 tia như vậy nên tạo thành:  (n + 5)(n + 6) góc  m Vì tia này tạo với kia  và ngược lại nên mỗi góc được  tính hai lần, suy ra số góc tạo thành là:  O z m' x CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN  n    5 n       góc  Vì có 300 góc được tạo thành nên:   n    5 n       = 300    (n + 5)(n + 6) = 600 = 24.25    n + 5 = 24    n = 19  Bài tập 4: Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox1, Ox2, Ox3, , Oxn sao cho:    2xOx  ;  xOx   3xOx  ;  xOx   4xOx  ;  ;  xOx  n  nxOx   Tìm số n nhỏ nhất để trong  xOx 1 1 các tia đã vẽ có một tia là tia phân giác chung của 2017 góc.  Hướng dẫn   2xOx  ;  Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox1, Ox2, Ox3, , Oxn sao cho:  xOx   3xOx  ;  xOx   4xOx  ;  ;  xOx  n  nxOx   xOx 1   x    xOx 1Ox  x Ox   x n 1Ox n   Vậy khi n nhỏ nhất là n = 2017.2 = 4034 thì lúc đó  Ox 2017  là tia phân giác chung của 2017 góc:   4034  x   xOx 1Ox 4033  x Ox 4032   x 2016 Ox 2018   Bài tập 5: Cho n tia chung gốc O: Ox1,Ox2, , Oxn cùng nằm trong một nửa mặt phẳng bờ chứa tia  Ox1. Có tất cả bao nhiêu góc được tạo thành?  Hướng dẫn Số góc có được từ n tia chung gốc là:  n( n  1)   Bài tập 6: Cho  n  tia chung gốc tạo thành tất cả  190  góc. Tính  n ?  Hướng dẫn n(n 1)  190  được  n  bằng  20   Bài tập 7: a) Cho   tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ? Vì sao?  b) Vậy với  n  tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ.  Hướng dẫn a) Vì mỗi tia với  1 tia cịn lại tạo thành   góc. Xét 1  tia, tia đó cùng với   tia cịn lại tạo thành    góc. Làm như vậy với   tia ta được  5.6  góc. Nhưng mỗi góc đã được tính   lần do đó có tất cả là  5.6  15  góc.   n 1  (góc).  b) Từ câu a suy ra tổng quát. Với  n  tia chung gốc có  n    Dạng 2: Bài tập liên quan tới tính đo góc HSG VÀ TỐN CHUN * Cho biết tia phân giác tính số đo góc * Cho biết số đo góc chứng minh tia phân giác góc * Chứng minh góc nhau, so sánh hai góc * Dựa vào việc tính số đo góc hai góc kề bù, hai tia đối Bài tập 1: Vẽ 2 góc kề bù xƠy và x’ , biết xƠy = 700. Gọi Ot là tia phân giác của xƠy, Ot’ là tia  phân giác của x’Ơy. Tính x’; tƠt’; xƠt’  Hướng dẫn HD: Ta có xƠy và x’ là 2 góc kề bù    xƠy + x’ = 1800    x’= 1800 – 700 = 110 0  y Vì Ot’ là tia phân giác của x’  1   t’Ơx’ = tƠy =  x’ =  1100 = 550  2 t' t Vì Ot là tia phân giác của xƠy    xÔt = tÔy = 700 1 xÔy =  700= 350  2 x x' O Vì Ox và Ox’ đối nhau    Ot và Ot’ nằm giữa Ox và Ox’   xƠt + tƠt’ + t’Ơx’= 1800    tƠt’ = 180 0 – 350 – 550 = 90 0  xƠt’ và t’Ơx’ là 2 góc kề bù    xƠt’ + t’Ơx’ = 180 0    xƠt’ = 1800 – 550 = 1250  Bài tập 2: Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù. Biết góc BOC bằng năm lần góc AOB.  a) Tính số đo mỗi góc.  b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC. Tính số đo góc AOD.  c)* Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB, OD, vẽ thêm n tia phân biệt  (khơng trùng với các tia OA; OB; OC; OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc?  Hướng dẫn a) Vì góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù nên:    +  BOC   =1800  AOB B D   = 5 AOB   nên: 6 AOB   = 1800  mà  BOC Do đó:  A   = 1800 : 6 = 300;  BOC   = 5. 300 = 1500  AOB   =  DOC   = b)Vì OD là tia phân giác của góc BOC nên  BOD  = 750.  BOC   và góc DOC  là hai góc kề bù nên:  DOA   +  DOC   =1800  Vì góc  DOA O C CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN   =1800 -  DOC   =  1800-  750 = 1050  Do đó   DOA c) Tất cả có n + 4 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong n+4 tia đó tạo với n+4 - 1= n+3 tia cịn lại thành n+3  góc. Có n+4 tia nên tạo thành  (n + 4)(n + 3) góc,  nhưng như thế mỗi góc được tính hai lần . Vậy có  tất cả  ( n  4)( n  3) góc  Bài tập 3: Cho hai góc kề bù  xOy  và     620  . Om là tia phân giác của góc  yOz  . Biết  xOy xOy; On là tia phân giác của góc yOz     và  mOy   ;  a/ Tính số đo góc  xOm  b/ Tính số đo các góc  mOz  và     yOn  và  nOz   xOn   Rồi rút ra nhận xét  c/ Tính số đo góc  mOn Hướng dẫn    180  620  1180   yOz  1800   ( kề bù )    yOz  1800  xOy a/ Ta có :  xOy   nên ta có  Vì Om là phân giác của  xOy  620 xOy   xOm  mOy    310   2 m y n Vì On là phân giác của   yOz  nên ta có   yOz 1180   yOn  nOz    590   2 x   và     b/ Vì  xOy yOz  là hai góc kề bù và  Om là phân giác của  xOy yOz  nên tia Oy nằm gữa các tia  On là phân giác của   Om và Oz  ;  Ox và On  ; Om và On  + Oy Nằm giữa Om và Oz  . Ta có     mOz   310  1180  149   mOy yOz  mOz + Oy nằm giữa Ox và On . Ta có     xOn   620  590  1210   xOy yOn  xOn c/ Vì Oy nằm giữa Om và On nên ta có     mOn   310  590  900   mOy yOn  mOn Nhận xét : Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì tạo thành một góc vng  O HSG VÀ TỐN CHUN Bài tập 4: Cho góc   AOB  1100 , tia  OC  nằm trong góc đó. Gọi  OM , ON  theo thứ tự là các tia   ?  phân giác của các góc  AOC , BOC  Tính  MON Hướng dẫn        MOC   CON   AOC  COB  AOC  COB  AOB  110  550   MON 2 2 Bài tập 5: Cho góc   AOB  1000  và  OC  là tia phân giác của góc đó. Trong góc   AOB  vẽ các tia    200  Chứng tỏ rằng tia  OC  là tia phân giác của góc  DOE    OA, OE  sao cho   AOD  BOE Hướng dẫn   COE   300   Chứng tỏ rằng  COD Bài tập 6: Cho góc tù  xOy  Bên trong góc  xOy , vẽ tia  Om  sao cho góc  xOm  bằng  900  và vẽ tia  On  sao cho góc  yOn  bằng  900   a) Chứng minh góc  xOn  bằng góc  yOm   b) Gọi  Ot  là tia phân giác của góc  xOy  Chứng minh  Ot  cũng là  tia phân giác của góc  mOn   Hướng dẫn a) Lập luận được:    mOy   xOy   hay  900  mOy   xOy   xOm    xOy   hay  900  nOx   xOy   xOn  yOn  nOx yOm   b) Lập luận được:     tOy   xOt   xOn   nOt   xOt    tOy yOm  mOt   mOt    nOt  Ot  là tia phân giác của góc  mOn   Bài tập 7: Trên đường thẳng  xx  lấy một điểm  O  Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng  xx   vẽ   tia  Oy , Ot , Oz  sao cho góc  x Oy  40 ; xOt  97 ; xOz  540   a) Chứng minh tia  Ot  nằm giữa hai tia  Oy  và  Oz   b) Chứng minh tia  Ot  là tia phân giác của góc  zOy   Hướng dẫn  CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN   a) Theo đề bài ta có  x Ox  180  mà góc  x Oy  và góc  yOx  kề bù. Mà góc  x Oy  400   góc  yOx  1800  400  1400  Suy ra góc  xOt   góc  xOy  hay tia  Ot  nằm giữa hai tia  Ox  và  Oy  Lại  có: góc  xOz   góc  xOt  hay tia  Oz  nằm giữa hai tia  Ot  và  Ox  Vậy tia  Ot  nằm giữa hai tia  Oz   và  Oy   b) Theo câu a) ta có tia  Ot  nằm giữa hai tia  Oz  và  Oy     Góc  zOt   góc  tOy   góc  zOy   Vì tia  Ot  nằm giữa hai tia  Ox  và  Oy     Góc  xOt   góc  tOy   góc  xOy   Hay góc  tOy  430  (vì góc  xOt  97  và góc  xOy  540 ).  Vì tia  Oz  nằm giữa hai tia  Ox  và  Ot   => Góc  xOz   góc  zOt   góc  xOt   Hay góc  zOt  430  (vì góc  xOt  97  và  xOy  540 )  Suy ra góc  tOy   góc  zOt  430   Vậy tia  Ot  là tia phân giác của góc  zOy   Bài tập 8: Cho tia  Ox  Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là  Ox  Vẽ hai tia  Oy  và  Oz  sao  cho góc  xOy  và  xOz  bằng  1200  Chứng minh rằng:  a) Góc  xOy   góc  xOz     góc  yOz   b) Tia đối của mỗi tia  Ox, Oy, Oz  là phân giác của góc hợp bởi hai tia cịn lại.  Hướng dẫn a) Ta có: góc  x Oy  600 , góc  x Oz  600  và tia  Ox   nằm giữa hai tia  Oy, Oz  nên góc  yOz  yOx  x Oz  1200   Vậy góc  xOy   góc  xOz   góc  yOz   b) Do tia  Ox   nằm giữa hai tia  Oy, Oz  và góc  x Oy   góc  x Oz  nên  Ox   là tia phân giác của góc  hợp bởi hai tia  Oy, Oz  Tương tự tia  Oy   (tia đối của  Oy ) và tia  Oz   (tia đối của tia  Oz ) là phân  giác của góc  xOz  và  xOy   Bài tập 9: Cho góc  AOB  1350 ,  C  là một điểm nằm trong góc  AOB  biết góc  BOC  900   HSG VÀ TỐN CHUN a) Tính góc  AOC   b) Gọi  OD  là tia đối của tia  OC  So sánh hai góc  AOD  và  BOD   Hướng dẫn a) Theo giả thiết  C  nằm trong góc  AOB  nên tia  OC  nằm giữa hai  tia  OB  và  OA     góc  AOC   góc  BOC   góc  AOB     góc  AOC   góc  AOB   góc  BOC   góc  AOC  1350  900  450   b) Vì  OD  là tia đối của tia  OC  nên  C , O, D  thẳng hàng. Do đó góc  DOA   góc  AOC  1800  (hai góc kề bù).    góc  AOD  1800   góc  AOC  1800  450  1350   Góc  BOD  1800  900  900   Vậy góc  AOD   góc  BOD   Bài tập 10: Cho tam giác  ABC  và  BC  5cm  Điểm  M  thuộc tia đối của tia  CB  sao cho  CM  3cm   a) Tính độ dài  BM   b) Cho biết góc  BAM  800 , góc  BAC  600  Tính góc  CAM   c) Vẽ các tia  Ax, Ay  lần lượt là tia phân giác của góc  BAC  và  CAM  Tính góc  xAy   d) Lấy  K  thuộc đoạn thẳng  BM  và  CK  1cm  Tính độ dài  BK   Hướng dẫn a) M , B  thuộc   tia đối nhau  CB  và  CM  C  nằm giữa  B  và  M    BM  BC  CM  8(cm)   b)  C  nằm giữa  B, M   => Tia  AC  nằm giữa tia  AB, AM     BAM   BAC   200    CAM   xAC   CAy   BAC   CAM   ( BAC   CAM  )  BAM   800  400   c) Có  xAy 2 2 d)  - Nếu  K   tia  CM  C  nằm giữa  B  và  K1    BK1  BC  CK1  6(cm)   - Nếu  K   tia  CB  K  nằm giữa  B  và  C    BK  BC  CK  4(cm)   Bài tập 11: Cho góc bẹt xOy, trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 2 cm; trên tia Oy lấy hai điểm  M và B sao cho OM = 1 cm; OB = 4 cm.  10 HSG VÀ TỐN CHUN yOz (theo câu b)  Hai tia Ot, Oy cùng nằm trên mộ nửa mặt  Ta lại có tia Ot là tia phân giác   phẳng có bờ chứa tia Oz (3)  Từ  1 ,   ,  3 suy ra On và Ot nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Oz  Oz nằm  giữa 2 tia  On, Ot nên ta có:    zOt   nOt  hay  nOt   900     350  550  900 Vậy  nOt nOz Bài 114.Cho điểm O nằm ngồi đường thẳng  xy Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa đường    1300 ,  yOt  1000   thẳng  xy, kẻ tia  Oz , Ot sao cho  zOt yOt không ? Tại sao ?  a) Tia  Oz có là phân giác của    , On là tia đối của tia  Ot Tính số đo  mOn   b) Gọi  Om là phân giác của  zOt Lời giải m z y t x O n a) Vì điểm O nằm trên đường thẳng  xy nên hai tia  Ox, Oy là hai tia đối nhau  ,   Nên  xOy yOz là hai góc kề bù   xOy yOz  1800   yOz  500     xOy   yOz 500  1000 nên tia  Oz nằm  Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia  Oy có:     tOz    500 (2)  yOt  zOy giữa tia Oy, Ot (1)  zOy yOt   Từ (1) và (2) suy ra  Oz là phân giác của     zOm   tOm   500  250   b) Vì  Om là phân giác của  zOt  & tOm  là hai góc kề bù  Vì  On là tia đối của tia  Ot Nên  nOm   tOm   1800  nOm   1800  250  1550    nOm 106 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN   900 ,  xOy  1200 Trong góc  xOy, vẽ hai tia  Om, On sao cho  xOm yOn  900   Bài 115.Cho    và   yOm   a) So sánh  xOn   Chứng minh  Ot cũng là tia phân giác của  mOn   b) Vẽ tia  Ot là tia phân giác của  xOy   xOy   Chứng  c) Trên nửa mặt phẳng chứa tia  Oy có bờ chứa tia  Ox, vẽ tia  Oz sao cho  xOz  minh rằng: tOz  xOz yOz   Lời giải y m t n z O x a) Tia Om và On nằm giữa hai tia  Ox, Oy (vì cùng nằm trong góc  xOy )     mOy   xOy   mOy   300  xOm    nOy   xOy   xOn   300    xOn   xOn yOm b) Tia Ot là tia phân giác của   xOy     xOt yOt   xOy  600     xOn    mOt   xOt yOt   yOm  nOt    tiaOt là tia phân giác của  mOn   Tia Oy  xOy  xOz c) Vì hai tia  Oy, Oz thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia  Ox, mà   nằm giữa hai tia  Ox, Oz      xOy   xOz   xOy yOz  xOz yOz   Tia Oy nằm giữa hai tia Oz, Ot  HSG VÀ TOÁN CHUYÊN   1       tOz yOt   yOz  xOy  yOz  xOz  yOz  yOz   2   xOz yOz    Vậy  tOz  xOz yOz   Bài 116.Cho góc bẹt  AOB.Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ AB. Vẽ các tia  OC , OD sao cho     550   AOC  700 , BOD   a) Chứng minh OD là tia phân giác của  BOC  là góc vng,  b) Trên nửa mặt phẳng bờ AB khơng chứa tia  OC, OD vẽ tia OE sao cho  DOE   gọi OK là tia đối của tia OC. Chứng minh rằng OE là tia phân giác của  BOK Lời giải   AOC   AOB 700  1800 nên tia  a) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA có   OC nằm giữa hai tia OA, OB     1100    AOC  COB AOB  COB    COB  50  110 Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OB có  BOD giữa hai tia  OB, OC 0   tia OD nằm  (1)     COD   COB   COD   500  BOD   COD  (2)    BOD   Từ (1) và (2) suy ra OD là tia phân giác của  BOC b)    DOE  55  90 Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OD, có  BOD 0  nên    1000   OD nằm giữa 2 tia OB, OC nên  BOK   1200 , xOz   500 Gọi  Om là tia phân giác của     yOz Tính  xOm Bài 117.Cho  xOy Lời giải *Trường hợp 1: 2 tia  Oy, Oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là  Ox   108 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN m y z x O     500  1200  xOy  nên tia  Oz nằm giữa hai tia  Ox, Oy   xOz   xOz   1200  500  700 yOz  xOy       yOz  350  xOm   350  500  850 zOm *Trường hợp 2: 2 tia  Oy, Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ  Ox   y m x O z   Từ đầu bài ta có  Ox nằm giữa hai tia  Oy, Oz    yOz  1200  500  1700   170  850 zOm   850  500  350 xOm   Bài 118.Cho  hai  tia  Oy, Oz cùng  nằm  trên  một  nửa  mặt  phẳng  có  bờ  chứa  tia  Ox.  Biết    300 , xOz   1200   xOy a) Tính số đo   yOz    ?  b) Tia Om là tia đối của tia  Ox, tính  mOz Lời giải HSG VÀ TỐN CHUN z y O m x a) Tia  Oy nằm giữa hai tia  Ox, Oz     zOx    1200  300  900   Ta có:  zOy yOx , mà   zOx  1200 ,  yOx  300  zOy b) Tia Om là tia đối của tia  Ox     180  zOx  mà  zOx   120  zOm   180  120  60   Ta có:  zOm 0 0 Bài 119.Cho tam giác  ABC có   ABC  55 , trên cạnh AC lấy điểm D sao cho   ABD  30   0 a) Tính độ dài  AC , biết  AD  4cm, CD  3cm     b) Tính số đo của  DBC   90 Tính số đo   ABx   c) Từ B dựng tia  Bx sao cho  DBx d) Trên cạnh AB lấy điểm E (E không trùng với A và B). Chứng minh rằng 2 đoạn thẳng BD  và CE cắt nhau.   Lời giải A E D B C a) D nằm giữa A và C   AC  AD  CD    7cm      b) Tia  BD nằm giữa hai tia  BA, BC  ABC ABD  DBC   DBC ABC   ABD  550  300  250   c) Xét hai trường hợp:  - Trường hợp 1: Tia  Bx và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB   Tính được:   ABx  90   ABD  90  30  60   0 110 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUN - Trường hợp 2: Tia Bx và BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB  Tính được:   ABx  900   ABD  900  300  1200   d) Xét đường thẳng BD  Do BD cắt AC nên đường thẳng BD chia mặt phẳng làm 2 nửa;1 nửa mp có bờ BD chứa  điểm C và nửa mp bờ BD chứa điểm A  tia BA thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A  E thuộc đoạn AB   E thuộc nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A   E , C ở hai nửa mặt phẳng bở BD  Suy ra đường thẳng BD cắt đoạn EC  - Xét đường thẳng CE  Lập luận tương tự ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD  Vậy 2 đoạn thẳng EC và BD cắt nhau.    700 , gọi tia  Ot là tia    1200 , vẽ tia  Oz nằm giữa hai tia  Ox, Oy sao cho  xOz Bài 120.Cho  xOy  , gọi tia  Om là tia đối của tia  Oy Tính số đo góc  mOt   phân giác của  xOz Lời giải z y t x O m     600  xOt   350 , mOt   950   Tính được  mOx   55 Trên các tia  Bx, By lần lượt lấy các điểm  A, C sao cho  A  B, C  B Bài 21.Cho  xBy   Trên đoạn thẳng  AC lấy điểm  D sao cho   ABD  30   a) Tính độ dài AC, biết  AD  4cm, CD  3cm     b) Tính số đo  DBC   90  Tính số đo   ABz   c) Từ  B vẽ tia  Bz sao cho  DBz Lời giải HSG VÀ TOÁN CHUYÊN y C z D B x A z a) Vì D thuộc đoạn AC nên D nằm giữa A và C   AC  AD  CD    7(cm)  AC  7cm   b) Chứng minh tia BD nằm giữa hai tia  BA, BC      Ta có đẳng thức :  ABC ABD  DBC   DBC ABC   ABD  550  300  250   c) Xét hai trường hợp (học sinh vẽ hình trong 2 trường hợp)  - Trường hơp 1:Tia Bz và BA nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là BD  Lập luận tia BA nằm giữa hai tia Bz và BD   Tính được:   ABz  DBz ABD  90  30  60   - 0 Trường hợp 2: Tia  Bz ' và BA nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là BD  Lập luận tia BD nằm giữa hai tia Bz và BA   Tính được:   ABz  DBz ABD  90  30  120   0  sao cho:   Bài 122.Cho góc  xOy có số đo bằng  1200 Điểm A nằm trong góc  xOy AOy  750 Điểm B    1350 Hỏi ba điểm A, O, B có thẳng hàng khơng ? Vì sao ?   mà  BOx nằm ngồi góc  xOy Lời giải 112 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN A x A x y O y O B' B     1200 ,  Vì  xOy AOy  750 ,  điểm A nằm trong góc  xOy nên tia OA nằm giữa hai tia  Ox, Oy     xOy  Ta có:  xOA AOy  1200  750  450   Điểm B có thể ở 2 vị trí: B và B’    xOA   1350  450  1800 Do đó  +Tại B thì tia OB nằm ngồi hai tia  Ox, OA nên  BOx   BOx   xOA   1800  3 điểm A, O, B thẳng hàng.  BOA '  1350  1800  AOB '  xOB '  xOA   1350  450  900 Nên ba điểm A, O,  +Cịn tại B’ thì:  xOB B ' không thẳng hàng.   Vẽ  Bài 123. Cho tia  Oz nằm trong góc vng  xOy Vẽ tia  Ot sao cho  Ox là tia phân giác của  tOz   tia  Om sao cho tia  Oy là phân giác của  zOm a) Chứng minh rằng tia  Om và tia  Ot là hai tia đối nhau    b) Gọi  Ox ' là tia đối của tia  Ox, biết rằng  x ' Om  300 Tính  tOz c) Vẽ thêm  2014 tia phân biệt gốc  O (khơng trùng với các tia  Ox, Oz , Oy , Om, Ox ' và  Ot ) Hỏi trong  hình vẽ có tất cả bao nhiêu góc ?  Lời giải  y z m x' O x t   zOy   xOy   900   a)Tia  Oz nằm trong góc  xOy nên: xOz HSG VÀ TỐN CHUYÊN   tOz  ; zOy   zOm   Theo giả thiết ta có các tia phân giác nên  xOz 2 1 1   zOm   1800   Từ đó suy ra :  tOz  zOm  900  tOz 2  ; zOm  là hai góc kề nhau   tOz   mOx '  300 (cùng kề bù với  mOx )   b) Chứng minh  tOz   xOz   300  tOz   600    tOx c) Giả sử vẽ thêm  n tia phân biệt gốc O không trùng với các tia  Ox, Oy, Oz, Ot Om, Ox ' Tất cả trong  hình vẽ có  n  tia phân biệt  Cứ 1 tia trong  n  tia đó tạo với  n  thi cịn lai thành  n  góc  Có  n  tia tạo thành   n   n   góc, nhưng như thế mỗi góc được tính 2 lần  Vậy có tất cả là   n   n   góc  Thay   2014 ta được số góc là:   2014   2014   :  2039190 (góc)   trong các trường hợp sau:  Bài 124.Cho 2 góc  xOy, xOz , Om là tia phân giác của   yOz  Tính  xOm   1000 ; xOz   600   a) Góc  xOy    ; xOz          b)  xOy Lời giải  m y y z m x O z x O a) Xét 2 trường hợp:  -  Nếu  hai  tia  Oy,  Oz  thuộc  cùng  nửa  mặt  phẳng  có  bờ  Ox thì:     200 , xOm   800   yOz  1000  600  400  zOm -  Nếu  hai  tia  Oy, Oz thuộc  hai  nửa  mặt  phẳng  đối  nhau  có  bờ  Ox  thì:     800 , xOm   200   yOz  1000  600  1600  zOm b) Xét 2 trường hợp  114 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN      - Nếu hai tia  Oy, Oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là  Ox thì ta tính được:  xOm - Nếu hai tia  Oy, Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ  Ox thì:        nếu      1800   xOm   1800      nếu      1800   xOm Bài 125.Cho  tam  giác  ABC có   ACB  600 , AB  6cm Trên  cạnh  AB  lấy  điểm  D(D  khác  A, B), cho  AD  2cm   a) Tính độ dài đoạn thẳng  BD    biết   b) Tính số đo của  DCB ACD  20     900 Tính   c) Dựng tia  Cx sao cho  DCx ACx   d) Trên cạnh AC lấy điểm  E (E khác  A, C )  Chứng minh hai đoạn thẳng  CD  và BE cắt nhau.  Lời giải A A x E E D B C D B C x Trường hợp 1  Trường hợp 2  a) D nằm giữa A và B suy ra  AD  BD  AB  BD    4cm      400   b) Tia CD nằm giữa hai tia  CA, CB   ACD  DCB ACB  DCB c) Xét hai trường hợp:  - Trường hợp 1: Hai tia  CD và  Cx nằm về một phía so với đường thẳng CB  Tính được góc   ACx  900   ACD  700   - Trường hợp 2: Hai tia  CD, Cx nằm về hai phía so với đường thẳng CB  Tính được :   ACx  900   ACD  1100   Xét đường thẳng CD  Do CD cắt AB nên đường thẳng CD chia mặt phẳng làm hai nửa: 1 nửa mặt phẳng có bờ CD chứa  điểm B và nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A  tia CA thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A  HSG VÀ TOÁN CHUYÊN E thuộc đoạn  AC  E thuộc nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A   E và B ở hai nửa mặt phẳng bờ CD  đường thẳng CD cắt đoạn EB   Xét đường thẳng BE  Lập luận tương tự: ta có đường thẳng  EB cắt đoạn CD  Vậy 2 đoạn thẳng EB và CD cắt nhau.    1400 ; và  tia  Oc nằm  giữa  hai  tia  Bài 126.Cho  3  tia  chung  gốc  O : Oa, Ob, Oc sao  cho  aOb  ; Oy là phân giác của  cOb  ; Om là phân giác của  aOb   Oa, Ob Vẽ  Ox là tia phân giác của  aOc   a) Tính số đo  xOy   mOy   b) Chứng minh:  aOx     Lời giải a x c m O y b     xOc   cOy   aOc   cOb   aOb   1400  700   a ) xOy 2   aOb  (1)   :  aOm b) Om là phân giác  aOb  : xOc   aOc   Ox là phân giác của  aOc  : cOy   cOb   Oy là phân giác  cOb      aOc   cOb   aOb  (2)   Do  xOy xOc  cOy 2 Từ (1) và (2) suy ra:    xOy   aOx   xOm   aOm   mOy   xOm  aOm xOy     mOy   aOx   1200 , xOz 1  Tính số đo  mOz   Bài 127.Cho  xOy xOy Kẻ tia  Om là tia phân giác của  xOy Lời giải 116 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN   400   Tính  xOz 2 trường hợp:  a) Trường hợp 1: 2 tia Oy, Oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ  Ox   m y z x O     600   Lý luận để tính  xOm Chứng minh tia  Oz nằm giữa Ox và Oy    200   Tính đúng  zOm a) Trường hợp 2: 2 tia  Oy, Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ox  y m x O z   Chỉ được  Ox nằm giữa Om và Oz    1000   Tính đúng  zOm  , Mt là tia phân  Bài 128.Cho góc AMC =  60 Tia  Mx là tia đối của tia  MA, My là phân giác của  CMx   giác của  xMy a) Tính   AMy   b) Chứng minh  MC  Mt   Lời giải  C y t x M A HSG VÀ TOÁN CHUYÊN a) Tia Mx là tia đối của tia MA ,   AMx là góc bẹt  MC nằm giữa MA và Mx     1800  CMx   1200   Nên   AMC  CMx AMx hay 600  CMx  nên :  My nằm giữa hai tia  MC, Mx   My là tia phân giác của  CMx 1  xMy yMC  xMC  1200  600   2 Tia  Mx là tia đối của tia MA  góc  AMx là góc bẹt nên My nằm giữa MA, Mx  Nên   AMy   yMx   AMx hay  600   yMx  1800   yMx  1800  600  1200   b)Do My là tia phân giác của góc CMx nên Mx và MC nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ  là tia  My Mt là phân giác của   yMx nên Mt nằm trên cùng một nửa mặt phẳng chứa tia My. Vậy Mt  và MC nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia My hay My nằm giữa MC và Mt nên    CMy yMt  CMt (*)    nên:  xMt   tMy  Lại có tia Mt là phân giác của  xMy 1 xMy  60  300 ,   2   600  300  900  MC  Mt   Thay vào (*)  CMt   1100 Trên tia  Ox lấy điểm A sao cho  OA  a cm; điểm B nằm giữa O và A, M  Bài 129.Cho  xOy là trung điểm OB, N là trung điểm của  BA   a) Tính  MN     500 Tính   b) Vẽ  xOz yOz   Lời giải y O M B N A x a) Vì M nằm giữa O và A nên  OB  BA  OA   M là trung điểm của OB nên  MB  MO  N là trung điểm BA nên  NB  NA  OB   BA   Vì  M  là  trung  điểm  OB,  N  là  trung  điểm  BA  nên  B  nằm  giữa  M  và  N  nên  MN  MB  BN  OB BA OA  BA OA a       2 2 b) *Nếu  Oz nằm cùng phía với Oy bờ Ox ta tính được:   yOz  1100  500  600   118 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN      *Nếu  Oz nằm khác phía với Oy bờ Ox ta tính được:   yOz  1100  500  1600   y z y 50 50 O x O x z   Bài 130.Cho nửa mặt phẳng bờ  AB chứa hai tia đối OA và OB  a) Vẽ tia OC tạo với tia  OA một góc bằng  a , vẽ tia  OD  tạo với tia OC một góc bằng   a  10  và  với tia OB một góc   a  20   Tính  a     480   AOx  220 và  BOy b) Tính góc  xOy , biết   AOC bằng  a   c) Gọi OE là tia đối của tia  OD, tính số đo góc kề bù với góc  xOD khi   Lời giải Học sinh tự vẽ hình    COA  ( a  10  a ) nên tia OC nằm  a)Do  OC , OD nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và  COD giữa hai tia OA và OD    DOB   AOC  COD AOB    a   a  10    a  20   1800   0  3a  300  1800  a  500     1800  480  1320   b) Ta có:   AOy  1800  BOy AOx  220   Nên tia  Ox nằm giữa hai tia  OA và Oy     1320  xOy   1100    AOx  xOy AOy  220  xOy c) Vì tia  OC nằm giữa hai tia  OA, OD  nên:    AOC  COD AOD   AOD  a   a  10   2a  100  2.500  100  1100   AOx   AOD  220  1100  nên tia  Ox nằm giữa hai tia  OA, OD   Vì      1100  xOD   1100  220  880    AOx  xOD AOD  220  xOD  có số đo là:  1800  880  920   Vậy số đo góc kề bù với góc  xOD   550 Trên các tia  Bx, By lần lượt lấy các điểm  A, C  A  B , C  B  Trên đoạn  Bài 131.Cho  xBy ABD  300   thẳng AC lấy điểm D sao cho   a) Tính độ dài  AC , biết  AD  4cm, CD  3cm   HSG VÀ TOÁN CHUYÊN   b) Tính số đo  DBC   900 Tính số đo   ABz   c) Từ B vẽ tia  Bz sao cho  DBz Lời giải A z x D B C y z' a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C   AC  AD  CD    7cm   b) Chứng minh tia BD nằm giữa hai tia BA và BC ta có đẳng thức     DBC  ABC   ABD  DBC ABC   ABD  550  300  600   c) Xét hai trường hợp:  - Trường hơp 1: Tia Bz và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là  AB nên tia BA nằm giữa hai  tia  Bz , BD   - Tính được:   ABz  900   ABD  900  300  1200   HẾT           120 ... Vậy khi điểm M trùng với điểm B thì BN có độ dài lớn nhất.        18 M B CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN PHẦN II.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI HSG VÀ TOÁN CHUYÊN Bài  và    ;  On là tia phân giác của   Cho  xOy...  =1800  Vì góc  DOA O C CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN   =1800? ?-? ? DOC   =  180 0-? ? 750 = 1050  Do đó   DOA c) Tất cả có n + 4 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong n+4 tia đó tạo với n+4? ?-? ?1= n+3 tia cịn lại thành n+3 ... tạo thành góc - Xét tia, tia với n - tia cịn lại tạo thành n - góc - Làm với n tia ta n.(n-1) góc HSG VÀ TỐN CHUN - Nhưng góc tính lần có tất n( n1) góc Bài tập 1: Cho 10 điểm trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Nối các điểm đó với nhau. Hỏi