Bài tập xac suat THong ke

PHẦN I: ĐẠI CƯƠNG XÁC SUẤT Bài 1: Lớp học 80 sinh viên có 50 nữ Chọn ngẫu nhiên sinh viên Tính xác suất để: (a) Cả sinh viên nữ (b) Cả sinh viên nam (c) Cả sinh viên khác giới Đáp án: a/ Gọi A biến cố chọn sinh viên nữ: C502 49 245 P ( A ) = = = ≈ 38, 76% Khi đó: C80 79 632 b/ Gọi B biến cố chọn sinh viên nam C302 29 87 P( B) = = = ≈ 13, 76% C80 79 632 c/ Gọi C biến cố chọn sinh viên nam nữ 245 87 200 25 P (C ) = − P( A) − P ( B) = − − = = 632 632 632 79 Bài 2: Bộ đề thi môn triết học gồm 25 phiếu thi, phiếu ghi câu hỏi Một sinh viên dự thi nắm vững 20 câu: giám khảo yêu cầu anh ngẫu nhiên bắt phiếu thi Tính xác suất để: (a) Sinh viên trả lời câu (b) Sinh viên trả lời câu (c) Sinh viên không trả lời câu Đáp án: a/ Gọi A biến cố sinh viên trả lời câu C202 19 P ( A) = = C25 30 c/ Gọi C biến cố sinh viên không trả lời câu C2 P (C ) = 52 = C25 30 b/ Gọi B biến cố sinh viên trả lời câu 19 1 P ( B ) = − P ( A) − P (C ) = − − = 30 30 Bài 3:Gieo đồng thời đồng tiền Tính xác suất để: (a) Cả đồng tiền sấp (b) Có đồng tiền sấp (c) Chỉ có đồng tiền sấp Đáp án: a/ Gọi A1 biến cố đồng thứ sấp: P(A1) = 2 Gọi A3 biến cố đồng thứ sấp: P(A3) = Gọi A biến cố đồng sấp 1 1 P(A) = * * = 2 b/ Có trường hợp  Trường hợp 1: đồng sấp, đồng ngửa Gọi A2 biến cố đồng thứ sấp: P(A2) = Xác suất – Thống kê 1 Gọi B2 biến cố đồng sấp: P(B2) = Gọi B1 biến cố đồng sấp: P(B1) = Gọi B3 biến cố đồng ngửa: P(B3) = 1 1 * * = 2  Trường hợp 2: đồng sấp, đồng ngửa Gọi C1 biến cố đồng sấp: P(C1) = Gọi C2 biến cố đồng sấp: P(C2) = Gọi C3 biến cố đồng ngửa: P(C3) = 1 1 Gọi C biến cố đồng 1, sấp; ngửa: P(C) = * * = 2  Trường hợp 3: đồng sấp, đồng ngửa Gọi D1 biến cố đồng sấp: P(D1) = Gọi D2 biến cố đồng sấp: P(D2) = Gọi D3 biến cố đồng ngửa: P(D3) = 1 1 Gọi D biến cố đồng 2, sấp; ngửa: P(D) = * * = 2 1 Vậy biến cố để đồng sấp là: P = + + = 8 8 c/ Có trường hợp:  Trường hợp 1: đồng sấp, đồng 2,3 ngửa Gọi A1 biến cố đồng sấp: P(A1) = Gọi A2 biến cố đồng ngửa: P(A2) = Gọi A3 biến cố đồng ngửa: P(A3) = 1 1 Gọi A biến cố đồng 2, ngửa; sấp: P(A) = * * = 2  Trường hợp 2: đồng sấp, đồng 1và ngửa Gọi B1 biến cố đồng sấp: P(B1) = Gọi B2 biến cố đồng ngửa: P(B2) = Gọi B3 biến cố đồng ngửa: P(B3) = Gọi B biến cố đồng 1, sấp; ngửa: P(B) = Xác suất – Thống kê 1 1 * * = 2  Trường hợp 3: đồng sấp, đồng ngửa Gọi C1 biến cố đồng sấp: P(C1) = Gọi C2 biến cố đồng ngửa: P(C2) = Gọi C3 biến cố đồng ngửa: P(C3) = 1 1 Gọi C biến cố đồng sấp; ngửa: P(C) = * * = 2 1 Vậy biến cố để có đồng sấp là: P= + + = 8 8 Gọi B biến cố đồng sấp, ngửa: P(B) = Bài 4: Gieo đồng thời xúc xắc mặt Tính xác suất để: (a) Số nút xúc xắc chẵn (b) Tổng số nút xúc xắc (c) Tổng số nút xúc xắc lẻ (d) Số nút xúc xắc chênh lệch đơn vị Đáp án: a/ Gọi A1 biến cố mặt xuất xúc xắc mặt chẵn P(A1) = Gọi A2 biến cố mặt xuất mặt xúc xắc mặt chẵn P(A2) = Gọi A biến cố mặt xuất xúc xắc chẵn 3 P(A) = P(A1)*P(A2) = * = = 25% 6 b/ Khi gieo xúc xắc mặt không gian mẫu = 36 Để tổng số nút xúc xắc có trường hợp xảy là: số nút đồng là: đồng = 2, đồng = 6; đồng = 6, đồng = 2; đồng = 3, đồng = 5; đồng = 5, đồng = 3; đồng = 4, đồng = Vậy xác suất để gieo tổng số nút mặt là: P = 36 c/ Tổng số nút xúc xắc lẻ mặt xúc xắc xuất mặt lẻ mặt lại xúc xắc xuất mặt chẵn Có trường hợp:  Trường hợp 1: xúc xắc thứ xuất mặt lẻ xúc xắc thứ xuất mặt chẵn Gọi A1 biến cố để xúc xắc xuất mặt lẻ P(A1) = = Gọi A2 biến cố xúc xắc thứ hai xuất mặt chẵn P(A2) = = Gọi A biến cố để tổng số nút xúc xắc lẻ 1 P(A) = + = 2 Xác suất – Thống kê  Trường hợp 2: xúc xắc thứ xuất mặt chẵn xúc xắc thứ xuất mặt lẻ Gọi B1 biến cố để xúc xắc xuất mặt chẵn P(B1) = = Gọi B2 biến cố xúc xắc thứ hai xuất mặt lẻ: P(B2) = = 1 Gọi B biến cố để tổng số nút xúc xắc lẻ: P(B) = + = 2 Vậy xác suất để tổng số nút xúc xắc lẻ là: 1 P = P(A) + P(B) = + = 4 d/ Để số nút xúc xắc chênh lệch đơn vị có trường hợp xảy là: số nút đồng là: đồng = 1, đồng = 3; đồng = 3, đồng = 1; đồng = 2, đồng = 4; đồng = 4, đồng = 2; đồng = 3, đồng = 5; đồng = 5, đồng = 3; đồng = 4, đồng = 6; đồng = 6, đồng = = Vậy xác suất để số nút xúc xắc chênh lệch đơn vị là: P = 36 Bài 5: Lớp học gồm 100 học sinh, có 60 em biết anh văn, 70 em biết Pháp văn 40 em biết đồng thời sinh ngữ Chọn ngẫu nhiên học sinh lớp Tính xác suất để: (a) Học sinh biết sinh ngữ (b) Học sinh sinh ngữ Đáp án: 60 = 100 70 = Gọi A2 biến cố chọn học sinh biết tiếng Pháp: P(A2) = 100 10 40 = Gọi A3 biến cố chọn học sinh biết ngoại ngữ: P(A3) = 100 Vì A1 A2 biến cố không xung khắc A3 = A1 ∩ A2 nên ta có: Xác suất để chọn học sinh biết thứ tiếng là: P(A) = P(A1) + P(A2) – P(A3) = + − = 10 10 b/ Gọi B biến cố chọn học sinh sinh ngữ nào: P ( B ) = − P ( A) = − = 10 10 a/ Gọi A1 biến cố chọn học sinh biết tiếng Anh: P(A1) = Bài 6: Hai xạ thủ bắn xe tăng địch Xác suất bắn trúng họ 90% 95% Tính xác suất để xe tăng trúng đạn đồng thời nổ súng Đáp án: Gọi A1 biến cố xạ thủ thứ bắn trúng: P(A1) = 90% Gọi A2 biến cố xạ thủ thứ hai bắn trúng: P(A2) = 95% Gọi A3 biến cố xạ thủ bắn trúng: P(A3) = 90%*95% = 85,5% Gọi A biến cố để xe tăng trúng đạn đồng thời nổ súng Vì A1 A2 biến cố không xung khắc A3 = A1 ∩ A2 nên ta có: Xác suất để xe tăng bị trúng đạn đồng thời nổ súng là: P(A) = P(A1) + P(A2) – P(A3) = 90% + 95% - 85,5% = 99,5% Bài 7: Tỷ lệ người thích du lịch TP HCM 50% Phỏng vấn ngẫu nhiên người Tính xác suất để: (a) Cả năm người thích du lịch (b) Có người thích du lịch ? (c) Không có thích du lịch Xác suất – Thống kê Đáp án: a/ Gọi A1 biến cố người thứ thích du lịch: P(A1) = 50% Gọi A2 biến cố người thứ thích du lịch: P(A2) = 50% Gọi A3 biến cố người thứ thích du lịch: P(A3) = 50% Gọi A4 biến cố người thứ thích du lịch: P(A4) = 50% Gọi A5 biến cố người thứ thích du lịch: P(A5) = 50% Gọi A biến cố người thích du lịch: P(A) = 50% * 50% * 50% * 50% * 50% = 3,125% c/ Gọi C biến cố thích du lịch P(C) = 50% * 50% * 50% * 50% * 50% = 3,125% b/ Gọi B biến cố có người thích du lịch ? Trường hợp 1: B biến cố có người thích du lịch: Khi đó: B = A1 A2 A3 A4 A5 + A1 A2 A3 A4 A5 + A1 A2 A3 A4 A5 + A1 A2 A3 A4 A5 + A1 A2 A3 A4 A5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( P ( B) = P A1 A2 A3 A4 A5 + P A1 A2 A3 A4 A5 + P A1 A2 A3 A4 A5 + P A1 A2 A3 A4 A5 + P A1 A2 A3 A4 A5 ) 1 1 + + + + = 32 32 32 32 32 32 Trường hợp 2: B biến cố có người thích du lịch: 1 15 P( B) = − P( A) − P (C ) = − − = 32 32 16 = Bài 8: Có hộp đựng thẻ nhân viên công ty du lịch Hộp I chứa 20 thẻ nam, 25 thẻ nữ Hộp II chứa 15 thẻ nam, 30 thẻ nữ Lấy ngẫu nhiên từ hộp thẻ Tính xác suất để: (a) Cả thẻ nữ (b) Chỉ có thẻ nữ (c) Lấy ngẫu nhiên thẻ từ hộp I, bỏ vào hộp II Sau trộn đều, lấy ngẫu nhiên thẻ từ hộp II Tính xác suất để thẻ lấy nữ Đáp án: Gọi A1 biến cố chọn thẻ nữ từ hộp 1: P ( A1 ) = 25 45 20 45 30 Gọi A2 biến cố chọn thẻ nữ từ hộp 2: P( A2 ) = 45 15 ⇒ A2 biến cố chọn thẻ nam từ hộp 2: P( A2 ) = 45 a/ Gọi A biến cố chọn thẻ nữ từ hộp: 25 30 10 P ( A) = P( A1 A2 ) = P ( A1 ).P ( A2 ) = = 45 45 27 b/ Gọi B biến cố chọn có thẻ nữ ⇒ A1 biến cố chọn thẻ nam từ hộp 1: P ( A1 ) = Khi đó: B = A1 A2 + A1 A2 Xác suất để chọn có thẻ nữ là: 25 15 20 30 13 P ( B ) = P ( A1 ) P A2 + P A1 P ( A2 ) = + = 45 45 45 45 27 c/ Gọi C biến cố lấy thẻ nữ từ hộp sau bỏ thẻ từ hộp vào: 25 31 20 30 275 * + * = ≈ 66,4% P(C) = P( A1 ).P(C/ A1 ) + P( A2 ).P(C/ A2 ) = 45 46 45 46 414 ( ) ( ) Bài 9: Có hộp kẹo Hộp I có 15 kẹo sữa, 15 kẹo cà phê Hộp II có 20 kẹo sữa, 10 kẹo cà phê Hộp III có 25 kẹo sữa, kẹo cà phê Lấy ngẫu nhiên hộp, từ chọn kẹo Tính xác suất để kẹo lấy kẹo sữa Xác suất – Thống kê Đáp án: Gọi A2 biến cố chọn hộp 2: P(A2) = Gọi A1 biến cố chọn hộp 3: P(A3) = Gọi A1 biến cố chọn hộp 1: P(A1) = 15 30 20 Gọi B2 biến cố chọn kẹo sữa từ hộp 2: P(B2) = 30 25 Gọi B3 biến cố chọn kẹo sữa từ hộp 3: P(B3) = 30 Gọi A biến cố chọn kẹo kẹo sữa từ hộp lấy ngẫu nhiên P(A) = P(A1).P(A/A1) + P(A2).P(A/A2) + P(A3).P(A/A3) = P(A1).P(B1) + P(A2).P(B2) + Gọi B1 biến cố chọn kẹo sữa từ hộp 1: P(B1) = P(A3).P(B3) = 15 20 25 * + * + * = 30 30 30 Bài 10: Gieo đồng thời đồng tiền cân đối, đồng chất Gọi X số mặt sấp xuất Lập bảng phân phối xác suất X Đáp án: Gieo đồng thời đồng tiền cân đối, đồng chất Gọi X số mặt sấp xuất Bảng phân phối xác suất P(A) là: X Xác suất P(X) 1/4 2/4 1/4 Bài 11: Gieo đồng thời xúc xắc mặt Gọi X số nút chênh lệch mặt xúc xắc Lập bảng phân phối X Đáp án: Gieo đồng thời xúc xắc mặt Gọi X số nút chênh lệch mặt xúc xắc Bảng phân phối xác suất X là: X P(X) 6/36 10/36 8/36 6/36 4/36 2/36 Bài 12: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f(x) = Hãy xác định hàm phân phối X Từ tính π (1 + x ) xác suất biến cố: tα − 0,05 = 0,475 → tα = 1,96 0,84 − 0,9 0,9(1 − 0,9) 200 ≈3 Vậy, với mức ý nghĩa α = 5% tuyên bố giám đốc công ty không đáng tin cậy 90% sản phẩm công ty đạt chuẩn Bài 11:Tỷ lệ phế phẩm nhà máy trước 5% Sau thực cải tiến kỹ thuật, kiểm tra 800 sản phẩm thấy có 24 phế phẩm (a) Với mức ý nghĩa = 5%, cho kết luận cải tiến (b) Nếu nhà máy báo cáo tỷ lệ phế phẩm 2% chấp nhận với mức ý nghĩa = 5% không? Đáp án: n = 800 24 f = 800 p = 5% = 0,05 Xác suất – Thống kê 15 α = 5% = 0,05 → ϕ (tα ) = − 0,05 = 0,475 → tα = 1,96 Giá trị kiểm định: f − p0 0,03 − 0,05 t= = ≈ 2,6 p (1 − p ) 0,05(1 − 0,05) 800 n → t > tα , f < p → p < p Vậy với mức ý nghĩa α = 5% cải tiến kĩ thuật có hiệu tỉ lệ phế phẩm nhà máy < 5% n = 800 24 f = 800 p = 2% = 0,02 α = 5% = 0,05 → ϕ (tα ) = − 0,05 = 0,475 → tα = 1,96 Giá trị kiểm định: f − p0 0,03 − 0,02 t= = ≈ 2,04 p (1 − p ) 0,02(1 − 0,02) 800 n → t > tα , f > p → p > p Vậy, với mức ý nghĩa α = 5% tỉ lệ phế phẩm 2% nên báo cáo nhà máy không đáng tin cậy Bài 12: Một máy đóng gói sản phẩm yêu cầu gói 100g Nghi ngờ máy trục trặc, người ta chọn cân thử 100 gói Khối lượng (g) 95-97 97-99 99-101 101-103 103-105 105-107 Số gói 31 40 15 Với mức ý nghĩa = 5%, có kết luận nghi ngời Đáp án: xi xi’ ni 95 – 97 -2 97 – 99 -1 31 99 – 101 40 101 – 103 15 103 – 105 105 – 107 Tổng 100 − 22 x' = = −0,22 → x = 2.(−0,22) + 100 = 99,56 100 112 sˆ' = − (−0,22) = 1,0716 → sˆ = 2.1,0716 = 4,2864 100 n 100 s2 = * sˆ = * 4,2864 ≈ 4,3296 n −1 99 α = 5% = 0,05 → ϕ (tα ) = xi’ni -18 -31 15 6 -22 xi’2ni 36 31 15 12 18 112 − 0,05 = 0,475 → tα = 1,96 µ = 100 Xác suất – Thống kê 16 Giá trị kiểm định: t= x − µ0 s n = 99,56 − 100 ≈ 2,114 4,3296 100 Vậy, với mức ý nghĩa α = 5% nghi ngờ trọng lượng gói 100gr mà tα , µ > x → µ < µ0 Bài 13: Kiểm tra sản phẩm phân xưởng sản xuất, ta có bảng số liệu: Phân xưởng Số sp Trọng lượng TB Psai hiệu chỉnh Số phế phẩm I 900 502g 18 II 800 501g 6,25 16 (a) Với mức ý nghĩa = 1%, xem trọng lượng trung bình sản phẩm phân xưởng không? (b) Với mức ý nghĩa = 5%, có kết luận tỷ lệ phế phẩm phân xưởng? Đáp án: a/ n1 = 900; n2 = 800 x1 = 502 gr x2 = 501gr s12 = s22 = 6, 25 α = 1% = 0,01 → ϕ (tα ) = t= x1 − x s12 s 22 + n1 n2 = − 0,01 = 0,495 → tα = 2,58 502 − 501 6,25 + 900 800 = 9,03 → t > tα Vậy trọng lượng trung bình sản phẩm xí nghiệp khác b/ n1 = 900 f1 = 18/900 = 0,02 n2 = 800 f2 = 16/800 = 0,02 n1 f + n2 f 900.0,02 + 800.0,02 = = 0,02 Tỉ lệ mẫu: f = n1 + n 1700 α = 5% = 0,05 → ϕ (tα ) = t= f1 − f 1 f (1 − f )( + ) n1 n − 0,05 = 0,475 → tα = 1,96 =0 → t < tα Vậy tỉ lệ phế phẩm nhà máy Xác suất – Thống kê 17 [...]... 0,56 * 5000.000 < A < 0,604 * 5000.000  2.800.000 < A < 3.020.000 Vậy số tối thiểu dân cư thành phố thích đi du lịch là 2800000 người Bài 5: Để biết tỷ lệ p các nhà nghỉ đạt chuẩn tại một vùng du lịch sinh thái, người ta điều tra ngẫu nhiên 50 nhà nghỉ thấy 30 nhà nghỉ đạt chuẩn (a) Xác định khoảng ước lượng tỷ lệ p với độ tin cậy 95%... 1,96 2 * 0,6(1 − 0,6) f (1 − f ) ε = tα * →n= = ≈ 203 n ε2 0,0675 2 Vậy để bán kính ước lượng giảm đi một nửa nhưng vẫn giữ nguyên độ tin cậy là 95% thì phải khảo sát thêm: 203 – 50 = 153 nhà nghỉ nữa Bài 6:Cân thử 100 trái chanh Đà Lạt, ta có bảng: Khối lượng (gr) 50 55 60 65 70 75 80 85 90 Số quả 2 3 15 28 30 8 5 5 4 (a) Tính các đặc trưng mẫu (b) Tìm khoảng cách ước lượng cho khối lượng trung bình... − f ) 0,8(1 − 0,8) ε = tα * = 2,58 * = 0,1032 n 100 Khoảng ước lượng: (0,8 – 0,1032; 0,8 + 0,1032) = (0,6968; 0,9032) Vậy tỉ lệ chanh loại 1 chiếm từ 69,68% đến 90,32 %) 1 − α = 99% = 0,99 → ϕ (tα ) = Bài 7: Điều tra hàm lượng đường của một loại trái cây trong vùng du lịch sinh thái sông Cửu Long, ta được: Hàm lượng (%) 8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 Số trái 10 20 40 70 50 10 (a) Hãy tính các đặc... đi một nửa thì ε = 2 ε = tα * = 1,96 * ε n 0,1675 200 = = 0,97 → ϕ (tα ) = 0,334 Vậy nếu bán kính ước lượng giảm s n 5,87 đi một nửa thì độ tin cậy còn → 1 − α = 2.0,334 = 0,668 66,8% ε = tα * s → tα = Bài 8: Khảo sát ngẫu nhiên 100 du khách Hàn Quốc về mức chi tiêu cho các dịch vụ giải trí và mua sắm quà lưu niệm tại một địa điểm du lịch, ta được: Chi tiêu (USD) 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 Số... kính ước lượng giảm đi 3 lần thì ε = 3 ε = tα * s n → tα = ε n 1,122 100 = ≈ 0,86 → ϕ (tα ) = 0,3051 s 170,45 → 1 − α = 2.0,3051 = 0,6102 Vậy nếu bán kính ước lượng giảm đi 3 lần thì độ tin cậy là 61,02% Bài 9: Khảo sát độ dài lưu trú của du khách Pháp tại một khu resort, ta được bảng: Số ngày 2 3 4 5 6 7 8 Số khách 5 10 10 10 8 5 2 (a) Hãy ước lượng độ dài lưu trú trung bình của du khách với độ tin cậy... 0,475 → tα = 1,96 2 Giá trị kiểm định: t= x − µ0 s = 4,58 − 5 n 2,7 50 ≈ 1,81 → t < tα Vậy, với mức ý nghĩa α = 5% thì giả thiết số ngày lưu trú trung bình của du khách Pháp là 5 ngày là đáng tin cậy Bài 10:Giám đốc một công ty tuyên bố 90% sản phẩm của công ty đạt chuẩn Thanh tra 200 sản phẩm của công ty thấy 168 sản phẩm đạt yêu cầu Với mức ý nghĩa = 5%, ta có thể kết luận gì về tuyên bố trên Đáp... n → t > tα 1 − 0,05 = 0,475 → tα = 1,96 2 0,84 − 0,9 0,9(1 − 0,9) 200 ≈3 Vậy, với mức ý nghĩa α = 5% thì tuyên bố của giám đốc công ty là không đáng tin cậy vì dưới 90% sản phẩm của công ty đạt chuẩn Bài 11:Tỷ lệ phế phẩm của một nhà máy trước đây là 5% Sau khi thực hiện cải tiến kỹ thuật, kiểm tra 800 sản phẩm thấy có 24 phế phẩm (a) Với mức ý nghĩa = 5%, hãy cho kết luận về cải tiến đó (b) Nếu nhà... định: f − p0 0,03 − 0,02 t= = ≈ 2,04 p 0 (1 − p 0 ) 0,02(1 − 0,02) 800 n → t > tα , f > p 0 → p > p 0 Vậy, với mức ý nghĩa α = 5% thì tỉ lệ phế phẩm trên 2% nên báo cáo của nhà máy là không đáng tin cậy Bài 12: Một máy đóng gói sản phẩm yêu cầu mỗi gói 100g Nghi ngờ máy trục trặc, người ta chọn cân thử 100 gói Khối lượng (g) 95-97 97-99 99-101 101-103 103-105 105-107 Số gói 9 31 40 15 3 2 Với mức ý nghĩa... kê 16 Giá trị kiểm định: t= x − µ0 s n = 99,56 − 100 ≈ 2,114 4,3296 100 Vậy, với mức ý nghĩa α = 5% thì nghi ngờ là đúng vì trọng lượng mỗi gói không phải là 100gr mà tα , µ 0 > x → µ < µ0 Bài 13: Kiểm tra các sản phẩm do 2 phân xưởng sản xuất, ta có bảng số liệu: Phân xưởng Số sp Trọng lượng TB Psai hiệu chỉnh Số phế phẩm I 900 502g 4 18 II 800 501g 6,25 16 (a) Với mức ý nghĩa = 1%, có