Tổng hợp 453 bài toán Số học trong đề thi HSG Toán lớp 6

CHUYÊN ĐỀ TỔNG HỢP 453 BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG ĐỀ THI HSG Câu (ĐỀ HSG SỐ D - 11) a.Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau:        2100 ;  71991    b.Tìm bốn chữ số tận cùng của số sau:              51992   Lời giải a.Tìm hai số tận cùng của 2 100.  210  = 1024, bình phương của hai số  có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76, có số tận  cùng bằng 76 nâng lên lũy thừa nào( khác 0) cũng tận cùng bằng 76.   Do đó:  2100 = (210)10= 1024 = (10242)5 = (…76)5 = …76.  Vậy hai chữ số tận cùng của 2 100 là 76.  * Tìm hai chữ số tận cùng của 71991.   Ta thấy: 7 4=2401, số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào cũng tận cùng bằng 01.  Do đó:  71991 = 71988. 7 3= (7 4)497. 343 = (…01)497. 343 = (…01) x 343 =…43  Vậy  7 1991 có hai số tận cùng là 43.  Câu (ĐỀ HSG SỐ D - 12) 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau:       a)  571999                                   b) 931999  2. Cho A= 9999931999 - 5555571997. Chứng minh rằng A chia hết cho 5.  3. Cho số  155 * 710 * *16   có 12 chữ số . chứng minh rằng nếu thay các dấu * bởi các  chữ số khác nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cách tuỳ  thì số đó ln chia hết cho 396.  Lời giải 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: (  )  Để tìm chữ số tận cùng của các số chỉ cần xét chữ số tận cùng của từng số :  a) 571999 ta xét  71999  Ta có: 71999 = (74)499.73 = 2041499. 343 Suy ra chữ số tận cùng bằng 3     ỵVậy  số 571999 có chữ số tận cùng là : 3  b) 931999 ta xét 31999  Ta có: 31999 = (34)499. 33 = 81499.27  Suy ra chữ số tận cùng bằng 7                                                                    2. Cho A = 999993 1999 - 5555571997 . chứng minh rằng A chia hết cho 5   Để chứng minh A chia hết cho 5 , ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận  cùng của từng số hạng.  Theo câu 1b ta có: 9999931999 có chữ số tận cùng là 7  Tương tự câu 1a ta có: (74)499.7 =2041 499.7 có chữ số tận cùng là 7    Vậy A có chữ số tận cùng là 0, do đó A chia hết cho 5.                       4.Ta nhận  thấy ,  vị trí của các chữ số thay thế ba dấu sao trong  số trên  ĐỀ  HSG 6u  ở  hàng  chẵn  và  vì  ba  chữ  số  đó  đơi  một  khác  nhau,  lấy  từ  tập  hợp  1;2;3   nên  tổng  của  chúng luôn  bằng 1+2+3=6.  Mặt khác 396 =  4.9.11  trong đó  4;9;11 đơi một ngun tố cùng  nhau nên ta cần chứng  minh   A =  155 * 710 * *16   chia hết cho 4 ; 9 và 11.  Thật vậy :  +A    4 vì số tạo bởi hai chữ số tận cùng của A là 16 chia hết cho 4        + A    9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9 :  1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*)=30+6=36 chia hết cho 9                            + A    11 vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là 0, chia  hết cho 11.  {1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)}= 18-12-6=0                                        Vậy A    396  Câu (ĐỀ HSG SỐ D - 13) Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng:  1+ 2+ 3+ …….+ n   =   aaa   Lời giải Từ  1; 2; ………; n  có n số hạng  (n  1).n Suy ra 1 +2 +…+ n =         Mà theo bài ra ta có 1 +2 +3+… +n  =  aaa   (n  1).n  =  aaa   = a . 111 = a . 3.37   Suy ra   Suy ra: n (n+1) = 2.3.37.a  Vì tích n(n+1) Chia hết cho số ngun tố 37 nên n hoặc n+1 Chia hết cho 37  (n  1).n Vì số    có 3 chữ số Suy ra n+1  5 nên p có dạng:     + p = 3k +1    p – 1 = 3k + 1 – 1  = 3k     3   > p4 – 1    3       + p = 3k + 2  >  p + 1  = 3k + 2 + 1  = 3k +3    3   >  p 4  -1    3     - Mặt khác, p có thể là dạng:  + P =  5k +1    p – 1  = 5k + 1  - 1  = 5k      5    > p4   - 1      5  + p = 5 k+ 2    p2 + 1 = (5k +2)2  +1  = 25k2  + 20k +5    5    p4   - 1    5    + p = 5k +3    p2 +1 = 25k2 + 30k +10    > p 4 –1    5  + p = 5k +4  p + 1 = 5k +5    5  > p4 – 1    5    Vậy p 4 – 1    8 . 2. 3 . 5 hay p 4 – 1    240  Tương tự ta cũng có q4  - 1    240   Vậy: (p 4 - 1) – (q4 –1)  = p4 – q4      240  Câu 15 (ĐỀ HSG SỐ D - 18) Tìm số tự nhiên n để phân bố   A  8n  193 4n  a. Có giá trị là số tự nhiên  b. Là phân số tối giản  c. Với giá trị nào của n trong khoảng từ 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được.  Lời giải 8n  193 2(4n  3)  187 187    2  4n  4n  4n  Để A   N thì 187    4n + 3 => 4n +3       17;11;187     A + 4n + 3 = 11     n = 2   + 4n +3 = 187    n = 46  + 4n + 3 = 17   4n = 14 -> khơng có n  N     Vậy n = 2; 46  b.A là tối giản khi 187 và 4n + 3 có UCLN bằng 1  -> n   11k + 2 (k    N)  -> n   17m + 12 (m    N)    77 c)   n = 156   A  ;  19 89       n = 165   A      39 139       n = 167   A      61 Câu 16 (ĐỀ HSG SỐ D - 19)   Cho   A = 4 + 22 + 23  + 24 + … + 220  Hỏi A có chia hết cho 128 khơng?  Lời giải  2A – A  = 2 21   2 7   A 128  Câu 17 (ĐỀ HSG SỐ D - 19) a, Cho A = 3 + 3 2 + 33 + …+ 32009  Tìm số tự nhiên n   biết rằng 2A + 3 = 3n  b, Tìm số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 5 và 9 biết rằng chữ số hàng chục bằng trung  bình cộng của hai chữ số kia  Lời giải a, Tìm được    n = 2010  b, Gọi số phải tìm là  abc   theo bài ra ta có  a + b + c  9  và   2b = a + c   nên 3b  9    b  3  vậy b   0;3;6;9  abc  5   c 0;5  Xét số  abo  ta được số 630  Xét số  ab5  ta được số 135 ; 765  Câu 18 (ĐỀ HSG SỐ D - 19) Cho p và p + 4 là các số ngun tố( p > 3) . Chứng minh rằng p + 8 là hợp số   Lời giải P có dạng 3k + 1; 3k + 2      kN  Dạng p = 3k + 2 thì p + 4 là hợp số trái với ĐỀ HSG 6 bài    p = 3k + 1     p + 8 = 3k + 9  3     p + 8 là hợp số  Câu 19 (ĐỀ HSG SỐ D - 19)   Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 84 ,ƯCLN của chúng bằng 6 Lời giải Gọi 2 số phải tìm là a và b ( a  b) ta có (a,b) = 1 nên a = 6a’   b= 6b’  trong đó (a’,b ’) = 1    ( a,b,a’,b’ N)    a’ + b’ = 14  a’  1  3  5  ’ 13  11  9  a  A  6  18  30  B  78  66  54    Câu 20 (ĐỀ HSG SỐ D - 20) Thay (*) bằng các số thích hợp để:     a) 510* ; 61*16 chia hết cho 3.  b) 261* chia hết cho 2 và chia 3 dư 1  Lời giải a) Để 510* ; 61*16 chia hết cho 3 thì:    5 + 1 + 0 + * chia hết cho 3; từ đó tìm được * = 0; 3; 6; 9      b) Để 261* chia hết cho 2 và chia 3 dư 1 thì:   * chẵn và 2 + 6 + 1 + * chia 3 dư 1; từ đó tìm được * =  4  Câu 21 (Đề thi HSG 6) Tìm các cặp số (a,b) sao cho :      4a5b 45     Lời giải *b = 0   9 + a    9   a = 0  *b = 5   14 + a   9    a = 4    Câu 22 (Đề thi HSG 6) Dùng 3 chữ số 3; 0; 8 để ghép thành những số có 3 chữ số:  a. Chia hết cho 2.  b. Chia hết cho 5.  c. Khơng chia hết cho cả 2 và 5.  Lời giải a. 308;  380;  830.    b. 380;      c. 803.  830.        Câu 23 (Đề thi HSG 6) Tìm hai chữ số tận cùng của 2 100.  Lời giải Ta có:  210  = 1024      210 =  210 10        = 102410 =  1024        = ( 76)5 =   76           Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76.  Câu 24 (Đề thi HSG 6) Chứng minh rằng:  C   22  23   2100  chia hết cho 31.  Lời giải C   22  23   299  2100   =  2(2  22  23  )  26 (2  2  23  24 )   296 (2  2  23  24 )   =  2.31  26.31   296.31  31(2  26   296 )    Vậy C chia hết cho 31.  Câu 25 (Đề thi HSG 6)  Một số chia hết cho 4 dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13. Hỏi số đó chia cho1292  dư bao nhiêu.  Lời giải Gọi số cần tìm là A:   A  4q1   17q   19q3  13 (q1 , q , q3  N)      A  25  4(q1  7)  17(q  2)  19(q  2)     A + 25 chia hết cho 4; 17; 19    A + 25 =1292k    A = 1292k – 25 = 1292(k + 1) + 1267  khi chia A cho 1292 dư 1267.    Câu 26 (Đề thi HSG 6)  Cho ba con đường a1, a2, a3 đi từ A đến B, hai con đường b 1, b2 đi từ B đến C và ba con  đường c1, c2, c3, đi từ C đến D (hình vẽ).          A  a1  a2  a3  b1  B  C  b2  c1  c2  D  c3  Viết tập hợp M các con đường đi từ A dến D lần lượt qua B và C.    Lời giải Nếu đi từ A đến D bằng con đường a1 :  a1 b1 c1;   a1 b1 c2;   a1 b 1 c3;   a1 b2 c1;   a1 b2 c2;   a1 b2 c3;  Đi từ A đến D bằng con đường a2:  a2 b1 c1;   a2 b1 c2;   a2 b 1 c3;   a2 b2 c1;   a2 b2 c2;   a2 b2 c3;   Đi từ A đến D bằng con đường a3:  a3 b1 c1;   a3 b1 c2;   a3 b 1 c3;   a3 b2 c1;   a3 b2 c2;   a3 b2 c3;  Vậy tập hợp M:  M = { a1 b1 c1;   a1 b1 c2;   a1 b 1 c3;   a1 b2 c1;   a1 b2 c2;   a1 b2 c3; a2 b1 c1;     a2 b1 c2;   a2 b1 c3;   a2 b2 c1;   a2 b2 c2;   a2 b2 c3; a3 b1 c1;   a3 b1 c2;     a3 b1 c3;   a3 b2 c1;   a3 b2 c2;   a3 b2 c3;}.  Câu 27 (Đề thi HSG 6) Cho 1 số có 4 chữ số:     *26*  Điền các chữ số thích hợp vào dấu (*) để được số có 4 chữ  số khác nhau chia hết cho tất cả 4số : 2; 3 ; 5 ; 9.  Lời giải Để số có 4  chử  số *26* , 4chữ số khác  nhau mà 4 chữ số  *26*  chia  hết cho cả 4  số 2;  5;3;9. Ta cần thoả mãn : Số đó đảm bảo chia hết cho 2 nên số đó là số chẳn.  Số đó chia hết cho 5 nên số đó phải có chữ số tận cùng là số 0 hoặc 5. Số đó vừa chia hết  cho 3 và 9. Nên số đó phải có tổng các chữ số chia hết cho 9.  Vậy : Chữ số tận cùng của số đó là 0   *260  Chữ số đầu là số 1.  Do đó số đã cho là 1260.  Câu 28 (Đề thi HSG 6) Tìm số tự nhiên n sao cho :    1! +2! +3! + +n!. là số chính phương?  Lời giải Tìm số tự nhiên n  . Mà 1! +2!+3! + +n! là bình phương của một số tự nhiên.   Xét : n = 1     1! = 12           n = 2       1! +2! = 3           n=3         1! + 2! + 3! = 9 =3 2           n = 4      1!+ 2! +3! + 4! =33  Với n >4 thì  n! = 1.2.3 .n là mội số chẳn .Nên 1!+2!+ +n! =33 cộng  với một số  chẳn bằng  số có chữ số tận cùng của tổng đó là chữ số 3. Nên nó khơng phải là số chính  phương.  Vậy chỉ  có hai giá trị n=1 hoặc n=3 thì 1! +2! + 3! +4! + .+n! là số chính phương.  Câu 29 (Đề thi HSG 6) Tìm số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất sao cho:  a b 12 c  ;   ;      b c 21 d 11 Lời giải b)Để  261* chia hết cho 2 và chia cho 3 dư 1 thì  * chẵn và     * chia 3 dư 1, từ  đó tìm được  *    Câu 412 (NGA SƠN, 2018-2019) Một số chia cho 7 dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư 7. Hỏi số đó chia cho    2737 dư bao nhiêu ?  Lời giải Gọi số đã cho là  A Theo bài ra ta có:  A  7.a   17.b  12  32.c    Mặt khác  A  39  7.a   39  17b  12  39  23c   39     a    17  b  3  23  c     Như vậy  A  39 đồng thời chia hết cho  7,17 và 23.  Nhưng  7,17 và 23 đôi một nguyên tố cùng nhau nên   A  39  7.17.23 nên   A  39 2737   Suy ra  A  39  2737k  A  2737k  39  2737  k  1  2698   Do  2698  2737 nên  2698 là số dư của phép chia  A cho  2737   Vậy M là số chính phương.  Câu 413 ( LÝ NHÂN, 2018-2019) 1414 a)Tìm chữ số tận cùng của số  P  14  99  23   b)Tìm ba số ngun dương biết rằng tổng của ba số ấy bằng nửa tích của chúng  Lời giải 1414 a) P  14  99  23   14 Chữ số tận cùng của 1414 là    99 Chữ số tận cùng của   là    Chữ số tận cùng của  23 là    Chữ số tận cùng của  P là chữ số tận cùng của tổng      là 7  b)Gọi 3 số ngun dương cần tìm là  a, b, c   Ta có:  a  b  c  abc   Giả sử  a  b  c thì  a  b  c  3c , do đó:  Có các trường hợp sau:  abc  3c  ab    *) ab   c  3,5 (loại)  *) ab   a  1, b  5, c  4( ktm)    a  1, b  4, c  5(tm)   a 2, b 2, c 4( tm )     *) ab    *) ab  2(ktm)   *) ab   a  1, b  3, c  8(tm)   *)ab   (ktm)   Vậy bộ ba số cần tìm 1,4,5 hoặc  2,2,4 boặc1,3,8   Câu 414 (THẠCH THÀNH, 2018-2019)    Tìm các số tự nhiên  a, b  thỏa mãn:  100a  3b  1  10a  b  225   a Lời giải   Ta có:  100a  3b  1  10a  b  225 a 100 a  3b  Vì 225 lẻ nên   a   10a  b cùng lẻ   (1)   (2)  *) Với  a  :   1  100.0  3b  1  20  10.0  b   225   3b  11  b   225  32.52   Vì  3b  chia cho 3 dư 1 và  3b    b nên  3b   25  b  8  1  b   3b  11  b   25.9   *)Với  a là số tự nhiên khác 0: Khi đó 100a chẵn, từ     3b  lẻ  b chẵn   2a  10a  b chẵn, trái với (2) nên  b   Vậy  a  0; b    Câu 415 ( LÝ NHÂN, 2018-2019) Cho các số nguyên dương  a, b, c, d thỏa mãn  ab  cd Chứng minh rằng  A  a n  bn  c n  d n là một hợp số với mọi số tự nhiên  n   Lời giải Giả sử  t   a, c  Đặt  a  a1t ; c  c1t với   a1 , c1     ab  cd  a1bt  c1dt  a1b  c1d   Mà   a1 , c1    b c1 , đặt  b  c1k , do đó:  d  a1k   Ta có:   A  a1n t n  c1n k n  c1n t n  a1n k n A   a1n  c1n  k n  t n    Vì  a1 , c1 , t1 , k nguyên dương nên  A là hợp số.  Câu 416 ( NGỌC LẶC, 2018-2019)  Cho ba chữ số  a, b, c với   a  b  c   a)Viết tập hợp  A các chữ số có ba chữ số, mỗi số gồm cả ba chữ số trên  b)Biết rằng tổng hai chữ số nhỏ nhất trong tập hợp  A bằng  499   Tìm tổng các chữ số  a  b  c   Lời giải   Tập hợp  A  abc; acb; bac; bca; cab; cba   b)Hai số lớn nhất trong tập A là  cab, cba  Ta có:  abc  acb  499    200a  11b  11c  499 *   Nếu  a  thì vế trái của   * lớn hơn 499, vơ lý, do đó  a  1;2   Với  a   c  b  499 :11không là số tự nhiên  Với  a   c  b  99 :11  Vậy  a  b  c  11   Câu 417 (HSG6 LƯƠNG TÀI , 2015-2016 )  Chứng tỏ rằng;   100 a)  19990    b)Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4  ĐÁP ÁN  100 a)Ta có 3 là lẻ nên  là lẻ, 19 lẻ nên 19 990  100 lẻ nên   19990    b)Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là  a;  a  1 ;  a   ;  a  3 a      Ta có :  a   a  1   a     a  3  4a    Vì  4a 4;6 không chia hết cho 4 nên  a  không chia hết cho 4.  Câu 418 (HSG 2019-2020 )   Chứng minh rằng phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên  n : Lời giải Gọi  d  UCLN  2n  3, n  1   n 1   2n   2n  3 d ; n  1 d   n  1 d    2n    n  1d  1 d  d   UCLN  2n  3; n  1    Hay  n 1 là phân số tối giản với mọi số tự nhiên  n   2n  Câu 419 ( NGỌC LẶC, 2018-2019)  7n2  n n là số tự nhiên với  n thì các phân số  và  là  Chứng tỏ rằng nếu phân số  các phân số tối giản.  Lời giải 7n  Vì phân số  là số tự nhiên vơi mọi  n    7n  1  n lẻ và không chia hết  n n cho 3  ; là các phân số tối giản  Câu 420 (HSG6 LƯƠNG TÀI , 2015-2016 )  Tìm tất cả các số ngun  n để:  a)Phân số  n 1 có giá trị là một số ngun  n2 b)Phân số  12n  là phân số tối giản  30n  ĐÁP ÁN  a) n 1 là số nguyên khi   n  1 n     n2 Ta có:  n    n    , vậy   n  1 n   khi  3  n      n   U (3)  3; 1;1;3  n  1;1;3;5   b)Gọi  d là ƯC của 12n  và  30n   d   *  12n  1 d ,30n  2 d   512n  1   30n  2  d   60n   60n  4 d  1 d mà  d  *  d    Vậy phân số đã cho tối giản  Câu 421 ( BẠCH LIÊU, 2018-2019)  Cho  A  2n    n 1 a)Tìm  n là số nguyên sao cho giá trị A cũng là một số nguyên  b)Chứng minh rằng với mọi n là số nguyên dương thì A là một phân số tối giản  Lời giải a) A     n 1 A      n  1 U (1)  1  n  0; 2   n 1 b)Gọi  d  UCLN  2n  3, n  1   Ta có:  2n  3 d , n  1 d   2n  3   n  1d  1d  d  1  Vậy A là phân số tối giản  Câu 422 (THẠCH THÀNH, 2018-2019)  Tìm số ngun  n để phân số  4n  có giá trị là một số ngun  2n  Lời giải   Ta có:  4n  4n   7    n 2n  2n  2n  Vì  n nên để  4n  nguyên thì   2n  1 U (7)  1; 7  n  3;0;1;4   2n  Câu 423 (ĐỒNG THÁP, 2018-2019)  Tìm hai số tự nhiên a, b biết:  BCNN ( a, b )  420;UCLN ( a, b)  21 và  a  21  b   Lời giải  a  21m ,  m, n     b  21n Vì  UCLN ( a, b )  21   Vì   BCNN (a, b)  420  BCNN (21m,21n)  420  21.20    BCNN ( m, n )  20   Vì  a  21  b  21m  21  21n  m   n (*)   m  4, n  là thỏa (*)   m  2, n  Trong các trường hợp cần xét chỉ có    m  4, n  a  21.4  84     m  2, n  b  21.5  105 Vậy với   Câu 424 (ĐỒNG THÁP, 2018-2019)  Chứng minh rằng: Nếu  x  y  37 thì  13 x  18 y  37   Lời giải Ta có  13 x  18 y    x  y   65 x  90 y  28 x  16 y  37 x  74 y  37  x  y  37 Hay  13x  18 y    x  y 37(*)   Vì  x  y  37 mà   4,37     x  y 37   Do đó, từ (*) suy ra:  13 x  18 y  37 mà   5,37   1nên: 13 x  18 y  37   Câu 425 (HSG6, 2017-2018)   1999 a)Cho  A  999993  555551997  Chứng minh rằng A chia hết cho 5  n b)Chứng minh rằng  11  122n1 chia hết cho 133  Lời giải a)Nhận thấy:  9999931999 có chữ số tận  cùng là 7 (vì 1994 : dư 3, ứng với  33  27)   5555571997  có chữ số tận  cùng là 7(vì 1997 : dư 1, ứng với  71  7)    9999931999  5555571997 có chữ số tận cùng là 0  hiệu chia hết cho 5  b)Đặt  S  11 n  122 n1  112.11n   12.122 n   121.11n  12.144n   S  133  12  11n  12.144n  133.11n  144n  11n  12   Ta có 133.11n chia hết cho 133  144n  11n =chia hết cho  144  11  144n  11n chia hết cho 133  n 1 Vậy   S  11  122 n1 133   Câu 426 (Đề thi HSG Cấp trường) Tìm số tự nhiên n để phân số  n3 có giá trị là số ngun  2n  Lời giải n3 có giá trị là ngun thì  n  3 2n    2n  2  n  3  2n    Để phân số    2n     2n     2n       n  2n       n   8 2n    Suy ra   2n    2; 4; 8   Sau khi thử các trường hợp   n    Câu 427 (Đề thi HSG HUYỆN TĨNH GIA 2018 -2019) 3n  , tìm  n   để  A có giá trị ngun.  a) Cho  A  n4 b) Tìm 2 số tự nhiên  a , b  biết tổng  BCNN với  UCLN của chúng là 15.  Lời giải 3n  17  3 a) Ta có  A    n4 n4 Để  A     n    U (17)  1; 17   Lập bảng và xét các giá trị ta có  n  5; 3; 21;13 thì A nguyên.  b) Gọi UCLN (a,b)=d   a  dm  suy ra   , khi đó   m, n     b  dn Mặt khác ta có tích của 2 số bằng tích của  BCNN với UCLN của 2 số đó nên:  d mn  dmn   d Vậy  BCNN  a, b  UCLN  a, b   dmn  d  d  mn  1  15   BCNN   a, b   Giả sử  a  b  khi đó  m  n và  mn     Lập bảng ta thu được    a, b   1;14  ;  2;  ;  3;12  ;  5;10    Câu 428 (Đề thi HSG Cấp trường) a) Tìm chữ số tận cùng của các số sau:     571999 ;   931999   b) Cho  A  9999931999  5555571997  Chứng minh rằng A chia hết cho 5  Lời giải a)     +) Ta có:  71999  74 499 73  2401499.343  nên chữ số tận cùng là 3  Vậy số  571999 có chữ số tận cùng là 3    +) Ta có:   31999  34 499 33  81499.27 nên có chữ số tận cùng là 7  Vậy  931999 có chữ số tận cùng là 7  2.   Để chứng minh A chia hết cho 5, ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số  tận cùng của từng số hạng  Theo câu 1b,  9999931999 có chữ số tận cùng là 7    Tương tự câu 1a, ta có:  499  2401499.7 có chữ số tận cùng là 7  Vậy A có chữ số tận cùng là 0, nên A chia hết cho 5  Câu 429 (Đề thi HSG Cấp trường) Cho số  155 * 710 * *16 có 12 chữ số. Chứng minh rằng nếu thay các dấu  * bởi các chữ số  khác nhau trong ba chữ số  1, 2,3 một cách tùy ý thì số đó ln chia hết cho 396.  Lời giải Ta nhận thấy, vị trí của các chữ só thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì  ba chữ số đơi một khác nhau, nên tổng của chúng bằng       Mặt khác:  396  4.9.11 trong đó 4;9;11 đơi một ngun tố cùng nhau nên cần chứng minh  A  155 * 710 * *16 chia hết cho 4, 9, 11  Thật vậy:  Vì A tận cùng là 16 chia hết cho 4 nên  A   A vì tổng các chữ số chia hết cho 9  A11 vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là 0, chia hết  cho 11  Vậy  A 396   Câu 430 (Đề thi HSG Cấp trường) a Cho phân số   a  b  cùng thêm  m đơn vị vào tử và mẫu thì phân số mới lớn hơn hay bé  b a hơn  ? b   Lời giải Theo bài toán cho  a  b  am  bm    ab  am  ab  bm  a b  m  b  a  m a am  b bm   Câu 431 (Đề thi HSG Cấp trường) a) Tìm  n để  n  2006 là một số chính phương  b) Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi  n  2006 là số nguyên tố hay hợp số.  Lời giải a) Giả sử  n  2006 là số chính phương khi đó ta đặt   n  2006  a  a     a  n2  2006     a  n  a  n   2006(*)   Thấy  a , n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái (*) là số lẻ nên khơng thỏa mãn (*)  Nếu  a , n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì   a  n  2,  a  n  nên vế trái chia hết cho 4 và vế  phải không chia hết cho 4.  Vậy không tồn tại  n để  n  2006 là số chính phương  b)  n là số ngun tố nên  n  và khơng chia hết cho 3. Vậy  n chia cho 3 dư 1 do đó  n2  2006  3m   2006  3m  2007   m  669  3   Vậy  n  2006 là hợp số.  Câu 432 (Đề thi HSG Cấp trường) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số  abc sao cho  abc  n  và  cba   n   Lời giải abc  100a  10b  c  n  (1) cba  100c  10b  c  n  4n  4(2)   Từ (1), (2)  99  a  c   4n   44n  5 99 , mặt khác:  100  n2  1  999  4n   99  n  26     Vậy  abc  675   Câu 433 (Đề thi HSG Cấp trường) a  2a    a  2a  2a  a) Rút gọn biểu thức   b) Chứng minh rằng nếu  a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được ở câu a là một  phân số tố giản  Lời giải Cho biểu thức  A   a  1  a  a  1 a  a  a3  2a    a) Ta có:  A   a  1   a  2a  a   a  1  a  a  1 a  a  b) Gọi d là UCLN của  a  a  1; a  a    Vì  a  a   a  a  1  là số lẻ nên d là số lẻ    Mặt khác,   a  a   a  a   d   Nên  d  tức là  a  a  và  a  a  là nguyên tố cùng nhau.  Vậy biểu thức A là phân số tối giản.  Câu 434 (Đề thi HSG Cấp trường) Thay (*) bằng các số thích hợp:  a)  510*;61*16 chia hết cho 3  b)  261* chia hết cho 2 và chia 3 dư 1  Lời giải a) Để  510*;61*16 chia hết cho 3 thì    * chia hết cho 3, từ đó tìm được  *  0,3, 6,9   b) Để  261* chia hết cho 2 và chia cho 3 dư 1 thì  * chẵn và     * chia 3 dư 1, từ đó  tìm được  *    Câu 435 (Đề thi HSG Cấp trường) Cho  A  9999931999  5555571997  Chứng minh rằng A chia hết cho 5.  Lời giải   Để chứng minh  A ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng  số hạng.     Ta có:  31999  34 71997      499 499 33  81499.27  nên  31999 có tận cùng là 7   2401499.7  71997 tận cùng là 7  Vậy A có tận cùng là 0 nên  A   Câu 436 (Đề thi HSG 2018 - 2019 ) Chứng minh rằng: nếu   ab  cd  eg 11 thì  abc deg 11  Lời giải  Tách như sau :      abc deg  10000ab  100cd  eg  9999ab  99cd  ab  cd  ed     Do  999911,9911  9999ab  99cd 11     Mà  ab  cd  eg 11  abc deg11   Câu 437 (Đề thi HSG 2018 - 2019 ) Cho  A   22  23   60  Chứng minh  A3, 7,15   Lời giải  Biến đổi:   A    2    23      259  60   1    23 1     259 1      23   259 3   A    2  23     25  26     258  259  260   1   2   1   22    258 1   2     24   258    A    2  23     25  26  27  28     257  258  259  60   1   22  23   25 1   2  23    257 1   2  23   15   25   257 15   Câu 438 (Đề thi HSG6 năm 2019 - 2020 ) Tìm các cặp số   a, b  sao cho  4a5b  45   Lời giải  b    a9  a  b   14  a  a    Câu 439 (Đề thi HSG huyện ABC 2019-2020) Một số chia cho 4 dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13. Hỏi số đó chia cho 1292 dư  bao nhiêu.  Lời giải  Gọi số cần tìm A  A  4q1   17q2   19q3  13  A  25   q1    17  q2    19  q3    A  25 4,17,19  A  25  1292k  A  1292k  25  1292  k  1  1267 Nên khi chia A cho 1292 ta được dư 1267.    Câu 440 (Đề thi HSG6 - 2018-2019 ) Cho 1 số có 4 chữ số  *26*  Điền các chữ số thích hợp vào dấu (*) để được số có 4 chữ số  khác nhau chia hết cho 4 số 2;3;5;9.  Lời giải  Để số có 4 chữ số  *26* , 4 chữ số khác nhau mà chia hết cho 2,3,5,9  thì tận cùng là 0 (vì  chia hết cho 2 và 5)  Để  *2609 thì  *      *    Do đó số đã cho là 1260.  Câu 441 (Đề thi HSG6 - 2018-2019 ) Tìm số tự nhiên n sao cho :  1! 2! 3!  n ! là số chính phương.  Lời giải  Xét :  n   1!  12   n   1! 2!  n   1! 2! 3!   32   n   1! 2! 3! 4!  33 Với  n  thì  n !  1.2.3 .n là  một  số  chẵn.  Nên  1! 2!  n !  33 cộng  với  một  số  chẵn bằng số có chữ số tận cùng là 3 nên khong là chính phương  Vậy  n  1, n   thì thỏa đề  Câu 442 (Đề thi HSG cấp huyện 2019-2020) Cho  a là số nguyên. Chứng minh rằng:   a   5  a    Lời giải  Vì  a là một số tự nhiên với mọi  a  nên từ  a  ta   a  0,1, 2,3, 4   Nghĩa là  a  0;1; 1; 2; 2;3; 3; 4; 4    Biểu diễn trên trục số các số này đều lớn hơn -5 và nhỏ hơn 5, do đó  5  a      Câu 443 (Đề thi HSG cấp huyện 2019-2020) Cho  a là một số nguyên. Chứng minh rằng:  a) Nếu  a dương thì số liền sau  a cũng dương  b) Nếu  a âm thì số liền trước  a cũng âm  c) Có thể kết luận gì về số liền trước của một số dương và số liền sau của một số âm ?  Lời giải  Nếu a dương thì số liền sau cũng dương  Ta có:   a) Nếu a dương thì  a  số liền sau a lớn hơn a nên cũng lớn hơn 0 nên là số dương  b) Nếu a âm thì số liền trước cũng âm  Ta có: Nếu a âm thì a