Tổng hợp kiến thức toán lớp 12

Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận 0987.192212 Trang 1 GIẢI TÍCH I. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM: (D erivative ) Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 là : ∆x )f(x∆x)f(x lim ∆x ∆y lim)(xf')(xy' 00 0∆x0∆x 00 −+ === →→ Đạo hàm bên phải tại x 0 : x y lim)(xf' 0x ∆ ∆ ∆ 0 + → + = Đạo hàm bên phải tại x 0 : x y lim)(xf' 0x ∆ ∆ ∆ 0 − → − = Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b) hàm số có đạo hàm tại mọi điểm x 0 ∈.(a ; b) Hàm số y = f(x) đạo hàm trên đoạn [a ; b] nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm bên phải tại a và bên trái tại b. Cách tính đạo hàm : Muốn tính đạo hàm hàm số y = f(x), ta cần thực hiện 3 bước sau : 1) Cho số gia x tại x 0 và tính: ) f(x x) f(x y 00 −+= ∆∆ 2) Lập tỉ số : x y ∆ ∆ 3) Tìm x ) f(x x) f(x lim x y lim 00 0x0x ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ −+ = →→ II. CÁC CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 -1 x x , x x 2 , , , a 1 (C)'=0 (tgx)'= =1+tg x cos x 1 (x)'=1 (cotgx)'=- =-(1+cotg x) sin x (x )'= x ( R) (e )'=e 1 1 =- (a )'=a .lna x x 1 1 x = ln x = x 2 x 1 (sinx)'=cosx log x = xlna (cosx)'=-sinx α α α α ∈           Chú ý: Đối với hàm số hợp dạng trên, chỉ cần thay x bởi u và nhân thêm u’. Ví dụ: ( ) ( ) , , 1 u' x = u = 2 x 2 u ⇒ Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận  0987.192212 Trang 2 2 , v uv'vu' v u uv'vu'(uv)' R) (k ku' (ku)' w' v' u' w)' v (u − =       += ∈ = + + = − + Chú ý các giới hạn sau: ( ) 1 1 lim*1 )1ln( lim* 1lim* 1 1lim*1 sin lim* 00 1 00 = − = + =+=       += →→ →+∞→→ x e x x exe xx x x xx x x x xx III. ĐẠO HÀM CẤP CAO – VI PHÂN: (Diferential) [f (n) (x)]’= f (n + 1) (x) df(x) = f’(x).dx IV. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM: 1. Sự đồng biến, nghòch biến của hàm số:  Đònh lý Lagrange: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], có đạo hàm trong (a; b) thì tồn tại điểm c ∈ (a; b) sao cho: a b f(a) f(b) (c)f' − − = .  Đònh lý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong (a; b). a. f(x) đồng biến trong (a; b) ⇔ f’(x) ≥ 0, ∀ x ∈ (a; b) b. f(x) nghòch biến trong (a; b) ⇔ f’(x) ≤ 0, ∀ x ∈ (a; b) ( Dấu bằng “=” chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm x 0 ∈ (a; b) ).  Điểm tới hạn: Cho hàm số y = f(x) xác đònh trong (a; b) và x 0 ∈ (a; b). Điểm x 0 được gọi là điểm tới hạn của f(x) nếu f’(x) = 0 hoặc f(x) không có đạo hàm tại điểm x 0 . 2. Cực trò của hàm số:  Đònh lý Fermat: (Điều kiện cần để hàm số có cực trò) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x 0 và đạt cực trò tại đó thì f’(x 0 ) = 0 Lưu ý: Mọi điểm cực trò của hàm số đều là điểm tới hạn.  Điều kiện đủ để hàm số có cực trò:  Đònh lý 1:( Dấu hiệu 1 ) Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong lân cận của điểm x 0 . a. Nếu khi x đi qua x 0 mà f’(x) đổi dấu từ dương (+) sang âm (–) thì hàm số đạt cực đại tại x 0 . b. Nếu khi x đi qua x 0 mà f’(x) đổi dấu từ âm (–) sang dương (+) thì hàm số đạt cực tiểu tại x 0 . Lưu ý: Để hàm số đạt cực trò tại x 0 thì f’(x) phải đổi dấu khi đi qua x 0 . Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận  0987.192212 Trang 3  Đònh lý 2:( Dấu hiệu 2 ) a. Hàm số f(x) đạt cực đại tại x 0 khi    < = 0)(xf" 0)(xf' 0 0 b. Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x 0 khi    > = 0)(xf" 0)(xf' 0 0 3. Giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: a- Đònh nghóa: Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên tập D.  Số thực M được gọi là giá trò lớn nhất của hàm số f(x) trên D nếu: )( ) xf D 00 max M : hiệuKí Mf(x:Dx M f(x) thì Dx =    =∈∃ ≤∈∀  Số thực m được gọi là giá trò nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D nếu: )( ) xf D 00 min m : hiệuKí mf(x:Dx mf(x) thì Dx =    =∈∃ ≥∈∀ b- Cách tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:  Trên (a; b):  Tính y’, lập BBT.  Nếu trên (a; b), hàm số có duy nhất một cực đại thì đó là max, duy nhất một cực tiểu thì đó là min; ngoài ra thì không có.  Trên [a; b]:  Tính y’, tìm các điểm tới hạn, giả sử đó là x 1 ; x 2 ; ; x n .  Tính f(a), f(b), f(x i ) (i = 1; 2; ; n).  Số lớn nhất trong các số vừa tìm được là max, số nhỏ nhất là min. 4. Tính lồi lõm, điểm uốn của đồ thò hàm số: * Đồ thò hàm số y = f(x) lồi trong (a; b) ⇔ f”(x) < 0, ∀ x ∈ (a; b). * Đồ thò hàm số y = f(x) lõm trong (a; b) ⇔ f”(x) > 0, ∀ x ∈ (a; b). * Điểm M 0 (x 0 ; f(x 0 )) là điểm uốn nếu f”(x) đổi dấu khi đi qua x 0 . 5. Tiệm cận:  Hàm số: y = d cx b ax + + (c ≠ 0) ngang cận tiệm là c a y c a ylim đứng cận tiệm là c d y ylim =⇒= −=⇒∞= ∞→ −→ x c d x  Hàm số: y = e dx cbxax 2 + ++ (a, d ≠ 0) Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận  0987.192212 Trang 4 xiên cận tiệm là nmx y 0 e dx p(x) lim edx p(x) n mx y được mẫu, cho tử chia phép hiệnThực đứng cận tiệm là d e y ylim +=⇒= + + ++= −=⇒∞= ∞→ −→ x d e x 6. Các hàm số thường gặp: A. Hàm bậc ba: y = ax 3 + bx 2 + c + d (a ≠ 0)  Tập xác đònh: D = R.  y’ = 3ax 2 + 2bx + c: Hoặc có hai cực trò (y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt), hoặc không có cực trò.  Đồ thò luôn có một điểm uốn.  Đồ thò có một tâm đối xứng là điểm uốn.  y = f(x) = (mx + n).f’(x) + p(x) + q. Do đó nếu hàm số có hai cực trò thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trò có phương trình: y = p(x) + q.  Đồ thò hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và y CĐ .y CT < 0.  Đồ thò hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng (Cắt trục hoành tại 3 điểm A, B, C sao cho AB = BC) khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và điểm uốn thuộc Ox. B. Hàm trùng phương : y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0)  Tập xác đònh: D = R.  y’ = 4ax 3 + 2bx = 2x(2ax 2 + b): Hoặc có ba cực trò (y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt), hoặc có một cực trò.  Đồ thò nhận Oy làm trục đối xứng.  Đồ thò hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng khi at 2 + bt + c = 0 có hai nghiệm t 1 ; t 2 thỏa 0 < t 1 < t 2 và t 2 = 9 t 1 , với t = x 2 . C. Hàm hữu tỷ: y = d cx b ax + + :  Tập xác đònh: D = R\       − c d .  y’ = 2 d)(cx bc ad + − , hàm số luôn tăng hoặc giảm với x ∈ D nên không có cực trò.  đứng cận tiệm là c d y ylim −=⇒∞= −→ c d x  ngang cận tiệm là c a y c a ylim =⇒= ∞→x  Đồ thò có một tâm đối xứng là giao điểm hai đường tiệm cận. Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận  0987.192212 Trang 5  Đồ thò là một Hyperbol. D. Hàm hữu tỷ: y = e dx cbxax 2 + ++  Tập xác đònh: D = R\       − d e .  Hàm số có hai cực trò (y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt), hoặc không có cực trò.  đứng cận tiệm là d e y ylim −=⇒∞= −→ d e x  e dx p(x) n mx y được mẫu, cho tử chia phép hiệnThực + ++= xiên cận tiệm là nmx y 0 e dx p(x) lim +=⇒= + ∞→x  Đồ thò có một tâm đối xứng là giao điểm hai đường tiệm cận.  Đồ thò là một Hyperbol.  Nếu hàm số có hai cực trò thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trò có phương trình: y = d b 2ax + . CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH KHẢO SÁT HÀM SỐ:  Tìm TXĐ.  Tính y’, tìm các cực trò (Nếu có).  Tìm các tiệm cận (Hàm hữu tỷ) hoặc tính ±∞→x lim (Hàm đa thức)  Lập BBT.  Tính y”, lập bảng xét dấu y” (Đối với hàm đa thức).  Cho các điểm đặc biệt (Thường là các điểm nguyên ở hai bên cực trò hoặc điểm uốn).  Vẽ đồ thò. V. NGUYÊN HÀM: (Primitive) 1. Đònh nghóa: ∫ =⇔+= const:Cf(x)(x)F'CF(x)f(x)dx 2. Tính chất: ( ) ( ) dxg(x)f(x)dxdxg(x)f(x)* Rkf(x)dxkk.f(x)dx* f(x)f(x)dx* ' ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ±=± ∈= = Lưu ý: Nguyên hàm của một hàm số không phụ thuộc vào biến, nghóa là: Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận  0987.192212 Trang 6 ;CF(t)f(t)dt;CF(u)f(u)duthìCF(x)f(x)dxNếu ∫ ∫ ∫ +=+=+= 3. Bảng các nguyên hàm: a. Các nguyên hàm cơ bản: )10( ln * *cossin* cot sin 1 *ln cos 1 *)1( 1 sincos* 2 2 1 ≠<+= +=+−= +−=+= +=≠ + = +=+= ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ + aC a a dxa CedxeCxxdx Cgxdx x Cx x Ctgxdx x x dx CxxdxCx x x xx dx * x* dx* α α α α b. Các nguyên hàm mở rộng: )0(ln )( 11 * )0,10( ln 1 * )0( 1 * )0()(cot 1 )(sin 1 * )0()( 1 )(cos 1 * )0()sin( 1 )cos(* )0()cos( 1 )sin(* )0(ln 1 )1;0( 1 1 2 1 21 2 2 2 1 ≠+ − − − = ++ ≠≠<+= ≠+= ≠++−= + ≠++= + ≠++=+ ≠++−=+ ≠++= + ≠≠+ + + =+ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ + + ++ + aC xx xx xxa dx cxbax maC a a m dxa aCe a dxe aCbaxg a dx bax aCbaxtg a dx bax aCbax a dxbax aCbax a dxbax aC a aC a nmx nmx baxbax bax bax dx * b)(ax dxb)(ax* α α α α VI. TÍCH PHÂN: (Integral) Với x 1 ; x 2 là hai nghiệm của ax 2 + bx + c = 0 Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận  0987.192212 Trang 7 1. Đònh nghóa: [ ] f(x) của hàmnguyênmột là F(x) VớiF(a)F(b)F(x)f(x)dx b a b a −== ∫ Công thức trên gọi là công thức Newton-Laipnitz 2. Tính chất: Giả thiết rằng các hàm số f(x), g(x) liên tục trên [a; b]. ( ) const):m(M;a)M(bf(x)dxa)m(bMf(x)m* g(x)dxf(x)dxb][a;xg(x),f(x)* 0f(x)dxb][a;x0,*f(x)g(x)dxf(x)dxdxg(x)f(x)* f(x)dxf(x)dxf(x)dx*R)(kf(x)dxkk.f(x)dx* f(x)dxf(x)dx*0f(x)dx* b a b a b a b a b a b a b a b c c a b a b a b a a b b a a a −≤≤−⇒≤≤ ≥⇒∈∀≥ ≥⇒∈∀≥±=± +=∈= −== ∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫ ∫∫∫ Lưu ý: Tích phân của một hàm số phụ thuộc vào hàm số đó và các cận a; b mà không phụ thuộc vào biến, nghóa là: ∫ ∫∫ === b a b a b a f(u)duf(t)dtf(x)dx VII. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: 1. Phương pháp đổi biến số: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], x = ϕ(t) là hàm số có đạo hàm liên tục trên [α; β], trong đó a = ϕ(α); b = ϕ(β). Khi t biến thiên trên [α; β] thì x biến thiên trên [a; b]. Ta có: [ ] dt(t)'.(t)ff(x)dx β α b a ∫∫ = ϕϕ Chú ý: Đối với phương pháp này, nếu gặp tích phân có chứa:  A α thì đặt t = A.  α A thì đặt t = α A .  A 1 thì đặt t = A.          −∈= − − ∫∫ 2 π ; 2 π tvớia.sintxđặtthì xa 1 hoặcxa 22 22 Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận  0987.192212 Trang 8        −∈= + −+ ∫∫∫ 2 ; 2 tvớia.tgtxđặtthì xa dx hoặc xa dx hoặc xa 22 2222 ππ )( n dx 2. Phương pháp tích phân từng phần: Nếu u(x); v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [a; b] thì: ∫∫ −= b a b a v.duu.dv b a uv Chú ý: Đối với phương pháp này, ta tách biểu thức f(x)dx thành u.dv sao cho từ dv tìm v đơn giản và ∫ b a v.du đơn giản hơn ∫ b a u.dv . Gặp: P(x) đặt u thì dx a e b)cos(ax b) sin(ax P(x). b a nmx bax =               + + ∫ + + Gặp: P(x) dvđặt thì dxP(x). b a =       + ∫ x bax a log )ln( VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: 1. Diện tích các hình phẳng: * Cho hàm số y = (f) liên tục trên đoạn [a ; b] thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thò y = f(x), x = a, x = b, y = 0 (Ox) là: * Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y = f 1 (x), y = f 2 (x), đường thẳng x = a, x = b là: 2. Thể tích vật thể tròn xoay: * Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn giữa x = g(y), y = a, y = b, x = 0 khi khi quay quanh trục Oy : dxxV b a 2 ∫ = π * Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn giữa y = f(x), x = a, x = b, y = 0 khi quay quanh trục Ox là: dxyV b a 2 ∫ = π Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận  0987.192212 Trang 9 IX. ĐẠI SỐ TỔ HP: (Combinatorics) 1. Quy tắc cơ bản của phép đếm: a. Quy tắc cộng: Nếu một hành động (H) có các trường hợp: A; B; C; Trường hợp A có m cách thực hiện. Trường hợp B có n cách thực hiện. Trường hợp C có p cách thực hiện Thì (H) có m + n + p + cách thực hiện. b. Quy tắc nhân: Nếu một hành động (H) có các giai đoạn: A; B; C; Giai đoạn A có m cách thực hiện. Giai đoạn B có n cách thực hiện. Giai đoạn C có p cách thực hiện Thì (H) có m.n.p. cách thực hiện. 2. Hoán vò: (Permutation) Đònh nghóa: Mỗi cách sắp xếp n phần tử của tập X theo một thứ tự nhất đònh được gọi là một hoán vò của n phần tử. P n = n! = 1.2.3 n Quy ước: 0! = 1 3. Chỉnh hợp: (Arrangement) Đònh nghóa: Mỗi cách sắp xếp k phần tử của tập X (0 ≤ k ≤ n) theo một thứ tự nhất đònh được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. k)!(n n! A k n − = Đặc biệt: n!PA n n n == 4. Tổ hợp: (Combination) Đònh nghóa: Mỗi tập con gồm k phần tử của tập X gồm n phần tử (0 ≤ k ≤ n) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. k)!(nk! n! C k n − = Tính chất: CCC CC k 1-n 1-k 1-n k n k-n n k n += = 5. Công thức nhò thức Newton: baC bCabC baC baCbaCaCb)(a n 0k kknk n nn n 1n1-n n kknk n 22n2 n 1n1 n n0 n n ∑ = −−−−− =+++++++=+ Đặc biệt: n n n1-n n 1nk n k2 n 1 n 0 n n n n 1-n n k n 2 n 1 n 0 n nn C1)(C1)( C1)( CCC1)(10 CC C CCC1)(12 −+−++−+−+−=−= +++++++=+= − 6. Tam giác Pascal: Cho ta biết các hệ số của khai triển Newton với n không quá lớn. Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận  0987.192212 Trang 10 n = 0: 1 n = 1: 1 1 n = 2: 1 2 1 n = 3: 1 3 3 1 n = 4: 1 4 6 4 1 n = 5: 1 5 10 10 5 1 n = 6: 1 6 15 20 15 6 1 n = 7: 1 7 21 35 35 21 7 1 n = 8: 1 8 28 56 70 56 28 8 1 n = 9: 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 HÌNH HỌC I. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG: 1. Các phép toán về vectơ:               2 2 Cho u = (x; y); v = (x'; y'). u ± v = (x ± x'; y± y') k.u = (kx; ky) u . v = x.x'+ y.y' u = x + y u . v cos(u;v) = u . v Cho A(x A ; y A ); B(x B ; y B ): AB = (x B – x A ; y B – y A ) * Điểm M(x M ; y M ) chia đoạn AB theo tỷ số k (MA = k.MB) thì: − − − − A B A B M M x kx y ky x = y = 1 k 1 k * Điểm M(x M ; y M ) trung điểm AB + + A B A B M M x x y y x = y = 2 2 2. Đường thẳng: 2.1. Phương trình đường thẳng:  Đường thẳng d qua M(x 0 ; y 0 ), chỉ phương a = (a 1 ; a 2 ) có: PTTS:    0 1 0 2 x = x + ta y = y + ta ; PTCT: − − = 0 0 1 2 x x y y a a [...]... = p(x + x0) Đường thẳng d: Ax + By + C = 0 tiếp xúc (P): y2 = 2px ⇔ pB2 = 2A.C O F( p ; 0) 2 x II PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN: 1 Các phép toán về vectơ: Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận 0987.192 212 Trang 12 Hệ thống kiến thức Toán 12 Cho u = (x; y; z); v = (x'; y'; z') u ± v = (x ± x'; y ± y'; z ± z ') k.u = (kx; ky; kz) u v = x.x' + y.y' + z.z' u = x2 + y2 + z2 cos(u; v)... A2(a; 0) B1(0; – b), A2(0; b) Tiêu điểm: F1(– c; 0), F2(c; 0) c a Tâm sai: e = ; đường chuẩn: x = ± a e F1(– c; 0) Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận O 0987.192 212 F2(c; 0) x Trang 11 Hệ thống kiến thức Toán 12 x.x y.y x y + 2 = 1 tại M0(x0; y0) là d: 2 0 + 2 0 = 1 2 a b a b 2 2 x y Đường thẳng d: Ax + By + C = 0 tiếp xúc (E): 2 + 2 = 1 ⇔ A2.a2 + B2.b2 = C2(C ≠ 0) a b y 4.2 Hyperbol:...  1  x − x 0 y − y0 z − z0 2 = = PTTS:  y = y 0 + ta2 ; PTCT: ⇔  a1 a2 a2  y − y0 = z − z0 z = z + ta 0 3   a2 a2  Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận 0987.192 212 Trang 13 Hệ thống kiến thức Toán 12 4 Vò trí tương đối: 4.1 Vò trí tương đối giữa hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng: α: Ax + By + Cz + D = 0 β: A’x + B’y + C’z + D’ = 0 A : B : C ≠ A’ : B’ : C’: α cắt β A B C D = = =... pháp véctơ n , β có pháp véctơ n’ thì cos(α , β ) = n.n' n n' 6 Khoảng cách: 6.1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận 0987.192 212 Trang 14 Hệ thống kiến thức Toán 12 Cho điểm M0(x0; y0; z0) và α: Ax + By + Cz + D = 0 thì: d(M 0 ,d) = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A 2 + B2 + C2 6.2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:  M 0 M1 u    Cho điểm...Hệ thống kiến thức Toán 12 Đường thẳng d qua M0(x0; y0), pháp vectơ n = (A; B) cóPTTQ: d: A(x – x0) + B(y – y0) = 0 Chú ý: Nếu d có n = (A; B) thì a = (B; – A) hoặc a = (– B; A) d // d’: Ax + By + C = 0 thì d: Ax + By... (y − b) + (z − c) = R Giáo viên: Nguyễn Hữu Chung Kiên Trường THPT Vónh Thuận Email: nhchungkien@gmail.com Website: fun.easyvn.com/chungkien Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận 0987.192 212 Trang 15 . F 1 ( – c; 0) F 2 (c; 0) x y Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận  0987.192 212 Trang 12  Tiếp tuyến với (E): 2 2 2 2 x y + =1 a b . phép toán về vectơ: O F 1 ( – c; 0) F 2 (c; 0) x x y O F( p 2 ; 0) x y Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận  0987.192 212 Trang. x 0 thì f’(x) phải đổi dấu khi đi qua x 0 . Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận  0987.192 212 Trang 3  Đònh lý 2:( Dấu hiệu 2 ) a. Hàm số f(x)