ỨNG DỤNG THỐNG KÊ NÂNG CAO

Tiểu luận Thống kê Nâng cao TIỂU LUẬN MÔN THỐNG KÊ NÂNG CAO I PHẦN LÝ THUYẾT Thống kê toán gì? Khoa học thống kê lĩnh vực khoa học toán học liên quan tới việc thu thập, phân tích diễn giải hay giải thích trình bày số liệu Các nhà thống kê giúp cải thiện chất lượng số liệu với việc thiết kế thực nghiệm lấy mẫu nghiên cứu Xác suất thống kê cung cấp công cụ để dự đoán dự báo việc sử dụng số liệu mô hình thống kê Xác suất thống kê ứng dụng vào nhiều lĩnh vực học thuật khác nhau, bao gồm khoa học tự nhiên xã hội, quản lý phủ kinh doanh Các phương pháp thống kê sử dụng để tóm tắt hay mô tả tập hợp số liệu, gọi thống kê mô tả (descriptive statistics) Điều hữu ích nghiên cứu, nhà nghiên cứu muốn phổ biến kết nghiên cứu thực nghiệm họ Hơn nữa, mẫu số liệu mô hình hóa theo cách mà kiểm soát tính ngẫu nhiên tính không chắc quan sát, sau sử dụng để đưa suy luận trình hay tổng thể (population) nghiên cứu; gọi thống kê suy luận (inferential statistics) Suy luận thiếu khoa học khách quan mang lại dự đoán (dựa số liệu) cách lôgic Nhằm xác định tính xác dự đoán này, ước đoán kiểm tra, phần phương pháp khoa học Kiểm định giả thiết thống kê gì? Cho VD Kiểm định giả thuyết thống kê (statistical hypothesis test) phương pháp định sử dụng liệu, từ thí nghiệm từ nghiên cứu quan sát (observational study)(không có kiểm soát) Trong thống kê (statistics), kết gọi đủ độ tin cậy mang tính thống kê (statistically significant) có khả diễn theo ngưỡng xác suất cho trước (ví dụ 5% hay 10%) Cụm từ kiểm định độ tin cậy ("test of significance") đưa Ronald Fisher Tiểu luận Thống kê Nâng cao Kiểm định giả thuyết gọi phân tích liệu để khẳng định, để so sánh với phân tích liệu để khám phá Ví dụ bản: – Kết luận xử án Một đợt kiểm định độ tin cậy tiến hành cho tội phạm Bị cáo chưa bị kết luận có tội tội chưa chứng minh Nguyên đơn cố gắng chứng minh tội bị cáo Chi có đủ chứng bị cáo bị buộc tội Bắt đầu đợt kiểm định, có hai giả thuyết H0: "bị cáo tội", H1: "bị cáo có tội" Giả thuyết thứ gọi giả thuyết không (null hypothesis), chấp nhận Giả thuyết thứ gọi giả thuyết nghịch (alternative hypothesis) Đây giả thuyết mà nguyên đơn cố gắng chứng minh Giả thuyết bác bỏ lỗi nói sai khả xảy ra, không muốn đổ oan cho người vô tội Lỗi nói sai gọi lỗi loại (nghĩa đổ oan cho người vô tội), khả mắc lỗi kiểm soát cho xảy Vì cố gắng không áp tội cho người khác, nên xảy lỗi loại (bỏ thoát tội người mà thực tế có tội), xác suất lỗi thường lớn Null Hypothesis (H0) Alternative Hypothesis (H1) Anh ta thực tội Anh ta thực có tội Chấp nhận Null Hypothesis Quyết định Xóa án Bác bỏ Null Hypothesis Kết án Quyết định sai Lỗi loại II Quyết định sai Lỗi loại I Quyết định Phiên tòa coi hay hai trình : có tội với tội chứng với ngưỡi ("quá mức nghi ngờ hợp lý") Kiểm định giả thuyết kiểm định giả thuyết kiểm định chứng Tiểu luận Thống kê Nâng cao Ví dụ thực tế: Người ta cho chi phí điện cho sản phẩm máy X lớn máy Y từ 100d/sp trở lên Để kiểm tra nhận định này, người ta sản xuất thử 25 sản phẩm máy Kết chi phí điện sau: Máy X Máy Y Chi phí điện(1000d/sp) Số SP Chi phí điện(1000d/sp) Số SP 4,8 4,6 4,9 4,7 5,0 4,8 5,1 4,9 10 5,2 5,0 5,3 5,1 Hãy kiểm định với mức nghĩa alnpha=0,05 Biết chi phí điện máy tuân theo phân phối chuẩn có phương sai Giải: Gỉa thuyết: H = µ X − µ y = D0 (Với D0 = 0.1 nghìn đồng) H1 : µ X − µ y < D0 ∑ x n = 5.084 ∑n ∑ y n = 4.868 y= ∑n ∑ ( x − x) × n Sˆ = ∑n ∑ ( y − y) × n Sˆ = ∑n x= i xi xi i Ta có: yi yi x i xi = 0.0165 xi y i yi = 0.0174 yi Tiểu luận Thống kê Nâng cao S = S x2 × nx + S y2 × n y nx + n y − = 0.0177 Tiêu chuẩn kiểm định: t= Tra bảng: ( x − y ) − D0 S2 S2 + nx n y = (5.084 − 4.868) − 0.1 = 3.038 0.0177 0.0177 + 25 25 −Tnx + ny − 2;α = −T48;0.05 = −1.677 Ta thấy: t > −Tnx + ny − 2;α ⇒ Chấp nhận H Như α = 0.05 , chi phí điện cho sản phẩm máy X lớn máy Y từ 100d/sp trở lên Có kỹ thuật kiểm định: Kỹ thuật kiểm định thống kê có thông số (parametric tests) Kỹ thuật kiểm định phi thông số sử dụng để phân tích số liệu dân số đo lường thang định danh, thang thứ tự, thang khoảng, và/hoặc thang tỉ số Kỹ thuật sử dụng cỡ mẫu nhỏ (≤ 30) có nhiều giá trị cực tập hợp số liệu Đặc biệt, kỹ thuật sử dụng dạng phân phối dân số khảo sát biết phân phối không bình thường Kỹ thuật kiểm định phi thông số sử dụng để kiểm định giả thuyết về: + Mối liên quan biến số + Mối liên quan biến số mẫu cặp đôi (paired samples) + Mối liên quan biến số hai mẫu độc lập + Mối liên quan biến số ba ba mẫu độ lập Thí dụ minh hoạ 1: Khảo sát 08 bệnh nhân Tiểu luận Thống kê Nâng cao Số điếu thuốc hút Độ nặng bệnh Hiệu thứ hạng B/n R1 R2 D(R1 – R2) D2 1 –1 2 –2 3 0 4 5 –2 6 1 7 –1 8 R1 : thứ hạng b/n xét theo số điếu thuốc hút, thấp (=1), nhiều (=8) R2 : thứ hạng b/n xét theo độ nặng bệnh, nhẹ (=1), nặng (=8) Giả thuyết : H0 : Không có mối liên quan số điếu thuốc hút độ nặng bệnh HA : Có mối liên quan số điếu thuốc hút độ nặng bệnh Tiểu luận Thống kê Nâng cao Tính Spearman rho: rrho = 1– [(6 ΣD2)/n(n2 – 1)] = 1– [6 (24)]/[8(64 – 1)] = 0,71 Kiểm định Spearman rho dân số Số TKKĐ : t = rho n − / − rho = 0,71 / − 0, 712 = 1,74/0,7 = 2,49 Với 06 độ tự do, α = 0,05, giá trị tới hạn t 2,447 Từ chối H0 số TKKĐ lớn giá trị tới hạn (2,49 > 2,447) Kết luận : Có mối liên quan thuận chiều (có ý nghĩa thống kê) số điếu thuốc hút độ nặng bệnh Thí dụ minh họa 2: Vị quản đốc cho tỉ lệ thành phẩm máy A lớn máy B từ 1% trở lên Để kiểm tra người ta cho sản xuất thử 1000 sản phẩm máy A 1500 sản phẩm máy B Kết cho hai máy cho sản phẩm hỏng, kiểm định tất nhận định với alpha=0,01 Giải: Tiểu luận Thống kê Nâng cao wA = 3 = 3.10−3 ; w B = = 2.10−3 1000 1500 w A : tỉ lệ sai hỏng máy A w B : tỉ lệ sai hỏng máy B Gỉa thuyết: H : PB − PA ≥ 0.01 H1 : PB − PA < 0.01 w= w A × nA + w B × nB x10−3 × 1000 + × 10 −3 × 1500 = = 2.10−3 n A + nB 1000 + 1500 Tiêu chuẩn kiểm định: w B -w A = w(1 − w) w(1 − w) + nA nB t= 0.002 − 0.003 = −0.548 0.002(1 − 0.002) 0.002(1 − 0.002) + 1000 1500 Tra bảng − Zα = − Z 0.01 = −2.326 Ta thấy Z > − Zα ⇒ Chấp nhận H Như với mức ý nghĩa α = 0.01 , tỉ lệ thành phẩm máy A lớn máy B từ 1% trở lên Ước lượng tham số thống kê gì? Nêu loại ước lượng? Cho VD Sau lấy mẫu tính số thống kê ta phải dùng thống kê để ước lượng tham số tổng thể Có cách tiếp cận: Ước lượng điểm: Giả sử tổng thể có tham số Θ, sau khảo sát mẫu ta tính thống kê, dựa vào thống kê để đưa số T thay Θ gọi ước lượng điểm Θ Tiểu luận Thống kê Nâng cao Không chệch: hiểu cách đơn giản ước lượng không chứa sai số hệ thống, tức không thiên phía đưa giá trị bé Θ không thiên phía đưa giá trị lớn Θ Hiệu quả: ước lượng có tính chất, chọn ước lượng có phương sai nhỏ Vững: tăng dung lượng mẫu n lên vô hạn ước lượng dần đến Θ (dần đến theo xác suất) Chắc hay bền: không thay đổi nhiều mẫu có số liệu nhỏ hay lớn Nếu chọn ước lượng tốt phương diện thì, tùy theo mục đích, chọn ước lượng thỏa mãn số tiêu chuẩn nhiều tiêu chuẩn đưa Ví dụ: Khi có phân phối chuẩn N(μ;σ2) ước lượng nhiều mặt trung bình cộng phương sai mẫu σ2 Khi có phân phối nhị thức B(n,p) ước lượng tốt tham số p tần suất Ước lượng khoảng: Đây cách tiếp cận có nhiều ứng dụng ngành khoa học đòi hỏi phải thường xuyên xử lí số liệu sinh học, y học, hóa học, kinh tế… Theo cách tiếp cận sau tính thống kê mẫu quan sát, ta đưa khoảng [a;b] chứa tham số Θ Cận a cận b tính theo quy tắc cụ thể dựa thống kê dựa mức độ tin cậy P Sau chọn mẫu, ta đưa khoảng tin cậy [a; b], Θ [a; b] khoảng tin cậy đưa đúng, Θ khoảng [a; b], khoảng tin cậy đưa sai Như khoảng tin cậy sai, xác suất P, xác suất sai a = – P, hiểu đơn giản tính khoảng tin cậy theo quy tắc đưa trung bình 100 trường hợp, P.100 trường hợp có khoảng tin cậy Tiểu luận Thống kê Nâng cao Ví dụ: để diều tra suất lao động 2000 công nhân daonh nghiệp, người ta chon 200 công nhân phương pháp ngẫu nhiên đơn (chọn lần) kết điwuf tra sau: Năng suất lao động Số công nhân (người) (kg/tháng) Dưới 500 20 500-800 45 800-1200 75 1200-1500 37 1500 trở lên 23 Yêu cầu: Hãy tính: Phạm vi sai số chon mẫu suy rộng Tỉ lệ mẫu số công nhân có suất lao động từ 1200 kg trở lên Phạm vi sai số chon mẫu suy rộng tỉ lệ chung số công nhân có suất lao động từ 1200 kg trở lên Với độ tin cậy 86,84% Giải a.Phạm vi sai số chọn mẫu suy rộng ( x−z α /2 δ x n ; x + zα / δ x n ) Ta có: x= ∑x f ∑f i i = 995, 75 i Phương sai mẫu: sˆ = ∑ (x − x ) ∑f i i fi = (350 − 995, 75) × 20 + + (1650 − 995, 75) × 23 = 141044, 4375 200 Tiểu luận Thống kê Nâng cao ⇒ σ Xn Sˆ N − n 141044, 4375 2000 − 200 = × = × = 25, 25 n −1 N 200 − 2000 Tra bảng: Zα / = 1,96 → phạm vi sai số: ε = zα / δ x n = 1,96.25, 25 = 49, 49 b.tỷ lệ mẫu số công nhân có suất lao động từ 1200 kg trở lên: w= 37 + 23 = 0,3 200 c Với α = 13,16 → Zα / = 1,51 Phạm vi sai số chọn mẫu suất lao động từ 1200kg trở lên: ε = Zα / δ Fn Với: δ Fn = δ2 N −n W (1 − W ) N − n 0.3(1 − 0,3) 2000 − 200 = = = 0, 0308 n −1 N n −1 N 200 − 2000 → phạm vi sai số: ε = Zα / δ Fn = 1,51.0, 0308 = 0, 046508 II PHẦN BÀI TẬP Bài tập 10 Tiểu luận Thống kê Nâng cao µ0 − µ1 c miền xác định bất đẳng thức p0 ( x) > c1 với c1 Thật vậy, 22 Tiểu luận Thống kê Nâng cao p1 ( x) >c p0 ( x) ⇔  σn  n 2   exp   − ÷∑ ( xi − µ0 )  > 1n c   σ σ  i =1  σ ⇔ σ 1n  n 2 exp a ∑ ( xi − µ0 )  > n c  i =1  σ0 ⇔ σ n    n  ln exp a ∑ ( xi − µ0 )  > ln  1n c ÷  i =1    σ0  ⇔ n ∑ (x −µ ) i =1 i > c1 Trong đó: a= Vì biến ngẫu nhiên 1 1   − ÷ > 0, c1 số  σ σ1  n x − µ0 ) : χ n2 với hàm phân phối ∑( i σ i =1 x K n ( x) = ∫ kn (u )du , x>0 Hàm mật độ: kn (u ) = n n Γ ÷ 2 n −1 x e − x ,x > Vì xác suất sai làm loại I II xây dựng từ đẳng thức: 23 Tiểu luận Thống kê Nâng cao  n  c α = P  ∑ ( xi − µ ) > 12 / H ÷ σ0  σ i=1   n  c = − P  ∑ ( xi − µ ) ≤ 12 / H ÷ σ0  σ i=1  c1 σ 02 c  = − ∫ kn (u )du = − K n  12 ÷ σ0  (1)  n  c β = P  ∑ ( xi − µ0 ) ≤ 12 / H1 ÷ σ1  σ i =1  = c1 σ12 ∫ k (u )du n c  = K n  12 ÷  σ1  (2) Giả sử X : χ (n) Nếu P ( X < c ) = α c gọi bách phân vị mức α phân phối χ (n) n Ký hiệu: χα2 (n) hay χαn P ( X < χα ) = α n Từ (1) (2) suy ra: χ1−α = c1 c χ βn = 12 σ0 σ1  n  1 n 2 n  n Miền tới hạn: ∑ ( xi − µ0 ) > c1  =  ∑ ( xi − µ0 ) > χ1−α  với χ1−α phân vị  i =1   σ i =1  hàm phân phối K n ( x) Ví dụ: 24 Tiểu luận Thống kê Nâng cao Có tài liệu 140 doanh nghiệp chọn ngẫu nhiên thành phố phân tổ kết hợp theo quy mô tỷ suất lợi nhuận vốn sau: Quy mô Tỷ suất lợi nhuận vốn (%) 5-10 10-15 15-20 Cộng Nhỏ 20 60 86 Vừa 30 19 54 Cộng 25 90 25 140 Hãy kiểm định tính độc lập quy mô tỷ suất lợi nhuận vốn với alnpha=0,05 Giải Phương pháp kiểm định bình phương với α = 0.05 Cặp giả thuyết: H : Quy mô tỉ suất lợi nhuận độc lập H1 : Quy mô tỉ suất lợi nhuận có quan hệ phụ thuộc Bảng quy mô tỉ suất lợi nhuận 140 doanh nghiệp: Quy mô Vừa Nhỏ Tỉ suất lợi nhuận vốn(%) 5->10 10->15 15->20 Cộng 20 60 86 (15,35) (55,29) (15,36) 30 19 54 (9,64) Cộng 25 90 25 140 25 Tiểu luận Thống kê Nâng cao (Với n0ij = nix xniy n k m k = ∑∑ Ta có k =1 j =1 số ngoặc) (nij − n0ij ) n0ij Với k=2;m=3 (20 − 15.36) (60 − 55.29) (19 − 9.64) = + + + = 19.46 15.36 55.29 9.64 Tra bảng X (2k −1)( m −1);α = X 2;0.05 = 5.991 k > X (2k −1)( m −1);α ⇒ bác bỏ H chấp nhận H1 Như với α = 0.05 quy mô tỷ suất lợi nhuận có quan hệ phụ thuộc Bài tập a) Tìm ước lượng hợp lý cực đại µ σ phân phối chuẩn b) Khảo sát tính không chệch, vững, hiệu ước lượng Tìm ước lượng hợp lý cực đại λ phân phối Poisson Định nghĩa 1.1 Giả sử (X1, X2,…, Xn) mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối f(x, θ ) Hàm L(X/ θ ) = f(X1,)f(X2, θ ) … f(Xn, θ ) gọi hàm hợp lí Định nghĩa 1.2 Thống kê θ· (X1, X2,…, Xn) gọi ước lượng hợp lí cực đại θ ^ L(X/ θ (X) L(X/ θ ) với θ *(X) = τ (θ ( X )) gọi ước lượng hợp lí cực đại hàm tham số t( θ ) Ø Trường hợp tham số 26 Tiểu luận Thống kê Nâng cao Để tìm ước lượng hợp lí cực đại, ta sử dụng phương pháp tìm cực đại hàm L(X/ θ ) mà quen biết Ta biết hàm L(X/ θ ) có cực trị địa phương = điều kiện cần δ L( X / θ ) = Giải phương trình này, tìm nghiệm δθ sau ta xét dấu đạo hàm hạng hay hạng hai để tìm cực đại hàm L(X/ θ ) a Tìm ước lượng hợp lí cực đại µ σ phân phối chẩn Ta có X ~ N ( µ , σ ) Hàm hợp lý cực đại là: ( ) L µ , σ ≡ L( x1, x2 , , xn ; µ , σ ) =  1 exp − n (σ 2π )  2σ ⇒ ln L = n ln(2nσ ) =− ( ) − n  i =1  ∑ ( xi − µ )  n −∑ i =1 n ( xi − µ ) 2σ n ( x − µ)2 ln 2n + ln σ − 2∑ i 2σ i =1 Suy hệ phương trình hợp lý:  ∂ ln L( µ , σ ) =0  ∂µ    ∂ ln L( µ , σ ) =  ∂σ 1 n σ ∑ ( xi − µ ) =  i =1 ⇔ n  ( xi − µ ) − ∑ =  2σ 2σ  n µˆ = x = ∑ xi n i =1  ⇔ ^  n 2 σ = ∑ ( xi − x ) = S n  i =1 27 Tiểu luận Thống kê Nâng cao  Khảo sát tính không chệch, tính vững tính hiệu ước lượng µˆ ^ σ  Khảo sát tính không chệch: Vì xi ~ N ( µ , σ ), ∀i = 1, n nên E ( xi ) = µ , D( xi ) = σ , ∀i = 1, n 1 n  n ⇒ E ( µˆ ) = E ( x ) = E  ∑ xi  = ∑ E ( xi ) = nµ = µ n  n  i =1  n i =1 1 n  n σ D( x ) = D ∑ xi  = D ( x ) = n σ = i 2∑ n  n n2  i =1  n i =1 Và n n S = ∑ ( xi − x ) = ∑ [ ( xi − µ ) − ( x − µ ) ] n i =1 n i =1 2 = n n n ( ) ( )( ) ( x − µ)2 x − µ − x − µ x − µ + i i ∑ ∑ ∑ n i =1 n i =1 n i =1 = n ( xi − µ ) − 2( x − µ ) + ( x − µ ) ∑ n i =1 = n ( xi − µ ) − ( x − µ ) ∑ n i =1 Do  ^  1 n   2 E σ = E S = E  ∑ ( xi − µ ) − ( x − µ )    n   i =1    ( ) = n E ( xi − µ ) − E ( x − µ ) ∑ n i =1 = n n −1 2 σ D ( x ) − D ( x ) = n σ − = σ i ∑ n i =1 n n n 28 Tiểu luận Thống kê Nâng cao Vậy ước lượng µˆ = x ước lượng không chệch µ , ước lượng ^ σ = S2 ước lượng chệch σ  Khảo sát tính vững µˆ : Theo khảo sát ta có:  ^  E  µ n  = E ( x ) = µ    ^  σ2   D µ n  = D ( x ) = n    ^   ^  ⇒ E  µ n  → µ , D µ n  →     n → ∞ Vậy ước lượng µˆ = x ước lượng vững µ  Khảo sát tính vững  ^   2 Ta có E  σ  → σ ,   ^ σ : n→∞ Mặt khác: n σ2 S2 = n n ( x − x ) ~ χ ( n − 1) ⇒ S ~ χ ( n − 1) 2∑ i σ σ i =1 [ ]  n 2 ⇒ D S  = D χ ( n − 1) = 2( n − 1) σ  ⇔ n2 σ D( S ) = 2(n − 1) ( ) ⇔ D S2 = Vậy ước lượng ^ σ = S2 2(n − 1) σ n2 ước lượng vững σ 29 Tiểu luận Thống kê Nâng cao  Khảo sát tính hiệu µˆ (là ước lượng không chệch): Ta sử dụng bất đẳng thức Cramer-Rao Ta tính J ( µ ) :   ∂ ln L   ∂ ln L   n J ( µ ) = E   = D  = D ∑ ( xi − µ )    ∂µ   ∂µ  σ  i =1  = ⇒ D( µˆ ) ≥ Mặt khác D( µˆ ) = n n ∑ D( xi ) = σ nσ = σ σ i =1 1 σ2 = = n J(µ) n σ σ2 n Suy µˆ = x ước lượng có phương sai bé tất ước lượng không chệch µ nên µˆ = x ước lượng hiệu tham số µ b.Giả sử mẫu độc lập ( x1, x2 , , xn ) lấy từ biến ngẫu nhiên X có luật phân phối Poison P(λ ) Ta có X ~ P(λ ) nên P( X = k ) = λk e −λ , k! k = 0,1,2 Hàm hợp lý cực đại: L = L( x1, x2 , , xn ; λ ) = λx1 + x2 + + xn − nλ e x1! x2! xn !  n   n  ⇒ ln L =  ∑ xi  ln λ − nλ − ln ∏ xi !      i =1   i =1  Phương trình hợp lý cực đại: 30 Tiểu luận Thống kê Nâng cao ∂ ln L =0 ∂λ ⇔ n xi − n = λ∑ i =1 Suy ước lượng hợp lý cực đại cần tìm là: n λˆ = ∑ xi = x i =1  Khảo sát tính không chệch, tính vững tính hiệu ước lượng λˆ :  Khảo sát tính không chệch: Vì xi ~ P(λ ), ∀i = 1, n ⇒ E ( xi ) = D( xi ) = λ , ∀i = 1, n Do 1 n  n E ( x ) = E  ∑ xi  = ∑ E ( xi ) = nλ = λ n  n  i =1  n i =1 Vậy λˆ = x ước lượng không chệch λ  Khảo sát tính vững: Theo ta có:  ^  E  λn  = E ( x ) = λ ,   1 n  n  ^  λ D λn  = D( x ) = D ∑ xi  = D( xi ) = nλ = ∑ n  n n2    i =1  n i =1  ^  ⇒ E  λn  → λ ,    ^  D λn  →   n → ∞ Vậy ước lượng λˆ = x ước lượng vững λ  Khảo sát tính hiệu quả: 31 Tiểu luận Thống kê Nâng cao Tương tự ta sử dụng bất đẳng thức Cramer-Rao Tính J (λ ) : 2 1 n   n  n  ∂ ln L    J (λ ) = E  = E x − n = E ∑ xi − λ   i ∑ λ    ∂λ  λ2  n i =1  i =1   = n2 λ2 E ( x − Ex ) = n2 λ2 D( x ) = n2 λ n = λ2 n λ Theo Cramer-Rao ta có: () () λ λ D λˆ ≥ = ta có D λˆ = J (λ) n n Vậy ước lượng λˆ = x ước lượng hiệu λ Ø Trường hợp tham số vectơ =( ,…, ) r Làm tương tự trường hợp tham số Ta giải hệ phương trình  n δ ln ∑ 1  n  δ ln ∑ f ( X i ,θ ) =0 δθ1 f ( X i ,θ ) =0 δθi (*) Giải hệ ta tìm θ = (θ , , θ n ) Đặt uij = δ LnL( X / θ ) Nếu ma trận δθiδθ j xác định không âm = hàm hợp lí L(X, ) đạt cực đại 32 Tiểu luận Thống kê Nâng cao Tài liệu tham khảo [1] Tô Anh Dũng, Lý thuyết XS&Thống kê Toán, 2007, NXB ĐHQG TP HCM [2] Nguyễn Cao Văn, Lý thuyết XS&Thống kê Toán, 2009, NXB ĐHKTQD, F4 [3] Đào Hữu Hồ, Xác xuất &Thống kê, 2002, NXB KH-KT [4] Nguyễn Văn Hộ, Xác xuất &Thống kê, 2006, NXB GD ĐT [5] Đặng Hùng Thắng, Thống kê&Ứng dụng, 2009, NXB GD ĐT [6] http://vi.wikipedia.org/wiki/Phân_phối_Poisson [7] http://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_likelihood [8] http://en.wikipedia.org/wiki/Likelihood_function [9] Donald E Knuth (1969) Seminumerical Algorithms The Art of Computer Programming, Volume Addison Wesley [10] http://vi.wikipedia.org/wiki/Kiểm_định_giả_thiết_thống_kê [11] Clive Loader, Local Regression and Likelihood (Statistics and Computing) [12] T Fomby, R Carter Hill, Maximum Likelihood Estimation of Misspecified Models: Twenty Years Later [13] Scott R Eliason, Maximum Likelihood Estimation : Logic and Practice (Quantitative Applications in the Social Sciences) Cách ghi tài liệu tham khảo, theo tên tác giả 33 [...]... hàm hợp lí L(X, ) đạt cực đại 32 Tiểu luận Thống kê Nâng cao Tài liệu tham khảo [1] Tô Anh Dũng, Lý thuyết XS &Thống kê Toán, 2007, NXB ĐHQG TP HCM [2] Nguyễn Cao Văn, Lý thuyết XS &Thống kê Toán, 2009, NXB ĐHKTQD, F4 [3] Đào Hữu Hồ, Xác xuất &Thống kê, 2002, NXB KH-KT [4] Nguyễn Văn Hộ, Xác xuất &Thống kê, 2006, NXB GD ĐT [5] Đặng Hùng Thắng, Thống kê& Ứng dụng, 2009, NXB GD ĐT [6] http://vi.wikipedia.org/wiki/Phân_phối_Poisson... Tiểu luận Thống kê Nâng cao x < Ca ⇒ x − µ 0 < Ca − µ 0 y y=c y = ea x+b Ca 0 x Chọn c1 > max ( Cb − µ0 , µ0 − Ca ) Khi đó: x − µ0 > c1 (*) Xác xuất sai lầm loại I: ( α = P x − µ0 > c1 H 0 )   c1  x − µ0 ÷ α = P > H0 ÷ σ σ  ÷ n n     x − µ0 c1  α = 2P  > H0 ÷ ÷ σ σ  ÷ n n      c1 ÷÷   α = 2 1 − Φ  ÷÷ (2) σ ÷  n ÷    Xác xuất sai lầm loại II: 17 Tiểu luận Thống kê Nâng cao (... f(X1,)f(X2, θ ) … f(Xn, θ ) được gọi là hàm hợp lí Định nghĩa 1.2 Thống kê θ· (X1, X2,…, Xn) được gọi là ước lượng hợp lí cực đại của θ nếu ^ L(X/ θ (X) L(X/ θ ) với mọi θ *(X) = τ (θ ( X )) được gọi là ước lượng hợp lí cực đại của hàm tham số t( θ ) Ø Trường hợp một tham số 26 Tiểu luận Thống kê Nâng cao Để tìm ước lượng hợp lí cực đại, ta có thể sử dụng phương pháp tìm cực đại hàm L(X/ θ ) mà chúng ta đã... trong mô hình phân phối chuẩn kiểm định giả thiết về tham số σ 2 Cho ví dụ Kiểm định giả thuyết về tham số σ 2 Xét giả thuyết thống kê: H 0 : µ = µ0 , σ 2 = σ 02 H1 : µ = µ0 , σ 2 = σ 12 > σ 02 Ta xây dựng qui tắc tối ưu Neyman – Pearson, ở đây: 21 Tiểu luận Thống kê Nâng cao p j ( x) =  1 n 2  exp − x − µ ( )   , j = 0,1 i 0 n 2 ∑ 2 σ i = 1 n   j 2  (2π ) σ j 1 Khi đó: p1 ( x) =  1 n 2... = ∑ 2 n  n n2    i =1  n i =1  ^  ⇒ E  λn  → λ ,    ^  D λn  → 0   khi n → ∞ Vậy ước lượng λˆ = x là ước lượng vững của λ  Khảo sát tính hiệu quả: 31 Tiểu luận Thống kê Nâng cao Tương tự ta sử dụng bất đẳng thức Cramer-Rao Tính J (λ ) : 2 2 1 n   n 2  1 n  ∂ ln L    J (λ ) = E  = E x − n = E ∑ xi − λ   i ∑ λ    ∂λ  λ2  n i =1  i =1   = n2 λ2 E ( x − Ex... = D χ 2 ( n − 1) = 2( n − 1) 2 σ  ⇔ n2 σ 4 D( S 2 ) = 2(n − 1) ( ) ⇔ D S2 = Vậy ước lượng ^ 2 σ = S2 2(n − 1) 4 σ n2 là ước lượng vững của σ 2 29 Tiểu luận Thống kê Nâng cao  Khảo sát tính hiệu quả của µˆ (là ước lượng không chệch): Ta sử dụng bất đẳng thức Cramer-Rao Ta tính J ( µ ) : 2   ∂ ln L   ∂ ln L  1  n J ( µ ) = E   = D  = D ∑ ( xi − µ )    ∂µ   ∂µ  σ 4  i =1  =...Tiểu luận Thống kê Nâng cao r ^  ^  ^  Cho F ( x ) là hàm phân phối thực nghiệm Tính E  F ( x) ÷, D  F ( x) ÷, E  F ( x) ÷ ,       ^ r ^ ^  E  F ( x) − E  F ( x) ÷÷    Giả sử I{x k ≤ x} có bảng... c1 } Ta có : x − µ0 > c1 ⇔ x − µ0 x − µ0 c > 1 ⇔ > uα σ σ σ 2 n n n • Ta xác định n trong qui tắc tối ưu khi biết xác suất sai lầm loại I và loại II * Trường hợp I: µ1 > µ0 , ta có: 18 Tiểu luận Thống kê Nâng cao µ0 − µ1