Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG - Tài liệu để ơn thi đại học cao đẳng - Tài liệu dùng cho HS học theo chương trình chuẩn - Tài liệu gồm 79 tập chọn lọc kĩ giải chi tiết BT1 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A (1;0 ) , B ( −2;4 ) , C ( −1;4 ) , D ( 3;5 ) đường thẳng d : 3x − y − = Tìm điểm M d cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích Giải M thuộc d M ( a;3a − ) AB = ( −3;4 ) ⇒ AB = x −1 y = ⇔ 4x + 3y − = −3 CD = ( 4;1) ⇒ CD = 17 Mặt khác : AB : x +1 y − = ⇔ x − y − 17 = 4a + ( 3a − ) − 13a − 19 a − ( 3a − ) − 17 − 11a Tính : h1 = ( M , AB ) = = , h2 = = 5 17 17 Nếu diện tich tam giác : 11 13a − 19 17 − 11a a= 13a − 19 = − 11a 1 AB.h1 = CD.h2 ⇔ = ⇔ ⇔ 12 2 17 13a − 19 = 11a − a = CD : 11 27 Vậy d có điểm : M ; − , M ( 8;19 ) 12 12 BT2 Cho hình tam giác ABC có diện tích Biết A (1;0 ) , B ( 0; ) trung điểm I AC nằm đường thẳng d : y = x Tìm toạ độ đỉnh C Giải Nếu C nằm d : y = x A ( a;a ) suy C ( 2a − 1;2a ) Ta có : d ( B, d ) = 0−2 = 2 2 Theo giả thiết : S = AC.d ( B, d ) = ⇒ AC = = ( 2a − ) + ( 2a − ) 2 1− a = ⇔ = 8a − 8a + ⇔ 2a − 2a − = ⇔ 1+ a = 1− 1− 1+ 1+ Vậy ta có điểm C : C1 ; ; , C2 2 2 BT3 Trong mỈt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC víi A (1;1) , B ( −2;5 ) ®Ønh C n»m trªn Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN ®−êng th¼ng x − = , vµ träng t©m G cđa tam gi¸c n»m trªn ®−êng th¼ng x − y + = TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC Giải AB = Tọa độ C có dạng : C ( 4;a ) , AB = ( −3; ) ⇒ ( AB ) : x − = y − ⇔ x + y − = −3 x A + xB + xC 1− + x = x = =1 G G 3 Theo tính chất trọng tâm ; ⇔ y + y + y B C y = A y = 1+ + a = a + G G 3 a+6 Do G nằm x − y + = , : ⇒ 2.1 − + = ⇔ a = 4.4 + 3.2 − 1 15 Vậy M ( 4; ) d ( C , AB ) = = ⇒ S ABC = AB.d ( C , AB ) = 5.3 = (đvdt) 2 16 + BT4 Trong mỈt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(2;−1) , B(1;− 2) , träng t©m G cđa tam gi¸c n»m trªn ®−êng th¼ng d : x + y − = T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diƯn tÝch tam gi¸c ABC 27 b»ng Giải A d M C B 3 1 Ta có : M trung điểm AB M ; − Gọi C ( a; b ) , theo tính chất trọng tam tam giác 2 2 a+3 xG = : y = b −3 G a+3 b−3 Do G nằm d : + − = ⇔ a + b = (1) 3 3a − b − x − y −1 Ta có : AB = (1;3) ⇒ ( AB ) : = ⇔ 3x − y − = ⇔ h ( C , AB ) = 10 Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN 2a − b − 2a − b − 27 1 AB.h ( C , AB ) = 10 = = 2 2 10 2a − b − = 27 2a − b = 32 ⇔ 2a − b − = 27 ⇔ ⇔ 2a − b − = −27 2a − b = −22 Kết hợp với (1) ta có hệ : 20 b=− a + b = a + b = 38 2a − b = 32 3a = 38 38 20 ⇔ ⇔ ⇔ a = ⇒ C1 ; − , C2 ( −6;12 ) a + b = a + b = b = 12 2a − b = −22 3a = −18 a = −6 Từ giả thiết : S ABC = BT5 Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC có A ( 2;1) Đường cao qua đỉnh B có phương trình x − y − = Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x + y + = Xác định tọa độ B C Tính diện tích ∆ABC Giải B M C A Đường thẳng AC qua A ( 2;1) vng góc với đường cao kẻ qua B, nên có véc tơ phương x = + t n = (1; −3) ⇒ ( AC ) : (t ∈ R ) y = − 3t x = + t Tọa độ C giao (AC) với đường trung tuyến kẻ qua C : ⇒ y = − 3t x + y +1 = Giải ta : t = C ( 4; −5 ) Vì B nằm đường cao kẻ qua B suy B ( 3a + 7; a ) 3a + a + M trung điểm AB ⇒ M ; 3a + a + + + = ⇔ a = −3 Mặt khác M nằm đường trung tuyến kẻ qua C : 2 ⇒ B (1; −2 ) Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN AB = ( −1; −3) ⇒ AB = 10 x − y −1 = ⇔ 3x − y − = 12 h ( C ; AB ) = 10 1 12 Vậy : S ABC = AB.h ( C , AB ) = 10 = (đvdt) 2 10 Ta có : ( AB ) : BT6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A ( 5;2 ) Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ x + y – = 2x – y + = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Giải A x+y-6=0 M B N C a+5 b+2 Gọi B ( a; b ) suy M ; M nằm trung tuyến nên : 2a − b + 14 = (1) x = a + t B, B đối xứng qua đường trung trực ( BC ) : (t ∈ R ) y = b + t 6−a −b t = x = a + t 3a − b − Từ suy tọa độ N : y = b + t ⇒ x = x + y − = 6+b−a y = 3a − b − 6 + b − a ⇔ N ; Cho nên ta có tọa độ C ( 2a − b − 6;6 − a ) 2 Do C nằm đường trung tuyến 5a − 2b − = (2) 2a − b + 14 = a = 37 Từ (1) (2) : ⇒ ⇔ ⇒ B ( 37;88 ) , C ( −20; −31) 5a − 2b − = b = 88 BT7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ∆ : x + y + = , ∆ ' :3x − y + 10 = điểm A ( −2;1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng ∆ , qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng ∆ ’ Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN Giải x = −2 + 3t Gọi tâm đường tròn I, I thuộc ∆ : ⇒ I ( −2 + 3t ; −2 − t ) y = − − t ( 3t ) + ( + t ) = R (1) ( −2 + 3t ) − ( −t − ) + 10 A thuộc đường tròn ⇒ IA = 2 Đường tròn tiếp xúc với ∆ ' ⇒ =R⇔ 13t + 12 = R (2) 13t + 12 2 ⇔ 25 ( 3t ) + ( + t ) = (13t + 12 ) BT8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn (C ) : x + y – x – y + = 0, (C ') : x + y + x – = qua M (1;0 ) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (C ), (C ') A, B cho MA = 2MB Từ (1) (2) : ( 3t ) + ( + t ) 2 = Giải * Cách x = + at Gọi d đường thẳng qua M có véc tơ phương u = ( a; b ) ⇒ d : y = bt Đường tròn ( C1 ) : I1 (1;1) , R1 = ( C2 ) : I ( −2;0 ) , R2 = , suy : ( C1 ) : ( x − 1) + ( y − 1) = 1, ( C2 ) : ( x + ) + y = 2 t = → M 2ab 2b Nếu d cắt ( C1 ) A : ⇒ ( a + b ) t − 2bt = ⇔ ⇒ A + ; 2 2 t = 2b a +b a +b a +b t = → M 6a 6ab 2 Nếu d cắt ( C2 ) B : ⇒ ( a + b ) t + 6at = ⇔ ⇒ B 1 − ;− a t = − a + b2 a +b a +b 2 Theo giả thiết : MA = 2MB ⇔ MA = MB (*) 2 2 2 6a 6ab 2ab 2b Ta có : + = + a +b a +b a + b a + b b = −6a → d : x + y − = 4b 36a 2 ⇔ = ⇔ b = 36 a ⇔ b = a → d : x − y − = a + b2 a + b2 * Cách - Sử dụng phép vị tự tâm I tỉ số vị tự k = − (Học sinh tự làm) BT9 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình cạnh tam giác ABC biết trực tâm H (1;0 ) , chân đường cao hạ từ đỉnh B K ( 0; ) , trung điểm cạnh AB M ( 3; 1) Giải Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN B K H M C A Theo tính chất đường cao : HK vng góc với AC (AC) qua K ( 0;2 ) có véc tơ pháp tuyến KH = (1; −2 ) ⇒ ( AC ) : x − ( y − ) = ⇔ x − y + = B nằm (BH) qua H (1;0 ) có véc tơ phương KH = (1; −2 ) ⇒ B (1 + t ; −2t ) M ( 3;1) trung điểm AB A ( − t; + 2t ) Mặt khác A thuộc (AC) : − t − ( + 2t ) + = , suy t = Do A ( 4; ) , B ( 2; −2 ) Vì C thuộc (AC) suy C ( 2t; + t ) , BC = ( 2t − 2; + t ) , HA = ( 3; ) Theo tính chất đường cao kẻ từ A: ⇒ HA.BC = ⇒ ( 2t − ) + ( + t ) = → t = −1 Vậy: C ( −2;1) (AB) qua A ( 4;4 ) có véc tơ phương BA = ( 2;6 ) u = (1;3) ⇒ ( AB ) : ⇔ 3x − y − = x−4 y−4 = (BC) qua B ( 2; −2 ) có véc tơ pháp tuyến HA = ( 3; ) ⇒ ( BC ) : ( x − ) + ( y + ) = ⇔ 3x + y + = BT10 Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình ( C1 ) : x + y − y − = ( C2 ) : x + y − x + y + 16 = Lập phương trình tiếp tuyến chung ( C1 ) ( C2 ) Giải ( C1 ) : x + ( y − ) = ⇒ I1 ( 0;2 ) , R1 = 3, Ta có: 2 ( C2 ) : ( x − 3) + ( y + ) = ⇒ I ( 3; −4 ) , R2 = Nhận xét : I1I = + = 13 < + = ⇒ ( C1 ) khơng cắt ( C2 ) Gọi d : ax + by + c = ( a + b ≠ ) tiếp tuyến chung, : d ( I1 , d ) = R1; d ( I , d ) = R2 2b + c = (1) 2b + c 3a − 4b + c a + b2 ⇔ ⇒ = a2 + b2 a2 + b2 3a − 4b + c = ( ) a2 + b2 3a − 4b + c = 2b + c ⇔ 2b + c = 3a − 4b + c ⇔ 3a − 4b + c = −2b − c Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN a = 2b Mặt khác từ (1) : ( 2b + c ) = ( a + b ) ⇔ ⇔ 3a − 2b + 2c = Trường hợp : a = 2b thay vào (1) : 2b − 5c b = ( 2b + c ) = ( 4b + b ) ⇔ 41b − 4bc − c = 0.∆ 'b = 4c + 41c = 45c ⇔ 2+3 c b = Do ta có hai đường thẳng cần tìm : ( ) (2 − ) x + (2 − ) y +1 = ⇔ 2 − x + − y + = ( ) ( ) (2 + ) x + (2 + ) y +1 = ⇔ 2 + x + + y + = d : ( ) ( ) d1 : Trường hợp : c = 2b − 3a , thay vào (1) : 2b + 2b − 3a a +b 2 = ⇔ 2b − a = a + b a b=0→c=− b = 0, a = −2c 2 2 ⇔ ( 2b − a ) = a + b ⇔ 3b − 4ab = ⇔ ⇒ b = 4a , a = −6c b = a → c = − a Vậy có đường thẳng : d3 : x − = , d : x + y − = BT11 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB : x – y + = , phương trình đường thẳng BD : x – y + 14 = , đường thẳng AC qua M ( 2;1) Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật Giải A B I M D C Dễ nhận thấy B giao BD với AB tọa dộ B nghiệm hệ: x − y +1 = 21 13 ⇒ B ; 5 x − y + 14 = Đường thẳng (BC) qua B ( 7;3) vng góc với (AB) có véc tơ phương: Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN 21 x = +t u = (1; −2 ) ⇒ ( BC ) : y = 13 − 2t Ta có : ( AC , BD ) = BIC = ABD = 2ϕ = 2( AB, BD ) (AB) có n1 = (1; −2 ) , (BD) có n2 = (1; −7 ) ⇒ cos ϕ = Gọi (AC) có n = ( a, b ) ⇒ cos ( AC , BD ) = cos 2ϕ = n1.n2 n1 n2 = + 14 15 = = 50 10 10 a − 7b 9 = 2cos ϕ − = − = 10 50 a + b Do : a − 7b = 50 a + b ⇔ ( a − 7b ) = 32 ( a + b ) ⇔ 31a + 14ab − 17b = 17 17 a = − b ⇒ AC : − ( ) ( x − ) + ( y − 1) = ⇔ 17 x − 31y − = 31 31 Suy : a = b ⇒ ( AC ) : x − + y − = ⇔ x + y − = 21 x = + t 13 14 (AC) cắt (BC) C ⇒ y = − 2t ⇔ t = ⇒ C ; 15 3 x − y − = x − y +1 = x = (AC) cắt (AB) A : ⇔ ⇔ A ( 7; ) x − y − = y = x = + t (AD) vng góc với (AB) đồng thời qua A ( 7;4 ) suy (AD) : y = − 2t x = + t 98 46 (AD) cắt (BD) D : y = − 2t ⇒ t = ⇒ D ; 15 15 15 x − y + 14 = Trường hợp AC :17 x − 31 y − = em làm tương tự BT12 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A ( 2;3) , trọng tâm G ( 2;0 ) Hai đỉnh B C nằm hai đường thẳng d1 : x + y + = d : x + y – = Viết phương trình đường tròn có tâm C tiếp xúc với đường thẳng BG Giải Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN A G d1 d2 C B M x = t x = − 2m B thuộc d suy B : , C thuộc d' C: y = −5 − t y = m Theo tính chất trọng tâm : ( t − 2m + ) = 2, y = m − t − = ⇒ xG = G 3 m − t = m = Ta có hệ : ⇔ t − 2m = −3 t = −1 Vậy : B ( −1; −4 ) C ( 5;1) Đường thẳng (BG) qua G ( 2;0 ) có véc tơ phương u = ( 3; ) , 20 − 15 − 13 x−2 y = ⇔ x − y − = ⇒ d ( C ; BG ) = = =R 5 13 169 2 Vậy đường tròn có tâm C ( 5;1) có bán kính R = ⇒ ( C ) : ( x − ) + ( y − 1) = 25 BT13 Tam giác cân ABC có đáy BC nằm đường thẳng x – y + = , cạnh bên AB nằm đường thẳng 12 x – y – 23 = Viết phương trình AC biết qua điểm M ( 3;1) BG : Giải M A C B H 2 x − y + = Đường (AB) cắt (BC) B 12 x − y − 23 = Suy : B ( 2; −1) (AB) có hệ số góc k = 12 , đường thẳng (BC) có hệ số góc k ' = , ta có Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN 2 −m − 5m 5 tan B = = Gọi (AC) có hệ số góc m ta có : tan C = = Vì tam 2m + m + 12 1+ 5 giác ABC cân A tan B = tan C , hay ta có : m=− − 5m = 4m + 10 − 5m = ⇔ − 5m = 2 m + ⇔ ⇔ + 2m − 5m = −4m − 10 m = 12 9 Trường hợp : m = − ⇒ ( AC ) : y = − ( x − 3) + ⇔ x + y − 35 = 8 Trường hợp : m = 12 suy ( AC ) : y = 12 ( x − 3) + hay ( AC ) : 12 x − y − 25 = (loại //AB ) 12 − Vậy ( AC ) : x + y − 35 = BT14 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn : 2 2 ( C1 ) : ( x − 5) + ( y + 12 ) = 225 ( C2 ) : ( x – 1) + ( y – ) = 25 Giải : Ta có (C) với tâm I ( 5; −12 ) , R = 15 (C') có J (1;2 ) R ' = Gọi d tiếp tuyến chung có phương trình : ax + by + c = ( a + b ≠ ) 5a − 12b + c a + 2b + c Khi ta có : h ( I , d ) = = 15 (1) , h ( J , d ) = = ( 2) a2 + b2 a + b2 5a − 12b + c = 3a + 6b + 3c Từ (1) (2) suy : 5a − 12b + c = a + 2b + c ⇔ 5a − 12b + c = −3a − 6b − 3c a − 9b = c ⇔ Thay vào (1) : a + 2b + c = a + b ta có hai trường hợp : −2a + b = c Trường hợp : c = a − 9b thay vào (1) : ( 2a − 7b ) = 25 ( a + b ) ⇔ 21a + 28ab − 24b = 14 − 10 14 − 10 175 + 10 → d : =0 a = x+ y− 21 21 21 Suy : a = 14 + 10 → d : 14 + 10 x + y − 175 − 10 = 21 21 21 Trường hợp : c = −2a + b ⇒ (1) : ( 7b − 2a ) = 100 ( a + b ) ⇔ 96a + 28ab + 51b = Vơ nghiệm (Phù hợp : IJ = 16 + 196 = 212 < R + R ' = + 15 = 20 = 400 Hai đường tròn cắt nhau) BT15 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x + y + x − y − = Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d : 3x + y − = cắt đường tròn theo dây cung có độ dài Giải Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN t + 2t = 13m + 88m + 89 = ⇔ 17m + 55 Giải hệ ta tìm m t, thay vào tọa độ C D t = BT47 Trong mặt phẳng tọa độ độ Oxy, cho tam giác ABC có C (1;2 ) , hai đường cao xuất phát từ A B có phương trình x + y = x – y + = Tính diện tích tam giác ABC Giải (AC) qua C (1; ) vng góc với đường cao BK có : x −1 y − = ⇔ x + 2y − = −1 x= 2 x − y + = 11 (AC) cắt (AH) A : ⇔ ⇔ A ; ⇒ AC = 5 x + 2y − = y = 11 x = 1+ t (BC) qua vng góc với (AH) suy uBC = (1;1) ⇒ ( BC ) : y = +t u = ( 2; −1) ⇒ ( AC ) : x = + t 1 (BC) cắt đường cao (AH) B ⇔ y = + t → t = − ⇔ B − ; 2 x + y = − +1− 9 Khoảng cách từ B đến AC : = ⇒S= = 5 20 5 BT48 Trong mp Oxy, cho đường tròn ( C ) : x + y – x + y + = điểm P (1;3) a) Viết phương trình tiếp tuyến PE, PF đường tròn (C), với E, F tiếp điểm b) Tính diện tích tam giác PEF Giải 2 (C): ( x − 3) + ( y + 1) = ⇒ I ( 3; −1) , R = Giả sử đường thẳng qua P có véc tơ pháp tuyến n = ( a; b ) ⇒ d : a ( x − 1) + b ( y − 3) = Hay : ax + by − ( a + 3b ) = (*) Để d tiếp tuyến (C) khoảng cách từ tâm I đến d bán kính : 3a − b − a − 3b 2a − 4b ⇔ =2⇔ =2 2 2 a +b a +b 2 ⇔ ( a − 2b ) = a + b ⇔ 4ab − 3b = b = → a ( x − 1) = ↔ x − = ⇔ b ( 4a − 3b ) = ⇒ b = a → a ( x − 1) + a ( y − 3) = ↔ x + y − = 3 Ta có : PI = , PE = PF = PI − R = 20 − = Tam giác IEP đồng dạng với IHF suy : Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN IF EP IP IF EP = = = = ⇒ IH = = , EH = = IH EH IE 5 5 1 8 32 ⇒ PH = PI − IH = − = ⇔ S EPF = EF.PH= = 2 5 5 E I P H F BT49 Trong mpOxy, cho đường thẳng d1 : x + y − = 0, d : x − y + = Viết phương trình đường tròn (C) có tâm nằm trục Ox đồng thời tiếp xúc với d1 d2 Giải h ( I , d1 ) = h ( I , d ) Gọi I ( a;0 ) thuộc Ox Nếu (C) tiếp xúc với đường thẳng : h ( I , d1 ) = R 2a − 2a + = (1) 1 5 ⇔ Từ (1) ⇒ a = , thay vào (2) : R = ⇔ (C ) : x − + y2 = 10 4 100 R = 2a − ( ) BT50 Trong mp Oxy , cho đường thẳng d1 : x − y + = 0, d : x + y − = Gọi A giao điểm d1 d2 Tìm điểm B d1 điểm C d2 cho ∆ABC có trọng tâm G ( 3;5 ) Giải 2 x − y + = 7 3 Tọa độ A nghiệm hệ : ⇒ A ; 8 2 4 x + y − = B ∈ d1 ⇒ B (1 + 2t ;1 − 3t ) , C ∈ d ⇒ C ( m;5 − 4m ) 57 + t + m + = t + m = 8 Tam giác ABC nhận G ( 3;5 ) làm trọng tâm : ⇔ ⇔ 1 − 3t + − 4m + = 15 3t + 4m = − 15 2 Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN 31 67 88 t = → B ; − Giải hệ suy : m = − 207 → C − 207 ; 257 40 40 10 BT51 Cho đường tròn ( C ) : x + y − x − y + = Lập pt đường tròn (C’) đối xứng với (C) qua đường thẳng ∆ : x − = Giải 2 Ta có ( C ) : ( x − 1) + ( y − ) = ↔ I (1;2 ) , R = Gọi J tâm (C') I J đối xứng qua d : x = suy J ( 3;2 ) (C) có bán kính R Vậy ( C ') : ( x − 3) + ( y − ) = đối xứng với (C) qua d 2 13 13 BT52 Trong mpOxy, cho ∆ABC có trực tâm H ; , phương trình đường thẳng AB 5 5 AC x − y − = 0, x + y − = Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC A K H B E C Giải: 4 x − y − = Tọa độ A nghiệm hệ : x + y − = 12 Suy : A ( 2;5 ) ⇒ HA = − ; u = (1; −4 ) Suy (AH) có véc tơ phương u = (1; −4 ) 5 (BC) vng góc với (AH) (BC) có n = u = (1; −4 ) suy (BC): x − y + m = (*) 22 13 C thuộc (AC) suy C ( t;7 − t ) CH = − t ; t − ⇒ u AB = (1; ) ⊥ CH Cho nên ta có : 5 13 22 − t + t − = → t = ⇔ C ( 5; ) 5 Vậy (BC) qua C ( 5; ) có véc tơ pháp tuyến n = (1; −4 ) ⇒ ( BC ) : ( x − ) − ( y − ) = (BC): ⇔ x − y + = BT53 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x + y − = điểm A (1;1) , B(−3;4) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN Giải M d A H B M thuộc d suy M ( t ;3 − t ) Đường thẳng (AB) qua A (1;1) có véc tơ phương x −1 y −1 = ⇔ 3x + y − = −3 3t + ( − t ) − Theo đầu : = ⇔ −t + = 5 t = → M ( 3;0 ) ⇔ t = 13 → M (13; −10 ) * Chú ý : Đường thẳng d' song song với (AB) có dạng : 3x + y + m = Nếu d' cách (AB) khoảng 3+ 4+ m h ( A, d ') = ⇔ =1 m = −2 → d ' : x + y − = Tìm giao d' với d ta tìm M ⇒ m = −12 → d ' : x + y − 12 = u = ( 4; −3) ⇒ ( AB ) : BT54 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ∆ABC có đỉnh A ( 4;3) , đường cao BH trung tuyến CM có pt là: 3x − y + 11 = 0, x + y − = Tìm tọa độ đỉnh B, C Giải B M C H A x = + 3t Đường thẳng (AC) qua A ( 4;3) vng góc với (BH) suy (AC) : y = 3−t x = + 3t (AC) cắt trung tuyến (CM) C : y = − t → 2t + = → t = −3 ⇔ C ( −5;6 ) x + y −1 = Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN B thuộc (BH) suy B ( t ;3t + 11) Do (CM) trung tuyến M trung điểm AB , t + 3t + 14 đồng thời M thuộc (CM) ⇒ M ; t + 3t + 14 M ∈ ( CM ) ⇒ + − = ⇒ t = −4 2 Do tọa độ B ( −4; −1) M ( 0;1) BT55 Trong hệ trục 0xy, cho đường tròn ( C ) : x + y − x + 12 = điểm E ( 4;1) Tìm toạ độ điểm M trục tung cho từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến (C), với A, B tiếp điểm cho E thuộc đường thẳng AB Giải vuong Hide Luoi y M A E -3 -1 -2 O -1 I x B -2 Đường tròn (C) : ( x − ) + y = ⇒ I ( 4;0 ) , R = 2 Gọi M ( 0;a ) thuộc Oy Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) ∈ ( C ) Tiếp tuyến A B có phương trình : ( x1 − )( x − ) + y1 y = , ( x2 − )( x − ) + y2 y = Để thỏa mãn tiếp tuyến qua M(0;a) ⇔ ( x1 − )( − ) + y1a = , ( x2 − )( − ) + y1a = Chứng tỏ (AB) có phương trình : −4 ( x − ) + ay = Nếu (AB) qua E(4;1) : −4 ( ) + a.1 = suy : a = Vậy Oy có M ( 0;4 ) thỏa mãn , hai đỉnh A ( 2; −3) , B ( 3; −2 ) trọng tâm G tam giác thuộc đt 3x − y − = Tìm tọa độ đỉnh C BT56 Cho tam giác ABC có diện tích S = Giải Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN GA = ( − t ;5 − 3t ) Vì G thuộc d suy G ( t ;3t − ) ⇒ Theo tính chất trọng tâm tam GM = x − t ; y + − t ( ) 0 2 − t = −2 x0 + 2t 2 x0 = 3t − giác : GA = −2GM ⇒ Theo tính chất trung điểm ta có ⇔ 5 − 3t = −2 y0 − 16 + 6t 2 y0 = 9t − 21 tọa độ C ( 3t − 5;9t − 19 ) x−2 y+2 = ⇔ x − y − = 1 3t − − 9t + 19 − 10 − 6t Đồng thời : AB = Khoảng cách từ C đến (AB) : = = 2 Theo giả thiết : 13 11 t = → C ; 10 − 6t 10 − 6t = −3 1 2 S = AB.h = = − 3t = ⇔ ⇔ 2 2 7 10 − 6t = t = → C − ; − 2 (AB) qua A ( 2; −3) có véc tơ phương u = (1;1) ⇒ ( AB ) : BT57 Viết phương trình đường tròn (C) có bán kính R = tiếp xúc với trục hoành có tâm I nằm đường thẳng ( d ) : x + y – = Giải Tâm I nằm d suy I ( t;3 − t ) Nếu (C) tiếp xúc với Ox khoảng cách từ I đến Ox t = → I1 = ( 5; −2 ) 3 − t = −2 bán kính R = − t = ⇔ ⇔ 3 − t = t = → I = (1;2 ) Như có đường tròn : ( C1 ) : ( x − ) + ( y + ) = , ( C2 ) : ( x − 1) + ( y − ) = 2 2 BT58 Trong Oxy cho đường tròn (C) có phương trình : x + y – x – y + = a) Viết phương trình đường thẳng qua M ( 2;4 ) cắt đường tròn (C) điểm A, B cho M trung điểm đoạn AB b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) cho tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình: x + y – = c) Chứng tỏ đường tròn (C) đường tròn ( C’) : x + y – x – y + = tiếp xúc Viết phương trình tiếp tuyến chung chúng tiếp điểm Giải 2 (C) : ( x − 1) + ( y − 3) = ⇒ I (1;3) , R = a Gọi A ( x; y ) thuộc (C) suy ( x − 1) + ( y − 3) = (1), B đối xứng với A qua M suy 2 B ( − x;8 − y ) Để đảm bảo u cầu tốn B thuộc (C) : ( − x ) + ( − y ) = (2) 2 2 2 ( x − 1) + ( y − 3) = x + y − x − y + = ( 3) Từ (1) (2) ta có hệ : ⇔ 2 2 − x + − y = ) ( ) x + y − x − 10 y + 30 = ( ) ( Lấy (3) – (4) ta có phương trình : x + y − 24 = , hay : x + y − = Đó đường thẳng cần tìm Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN b Gọi d' đường thẳng song song với d nên có dạng : x + y + m = (*) Để d' tiếp m = − = ⇔ m+8 = ⇒ m = −4 − 2 c (C'): ( x − ) + ( y − 3) = ⇒ I ' ( 2;3) , R ' = Ta có : II ' = , R '− R = Chứng tỏ hai đường tròn tiếp xúc với Tìm tọa độ tiếp điểm 2 2 ( x − 1) + ( y − 3) = x + y − x − y + = : ⇔ ⇒ x + = ⇔ x = −1 Thay vào 2 2 x + y − x − y + = ( x − ) + ( y − 3) = phương trình đầu hệ : y − y + = ⇔ ( y − 3) = → y = ⇔ M (1;3) tuyến (C) : ⇒ h ( I , d ' ) = 2+6+m Tiếp tuyến chung qua M vng góc với IJ suy d ' :1( x − 1) = hay x − = BT59 Lập phương trình cạnh ∆ ABC, biết đỉnh A (1;3) hai đường trung tuyến xuất phát từ B C có phương trình x – y + = y – = Giải A M N G B C E A' x − y +1 = Gọi G trọng tâm tam giác tọ độ G nghiệm hệ ⇒ G (1;1) y −1 = E ( x; y ) thuộc (BC), theo tính chất trọng tâm ta có : GA = ( 0; ) , GE = ( x − 1; y − 1) ⇒ GA = −2GE ⇔ 0 = −2 ( x − 1) ⇒ E (1;0 ) C thuộc (CN) C ( t;1) , B thuộc (BM) B ( 2m − 1; m ) = −2 ( y − 1) Do B, C đối xứng qua E ta có hệ phương trình : 2m + t − = t = ⇔ ⇒ B ( 5;1) , C ( −3; −1) Vậy (BC) qua E (1;0 ) có véc tơ phương m + = m = −1 x −1 y = ⇔ x − y − = Tương tự : x −1 y − (AB) qua A(1;3) có AB = ( 4; −2 ) u = ( 2; −1) ⇒ ( AB ) : = ⇔ x + 2y − = −1 BC ( −8; −2 ) u = ( 4;1) ⇒ ( BC ) : Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN x −1 y − = ⇔ x− y+2=0 1 * Chý ý: Hoặc gọi A' đối xứng với A qua G suy A ' (1; −1) BGCA' hình bình hành, từ ta tìm tọa độ đỉnh B, C cách lập cạnh (AC) qua A(1;3) có AC = ( −4; −4 ) u = (1;1) ⇒ ( AC ) : BT60 Cho ∆ABC có đỉnh A ( 2; –1) hai đường phân giác góc B, góc C có phương trình ( d B ) : x – y + = ( dC ) : x + y + = Lập phương trình BC Giải Gọi A' đối xứng với A qua d B A'' đối xứng với A qua dC A' A'' nằm BC ( x − ) + 1( y + 1) = AA'u = 2 x + y = Tìm tọa độ A' (x;y): ⇔ ⇔ x+ ⇔ ⇒ A ' ( 0;3) y −1 x − y = −6 I ∈ d B − 2 +1 = ( x − ) − 1( y + 1) = AA''u = x − y = Tìm tọa độ A'' (x;y) : ⇔ ⇔ x + y −1 ⇔ ⇒ A '' ( −2; −5 ) x + y = −7 I ∈ d B + +3= x y −3 (BC) qua A'(0;3) có véc tơ phương A ' A '' = ( −2; −8 ) u = (1; ) ⇒ ( BC ) : = BT61 Cho tam giác ABC có trung điểm AB I (1;3) , trung điểm AC J ( −3;1) Điểm A thuộc Oy đường thẳng BC qua gốc tọa độ O Tìm tọa độ điểm A, phương trình đường thẳng BC đường cao vẽ từ B? Giải A H I J B C Do A thuộc Oy A ( 0;m ) (BC) qua gốc tọa độ O ( BC ) : ax + by = (1) Vì IJ trung điểm (AB) (AC) IJ BC suy (BC) có véc tơ phương : ⇔ IJ = ( −4; −2 ) u = ( 2;1) ⇒ ( BC ) : x − y = B thuộc (BC) suy B ( 2t; t ) A ( − 2t;6 − t ) Nhưng A thuộc Oy − 2t = ⇒ t = A ( 0;5 ) Tương tự C ( −6; −3) , B ( 0;1) Đường cao BH qua B ( 0;1) vng góc với AC có x y −1 = ⇔ 4x − 3y + = BT62 Cho hai điểm A (1;1) , B ( 4; −3) đường thẳng d : x − y − = AC = ( −6; −8 ) u = ( 3; ) ⇒ ( BH ) : Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN a Tìm tọa độ điểm C d cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB = ( ĐHKB-04) b Tìm tọa độ trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB? ( ĐHKA-2004) Giải x −1 y −1 = ⇔ 4x + 3y − = −4 ( 2t + 1) + 3t − C thuộc x − y − = suy C ( 2t + 1; t ) : = ⇔ 11t − = 30 t = → C1 ( 7;3) ⇔ 27 43 27 t=− → C2 − ; − 11 11 11 a/ (AB) qua A (1;1) có u = AB = ( 3; −4 ) ⇒ ( AB ) : b/ Đường thẳng qua O vng góc với AB có phương trình 3x − 4y = Đường thẳng qua B vng góc với OA có phương trình ( x − ) + ( y + 3) = Đường thẳng qua A vng góc với OB có phương trình ( x − 1) − ( y − 1) = hay 4x − 3y − = Vậy tọa độ trực tâm H nghiệm : 3x − (1 − x ) = 3x − y = x= 4 3 ⇔ x + y −1 = ⇔ y = − x ⇔ ⇒H ; 7 7 4 x − y − = 4 x − y − = y = Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ( C ) : x + y − 2ax − 2by + c = (C) qua O ( 0;0 ) suy c = (1) (C) qua A (1;1) suy : − 2a − 2b = , hay : a + b = (2) (C) qua B ( 4; −3) suy : 25 − 8a + 6b = , hay : 8a − 6b = 25 (3) 31 17 b = − b = − a + b = b = − a 14 14 Từ (2) (3) ta có hệ : ⇔ ⇔ ⇔ 8a − 6b = 25 8a − 6(1 − a ) = 25 a = 31 a = 31 14 14 31 17 Vậy (C) : x + y − x + y = BT63 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x + y − = hai điểm A (1;0 ) , B ( 3; −4 ) Hãy tìm d điểm M cho : MA + 3MB nhỏ Giải Trên d có M ( − 2t; t ) suy : MA = ( − 2t ; t ) , MB = ( −2t ; t + ) ⇒ 3MB = ( −6t + 3t + 12 ) Do : MA + 3MB = ( − 8t ;4t + 12 ) ⇒ MA + 3MB = ( − 8t ) + ( 4t + 12 ) 2 676 26 Hay : f ( t ) = MA + 3MB = 80t + 64t + 148 = 80 t + + ≥ Dấu đẳng thức xảy 5 5 26 19 t = − ⇒ M ; − Khi f ( t ) = 5 5 Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN BT64 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M ( 2; −1) đường tròn ( C1 ) : x + y = (1) Hãy viết phương trình đường tròn ( C2 ) có bán kính cắt đường tròn ( C1 ) theo dây cung qua M có độ dài nhỏ Giải Gọi ( C2 ) có tâm I ' ( a;b ) suy : ( C2 ) : ( x − a ) + ( y − b ) 2 = 16 ⇔ x + y − 2ax − 2by + a + b − 16 = (1) Lấy (1) -(2) ta : 2ax + 2by − ( a + b ) + = ( đường thẳng trục đẳng phương ) Dây cung hai đường tròn nằm đường thẳng 2 Ví dây cung qua M ( 2; −1) lên ta có : 4a − 2b − ( a + b ) + = ⇔ ( a − ) + ( b + 1) = 12 BT65 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A ( 2;5 ) , B ( 5;1) Viết phương trình đường thẳng d qua A cho khoảng cách từ B đến d Giải Đường thẳng d qua A ( 2;5 ) có n = ( a; b ) ⇒ d : a ( x − ) + b ( y − ) = (1) Theo giả thiết : h ( B, d ) = a ( − ) + b (1 − ) = ⇔ ( 3a − 4b ) = ( a + b ) a +b b = → d : a ( x − ) = ↔ x − = ⇔ 7b − 24ab = ⇒ b = 24a → ( x − ) + 24 ( y − ) = ↔ x + 24 y − 114 = 7 2 BT66 Trong (Oxy) cho A ( 2;5 ) đường thẳng d : x + y + = Viết phương trình tổng qt đường thẳng d' qua A tạo với d góc 450 Giải Đường thẳng d' qua A ( 2;5 ) có n = ( a; b ) ⇒ d : a ( x − ) + b ( y − ) = Đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến n ' = ( 2;3) Theo giả thiết : cos450 = 2a + 3b 13 a + b = (1) ⇔ ( 2a + 3b ) = 13 ( a + b ) ⇔ 5b + 24ab − 5a = b = −5a → d ' : ( x − ) − ( y − ) = ↔ x − y + 23 = Ta có : ∆ 'b = 169a ⇒ b = a ↔ a = 5b → d ' : ( x − ) + ( y − ) = ↔ x + y − 15 = BT67 Trong (Oxy) cho hình chữ nhật ABCD, biết phương trình chứa đường chéo d1 : x + y − = d : x − y + = Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh hình chữ nhật, biết đường thẳng qua điểm M ( −3;5 ) Giải 7 x + y − = 1 9 Tâm hình chữ nhật có tọa độ nghiệm hệ : ⇒ I ; 4 4 x − y + = Gọi d đường thẳng qua M ( −3;5 ) có véc tơ pháp tuyến : n = ( a; b ) Khi Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN ⇒ d : a ( x + 3) + b ( y − ) = (1) Gọi cạnh hình vng (AB) qua M theo tính chất hình chữ nhật : nn1 n n1 = nn2 ⇔ n n2 7a + b 50 a + b = a = −3b ⇔ 7a + b = a − b ⇔ a2 + b2 b = 3a a −b a = −3b → d : −3 ( x + 3) + ( y − ) = ↔ x − y + 14 = Do : b = 3a ↔ ( x + 3) + ( y − ) = ↔ x + y − 12 = BT68 Trong mỈt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(1;1) , B(−2;5) , ®Ønh C n»m trªn ®−êng th¼ng x − = , vµ träng t©m G cđa tam gi¸c n»m trªn ®−êng th¼ng x − y + = TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC HD + + yC y 1− + Ta cã C ( 4; yC ) Khi ®ã täa ®é G lµ xG = = 1, yG = = + C §iĨm G n»m 3 trªn ®−êng th¼ng x − y + = nªn − − yC + = , vËy yC = , tøc lµ: C ( 4; ) Ta cã AB = ( −3;4 ) , AC = ( 3;1) , vËy AB = , AC = 10 , AB AC = −5 ( ) 1 15 AB AC − AB AC = 25.10 − 25 = 2 BT69 Trong mỈt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A ( 2;−1) , B (1;− ) , träng t©m G cđa tam gi¸c n»m trªn ®−êng th¼ng x + y − = T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diƯn tÝch tam gi¸c ABC 27 b»ng HD V× G n»m trªn ®−êng th¼ng x + y − = nªn G cã täa ®é G (t; − t ) Khi ®ã AG = ( t − 2;3 − t ) , DiƯn tÝch tam gi¸c ABC lµ S = AB = ( −1; −1) VËy diƯn tÝch tam gi¸c ABG lµ 2t − 2 ( t − ) + ( − t ) − = 2t − 27 NÕu diƯn tÝch tam gi¸c ABC b»ng th× diƯn tÝch tam gi¸c ABG b»ng VËy = , suy 2 2 t = hc t = −3 VËy cã hai ®iĨm G : G1 ( 6; −4 ) , G2 ( −3; −1) V× G lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn xC = xG − ( xa + xB ) vµ yC = yG − ( ya + yB ) Víi G1 ( 6; −4 ) ta cã C1 (15; −9 ) , víi G2 ( −3; −1) ta cã C2 ( −12;18 ) S= ( AG AB − AG AB ) = BT70 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ∆ : x + y + = , ∆ ' : 3x − y + 10 = điểm A ( −2;1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng ∆ , qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng ∆ ’ HD Tâm I đường tròn thuộc ∆ nên I ( −3t – 8; t ) Theo u cầu khoảng từ I đến ∆ ’ khoảng cách IA nên ta có 3(−3t − 8) − 4t + 10 = (−3t − + 2)2 + (t − 1) 2 +4 Giải tiếp t = −3 Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN Khi I (1; −3) , R = phương trình cần tìm: ( x –1) + ( y + 3) = 25 2 BT71 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn hai đường tròn (C ) : x + y – x – y + = 0, (C ') : x + y + x – = qua M (1;0 ) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (C ), (C ') A, B cho MA= 2MB HD Gọi tâm bán kính (C), (C’) I (1;1) , I ’ ( −2;0 ) R = 1, R ' = , đường thẳng (d) qua M có phương trình a ( x − 1) + b ( y − ) = ⇔ ax + by − a = 0, (a + b ≠ 0)(*) Gọi H, H’ trung điểm AM, BM Khi ta có: MA = 2MB ⇔ IA2 − IH = I ' A2 − I ' H '2 2 ⇔ − d ( I , d ) = 9 − ( d ( I ', d ) ) , IA > IH 2 9a b2 36a − b ⇔ d ( I ', d ) − d ( I , d ) = 35 ⇔ − = 35 ⇔ = 35 ⇔ a = 36b 2 2 a +b a +b a +b a = −6 Dễ thấy b ≠ nên chọn b = ⇒ a=6 Kiểm tra điều kiện IA > IH thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn BT72 Tam giác cân ABC có đáy BC nằm đường thẳng x – y + = , cạnh bên AB nằm đường thẳng 12 x – y – 23 = Viết phương trình đường thẳng AC biết qua điểm (3;1) HD Đường thẳng AC qua điểm ( 3;1) nên có phương trình : a ( x – 3) + b ( y – 1) = ( a2 + b2 ≠ ) Góc tạo với BC góc AB tạo với BC 2a − 5b 2.12 + 5.1 nên : = 2 + 52 a + b 22 + 52 122 + 12 a = −12b ⇔ ⇔ ( 2a − 5b ) = 29 ( a + b ) ⇔ 9a + 100ab – 96b = ⇒ a = b Nghiệm a = −12b cho ta đường thẳng song song với AB (vì điểm ( 3;1) khơng thuộc AB) nên khơng phải cạnh tam giác Vậy lại : 9a = 8b hay a = b = Phương trình cần tìm x + y – 33 = 2a − 5b 29 = a + b2 2 2 BT73 Trong mp (Oxy) cho đườ ng thẳ ng ∆ có ph ươ ng trình x – y – = hai đ iể m A ( −1; ) ; B ( 3; ) Tìm đ iể m M ∈(∆) cho 2MA2 + MB có giá tr ị nh ỏ nh ất HD M ∈ ∆ ⇒ M ( 2t + 2; t ) , AM = ( 2t + 3; t − ) , BM = ( 2t − 1; t − ) AM + BM = 15t + 4t + 43 = f (t ) Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN 2 26 f ( t ) = f − ⇒ M ; − 15 15 15 BT74 Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : x + y − x − 2my + m − 24 = có tâm I đường thẳng ∆ : mx + y = Tìm m biết đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn diện tích tam giác IAB 12 HD Đường tròn (C) có tâm I (1;m ) , bán kính R = Gọi H trung điểm dây cung AB Ta có IH đường cao tam giác IAB | m + 4m | | 5m | IH = d ( I , ∆ ) = = m + 16 m + 16 AH = IA − IH = 25 − 2 ( 5m ) = 20 m + 16 m + 16 Diện tích tam giác IAB S∆IAB = 12 ⇔ 2S∆IAH = 12 ⇔ d ( I , ∆ ) AH = 12 m = ±3 ⇔ 25 m = ( m + 16 ) ⇔ m = ± 16 BT75 Cho đường tròn ( C ) : x + y – x + y + = Viết phương trình đường tròn (C') tâm M ( 5,1) biết (C') cắt (C) điểm A, B cho AB = HD Phương trình đường tròn ( C ) : x + y – x + y + = có tâm I (1, –2 ) , R = Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) A, B nên AB ⊥ IM trung điểm H đoạn AB AB Ta có AH = BH = = Có vị trí cho AB đối xứng qua tâm I 2 Gọi A'B' vị trí thứ AB, Gọi H' trung điểm A'B' 3 Ta có: IH ' = IH = IA − AH = − = , MI = 2 ( − 1) + (1 + ) = Vậy có đường tròn (C') thỏa ycbt là: ( x – ) + ( y – 1) = 13 2 hay ( x – ) + ( y − 1) = 43 2 BT76 Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng d1 : x + y − = 0, d : x − y + = 0, d3 : x − y + = Tìm tọa độ đỉnh hình thoi ABCD, biết hình thoi ABCD có diện tích 15, đỉnh A, C thuộc d3 , B thuộc d1 D thuộc d HD Đường chéo (BD) vng góc với (AC) BD có dạng : x + y + m = x + y + m = m + 4m + (BD) cắt d1 B có tọa độ nghiệm hệ : ⇒ B ;− 4 x + y − = x + y + m = m + −2m + (BD) cắt d D có tọa độ nghiệm hệ : ⇒ D− ; 3 2 x − y + = Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN 2m + Trung điểm I BD tâm hình thoi có tọa độ : I ; − 2 2m + Theo giả thiết I thuộc AC : + + = ⇒ m = −3 ⇔ ( BD ) : x + y − = tọa độ 2 1 5 điểm B ( 2;1) , D ( −1;4 ) I ; Gọi A ( t; t + ) thuộc (AC) 2 2 t +t + 2−3 Suy : h ( A,( AC ) ) = t = → A ( 3;5 ) ↔ C ( −2;0 ) 2t − 2t − 1 = ⇔ S = BD.h ( A, AC ) = = 15 ⇔ 2 t = −2 → A ( −2;0 ) ↔ C ( 3;5 ) BT77 Trong (Oxy) cho tam giác ABC, biết ba chân đường cao tương ứng với đỉnh A, B, C A ' (1;1) , B' ( −2;3) , C' ( 2; ) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh (BC) Giải A B' C' H B C A' Do đường cao tứ giác AC'IB' từ giác nội tiếp đường tròn có đường kính AI, C'B' dây cung AA' vng góc với C'B' Vậy (BC) qua A ' (1;1) có véc tơ pháp tuyến C ' B ' = ( −4; −1) n = ( 4;1) ⇒ ( BC ) : ( x − 1) + y − = ⇔ 4x + y − = Tương tự lập luận ta tìm phương trình cạnh tam giác ABC : ( AB ) : 3x − y + = ( ) ( BT78 Trong (Oxy) cho hai điểm A 3;2 , B 3; −2 ) a) Chứng tỏ tam giác OAB tam giác b) Chứng minh tập hợp điểm M cho: MO + MA2 + MB = 32 đường tròn (C) c) Chứng tỏ (C) đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Giải a/ Ta có : OA = (2 3) + 22 = 4, OB = 4, AB = Chứng tỏ OAB tam giác b/ Gọi M ( x; y ) đẳng thức giả thiết cho tương đương với biểu thức : Ta có : MO = x + y , MA2 = x + y − x − y + 16, MB = x + y − 3x + y + 16 ⇒ MO + MA2 + MB = 32 ⇔ 3x + y − 3x + 32 = 32 ⇔ x + y − x=0 Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN 2 4 3 4 3 ⇔x− ;0 , R = + y = Chứng tỏ đường tròn (C) có tâm I c/ Thay tọa độ O, A, B vào (1) ta thấy thỏa mãn, chứng tỏ (C) đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB BT79 Viết phương trình cạnh hình vng ABCD biết AB, CD qua điểm P ( 2;1) Q ( 3;5 ) , BC AD qua điểm R ( 0;1) S ( −3; −1) Giải Gọi (AB) có dạng y = kx + b ( AD ) : y = − x + b ' k Cho AB AD qua điểm tương ứng ta có : 2k + b = (1) Ta có : h ( Q, AB ) = 3k − + b ; h ( R, AD ) = + k − kb ' + b ' = −1 k ( 2) Theo tính chất hình vng : k2 +1 k2 +1 3k − + b + k − kb ' h ( Q, AB ) = h ( R, AD ) ⇔ = ⇔ 3k − + b = k − kb ' k2 +1 k2 +1 2k + b = 1 4 Từ ta có hệ : k + kb ' = −3 ⇒ k = , b = , b ' = −10 , k = −7, b = 15, b ' = − 3 7 3k − + b = k − kb ' Do : AB : x − y + = 0, AD : 3x + y + 10 = 0, CD : x − y + 12 = 0, BC : x + y − = Hoặc : AB : x + y − 15 = 0, AD : x − y − = 0, CD : x + y − 26 = 0, BC : x − y + = [...]... x + 3 y − 5 = 0 25 25 25 582 3 x − 4 y + 27 = 0 y = 25 Lập (AB) qua B ( 2; −1) và 2 điểm A tìm được ở trên (học sinh tự lập ) BT17 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vng góc Oxy , xét tam giác ABC vng tại A, phương trình đường thẳng BC là : 3.x − y − 3 = 0 , các đỉnh A và B thuộc trục hồnh và bán kính đường tròn nội tiếptam giác ABC bằng 2 Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác... −1 − 2 3 + 1 2a + 1 1+ 4 3 x = x = =− G G 1+ 4 3 2 3 + 6 3 3 3 ⇔ ⇔ ⇒ G2 − ;− 3 3 3 −2 − 2 3 y = 3 ( a − 1) 2 3+6 =− G yG = 3 3 3 ( ) BT18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y − 1 = 0 và đường thẳng d : x + y + 1 = 0 Tìm những điểm M thuộc đường thẳng d sao cho từ điểm M kẻ Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN được... 2 − 2 + 4t ) > 0 2 t + 4t − 2 = −1 t 2 − 4t − 2 t ≠ 2 ± 6 1 k1 + k2 = ± 2 2 ⇔ ∆ ' = t (19 − t ) > 0 ⇒ t = ± 2 ⇒ 2 ⇒ k1 ; k2 ⇔ M 2 k k = −1 1 2 t = 2 BT19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A (1;1) và đường thẳng ∆ : 2 x + 3 y + 4 = 0 Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng ∆ sao cho đường thẳng AB và ∆ hợp với nhau góc 450 Giải Gọi d là đường thẳng qua A (1;1) có véc tơ pháp tuyến... cho nên : x − 5 y + 4 = 0 5 x + y − 6 = 0 32 4 22 32 ⇒ B1 ⇔ B1 − ; , B2 : ⇒ B2 ; − 13 13 13 13 2 x + 3 y + 4 = 0 2 x + 3 y + 4 = 0 BT20 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng d1 : 2 x − y + 5 = 0 d 2 : 3 x + 6 y – 7 = 0 Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P ( 2; −1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân... = 3 5 5 Lập đường thẳng ∆1 qua P ( 2; −1) và vng góc với tiếp tuyến : 9x + 3y + 8 = 0 ⇒ ∆1 : x − 2 y +1 = ⇔ x − 3y − 5 = 0 9 3 x − 2 y +1 = ⇔ 3x + y − 5 = 0 3 −9 BT21 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn (C) có phương trình: Lập ∆ 2 qua P ( 2; −1) và vng góc với : 3x − 9y + 22 = 0 ⇔ ∆ 2 : x 2 + y 2 + 4 3x − 4 = 0 Tia Oy cắt (C) tại A Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ =... ra OH bằng a và JH bằng b IA IO OA 4 2 3 2 Xét các tam giác đồng dạng : IOA và IHJ suy ra : = = ⇔ = = IJ IH HJ 6 a+2 3 b Từ tỷ số trên ta tìm được : b = 3 và a = 3 BT22 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB : x − 2 y − 1 = 0 , đường chéo BD : x − 7 y + 14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M ( 2;1) Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật Giải A D M B C Hình vẽ : (Như bài... (1;0 ) : m = −2 Cho nên (AD) có phương trình : 2 x + y − 2 = 0 2 x + y − 2 = 0 D là giao của (AD) với (BD) : ⇒ D ( 0; 2 ) x − 7 y + 14 = 0 17 cách giải tương tự (Học sinh tự làm) 31 BT23 Trong mp (Oxy) cho đườ ng thẳ ng ( ∆) có ph ươ ng trình: x – 2 y – 2 = 0 và hai điể m A ( −1; 2 ) ; B ( 3; 4 ) Tìm đ iể m M ∈ ∆ sao cho 2 MA2 + MB 2 có giá trị nh ỏ nhấ t Trường hợp : k = − Giải M thuộc ∆ suy ra... (1) khi áp dụng vi ét ta được : 8 + b ( t1 + t2 ) = 8 b ( t1 + t2 ) = 0 2(a + b) x−2 y−4 ⇔ t1 + t2 = − 2 = 0 ⇔ a + b = 0 ⇔ a = −b ⇒ d : = ⇔ d : x+ y −6 = 0 2 a +b −1 1 BT25 Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 2my + m 2 − 24 = 0 có tâm I và đường thẳng ∆ : mx + 4 y = 0 Tìm m biết đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn diện tích tam... 8 = 4 5m = 12 2 2 m 2 + 16 m 2 + 16 m 2 + 16 2 m 2 + 25 = 3 ⇔ 25m 2 ( m 2 + 25 ) = 9 ( m 2 + 16 ) 2 m + 16 Ta có một phương trình trùng phương , học sinh giải tiếp BT26 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB : x − y − 2 = 0 , phương trình cạnh AC : x + 2 y − 5 = 0 Biết trọng tâm của tam giác G ( 3; 2 ) Viết phương trình cạnh BC Giải x − y − 2 = 0 (AB) cắt (AC)... đều) Mặt khác : IM = 5 suy ra HM = 5 − = 2 2 2 AB 49 3 Trong tam giác vng HAM ta có MA2 = IH 2 + = + = 13 = R '2 4 4 4 2 2 Vậy (C') : ( x − 5 ) + ( y − 1) = 13 2 2 BT29 Trong mỈt ph¼ng víi hƯ täa ®é Oxy cho ®−êng trßn (C) cã ph−¬ng tr×nh 2 2 ( x − 1) + ( y + 2 ) = 9 vµ ®−êng th¼ng d : x + y + m = 0 T×m m ®Ĩ trªn ®−êng th¼ng d cã duy Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN nhÊt mét ®iĨm A