Tổng hợp kiến thức Toán lớp 12 và ôn thi đại hoc

HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN THPT DÙNG CHO THI TỐT NGHIỆP - ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Chỳ ý: 1.Nội dung cú chỳt nõng cao và mở rộng với mục đớch dựng cho ụn luyện thi ĐH-CĐ 2.Cỏc nội dung “chữ đậm

HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN THPT DÙNG CHO THI TỐT NGHIỆP - ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

Chỳ ý: 1.Nội dung cú chỳt nõng cao và mở rộng với mục đớch dựng cho ụn luyện thi ĐH-CĐ

2.Cỏc nội dung “chữ đậm và in nghiờng”ở phần hệ thống là những nội dung trọng tõm

của thi TNTHPT

VấN Đề 1:ỨNG DụNG ĐạO HÀM

o Phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn: taùi M 0; ủi qua moọt ủieồm M 1 hoặc biết heọ soỏ goực k

o Bieọn luaọn soỏ nghieọm cuỷa phửụng trỡnh baống ủoà thũ :

o Cực trị hàm số

o Giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất

o Sự tương giao của hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong)

o Caựch xaực ủũnh tieọm caọn :

o Ứng dụng của tớch phõn :Tớnh diện tớch hỡnh phẳng và thể tớch của một vật thể trũn xoay sinh bởi

1 hỡnh phẳng quay quanh trục Ox hoặc Oy

o Tỡm điểm cố định của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m)

o Bài toỏn tỡm quỷ tớch của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m)

o Các dạng đồ thị có chứa giá trị tuyệt đối th-ờng gặp:

……

VấN Đề 2:HÀM Số LUỹ THừA,MŨ VÀ LOGARIT

 Tớnh toỏn,chứng minh,rỳt gọn,….cỏc biểu thức cú chứa mũ,logarit,luỹ thừa,…

 Tớnh đạo hàm của cỏc hàm số mũ và logarit

 Vẽ được đồ thị của cỏc hàm số mũ,logarit và luỹ thừa

 Giải phương trỡnh mũ và logarit :

 Giải bất phương trỡnh mũ và logarit

 Giải hệ phương trỡnh mũ và logarit (Khụng cú ở ban cụ baỷn)

VấN Đề 3:NGUYấN HÀM –TÍCH PHÂN VÀ ứNG DụNG TÍCH PHÂN

o Tớnh tớch phõn bằng cỏch sử dụng tớnh chất và nguyờn hàm cơ bản

o Tớnh tớch phõn bằng phương phỏp đổi biến số

o Tớnh tớch phõn của cỏc hàm số lượng giỏc (một số dạng cơ bản)

o Tớnh tớch phõn của cỏc hàm số hữu tỷ

o Tỡm tớch phõn của cỏc hàm số vụ tỷ:

o Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối Tính bf (x) dx

 Tìm số phức z; ;z biểu diễn số phức;số phức bằng nhau;…

 Thực hiện được các phép tốn về cộng trừ,nhân,chia các số phức

 Tìm được căn bậc 2 của 1 số (thực dương;0;thực âm và số phức)

 Giải phương trình trong tập phức (Chú ý PP giải pt bậc 2 và định lý Vi-et)

 Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng (Khơng cĩ ở ban cơ bản)

VấN Đề 5:DIệN TÍCH VÀ THể TÍCH CÁC KHốI

 Tính diện tích các mặt (là tam giác,tứ giác,hình trịn, )

 Tính thể tích các khối chĩp,khối hộp,lăng trụ,…

 Mặt cầu:

o Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp,hình hộp,…

o Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

 Mặt trụ: Tính diện tích xung quanh,diện tích tồn phần hình trụ và thể tích khối trụ

 Mặt nĩn:

o Tính diện tích xung quanh,diện tích tồn phần hình nĩn và thể tích khối khối nĩn

VấN Đề 6:PHƯƠNG PHÁP TOạ Độ TRONG KHƠNG GIAN

o Xác định điểm , tọa độ vectơ trong không gian , c/m tính chất hình học

o Tích vô hướng , tích có hướng , góc giữa hai véc tơ :

o Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,diện tích tam giác,thể tích khối chĩp,hộp:

o Xác định tâm và bán kính mặt cầu

o Viết phương trình mặt cầu

o Xác định tâm H và bán kính r của đường trịn trong khơng gian

o Viết pt mặt phẳng dưới 3 dạng (cơ bản,chùm mp và tổng quát)

o Viết pt đường thẳng dưới 2 dạng (PTTS và PTCT)

 Tính gĩc giữa các đối tượng:(đường thẳng- đường thẳng;đường thẳng-mặt phẳng và mặt phẳng-mặt phẳng )

 Xác định phương trình;tâm và bán kính của đường trịn trong khơng gian

 Tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng hoặc đ.thẳng

o Tìm hình chiếu H của M lên ()

o Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng (d)

 Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với điểm A qua đt hoặc mp

o Đối xứng qua mp()

o Đối xứng quađường thẳng (d)

 Tìm hình chiếu (d’) của đ.thẳng (d) lên mp (  )

PHẦN A.GIẢI TÍCH

PHẦN 1: HÀM SỐ

Nhắc lại 1 số công hức về đạo hàm cơ bản:

Bài toán 1: Khảo sát hàm số



  với xo là nghiệm mẫu

4.Tìm phương trình tiệm cận (nếu có)

5.Lập bảng biến thiên

6.Chỉ ra khoảng đồng biến,nghịch biến

7.Chỉ rõ điểm CỰC ĐẠI,CỰC TIỂU

8.Xét tính lồi lõm và điểm uốn (Đối với hàm số bậc 3 và hàm trùng phương) Tính y’’ cho y’’=0 tìm nghiệm và lập bảng xét dấu y’’

9.Nhận xét về đồ thị:

 Chỉ rõ tâm đối xứng(trục đối xứng của đồ thị)

 Chỉ rõ giao điểm của (C) với trục Oy và Ox

 Cho thêm điểm đặt biệt để vẽ

2

/ / /

/ /

/ /

/

/ / /

5

)0(

4

3

C

v v

u v v u v u

v C v C

v u v u v u

v u v u

x x

x x

x x

x x

a x x

e e

a a a

x x

x x

x x

x C

a

x x

x x

2 /

2 /

/ / / / / / / 2 /

1 /

/ /

sin

1cot

.18

cos

1tan

.17

sincos

.16

cossin

.15

1ln

.14

ln

1log

.13

.12

ln

11

.2

1

10

11

.9

.8

1

7

0

costan

sin.cos

cos.sin

ln

ln.log

.ln

.2

1

2

/ /

2

/ /

/ /

/ /

/ /

/ /

/ /

/ /

/ / 2

/ /

/ 1 /

u

u u

u

u u

u u u

u u u u

u u

a u

u u

u e e

u a a a

u

u u

v

v v

u x u

a

u u

u u

b ax y







)(cx d

bc ad y







2 2 2 2

1 1 2 1

20

c x b x a

c x b x a y

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2 2

1 1 /

2

c x b x a

c b

c b x c a

c a x b a

b a y

+ TXĐ : D = R

+ Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với / = b2 3ac

/  0 /  0

y/ cùng dấu với hệ số a KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?) y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2 KL: hàm số tăng? Giảm? Hàm số không có cực trị  Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu? + Giới hạn:  lim (ax3 bx2 cx d) x      =         ) 0 ( ) 0 ( a a  lim (ax3 bx2 cx d) x      =         ) 0 ( ) 0 ( a a + Bảng biến thiên: x  + x  x1 x2 +

y/ + y/ + 0  0 +

y +

- y CĐ +

- CT x  + x  x1 x2 +

y/  y/  0 + 0 

y +



y + CĐ

CT 

Chú ý : dù y/ = 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng + Vẽ đồ thị :  xác đinh Cực trị ?  ; điểm đặc biệt a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT 2 Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c ( a  0 ) + TXĐ : D = R + Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x =2x.(2a x2+ b)

a,b cùng dấu a, b trái dấu y/ = 0  x = 0 KL: tăng? Giảm y / = 0  2x (2ax2 + b) = 0  x= 0; x1,2= a b 2  KL: tăng? Giảm? Giá trị cực trị : y(0) = c có một cực trị  Giá trị cực trị: y(0)= c ; y( a b 2  ) = a  Có 3 cực trị + Giới hạn : lim (ax4 bx2 c) x     =         ) 0 ( ) 0 ( a a + Bảng biến thiên : x  0 + x  x1 0 x2 +

a > 0

a < 0

Điểm uốn I(

a

b

3 ;f(

a

b

3 ))

a > 0

+ Đạo hàm : y/ = 2

) (cx d

bc ad

+Bảng biến thiên :

+ Vẽ đồ thị :  Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt

 Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao điểm hai tiệm cận

4 Hàm hữu tỉ : 2/1 y = ax 2 exbxfc (đk : e  0 ; tử không chia hết cho mẫu ) + TXĐ: D = R\       e f

+ Đạo hàm : y/ = 2 2 ) ( ) ( 2 f x e ce bf x af x ae     có / =(af)2(bfc e).ae / < 0 / > 0 y/ cùng dấu với ae y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2 Hàm số không có cực trị  Giá trị cực trị tính theo CT : y = e b ax 2 + Tiệm cận :  x = ef là tiệm cận đứng vì lim f(x) e f x  =   Viết lại hàm số y = A x + B + (x); )] ( ) ( [ lim f x Ax B x     =  (x)   x lim =0 => y = e ax + ( e b 2 e af ) là t/c xiên + Bảng biến thiên : x  f/e + x  x1 f/e x2 +

y/ +  + y/ + 0    0 +

y + +

 

y CĐ + +

  CT

x  f/e + x  x1 f/e x2 +

y/    y /  0 +  + 0 

y + +

 

y + + CĐ CT  

+ Vẽ đồ thị : ( như hàm phân thức )

(ban cơ bản khơng khảo sát hàm số này)

Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến :

Yêu Cầu Viết PTTT của (C): y=f(x) biết

1 Tiếp tuyến tại M(x 0 ; f(x 0 ))

 TT có phương trình là : y - f(x0)= f/(x0)(x x0)

y= a/c

y= a/c

a.e > 0

a.e < 0

Xiên

 Từ x0 tính f(x0) ; Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ?

 P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f/(x0)(x x0) + f(x0)

2 Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x 1 ; y 1 ) của đồ thị h/s y =f(x)

 Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A

Pt đường thẳng (d) là : y = k(x  x1) + y1

 Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thị (C) là

 Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận

3 Tiếp tuyến có hệ số góc k :

Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a

tiếp tuyến  đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = 

a

1

 Giả sử M(x0; f(x0)) là tiếp điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f/(x0)

 Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? > f(x0) = ?

 Phương trình tiếp tuyến y = k (x  x0) + f(x0)

Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k1.k2 = 1

+ Hai đường thẳng song song nhau : k1 = k2

Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị :

Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0

 Biến đổi phương trình F(x; m) = 0 về dạng f(x) = g(x) Trong đó đồ thị hàm số y = f(x) đã vẽ và y=g(x) là 1 đường thẳng song song với Ox

Chú ý:Ở mức độ khĩ hơn thì đồ thị y=g(x) // với đường thẳng cố định hoặc quay quanh 1 điểm cố định)

 Vẽ đồ thị:y = g(x) ; đồ thị (C): y =f(x)

 Dựa vào đồ thị xét sự tương giao của đồ thị (C) với đồ thị y = g(x)

Bài toán 4: xét tính đơn điệu

Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :

+ MXĐ: D= ?

+ Đạo hàm : y/ = ?

cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/

+ BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)

* y/ > 0 thì hàm số tăng ; y/ < 0 thì hàm số giảm

+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng

Định lý 2 (dùng để tìm giá trị m):

a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f/(x)  0  x  (a;b)

b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f/(x)  0  x  (a;b)

Bài tốn 5: Cực trị hàm số

 Dấu hiệu I :

+ MXĐ D=?

+ Đạo hàm : y/ = ?

cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/

+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) + Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ?

Chú ý:

1) Nếu hàm số luơn tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên (a;b)

2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0

3) x0 là cực trị của hàm số  /( 0) 0

/ ( )

Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ?

Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ= ?

 Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x o :

+ xo là điểm cực trị

/ 0 / / 0

/ 0 / / 0

 Hàm số đạt cực trị bằng y 0 tại x 0

Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0 khi

)(

0)(

0 //

0 0 0 /

x f

y x f

x f

Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu (như hàm lượng giác,mũ,logarit,luỹ thừa,… )

* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:

y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x)

Dạng 2: Cực trị của hàm hữu tỉ :

- Để hàm số y f x cĩ hai cực trị nằm về 2 phía đối với tung  y CD.y CT 0

- Để hàm số y f x cĩ hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung  x CD.x CT 0

đổi dấu qua x0

- Để hàm số y f x cĩ hai cực trị nằm trên trục hồnh 0

- Để hàm số y f x cĩ cực trị tiếp xúc với trục hồnh  y CD.y CT 0

Bài tốn 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

1 Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s y = f(x) trên [a;b]:

2 P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MXĐ :

 Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ



* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ max y

[a;b]

 yCĐ

Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó :

 nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1

 nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2

 Đơi khi:Đặt ẩn phụ t=u(x) Biến bài tốn tìm GTLN,NN của hàm số y = f(x) trên một khoảng nào đĩ thành bài tốn tìm GTLN,NN của hàm số y = g(t) trên 1 đoạn khác

Bài tốn 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong)

1 Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x)

Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có

là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)

 pt(1) vô nghiệm <=> (C1) và (C2) không có điểm chung

 pt(1) có n nghiệm <=> (C1) và (C2) có n điểm chung

* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong

2 Điều kiện tiếp xúc : Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) <=> hệ pt f (x) g(x)

 Tiệm cận đứng : lim f (x)

x x

 





=> x = x0 là tiệm cận đứng

Chú ý : tìm x0 là những điểm hàm số không xác định

 Tiệm cận ngang : lim f (x) y0

x



 => y = y0 là tiệm cận ngang

Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử  bậc mẫu thì có tiệm cận ngang

 Tiệm cận xiên (ban cơ bản khơng cĩ phần này):

Cách 1: + viết hàm số dưới dạng : f(x) = ax + b +  (x)

 = 0  y = ax + b là tiệm cận xiên

Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ; f (x)

a lim

x x

 y = ax + b là tiệm cận xiên

Bài tốn 9: Ứng dụng của tích phân :Tính diện tích hình phẳng và thể tích của một vật thể trịn xoay sinh bởi 1 hình phẳng quay quanh trục Ox hoặc Oy

Bài tốn 10: Tìm điểm cố định của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m)

 Biến đổi PT y=f(x,m) thành PT theo ẩn m

 Toạ độ điểm cần tìm là nghiệm hệ PT gồm tất cả các hệ số bằng 0

 Giải hệ và kết luận

………

Bài tốn 11:Bài tốn tìm quỷ tích của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m)

 Tìm đk của tham số m để quỷ tích tồn tại

 Tìm toạ độ của điểm cần tìm quỷ tích

 Khử m tìm hệ thức độc lập từ hai biểu tức toạ độ trên

f -

0 x f nÕu

x f

 Vẽ đồ thị (C): y = f(x)

 Đồ thị (C1) gồm 2 phần:

 Các phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hồnh (f(x)  0)

 Phần đối xứng của đồ thị (C) nằm phía dưới trục hồnh qua Ox

b) Dạng đồ thị (C 2 ) của hàm số: y = f   x

f

-0 x nÕu

x f

 Vẽ đồ thị (C): y = f(x)

 Đồ thị (C2) gồm 2 phần:

 Các phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung (hay phần đồ thị (C) ứng với x >0)

 Phần đối xứng của phần đồ thị trên trục Oy

 Phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành

 Phần đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Ox

d) Dạng đồ thị của hàm số: y =  

  x g

x f

Ta có: y =  

  x g

x f

f -

0 x f nÕu

x g

x g

x f

 Vẽ đồ thị (C) của hàm số: y =  

  x g

x f

x f

 Các bước làm tương tự như phần d)

g x f -

0 x f u nÕ

x g x f

 Sau đĩ vẽ đồ thị (C2) của hàm số: y = f( x )

 Tiếp đĩ thực hiện cách vẽ đồ thị (C1) của hàm số: y = f   x

Tĩm lại ta thực hiện dần các bước như sau:

* Hàm số logarit:  = log a N  a = N log a x = b  x= a b

 Đặc biệt : aloga x = x ; loga a x = x ; loga1 = 0

 Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a  1 ta có:

loga(B.C) = logaB + logaC

 Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c  1 ta có :

logca.logab = logcb  log bc

Chú ý : log10x = lg x ; logex = ln x

 Hàm số Logarit: y = logax với a > 0 ; a  1

TXĐ : D = (0 ; + ) MGT : R

+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 > 0  logax1 > logax2

+ 0 < a < 1;h/s ngh biến: x1 > x2 > 0  logax1 <logax2

Bài tốn 2: Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logrit

(ex) / = ex > ( eu)/ = u/.eu

( ax) / = ax.lna > ( au)/ = u/.au.lna

= f (x) b

Chú ý: Dạng u(x)f (x)= 1  [u(x) 1].f(x) = 0 ( trong đó u(x) và f(x) có chứa biến )

Bài tốn 4: Giải phương trình logarit : 6 cách

Bài tốn 5: Giải bất phương trình mũ và logarit

Về cơ bản thì phương trình mũ và logarit cĩ các cách gải nào thì bất phương trình mũ và logarit cĩ các cách giải đĩ

Tuy nhiên,ta cần chú ý dạng cơ bản sau:

 B ất phương trình mũ dạng: f (x) g(x)

u(x)  u(x)

f (x) g(x) TH1 : 0 < u(x) <1 ; u(x) u(x) f (x) g(x)

f (x) g(x) TH1 : u(x) > 1 ; u(x) u(x) f (x) g(x)

0 < u(

f (x) g(x) TQuat : u(x) u(x)

*) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số

Bài toán 5: Giải hệ phương trình mũ và logarit (Không có ở ban cô bản)

Thông thường giải bằng PP thế



 =

1 a

tan(ax+ b) + C

dx 2 Sin (ax b)

Dạng 2: Tính I =  f (x)dx Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:

4.f(sinx,cosx)dx

• Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx

• Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx

• Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng công thức hạ bậc:

2

2cos1sin,2

2cos

a x x

t  

Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I

u(x).v'(x)dx  u(x).v(x)  v(x).u'(x)dx