bai tạp dai so tuyen tinh nang cao

Bài 1: Tìm đa thức đặc trưng ma trận sau đây: 1 2 a) A    3 2 2  c) C   0  0 1 0   b) B   2 1   2    0  0 2  0 5 Giải a) PA     A  I2  1     3  2 1  1      2  28 b) PB     B   I  2   2   2 0 2 c) PC     C   I4  0 2 0 0  (2   )3 (5   ) 5 Bài 2: Tìm giá trị riêng, sở không gian riêng ma trận sau trường số thực Ma trận chéo hóa được? Trong trường hợp chéo hóa được, tìm dạng chéo ma trận khả nghịch làm chéo hóa 3 1   a) A    1 3   1 0   b) B    0 1    0   d) D   4   2    1  e) E   0  1  1    c) C   3   1 2    0 0  0 0 0 0  0 1 Giải a) * Giải phương trình đặc trưng (bội 2) 1  2  A  I3   (  2)2 (6   )    Suy A có hai giá trị riêng     Bài tập Đại số tuyến tính `  x1    * Với   : ta giải hệ  A I3  X  0(1) với X   x2  x   3  x1  t1 1 1 1 1      ,(t1 , t2  R) Ta có : A  I3   2    0  Suy (1)   x2  t2  x  t  t 1 1 0 0      Do dim E (2)  sở E(2) : 1,0, 1 , 0,1, 1  x1    * Với   : ta giải hệ  A I3  X  0(2) với X   x2  x   3  x1  t  3 1   1       A  I3   2    2  Suy (2)   x2  2t ,(t  R) x  t  1 3   0       Do dim E(6)  sở E(6) 1,2, 1 2 0  1     Vậy A chéo hóa dạng chéo A D  P AP    với P    0 6  1 1      1 b) * Giải phương trình đặc trưng B   I3   (1   )3     (bội 3) Suy B có giá trị riêng    x1  t1    x1      * Với   : ta giải hệ phương trình  B  I3  X    0   x2     x2  ,(t1 , t2  R)  0 0 x      x3  t2 Suy dim E(1)   Cơ sở E(1) 1, 0,0 ,(0,0,1) Do B không chéo hóa c) * Đa thức đặc trưng: C   I3  (1   )(  2  4) Dễ thấy đa thức đặc trưng C không phân rã R nên C không chéo hóa * Phương trình đặc trưng : C   I3     1 Suy C có giá trị riêng   1 Bài tập Đại số tuyến tính `  x1  t  1   x1      * Với   1 : ta giải hệ phương trình  B  I3  X    2   x2     x2  t ,(t  R)   1 1  x      x3  t Cơ sở E(-1) (1,1, 1) d) * Giải phương trình đặc trưng D   I3   (2   )3     (bội 3) Suy D có giá trị riêng    x1    * Với   , ta giải hệ phương trình  B  I3  X  0(3) với X   x2  x   3  x1  t1  2   1   B  I3   4    0  (3)   x2  2t1 ,(t1 , t2  R) Ta có Suy  x  t  2   0       Do sở E(2) (1, 2,0),(0,0,1) Hơn nữa, dim E(2)   Vậy D không chéo hóa e) * Giải phương trình đặc trưng (bội 2)   E   I4    (1   )2    (bội 2)   Suy E có hai giá trị riêng      x1    x2 * Với   ta giải hệ  E  I4  X  (4) với X     x3     x4  0 0  1 Ta có E  I4    0 1  1 0 0   x1  x2  x3  0 , (t  R) Suy     0  x4  t  0 Do sở E(1) (0, 0, 0,1) Dễ thấy dim E(1)   Suy E không chéo hóa Bài tập Đại số tuyến tính `  x1  x4   x1     x2  t ,(t, t '  R) * Với   ta giải hệ EX     x1  x4    x3  t ' Do sở E(0) (0,1,0,0),(0,0,1,0) Bài 3: Chứng minh toán tử sau không chéo hóa R a) f : R  R f (x1; x ; x )  (6x1  x  x ;  5x1  2x  2x ;  3x1  2x ) b) f : R  R f ( x1; x2 ; x3 ; x4 )  (2 x1; x1  x2 ; x3  x4 ; x3 x4 ) Giải a) Ma trận f sở tắc B0 A   f B 6 2     5 2 2   3 2    (bội 2) 1  * Giải phương trình đặc trưng: A  I3   (  2)(  1)    2    1      * Với 1  ta có: A  I3   5 3 2    1   3 2 1   0      Do dim E(1)   rank( A I3 )     Suy A không chéo hóa Vậy f không chéo hóa b) Ma trận f sở tắc A   f B 2   0  0 0 0  0 2   4 (bội 3) 1  Giải phương trình đặc trưng: A  I4   (  2) (  3)    2  0  * Với 1  ta có: A  I4   0  0 0  1   0  0  1 2      0 0 0  0 0 2  0 0 Do dim E(2)   rank( A I4 )     Bài tập Đại số tuyến tính ` Suy A không chéo hóa Vậy f không chéo hóa Bài 4: C minh toán tử sau chéo hóa R tìm sở toán tử có dạng chéo a) f : R  R f ( x1, x2 , x3 )  ( x1  3x2  x3 ,3x1  5x2  3x3 ,  x1  x2  x3 ) 4 b) f : R  R f (x1, x , x , x )  (x1  x  x  x , x1  x  x  x , x1  x  x  x , x1  x  x  x ) Giải  1 3 3    a) Ma trận f sở tắc R3 A     1 1    * Giải phương trình đặc trưng A  I 1   3 3 (bội 2)   2 5       1       =0   1  1 1    x1    *   : ta giải hệ  A I3  X  0(1) với X   x2  x   3  3 3 3   1      Ta có: A  2I   3    0  Do (1)   1 1 1   0      Suy dim E (2)  sở E(2)  x1  t1  t2  , ( t ,t  R)  x2  t1 x  t   1;1;0 ,  1;0;1  x1    *   : ta giải hệ  A I3  X  0(2) với X   x2  x   3  2 3 3   1   x1  3t      A  I       Do (2)   x2  3t , ( t  R) Ta có:  x t  1 1   0       Suy dim E (1)  sở E(1) 3; 3;1 Vì dim E    dim E 1  nên f chéo hóa sở mà f có dạng chéo  1,1,0 ,  1,0,1 , 3, 3,1 Bài tập Đại số tuyến tính ` 1 1    1 1 1   b) Ma trận f sở tắc R A   1 1     1 1  * Giải phương trình đặc trưng: A  I 1  1 1   1 =0  1   1 1 (bội 3)   1        2       1   2 1   x1    x2 *   : ta giải hệ  A I4  X  (3) với X     x3     x4   1 1   1    1 1 1   Ta có: A  2I    1 1 1  0     1 1 1  0 Suy dim E (2)  sở E(2) 1 1  0 0 Do (3)  0 0  0 0 x  t  t  t  x  t ( t ,t ,t  R)  x  t x  t  1,1,0,0 , 1,0,1,0 ,(1,0,0,1)  x1    x2 *   2 : ta giải hệ  A I4  X  0(4) với X     x3     x4  x  t 3 1   1 1       1 1  1  x  t   Ta có A  2I   ( t  R) Do (4)    1 1   0 1  x  t     x  t  1 1  0 0   Suy dim E (2)  sở E(-2) Vì  1, 1,1,1 dim E    dim E  2   nên f chéo hóa sở mà f có dạng chéo 1,1,0,0 , 1,0,1,0 ,(1,0,0,1),  1, 1,1,1 Bài 5: Toán tử sau có chéo hóa R không? Trong trường hợp chéo hóa tìm sở mà toán tử có dạng chéo f : R3  R3 f  x1, x , x    9x1  8x  16x ,4x1  3x  8x ,4x1  4x  7x  Bài tập Đại số tuyến tính ` Giải  9 8 16     Ma trận f sở tắc R3 A   4   * Giải phương trình đặc trưng A  I 9   8 16 (bội 2)   1 3   1      2     =0   3  4 7 *   1 : ta giải hệ  A I3   x  0(1)  8 8 16     Ta có A  I   4 4   1 2    0  Suy (1)  0 0   Do dim E (1)  sở E(-1)  x1  t1  2t2   x2  t1 , ( t ,t  R)  x t   1,1,0 ,  2,0,1 *   : ta giải hệ  A 3I3   x  0(2)  12 8 16     Ta có A  3I    4   1 1   x1  2t      Suy (2)  x2  t , ( t  R)    x t 0 0     Do dim E (3)  sở E(3)  2,1,1 Vì dim E  1   dim E  2   nên f chéo hóa sở mà f có dạng chéo  1,1,0 ,  2,0,1 ,(2,1,1)  3 2    Bài 6: Cho ma trận A   1 2   10 5 3    a) A có chéo hóa R không?; b) A có chéo hóa C không? Giải Đa thức đặc trưng = -( a) Trên , đa thức đặc trưng không phân rã nên A không chéo hóa b) Trên , dễ thấy phương trình đặc trưng có nghiệm phân biệt nên A chéo hóa Bài tập Đại số tuyến tính ` Bài 7: Tìm điều kiện a, b,c để ma trận sau chéo hóa 0  a : A=  0  0 0 0  0 0 b 0  c 0 Giải * Giả phương trình đặc trưng A  I4        (bội 4) * Để A chéo hóa dim(E(0)) =   rank( A)   rank( A)   a  b  c  Vậy a = b = c = A chéo hóa Bài 8: Chứng minh A ma trận vuông cấp hai trường số phức A đồng dạng với ma trận thuộc hai dạng sau: a  a 0 B   ;C    0 b  1 a  Giải Gọi A ma trận vuông cấp hai Ta có phương trình đặc trưng PA     0(1) phương trình bậc với ẩn  Do PA     có nghiệm TH1: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1  a; 2  b Suy A chéo hóa A đồng dạng a  với ma trận chéo   0 b  TH2: Phương trình (1) có nghiệm kép 1  2  c Khi tồn sở  làm cho A có dạng tam giác  c 0  d c D  c 0 Nếu d  A đồng dạng với ma trận D    0 c c c   d Nếu d  D    d c     0 a 0 c  Khi A đồng dạng với ma trận K   ;a  c d 1 a   d Vậy toán chứng minh Bài 9: Cho A ma trận vuông cấp trường số thực xứng (nghĩa At  A ) A chéo hóa Giải Chứng minh A ma trận đối Bài tập Đại số tuyến tính ` a b  Do A ma trận đối xứng nên A có dạng A    b c  Phương trình đặc trưng: A  I2      a  c    ac  b2  Có   a  c   ac  b   a  c   4b  2 * Nếu   phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt nên A chéo hóa b  a 0  A * Nếu      dạng chéo nên A chéo hóa a  c 0 a Vậy A chéo hóa 1 a b    Bài 10: Hãy tìm điều kiện số thực cho ma trận sau chéo hóa được: A   c  0 2   Giải 1  a b 2 c  1       * Ta có: PA     A   I3  0 2 * Dễ thấy phương trình đặc trưng có nghiệm   (nghiệm đơn)   (nghiệm kép) Do ma trận A chéo hóa  dim  E       rank  A I3    rank  A I3    1 a b    Ta có A  I   0 c  Ta suy rank  A  2 I   c  0, a,b  K  0 0   Kết luận: Ma trận A chéo hóa c  0, a,b  K Bài 11 Cho R trường số thực f : R  R toán tử tuyến tính không gian vector R xác định công thức f (x1, x , x )  (x1  x  x , 2x1  3x , 2x1  x  2x ) phần tử (x1 , x , x )  R a) Chứng minh f chéo hóa R tìm sở R cho ma trận biểu diễn toán tử f sở ma trận chéo Bài tập Đại số tuyến tính ` b) Với số nguyên lớn 2, chứng minh tồn toán tử g : R  R cho gn f Giải  1    a) * Ma trận f sở tắc B0 là: A   2   2    * Giải phương trình đặc trưng   1 A   I3   2   2        1             2 Suy A chéo hóa * E(1) không gian nghiệm hệ phương trình:  x2  x3   1  x1       A  I  X    2  x2    2 x1  x2   x1  x2  x3  t, t  R 2 x  x  x   2 1  x      Do E (1)  (t ,t ,t ) | t  R  (1,1,1) * E(2) không gian nghiệm hệ phương trình:  x1  t  1 1  x1   x1  x2  x3        x2  2t , t  R  A  2I  X    2  x2      x  x    x  3t  2  x      Do E (2)  (t ,2t ,3t ) | t  R  (1,2,3) * E(3) không gian nghiệm hệ phương trình: 2x1  x  x   2 1  x1  x       , t R  A 3I3  X    2 0  x    2x1  x  x  t 2x  x  x    2 1 x      Do E (3)  (0,t ,t ) | t  R  (0,1,1) Suy B  (1,1,1),(1,2,3),(0,1,1) sở R mà ma trận biểu diễn toán tử f sở 1 0 1      ma trận chéo A'    ma trận chuyển sở từ B0 sang B P    0 3 1      10 Bài tập Đại số tuyến tính `  n n  u n   2 Vậy    n  v n    n  n   2 1   2n  4n  2 2    n n n 1   2   n n   22  24      2n  4n     2  1   1 n n  lim u n  lim n  n  n   u    n 4n  2  n     n  Suy :  v    n  n    n  limv n  lim n   n  n   n   2 n  n      2  dx  dt  3x  z  dy Bài 28: Tìm nghiệm thực hệ phương trình vi phân:   2x  y  z  dt dz  dt  x  y  z  Giải x   1     Kí hiệu: X=  y  ; A=  1  ta  1 1  z      dX  AX dt * Xét tính chéo hóa A 3 1   = (  1)2 (  3) Khi đó: PA ( ) =  Đa thức đặc trưng: PA ( )  1 1    1     + Với 1  , ta xét: A – I3 =      1   0      1     0   0      (bội 2) 0  1  Dể thấy dim E( 1 ) = < 2.Suy A không chéo hóa * Tam giác hóa ma trận A Ta có: PA ( ) = (  1)2 (  3) phân rã R nên A tam giác hóa Xem A ma trận toán tử tuyến tính f: R3  R3 sở tắc A tam giác hóa nên tồn sở B = { u1, u2, u3} cho ma trận f theo sở B có dạng tam giác: 29 1 a b    0 c  0    Bài tập Đại số tuyến tính `  x1    + Tìm u1: f(u1) = u1 nên tọa độ u1 nghiệm hệ phương trình: (A – I)  x  = x   3  1      Vì A – I =  1    1   0    0   nên hệ phương trình trở thành  x  x   2 x  x  Chọn u1 = (1,1,-2)  1  x1   1      + Tìm u2: Ta có: f(u2) = au1 + u2  (f – Id)(u2) = au1     x  = a    1   x   2    3   a  1 2    a   2 Ma trận bổ sung:   1 2a      1 0 2a   a   x1  x  2a Hệ phương trình trở thành  2 x  x  a Chọn a=1, u2=(2,0,-3) + Tìm u3: Do   trị riêng f nên tồn v  R3 cho f(v) = 3v Vì vậy, ta chọn u3 = v; b = c =  0  1     A – 3I =        1    0    2 1   1      1   0  3  0 0 1 0     2  1  Chọn u3=(1,1,0) 1     A’ = P-1AP = Đặt P=   2     1  0 0  0  0  * Giải hệ:  dx '  dt  x ' y '  dX ' dy '  A ' X '    Ta viết lại hệ: y' dt dt   dz '  dt  3z '  x '  e t (C 2t  C )  t  y '  C 2e  3t z '  C 3e x  e t C  C (t  2)  C 3e 3t 1  x '  x            y '    y  e t (C 2t  C )  C 3e 3t Mà X = PX’ nên  y  =    z   2    z '  t       z  e [2C  C (2t  3)] 30 Bài tập Đại số tuyến tính ` BÀI TẬP CHƯƠNG 1  2 Bài 6.5b: Tìm dạng tắc Jordan ma trận B     1 3   6 13  3   4  Giải Đa thức đặc trưng: PA  λ     2 Ta có: A  I     1 A  I   2    1 1 λ 3 2 6  λ 3 4 0 13 1 λ 8λ   λ  1 3   7 13   0; 3   4  3 3    7 13  2  0;  A  I     3    4  1 3 3  7 13   3   4  Vậy đa thức tối tiểu A là: mA  t    t  1 0  2 AI  0  1 3     7 13   2  3     4    dim E 1   rank  A  I   4   4   4     7 13   1    3   3   0     3   3   0 1  Do dạng Jordan A là: A '   0  0 0 0  1 0 1  0 1 1    Bài 6.8: Cho A   2 1 Hãy tính An với số nguyên dương n  1    Giải 31 7  1 0  0 Bài tập Đại số tuyến tính ` 1 λ 2  λ 1  1  λ  λ  3 λ   Đa thức đặc trưng A là: PA  λ   1  λ  λ 1   x1     x1  t      A  I  X    3 1  x       x  , t  R  1  x    x  3t       Chọn v1  1,0,3  λ3  2  x1     2x1  3x   x1  3t        A  3I  X    5 1  x      3x1  5x  x   x  2t , t  R   1 2  x      x  2x        x  t Chọn v2   3,2, 1  λ  4   x1     5x1  3x   x1  3t        A  4I  X    1 x      3x1  2x  x    x  5t , t  R   1  x      x  5x         x3  t Chọn v3   3,5,1 Cơ sở V chéo hóa A là: B  v1 , v2 , v3   3   21      1 Với P     P   15 10 5  70   1      6 10  1 0    Ta có D  P AP     A  PDP 1  0 4    1  3   0   21       n n 1  A  PD P       15 10 5  70       1   0 4   6 10    5.3n   18  4 n 10.3n 1  30  4 n 21  5.3n 1   4 n    n n n n 1 n 1 n   10.3  30  4  20.3  50  4  10.3  10  4   70   n n n  21  15.3n    4  10.3n  10  4  63  5.3n   4     n 32 Bài tập Đại số tuyến tính `  1 1    1 2   Bài 6.11 : Cho ma trận A   3 2     2 2  a) Tìm đa thức đặc trưng A b) Hãy tìm ma trận Jordan A’ đồng dạng với A rõ ma trận P khả nghịch thỏa mãn A'  P 1AP c) Tính An với n số nguyên dương Giải a) Đa thức đặc trưng A là: PA  λ   1  λ 1 2λ 3 2 1 2 2  λ 2 3 λ   1  λ 1  λ  (1)   Xem A ma trận toán tử tuyến tính f  End R Ta cần tìm sở B  u1 , u , u , u  R để f có dạng tắc Jordan (1)  Pf  λ    1  λ 1  λ  Ta có R  N 1  N  1 Gọi f1 , f hạn chế Ta có Pf1  λ    λ  1 f N(1), N(-1) Pf1  λ    λ  1 Dạng Jordan f ma trận khối đường chéo gồm khối: Khối dạng tắc Jordan f1 , khối dạng tắc Jordan f Ta có dim N  1  1,dim E(1)  1; d im N 1  3,dim E(1)  Do ma trận biểu diễn f1 , f có khối  1  Vậy dạng tắc Jordan A là: A '   0  0 0 0  1 0 1  0 1 f  u1    u1  u1  1, 0, 0, 1   choïn  u  1, 0, 1,  f  u2   u2  Khi đó:   f  u3   u  u3  u1  1,1,1,  f u  u  u  u  1, 0, 3,1    4   33 Bài tập Đại số tuyến tính ` 1  Suy P    1   1 1  1 1  1    0 1 2  1  P   3 2 3  3    1  1 1  Ta có A'  P1AP  A  PA'P1  A n  P  A '  P 1 n Sử dụng công thức nhị thức Newton ta được:  A ' 1  n n 1  A  P  A ' P    1   1 1  1 n   1   0  3       n   1n        0 n 0 0 n 0   n  n  1          1 1  n  n  1   1 2       3 2 3       1 1   BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 1: Với giá trị  ánh xạ xác định tích vô hướng không gian R : a) x, y  x1 y1  10 x2 y2  x1 y2   x3 y3  x2 y3  x3 y2 b) x, y  x1 y1  x1 y2  x2 y1  8x2 y2  3x3 y3   x2 y3   x3 y2 Giải a) Với x  (1,0,0), y  (0,1,0) ta có: x, y  6; y, x   x, y  y, x Suy ánh xạ cho tích vô hướng với giá trị  b) Với x  (0,0,1) ta có: x, x  3  Suy ánh xạ cho tích vô hướng với giá trị  n  n  Bài 2: Với số thực x1 , x2 , , xn Chứng minh rằng:   xi   n xi i 1  i 1  Giải Xét không gian Euclid R n với tích vô hướng tắc 34 Bài tập Đại số tuyến tính ` Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với  x1 , x2 , , xn   Rn , 1,1, ,1  Rn Ta có: 2 n n n  n   n  2 x  x x  n xi2 Suy   i   i   i  i 1 i 1 i 1  i 1   i 1  Bài 3: Cho không gian vector M n ( R) gồm ma trận vuông cấp n trường số thực R   a) Với A  aij  M n ( R) , tính vết Tr (AAT ) theo aij Qua chứng minh Tr ( A)  nTr (AAT ) b) Chứng minh ánh xạ ( A, B) Tr (ABT ) xác định tích vô hướng không gian M n ( R) Giải  n   a1 j  j 1   a) Ta có: AAT       *      n  T Tr (AA )  aij2 Do đó:   i , j 1   n  anj   j 1  * n a j 1 2j 2 n n  n   n  2 T Từ KQ ta có:   aii   n aii    aii   n  aij  Tr ( A)  nTr (AA ) i 1 i , j 1  i 1   i 1  b) Đặt , :  A, B  Tr ( ABT ) Ta cần chứng minh , tích vô hướng Mn (R)  α,β  R, A, B,C  Mn (R) , ta có: αA  βB,C  Tr  αA  βB CT   Tr  αACT  βBCT   αTr  ACT   βTr  BCT   α A,C  β B,C  α,β  R, A, B,C  Mn  R  , ta có: T A, αB  βC  Tr A  αB  βC    Tr  αABT  βACT   αTr  ABT   βTr  ACT   α A, B  β A, C    A, B  Mn (R) , ta có: T A, B  Tr  ABT   Tr  ABT    Tr  BAT   B, A    A   a ij   Mn (R) , ta có: n A, A  AAT   a ij2  0; A, A   a ij2  0, i, j  1, n  a ij  0, i, j  1, n  A  i, j1 Vậy , tích vô hướng không gian vector Mn (R) 35 Bài tập Đại số tuyến tính ` Bài 4: Xét không gian Euclid R với tích vô hướng tắc a) Cho P mặt phẳng trong R xác định phương trình x1  x2  x3   phép chiếu trực giao từ R xuống P Hãy viết ma trận biểu diễn  sở tắc b) Cho vector u1  1,0,1 , u2   2,1,0  , u3  (1,1,1) Chứng minh B  u1 , u2 , u3  sở R Xét xem B có phải sở trực chuẩn không Nếu B sở trực chuẩn sử dụng trình trực chuẩn hóa Gram-Schmidt để xây dựng từ B sở trực chuẩn B '  e1 , e2 , e3  Giải  x1  t1 a) Ta có x1  x2  x3    x2  t2 ,  t1 , t2  R   x  t  2t  Do P  t1 , t2 ; t1  2t2 | t1 , t2  R  (1,0, 1),(0,1, 2) Suy sở P gồm hai vector a1  (1,0, 1), a2  (0,1, 2) Ta có  a1 , a2 a1  Chọn b1  a1  (1,0, 1), b2  a1  a2  (1,1,1) Suy sở trực chuẩn P gồm hai vector c1  1 (1, 0, 1), c2  (1,1,1) x  ( x1 , x2 , x3 )  R3 ta có: 5 1 1 1    x   x, c1 c1  x, c2 c2   x1  x2  x3 , x1  x2  x3 ,  x1  x2  x3  3 6  6    Do ma trận  sở tắc A        1    1  3      1 b) Ta có   Suy B sở R 1 Ta có u1 , u2  Suy B sở trực chuẩn R 36 Bài tập Đại số tuyến tính ` Chọn v1  u1  (1, 0,1) v2  u2  v1 , với    u2 , v1 v1 v3  u3  v1  v2 , với    Do e1   1 Do v2  u2  v1  1,1, 1 u3 , v1 v1  1;    u3 , v2 v2 1   Do v3  u3  v1  v2   1, 2,1 3 v v1 v 1  (1, 0,1) ; e2   (1,1, 1) , e3   (1, 2,1) v1 v2 v3 Bài 4’: Trong không gian Euclid với tích vô hướng tắc cho vector u1  (2,1, 2, 4) , u2  (2,1, 1, 6), u3  (2,3, 4, 8) Gọi W= u1 , u2 , u3 không gian R sinh vector  u1 , u2 , u3 W không gian R trực giao với W  a) Tìm sở không gian W W b) Cho u   5,5, 3,1  R4 Tìm hình chiếu trực giao prW (u ) u xuống W khoảng cách d (u, W) từ u đến W Giải  2   2   2        a) * Ta có:  2 1 6    3 2    3 2   2 4 8   8 4   0 0        Suy sở W v1   2,1, 2,  , v2   0, 2, 3, 2   x1  t1  5t2  x  6t  2t  v1 , x  2 x1  x2  x3  x4   2    , (t1 , t2  R) * x   x1 , x2 , x3   R : x  W   x2  3x3  x4    v2 , x   x3  4t1  x4  2t2 Do W   t1  5t2 ,6t1  2t2 , 4t1 , 2t2  | t1 , t2  R  (1,6, 4,0),(5, 2,0, 2)  Suy sở W (1,6, 4,0),(5, 2,0, 2) b) * Trực chuẩn hóa sở B  v1 , v2  W Dễ thấy v1 , v2  Suy B  v1 , v2  trực giao Đặt e1  v1 v   2,1, 2,  , e2    0, 2, 3, 2  v1 v2 17 37 Bài tập Đại số tuyến tính ` Do e1 , e2  sở trực chuẩn W * Ta có prW  u   u, e1 e1  u, e2 e2  (2,3, 5, 2) Suy d (u, W)  u  prW (u)  BÀI TẬP BỔ SUNG Bài 1: Cho  giá trị riêng toán tử khả nghịch f Chứng minh  1 giá trị riêng f 1 Giải Xét V K-kgvt có sở tắc B0 f : V  V Gọi A  f B  A 1  f 1  B0 Vì  giá trị riêng toán tử f nên A  In  * Giả sử   (*) trở thành A  Suy A không khả nghịch, nghĩa f không khả nghịch (trái giả thiết) Do   Khi đó:   1 1 1 1 1 1 1 (*)  A   A A    A  I n  A    A  I n  A   A   I n  (vì  A  ) Suy  1 giá trị riêng A1 Vậy  1 giá trị riêng f 1 Bài 2: Cho v vector riêng toán tử tuyến tính f g Chứng minh v vector riêng f  g Giải Vì v vector riêng toán tử tuyến tính f g nên ta có: f  v    f v ; f  v   gv   Suy  f  g  v   f  v   g  v    f v  gv   f  g v Vậy v vector riêng f  g Bài 3: Cho v vector riêng toán tử tuyến tính f Chứng minh k  K v vector riêng toán tử tuyến tính kf Giải Vì v vector riêng toán tử tuyến tính f nên f v   v Khi đó, k  K ta có: 38 Bài tập Đại số tuyến tính `  kf  v  kf  v  kv   k  v Suy v vector riêng toán tử tuyến tính kf Bài 4: Cho  giá trị riêng toán tử tuyến tính f Chứng minh  n giá trị riêng f n (n  2) Giải Gọi v vector riêng ứng với giá trị riêng  toán tử tuyến tính f Ta có f  v    v Ta chứng minh f n  v    n v (*)  n   phương pháp qui nạp Với n  ta có f  v   f  f  v    f  v    2v Vậy (*) với n  Giả sử (*) với n  n   nghĩa f n  v    n v Khi f n1  v   f  f n  v    f   nv    n f (v)   n1v Suy (*) với n+1 Vậy f n  v    n v  n   Do đó,  n giá trị riêng f n (n  2) Bài 5: Cho  giá trị riêng toán tử tuyến tính f Chứng minh p    giá trị riêng p  f  với p  K t  Giải Gọi v vector riêng ứng với giá trị riêng  toán tử tuyến tính f Ta có f  v    v n Gọi p  t    t i  K t  i 0 n n  n i i i Khi đó: p  f  v     f   v    f  v      v   p( ) v i 0 i 0  i 0  Suy p    giá trị riêng p  f  Bài 6: Cho toán tử tuyến tính f : V  V P t   K t  Chứng minh Ker  P  f  bất biến f Giải 39 Bài tập Đại số tuyến tính ` v  Ker P  f  ta chứng minh f v   Ker P  f  Thật vậy: v  Ker P  f   P  f  v    P  f   f  v    f  Pf  v   f  0   f  v   Ker  P  f    Bài 7: Cho A  M n  K  , A lũy linh bậc k Chứng minh AT cA c k  ma trận lũy linh bậc k Giải k Do A lũy linh bậc k nên k số tự nhiên bé thỏa A  (*)    A  * Ta có AT k k T  Giả sử tồn số tự nhiên h  k thỏa  A T  h  Khi đó: A  h  A     A   h T T T T h  0T  (mâu thuẩn với (*) Do nên k số tự nhiên bé thỏa  AT   h Vậy AT lũy linh bậc k * Chứng minh tương tự ta có cA ma trận lũy linh bậc k Bài 8: Cho A, B  M n  K  có AB  BA A, B lũy linh Chứng minh AB A  B lũy linh Giải Giả sử A lũy linh bậc h B lũy linh bậc k Khi Ax  B y  0, x  h, y  k * Chứng minh AB lũy linh: Vì AB  BAnên  AB   Ah Bh  Bh  Vậy AB lũy linh h * Chứng minh A  B lũy linh: Vì AB  BAnên  A  B  h k h k   C hi  k A h  k i B i i 0 - Nếu i  k Bi  - Nếu i  k h  k  i  h  k  k  h Do đó, Ahki  Suy  A B  hk  Vậy A  B lũy linh 40 Bài tập Đại số tuyến tính ` Bài 9: Cho toán tử tuyến tính f : V  V có Pf (t )    m   m f (t )   m   Tìm tất dạng công thức Jordan f Giải Vì Pf (t )    m   nên  f B ma trận vuông cấp (với B sở V) Vì m f (t )   m   nên cấp khối Jordan lớn 2 Dễ thấy  dim E 7   * TH1: dim E    , số khối Jordan (1 khối cấp 1, khối cấp khối cấp 2, khối cấp 3) không thỏa điều kiện cấp khối Jordan lớn * TH2: dim E    , số khối Jordan (1 khối cấp khối cấp 2) Khi dạng Jordan f là: 7  0 0  0 0  0 0 7   0 0 0 0   0   0 1 0 0  0 0 0 7  0 7   0 0 0   0   1 0 0  0 0 7  0  0 0  0  * TH3: dim E    , số khối Jordan (3 khối cấp khối cấp 2) Khi dạng Jordan f là: 7  0 0  0 0  0 0 7   0 0 0 7 0   0   0 1 0  0 0 0 7  0 0 7   0 0 0 7   0   0 0  0 0 7  0 0 7   0 0 7 0   0   0 0  0 0 7  0 0  0 0 0  0 0  * TH4: dim E    , số khối Jordan (5 khối cấp 1) không thỏa điều kiện khối lớn cấp   Bài 10: Cho V  Mm,n R , với A,B  V , ta định nghĩa : , : VV  R  A,B  Tr BT A  Chứng minh V không gian Euclide Giải Ta có V không gian vector Ta cần chứng minh , tích vô hướng V  α,β  R, A, B,C  V , ta có: 41 Bài tập Đại số tuyến tính ` αA  βB,C  Tr CT  αA  βB  Tr  αCT A  βCT B  αTr  CT A   βTr  CT B  α A,C  β B,C  α,β  R, A, B,C  V , ta có: T A, αB  βC  Tr  αB  βC  A   Tr  αBT A  βCT A   αTr  BT A   βTr  CT A   α A, B  β A, C    A, B  V , ta có: T A, B  Tr  BT A   Tr  BT A    Tr  AT B   B, A    A   a ij i1,m  V , ta có: j1,n A, A  A T A  a ij  0; A, A   a ij2  0, i  1, m, j  1, n  A  i 1,m j1,n Vậy , tích vô hướng không gian vector V Do V không gian Euclide Bài 11: Chứng minh tích vô hướng , V thỏa: u, v  0, v  V  u  Giải    Giả sử u, v  0, v  V Khi đó, chọn v  u ta có: u, u   u     Giả sử u  Khi đó, v  V ta có: 0, v  0, v   0, v  0, v   0, v  Bài 12: Cho A  M n  K  , chứng minh rằng: a) A trực giao A T trực giao b) A trực giao A 1 trực giao c) A, B trực giao AB trực giao d) A trực giao A  A  1 Giải Một số kiến thức cần nắm:  A trực giao  AT A  In ;  A, B  Mn  K  , AB  In  BA  In ; 42 Bài tập Đại số tuyến tính `  A  Mn  K  , A khả nghịch,  AT    A 1  ; 1 T  AT  A d) Cm: A trực giao A  A  1  A 1 A trực giao  AT A  In  A T A  I n  A T A   A     A  1 Từ ta suy A khả nghịch a) Cm: A trực giao A trực giao  AT A  In  AAT  In   AT  AT  I n  AT trực giao T b) A trực giao A A T trực giao A 1 trực giao trực giao  AT A  In  AAT  In   AAT   In   AT  A 1  I n 1 1   A1  A1  In  A 1 trực giao T c) A, B trực giao AB trực giao A T A  I n  Ta có A, B trực giao   T  B B  I n Khi  AB  AB   BT AT   AB  BT  AT A  B  BT I n B  BT B  I n Suy AB trực giao T 43