Hình học không gian có lời giải

Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Chủ đề 7: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN ƠN TẬP 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9-10 Hệ thức lượng tam giác vng : Cho ∆ABC vng A ta có : a) Định lý Pitago : BC = AB + AC A b) BA2 = BH BC ; CA2 = CH CB c) AB AC = BC AH b c 1 = + d) AH AB AC H M e) BC = 2AM B b c b c a f) sin B = , cosB = , tan B = , cot B = a a c b b b = g) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a = , sin B cos C b = c tanB = c.cot C Hệ thức lượng tam giác thường: * Định lý Cơsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA a b c = = = 2R * Định lý Sin: sin A sin B sin C Các cơng thức tính diện tích a/ Cơng thức tính diện tích tam giác: 1 a.b.c a+b+c S = a.ha = a.b sin C = = p.r = p.( p − a)( p − b)( p − c) với p = 2 4R 2 a Đặc biệt :* ∆ABC vng A : S = AB AC ,* ∆ABC cạnh a: S = b/ Diện tích hình vng : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng d/ Diện tích hình thoi : S = C (chéo dài x chéo ngắn) (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f/ Diện tích hình tròn : S = π R Các hệ thức quan trọng tam giác đều: d/ Diện tích hình thang : S = ƠN TẬP 2: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 A QUAN HỆ SONG SONG §1 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG I Định nghĩa: Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Đường thẳng mặt phẳng gọi song song với chúng khơng có điểm chung a a / /( P ) ⇔ a ∩ ( P ) = ∅ (P) II.Các định lý: ĐL1:Nếu đường thẳng d khơng nằm mp(P) song song với đường thẳng a nằm mp(P) đường thẳng d song song với mp(P) ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) cắt theo giao tuyến song song với a d  d ⊄ ( P)   d / / a ⇒ d / /( P) a ⊂ ( P)  a (P) (Q)  a / /( P)  ⇒ d / /a  a ⊂ (Q)  ( P ) ∩ (Q ) = d  a d (P) ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng  ( P ) ∩ (Q ) = d  ⇒ d / /a ( P ) / / a (Q) / / a  d a Q P §2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG I Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi song song với chúng khơng có điểm ( P ) / /(Q) ⇔ ( P) ∩ (Q) = ∅ chung P Q II.Các định lý: ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P) (Q) song song với ĐL2: Nếu đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song song song với mặt phẳng ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song mặt phẳng (R) cắt (P) phải cắt (Q) giao tuyến chúng song song  a, b ⊂ ( P )  ⇒ ( P ) / /(Q) a ∩ b = I  a / /(Q), b / /(Q)  P a b I Q a ( P) / /(Q) ⇒ a / /(Q)  a ⊂ ( P) P Q R ( P) / /(Q)  ( R ) ∩ ( P ) = a ⇒ a / / b  ( R ) ∩ (Q ) = b  P Q a b B QUAN HỆ VNG GĨC Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG §1.ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG I.Định nghĩa: Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng a a ⊥ mp ( P ) ⇔ a ⊥ c, ∀c ⊂ ( P ) P II Các định lý: ĐL1: Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mp(P) đường thẳng d vng góc với mp(P) ĐL2: (Ba đường vng góc) Cho đường thẳng a khơng vng góc với mp(P) đường thẳng b nằm (P) Khi đó, điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a’ a (P) d ⊥ a , d ⊥ b   a , b ⊂ mp ( P ) ⇒ d ⊥ mp ( P )  a , b cắt  c d b a P a a ⊥ mp ( P ), b ⊂ mp ( P ) b ⊥ a ⇔ b ⊥ a' P b a' §2.HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC I.Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 900 II Các định lý: ĐL1:Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vng góc với ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với đường thẳng a nằm (P), vng góc với giao tuyến (P) (Q) vng góc với mặt phẳng (Q) Q a  a ⊥ mp ( P ) ⇒ mp (Q) ⊥ mp( P )   a ⊂ mp (Q) ( P) ⊥ (Q)  ( P) ∩ (Q) = d ⇒ a ⊥ (Q)  a ⊂ ( P ), a ⊥ d  P P a d Q Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với A điểm (P) đường thẳng a qua điểm A vng góc với (Q) nằm (P) ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba P ( P) ⊥ (Q)  A ∈ ( P)  ⇒ a ⊂ ( P)  A ∈ a   a ⊥ (Q) a A Q  ( P ) ∩ (Q ) = a  ⇒ a ⊥ ( R) ( P ) ⊥ ( R ) (Q) ⊥ ( R)  P a Q R §3.KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng , đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu điểm M đường thẳng a ( mp(P)) O O d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH P Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Khoảng cách đường thẳng a mp(P) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mp(P) d(a;(P)) = d(O; (P)) = OH a P Q a H O H P Khoảng cách hai mặt phẳng song song: khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d((P);(Q)) = d(O; (P)) = OH 4.Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng H a O H A d(a;b) = AB b B §4.GĨC Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm phương với a b a a' b' b Góc đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) góc a hình chiếu a’ mp(P) Đặc biệt: Nếu a vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mp(P) 900 a a' P Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Hoặc góc đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến điểm b a Q P a P Diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích đa giác (H) mp(P) S’ diện tích hình chiếu (H’) (H) mp(P’) S ' = S cos ϕ ϕ góc hai mặt phẳng (P),(P’) b Q S A C ϕ B ƠN TẬP 3: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 A THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I/ Các cơng thức thể tích khối đa diện: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h h với B: diện tích đáy h: chiều cao B a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a,b,c ba kích thước a b) Thể tích khối lập phương: c V = a3 b a a a Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG với a độ dài cạnh THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: V= Bh với B: diện tích đáy h: chiều cao h B TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: VSABC SA SB SC = VSA ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' S C' A' A B' C B THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CỤT: h V = B + B '+ BB ' B , B' : diện tích hai đáy  với   h : chiều cao ( A' ) B' C' A B C Chú ý: 1/ Đường chéo hình vng cạnh a d = a , Đường chéo hình lập phương cạnh a d = a , Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c d = a + b2 + c2 , a 3/ Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên ( có đáy đa giác đều, hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy) 4/ Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác II/ Bài tập: LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy 1) Dạng 1: Ví dụ 1: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác ABC vng cân A có cạnh BC = a biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ 2/ Đường cao tam giác cạnh a h = Lời giải: Ta có VABC vng cân A nên AB = AC = a ABC A'B'C' lăng trụ đứng ⇒ AA ' ⊥ AB C' A' B' 3a a A a C VAA ' B ⇒ AA '2 = A ' B − AB = 8a ⇒ AA ' = 2a Vậy V = B.h = SABC AA' = a3 B Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên 4a đường chéo 5a Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 ⇒ BD = 3a C' D' A' ABCD hình vng ⇒ AB = B' 4a 5a Suy B = SABCD = C D 3a 9a Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 A B Ví dụ 3: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác cạnh a = biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: Gọi I trung điểm BC Ta có V ABC nên AB AI = = & AI ⊥ BC C' A' B' A ⇒ A ' I ⊥ BC (dl ⊥) 2S S A' BC = BC A ' I ⇒ A ' I = A' BC = BC AA ' ⊥ ( ABC ) ⇒ AA ' ⊥ AI C I B VA ' AI ⇒ AA ' = A ' I − AI = Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA'= Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnh a có góc nhọn 600 Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ Tính thể tích hình hộp Lời giải: Ta có tam giác ABD nên : BD = a C' D' a2 SABCD = 2SABD = B' A' C D A 60 B a =a VDD ' B ⇒ DD ' = BD '2 − BD = a a3 Vậy V = SABCD.DD' = Theo đề BD' = AC = Bài tập: Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy tam giác biết tất cạnh lăng trụ a Tính thể tích tổng diện tích mặt bên lăng trụ ĐS: V = a3 ; S = 3a2 Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy tứ giác cạnh a biết BD ' = a Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 2a3 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân A ,biết chiều cao lăng trụ 3a mặt bên AA'B'B có đường chéo 5a Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 24a3 2) Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc đường thẳng mặt phẳng Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích lăng trụ C' A' Lời giải: Ta có A ' A ⊥ ( ABC ) ⇒ A ' A ⊥ AB & AB hình chiếu A'B đáy ABC Vậy góc[ A ' B,( ABC )] = ¼ ABA ' = 60o B' VABA ' ⇒ AA ' = AB.tan 600 = a a2 SABC = BA.BC = 2 a3 Vậy V = SABC.AA' = C A 60o B Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vng A với AC = a , ¼ ACB = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) góc 300 Tính AC' thể tích lăng trụ A' Lời giải: C' VABC ⇒ AB = AC.tan 60o = a Ta có: AB ⊥ AC ; AB ⊥ AA ' ⇒ AB ⊥ ( AA ' C ' C ) B' nên AC' hình chiếu BC' (AA'C'C) Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = ¼ BC ' A = 30o o 30 VAC ' B ⇒ AC ' = A C a o 60 B AB = 3a t an30o V =B.h = SABC.AA' VAA ' C ' ⇒ AA ' = AC '2 − A ' C '2 = 2a a2 VABC nửa tam giác nên S ABC = Vậy V = a Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng cạnh a đường chéo BD' lăng trụ hợp với đáy ABCD góc 300 Tính thể tích tổng diên tích mặt bên lăng trụ A' D' C D o 30 A a Lời giải: Ta có ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên ta có: DD ' ⊥ ( ABCD) ⇒ DD ' ⊥ BD BD hình chiếu BD' ABCD Vậy góc [BD';(ABCD)] = ¼ DBD ' = 300 B' C' B VBDD ' ⇒ DD ' = BD.tan 300 = Vậy V = SABCD.DD' = a a3 S = 4S 4a ADD'A' = 3 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a ¼ BAD = 60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) góc 30o Tính thể tích hình hộp Lời giải: C' B' VABD cạnh a ⇒ S ABD = A' D' o 30 A a a2 VABB ' vng tạiB ⇒ BB ' = AB t an30o = a 3a3 Vậy V = B.h = S ABCD BB ' = ⇒ S ABCD = 2S ABD = C B 60 o a2 D Bài tập : Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vng cân B biết A'C = a A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) góc 30o Tính thể tích lăng trụ ĐS: V = a3 16 Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vng B biết BB' = AB = a B'C hợp với đáy (ABC) góc 30o Tính thể tích lăng trụ ĐS: V = a3 Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a biết AB' hợp với mặt bên (BCC'B') góc 30o Tính độ dài AB' thể tích lăng trụ ĐS: AB ' = a ; V = a3 Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vng A biết AC = a ¼ ACB = 60o biết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) góc 30o Tính thể tích lăng trụ diện tích tam giác ABC' ĐS: V = a , S = 3a Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) a AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) góc 300 Tính thể tích lăng trụ 32 a ĐS: V = Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a biết A'C hợp với (ABCD) góc 30o hợp với (ABB'A') góc 45o Tính thể tích khối hộp chữ nhật Đs: V = a3 Bài 7: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng Gọi O tâm ABCD OA' = a Tính thể tích khối hộp khi: 1) ABCD A'B'C'D' khối lập phương 2) OA' hợp với đáy ABCD góc 60o 3) A'B hợp với (AA'CC') góc 30o Đs:1) V = V= 2a3 ;2) a3 ;3) V= 4a 3 Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng BD' = a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: 1) BD' hợp với đáy ABCD góc 60o Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG 2) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) góc 30o Đs: 1)V = a3 2)V = a3 16 Bài 9: Chiều cao lăng trụ tứ giác a góc đường chéo phát xuất từ đỉnh mặt bên kề 60o.Tính thể tích lăng trụ tổng diện tích mặt lăng trụ Đs: V = a3 S = 6a2 3) Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc mặt phẳng Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân B với BA = BC = a , biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích lăng trụ B' Lời giải: Ta có A ' A ⊥ ( ABC )& BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ A ' B Vậy góc[( A ' BC ),( ABC )] = ¼ ABA ' = 60o B VABA ' ⇒ AA ' = AB.tan 600 = a a2 SABC = BA.BC = 2 a3 Vậy V = SABC.AA' = A' A C' C o 60 Ví dụ 2: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác Mặt (A’BC) tạo với đáy góc 300 diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: VABC ⇒ AI ⊥ BC mà AA' ⊥ ( ABC ) nên A'I ⊥ BC (đl ⊥ ) Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = ¼ A ' IA = 30o C' A' B' A 30o 2x = x Ta có 2 AI x ∆A' AI : A' I = AI : cos 30 = = = 2x 3 Giả sử BI = x ⇒ AI = C B xI A’A = AI.tan 300 = x 3 =x 3 ⇒x=2 Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = Do VABC.A’B’C’ = Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật 10 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG B A Khối CB’D’C’ có D C 1 V1 = a a = a 3 + Khối lập phương tích: A' V2 = a ⇒ VACB ' D ' = a − a = B' a C' D' a Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có cạnh a a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC b) E trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC F Tính thể tích khối CA’B’FE E A I B Lời giải: a) Khối A’B’ BC:Gọi I trung điểm AB, 1 a a a3 = S A ' B ' B CI = = 3 2 12 VA ' B ' BC F C b) Khối CA’B’FE: phân hai khối CEFA’ CFA’B’ + Khối A’CEFcó đáy CEF, đường cao A’A nên B' A' J C' VA 'CEF = SCEF A ' A SCEF a2 a3 ⇒ VA 'CEF = = S ABC = 48 16 + Gọi J trung điểm B’C’ Ta có khối A’B’CF có đáy CFB’, đường cao JA’ nên VA ' B ' CF = SCFB' A ' J a2 SCFB' = SCBB ' = a a a3 ⇒ V A ' B ' CF = = 24 + Vậy : VCA'B'FE a3 = 16 Bài tập: Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vng AB = AC = a; AA1 = a M trung điểm Đs:V = a 12 o Bài 2: Hình chóp SABCD có ∆ABC vng B, SA ⊥ (ABC) ¼ ACB = 60 , AA1 Tính thể tích lăng trụ MA1BC1 Đs: VMABC = 14 a o Bài 3: SABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB = 2, ¼ ACB = 90 ∆SAC ∆SBD BC = a, SA = a ,M trung điểm SB.Tính thể tích MABC tam giác có cạnh Đ s: VSABCD = Tính thể tích khối chóp SABCD 26 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Bài 4: Tính thể tích hình chóp tam giác SABC trường hợp sau: 12 11 Đs: V = 12 a) Cạnh đáy 1, góc ABC = 60o Đs: V = b) AB = 1, SA = Bài Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vng A, AB = a, AC = a Hình chiếu vng góc A’ (ABC) trung điểm BC a Tính VA’ABC theo a? Đs: V = Bài 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD hình bình hành SABCD = góc đường chéo 60o, cạnh bên nghiêng với đáy góc 45o Đs: V = Tính VSABCD Bài 7: Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a ASB = 60o, BSC = 90o, 3 a 12 Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a ,SB= a mặt phẳng Đs: V = CSA = 120o.Chứng minh ∆ABC vng Tính VSABC (SAB) vng góc mặt phẳng đáy Gọi M,N trung điểm cạnh AB.BC.Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN Đs: vS BMDN = a3 3 Bài 9: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có cạnh đáy cạnh bên a M, N, E trung điểm BC, CC’, C’A’ Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ (MNE) tạo Đs: k = Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a,mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M,N trung điểm cạnh SB,BC,CD.Chứng minh AM vng góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP Đs : vM CNP a3 = 96 27 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Các tốn thi TN - CĐ - TSĐH năm từ 2012 đến 2014 Bài (TN-2014) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân A SC = 2a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABC ) trung điểm M cạnh AB Góc đường thẳng SC ( ABC ) 600 Tính thể tích khối chóp S ABC theo a Đáp án Bài (CĐ-2014) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy SC tạo với đáy góc 450 a) Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD b) Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( SCD) Đáp án 28 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Bài (ĐH-K.D-2014) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân A , mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng ( SBC ) vng góc với mặt đáy a) Tính theo a thể tích khối chóp S ABC b) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SA, BC Đáp án Bài (ĐH-K.B-2014) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A ' mặt phẳng ( ABC ) trung điểm cạnh AB , góc đường thẳng A ' C mặt đáy 600 a) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' b) Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( ACC ' A ') Đáp án Bài (ĐH-K.A-2014) 29 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG 3a Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SD = , hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABCD) trung điểm cạnh AB a) Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD b) Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( SBD) Đáp án Bài (TN-2013) Đáp án Bài (CĐ-2013) 30 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Đáp án Bài (ĐH-K.A-2013) Đáp án Bài (ĐH-K.B-2013) 31 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Đáp án Bài (ĐH-K.D-2013) Đáp án Bài (TN-2012) 32 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Đáp án Bài (CĐ-2012) Đáp án Bài (ĐH-K.A-2012) 33 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Đáp án Bài (ĐH-K.B-2012) Đáp án Bài (ĐH-K.D-2012) 34 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Đáp án CÁC BÀI TỐN THI 35 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, mặt bên SAD tam giác vng S, hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc cạnh AD cho HA = 3HD Gọi M trung điểm AB Biết SA = 3a đường thẳng SC tạo với đáy góc 300 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) Bài giải S H' C D K H A a B M · Vì SH ⊥ ( ABCD ) nên SCH = (·SC , ( ABCD ) ) = 300 Trong tam giác vng SAD ta có SA2 = AH AD AD ⇒ AD = 4a; HA = 3a; HD = a ⇒ SH = HA.HD = a ⇒ HC = SH cot 300 = 3a ⇔ 12a = ⇒ CD = HC − HD = 2a Suy S ABCD = AD.CD = 2a Suy VS ABCD = 6a SH S ABCD = 3 Vì M trung điểm AB AH // (SBC) nên 1 d ( M , ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) = d ( H , ( SBC ) ) 2 Kẻ HK ⊥ BC K, HH ' ⊥ SK H ' Vì BC ⊥ ( SHK ) nên BC ⊥ HH ' ⇒ HH ' ⊥ ( SBC ) Trong tam giác vng SHK ta có 1 11 6a 66 = + = ⇒ HH ' = = a 2 2 HH ' HK HS 24a 11 11 Từ (1), (2) (3) suy d ( M , ( SBC ) ) = (1) (2) (3) 66 a 11 · Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BCD = 1200 , cạnh bên SD vng góc với mặt phẳng đáy, mặt phẳng (SAB) tạo với mặt phẳng (SBC) góc 600 Gọi K trung điểm SC Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AD, BK Bài giải S Q K D P C H 36 O A B Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG · Gọi O = AC ∩ BD Vì BCD = 1200 nên ·ABC = 600 a Kẻ OH ⊥ SB H Vì AC ⊥ ( SBD) nên AC ⊥ SB ⇒ SB ⊥ ( AHC ) ⇒ SB ⊥ AH SB ⊥ HC (·( SAB), ( SBC ) ) = 600 ⇔ (·AH , CH ) = 600 ⇒ ∆ABC cạnh a ⇒ AC = a, OD = OB = ⇒ ·AHC = 600 ·AHC = 1200 a TH ·AHC = 600 ⇒ ·AHO = 300 ⇒ OH = OA.cot 30 = = OB, vơ lý ∆OHB vng H a a 0 ⇒ BH = OB − OH = TH ·AHC = 120 ⇒ ·AHO = 60 ⇒ OH = OA.cot 60 = 3 Vì tam giác vng BOH BSD đồng dạng nên OH BH OH BD a = ⇒ SD = = SD BD BH 2 a2 a2 a3 Suy S ABCD = 2.S ABC = = VS ABCD = SD.S ABCD = Vì BC // AD nên (SBC) // AD ⇒ d ( AD, BK ) = d ( D, ( SBC ) ) Kẻ DP ⊥ BC P, DQ ⊥ SP Q Vì BC ⊥ ( SDP) nên BC ⊥ DQ ⇒ DQ ⊥ (SBC ) Từ tam giác vng DCP ⇒ DP = DC.sin 600 = Từ (1), (2) (3) suy d ( AD, BK ) = DQ = a a Từ tam giác vng SDP ⇒ DQ = 2 (1) (2) (3) a Bài Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có AA ' = a 10 , AC = a 2, BC = a, ·ACB = 1350 Hình chiếu vng góc C ' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M AB Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' góc tạo đường thẳng C ' M với mặt phẳng ( ACC ' A ') Bài giải C' B' A' H K C B M A a2 S ABC = CA.CB sin1350 = 2 37 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Áp dụng định lý cosin cho ∆ABC ⇒ AB = a CA2 + CB AB a a − = ⇒ C ' M = C ' C − CM = 4 a3 Suy thể tích lăng trụ V = C ' M S ABC = Kẻ MK ⊥ AC (K thuộc AC), MH ⊥ C ' K (H thuộc C ' K ) · ' H = MC · ' K Vì AC ⊥ (C ' MK ) nên AC ⊥ MH ⇒ MH ⊥ ( ACC ' A ') ⇒ (· C ' M , ( ACC ' A ') ) = MC (1) Vì M trung điểm AB nên 2S a2 a · ' K = MK = SCAM = SCAB = ⇒ MK = MAC = ⇒ tan MC AC C 'M 2 · Suy MC ' K = 30 (2) Từ (1) (2) suy (· C ' M , ( ACC ' A ') ) = 300 ⇒ CM = Bài Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a 3, BD = 3a, hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng ( A ' B ' C ' D ') trung điểm A ' C ' Biết cơsin góc tạo hai mặt phẳng ( ABCD) (CDD ' C ') 21 Tính theo a thể tích khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A ' BC ' D ' Bài giải A a 3a B H B' A' O D C D' G C' · ' A ' D ' = 1200 Do A ' B ' C ', A ' C ' D ' tam giác Áp dụng định lý cơsin cho tam giác A ' B ' D ' suy B cạnh a Gọi O = A ' C '∩ B ' D ', ta có BO ⊥ ( A ' B ' C ' D ' ) ( ) · · Kẻ OH ⊥ A ' B ' H, suy A ' B ' ⊥ ( BHO ) Do ( ABCD ) , ( CDD ' C ' ) = BHO · Từ cos BHO = 21 · ⇒ tan BHO = a a 9a · ⇒ BO = HO.tan BHO = A ' O.sin 600 = Vậy VABCD A ' B 'C ' D ' = a 3.a 3.sin 600 = 38 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG a = A ' C ' nên tam giác A ' BC ' vng B Vì B ' D ' ⊥ ( A ' BC ' ) nên B ' D ' trục đường 2 tròn ngoại tiếp tam giác A ' BC ' Gọi G tâm tam giác A ' C ' D ' Khi GA ' = GC ' = GD ' GA ' = GB = GC ' nên G tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A ' BC ' D ' Mặt cầu có bán kính 2 3a R = GD ' = OD ' = = a 3 Vì BO = Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a 3, tam giác SBC vng S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng ( SBC ) góc 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a tính góc hai mặt phẳng ( SBD) ( ABCD) Bài giải S C D H K B A Vì ( SBC ) ⊥ ( ABCD), CD ⊥ BC , CD ⊂ ( ABCD ) nên CD ⊥ ( SBC ) · ⇒ DSC = ( SD; ( SBC )) = 600 ⇒ SC = CD.cot 600 = a Suy SB = a Kẻ SH ⊥ BC ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) Từ tam giác SBC vng ta có SH = a a3 Suy VSABCD = SH S ABCD = 3 · Kẻ SK ⊥ BD Khi hình chiếu HK ⊥ BD Suy ( SBD, ABCD) = SKH SB 2a a = ⇒ HK = BH sin 450 = BC 3 Suy ∆SHK vng cân H Do ∠SKH = 450 Suy ( SBD, ABCD) = 450 Từ tam giác vng SBC ta có BH = Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D , AD = DC , AB = AD, mặt bên SBC tam giác cạnh 2a thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABCD) Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng BC SA theo a Bài giải 39 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG S K I A B M H Gọi M trung điểm AB, H trung điểm BC Ta có SH ⊥ BC ⇒ SH ⊥ ( ABCD ), SH = a Tứ giác AMCD D C hình vng nên CM = AM = MB Suy ∆CMB vng cân Do đó: CM = a 2, AB = 2a 2, CD = a ( AB + CD).CM = 3a Thể tích VS ABCD = SH S ABCD = 3a HI ⊥ ∆ ( I ∈ ∆ ) Kẻ đường thẳng ∆ qua A, ∆ / / BC Hạ Suy BC / /( SAI ) Do đó: d ( BC , SA) = d ( BC , ( SAI )) = d ( H , ( SAI )) Hạ HK ⊥ SI ( K ∈ SI ) Suy HK ⊥ ( SAI ) Do d ( H , ( SAI )) = HK Ta có CM = AM = MB nên tam giác ACB vng C Suy HI = AC = 2a HI SH 21a = Do : d ( BC , SA) = HK = 2 HI + SH Diện tích S ABCD = Bài Cho hình lăng trụ ABC A1 B1C1 có M trung điểm cạnh AB, BC = 2a, ∠ACB = 900 ∠ABC = 600 , cạnh bên CC1 tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 450 , hình chiếu vng góc C1 lên mặt phẳng ( ABC ) trung điểm CM Tính thể tích khối lăng trụ cho góc tạo hai mặt phẳng ( ABC ) ( ACC1 A1 ) Bài giải C1 A1 B1 C 2a B K H M A Gọi H trung điểm CM Từ giả thiết ⇒ C1 H ⊥ ( ABC ) ⇒ ∠C1CH = ∠(CC1;( ABC )) = 45 *) Từ tam giác vng ABC với BC = 2a, ∠ABC = 600 ⇒ AC = 2a , AM = 4a, CM = AB = 2a ⇒ CH = a ⇒ C1 H = CH tan 45 = a VABC A1B1C1 = C1 H S ABC = a.2a = 3a Kẻ HK ⊥ AC ⇒ đường xiên C1 K ⊥ AC ⇒ ∠(( ABC ); ( ACC1 A1 )) = ∠C1KH a 0 Tam giác MCA cân M ⇒ ∠MCA = ∠MAC = 30 ⇒ HK = HC sin 30 = 40 [...]... Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , tam giác SAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc 30o Tính thể tích hình chóp Đs: V = SABCD a3 3 4 Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB ⊥ (ABCD) , hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 30o Tính thể tích hình chóp SABCD Đs: V = 8a3 3 9 Bài 9: Cho hình. .. Bài 4 : Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o Tính thể tích hình chóp h3 3 3 Đs: V = Bài 5 : Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh bằng 60o Tính thể tích hình chóp Đs: V = Bài 6 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và ¼ ASB = 60o 1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều 2) Tính thể tích hình chóp h3 3 8 a2 3 3 3 a 2... góc[(SBC);(ABC)] = ¼ SMA = 60o Ta có V = C A 60 o a M B 1 1 B.h = S ABC SA 3 3 3a 2 3 1 1 a 3 Vậy V = B.h = S ABC SA = 3 3 8 VSAM ⇒ SA = AM tan 60o = Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o 1) Tính thể tích hình chóp SABCD 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) Lời giải: 1) Ta có SA ⊥ ( ABC ) và CD ⊥ AD ⇒ CD... xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 60 1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật 2) Tính thể tích lăng trụ Lời giải: A' C' 1) Ta có A ' O ⊥ ( ABC ) ⇒ OA là hình chiếu của AA' trên (ABC) ¼ ' = 60o Vậy góc[ AA ',( ABC )] = OAA B' Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt... Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 60o Tính thể tích hình chóp Đs: V = 3a3 16 Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45o 1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC 2) Tính thể tích hình chóp SABC a 3 a3 Đs: V = 6 Đs: SH = Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 60o Tính thể tích hình. .. tích hình chóp 14 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG A a_ C B / / Lời giải: Ta có ( ABC ) ⊥ ( SBC ) ⇒ AC ⊥ (SBC )   ( ASC ) ⊥ (SBC ) Do đó V = \ S 1 1 a2 3 a3 3 SSBC AC = a= 3 3 4 12 Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o 1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông 2) Tính thể tích hình chóp Lời giải: ... diện OBB’C’ Ta có : C ' H = 3VOBB 'C ' SOBB ' ∆ABD có : DB = AB 2 + AD 2 = 2a ⇒ SOBB ' = 1 2 a ⇒ C ' H = 2a 3 2 Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D có cạnh bằng a Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’ Lời giải: Hình lập phương được chia thành: khối ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ + Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau nên có cùng thể tích... a2 3 3 3 a 2 Đs: V = 6 Đs: S = Bài 7 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên bằng 60o Tính thể tích hình chóp Đs: V = 2h3 3 Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng cách từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a Tính thể tích hình chóp 3 8 a 3 Đs: V = 3 Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60o... AEMF a3 6 a3 6 =2 = 36 18 Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’ a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh SC ⊥ ( AB ' D ') c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Lời giải: a) Ta có: S VS ABCD SA = a 2 1 a3 2 = S ABCD SA = 3 3 b) Ta có BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AB ' & SB ⊥ AB... Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3 ,đường cao SA = a.Mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K Tính thể tích hình chóp SAHK Đs: V a3 3 40 = Bài 6: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 27m3 Lấy A'trên SA sao cho SA = 3SA' Mặt phẳng qua A' và song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD lần lượt tại B',C',D' Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D' Đs: V = 1 m3 Bài 7: Cho hình