Thông tin tài liệu
CHUYÊN ĐỀ TỔNG HỢP 453 BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG ĐỀ THI HSG Câu (ĐỀ HSG SỐ D - 11) a.Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau: 2100 ; 71991 b.Tìm bốn chữ số tận cùng của số sau: 51992 Lời giải a.Tìm hai số tận cùng của 2 100. 210 = 1024, bình phương của hai số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76, có số tận cùng bằng 76 nâng lên lũy thừa nào( khác 0) cũng tận cùng bằng 76. Do đó: 2100 = (210)10= 1024 = (10242)5 = (…76)5 = …76. Vậy hai chữ số tận cùng của 2 100 là 76. * Tìm hai chữ số tận cùng của 71991. Ta thấy: 7 4=2401, số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào cũng tận cùng bằng 01. Do đó: 71991 = 71988. 7 3= (7 4)497. 343 = (…01)497. 343 = (…01) x 343 =…43 Vậy 7 1991 có hai số tận cùng là 43. Câu (ĐỀ HSG SỐ D - 12) 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a) 571999 b) 931999 2. Cho A= 9999931999 - 5555571997. Chứng minh rằng A chia hết cho 5. 3. Cho số 155 * 710 * *16 có 12 chữ số . chứng minh rằng nếu thay các dấu * bởi các chữ số khác nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cách tuỳ thì số đó ln chia hết cho 396. Lời giải 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: ( ) Để tìm chữ số tận cùng của các số chỉ cần xét chữ số tận cùng của từng số : a) 571999 ta xét 71999 Ta có: 71999 = (74)499.73 = 2041499. 343 Suy ra chữ số tận cùng bằng 3 ỵVậy số 571999 có chữ số tận cùng là : 3 b) 931999 ta xét 31999 Ta có: 31999 = (34)499. 33 = 81499.27 Suy ra chữ số tận cùng bằng 7 2. Cho A = 999993 1999 - 5555571997 . chứng minh rằng A chia hết cho 5 Để chứng minh A chia hết cho 5 , ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng. Theo câu 1b ta có: 9999931999 có chữ số tận cùng là 7 Tương tự câu 1a ta có: (74)499.7 =2041 499.7 có chữ số tận cùng là 7 Vậy A có chữ số tận cùng là 0, do đó A chia hết cho 5. 4.Ta nhận thấy , vị trí của các chữ số thay thế ba dấu sao trong số trên ĐỀ HSG 6u ở hàng chẵn và vì ba chữ số đó đơi một khác nhau, lấy từ tập hợp 1;2;3 nên tổng của chúng luôn bằng 1+2+3=6. Mặt khác 396 = 4.9.11 trong đó 4;9;11 đơi một ngun tố cùng nhau nên ta cần chứng minh A = 155 * 710 * *16 chia hết cho 4 ; 9 và 11. Thật vậy : +A 4 vì số tạo bởi hai chữ số tận cùng của A là 16 chia hết cho 4 + A 9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9 : 1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*)=30+6=36 chia hết cho 9 + A 11 vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là 0, chia hết cho 11. {1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)}= 18-12-6=0 Vậy A 396 Câu (ĐỀ HSG SỐ D - 13) Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1+ 2+ 3+ …….+ n = aaa Lời giải Từ 1; 2; ………; n có n số hạng (n 1).n Suy ra 1 +2 +…+ n = Mà theo bài ra ta có 1 +2 +3+… +n = aaa (n 1).n Suy ra = aaa = a . 111 = a . 3.37 Suy ra: n (n+1) = 2.3.37.a Vì tích n(n+1) Chia hết cho số ngun tố 37 nên n hoặc n+1 Chia hết cho 37 (n 1).n Vì số có 3 chữ số Suy ra n+1 5 nên p có dạng: + p = 3k +1 p – 1 = 3k + 1 – 1 = 3k 3 > p4 – 1 3 + p = 3k + 2 > p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k +3 3 > p 4 -1 3 - Mặt khác, p có thể là dạng: + P = 5k +1 p – 1 = 5k + 1 - 1 = 5k 5 > p4 - 1 5 + p = 5 k+ 2 p2 + 1 = (5k +2)2 +1 = 25k2 + 20k +5 5 p4 - 1 5 + p = 5k +3 p2 +1 = 25k2 + 30k +10 > p 4 –1 5 + p = 5k +4 p + 1 = 5k +5 5 > p4 – 1 5 Vậy p 4 – 1 8 . 2. 3 . 5 hay p 4 – 1 240 Tương tự ta cũng có q4 - 1 240 Vậy: (p 4 - 1) – (q4 –1) = p4 – q4 240 Câu 15 (ĐỀ HSG SỐ D - 18) Tìm số tự nhiên n để phân bố A 8n 193 4n a. Có giá trị là số tự nhiên b. Là phân số tối giản c. Với giá trị nào của n trong khoảng từ 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được. Lời giải 8n 193 2(4n 3) 187 187 2 4n 4n 4n Để A N thì 187 4n + 3 => 4n +3 17;11;187 A + 4n + 3 = 11 n = 2 + 4n +3 = 187 n = 46 + 4n + 3 = 17 4n = 14 -> khơng có n N Vậy n = 2; 46 b.A là tối giản khi 187 và 4n + 3 có UCLN bằng 1 -> n 11k + 2 (k N) -> n 17m + 12 (m N) 77 c) n = 156 A ; 19 89 n = 165 A 39 139 n = 167 A 61 Câu 16 (ĐỀ HSG SỐ D - 19) Cho A = 4 + 22 + 23 + 24 + … + 220 Hỏi A có chia hết cho 128 khơng? Lời giải 2A – A = 2 21 2 7 A 128 Câu 17 (ĐỀ HSG SỐ D - 19) a, Cho A = 3 + 3 2 + 33 + …+ 32009 Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n b, Tìm số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 5 và 9 biết rằng chữ số hàng chục bằng trung bình cộng của hai chữ số kia Lời giải a, Tìm được n = 2010 b, Gọi số phải tìm là abc theo bài ra ta có a + b + c 9 và 2b = a + c nên 3b 9 b 3 vậy b 0;3;6;9 abc 5 c 0;5 Xét số abo ta được số 630 Xét số ab5 ta được số 135 ; 765 Câu 18 (ĐỀ HSG SỐ D - 19) Cho p và p + 4 là các số ngun tố( p > 3) . Chứng minh rằng p + 8 là hợp số Lời giải P có dạng 3k + 1; 3k + 2 kN Dạng p = 3k + 2 thì p + 4 là hợp số trái với ĐỀ HSG 6 bài p = 3k + 1 p + 8 = 3k + 9 3 p + 8 là hợp số Câu 19 (ĐỀ HSG SỐ D - 19) Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 84 ,ƯCLN của chúng bằng 6 Lời giải Gọi 2 số phải tìm là a và b ( a b) ta có (a,b) = 1 nên a = 6a’ b= 6b’ trong đó (a’,b ’) = 1 ( a,b,a’,b’ N) a’ + b’ = 14 1 3 5 a’ ’ 13 11 9 a A 6 18 30 B 78 66 54 Câu 20 (ĐỀ HSG SỐ D - 20) Thay (*) bằng các số thích hợp để: a) 510* ; 61*16 chia hết cho 3. b) 261* chia hết cho 2 và chia 3 dư 1 Lời giải a) Để 510* ; 61*16 chia hết cho 3 thì: 5 + 1 + 0 + * chia hết cho 3; từ đó tìm được * = 0; 3; 6; 9 b) Để 261* chia hết cho 2 và chia 3 dư 1 thì: * chẵn và 2 + 6 + 1 + * chia 3 dư 1; từ đó tìm được * = 4 Câu 21 (Đề thi HSG 6) Tìm các cặp số (a,b) sao cho : 4a5b 45 Lời giải *b = 0 9 + a 9 a = 0 *b = 5 14 + a 9 a = 4 Câu 22 (Đề thi HSG 6) Dùng 3 chữ số 3; 0; 8 để ghép thành những số có 3 chữ số: a. Chia hết cho 2. b. Chia hết cho 5. c. Khơng chia hết cho cả 2 và 5. Lời giải a. 308; 380; 830. b. 380; c. 803. 830. Câu 23 (Đề thi HSG 6) Tìm hai chữ số tận cùng của 2 100. Lời giải Ta có: 210 = 1024 210 = 210 10 = 102410 = 1024 = ( 76)5 = 76 Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76. Câu 24 (Đề thi HSG 6) Chứng minh rằng: C 22 23 2100 chia hết cho 31. Lời giải C 22 23 299 2100 = 2(2 22 23 ) 26 (2 2 23 24 ) 296 (2 2 23 24 ) = 2.31 26.31 296.31 31(2 26 296 ) Vậy C chia hết cho 31. Câu 25 (Đề thi HSG 6) Một số chia hết cho 4 dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13. Hỏi số đó chia cho1292 dư bao nhiêu. Lời giải Gọi số cần tìm là A: A 4q1 17q 19q3 13 (q1 , q , q3 N) A 25 4(q1 7) 17(q 2) 19(q 2) A + 25 chia hết cho 4; 17; 19 A + 25 =1292k A = 1292k – 25 = 1292(k + 1) + 1267 khi chia A cho 1292 dư 1267. Câu 26 (Đề thi HSG 6) Cho ba con đường a1, a2, a3 đi từ A đến B, hai con đường b 1, b2 đi từ B đến C và ba con đường c1, c2, c3, đi từ C đến D (hình vẽ). A a1 a2 a3 b1 B C b2 c1 c2 D c3 Viết tập hợp M các con đường đi từ A dến D lần lượt qua B và C. Lời giải Nếu đi từ A đến D bằng con đường a1 : a1 b1 c1; a1 b1 c2; a1 b 1 c3; a1 b2 c1; a1 b2 c2; a1 b2 c3; Đi từ A đến D bằng con đường a2: a2 b1 c1; a2 b1 c2; a2 b 1 c3; a2 b2 c1; a2 b2 c2; a2 b2 c3; Đi từ A đến D bằng con đường a3: a3 b1 c1; a3 b1 c2; a3 b 1 c3; a3 b2 c1; a3 b2 c2; a3 b2 c3; Vậy tập hợp M: M = { a1 b1 c1; a1 b1 c2; a1 b 1 c3; a1 b2 c1; a1 b2 c2; a1 b2 c3; a2 b1 c1; a2 b1 c2; a2 b1 c3; a2 b2 c1; a2 b2 c2; a2 b2 c3; a3 b1 c1; a3 b1 c2; a3 b1 c3; a3 b2 c1; a3 b2 c2; a3 b2 c3;}. Câu 27 (Đề thi HSG 6) Cho 1 số có 4 chữ số: *26* Điền các chữ số thích hợp vào dấu (*) để được số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho tất cả 4số : 2; 3 ; 5 ; 9. Lời giải Để số có 4 chử số *26* , 4chữ số khác nhau mà 4 chữ số *26* chia hết cho cả 4 số 2; 5;3;9. Ta cần thoả mãn : Số đó đảm bảo chia hết cho 2 nên số đó là số chẳn. Số đó chia hết cho 5 nên số đó phải có chữ số tận cùng là số 0 hoặc 5. Số đó vừa chia hết cho 3 và 9. Nên số đó phải có tổng các chữ số chia hết cho 9. Vậy : Chữ số tận cùng của số đó là 0 *260 Chữ số đầu là số 1. Do đó số đã cho là 1260. Câu 28 (Đề thi HSG 6) Tìm số tự nhiên n sao cho : 1! +2! +3! + +n!. là số chính phương? Lời giải Tìm số tự nhiên n . Mà 1! +2!+3! + +n! là bình phương của một số tự nhiên. Xét : n = 1 1! = 12 n = 2 1! +2! = 3 n=3 1! + 2! + 3! = 9 =3 2 n = 4 1!+ 2! +3! + 4! =33 Với n >4 thì n! = 1.2.3 .n là mội số chẳn .Nên 1!+2!+ +n! =33 cộng với một số chẳn bằng số có chữ số tận cùng của tổng đó là chữ số 3. Nên nó khơng phải là số chính phương. Vậy chỉ có hai giá trị n=1 hoặc n=3 thì 1! +2! + 3! +4! + .+n! là số chính phương. Câu 29 (Đề thi HSG 6) Tìm số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất sao cho: a b 12 c ; ; b c 21 d 11 Lời giải b)Để 261* chia hết cho 2 và chia cho 3 dư 1 thì * chẵn và * chia 3 dư 1, từ đó tìm được * Câu 412 (NGA SƠN, 2018-2019) Một số chia cho 7 dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư 7. Hỏi số đó chia cho 2737 dư bao nhiêu ? Lời giải Gọi số đã cho là A Theo bài ra ta có: A 7.a 17.b 12 32.c Mặt khác A 39 7.a 39 17b 12 39 23c 39 a 17 b 3 23 c Như vậy A 39 đồng thời chia hết cho 7,17 và 23. Nhưng 7,17 và 23 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A 39 7.17.23 nên A 39 2737 Suy ra A 39 2737k A 2737k 39 2737 k 1 2698 Do 2698 2737 nên 2698 là số dư của phép chia A cho 2737 Vậy M là số chính phương. Câu 413 ( LÝ NHÂN, 2018-2019) 1414 a)Tìm chữ số tận cùng của số P 14 99 23 b)Tìm ba số ngun dương biết rằng tổng của ba số ấy bằng nửa tích của chúng Lời giải 1414 a) P 14 99 23 14 Chữ số tận cùng của 1414 là 99 Chữ số tận cùng của là Chữ số tận cùng của 23 là Chữ số tận cùng của P là chữ số tận cùng của tổng là 7 b)Gọi 3 số ngun dương cần tìm là a, b, c Ta có: a b c abc Giả sử a b c thì a b c 3c , do đó: Có các trường hợp sau: abc 3c ab *) ab c 3,5 (loại) *) ab a 1, b 5, c 4( ktm) a 1, b 4, c 5(tm) a 2, b 2, c 4( tm ) *) ab *) ab 2(ktm) *) ab a 1, b 3, c 8(tm) *)ab (ktm) Vậy bộ ba số cần tìm 1,4,5 hoặc 2,2,4 boặc1,3,8 Câu 414 (THẠCH THÀNH, 2018-2019) Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn: 100a 3b 1 10a b 225 a Lời giải Ta có: 100a 3b 1 10a b 225 a 100 a 3b Vì 225 lẻ nên a 10a b cùng lẻ (1) (2) *) Với a : 1 100.0 3b 1 20 10.0 b 225 3b 11 b 225 32.52 Vì 3b chia cho 3 dư 1 và 3b b nên 3b 25 b 8 1 b 3b 11 b 25.9 *)Với a là số tự nhiên khác 0: Khi đó 100a chẵn, từ 3b lẻ b chẵn 2a 10a b chẵn, trái với (2) nên b Vậy a 0; b Câu 415 ( LÝ NHÂN, 2018-2019) Cho các số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn ab cd Chứng minh rằng A a n bn c n d n là một hợp số với mọi số tự nhiên n Lời giải Giả sử t a, c Đặt a a1t ; c c1t với a1 , c1 ab cd a1bt c1dt a1b c1d Mà a1 , c1 b c1 , đặt b c1k , do đó: d a1k Ta có: A a1n t n c1n k n c1n t n a1n k n A a1n c1n k n t n Vì a1 , c1 , t1 , k nguyên dương nên A là hợp số. Câu 416 ( NGỌC LẶC, 2018-2019) Cho ba chữ số a, b, c với a b c a)Viết tập hợp A các chữ số có ba chữ số, mỗi số gồm cả ba chữ số trên b)Biết rằng tổng hai chữ số nhỏ nhất trong tập hợp A bằng 499 Tìm tổng các chữ số a b c Lời giải Tập hợp A abc; acb; bac; bca; cab; cba b)Hai số lớn nhất trong tập A là cab, cba Ta có: abc acb 499 200a 11b 11c 499 * Nếu a thì vế trái của * lớn hơn 499, vơ lý, do đó a 1;2 Với a c b 499 :11không là số tự nhiên Với a c b 99 :11 Vậy a b c 11 Câu 417 (HSG6 LƯƠNG TÀI , 2015-2016 ) Chứng tỏ rằng; 100 a) 19990 b)Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4 ĐÁP ÁN 100 a)Ta có 3 là lẻ nên là lẻ, 19 lẻ nên 19 990 100 lẻ nên 19990 b)Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a; a 1 ; a ; a 3 a Ta có : a a 1 a a 3 4a Vì 4a 4;6 không chia hết cho 4 nên a không chia hết cho 4. Câu 418 (HSG 2019-2020 ) Chứng minh rằng phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n : Lời giải Gọi d UCLN 2n 3, n 1 n 1 2n 2n 3 d ; n 1 d n 1 d 2n n 1d 1 d d UCLN 2n 3; n 1 Hay n 1 là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n 2n Câu 419 ( NGỌC LẶC, 2018-2019) 7n2 n n Chứng tỏ rằng nếu phân số là số tự nhiên với n thì các phân số và là các phân số tối giản. Lời giải 7n Vì phân số là số tự nhiên vơi mọi n 7n 1 n lẻ và không chia hết n n cho 3 ; là các phân số tối giản Câu 420 (HSG6 LƯƠNG TÀI , 2015-2016 ) Tìm tất cả các số ngun n để: a)Phân số n 1 có giá trị là một số ngun n2 b)Phân số 12n là phân số tối giản 30n ĐÁP ÁN a) n 1 là số nguyên khi n 1 n n2 Ta có: n n , vậy n 1 n khi 3 n n U (3) 3; 1;1;3 n 1;1;3;5 b)Gọi d là ƯC của 12n và 30n d * 12n 1 d ,30n 2 d 512n 1 30n 2 d 60n 60n 4 d 1 d mà d * d Vậy phân số đã cho tối giản Câu 421 ( BẠCH LIÊU, 2018-2019) Cho A 2n n 1 a)Tìm n là số nguyên sao cho giá trị A cũng là một số nguyên b)Chứng minh rằng với mọi n là số nguyên dương thì A là một phân số tối giản Lời giải a) A n 1 A n 1 U (1) 1 n 0; 2 n 1 b)Gọi d UCLN 2n 3, n 1 Ta có: 2n 3 d , n 1 d 2n 3 n 1d 1d d 1 Vậy A là phân số tối giản Câu 422 (THẠCH THÀNH, 2018-2019) Tìm số ngun n để phân số 4n có giá trị là một số ngun 2n Lời giải Ta có: 4n 4n 7 n 2n 2n 2n Vì n nên để 4n nguyên thì 2n 1 U (7) 1; 7 n 3;0;1;4 2n Câu 423 (ĐỒNG THÁP, 2018-2019) Tìm hai số tự nhiên a, b biết: BCNN ( a, b ) 420;UCLN ( a, b) 21 và a 21 b Lời giải a 21m , m, n b 21n Vì UCLN ( a, b ) 21 Vì BCNN (a, b) 420 BCNN (21m,21n) 420 21.20 BCNN ( m, n ) 20 Vì a 21 b 21m 21 21n m n (*) m 4, n là thỏa (*) m 2, n Trong các trường hợp cần xét chỉ có m 4, n a 21.4 84 m 2, n b 21.5 105 Vậy với Câu 424 (ĐỒNG THÁP, 2018-2019) Chứng minh rằng: Nếu x y 37 thì 13 x 18 y 37 Lời giải Ta có 13 x 18 y x y 65 x 90 y 28 x 16 y 37 x 74 y 37 x y 37 Hay 13x 18 y x y 37(*) Vì x y 37 mà 4,37 x y 37 Do đó, từ (*) suy ra: 13 x 18 y 37 mà 5,37 1nên: 13 x 18 y 37 Câu 425 (HSG6, 2017-2018) 1999 a)Cho A 999993 555551997 Chứng minh rằng A chia hết cho 5 n b)Chứng minh rằng 11 122n1 chia hết cho 133 Lời giải a)Nhận thấy: 9999931999 có chữ số tận cùng là 7 (vì 1994 : dư 3, ứng với 33 27) 5555571997 có chữ số tận cùng là 7(vì 1997 : dư 1, ứng với 71 7) 9999931999 5555571997 có chữ số tận cùng là 0 hiệu chia hết cho 5 b)Đặt S 11 n 122 n1 112.11n 12.122 n 121.11n 12.144n S 133 12 11n 12.144n 133.11n 144n 11n 12 Ta có 133.11n chia hết cho 133 144n 11n =chia hết cho 144 11 144n 11n chia hết cho 133 n 1 Vậy S 11 122 n1 133 Câu 426 (Đề thi HSG Cấp trường) Tìm số tự nhiên n để phân số n3 có giá trị là số ngun 2n Lời giải n3 có giá trị là ngun thì n 3 2n 2n 2 n 3 2n Để phân số 2n 2n 2n n 2n n 8 2n Suy ra 2n 2; 4; 8 Sau khi thử các trường hợp n Câu 427 (Đề thi HSG HUYỆN TĨNH GIA 2018 -2019) 3n a) Cho A , tìm n để A có giá trị ngun. n4 b) Tìm 2 số tự nhiên a , b biết tổng BCNN với UCLN của chúng là 15. Lời giải 3n 17 3 a) Ta có A n4 n4 Để A n U (17) 1; 17 Lập bảng và xét các giá trị ta có n 5; 3; 21;13 thì A nguyên. b) Gọi UCLN (a,b)=d a dm suy ra , khi đó m, n b dn Mặt khác ta có tích của 2 số bằng tích của BCNN với UCLN của 2 số đó nên: d mn dmn d Vậy BCNN a, b UCLN a, b dmn d d mn 1 15 BCNN a, b Giả sử a b khi đó m n và mn Lập bảng ta thu được a, b 1;14 ; 2; ; 3;12 ; 5;10 Câu 428 (Đề thi HSG Cấp trường) a) Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 571999 ; 931999 b) Cho A 9999931999 5555571997 Chứng minh rằng A chia hết cho 5 Lời giải a) +) Ta có: 71999 74 499 73 2401499.343 nên chữ số tận cùng là 3 Vậy số 571999 có chữ số tận cùng là 3 +) Ta có: 31999 34 499 33 81499.27 nên có chữ số tận cùng là 7 Vậy 931999 có chữ số tận cùng là 7 2. Để chứng minh A chia hết cho 5, ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng Theo câu 1b, 9999931999 có chữ số tận cùng là 7 Tương tự câu 1a, ta có: 499 2401499.7 có chữ số tận cùng là 7 Vậy A có chữ số tận cùng là 0, nên A chia hết cho 5 Câu 429 (Đề thi HSG Cấp trường) Cho số 155 * 710 * *16 có 12 chữ số. Chứng minh rằng nếu thay các dấu * bởi các chữ số khác nhau trong ba chữ số 1, 2,3 một cách tùy ý thì số đó ln chia hết cho 396. Lời giải Ta nhận thấy, vị trí của các chữ só thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba chữ số đơi một khác nhau, nên tổng của chúng bằng Mặt khác: 396 4.9.11 trong đó 4;9;11 đơi một ngun tố cùng nhau nên cần chứng minh A 155 * 710 * *16 chia hết cho 4, 9, 11 Thật vậy: Vì A tận cùng là 16 chia hết cho 4 nên A A vì tổng các chữ số chia hết cho 9 A11 vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là 0, chia hết cho 11 Vậy A 396 Câu 430 (Đề thi HSG Cấp trường) a Cho phân số a b cùng thêm m đơn vị vào tử và mẫu thì phân số mới lớn hơn hay bé b a hơn ? b Lời giải Theo bài toán cho a b am bm ab am ab bm a b m b a m a am b bm Câu 431 (Đề thi HSG Cấp trường) a) Tìm n để n 2006 là một số chính phương b) Cho n là số ngun tố lớn hơn 3. Hỏi n 2006 là số nguyên tố hay hợp số. Lời giải a) Giả sử n 2006 là số chính phương khi đó ta đặt n 2006 a a a n2 2006 a n a n 2006(*) Thấy a , n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái (*) là số lẻ nên khơng thỏa mãn (*) Nếu a , n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì a n 2, a n nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4. Vậy khơng tồn tại n để n 2006 là số chính phương b) n là số ngun tố nên n và khơng chia hết cho 3. Vậy n chia cho 3 dư 1 do đó n2 2006 3m 2006 3m 2007 m 669 3 Vậy n 2006 là hợp số. Câu 432 (Đề thi HSG Cấp trường) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho abc n và cba n Lời giải abc 100a 10b c n (1) cba 100c 10b c n 4n 4(2) Từ (1), (2) 99 a c 4n 44n 5 99 , mặt khác: 100 n2 1 999 4n 99 n 26 Vậy abc 675 Câu 433 (Đề thi HSG Cấp trường) a 2a a 2a 2a a) Rút gọn biểu thức b) Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được ở câu a là một phân số tố giản Lời giải Cho biểu thức A a 1 a a 1 a a a3 2a a) Ta có: A a 1 a 2a a a 1 a a 1 a a b) Gọi d là UCLN của a a 1; a a Vì a a a a 1 là số lẻ nên d là số lẻ Mặt khác, a a a a d Nên d tức là a a và a a là nguyên tố cùng nhau. Vậy biểu thức A là phân số tối giản. Câu 434 (Đề thi HSG Cấp trường) Thay (*) bằng các số thích hợp: a) 510*;61*16 chia hết cho 3 b) 261* chia hết cho 2 và chia 3 dư 1 Lời giải a) Để 510*;61*16 chia hết cho 3 thì * chia hết cho 3, từ đó tìm được * 0,3, 6,9 b) Để 261* chia hết cho 2 và chia cho 3 dư 1 thì * chẵn và * chia 3 dư 1, từ đó tìm được * Câu 435 (Đề thi HSG Cấp trường) Cho A 9999931999 5555571997 Chứng minh rằng A chia hết cho 5. Lời giải Để chứng minh A ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng. Ta có: 31999 34 71997 499 499 33 81499.27 nên 31999 có tận cùng là 7 2401499.7 71997 tận cùng là 7 Vậy A có tận cùng là 0 nên A Câu 436 (Đề thi HSG 2018 - 2019 ) Chứng minh rằng: nếu ab cd eg 11 thì abc deg 11 Lời giải Tách như sau : abc deg 10000ab 100cd eg 9999ab 99cd ab cd ed Do 999911,9911 9999ab 99cd 11 Mà ab cd eg 11 abc deg11 Câu 437 (Đề thi HSG 2018 - 2019 ) Cho A 22 23 60 Chứng minh A3, 7,15 Lời giải Biến đổi: A 2 23 259 60 1 23 1 259 1 23 259 3 A 2 23 25 26 258 259 260 1 2 1 22 258 1 2 24 258 A 2 23 25 26 27 28 257 258 259 60 1 22 23 25 1 2 23 257 1 2 23 15 25 257 15 Câu 438 (Đề thi HSG6 năm 2019 - 2020 ) Tìm các cặp số a, b sao cho 4a5b 45 Lời giải b a9 a b 14 a a Câu 439 (Đề thi HSG huyện ABC 2019-2020) Một số chia cho 4 dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13. Hỏi số đó chia cho 1292 dư bao nhiêu. Lời giải Gọi số cần tìm A A 4q1 17q2 19q3 13 A 25 q1 17 q2 19 q3 A 25 4,17,19 A 25 1292k A 1292k 25 1292 k 1 1267 Nên khi chia A cho 1292 ta được dư 1267. Câu 440 (Đề thi HSG6 - 2018-2019 ) Cho 1 số có 4 chữ số *26* Điền các chữ số thích hợp vào dấu (*) để được số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 4 số 2;3;5;9. Lời giải Để số có 4 chữ số *26* , 4 chữ số khác nhau mà chia hết cho 2,3,5,9 thì tận cùng là 0 (vì chia hết cho 2 và 5) Để *2609 thì * * Do đó số đã cho là 1260. Câu 441 (Đề thi HSG6 - 2018-2019 ) Tìm số tự nhiên n sao cho : 1! 2! 3! n ! là số chính phương. Lời giải Xét : n 1! 12 n 1! 2! n 1! 2! 3! 32 n 1! 2! 3! 4! 33 Với n thì n ! 1.2.3 .n là một số chẵn. Nên 1! 2! n ! 33 cộng với một số chẵn bằng số có chữ số tận cùng là 3 nên khong là chính phương Vậy n 1, n thì thỏa đề Câu 442 (Đề thi HSG cấp huyện 2019-2020) Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng: a 5 a Lời giải Vì a là một số tự nhiên với mọi a nên từ a ta a 0,1, 2,3, 4 Nghĩa là a 0;1; 1; 2; 2;3; 3; 4; 4 Biểu diễn trên trục số các số này đều lớn hơn -5 và nhỏ hơn 5, do đó 5 a Câu 443 (Đề thi HSG cấp huyện 2019-2020) Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng: a) Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương b) Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm c) Có thể kết luận gì về số liền trước của một số dương và số liền sau của một số âm ? Lời giải Nếu a dương thì số liền sau cũng dương Ta có: a) Nếu a dương thì a số liền sau a lớn hơn a nên cũng lớn hơn 0 nên là số dương b) Nếu a âm thì số liền trước cũng âm Ta có: Nếu a âm thì a
Ngày đăng: 11/02/2023, 16:44
Xem thêm:
