BÀI TẬP XÁC SUẤT THÔNG KÊ THPT docx

1 BÀI GING XÁC SUT (Dành cho HS THPT) Biên son : TS. Nguyn Vit ông, Khoa Toán –Tin hc, HKHTN, HQG TP.HCM. I. TÓM TT LÝ THUYT 1. Qui tc đm a) Qui tc cng : Gi s đi tng X có m cách chn khác nhau, đi tng Y có n cách chn khác nhau và không có cách chn đi tng X nào trùng vi mi cách chn đi tng Y. Khi đó có m + n cách chn mt trong hai đi tng y. b) Qui tc nhân : Gi s có hai hành đng đc thc hin liên tip. Hành đng th nht có m kt qu. ng vi mi kt qu ca hành đng th nht, hành đng th hai có n kt qu. Khi đó có m.n kt qu ca hai hành đng liên tip đó. 2. Hoán v, chnh hp, t hp Cho A là tp hp gm n phn t (n 1). a) Mi cách sp đt tt c n phn t ca A theo mt th t nào đó đc gi là mt hoán v ca n phn t . S các hoán v ca n phn t đoc ký hiu là P n . Công thc : P n = n ! b) Mi cách ly ra k phn t t tp A (1 k n) và xp chúng theo mt th t nht đnh đc gi là mt chnh hp chp k ca n phn t. S các chnh hp chp k ca n phn t đc kí hiu là k n A . Công thc ! ( 1)( 2) ( 1) ( )! k n n A n n n n k nk        c) Mi tp con gm k phn t ca tp hp A(1 k n) đc gi là mt t hp chp k ca n phn t . Qui c t hp chp 0 ca n phn t là tp rng. Công thc ! !( )! k n n C k n k   3. Phép th và bin c a) Mt phép th mà kt qu ca nó không th đoán trc đc, nhng có th lit kê ra tt c các kt qu có th xy ra gi là phép th ngu nhiên. Tp hp tt c các kt qu có th xy ra ca phép th gi là không gian mu ca phép th đó. Không gian mu đc kí hiu bi . b) Trong mt phép th ngu nhiên, mi tp con ca không gian mu đc gi là mt bin c. Nu kt qu ca phép th là mt phn t ca bin c A, thì ta nói trong phép th đó, bin c A xy ra. 2 VD1. Gieo mt con xúc xc, gi 1, 2, …, 6 là s chm xut hin thì không gian mu là  = {1,2,…, 6}. VD2. Gieo mt đng xu hai ln, thì không gian mu là  = {SS, SN, NS, NN}. VD3. Gieo mt con xúc xc. Bin c B = {1, 3, 5} là bin c s chm xut hin ca xúc xc là s l. 4. Mt s lai bin c a) Bin c s cp Mi tp hp con gm đúng mt phn t ca không gian mu gi là mt bin c s cp. VD4. Trong ví d 1 thì bin c A = {1} là bin c s cp. b) Bin c chc chn, bin c không th Bn thân tp  đc gi là bin c chc chn. Tp rng là bin c không th. c) Bin c hp (tng), bin c giao(tích), bin c bù Bin c A B (còn kí hiu là A+ B) gi là bin c hp ca hai bin c A và B. Bin c A B( còn kí hiu là AB) gi là bin c giao ca hai bin c A và B. Bin c \AA gi là bin c bù ca bin c A. VD5. Trong ví d 1, xem các bin c A={1,3,5}, B= {3,6}. Khi đó : - Bin c AB là bin c {1,3,5,6} nó ch không xy ra khi s chm xut hin là 2 hoc 4. - Bin c AB là bin c {3}. - Bin c bù ca bin c A là bin c xúc xc xut hin mt chn. Nhn xét: Bin c AB xy ra khi và ch khi có ít nht mt trong hai bin c A và B xy ra. Bin c AB xy ra khi và ch khi c hai bin c A và B đng thi xy ra. Bin c A xy ra khi và ch khi A không xy ra. d) Bin c xung khc Hai bin c gi là xung khc nu chúng không th xy ra trong cùng mt phép th. e) Bin c đng kh nng Các bin c đc gi là đng kh nng nu chúng có cùng kh nng xut hin khi tin hành phép th. f) Bin c đc lp Các bin c đc gi là đc lp nu vic xy ra ca mt bin c không nh hng gì đn vic xy ra ca nhng bin c còn li. 3 5. nh ngha xác sut Nu không gian mu gm n bin c s cp đng kh nng và bin c A gm m bin c s cp thì xác sut ca bin c A là () m PA n  . Nhn xét : 0 ( ) 1. ( ) 1. ( ) 0P A P P      VD6. Mt bình đng 5 viên bi, trong đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi đ. Ly ngu nhiên ra hai viên bi. Tính xác sut đ đc hai viên bi xanh. Gii. Có 2 5 10C  cách chn 2 viên bi trong 5 bi. (không gian mu gm 10 phn t). Có 2 3 3C  cách chn 2 bi xanh trong 3 bi (đây là s phn t ca bin c đang xét). Do đó xác sut đ ly đc 2 bi xanh là 3/10. 6. Công thc cng xác sut a) Nu A và B là hai bin c xung khc thì P(A  B ) = P(A) + P(B). b) Nu A và B là hai bin c tùy ý thì P (A  B ) = P(A) + P( B) – P (AB). c) ( ) 1 ( )P A P A . VD7. Trong bình đng 10 viên bi trong đó có 4 viên bi đ. Ly ngu nhiên 3 viên . Tính xác sut a) Ly đc mt hoc hai viên bi đ. b) Ly đc ít nht mt viên bi đ. Gii. a) t A 1 là bin c trong 3 viên ly ra có đúng mt viên đ và A 2 là bin c trong 3 viên ly ra có đúng hai viên đ. Ta phi tính xác sut ca bin c A là bin c trong ba viên ly ra có mt hoc hai viên đ. Các bin c A 1 và A 2 là xung khc . Do đó P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ). 4 12 46 1 3 10 21 46 2 3 10 1 () 2 3 () 10 1 3 4 () 2 10 5 CC PA C CC PA C PA      b) Gi B là bin c ly đc ít nht mt viên bi đ thì 3 6 3 10 ( ) 1 ( ) 1 C P B P B C     . VD8. Mt lp hc có 50 hc sinh, trong đó có 12 hc sinh gii Toán, 8 hc sinh gii Vn và 2 hc sinh gii c Vn ln Toán. Chn ngu nhiên mt hc sinh . Tính xác sut chn đc mt hc sinh gii Vn hay Toán (gii c hai môn càng tt). Gii. Gi A là bin c chn đc hc sinh gii Toán , B là bin c chn đc hc sinh gii Vn. Ta cn tính P(A B). Ta có 12 () 50 8 () 50 2 () 50 12 8 2 ( ) 0,36. 50 50 50 PA PB P A B P A B          7. Công thc nhân xác sut Nu A và B là hai bin c đc lp thì P(AB) = P(A).P(B) . VD9. Hai ngi bn X và Y cùng đi câu cá. Xác sut đ X câu đc ít nht mt con là 0,1. Xác sut đ Y câu đc ít nht mt con là 0,15. Tính xác sut đ hai bn X, Y không tr v tay không. Gii. Xác sut đ X tr v tay không là P(A) = 1 – 0,1 = 0,9. Xác sut đ Y tr v tay không là P(B) = 1 – 0,15 = 0,85. Các bin c A và B là đc lp. Vy xác sut đ c X và Y tr v tay không là 5 P(AB) = P(A). P(B) = 0,9 . 0,85 = 0,765. Vy sau bui câu cá, gom s cá đã câu đc, xác sut đ hai bn đc ít nht mt con là 1 – P ( A  B) = 1 – 0,765 = 0, 235. 8. Bin ngu nhiên ri rc i lng X đc gi là bin ngu nhiên ri rc nu nó nhn giá tr bng s thuc mt tp hu hn nào đó và giá tr y là ngu nhiên không d đoán trc đc. VD10. Gieo đng xu 5 ln liên tip. Kí hiu X là s ln xut hin mt nga thì X là bin ngu nhiên ri rc, giá tr ca X là mt s thuc tp {0, 1, 2, 3, 4, 5}. 9. Phân b xác sut ca bin ngu nhiên ri rc Cho X là đi lng ngu nhiên ri rc nhn các giá tr x 1 , x 2 , …, x n . Ga s P(X = x k ) = p k . Bng sau đây đc gi là bng phân b xác sut ca bin ngu nhiên ri rc X. X x 1 x 2 x 3 …. x n P p 1 p 2 p 3 …. p n Chú ý : p 1 + p 2 + p 3 + …+ p n = 1 . 10. Kì vng, phng sai vƠ đ lch chun ca bin ngu nhiên ri rc Cho bin ngu nhiên ri rc nh trong mc 9. a) Kì vng ca X, kí hiu là E(X), là mt s đc tính theo công thc: E(X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + … + x n p n . b) Phng sai ca X, kí hiu là V(X) là mt s đc tính theo công thc 2 1 ( ) ( ) , ( ). n ii i V X x p trong do E X       Chú ý 22 1 ( ) . n ii i V X x p     c) Cn bc hai ca phng sai , kí hiu là  (X) , đc gi là đ lch chun ca X, ngha là ( ) ( ).X V X   II. BÀI TP MU BT1. Gieo hai con xúc xc. Tính xác sut tng s chm  hai mt trên bng 5. 6 Gii. Không gian mu là  = { (1,1), (1,2),…, (6, 6)} gm 36 bin c s cp đng kh nng. Bin c “đc tng s chm bng 5” là tp con A = { (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) } gm 4 phn t . Vy 41 () 36 9 PA . BT2 . Mt vé s s có 4 ch s. Khi quay s , nu vé ca bn mua có s trùng hoàn toàn vi kt qu thì bn đc gii nht. Nu vé ca bn mua có đúng 3 ch s trùng vi 3 ch s ca kt qu (k c v trí) thì bn trúng gii nhì. Bn An mua mt vé x s. a) Tính xác sut đ An trúng gii nht. b) Tính xác sut đ An trúng gii nhì. Gii. a) S kt qu đng kh nng là 10 4 và ch có mt kt qu trùng vi s vé ca An. Do đó xác sut trúng gii nht ca An là 1 0,0001 10000  . b) Có 9 vé sai khác hàng đn v ( so vi s trúng gii nht), tng t cng có 9 vé sai khác hàng chc, hàng trm, hàng ngàn, hàng vn. Do đó có 9+9+9+9 =36 vé trúng gii nhì . Vy xác sut trúng gii nhì ca An là 36 0,0036 10000  . BT3. Mt lp hc có 30 hc sinh, trong đó có có 10 n. Chn ngu nhiên 3 ngi trc lp. Tính xác sut trong 3 ngi đó có đúng mt n. Gii. S trng hp đng kh nng là 3 30 C . Gi A là bin c có đúng mt n trong 3 ngi đc chn thì s trng hp đng kh nng thun li cho bin c A là 12 10 20 CC . Xác sut ca bin c A là 12 10 20 3 30 95 () 203 CC PA C   . BT4. Mt c quan có 100 ngi, trong đó có 60 nam. S  gn c quan là 50, trong s này có 35 nam. Nhng ngi nam hoc gn c quan thì phi trc đêm. Chn ngu nhiên mt ngi trong c quan. Tính xác sut ngi đó phi trc đêm. Gii. Gi A là bin c ngi đó là nam, B là bin c ngi đó  gn c quan. Khi đó bin c A B là bin c ngi đó phi trc đêm. Ta có 60 50 35 75 ( ) ( ) ( ) ( ) 0,75 100 100 100 100 P A B P A P B P A B        . 7 BT5. Có 3 hp phn. Hp th nht có 2 viên trng 3 viên màu ; hp th hai có 4 viên trng 7 viên màu; hp th ba có 3 viên trng 5 viên màu. Ly ngu nhiên t mi hôp ra mt viên. a) Tính xác sut c 3 viên ly ra đu trng. b) Tính xác sut trong 3 viên ly ra có hai viên trng. Gii. Gi A, B, C là bin c viên phn ly ra t hôp th nht, th hai, th ba là viên trng. Ba bin c này đc lp. a) Bin c c ba viên đu trng là ABC. 2 4 3 3 ( ) ( ). ( ). ( ) . . . 15 11 8 35 P A B C P A P B P C    b) Bin c 3 viên ly ra có 2 viên trng là . ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 4 5 2 7 3 3 4 3 59 15118 15118 511 8 220 F ABC ABC ABC P F P ABC ABC ABC P ABC P ABC P AB              BT6. Mt lô hàng cha 10 sn phm, trong đó có 6 sn phm tt và 4 sn phm xu. Chn ngu nhiên t lô hàng 2 sn phm. Gi X là s sn phm tt có trong hai sn phm chn ra . a) Lp bng phân b xác sut ca X. b) Tính kì vng, phng sai và đ lch chun ca X. Gii. a) Ta thy X là bin ngu nhiên ri rc có th nhn các giá tr là 0, 1, 2 . Ta có 02 64 0 2 10 11 64 1 2 10 20 64 2 2 10 2 ( 0) 15 8 ( 1) 15 1 ( 2) 3 CC p P X C CC p P X C CC p P X C             Vy bng phân b ca X là X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 b) Kì vng, phng sai và đ lch chun ca X 8 2 2 2 2 2 8 1 ( ) 0 1 2 1,2. 15 15 3 2 8 1 ( ) 0 1 2 (1,2) 32/75 0,4267. 15 15 3 ( ) ( ) 0,4267 0,6532. EX VX X V X                     III. BÀI TP TNG T. BT1. Ta vit ngu nhiên các ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lên các tm phiu, sau đó xp ngu nghiên thành mt hàng. Tính xác sut đc mt s chn. S: 4/9. BT2. Xp ngu nhiên 5 ngi ngi vào mt cái bàn dài có 5 ch ngi . Tính xác sut : a) A và B ngi  đu bàn. b) A và B ngi cnh nhau. Cng hi nh trên nhng xét bàn tròn mà các v trí hoàn toàn nh nhau. S a) 0,1. b) 0,4. Nu bàn tròn b) 0,5. BT3. Xp ngu nhiên 5 ngi A,B, C, D, E lên 7 toa tàu. Tính xác sut : a) 5 ngi lên cùng toa đu. b) 5 ngi lên cùng mt toa. c) 5 ngi lên 5 toa đu. d) 5 ngi lên 5 toa khác nhau. e) A và B lên cùng toa đu. f) A và B lên cùng mt toa. g) A và B lên cùng toa đu , C, D, E không lên toa này . S: a) 1/7 5 ; b) 1/7 4 ; c) 120/7 5 ; d)7.6.5.4.3/7 5 ; e) 1/49; f)1/7; g) 6 3 /7 5 . BT4. Mt sn phm phi ln lt qua 4 công nhân gia công đc lp. Xác sut đ mi công nhân làm hng sn phm là 0,01.Tính xác sut đ sn phm sut xng không hng . S : (0,99) 4 . BT5. Ba x th đc lp bn mi ngi mt viên vào 3 tm bia. Xác sut đ các x th bn trúng bia ln lt là 0,7; 0, 8; 0,5. Tính xác sut trong 3 viên có a) Mt viên trúng. b) Hai viên trúng. c) Không có viên nào trúng. d) It nht mt viên trúng. 9 S : a)0,22; b) 0,47; c)0,03; d) 0,97. BT6. Gi A là tp hp các s gm hai ch s khác nhau đc lâp thành t các ch s 1,2,3,4,5,6. Ly ngu nhiên mt phn t ca A, tính xác sut ly đc s chn. S: 2/15. BT7. Mt bình đng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đ. Ly ngu nhiên 3 viên bi. Tính xác sut đ đc: a) 3 viên xanh. b) 3 viên đ. c) 3 viên cùng màu. d) Ít nht hai viên xanh. S:a) 14/55; b)1/55; c)3/11; d) 42/55. BT8. Mt bình đng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đ và hai viên bi vàng. Ly ngu nhiên 2 viên bi. Tính xác sut đ đc ; a) 2 viên cùng màu. b) 2 viên khác màu. S: a)5/18; b) 13/18. BT9. Cho hai hp đng bi , mi hp đng 10 bi. Hp th nht đng 6 bi đ và 4 bi trng. Hp th hai đng 7 bi đ và 3 bi trng. Rút ngu nhiên t mi hp 2 bi. a) Tính xác sut đ đc 2 bi đ và hai bi trng. b) Gi X là bin ngu nhiên ch s bi đ trong 4 bi đc ly ra. Lp bng phân b xác sut ca X. S: a) 1/3. b) X 0 1 2 3 4 P 2/225 22/225 1/3 91/225 7/45 BT10. Mt bình đng 4 viên bi đen và 6 viên bi trng. Ly ngu nhiên 3 viên. Gi X là s viên đen có đc. Lp bng phân b xác sut ca X. S: X 0 1 2 3 P 5/30 15/30/ 9/30 1/30 10 BT11. Gieo 3 con xúc xc. Gi X là s con xúc xc xut hin mt 6. Lp bng phân b xác sut ca X. S : X 0 1 2 3 P 125/216 75/216 15/216 1/216 . 1 BÀI GING XÁC SUT (Dành cho HS THPT) Biên son : TS. Nguyn Vit ông, Khoa Toán –Tin hc, HKHTN, HQG TP.HCM Công thc nhân xác sut Nu A và B là hai bin c đc lp thì P(AB) = P(A).P(B) . VD9. Hai ngi bn X và Y cùng đi câu cá. Xác sut đ X câu đc ít nht mt con là 0,1. Xác sut đ Y câu. câu đc ít nht mt con là 0,15. Tính xác sut đ hai bn X, Y không tr v tay không. Gii. Xác sut đ X tr v tay không là P(A) = 1 – 0,1 = 0,9. Xác sut đ Y tr v tay không là P(B)