chủ đề số phức có lời giải

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN Chủ đề SỐ PHỨC A Tóm tắt lí thuyết I SỐ PHỨC & CÁC PHÉP TOÁN Số phức biểu thức dạng a + bi, a, b số thực số i thỏa mãn i  1 Kí hiệu z  a  bi  i: đơn vị ảo,  a: phần thực,  b: phần ảo Chú ý:  z  a  0i  a gọi số thực (a    )  z   bi  bi gọi số ảo (hay số ảo)    0i vừa số thực vừa số ảo y b M Biểu diễn hình học số phức  M(a;b) biểu diễn cho số phức z  z = a + bi O a x Hai số phức Cho hai số phức z  a  bi z '  a ' b 'i với a, b, a ', b '  a  a ' z  z'  b  b ' Cộng trừ số phức Cho hai số phức z  a  bi z '  a ' b 'i với a, b, a ', b '  z  z '   a  a '   b  b ' i z  z '   a  a '   b  b ' i Nhân hai số phức Cho hai số phức z  a  bi z '  a ' b 'i với a, b, a ', b '  z.z '   aa ' bb '    ab ' a 'b  i Môđun số phức z = a + bi  y b M  z  a  b  OM O a x Số phức liên hợp số phức z = a + bi z  a  bi   zz z  z  z  z  2a  z z  a  b  z 93 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN Chia hai số phức Cho hai số phức z  a  bi z '  a ' b 'i với a, b, a ', b '  o Thương z’ chia cho z (z  0) : z ' z ' z z ' z ac  bd ad  bc     i z a  b2 a  b zz z II PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC Căn bậc hai số phức o z  có bậc hai o z  a số thực dương có bậc  a o z  a số thực âm có bậc hai  a i Phương trình bậc ax + b = (a, b số phức cho trước, a  ) Giải tương tự phương trình bậc với hệ số thực Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a, b, c số thực cho trước, a  ) Tính   b  4ac o   : Phương trình có hai nghiệm phân biệt thực x1 ,2  o   : Phương trình có hai nghiệm phân biệt phức x1 ,2  o   : Phương trình có nghiệm kép x   b   2a b  i  2a b 2a III CÁC VÍ DỤ Dạng 1: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  i z   5i Tìm phần thực phần ảo z Bài giải ♥ Đặt z  a  bi ,  a, b    ta có: z  i z   5i  a  bi  i a  bi    5i  2a  b   2b  a  i   5i 2a  b    a  2b  a    b  ♥ Vậy số phức z cần tìm có phần thực phần ảo  94 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 3 z  z 1  i   z  8i 1 Tính môđun z Bài giải ♥ Đặt z  a  bi ,  a, b    ta có: 3z  z 1  i z  8i 1  3a  bia  bi 1  i 5a  bi  8i 1  3a  4b  2 a  b  i  1  8i 3a  4b    2 a  b  a    b  2 ♥ Vậy môđun z z  a  b  32  2  13  Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  31 i  z  1 9i Tính môđun z Bài giải ♥ Đặt z  a  bi ,  a, b    ta có: z  31 i  z  1 9i   a  bi   31 i a  bi   1 9i  5a  3b   3a  b  i   9i 5a  3b    3a  b  a    b  ♥ Vậy môđun z z  a  b  22  32  13  Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z    i  z   5i Tìm phần thực phần ảo z Bài giải ♥ Đặt z  a  bi ,  a, b    ta có: z    i  z   5i  a  bi     i a  bi    5i  3a  b   a  b i   5i 3a  b    a  b  a    b  3 95 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN ♥ Vậy số phức z cần tìm có phần thực phần ảo 3  Ví dụ 5: Tìm số phức z thỏa mãn ( z  1)(1  i )  z 1  | z |2 1 i Bài giải Đặt z  x  yi, (x, y   ) ta có: ( z  1)(1  i )  z 1  z 1 i   x   yi  (1  i )   x 1 yi  (1  i)  x2  y 2  3x 1 y  (3x  1 y )i  2( x  y ) 3 x   y  2( x  y )  3 x   y   y  (3 x  1)   10 x  3x   x  0, y  1    x   , y   10 10  ♥ Vậy số phức z cần tìm z  i z    i  10 10 Ví dụ 6: Tìm số phức z thỏa mãn z  3i   i z z  số ảo z Bài giải ♥ Đặt z  a  bi (a, b   ) ta có:  | z  3i |  |  iz |  | a  (b  3)i |  |1  i (a  bi) |  | a  (b  3)i |  |1  b  |  a  (b  3)  (1 b)  (a ) b2  z 9 9(a  2i ) a3  5a  (2a  26)i  a  2i   a  2i   số ảo z a  2i a 4 a2   a  5a   a  0, a   ♥ Vậy số phức cần tìm z  2i, z   2i, z    2i  Ví dụ 7: Tìm số phức z thỏa mãn z  z   2i z  2i số ảo z2 Bài giải ♥ Đặt z  x  yi (x, y   ) z  ta có:  z  z   2i  x  yi  x   ( y  2)i  x  y  ( x  2)  ( y  2)  x  y   y   x  Ta có (1) z  2i x  ( y  2)i [ x  ( y  2)i].[( x  2)  yi]   z  ( x  2)  yi ( x  2)  y 96 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG  HĐBM-TỔ TOÁN x ( x  2)  ( y  2) y ( x  2)( y  2)  xy x( x  2)  ( y  2) y  i số ảo 0 2 2 ( x  2)  y ( x  2)  y ( x  2)  y  x  y  2( x  y )  ( x  2)  y  ( x  1)  Thay (1) vào (2) ta  x  ♥ Vậy số phức cần tìm z  2i  Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z  (2)  x  Suy y   i Tính A   (1  i ) z z 1 Bài giải ♥ Đặt z  a  bi, (a , b   ) ta có: z  i  a  b  a   bi  b  ( a  1)i z 1  a  b  a   b   b  a   a  1, b  2   a  2, b  ♥ Vậy  Với a  1, b  2 ta có A   (1  i)(1  2i)  3i   Với a  2, b  ta có A   (1  i)( 2  i)   3i   Ví dụ 9: Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức z   i  2z  z   3i cho z   2i đạt giá trị nhỏ Bài giải ♥ Đặt z  x  yi ,  x, y    ta có:  z   i  (x  1)  (y  1)i = (x  1)2  (y  1)2  2z  z   3i = 3x   (y  3)i = (3x  5)2  (y  3)2 Do đó: z   i  2z  z   3i  (x + 1)2 + (y + 1)2 = (3x – 5)2 + (y – 3)2  8y = 8x2 – 32x + 32  y = x2 – 4x + 2 ♥ Ta có z   2i = (x  2)  (y  2) = y   y  2 = 2 y  3y  =  3 7 y    ≥ 2  3  (x – 2)2 =  x 2 2 6 ♥ Vậy z    i hay z    i z   2i đạt GTNN  2 2 Dấu "=" xảy  y = 97 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa điều kiện cho trước Ví dụ 10: Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diển số phức z thỏa mãn z  i  1  i  z Bài giải ♥ Đặt z  x  yi  x, y    M  x; y  điểm biểu diễn z mặt phẳng Oxy ta có: z  i  1  i  z   x  yi   i  1  i  x  iy   x   y 1i   x  y    x  y  i  x   y 1   x  y    x  y  2  x  y  y   x  xy  y  x  xy  y  x  y  y 1  ♥ Tập hợp điểm M biểu diển số phức z đường tròn có phương trình x  y  y 1   B Bài tập Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (3  2i ) z  (2  i )2   i Tìm phần thực phần ảo số phức Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn (1  2i) z  z  4i  20 Tính môđun z Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn (1  i ) z   4i  Tìm số phức liên hợp z Bài 4: Cho số phức z thoả mãn (2  3i ) z  (4  i) z  (1  3i )2 Tìm phần thực phần ảo z Bài 5: Cho số phức z thoả mãn (1  i )2 (2  i) z   i  (1  2i ) z Tìm phần thực phần ảo z Bài 6: Cho số phức z thoả mãn z  (2  3i ) z   9i Tìm số phức z Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn (2 z  1)(1  i )  ( z  1)(1  i )   2i Tính môđun z Bài 8: Cho số phức z thỏa mãn z  (  i ) (1  2i ) Tìm phần ảo z Bài 9: Cho số phức z thoả mãn z  5i   Tìm số phức z z Bài 10: Cho số phức z thoả mãn z  z  z Tìm số phức z Bài 11: Cho số phức z thỏa mãn đẳng thức z  (2  4i)  Tìm tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z Bài 12: Cho số phức z thỏa mãn đẳng thức z  i  (1  i)z Tìm tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z Bài 13: Cho số phức z thỏa mãn (1  2i ) z  2i  (3  i ) z Tìm tọa độ điểm biểu diễn z mp (Oxy ) 1 i Bài 14: Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức z   2i  Tìm tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức w, biết w – z = + 3i 98 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN 2 Bài 15: Cho số phức z thoả mãn  z  z  i   iz  1 Tính mô đun z  z 1 Bài 16: Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức iz   z   i cho z đạt giá trị nhỏ Bài 17: Tìm số phức z thoả mãn z   z  z  cho số phức w  z  có môđun nhỏ Bài 18: Cho số phức z thoả mãn (1  i )( z  i )  z  2i Tính môđun số phức w  Bài 19: Cho số phức z thoả mãn (2  i ) z  z  2z 1 z2 2(1  2i)   8i Tính môđun số phức w  z   i 1 i Bài 20: Cho số phức z thoả mãn z  z l số ảo Tìm số phức z Bài 21: Cho số phức z thoả mãn z  (2  i)  10 z.z  25 Tìm số phức z Bài 22: Cho số phức z thoả mãn 5( z  i)   i Tính môđun số phức w   z  z z 1 Bài 23: Cho số phức z thoả mãn z  z   i  (2  z )(i  z ) l số ảo Tìm số phức z Bài 24: Cho số phức z thỏa mãn z  z =  + 6i 2 Tính T = z  z  z Bài 25: Cho số phức z thoả mãn  z  z  i   iz  1 Tính môđun z  z 1 Bài 26: Tìm số phức z thoả mãn z   17  z  z   z.z Bài 27: Cho số phức z thỏa mãn z  Bài 28: Cho số phức z  (1  3i )3 Tìm môđun số phức w  z  iz 1 i  9i  5i Tìm bậc hai z 1 i Bài 29: Giải phương trình sau tập số phức 1) (3  2i) z  (4  7i)   5i 2) (7  3i) z  (2  3i )  (5  4i ) z Bài 30: Giải phương trình sau tập số phức 1) x  x   2) x  x  25  3) x  5x   3) z  z   Hết - 99