TIEU LUAN THONG KE BAYES UNG DUNG TRONG TAI CHINH

1.2.2 Thông tin tiên nghiệm, mối liên hệ giữa phân phối tiên nghiệm và hậu nghiệm Thông tin tiên nghiệm của các tham số là một nhân tố quan trọng trong quá trình suy luận Bayes.. Nếu dữ

MỤC LỤC

Trang

Mục lục 1

PHẦN I LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ BAYES 1.1 Định lý Bayes 3

1.2 Sơ lược về thống kê Bayes 5

1.2.1 Giới thiệu 5

1.2.2 Thông tin tiên nghiệm, mối liên hệ giữa phân phối tiên nghiệm và hậu nghiệm 6

1.2.2.1 Tiên nghiệm mang thông tin 8

1.2.2.2 Tiên nghiệm không mang thông tin 9

1.2.2.3 Phân phối tiên nghiệm liên hợp 10

1.2.2.4 Phân tích kinh nghiệm Bayes 11

1.2.3 Thông tin hậu nghiệm 12

1.2.3.1 Ước lượng điểm hậu nghiệm 12

1.2.3.2 Khoảng tin cậy Bayes 14

1.2.3.4 So sánh giả thuyết Bayes 14

1.2.4 Suy luận dự báo Bayes 16

PHẦN II: MỘT SỐ MÔ HÌNH THỐNG KÊ BAYES VÀ ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH 1 Mô hình thống kê Bayes nhị thức 17

1.1 Hàm hợp lý 17

1.2 Mô hình nhị thức 18

1.3 Ví dụ mô hình thống kê Bayes nhị thức trong tài chính 19

2 Mô hình dễ biến động trong tài chính 23

2.1 Mô hình dễ biến động ARCH, GARCH trong dụ báo tài chính 24

2.1.1 Mô hình ARCH 28

2.1.2 Mô hình GARCH 29

2.1.3 Tính chất và ước lượng của quá trình GARCH(1,1) 30

2.1.4 Ước lượng Bayes của mô hình GARCH(1,1) 32

2.1.5 Một số kết quả ước lượng mô hình ARCH và GARCH cho giá và lợi suất cổ phiếu 35

2.1.6 Ý nghĩa mô hình ARCH và GARCH 39

2.2 Mô hình biến động ngẫu nhiên (SV) 39

2.2.1 Ước lượng của mô hình biến động ngẫu nhiên đơn 40

2.2.2 Phương pháp hiệu quả moments (EMM) 41

2.2.3 Phương pháp Bayes trong mô hình SV 42

2.2.4 Ước lượng Bayes cho mô hình biến động ngẫu nhiên SV 42

2.2.4.1 Hàm hợp lý 43

2.2.4.2 Thuật toán mô hình đơn MCMC ước lượng SV 44

2.2.4.3 Thuật toán mô hình đa MCMC ước lượng SV 47

2.2.5 Biến động dự báo và chu kỳ dự báo 50

2.3 Mô hình rủi ro vốn đa hệ số 50

2.3.1 Sơ lược về mô hình rủi ro vốn đa hệ số 51

2.3.1.1 Mô hình thống kê yếu tố 52

(Statistical Factor Model) 2.3.1.2 Các mô hình yếu tố kinh tế vĩ mô 52

(Macroeconomic Factor Model) 2.3.1.3 Các mô hình yếu tố cơ bản 53

(Fundamental Factor Model) 2.3.2 Phân tích rủi ro của 1 mô hình đa hệ số 53

2.3.2.1 Ước tính ma trận hiệp phương sai 53

(Covariance Matrix Estimation) 2.3.2.2 Phân hủy rủi ro 55

(Risk Decomposition) 2.3.2.3 Đóng góp biên của cổ phiếu i đến tổng số rủi ro 56

(Marginal Contribution of stock i to total risk) 2.3.2.4 Đóng góp biên của yếu tố k đến tổng số rủi ro 56

(Marginal contribution of factor k to total risk) 2.3.3 Phân tích phát sinh lợi tức 57

(Return Scenario Generation) 2.3.4 Phương pháp Bayes cho mô hình đa hệ số 59

(Bayesian methods for multifactor models) TÀI LIỆU THAM KHẢO 61

 Định lý: Giả sử H H1, 2, ,H n là hệ đầy đủ xung khắc các sự kiện, A là sự kiệnngẫu nhiên trong cùng một phép thử Khi đó:

1

( ) ( | )( | )

+ Công thức Bayes được sử dụng khi phép thử có nhiều hành động liên tiếp, cho

biết kết quả xảy ra của hành động sau và yêu cầu tính xác suất của hành động trước + Ta có thể mô tả việc áp dụng công thức Bayes bằng sơ đồ sau về chuẩn đoánbệnh Giả sử tại bệnh viện nào đó các bệnh nhân mắc một trong n bệnh H H1, 2, ,H n

Ta kí hiệu A là tập hợp các triệu chứng có ở bệnh nhân Trong trường hợp đó xác suất( i)

bằng tần số bệnh H trong số bệnh nhân của bệnh viện đó, P A H( | ) gần bằng tần số

thấy tập hợp dấu hiệu A ở những bệnh nhân bị bệnh H iở bệnh viện Áp dụng côngthức Bayes cho ta xác suất chuẩn đoán bệnh H i khi thấy các triệu chứng A.

2

3( | )

8

1( | )

Một hộp đựng 1 đồng tiên không đồng chất với xác suất mặt phải xuất hiện là 0,2

và 2 đồng tiên đồng chất Chọn ngẫu nhiên một đồng tiên từ hộp và tung 3 lần thì cóhai mặt phải và một mặt trái xuất hiện Tính xác suất đồng tiên đã chọn là đồng chất

Giải

Gọi D là sự kiện khi tung một đồng tiên 3 lần thì xuất hiện 2 lần mặt phải và 1 lầnmặt trái, A là sự kiện đồng tiên được chọn là đồng chất, B là sự kiện đồng tiên đượcchọn là không đồng chất

Khi đó: {A, B} là hệ đầy đủ xung khắc

Ta có:

Ta mở rộng ví dụ 2 ở trên như sau:

Một hộp đựng đồng tiên không đồng chất với xác suất mặt phải xuất hiện là 0,2 vàđồng tiên đồng chất Chọn ngẫu nhiên một đồng tiên từ hộp và tung 3 lần thì có haimặt phải và một mặt trái xuất hiện Tính xác suất đồng tiên đã chọn là đồng chất.Phân tích

Trong trường hợp này ta không thể tính được P(A) vì không biết được số lượng củađồng tiên trong hộp Do đó ta không thể xác định được xác suất có điều kiện P(A|D)

Vậy làm thế nào để xác định xác suất đồng tiên đã chọn là đồng chất? Phương pháp thống kê Bayes sẽ giúp chúng ta giải quyết vấn đề này.

1.2 Sơ lược về thống kê Bayes

1.2.1 Giới thiệu

Những ý tưởng cơ bản của cách tiếp cận thống kê Bayes là:

chắc chắn về giá trị chính xác của những tham số (như

trung bình, tỉ lệ, độ lệch chuẩn …) cho nên chúng ta sẽ xem chúng như là những biếnngẫu nhiên và có luật phân phối riêng Trong khi thống kê cổ điển xem các tham sốnày là cố định và vì thế nó không có luật phân phối Đây chính là điểm khác biệt cơbản mang tính toán học giữa thống kê cổ điển và thống kê Bayes

dùng trực tiếp trong suy luận về các tham số

các tham số phải được hiểu là “mức độ tin tưởng” Phân

phối tiên nghiệm là chủ quan Mỗi người có thể có những tiên nghiệm của riêng mình,trong đó chứa đựng niềm tin của mỗi cá nhân Điều đó ước lượng mức độ “có thể thừanhận” mà người ta xem xét mỗi giá trị tham số trước khi quan sát

 Chúng ta xem xét lại niềm tin của chúng ta về các tham số sau khi có dữ liệu

bằng cách sử dụng định lý Bayes Phân phối hậu nghiệm đến từ hai nguồn: phân phốitiên nghiệm và dữ liệu được quan sát.

Cơ sở của thống kê Bayes chính là dựa trên thông tin tiên nghiệm và dữ liệu quansát, từ đó dẫn tới hàm phân phối xác suất hậu nghiệm.Vậy thông tin tiên nghiệm vàthông tin hậu nghiệm là gì?

1.2.2 Thông tin tiên nghiệm, mối liên hệ giữa phân phối tiên nghiệm và hậu nghiệm

Thông tin tiên nghiệm của các tham số là một nhân tố quan trọng trong quá trình suy luận Bayes Thông tin hậu nghiệm là kết quả của sự kết hợp chặt chẽ giữa thôngtin tiên nghiệm và dữ liệu quan sát, điều này được thể hiện qua công thức sau:

( | ) ( ) ( | )

( )

f x x

g x

  

   , (1.2)trong đó:

  là tham số chưa biết mà ta quan tâm

 x là vectơ (hay ma trận) ghi nhận dữ liệu quan sát

  ( ) là phân phối tiên nghiệm của 

  ( | )x là phân phối hậu nghiệm của 

 f x( | ) là hàm mật độ đồng thời của mẫu (cũng được gọi là hàm hợp lý)

 g x( ) là phân phối biên duyên được tính theo công thức:

Trong khái niệm của phương pháp Bayes tất cả thông tin về  từ dữ liệu quan sát

và thông tin tiên nghiệm được chứa đựng trong phân phối hậu nghiệm  ( | )x Phânphối hậu nghiệm chính là nhân tố chủ yếu trong suy luận Bayes

Trở lại với ví dụ mở đầu ta có thể tìm xác suất đồng tiên đã chọn là đồng chất nhưsau:

Gọi D là sự kiện khi tung một đồng tiên 3 lần thì xuất hiện 2 lần mặt phải và 1 lầnmặt trái, A là sự kiện đồng tiên được chọn là đồng chất, B là sự kiện đồng tiên đượcchọn là không đồng chất.

Ta xem P(A) là một đại lượng ngẫu nhiên, vì không biết giá trị chính xác của nónên ta đặt tương ứng nó với một hàm mật độ xác suất  ( ) Giả sử rằng trong hộp số

đồng tiên đồng chất và không đồng chất là như nhau Khi đó, ( ) 1

2

suất chủ quan vì tùy theo mỗi người mà sẽ có một nhận định riêng về số lượng đồng tiên đồng chất và không đồng chất có trong hộp Kí hiệu P H ( ) 0, 2là xác suất xuấthiện mặt phải đối với đồng tiên không đồng chất và P H ( ) 0, 5 đối với đồng tiên đồngchất Tham số  chưa biết sẽ có hàm mật độ xác suất tiên nghiệm tương ứng:

Khi đó:

( | 0, 2) ( 0,2) ( 0,2 | )

( )

f D D

1.2.2.1 Tiên nghiệm mang thông tin

Tiên nghiệm mang thông tin là tiên nghiệm làm thay đổi cơ bản những thông tinchứa trong dữ liệu Do đó kết luận dựa vào phân phối hậu nghiệm và kết luận chỉ dựavào dữ liệu quan sát là khác nhau Phương pháp phổ biến nhất để thể hiện thông tintiên nghiệm là đưa ra phân phối cho tham số chưa biết mà phân phối đó phản ánh đượccác thông tin tiên nghiệm

Thông thường khi nghĩ về giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên, nhiều người

sẽ nghĩ trung vị nhiều hơn là kì vọng của nó Điều này sẽ không có vấn đề gì khi phânphối là đối xứng, vì trong trường hợp đó hai giá trị này trùng nhau Tuy nhiên, khiphân phối chúng ta chọn là không đối xứng thì cần bảo đảm rằng giá trị tham số phảnánh đúng thông tin tiên nghiệm Sự thể hiện thông tin tiên nghiệm càng chuẩn cànglàm giảm tính chủ quan (trực giác) Cách dễ nhất là ta trả lời các câu hỏi sau: Giá trị

mà biến ngẫu nhiên nhận những giá trị nhỏ thua (lớn hơn) nó với xác suất ¼ là baonhiêu? Kí hiệu biến ngẫu nhiên là X, để trả lời câu hỏi này ta cần xác định các giá trị

N   (biến lợi nhuận là độc lập và có cùng phân phối tại các thời điểm),

mô tả tốt sự hoạt động của nó Và giả sử hiện tại phương sai đã biết, 2 *2

  nênchúng ta chỉ cần xác định phân phối tiên nghiệm cho tham số kì vọng chưa biết,  Chúng ta biết rằng đó là phân phối đối xứng và một lựa chọn hợp lí cũng như đơn giảncho phân phối của  là phân phối chuẩn:

2

( , ),

N

   

trong đó  là kì vọng tiên nghiệm và 2

 là phương sai tiên nghiệm của  Chúng ta cầnxác định hai giá trị này để có được phân phối tiên nghiệm của 

Chúng ta tin rằng lợi nhuận hàng tháng là khoảng 1% thế nên ta gán cho  là 1%.Hơn nữa, ta ước lượng được rằng có khoảng 25% trường hợp lợi nhuận hàng tháng íthơn 0,5% (nghĩa là 0,250, 5%) Từ đây, chúng ta sẽ suy ra được: 2 2

0, 74

  Do đóphân phối được chọn làm phân phối tiên nghiệm cho  là 2

Từ những thông tin trên ta có:

Từ hai điều kiện trên cho phép ta xác định được giá trị của   1,6 và   78, 4.Khi đó phân phối của  được xác định

1.2.2.2 Tiên nghiệm không mang thông tin

Trong nhiều trường hợp, niềm tin tiên nghiệm của chúng ta rất mơ hồ Chính vì thếrất khó để chuyển thành tiên nghiệm mang thông tin Trong trường hợp này ta gọi làtiên nghiệm không mang thông tin hay tiên nghiệm mơ hồ Thông thường, phân phốiđược lựa chọn để thể hiện tiên nghiệm không mang thông tin là phân phối đều xácđịnh trên các giá trị mà tham số có thể có

Chẳng hạn, tham số chỉ trung bình  nhận giá trị trên (    ; ) có phân phối tiênnghiệm không mang thông tin là:

( ) 1.

   Tham số chỉ độ lệch chuẩn  nhận giá trị trên (0; )  có phân phối tiên nghiệmkhông mang thông tin là:

1( )

 





Chú ý rằng hàm mật độ trong 2 trường hợp trên không phải là hàm mật độ đúngquy cách, bởi vì:

Tuy nhiên ta sẽ tìm được một phân phối hậu nghiệm có hàm mật độ hợp qui cách

1.2.2.3 Phân phối tiên nghiệm liên hợp

Trong nhiều trường hợp, ta mong muốn chọn được phân phối tiên nghiệm sao choviệc phân tích và tìm ra phân phối hậu nghiệm được thuận tiện nhất Giả sử dữ liệuđược sinh ra từ một phân phối xác định nào đó, khi đó ta gọi “phân phối tiên nghiệmliên hợp” để chỉ phân phối hậu nghiệm và phân phối tiên nghiệm cùng thuộc một lớpphân phối Mặc dù có cùng dạng phân phối nhưng tham số của chúng là khác nhau,tham số của phân phối hậu nghiệm phản ánh sự kết hợp giữa thông tin tiên nghiệm và

dữ liệu quan sát Bây giờ chúng ta sẽ xét trường hợp dữ liệu có phân phối chuẩn vì nó

là trung tâm cho các vấn đề được thảo luận trong tài chính

Nếu dữ liệu x có được từ phân phối chuẩn thì phân phối tiên nghiệm liên hợp chotrung bình  và phương sai 2

 lần lượt là phân phối chuẩn và phân phối 2nghịch:

2 2

T sẽ lớn hơn một vì một điều hiển nhiên là mức độ phân tán của trung bình  (thể

1.2.2.4 Phân tích kinh nghiệm Bayes

Để chuyển được những thông tin tiên nghiệm thành phân phối tiên nghiệm (trườnghợp tiên nghiệm mang thông tin), chúng ta phải xác định được các tham số tiênnghiệm trước khi quan sát và phân tích dữ liệu

Một cách xấp xỉ để suy luận tìm ra các tham số tiên nghiệm được gọi là “xấp xỉkinh nghiệm Bayes” Nhưng trong phương pháp này thông tin từ mẫu lại được dùng

để tính toán ra các giá trị của tham số tiên nghiệm Bây giờ ta xem xét một ví dụ vớitiên nghiệm liên hợp cho dữ liệu có phân phối chuẩn

Kí hiệu mẫu gồm n quan sát là x ( ,x x1 2, ,x n) Khi đó hàm hợp lý phân phốichuẩn có dạng:

 của phân phối chuẩn Khi đó biểu thức của hàm hợp lí trong (1.4) có thể được xem

là tích của hai phân phối: phân phối chuẩn của  với điều kiện 2

1.2.3 Thông tin hậu nghiệm

Phân phối hậu nghiệm của tham số (hay vectơ tham số)  khi cho trước dữ liệuquan sát x, kí hiệu là  ( | )x , được suy ra từ định lí Bayes Bằng cách hợp nhất dữ liệu

quan sát và thông tin tiên nghiệm, phân phối hậu nghiệm chứa đựng tất cả các thôngtin có liên quan về tham số chưa biết .

1.2.3.1 Ước lượng điểm hậu nghiệm

Mặc dù có thể hình dung được tất cả các thông tin từ phân phối hậu nghiệm nhưngtrong thực hành đôi khi chúng ta lại cần những số liệu đặc trưng để diễn tả niềm tinhậu nghiệm, đặc biệt là những giá trị mà thống kê truyền thống cũng rất quan tâm nhưtrung bình, phương sai,…Bài toán ước lượng điểm hậu nghiệm nhằm mục đích xácđịnh trung bình hậu nghiệm, trung vị hậu nghiệm, phuyong sai hậu nghiệm,…Các giátrị này sẽ được xác định một khi chúng ta tìm được phân phối hậu nghiệm của cáctham số Khi nghiên cứu về suy luận Bayes cho xác suất nhị thức, ta thấy rằng nếuchọn phân phối tiên nghiệm cho tham số là phân phối bêta thì phân phối hậu nghiệmcủa  cũng là phân phối bêta Như vậy đây là “tiên nghiệm liên hợp” và từ phân phốihậu nghiệm của  ta sẽ tìm được các ước lượng điểm hậu nghiệm cho nó (xét ở ví dụphía sau) Bây giờ ta xem xét trường hợp “tiên nghiệm liên hợp” cho dữ liệu có phânphối chuẩn Ta có:

 Vectơ dữ liệu x ( , ,x1 x n) có được từ phân phối chuẩn, tức là:

2

( ; ) ( 1, )

i

x N   i  n là các biến ngẫu nhiên độc lập

 Phân phối tiên nghiệm cho  với điều kiện 2

 là:

2 2

 cũng là phân phối chuẩn:

  

  (với  là trung bình mẫu)

Ta sẽ chứng minh công thức (*), thật vậy:

+ Hàm hợp lí cho  và 2

 là:

2 1

1

2

n n

i i

+ Với điều kiện 2

 , hàm mật độ hậu nghiệm của  là:

2

( | ) ( , | )( | , )

12

b a a

 là rất khó khăn (chưa kể đến trong thống kê nhiều chiều thì đó là ma trận hiệpphương sai) Tuy nhiên, nếu sử dụng phân phối tiên nghiệm như trên cho 2

 thì phânphối hậu nghiệm của nó được xác định:

( | )x Inv ( ;v c )

     (1.6)trong đó:

Ước lượng điểm hậu nghiệm sẽ không mang lại nhiều thông tin nếu như sự biếnđộng hậu nghiệm là đáng kể Để đánh giá mức độ biến động, khoảng hậu nghiệm [a;b]với độ tin cậy (1 ) (gọi tắt là khoảng tin cậy) được xây dựng.

Xác suất để tham số chưa biết  rơi vào khoảng [a;b] là (1  ):

b a

1.2.3.3 So sánh giả thiết Bayes

Ta dùng “so sánh giả thiết” thay cho “kiểm định giả thiết” nhằm nhấn mạnh rằngphương pháp Bayes mang lại cho chúng ta nhiều thông tin hơn so với việc chỉ đưa raquyết định chấp nhận hay bác bỏ một giả thiết như trong thống kê truyền thống

Trong thống kê truyền thống, xác suất của một giả thiết (giả thiết ban đầu hay đốigiả thiết) chỉ là 0 hoặc 1 vì thống kê truyền thống xem các tham số chưa biết như làhằng số Ngược lại trong thống kê Bayes tham số chưa biết được xem như biến ngẫunhiên nên xác suất của một giả thiết thông thường thì khác 0 và 1 Điều này ngoài việccho phép chúng ta so sánh để tìm ra giả thiết hợp lí mà còn cung cấp thêm xác suấtxuất hiện của nó

Giả sử chúng ta muốn so sánh giả thiết:

H   với đối giả thiết:

H    ,trong đó 0và 1là tập các giá trị có thể có của tham số chưa biết 

Cũng như ước lượng điểm hậu nghiệm và khoảng tin cậy Bayes, so sánh giả thiếtBayes hoàn toàn dựa vào phân phối hậu nghiệm của tham số  Dựa vào phân phốihậu nghiệm, ta sẽ tính được xác suất của giả thiết H0và đối giả thiết H1lần lượt là:

là công cụ quan trọng để phân tích rủi ro, giúp chúng ta đánh giá những chuỗi sự kiệndiễn ra liên tiếp rất thường gặp trong tài chính.

Bây giờ chúng ta sẽ đề cập đến phương pháp kiểm định giả thiết Bayes dựa trên tỉ

số chệch hậu nghiệm

Tỉ số chệch hậu nghiệm là tỉ số giữa mức độ hợp lí cho mô hình tham số dưới giảthiết H0và mức độ hợp lí cho mô hình tham số dưới đối thuyết H1 nhân với tỉ sốchệch tiên nghiệm

Nếu kí hiệu xác suất tiên nghiệm của giả thiết H0 là  thì chệch tiên nghiệm

1.2.4 Suy luận dự báo Bayes

Dựa vào phân phối hậu nghiệm, ngoài việc đưa ra những suy luận cho tham sốchúng ta còn có thể đưa ra mô hình dự báo cho lượng dữ liệu xuất hiện trong thời gian

tới Mục đích của việc dự báo là để kiểm định lại chính mô hình như là một quá trìnhkiểm định ngược (phân tích sự khác biệt giữa mô hình dự báo với thực tiễn dữ liệuphát sinh).

Cũng như suy luận hậu nghiệm, suy luận dự báo mang đến nhiều thông tin hơn sovới việc chỉ đưa ra dự báo điểm (điều luôn có trong tất cả các phân phối dự báo) và do

đó làm tăng tính linh hoạt của mô hình Hàm mật độ của phân phối dự báo chính làphân phối dữ liệu dựa trên mật độ tham số hậu nghiệm Bằng việc lấy theo trung bình

sự biến động của tham số (chứa trong hậu nghiệm), phân phối dự báo đưa ra sự mô tảtốt nhất cho khả năng dự báo của mô hình Ngược lại, trong thống kê truyền thống,việc dự báo điểm hay dự báo khoảng đều dựa vào tham số được ước lượng từ mẫu(xem tham số ước lượng được như giá trị chính xác của nó)

Nếu kí hiệu hàm mật độ phân phối mẫu và phân phối hậu nghiệm của tham số lầnlượt là f x( | ) và ( | )x  thì hàm mật độ dự báo được cho bởi:

( | ) ( | ) ( | ).

f x x f x    x d (1.7)trong đó x1kí hiệu cho lượng dữ liệu xuất hiện trong thời gian sắp tới Chú ý rằng vìtích phân trong (1.7) lấy trên tất cả các giá trị của nên phân phối dự báo không phụthuộc vào mà chỉ phụ thuộc vào lượng dữ liệu đã xuất hiện Hàm mật độ dự báo cóthể được dùng để dự báo điểm (dự báo kỳ vọng) hay dự báo khoảng (khoảng chứa dữliệu sẽ phát sinh) và cũng được dùng để so sánh giả thuyết

Giả sử chúng ta cần phân tích lợi nhuận của một loại cổ phiếu mà những thông tin

về lợi nhuận trước đó đã biết Gọi Y là biến ngẫu nhiên chỉ lợi nhuận của cổ phiếu và

là một tham số trong phân phối của Y Nếu kí hiệu n giá trị lợi nhuận quan sát của Y

là y y1, 2, ,y nthì hàm mật độ đồng thời của Y với một giá trị  cho trước là:

Phân phối Poisson thường dùng để diễn tả số lần xuất hiện của một sự kiện nào đótrong một khoảng thời gian nhất định Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phốiPoisson với tham số nếu:

x n n

i i

e x

x n

Phân phối chuẩn (hay phân phối Gauss) là một trong những phân phối quan trọngnhất của thống kê và cũng là sự lựa chọn chiếm ưu thế trong phân tích tài chính Biếnngẫu nhiên Y được gọi là có phân phối chuẩn với tham số  và  nếu nó có hàm mật

độ xác suất:

2 2

2

12

n i i

y n

y n

i i n n

i i

n

y n

1.3 Ví dụ mô hình thống kê Bayes nhị thức trong tài chính

Giả sử chúng ta quan tâm đến việc phân tích tính biến động trong ngày về giá củamột loại cổ phiếu Đặc biệt, chúng ta muốn đánh giá xác suất tăng giá liên tiếp của nó

Để đơn giản ta giả định xác suất để cổ phiếu tăng giá tại các thời điểm là không đổi,vấn đề này có thể được hình dung như một mô hình nhị thức

Trong loạt phép thử nhị thức thì mỗi phép thử chỉ có một trong hai khả năng loạitrừ nhau xảy ra và xác suất của mỗi khả năng là không đổi Biến ngẫu nhiên nhị thức

là biến số chỉ số lần xuất hiện của trạng thái được quan tâm qua loạt phép thử đó

Kí hiệu  là xác suất để cổ phiếu tăng giá thì 1 -  là xác suất cổ phiếu không tănggiá tại một thời điểm Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lượng thời điểm tăng giá của cổphiếu trong n thời điểm quan tâm thì X cũng chính là biến ngẫu nhiên có phân phối nhịthức với tham số 

Khi đó xác suất để trong n thời điểm có đúng x thời điểm cổ phiếu tăng giá là:

số .

Bây giờ chúng ta sẽ kết hợp thông tin thu thập được với xác suất tin cậy trước đó

về sự tăng giá của cổ phiếu để tìm phân phối hậu nghiệm của  Trước khi làm điều

đó, ta kí hiệu phân phối tiên nghiệm của tham số chưa biết  là  ( ), phân phối hậunghiệm của  là  ( |dữ liệu) và hợp hợp lí L( | dữ liệu)

Ta xét hai trường hợp  :

 Trường hợp 1: Ta chưa biết bất kỳ niềm tin nào về xác suất  thì phân phối tiênnghiệm của  được biểu diễn bởi phân phối đều trên đoạn [0;1] Với giả định này thìgiá trị kì vọng của  là 0,5 và hàm mật độ của  được cho bởi:

( ) 1

   , 0  1

Đồ thị hàm mật độ phân phối đều

 Trường hợp 2: Từ kinh nghiệm chúng ta thấy rằng xác suất để cổ phiếu tăng giá là

khoảng 2% Khi đó một sự lựa chọn có thể cho phân phối tiên nghiệm của  là phânphối bêta Hàm mật độ của phân phối bêta được cho bởi:

Với niềm tin ban đầu, ta xác định được xác suất để cổ phiếu tăng giá là 2% và cókhoảng 30% trường hợp xác suất tăng giá của cổ phiếu là dưới 1%, điều đó có nghĩalà:

 Trường hợp 2: Phân phối bêta là phân phối tiên nghiệm liên hợp cho tham số nhị

thức  Điều này có nghĩa là khi chọn phân phối bêta làm phân phối tiên nghiệm cho

 thì phân phối hậu nghiệm của  cũng là phân phối bêta:

* Ước lượng điểm cho tham số 

 Theo thống kê truyền thống thì ước lượng được dùng phổ biến nhất là ướclượng hợp lí cực đại, với số liệu trên ta tính được ước lượng hợp lí cực đại cho  là:

2 Mô hình dễ biến động trong tài chính

Biến động mô tả các biến đổi của một chuỗi thời gian tài chính, đó là mức độ và tốc

độ của sự biến động của chuỗi thời gian Trong ý nghĩa nào đó nó truyền đạt rõ ràngnhất sự không chắc chắn trong tài chính ra quyết định được thực hiện Biến độngthường được thể hiện bằng độ lệch chuẩn của lợi nhuận tài sản và tổng quát hơn lợi

nhuận được giả định là không phân phối chuẩn như quy mô của phân phối lợi nhuận.Trong mô hình tài chính, biến động là một khái niệm hiện đại, nó là phương sai của lợisuất tài sản chưa thực hiện trên điều kiện tất cả các thông tin có giá trị liên quan.

Ký hiệu t 1là tập hợp các thông tin sẵn đến thời gian t 1 Ví dụ tập thông tin nàybao gồm lợi nhuận tài sản trong quá khứ và thông tin về khối lượng giao dịch trongquá khứ Những biến động tại thời điểm t được cho bởi:

Chúng ta có thể miêu tả cho một giai đoạn, lợi nhuận r t được lấy mẫu rời rạc(chẳng hạn hàng ngày), khi đó t t|1 tổng của lợi nhuận kỳ vọng điều kiện và u t là mộtthành phần ngẫu nhiên với  2 

Nó là một quá trình ồn trắng, một dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, trungbình bằng 0 và phương sai bằng 1

Biểu thức (2.6) là cơ sở nền tảng chung cho hai nhóm chính của các mô hình biếnđộng: Tự hồi quy với phương sai có điều kiện khác nhau (ARCH) và (SV)- biến độngngẫu nhiên (Stochastic Volatility) Sự khác biệt về khác niệm giữa hai mô hình ở mức

độ xác định của t tại thời điểm t 1

2.1 Mô hình dễ biến động ARCH, GARCH trong dự báo tài chính

Nhu cầu dự báo đang có xu hướng gia tăng bởi vì tính dự báo đã và đang ảnh hưởngđáng kể đến quyết định hàng ngày của các cơ quan quản lý doanh nghiệp và nhà nước

Dự báo trở thành hoạt động quan trọng trong các lĩnh vực kinh tế học, tài chính, ngânhàng, thương mại, tiếp thị và nhiều lĩnh vực sản suất kinh doanh khác.

Đã từ lâu các nhà đầu tư, phân tích tài chính đều mong muốn trả lời câu hỏi: “ Cóthể dụ đoán được sự biến động của giá chúng khoán ?” Có rất nhiều nghiên cứu, phântích chuỗi giá chứng khoán đã được thực hiện nhằm tìm lời giải thõa đáng cho vấn đềtrên Theo lý thuyết định giá chứng khoán, nếu thị trường chứng khoán hoạt động hiệuquả thì thông tin về giá chứng khoán trong quá khứ không thể dự đoán được diễn biếncủa giá chứng khoán trong tương lai Khi đó, giá chứng khoán vận động hoàn toàn mộtcách ngẫu nhiên Tuy nhiên trong thực tế, kể cả những nước có thị trường kinh tế phát

triển, giả định về thị trường hiệu quả không hẳn là phù hợp Việc đưa ra phân tích chuỗi thời gian về xu hướng biến động giá cổ phiếu cho thị trường là rất có ý nghĩa và

đã có rất nhiều nhà kinh tế học đưa ra các mô hình khác nhau để phân tích và dự báo

về giá chứng khoán Sự phát triển ứng dụng công cụ kinh tế lượng trong lĩnh vực tàichính đã giới thiệu nhiều mô hình và kỹ thuật phân tích giúp chúng ta không những cóthể dự báo hành vi của những nhà đầu tư qua trung bình suất sinh lợi, mà còn dự báorủi ro bằng các chỉ số phương sai hay độ lệnh chuẩn

Nhiều mô hình định giá tài sản đã nổ lực đã ước lượng trung bình suất sinh lợi củamột tài sản cụ thể (ví dụ cổ phiếu của một công ty) và ứng với mỗi trung bình suất sinhlợi đều bao hàm yếu tố rủi ro hệ thống và rủi ro phi hệ thống

Với thực tế như vậy, các mô hình kinh tế lượng và dự báo đòi hỏi phải có khả năng

dự báo mức độ dao động của cac chuỗi thời gian Các mô hình dự báo vậy thuộc nhómcác mô hình ARCH/GARCH (Autoregressive Conditionally Heteroskedastic /Generalize Autoregressive Conditionally Heteroskedastic)

Trong những năm gần đây các mô hình ARCH đã được nhiều nhà nghiên cứu sửdụng để ước lượng các nhân tố ảnh hưởng đến rủi ro của các tài sản tài chính trên thịtrường chứng khoán, thị trường vàng, thị trường dầu, thị trường bất động sản và nhiềuthi trường khác nhằm cung cấp thông tin cho các quyết định kinh doanh và đặc biệt làtrong quản trị rủi ro

Mô hình ARCH đặc biệt được xây dựng để lập mô hình và dự báo về phương sai cóđiều kiện Phương sai của biến thụ thuộc là một hàm của biến phụ thuộc thời kỳ trước,biến độc lập và các biến ngoại sinh Mô hình ARCH được Engle giới thiệu vào năm

1982 và mô hình GRACH được Bollerslev giới thiệu vào năm 1986 Mô hình này

được sử dụng rộng rãi trong các mô hìn toán kinh tế, đặc biệt là phân tích chuỗi thờigian trong tài chính.

Biểu thức dễ biến động được cho bởi

mô hình GARCH (1,1) không âm  0,  0,  0 để đảm bảo rằng 2

1

t t

  dương vớimọi giá trị của “quá trình ồn trắng”

Ta dự đoán làm thế nào thông tin có thể xảy ra tại thời điểmt 1 tác động đếnphương sai dự báo tại thời điểm 2

Có thể thấy rằng mô hình GARCH(1,1) chỉ rõ phương sai dự báo của lợi nhuận như

là trung bình trọng lượng của ba bộ phận cấu thành:

o Phương sai không dự báo / 1   

o Phương sai tiên đoán chu kỳ t21t2

o Thông tin mới tại thời điểm t 1,u t21

Chi tiết của 2

phù hợp với mô hình ARCH của Engle (1982)

Biểu thức (2.7) có thể dễ dàng mở rộng bằng cách thêm vào bình phương và cácphương sai dự báo để tổng quát thành mô hình GARCH(p,q) Tuy nhiên, mô hìnhGARCH(1,1) thường mô tả những biến động lợi nhuận đủ tốt

Tất nhiên, mô hình trong biểu thức (2.7) chưa đầy đủ cho đến khi chúng ta xác địnhmột giả định phân phối cho lợi nhuận tại thời điểm t Khi đó, việc xem xét lợi nhuậnphụ thuộc vào thời gian Nhiệm vụ của chúng ta là phân phối lợi nhuận có điều kiện

Những nghiên cứu đầu tiên về mô hình GARCH(1,1) được Bllersev (1986) và Talor(1986) giả định rằng lợi nhuận có phân phối chuẩn có điều kiện:

1

t t

  được trông đợi sẽ nhỏ và nhóm biến động thấp sẽ xảy ra

 Tính bất định của lợi nhuận tài sản

Mô hình GARCH có thể giải thích một phần kinh nghiệm được quan sát: biểu đồ

“nặng” ở phần cuối và phần đỉnh hình chóp của lợi nhuận tài sản Giả định rằng lợinhuận có phân phối chuẩn có điều kiện Chú ý rằng, biểu thức trong (2.6), phân phốikhông điều kiện của t có thể được miêu tả như một sự kết hợp của các phân phốichuẩn Sự khác biệt phân phối chuẩn phù hợp với sự khác biệt của 2

1

t t

  có thể xảy ra.Chúng ta nói rằng t được phân phối hỗn hộp của các phân phối chuẩn

Mô hình GARCH có hiệu quả Tuy nhiên, nó vẫn còn thiếu sót trong việc giải thíchcác tính toán đầy đủ sự bất định của lợi nhuận Phân phối thay thế giả định có thể đượcnhận theo cách đó

 Tính dễ biến động không đối xứng

Mô hình GARCH(1,1) “vani thẳng” bên trên không giữ được tính không đối xứngcủa các quan sát dễ biến động trong thực hành Chú ý rằng cả hai va chạm lợi nhuậndương (khi lợi nhuận phía trên điều kiện chắc chắn và u t1 0) và lợi nhuận âm (khilợi nhuận phía trên điều kiện chắc chắn và u t10) có một sự đồng nhất toàn phầntrên phương sai điều kiện 2

 Mô hình trung bình có điều kiện

Trung bình của lợi nhuận trong (2.6) thường được giả định là hằng số khi mục tiêu

là mô hình không phương sai dự báo của lợi nhuận Một giả định rằng đã tìm thấy mô

tả phương pháp xử lý của lợi nhuận tốt là quá trình ARMA(1,1)-GARCH(1,1) trong đómột mô hình tự hồi quy trung bình (ARMA) của lợi nhuận được kết hợp với giả địnhGARCH

Sự khác nhau của giả định trung bình điều kiện được cung cấp bởi mô hình ARCH

Kỳ vọng lợi nhuận tài sản đến độ mạo hiểm tài sản được miêu tả bởi độ lệch chuẩnđiều kiện của lợi nhuận

   

Tham số 1 có thể được giải thích như yêu cầu sự bù đắp của người đầu tư (dạng kỳvọng lợi nhuận cao hơn) cho sự tăng sự rủi ro của tài sản, đó là giá của rủi ro Tham

số 0 cũng có thể giải thích trong kinh tế như là tỉ lệ rủi ro của lợi nhuận

Mặc dù sự cung cấp tăng linh hoạt, mô hình trung bình điều kiện của lợi nhuậntrong mô hình kiểu ARCH không tới hạn Nelson và Foster (1994) đã chứng minhrằng lỗi đo lường bởi vì có một sự giả định trong trung bình điều kiện có thể khôngđáng kể trong sự so sánh với lỗi đo lường được bằng thất bại bất định của sự phânphối lợi nhuận điều kiện hoặc hiệu quả của tính không đối xứng trong tính dễ biếnđộng

Mô hình ARCH(1) cho rằng khi một cú sốc lớn xảy ra ở giai đoạn t 1 thì giá trị u t

(giá trị tuyệt đối hay bình phương) cũng sẽ lớn Nghĩa là khi 2

t

u lớn / nhỏ thì phươngsai u t cũng sẽ lớn / nhỏ Hệ số ước lượng  0 vì phương sai luôn dương

 Mô hình ARCH (q)

Trong thực tế phương sai có điều có thể phụ thuộc không chỉ ở một độ trễ mà còn

nhiều độ trễ trước đó nữa, vì mỗi trường hợp có thể tạo ra một quy trình khác nhau Tacó:

Mô hình GARCH (p,q) có dạng sau đây:

trong đó t tập hợp các thông tin đã có đến thời điểm t 1.

Mô hình này thường được giải tích trong thị trường tài chính khi có nhà đầu tư dựbáo về phương sai t phụ thuộc vào phương sai dự báo ở giai đoạn trước t1, nhữngthông tin về sự dao động từ thời kì trước Mô hình bày phù hợp với sự thay đổi củadoanh lợi tài sản tài chính và khi lợi suất của tài sản xuất hiện hiện tượng phương saicủa sai số không đồng đều

2.1.3 Tính chất và ước lượng của quá trình GARCH(1,1)

Ba tính chất quan trọng của quá trình GARCH

 Tính chất quan trọng nhất của quá trình GARCH là tính dừngTính dừng của quá trình ngẫu nhiên yêu cầu quá trình có thời gian ngắn giới hạn(trung bình, phương sai và hiệp phương sai) không thay đổi theo thời gian Các đặcđiểm trên chuỗi thời gian dừng y t được thể hiện như sau:

+ E y t là một hằng số cho tất cả các thời điểm t

V y E y    là một hằng số cho tất cả các thời điểm t

+ Cov y y t, t h  h E y t   y t h  là một hằng số cho tất cả các thời điểm t và

h khác nhau, trong đó hiệp phương sai h ở độ trễ h giữa hai giá trị y t h và y t chỉphụ thuộc vào khoảng cách h Nếu h 0, ta có 0 chính là phương sai của y  2

 Nếu h 1, thì 1 là hiệp phương sai giữa hai giá trị y liền nhau

Tóm lại, nếu y t là một chuỗi dừng thì giá trị trung bình, phương sai và hiệpphương sai (ở các độ trễ khác nhau) sẽ giống nhau không cần biết ta đang đo lườngchúng ở thời điểm nào

Quá trình GARCH(1,1) là dừng nếu tổng 111 Tổng 11 được biết như làmột quá trình GARCH tham số liên tục từ khi nó xác định tốc độ của trung bình lợisuất biến động tới trung bình của nó trong khoảng thời gian dài Một giá trị lớn hơncủa 11 hiểu rằng sự ảnh hưởng của sự thay đổi đột ngột tới biến động 2

t

u diễn rachậm hơn

Trong nhiều ứng dụng tài chính ta chọn 11 1, lợi nhuận giả sử có phân phốiStudent với độ tự do  , sự liên quan (hiệp phương sai) tính dừng không bằng nhauđược cho bởi công thức: