Chuyên đề hình học không gian có lời giải HAYHình học 12, hình học 11

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN A Bài toán tính thể tích khối đa diện: I/ Cơ sở lý thuyết cần nắm: + Thể tích khối chóp: V= S.h (S: diện tích đáy, h: chiều cao) + Thể tích khối hộp: V = a.b.c (a,b,c: độ dài ba cạnh) + Thể tích khối lăng trụ: V = S.h (S: diện tích đáy, h: chiều cao) II/ Các dạng toán tính thể tích: Loại 1: Tính thể tích cách sử dụng trực tiếp công thức toán + xác định chiều cao khối đa diện cần tính thể tích (dựa vào định lí quan hệ vuông góc biết: định lí đường vuông góc, định lí đk đường thẳng vuông góc mặt phẳng …) + tìm diện tích đáy công thức quen biết Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông A D, có AB=AD=2a; CD=a góc mặt phẳng (SCB) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm AD biết mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với (ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD? Giải: Vì mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với (ABCD) mà (SBI) (SCI) có giao tuyến SI · = 600 Từ đường cao Kẻ IH vuông góc với BC ta có góc tạo mặt phẳng (SBC) (ABCD) SHI ta tính được: IC = a 2;IB = BC = a 2S 3 15 SABCD = AD(AB + CD) = 3a nên IH = IBC = a Từ VSABCD = a BC 5 Các toán dạng: ĐH A-2009; ĐH B-2009; ĐH D-2009; ĐH A-2007; ĐH B-2006 Loại 2: Tính thể tích cách sử dụng công thức tỉ số thể tích phân chia khối đa diện thành khối đa diện đơn giản + phân chia khối đa diện thành tổng hiệu khối ( hình chóp hình lăng trụ) mà khối dễ tính + Hoặc so sánh thể tích khối cần tính với khối đa diện khác biết trước thể tích Với loại ta hay sử dụng kết sau đây: Cho hình chóp S.ABC lấy A', B', C' tương ứng cạnh sau SA, SB, SC Khi đó: VS A'B 'C ' SA' SB ' SC ' = VS > ABC SA SB SC GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC Ví dụ áp dụng: · Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, BAD = 600 , SA vuông góc với đáy (ABCD), SA=a Gọi C' trung điểm SC, mặt phẳng (P) qua AC song song với BD cắt cạnh SB, SC hình chóp B', D' Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D' Hướng dẫn giải: Gọi O giao đường chéo ta suy AC' SO cắt trọng tâm I tam giác SAC Từ I thuộc mặt phẳng (SDB) kẻ đường thẳng song song với BD cắt SD B', C' giao điểm cần tìm Ta có: SC ' SD' SB ' = ; = = SC SD SB Dễ thấy VS.AB'C'D' = 2VS.AB'C'; VS.ABCD = 2VS.ABC ⇒ VS AB 'C 'D ' VS AB 'C ' SA SB ' SC ' = = = VS ABCD VS ABC SA SB SC 1 3 · Ta có VSABCD = SA.SABCD = SA.AD.AB.sin DAB = a.a.a = a 3 3 ⇒ VS AB 'C 'D ' = 3 a 18 Dạng toán tương tự: Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD hình chữ nhật AB=a, AD=2a, cạnh SA vuông góc với đáy, a cạnh SB hợp với đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy M cho AM = Mặt phẳng BCM cắt DS N tính thể tích khối chóp SBCMN Các toán dạng: ĐH A-2004; ĐH D-2006; ĐH A-2003 Loại 3: Tính thể tích khối đa diện phép tính tọa độ không gian Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD hình chữ nhật AB=a, AD = a , SA =a SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC Tìm thể tích khối tứ diện ANIB Giải: dựng hệ trục tọa độ Axyz với gốc A GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC Trong hệ trục tọa độ này, ta có A(0;0;0); D(a 2;0;0) Khi ta có MI = B(0;a;0);C(a 2;a;0);S(0;0;a) Như I = ( 1 IB ⇒ MI = IB 2 a a ; ;0)  a a a  a a a  a a a ;− ;− ; NB =  − ; ;− ; NI =  − ;− ;−  2 2 2 6 2      Ta có: NA =  − a a 2  Vì vậy: V Từ đó: [ NA, NB ] =  ;0;− 2    ANIB [ ] a3 = NA, NB NI = 36 Các toán dạng: ĐH A-2003; ĐH A-2004; ĐH B-2006; ĐH D-2009 Các dạng toán khác: Ngoài dạng thường gặp nêu trên, có dạng toán Sử dụng phương pháp thể tích để tìm khoảng cách Các toán thể tích khối đa diện có kết hợp với việc tìm GTLN, NN Các toán so sánh thể tích Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, đường cao hình chóp a Mặt phẳng (P) qua cạnh đáy BC vuông góc với cạnh bên SA chia khối chóp S.ABC thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần S Hướng dẫn giải: Vì S.ABC hình chóp nên hình chóp tâm tam giác trung điểm M BC BC ⊥ với SA suy SA ⊥ (BCN), suy diện mà mp(P) cắt hình chóp Vì thiết diện chia khối chóp diện có chung đáy (BCN) nên tỉ đường cao AN/SN N C A GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 H M B chân đường cao H ABC Ta có AH cắt BC SA Hạ BN vuông góc tam giác BCN thiết S.ABC S.ABC thành hai khối tứ số thể tích tỉ số hai CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC a a AN AH AM AH AM = = = = Vì ∆SAH ∼ ∆MAN nên: 2 10 SA 20 SA SH + AH a Vậy tỉ số thể tích là: V ANBC VSNBC 17 = = VSNBC 17 V ANBC III/ Một số tập dạng: Câu 1) Cho khối chóp S.ABCD có mặt bên SAD vuông góc (ABCD), góc tạo SC (ABCD) 600, góc tạo (SCD) (ABCD) 450, đáy hình thang cân có cạnh đáy a, 2a; cạnh bên a Gọi P,Q trung điểm SD,BC.Tìm góc tạo PQ mặt phẳng (ABCD).Tính V khối chóp? HD: Kẻ SH vuông góc với AD SH đường cao(SC,(ABCD))= SCˆH; (SM, ABCD)) = HMˆS) , với M chân đường cao kẻ từ H lên CD Từ P hạ PK vuông góc với AD ta có (PQ, (ABCD)) = PQˆK Câu 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAˆD = 600 , SA vuông góc với đáy(ABCD), SA=a Gọi C trung điểm SC, mặt phẳng (P) qua AC song song với BD cắt cạnh SB, SD hình chóp B’, D’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ ĐS VSAB 'C 'D ' = 3 a ( đvtt) Câu 3) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 đáy tam giác Mặt phẳng (A 1BC) tạo với đáy góc 300 tam giác A1BC có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: V = Câu 4) Khối lăng trụ ABCA1B1C1 có đáy tam giác vuông cân, cạnh huyền AB= Mặt phẳng (AA1B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA1= ; góc A1AB nhọn, góc tạo (A1AC) mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: V = 10 Câu 5) Khối lăng trụ tứ giác ABCD.A 1B1C1D1 có khoảng cách đường thẳng AB A 1D 2, độ dài đường chéo mặt bên a) Hạ AK ⊥ A1D (K thuộc A1D) Chứng minh AK=2 b) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 ĐS: b) V = 20 Câu 6) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA=2a SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M N hình chiếu vuông góc A đường thẳng SB SC a) Tính khoảng cách t A đến mặt phẳng (SBC) b) Tính thể tích khối chóp A.BCMN ĐS: a) d = 57 a 3a ; b) V = 19 50 B Bài toán Khối nón, khối trụ I Kiến thức bản: 1/ Mặt nón, hình nón khối nón + Thể tích: V = πR h + Diện tích xung quanh: + Diện tích toàn phần: Stp = πRl + πR (R: bán kính đáy, h: chiều cao, l: đường sinh) GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 Sxq = πRl CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC 2/ Mặt trụ, hình trụ khối trụ + Thể tích: V = πR h + Diện tích xung quanh: Sxq = 2πRh + Diện tích toàn phần: Stp = 2πRh + πR (R: Bán kính đáy, h: chiều cao) 3/ Chú ý: + Cắt mặt nón mặt phẳng qua đỉnh ta thiết diện tam giác cân + Cắt mặt nón mặt phẳng vuông góc với trục ta thiết diện hình tròn + Cắt mặt trụ mặt phẳng song song chứa trục ta thiết diện hình chữ nhật + Cắt mặt trụ mặt phẳng vuông góc với trục ta thiết diện hình tròn II/ Bài tập vận dụng: 1/ Cho hình lăng trụ lục giác ABCDEF.A'B'C'D'E'F' cạnh đáy a, chiều cao h Tính thể tích khối trụ nội tiếp hình lăng trụ ĐS: V = πa h 2/ Cho hình trục có trục O 1O2 Một mặt phẳng song song với trục cắt hình trụ theo thiết diện dện hình chữ nhật ABCD Gọi O tâm thiết diện đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bán kính đường tròn đáy hình trụ Tính số đo góc O1OO2 ∧ ĐS: O1OO2 = 90 3/ Cho hình trụ có chiều cao bán kính đáy a a) M, N hai điểm lấy hai đường tròn đáy cho MN tạo với trục hình trụ góc ϕ Tính khoảng cách từ trục hình trục đến đường thẳng MN b) Một mặt phẳng ( α ) song song với trục hình trụ cắt hính trụ theo thiết diện hình vuông Tính khoảng cách từ trục hình trụ đến mặt phẳng ( α ) c) Một mặt phẳng ( β ) không song song với trục hình trụ cắt hình trục theo thiết diện hình vuông Tính góc tạo mặt phẳng ( β ) với trục hình trụ a 10 − tan ϕ ; b) d' = a ; c) cos φ = 2 4/ Một hình trụ có bán kính R chiều cao R A B hai điểm hai đường tròn đáy cho ĐS: a) d = góc tạo AB trục hình trụ 300 a) Tính diện tích thiết diện qua A song song với trục hình trụ b) Tính góc hai bán kính qua A B c) Dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung AB trục hình trụ ĐS: a) S = R , b) α = 60 c) Dựng đường thẳng qua H song song OO' cắt AB I - Dựng IJ//OH (J thuộc OO'), IJ đoạn thẳng vuông góc chung phải dựng, IJ = R 5/ Cho hình trụ tròn xoay đáy đường tròn (O) (O') có bán kính đơn vị, chiều cao hình trụ đơn vị Gọi AB đường kính cố định (O) M điểm lưu động (O') Gọi MC đường sinh qua C, C đường tròn (O) Kẻ HC vuông góc với AB đăth Ah = x a) Chứng minh tổng số bình phương cạnh hình chóp MABC số Tính MH theo x Định vị trí M để diện tích S tam giác MAB đạt cực đại Tính thể tihcs V hình chóp MABC Chứng minh V cực đại S cực đại b) Định x để V = 4k (k số cho trước) ĐS: GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC a) T = 156; MH = − x + x + 16 , ( ≤ x ≤ ) ; S = 3MH, S đạt cực đại x = 3, H trùng với O, M điểm mà đường sinh MC qua điểm C cung AB.(dùng phương pháp đồ thị); V = x(6 − x) , V cực đại x = 3, S cực đại b) x = + − k , x = − − k , ( < k ≤ 3) 6/ Một hình nón có đường sinh l góc đường sinh đáy α a) Tính diện tích xung quanh thể tích khối nón b) Gọi I điểm đường cao SO hình nón cho SI = k , ( < k < 1) Tính diện tích thiết SO diện qua I vuông góc với trục ĐS: a) Sxq = πl cos α ; b) Sthiết diện = πk l cos α C Bài toán khoảng cách I/ Các dạng toán khoảng cách 1/Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α ) : +Bước1: Chon mp( β ) chứa ( qua ) M vuông góc với (α ) +Bước2: Tìm giao tuyến d mp (α ) mp( β ) +Bước3: Dựng MH ⊥ d H ⇒ MH ⊥ (α ) ⇒ MH = d[M;(α )] Hình vẽ minh họa: M d H 2/Khoảng cách giửa đường thẳng mặt phẳng song song với đường thẳng đó: Bằng khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng 3/Khoảng cách giửa hai mặt phẳng song song Bằng khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng kia(hoặc ngược lại) 4/Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: *Phương pháp1:Nên dùng cho đường thẳng chéo mà vuông góc với Dựng đoạn vuông góc chung GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC a d[a;b] = OH b O H *Phương pháp2: Để tính khoảng cách hai đường thẳng a b chéo làm bước sau +Bước1: Tìm mp (α ) chứa b mp (α ) // a +Bước2: d[ a ;b] = d[ a;(α )] = d[ M ;(α )] = MH a M H b *Phương pháp3: Để tính khoảng cách hai đường thẳng a b chéo làm bước sau +Bước1: Tìm mp (α ) chứa a mp ( β ) chứa b mà mp (α ) // mp ( β ) +Bước2: d[ a ;b] = d[ (α );( β )] = d[ M ;( β )] = MN a M b N *Phương pháp4: Để tính khoảng cách hai đường thẳng a b chéo làm bước sau +Bước1: Tìm mp (α ) vuông góc a cắt a O +Bước2: Tìm hình chiếu b’ b lên mp (α ) ; rõ ràng a//mp(b,b’) Suy ra: d[ a;b] = d[ a ;mp (b ,b ')] = d[ O;mp (b ,b ')] = OH *Nói thêm: MN đoạn vuông góc chung a b b a M N O b' H Lưu ý cần thiết: 1/Để tính khoảng cách từ M đến mp (α ) ta làm sau : + Tìm đường thẳng a qua M mà a // mp (α ) GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC + Chọn điểm N a (thích hợp với giả thiết toán) , tính khoảng cách từ N đến mp (α ) + Khi đó; d[ M ;mp (α )] = d[ N ;mp (α )] = d[ a ;mp (α )] 2/Để tính khoảng cách từ M đến mp (α ) ta làm sau : + Tìm đường thẳng a qua M mà a cắt mp (α ) I + Chọn điểm O a (thích hợp với giả thiết toán) , tính khoảng cách từ O đến mp (α ) + Khi đó; tính tỷ số: IO OO ' = k , suy : = k ⇔ MM ' = OO' IM MM ' k ⇔ d[ M ;mp (α )] = d[ O;mp (α )] k M O O' I M' II/ Bài tập: BÀI1: Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên a , đường cao SO Gọi M N trung điểm AB BC a/Chứng minh (SBC) ⊥ (SAN) tính độ dài SO b/ Tính khoảng cách từ O đến (SBC) c/Tính khoảng cách giửa đường thẳng AB SC d/Tính khoảng cách từ M đến (SAN) e/Tính khoảng cách đường thẳng MC SA S x P E K J H A C I M O N B GỢI Ý a/Chọn đường BC chứng minh vuông góc với (SAN) suy (SBC) vuông góc với (SAN) *Tính SO : Xét tam giác vuông SOC O lưu ý: tam giác ABC nên ta có MC = a 3 a ; OC = MC = a = 3 b/Ta chia làm bước cho dễ hiểu: + Chọn mp(SAN) chứa O , ta có:(SBC) ⊥ (SAN) (chứng minh trên) +Ta có:(SBC) ∩ (SAN) =SN + Dựng OH vuông góc với SN H ⇒ OH ⊥ (SBC) ⇒ OH khoảng cách từ O đến (SBC) GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC Xét tam giác vuông SON O có OH đường cao ⇒ 1 = + … 2 OH ON OS2 c/Chứng minh AB ⊥ SC ,dựng MK vuông góc với SC K, suy MK đoạn vuông góc chung + Xét tam giác SMC có đường cao: SO MK , suy ra:MK.SC=SO.MC ⇒ MK = ? d/ + Chọn mp(ABC) chứa M, ta có: (ABC) ⊥ (SAN) ( SO ⊥ (ABC) +(ABC) ∩ (SAN) =AN +Dựng: MI ⊥ AN I (MI // BC), suy ra:MI ⊥ (SAN) …… ( Nhớ: MI= BN a = ) e/ * Dựng Ax//MC (khi đó:Ax nằm (ABC) Ax ⊥ AB,giả sử Ax cắt BC E) Suy ra: MC //(SAE) ⇒ d[ MC ;SA] = d[ MC ;( SAE )] = d[ O ;( SAE )] (Điểm O quan trọng) *Dựng OJ ⊥ AE J, dễ dàng chứng minh (SOJ) ⊥ (SAE) ( AE ⊥ SO; AE ⊥ OJ) +Chọn (SOJ) chưa O vuông góc với (SAE) +(SOJ) ∩ (SAE) = SJ +Dựng OP vuông góc với SJ P , suy :OP ⊥ (SAE) ⇒ OP khoảng cách từ O đến (SAE) - Tính OP? Xét tam giác vuông SOJ O có OP đường cao ⇒ 1 = + 2 OP OJ OS2 Bài2:Cho hình chóp S.ABCD ; đáy ABCD hình thang vuông A B,có: AB=BC=a;AD = 2a; SA= a E trung điểm đáy lớn AD; SA vuông góc với mặt đáy a/Chứng minh BE ⊥ SC (SAB) ⊥ (SBC) b/Tính khoảng cách đường thẳng : BC SD , AC với SD c/Tính khoảng cách từ O đến (SCD) Tính khoảng cách từ D đến (SCE) S x Q K A H D J O B E C P Gợi ý: +AQ khoảng cách AC SD +DP khoảng cách từ D đến (SCE); OH khoảng cách từ O đến (SCE) Bài3:Cho hình chóp S.ABCD ; đáy ABCD hình thoi cạnh a tâm O Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tam giác SAB cân S, H trung điểm AB SH=a, góc BAD = 60 a/Tính góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) b/Tính khoảng cách từ H đến (SCD),tính khoảng cách từ O đến (SCD), c/Tính khoảng cách đường thẳng BC SD d/Tính đường thẳng SO (SAB) Bài4:Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD hình thang có đáy lớn AD=2a, đáy bé BC=a,AB=a, góc BAD 1200 SA vuông góc với mặt đáy SA = a Gọi H K trung điểm AB AD a/ Chứng minh BK vuông góc với SC, tính khoảng cách BK SC b/ Tính khoảng cách từ A đến (SCD) GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC c/ Tính góc đường thẳng SC (SAB) d/ Tính góc hai đường thẳng AD SC Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , tâm O SA vuông góc với mặt đáy SA= a Gọi M hình chiếu vuông góc A lên SB a/Chứng minh CB ⊥ (SAB) AM ⊥ SC b/Tính góc đường thẳng SB mặt phẳng (SAC) c/Gọi G trọng tâm tam giác SCD Tính góc hai đường thẳng AG BD D Bài toán góc hai đường thẳng không gian I/ Phương pháp giải toán: Khi cần tính góc đường thẳng chéo a b không gian ta có cách sau: Cách 1:Dựng góc ta phải tìm đườngthẳng trung gian c song song với a c cắt b Khi góc tạo a b góctạo b c Hoặc ta dựng liên tiếp đường thẳng c d cắt song song với a b Sau ta tính góc c d theo định lý hàm số côsin theo hệ thức lượng tam giác vuông Cách 2: Gọi ϕ số đo góc hợp a b Gọi a, b vectơ phương a b ta có cos ϕ = cos(a, b) = a.b a b Chú ý:Khi tính góc đường thẳng thường gặp công thức sau: 1/Định lý hàm số côsin a = b + c − 2bc cos A (a,b,c cạnh đối góc A,B,C) Và cos A = b2 + c2 − a 2bc 2/Công thức tính độ dài đường trung tuyến ma = b2 c2 a2 + − 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN GÓC: BÀI 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chử nhật tâm O, SA vuông góc với mặt đáy Biết SA = a , BC=a tam giác OBC a/ Gọi M hình chiếu vuông góc A lên SB Chứng minh AM vuông góc với SC b/ Tính góc SB mặt phẳng (SAC) c/ Gọi G trọng tâm tam giác ACD Tính góc MG SC S a M A D \\a K H G L O \\ B a a a // I a \\ C HƯỚNG DẪN ( ) ( ) · , ( SAC ) = SB · , SI = BSI · b/ SB uuuur uuur MG.SC · , SC = uuuur uuur c/Ta có: cos MG MG SC ( ) GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 10 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC 2 uuuur  a   a   2a  a 23 2 2 MG = MK + GK = MH + HK + GK =  ÷ ÷ ÷ +  ÷ +  ÷ = 18       uuur 2 SC = SA2 + AC = a + ( 2a ) = a ( ) uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur MG.SC = AG − AM SC = AG.SC = AG SA + AC = AG AC = AG AC = AL AC = AO.AC 5 5a = AC AC = 4a = 12 12 5a · , SC = · , SC ≈ 560 ⇒ cos MG = ⇒ MG a 23 161 a 18 ( ( ) ( ) ( ) ) BÀI 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , tâm O SA vuông góc với mặt đáy SA= a Gọi M hình chiếu vuông góc A lên SB a/Chứng minh AM ⊥ SC b/Tính góc đường thẳng SB mặt phẳng (SAC) c/Gọi G trọng tâm tam giác SCD Tính góc hai đường thẳng AG BD HƯỚNG DẪN S G M A D I O N B C c/Gọi I trọng tâm ∆ ACD ⇒ GI ⊥ (ABCD) uuur uuur ( ) ( uuur uuur +Ta có : cos ·AG, BD = cos AG , BD ) AG.BD = uuur uuur AG BD -Trong tam giác vuông AGI I ,có : 4 11 2  2 2 AG = GI + IA2 = GI +  AN ÷ = GI + AN = GI + AD + DN = a 9 3  ( ) 11 uuur uuur uur uur uuur uur uuur uuuruuur uur uuur uur uuur a2 + AG.BD = AI + IG BD = AI BD + IG.BD = AI BD = OI BD = OI BD = BD.OI = Suy ra: cos ·AG, BD = 22 ⇒ AG = a ( ( ) ) GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 11 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC uuur uuur * Nhận xét: AG.BD = uuur uuur uuur uuur uuuuruuur uuuuruuur 1 a a2 AS + AC + AD BD = AD.BD = AO.BD = AO.BD = a 2= 3 3 3 ( ) BÀI 3: ĐH 2008 B Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có cạnh bên 2a Tam giác ABC vuông A, AB=2a, AC = a Hình chiếu vuông góc A’ lên (ABC) trùng với trung điểm M BC a/ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' b/ Tính góc hai đường thẳng AA’ BC HƯỚNG DẪN A' C' B' 2a d H a A C a a M a N a B b/ Cách1: Qua A dựng d//B’C’ ( ) ( ) Suy ·AA ', B ' C ' = ·AA ', d = ·A ' AH uuur uuur AA '.BC uuur uuur · · c os AA ', B ' C ' = c os AA ', BC = c os AA ', BC = uuur uuur Cách2: AA ' BC uuur  AA ' = AA ' = 2a  uuur  ⇒ cos ·AA ', B ' C ' = ⇒ ·AA ', B ' C ' ≈ 750  BC = BC = 2a  uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur  AA '.BC = AM + MA ' BC = AM BC = a  ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) II/ Bài tập: 1) Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a , đáy ABC tam giác vuông A AB = a , AC = a hình chiếu vuông góc A’ lên mp (ABC) trung điểm cạnh BC, Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC tính côsin góc tạo AA’ B’C’ ĐS: cos α = 2) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a , SA = a, SB = a mp(SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M,N trung điểm cạnh AB,BC Tính theo a thể tích khối chóp SBMDN tính cosin góc tạo SM DN GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 12 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC ĐS: V = 3a , cos α = 5 E Bài toán mặt cầu ngoại tiếp hình chóp lăng trụ: I/ Kiến thức bản: Để giải tốt dạng tập học sinh cần nắm vững kiến thức sau: ** Nếu I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SA1A2 An tâm I cách đỉnhS; A1; A2 An - Vì tâm I thuộc trục đường tròn đáy đường thẳng qua tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy vuông góc với đáy A1A2 An (đường thẳng song song với đường cao khối chóp) (Phải ý việc chọn mặt đáy cần linh hoạt cho xác định trục đường tròn đáy đơn giản nhất) - Tâm I phải cách đỉnh S đỉnh A1; A2 An nên I thuộc mặt phẳng trung trực SAi vấn đề khó đòi hỏi học sinh cần khéo léo để chọn cạnh bên cho trục đường tròn xác định cạnh bên đồng phẳng với để việc tìm I dễ dàng ** Trong số trường hợp đặc biệt khối chóp có mặt bên tam giác cân, vuông, ta xác định trục đường tròn mặt bên đáy Khi tâm I giao điểm trục đường tròn Nếu hình chóp có đỉnh nhìn cạnh a góc vuông tâm mặt cầu trung điểm cạnh a II/ Bài tập: 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B, AB = BC = a; AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD) SA=a Gọi E trung điểm AD.Tính thể tích khối chóp SCDE tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp a3 HD:+ V = + Gọi M, N trung điểm SE SC ta có mặt phẳng (ABNM) mặt phẳng trung trực SE Vậy tâm O mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SCDE giao điểm mặt phẳng (ABMN) trục đường tròn ngoại tiếp đáy CDE Gọi ∆ đường thẳng qua I trung điểm CD song song với SA.Gọi K trung điểm AB KN //AM KN ∆ đồng phẳng suy KN ∩ ∆ = O điểm cần tìm R = a 11 2) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật cạnh AB = a; AD = a góc hai mặt phẳng (SAC) ABCD 600 Gọi H trung điểm AB Biết mặt bên SAB tam giác cân đỉnh S thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp SABCD xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SAHC HD: a3 +V= + Gọi E, K trung điểm SA, HA Kẻ đương thẳng qua K song song với AD cắt CD F KF ⊥ (SAH) Dựng Ex song song với KF Ex trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SHA Dựng đường thẳng qua tâm O mặt đáy vuông góc với AC cắt KF, AD N, P N tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác AHC Trong mặt phẳng chứa Ex KF kẻ đường thẳng Ny vuông góc với đáy (ABCD) (đường thẳng song song với EK) Ny trục đường tròn tamgiác AHC Giao điểm I = Ny ∩ Ex tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SAHC R = 3) Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác cạnh a, DA = DB = ∧ a 31 a 32 , CD vuông góc với AD Trên cạnh CD kéo dài lấy điểm E cho AEB = 90 Tính góc tạo mặt phẳng (ABC) mặt phẳng (ABD).Xác định tâm tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối tứ diện ABCE HD: GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 13 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC + Gọi I trung điểm AB CI vuông góc với AB DI vuông góc với AB Nên góc tạo ∧ ∧ (ACD) (ABD) CID cos CID = + Chứng minh tam giác ACE vuông A (AD đường cao CD.DE = AD = a2 ) Tương tự ta có tam giác BCE vuông B Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE có CE đường kính tâm I mặt πa cầu trung điểm CE V = 4) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a đường cao SH.với H thỏa mãn HN = −3HM M, N trung điểm AB, CD Mặt phẳng (SAB) tạo với đáy ABCD góc 60 Tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SAC) xác định thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD HD: + VSNAC = 3 a 21 SH dt ∆NAC = a ⇒ d ( N , ( SAC )) = 48 14 + Trục đường tròn đáy đường thẳng d qua O //SH ⇒ d ⊂ (SMN) Vì tam giác SAB vuông cân S nên trục d’ mp(SAB) qua M vuông góc với SAB Theo ta có (SAB) vuông góc với (SMH) nên kẻ HE vuông góc với SM HE ⊥ (SAB) nên (d’) //HE Ta có d ' ∩ d = I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD R = IA = a 21 21 , V = πa 54 E Giải toán hình không gian phương pháp tọa độ: I/ Phương pháp giải toán: Vấn đề quan trọng việc giải toán hình không gian phương pháp tọa độ thiết lập hệ tọa độ cho phù hợp Sau xin giới thiệu số phương pháp để thiết lập hệ tọa độ 1/ Thiết lập hệ tọa độ tam diện: Với góc tam diện Oabc việc tọa độ hóa thường thực đơn giản, đặc biệt với: + Tam diện vuông hệ trục tọa độ vuông góc thiết lập tam diện + Tam diện có góc phẳng vuông, ta thiết lập mặt hệ trục tọa độ chứa góc phẳng 2/ Thiết lập hệ tọa độ cho hình chóp: Với hình chóp, việc tọa độ hóa thường thực dựa đặc tính hình học chúng Ta có trường hợp thường gặp sau: * Hình chóp hệ tọa độ thiết lập dựa gốc O trùng với tâm đáy trục Oz trùng với đường cao hình chóp Cụ thể: * Hình chóp có cạnh bên (SA) vuông góc với đáy ta thường chọn trục Oz cạnh bên vuông góc với đáy (SA), gốc tọa độ trùng với chân đường vuông góc (A) Trong trường hợp khác ta dựa vào đường cao hình chóp tính chất đa giác đáy để chọn hệ tọa độ phù hợp 3/ Thiết lập hệ trục tọa độ cho hình hộp chữ nhật: Với hình hộp chữ nhật việc thiết lập hệ tọa độ đơn giản, thường có hai cách: + Chọn đỉnh làm gốc tọa độ ba trục trùng với ba cạnh hình hộp + Chọn tâm đáy làm gốc tọa độ ba trục song song với ba cạnh hình hộp 4/ Thiết lập hệ tọa độ cho hình lăng trụ: + Với lăng trụ đứng ta chọn trục Oz thẳng đứng, gốc tọa độ đỉnh đáy tâm đáy Các trục Oy, Ox dựa vào tính chất đa giác đáy mà chọn cho phù hợp + Với lăng trụ nghiêng, ta dựa đường cao tính chất đáy để chọn hệ tọa độ cho thích hợp Ngoài trường hợp trên, trường hợp khác ta dựa vào quan hệ song song, vuông góc tính chất đường cao, đáy, để thiết lập hệ tọa độ cho thích hợp GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 14 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC II Các dạng tập: * Phương pháp chung: Ta thực theo hai bước: + Thiết lập hệ trục tọa độ thích hợp, từ suy tọa độ điểm cần thiết + Thiết lập biểu thức giải tích cho giá trị cần xác định * Ví dụ: 1) Cho góc tam diện Oxyz, Ox, Oy, Oz lấy điểm A, B, C cho OA = a, OB = b, OC = c Trong tứ diện OABC vẽ nội tiếp hình lập phương cho đỉnh trùng với O đỉnh đối diện thuộc mặt phẳng (ABC) Tính độ dài cạnh hình lập phương HD: + Chọn hệ tọa độ Oxyz với A thuộc Ox, B thuộc Oy, C thuộc Oz Ta có: A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) + mp(ABC): x y z + + =1 a b c + Gọi t cạnh hình lập phương A' đỉnh đối diện với O, A'(t; t; t) + A' thuộc (ABC) suy t = abc ab + bc + ca 2) Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC cạnh a Dựng đoạn SA = a vuông góc với mp(P) Tính tan góc nhọn hai cạnh AB SC HD: Chọn hệ tọa độ hình vẽ: z a a  ;0  2  Ta có: A(0; 0; 0), B  ; S C(a; 0; 0), S(0; 0; a) ĐS: cos α = AB.SC AB SC = ⇒ tan α = C A x B y 3) Cho hình lập phương ABCD.A 1B1C1D1 cạnh a Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cạnh AD CD Lấy P thuộc BB1 cho BP = 3BP1 Tính diện tích thiết diện (MNP) cắt hình lập phương HD: + Chọn hệ tọa độ Axyz với B thuộc Ax, D thuộc Ay A1 thuộc Az Ta có   a   A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), A1(0; 0; a), B1(a; 0; a), C1(a; a; a), D1(0; a; a), M  0; ;0  , N 3a  a    ; a;0  , P  a;0;   2   + Gọi α góc tạo (MNP) (ABCD), ta có: cos α = + Gọi S1 S diện tích thiết diện hình chiếu lên mặt phẳng (ABCD) Ta được: S1 = S S ( S ABCD − S DMN ) = = 7a = ABCMN = cos α cos α cos α 16 4) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A 1B1C1 có cạnh a Tính góc giữ hai mặt phẳng (ABC1) (BCA1) + Chọn hệ tọa độ hình vẽ Ta có: GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 15 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC a a  a a   ;   2 ;a  ;  ;  A1(0; 0; a), B1(a; 0; a), C1   A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C  2  + Gọi α góc (ABC1) (BCA1) Ta có: cos α = n1 n n1 n2 = z A1 B1 C1 B A x C y * Ví dụ: 1) Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a, M trung điểm cạnh BC Trên nửa đường thẳng AA1, MM1 vuông góc với mp(ABC) phía, lấy tương ứng điểm N, I cho MI = NA = a Gọi H chân đường vuông góc hạ từ A xuống NM Chứng minh AH ⊥ NI HD: + Chọn hệ trục tọa độ Axyz với B thuộc Ax, C thuộc Ay N thuộc Az Ta có: a a 2   a a a 2 2 a 2 a 2 A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(0; a; 0), M  ; ;0  , N(0; 0; a), I  ; ;  , H  ;0;  + Tính AH NI = ⇒ AH ⊥ NI 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy Gọi M, N hai điểm theo thứ tự thuộc BC, DC cho BM = a 3a , DN = Chứng minh hai mặt phẳng (SAM) (SMN) vuông góc với HD: + Chọn hệ trục tọa độ Axyz với B thuộc Ax, D thuộc Ay, S thuộc Az, đó:   a    3a  ; a;0    A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), S(0; 0; a), M  a; ;0  , N  + Tính MN AM = ⇒ MN ⊥ AM + Mặt khác SA ⊥ MN, suy MN ⊥ ( SAM ) ⇒ ( SMN ) ⊥ ( SAM ) 3) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = SB = SC, khoảng cách từ S đến mp(ABC) h Tìm điều kiện a h để hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với HD: + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O trọng tâm tam giác ABC, BC song song Ox, A thuộc Oy, S thuộc Oz, đó:  A  0;  a a   a a  a  ;0  , B  ;− ;0  , C  − ;− ;0  , S(0; 0; h) 6      + ( SAB) ⊥ ( SAC ) ⇔ n.n' = ⇔ a = h 4) Cho hình lăng trụ ABC A 1B1C1 có đáy tam giác cạnh a, AA = h vuông góc với mp(ABC) Biết khoảng cách A1B1 BC1 d Chứng minh rằng: a = HD: + Chọn hệ trục tọa độ Axyz với B thuộc Ax, A1 thuộc Az, đó: GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 16 2dh 3(h − d ) CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC a a  a a   ;   2 ;h  ;  ;  A1(0; 0; h), B1(a; 0; h), C1   A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C  2  + Gọi a, b theo thứ tự VTCP A1B1 BC1 Ta có:  a a  ; h  ⇒ b = a; a 3;−2h a phương A1 B1 = (a;0;0) ⇒ a = (1;0;0) , b phương BC1 =  − ;− 2   Khi đó: d = [a, b]BB [a , b ] ( ah = 4h + 3a 2 ⇔a= ) 2dh 3(h − d ) 5) Cho góc tam diện Oxyz, Ox, Oy, Oz lấy điểm A, B, C a/ Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC) theo OA = a, OB = b, OC = c b/ Giả sử A cố dịnh B, C thay đổi thỏa mãn OA = OB + OC Hãy xác định vị trí B C cho thể tích tứ diện OABC lớn HD: + Chọn hệ trục Oxyz, đó: A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) + PT (ABC): x y z + + = , d(O, (ABC)) = a b c abc b c + c a + a 2b 2 1 b+c a3 + VOABC = abc ≤ a. (Theo bđt côsi)  = 6   24 a a3 Do Max(VOABC) = đạt b = c = 24 6) Cho tứ diện SABC có SC = CA = AB = a , SC vuông góc với mp(ABC), tam giác ABC vuông A, điêm M thuộc SA, N thuộc BC cho AM = CN = a (0 < t < 2a) a/ Tính độ dài đoạn MN Tìm giá trị t để đoạn MN ngắn b/ Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN đường vuông góc chung BC SA HD: + Chọn hệ trục tọa độ Cxxyz với B thuộc Cx, S thuộc Cz, đó: A(a; a; 0), B(2a; 0; 0), C(0; 0; 0), S(0; 0; a ) x = a − u  + Phương trình SA:  y = a − u, u ∈ [ 0; a ]  z = u suy M a − u; a − u; u ( + Vì AM = t suy u = )  1 t 2 t  Khi M  a − ; a − ;  2 2   a/ MN2 = 3t − 4at + 2a ≥ 2a a 2a ⇒ MinMN = ⇔t= 3 MN SA =  2a 2a a   2a    M ; ; , N ; ;   Lúc  b/ Khi đoạn MN ngắn  , tức Mn đoạn    MN BC =  3 vuông góc chung SA BC 7) Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1, cạnh a Trên cạnh AA1 kéo dài phía A1 lấy điểm M cạnh BC kéo dài phía C lấy điểm N cho MN cắt cạnh C 1D1 Tính giá trị nhỏ độ dài đoạn MN HD: GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 17 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC + Chọn hệ trục tọa độ Axyz B thuộc Ax, D thuộc Ay A thuộc Az, đó: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), A1(0; 0; a), C1(a; a; a) x = x = a   + AA1:  y = 0, u ∈ ( a;+∞ ) ⇒ M (0;0; u ); BC :  y = v, v ∈ ( a;+∞ ) ⇒ N (a; v;0) z = u z =   + Vì MN cắt C1D1 nên MD1 // NC1 ⇔ Khi MN = u + v - a = a a−u av = ⇔u= a−v a v−a v − av + a , suy MinMN = 3a v = 2a ⇒ u = 2a MN qua v−a trung điểm I C1D1 (Dùng phương pháp đạo hàm) F Bài toán hình không gian dề thi Đại học, Cao đẳng năm vừa qua: Bài 1) ĐH 2002 K.A Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M,N trung điểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác Agiacsbieets mặt phẳng (AMNphawngrvuoong góc với mặt phẳng (SBC) Bài 2) ĐH 2002 K.B Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh a a) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A1B B1D b) Gọi M,N,P trung điểm cạnh BB 1, CD, A1D1 Tính góc hai đường thẳng MP, C1N Bài 3) ĐH 2002 K.D Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) ; AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) Bài 4) ĐH 2003 K.A Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính số đo góc phẳng nhị diện [B,A’C,D] Bài 5) ĐH 2003 K.B · Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD = 600 Gọi M trung điểm cạnh AA’ N trung điểm cạnh CC’ Chứng minh điểm B’, M, D, N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giácB’MDN hình vuông Bài 6) ĐH 2003 K.D Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng Trên giao tuyến lấy hai điểm A, B với AB = a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C , mặt phẳng (Q) lấy điểmD cho AC, BD vuông góc với AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a Bài 7) ĐH 2004 K.B Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy ϕ (00 < ϕ < 900) Tính tang góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) theo ϕ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a ϕ Bài 8) ĐH 2006 A Cho hình trụ có đáy đường tròn (O) (O’).Bán kính đáy chiều cao a.Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A.Trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm Bsao cho AB=2a.Tính thể tích khối tứ diện OO’AB Đ/S VS BMDN = 3a 12 Bài 9) ĐH 2007 A GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 18 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a ,mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M,N,P trung điểm SB,BC,CD Chứng minh AM vuông góc BP tính thể tích tứ diện CMNP Đ/S VS BMDN = 3a 96 Bài 10) ĐH 2007 B Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA,M trung điểm AE,N trung điểm BC chứng minh :MN vuông góc BD tính theo a khoảng cách đường thẳng MN,AC ĐS: d ( MN ; AC ) = a Bài 11) ĐH 2007 Khối D Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang Góc DAB=ABC=90 ,BA=BC=a,AD=2a.cạnh bên SA vuông góc với đáy SA=a Gọi H hình chiếu vuông góc A SB.Chứng minh tam giác SCD vuông tính theo a khoảng cách từ H đến mp (SCD) ĐS: d ( H ; ( SCD) = a Bài 12) ĐH 2008 A Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A,AB=a,AC=3a hình chiếu vuông góc đỉnh A’ mặt phẳng ABC trung điểm cạnh BC.Tính theo a thể tích khối chop A’ABC tính cosin góc đường thẳng AA’,B’C’ ĐS: V A'.ABC = a3 , cos ϕ = Bài 13) ĐH 2008 B Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, SA=a, SB = a mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN 3a 3 ĐS: VS BMDN = cos ϕ = 5 Bài 14) ĐH 2008 D Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA ' = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' khoảng cách hai đường thẳng AM, B'C ĐS: V ABC A'B 'C ' = a3 a d ( AM ; B ' C ) = Bài 15) ĐH 2009 A Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 60 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a ĐS: VS ABCD = 15a Bài 16) ĐH 2009 B Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc đường thẳng BB’ mặt phẳng · (ABC) 600; tam giác ABC vuông C BAC = 600 Hình chiếu vuông góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 19 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC ĐS: V A' ABC = 9a 208 Bài 17) ĐH 2010 A Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a ĐS: VS CDNM = 2a 5a 3 d ( DM ; SC ) = 24 19 Bài 18) ĐH 2010 B Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ĐS: V ABC A'B 'C ' = ngoại tiếp tứ diện GABC theo a 3a 3 R= 7a 12 Bài 19) ĐH 2010 D Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH = AC Gọi CM là đường cao của tam giác SAC Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a ĐS: VS BCM a 14 = 48 Bài 20) ĐH 2011 A Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) bẳng 60o Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a ĐS: VS BCNM = a 3 d ( AB ; SN ) = 2a 39 13 Bài 21) ĐH 2011 B Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = a Hình chiếu vuông góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (A1BD) theo a ĐS: V ABCD A B C D 1 3a = d ( B1 ; mp(A BD) = a Bài 22) ĐH 2011 D Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) · vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a SBC = 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a ĐS: VS ABC = 3a d ( B; mp( SAC )) = 6a BÀI TẬP BỔ SUNG GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 20 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC BÀI: Cho hình trụ có chiều cao OO' = , bán kính đáy M N hai điểm nằm đường tròn đáy cho MN cách trục OO' khoảng cách Tính thể tích khối tứ diện OO'MN BÀI:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , tâm O.Biết SA vuông góc với mặt đáy SB hợp với mặt đáy góc 600 Gọi G trọng tâm tam giác SCD Tính thể tích khối đa diện S.ABCG tính góc hai đường thẳng AG BD BÀI:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a tâm O Gọi H trung điểm AB, SH vuông góc với (ABCD) SC tạo với đáy góc 600 Gọi M trung điểm SC 1)Tính thể tích khối tứ diện MCHD diện tích tam giác MHD 2)Tính khoảng cách hai đường thẳng BC HM · BÀI:Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc nhọn BAD = 600 Biết AB' ⊥ BD' Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' theo a BÀI:Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với ABCD Gọi M,N,P trung điểm cạnh SB,BC,CD Tính thể tích khối tứ diện CMNP BÀI:Trong không gian, cho tam giác ABC vuông cân C, cạnh huyền AB=2a Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) A lấy điểm S cho(SBC) tạo với (ABC) góc 60 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC BÀI:Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , góc ABC 60 SO ^ (ABCD) a O ( với O giao điểm hai đường chéo hình thoi) SO = Gọi M trung điểm AD.Mặt phẳng ( a ) chứa BM song song với SA, cắt SC K Tính thể tích khối đa diện K.BCDM BÀI:Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh bên tạo với mặt đáy góc 60 Mặt phẳng(P) chứa AC vuông góc với (SAD) Tính tỷ số thể tích hai phần hình chóp chia mp(P) BÀI:Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có hai đáy hai tam giác vuông B B' Biết AB=a,BC=a 2a diện tích tam giác B'AC Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' · BÀI:Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy hình thoi cạnh a, cạnh bên a , BAD = 600 Gọi M trung điểm BB' Tính thể tích khối tứ diện MD'AC BÀI:Cho hình trụ có hai tâm đáy O O' Bán kính đáy a , chiều cao 4a Lấy hai điểm M N hai đường tròn hai đáy cho MN =5a Chứng minh MN OO' chéo tính thể tích khối tứ diện MOO'N BÀI:Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có AB=AD=a, AA ' = a · BAD = 600 Gọi M,N trung điểm A'D' A'B'.Tính thể tích khối chóp A.BDMN theo a BÀI:Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , góc ABC 60 SO ^ (ABCD) a O ( với O giao điểm hai đường chéo hình thoi) ,SO = Gọi M trung điểm AD.Mặt phẳng ( a ) chứa BM song song với SA, cắt SC K.Tính thể tích khối chóp K.BCDM BÀI:Cho hình trụ tròn xoay hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm đường tròn đáy thứ hình trụ, hai đỉnh lại nằm đường tròn đáy thứ hai hình trụ Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 450 Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ BÀI:Cho hình nón có đỉnh S, đáy đường tròn tâm O, SA SB hai đường sinh, biết SO = 3, khoảng cách từ O đến mặt phẳng SAB 1, diện tích tam giác SAB 18 Tính thể tích diện tích xung quanh hình nón cho -GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 21 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC HẾT GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 22 [...]... Nam-ĐT:0169.256.4405 18 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ,mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của SB,BC,CD Chứng minh AM vuông góc BP và tính thể tích của tứ diện CMNP Đ/S VS BMDN = 3a 3 96 Bài 10) ĐH 2007 B Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi... α 16 4) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A 1B1C1 có các cạnh bằng a Tính góc giữ hai mặt phẳng (ABC1) và (BCA1) + Chọn hệ tọa độ như hình vẽ Ta có: GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 15 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC a a 3  a a 3   ;   2 2 ;a  ;  ; 0  A1(0; 0; a), B1(a; 0; a), C1   A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C  2 2  + Gọi α là góc giữa (ABC1) và (BCA1) Ta có: cos α =... vuông AGI tại I ,có : 2 4 4 11 2 2  2 2 2 2 2 AG 2 = GI 2 + IA2 = GI 2 +  AN ÷ = GI + AN = GI + AD + DN = a 9 9 9 3  ( ) 11 9 uuur uuur uur uur uuur uur uuur uuuruuur uur uuur uur uuur a2 + AG.BD = AI + IG BD = AI BD + IG.BD = AI BD = OI BD = OI BD = BD.OI = 3 1 Suy ra: cos ·AG, BD = 22 ⇒ AG = a ( ( ) ) GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 11 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC uuur uuur... bởi SM và DN GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 12 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC ĐS: V = 3a 3 , 3 cos α = 5 5 E Bài toán về mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và lăng trụ: I/ Kiến thức cơ bản: Để giải quyết tốt dạng bài tập này học sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản sau: ** Nếu I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SA1A2 An thì tâm I cách đều các đỉnhS; A1; A2 An - Vì vậy tâm I thuộc trục... (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và BAC = 600 Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 19 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC ĐS: V A' ABC = 9a 3 208 Bài 17) ĐH 2010 A Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của... cầu ngoại tiếp hình chóp SAHC R = 3) Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, DA = DB = ∧ a 3 31 a 32 , CD vuông góc với AD Trên cạnh CD kéo dài lấy điểm E sao cho AEB = 90 0 Tính góc tạo bởi mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (ABD).Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối tứ diện ABCE HD: GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 13 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC + Gọi I là... ( SAC ) ⇔ n.n' = 0 ⇔ a = h 6 4) Cho hình lăng trụ ABC A 1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, AA 1 = h và vuông góc với mp(ABC) Biết rằng khoảng cách giữa A1B1 và BC1 bằng d Chứng minh rằng: a = HD: + Chọn hệ trục tọa độ Axyz với B thuộc Ax, A1 thuộc Az, khi đó: GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 16 2dh 3(h 2 − d 2 ) CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC a a 3  a a 3   ;   2 2 ;h... với SM thì HE ⊥ (SAB) nên (d’) //HE Ta có d ' ∩ d = I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD R = IA = a 21 7 21 , V = πa 3 6 54 E Giải bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ: I/ Phương pháp giải toán: Vấn đề quan trọng nhất trong việc giải bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ là thiết lập hệ tọa độ cho phù hợp Sau đây chúng tôi xin giới thiệu một số phương pháp để thiết lập hệ... diện có một góc phẳng vuông, khi đó ta thiết lập một mặt của hệ trục tọa độ chứa góc phẳng đó 2/ Thiết lập hệ tọa độ cho hình chóp: Với hình chóp, việc tọa độ hóa thường được thực hiện dựa trên đặc tính hình học của chúng Ta có các trường hợp thường gặp sau: * Hình chóp đều thì hệ tọa độ được thiết lập dựa trên gốc O trùng với tâm của đáy và trục Oz trùng với đường cao của hình chóp Cụ thể: * Hình. .. chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) · vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a 3 và SBC = 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a ĐS: VS ABC = 2 3a 3 d ( B; mp( SAC )) = 6a 7 BÀI TẬP BỔ SUNG GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 20 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC BÀI: Cho hình trụ có chiều cao ...CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC Ví dụ áp dụng: · Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, BAD = 600 , SA vuông góc với đáy... ANIB Giải: dựng hệ trục tọa độ Axyz với gốc A GV: Lê Văn Nam-ĐT:0169.256.4405 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC Trong hệ trục tọa độ này, ta có A(0;0;0); D(a 2;0;0) Khi ta có MI... Nam-ĐT:0169.256.4405 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI ĐẠI HỌC c/ Tính góc đường thẳng SC (SAB) d/ Tính góc hai đường thẳng AD SC Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a