Phân tích thống kê mô hình ARCH và một số ứng dụng trong tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO VIỆT HÙNG PHÂN TÍCH THỐNG KÊ MƠ HÌNH ARCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO VIỆT HÙNG PHÂN TÍCH THỐNG KÊ MƠ HÌNH ARCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Nguyễn Văn Hữu Hà Nội - 2012 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc GS.TS Nguyễn Văn Hữu - Đại học KHTN - ĐHQGHN, người thầy động viên, tận tình hướng dẫn để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, dạy bảo tác giả tận tình suốt trình học tập khoa Tác giả xin gửi lời cám ơn tới tập thể thầy giáo Bộ mơn Tốn, trường Đại học Thủy Lợi, nơi tác giả công tác, tạo điều kiện, chia sẻ gánh vác công việc để tác giả hồn thành q trình học tập luận văn Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập thực đề tài Một lần nữa, tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 01 tháng 07 năm 2012 Học viên Đào Việt Hùng Mục lục MỞ ĐẦU Chương Mở đầu chuỗi thời gian 1.1 Mơ hình hóa chuỗi thời gian q trình ngẫu nhiên 1.2 Tính dừng mạnh dừng yếu 11 1.3 Ví dụ 14 1.4 Quá trình phi tuyến 16 1.4.1 Thống kê "cái treo áo" (statistique portmanteau) 16 1.4.2 Một số hệ giả thiết nhiễu trắng 17 Chương Mơ hình ARCH 19 2.1 Mơ hình ARCH chiều 19 2.1.1 Mơ hình với phương sai không cấp 19 2.1.2 Tính chất trình sai số εt 20 2.1.3 Tính chất q trình {Yt , t ∈ Z} 21 2.1.4 Phân bố sai số 22 2.2 Tính chất chung mơ hình ARCH 23 2.2.1 Các hướng mở rộng khác 23 2.2.2 Tính dừng mơ hình GARCH(p,q) 25 2.2.3 Độ nhọn (Kurstosis) 26 2.2.4 Phương trình Yule - Walker cho bình phương trình GARCH 27 MỤC LỤC Chương Ước lượng kiểm định (Mơ hình ARCH biến) 29 3.1 Ước lượng phương pháp giả hợp lý cực đại 29 3.1.1 Phương pháp chung 29 3.1.2 Trường hợp mẫu độc lập 30 3.1.3 Mơ hình hồi qui với sai số có phương sai khơng 32 3.1.4 Mơ hình hồi qui với sai số ARCH 36 3.1.5 Áp dụng mơ hình GARCH 38 3.2 phương pháp ước lượng theo bước 39 3.2.1 Mô tả phương pháp 39 3.2.2 So sánh phương pháp ước lượng với giả thiết phân bố chuẩn có điều kiện 40 3.2.3 Nghiên cứu độ hiệu 41 3.3 Khoảng dự báo 43 3.4 Kiểm định tính phương sai 46 3.4.1 Mơ hình hồi qui với sai số có phương sai khơng 46 3.4.2 Một biểu diễn thống kê tiêu chuẩn 48 3.4.3 Áp dụng cho mơ hình hồi qui với sai số ARCH GARCH 49 3.4.4 Ví dụ minh họa 51 Chương Mơ hình ARCH nhiều biến 56 4.1 Các mơ hình khơng có buộc 56 4.1.1 Mơ hình GARCH nhiều biến 56 4.1.2 Các ràng buộc tính dương 58 4.1.3 Các buộc tính ổn định 58 4.1.4 Ví dụ 59 4.1.5 Khai triển phổ 60 4.2 Mơ hình ràng buộc 62 4.2.1 Mơ hình đường chéo (Bollerslev − Engle −Wooldridge (1988)) 62 4.2.2 Mơ hình tương quan có điều kiện số (Bollerslev (1987)) 64 4.2.3 Mơ hình với hệ số ngẫu nhiên 65 4.2.4 Mô hình dựa phân tích phổ (Baba - Engle - Kraft - Kroner (1987) ; Engle - Ridrigues (1987) 66 4.2.5 Mơ hình ARCH với nhân tố ( Dicbold-Nerlove(1988,1989)) 67 MỤC LỤC 4.3 Ước lượng mơ hình động phương sai không 68 4.3.1 Ước lượng phương pháp giả hợp lý cực đại 68 4.3.2 Tính chất tiệm cận phương pháp giả hợp lý cực đại 70 4.3.3 Mơ hình với tương quan có điều kiện số 71 Chương Danh mục đầu tư hiệu danh mục đầu tư bảo hộ 73 5.1 Xác định danh mục đầu tư hiệu 73 5.2 Tiêu chuẩn trung bình phương sai 75 5.3 Danh mục đầu tư hiệu theo tiêu chuẩn trung bình - phương sai 76 5.3.1 Xác định danh mục hiệu khơng tồn chứng khốn khơng rủi ro 76 5.3.2 Sử dụng để phân loại chứng khoán 78 5.3.3 Xác định danh mục tối ưu trường hợp có chứng khốn khơng rủi ro 78 5.4 Tính chất tập danh mục đầu tư hiệu 79 5.4.1 Tập danh mục đầu tư hiệu 79 5.4.2 Sự tồn nhân tố 81 5.5 Danh mục đầu tư bảo hộ 83 KẾT LUẬN 86 MỞ ĐẦU Sự phát triển mơ hình chuỗi thời gian phát triển nhanh để mô tả biến đổi theo thời gian chuỗi biến ngẫu nhiên kinh tế, kỹ thuật phục vụ cho việc chẩn đốn tính mùa, dự báo, điều khiển hệ Vào năm 70 lớp mơ hình loại ARMA nghiên cứu Các mơ hình dựa giả thiết giá trị chuỗi biểu diễn tuyến tính qua giá trị khứ chuỗi nhiều ngẫu nhiên Tuy nhiên mơ hình có bất tiện, dựa tính chất tuyến tính phải hạn chế tham số để mô tả cấu trúc tượng Trong lĩnh vực ứng dụng mơ hình ARMA cổ điển, mơ hình ARMA bộc lộ nhược điểm nghiên cứu toán kinh tế, tài tiền tệ Trước tiên, chuỗi thể tính phi tuyến : biến thiên giá trị chuỗi, độ biến động phụ thuộc (phi tuyến) vào giá trị khứ Mặt khác có lý thuyết tài tiền tệ dựa học thuyết cân thái độ hợp lý hãng can thiệp vào thị trường lẽ tự nhiên phải đưa kiểm định buộc cấu trúc tham số Các mơ hình ARCH mơ hình phương sai sai số có điều kiện tự hồi quy (Conditionally autoregressive heterosedastivity) đưa Engle 1982 Có khoảng 50 báo hàng chục luận án nghiên cứu mơ hình ARCH Sự phát triển nhanh chóng cơng trình nghiên cứu thể tầm quan trọng mơ hình ARCH lý thuyết thống kê áp dụng Về phương diện thống kê mơ hình ARCH lập nên lớp mơ hình phi tuyến Với mơ hình người ta cần nghiên cứu số toán cổ điển : Kiểm tra chế ngẫu nhiên, xác định khoảng dự báo MỤC LỤC Trong lĩnh vực tài người ta áp dụng mơ hình ARCH biến động (Voltality) chuỗi phụ thuộc vào thời gian Người ta sử dụng mơ hình ARCH tài để nghiên cứu danh mục đầu tư tối ưu (optimal portefolio), định giá quyền chọn, hiệu thông tin khác thị trường Cấu trúc luận văn: • Chương : Mở đầu chuỗi thời gian • Chương : Mơ hình ARCH biến • Chương : Ước lượng kiểm định mô hình • chương : Mơ hình ARCH nhiều biến • chương : Danh mục đầu tư hiệu danh mục đầu tư bảo hộ Chương Mở đầu chuỗi thời gian 1.1 Mơ hình hóa chuỗi thời gian trình ngẫu nhiên Việc phân tích động học chuỗi kinh tế dựa quan sát liệu theo thời gian nói chung chuỗi bộc lộ số tính chất thông thường : Các thành phần bùng nổ tuần hoàn (xem : chuỗi thời gian số người thất nghiệp Pháp), xu thế, lợi tức trình kinh doanh chuỗi xem thể theo thời gian q trình ngẫu nhiên Một q trình ngẫu nhiên (QTNN) với thời gian rời rạc dãy biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, A, P) Các biểu ngẫu nhiên nhiều chiều gắn với số thời gian t Để đơn giản ta giả thiết thời điểm quan sát cách gắn số nguyên QTNN ký hiệu : Y = (Yt , t ∈ τ) (1.1.1) Trong τ ⊂ N Z (N : tập số nguyên, Z : tập số nguyên mở rộng) Khi Y trình ngẫu nhiên n chiều ta viết : Yt = (Y j t , j = 1, , n) (1.1.2) CHƯƠNG DANH MỤC ĐẦU TƯ HIỆU QUẢ VÀ DANH MỤC ĐẦU TƯ BẢO HỘ75 • Với cam kết nợ : Pt ; Rt = Pt+1 − Pt + it + 1, Pt Pt , it giá thời điểm t, lãi suất tương ứng • Với hoạt động kinh doanh (action) Pt+1 C − Pt + dt + 0, dt + 1, Pt Rt = t Pt Pt dt giá đầu tư cổ tức Thành phần 0, dt tương ứng với thuế, Ct hệ số tỷ lệ = chứng khoán gắp lần đầu tư • Với đầu tư vào hàng hóa (ví dụ : cà phê, ca cao ) Pt , Rt = Pt+1 a+δ − Pt Pt + 1, Pt giá thị trường, hệ số δ tương ứng với giảm giá cổ phiếu • Với việc mua khoản thị trường ngoại hối Pt , Rt = qt+1 − Pt + 1, Pt đó, ví dụ Pt chí phí để mua la thời điểm t đặt mua thời điểm t + Và qt giá đô la mua (tỷ giá trao đổi) 5.2 Tiêu chuẩn trung bình phương sai Ta xét tổ chức hay cá nhân muốn sở hữu chứng khoán với chi phí tổng cộng c0 Họ thiết kế danh mục đầu tư α cho : p(α) = p α = c0 Để lựa chọn danh mục đầu tư số danh mục có chi phí theo tiêu chuẩn trung bình - phương sai sau (ν hàm biến đó)   max ν µ(α) ; η (α) α  p (α) = c0 (5.2.1) CHƯƠNG DANH MỤC ĐẦU TƯ HIỆU QUẢ VÀ DANH MỤC ĐẦU TƯ BẢO HỘ76 Một tiêu chuẩn cụ thể :   η (α)    α µ (α) = m0 (đã cho)     p(α) = c0 (5.2.2) Để giải toán (5.2.1) với ν(µ , η ) = µ − a η ta sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange :  max µ (α) − a η (α) α (5.2.3) với điều kiện p(α) = c α tham số dương Chú ý : Người ta nghiên cứu tốn U (x) hàm tiện ích 5.3 Danh mục đầu tư hiệu theo tiêu chuẩn trung bình - phương sai 5.3.1 Xác định danh mục hiệu không tồn chứng khốn khơng rủi ro Giả sử ∑ không suy biến, tức ngược lại tồn danh mục đầu tư α với chi phí c = 0, cho α ∑ α = V (α R) = 0, tức phương án đầu tư khơng rủi ro Lời giải tốn (5.2.3) xác định sau :  max µ (α) − a η (α) α ↔ ↔ p α = c  max [m diag (p) α − p α − a α diag (p) ∑ diag(p) α] α p α = c  max m diag (p) α − a α diag(p) ∑ diag(p) α α p α = c (5.3.1) CHƯƠNG DANH MỤC ĐẦU TƯ HIỆU QUẢ VÀ DANH MỤC ĐẦU TƯ BẢO HỘ77 với a > Ta đưa nhân tử Lagrange λ gắn với ràng buộc cần phải cực đại hóa Lagrange : £ = m diag(p)α − a α diag(p)α ∑ diag(p) α − λ (p α − c0 ) (5.3.2) theo λ α Từ ta nhận buộc :  diag(p) m − λ p − a diag(p) ∑ diag(p) α = p α = c (5.3.3) : −1 [diag(p) m − λ p] diag(p) ∑ diag(p) 2a = [diag(p)]−1 Σ−1 [ diag(p)]−1 [diag(p) m − λ p] 2a λ = [diag(p)]−1 Σ−1 m − [ diag(p)]−1 Σ−1 e 2a 2a α= Trong e = (1, 1, , 1) Kể đến buộc p α = c0 ta có : pα= λ e Σ−1 m − e Σ−1 e = c0 2a 2a Suy giá trị λ λ= e Σ−1 m − a c0 e Σ−1 e Vậy αˆ = e Σ−1 m (diag p)−1 Σ−1 m − (diag p)−1 Σ−1 e −1 2a eΣ e + c0 [diag(p)]−1 Σ−1 e e Σ−1 e αˆ = (diag p)−1 2a + c0 [diag(p)]−1 Σ −1 e Σ−1 m −1 m− Σ e e Σ−1 e Σ−1 e e Σ−1 e (5.3.4) CHƯƠNG DANH MỤC ĐẦU TƯ HIỆU QUẢ VÀ DANH MỤC ĐẦU TƯ BẢO HỘ78 5.3.2 Sử dụng để phân loại chứng khốn Các kết sử dụng cho việc phân loại chứng khoán từ chứng khốn có lợi suất cao đến chứng khốn có lợi suất thấp Đầu tiên chứng khoán thứ j xây dựng danh mục đầu tư hiệu dựa chứng khốn thứ j chứng khốn khơng rủi ro Các danh mục đầu tư ứng với chứng khoán thứ j thay đổi theo j hiệu so với danh mục đầu tư ta xây dựng dựa n chứng khoán danh mục ứng với giá trị tối ưu : U j = R0 c0 + (m j − R0 )2 2a σ 2j Và lẽ tự nhiên ta phân loại (xắp xếp) chứng khoán theo thứ tự giảm U j , m −R tức theo thứ tự giảm hệ số biến thiên j σ j (thơng thường ta xét chứng khốn với m j > R0 ) Hệ số gọi hệ số hiệu Sharge Chú ý giá mua p khơng đóng vai trò việc so sánh hiệu chứng khoán 5.3.3 Xác định danh mục tối ưu trường hợp có chứng khốn khơng rủi ro Trong trường hợp chứng khốn khơng rủi ro có lợi suất số R0 , ta giả thiết chứng khốn khác có lợi suất trung bình m ma trận hiệp phương sai lợi suất ∑ không suy biến Nếu α0 ký hiệu số chứng khốn khơng rủi ro, α = (α1 , , αm ) ký hiệu véc tơ danh mục đầu tư vào chứng khốn có rủi ro, tốn tối ưu đặt   max {m diag(p) α + R0 α0 − a α diag(p) ∑ diag(p) α} α0 , α  α0 + p α = c0 Bài toán dễ dàng giải sau khử α0 phương trình ràng buộc thay vào hàm mục tiêu Ta thu toán max R0 c0 + (m − R0 e) diag(p) α − a α diag(p) ∑ diag(p)α α CHƯƠNG DANH MỤC ĐẦU TƯ HIỆU QUẢ VÀ DANH MỤC ĐẦU TƯ BẢO HỘ79 sau ta thu [diag(p)]−1 Σ−1 [m − R0 e] 2a αˆ0 = c0 − p αˆ = c0 − e Σ−1 (m − R0 e) 2a αˆ = (5.3.5) Và giá trị cực đại hàm mục tiêu U = R0 c0 + (m − R0 e) Σ−1 (m − R0 e) 2a 5.4 Tính chất tập danh mục đầu tư hiệu 5.4.1 Tập danh mục đầu tư hiệu Xét trường hợp khơng có chứng khốn khơng rủi ro Ta xét tập danh mục đầu tư có hiệu ứng với tham số thay đổi a c0 dương Tính chất : Tập danh mục đầu tư hiệu a c0 thay đổi nón lồi cảm sinh danh mục đầu tư : α ∗ = [diag p]−1 Σ−1 m − α ∗∗ −1 = [diag p] e Σ−1 m −1 Σ e e Σ−1 e Σ−1 e e Σ−1 e (theo cơng thức (5.3.4)) Các đặc tính danh mục đầu tư : Tính chất : • α ∗ có chi phí khơng • α ∗∗ có chi phí Chứng minh : Ta có ∗ ∗ −1 p(α ) = p α = p [diag p] = e Σ−1 m − Tương tự ta có : −1 Σ e Σ−1 m −1 m− Σ s e Σ−1 e e Σ−1 m −1 Σ e =0 e Σ−1 e CHƯƠNG DANH MỤC ĐẦU TƯ HIỆU QUẢ VÀ DANH MỤC ĐẦU TƯ BẢO HỘ80 p(α ∗∗ ) = Như α ∗ danh mục đầu tư sử dụng để biến đổi lợi suất trung bình rủi ro khơng thay đổi chi phí Một danh mục đầu tư với chi phí khơng gọi danh mục đầu tư khơng có độ chênh thi giá Các tính chất thống kê danh mục đầu tư α ∗ α ∗∗ sau : Tính chất : Ta có (m Σ−1 e)2 µ(α ) = m Σ m − e Σ−1 e (m Σ−1 e) µ(α ∗∗ ) = −1 e Σ−1 e ∗ −1 ∗ ; η (α ) = m Σ −1 (m Σ−1 e)2 m− e Σ−1 e ; η (α ∗∗ ) = e Σ−1 e Hơn lợi suất danh mục đầu tư khơng tương quan Một danh mục đầu tư hiệu ln có dạng 21a α ∗ + c0 α ∗∗ Ứng với chi phí ban đầu c0 đem lại thu nhập trung bình µ(α ∗ ) + c0 µ(α ∗∗ ) 2a phương sai η (α) = η (α ∗ ) + c20 η (α ∗∗ ) (2 a) Với chi phí c0 cho, danh mục đầu tư hiệu có phương sai cực tiểu c0 α ∗∗ Danh mục c0 α ∗∗ thể danh mục đầu tư danh mục với rủi ro cực tiểu Hơn danh mục cho phép ta hiểu rõ kết thu trường hợp có tồn chứng khốn khơng rủi ro : α ∗∗ thay cách tự nhiên chứng khốn khơng rủi ro Vả lại, với c0 cho ta vẽ đường cong hiệu thể tiến triển giá trị trung bình lợi suất danh mục đầu tư hiệu hàm phương sai Đường cong có dạng nửa parabole CHƯƠNG DANH MỤC ĐẦU TƯ HIỆU QUẢ VÀ DANH MỤC ĐẦU TƯ BẢO HỘ81 Trong trường hợp có tồn chứng khốn khơng rủi ro xây dựng danh mục tối ưu kết hợp (xem (5.3.5),( )) cho ˆ αˆ0 ) = m diag p αˆ − p αˆ + R0 αˆ0 − αˆ0 µ(α, = (R0 − 1)c0 + ˆ αˆ0 ) = η (α, (m − R0 e) Σ−1 (m − R0 e) 2a (m − R0 e) Σ−1 (m − R0 e) (2 a) Đường cong hiệu có phương trình hiển : µ(α) = (R0 − 1)c0 + η(α) (m − R0 e) Σ−1 (m − R0 e) = (R0 − 1)c0 + η(α) S Nửa parabole tiếp xúc với trục tung tăng theo S 5.4.2 Sự tồn nhân tố Việc biết trọng số cho phép ta xây dựng danh mục đầu tư hiệu đóng vai trò quan trọng thực hành Nhưng có ích cho việc mơ hình hóa phương sai phụ thuộc vào thời gian Tại thời điểm (khơng tính đến chi phí giao dịch), danh mục đầu tư tối ưu nói chung cần phải : e Σt−1 mt −1 −1 −1 αˆt = [diag pt ] Σt mt − Σt e 2a e Σt−1 e −1 + c0 [diag pt ] Σt−1 e e Σt−1 e phụ thuộc vào thời gian Hơn danh mục đầu tư sở phụ thuộc thời gian Giả sử ma trận phương sai tức thời chấp nhận phân tích nhân tố dạng : n Σt = ∑ λit βi βi (5.4.1) i=1 Trong vecto βi , i = 1, , n lập nên sở trực chuẩn Rn không phụ thuộc vào thời gian Ta có : n Σt−1 = ∑ i=1 βi βi λit CHƯƠNG DANH MỤC ĐẦU TƯ HIỆU QUẢ VÀ DANH MỤC ĐẦU TƯ BẢO HỘ82 Khi ta biểu diễn danh mục đầu tư hiệu dựa danh mục đầu tư sở không tương quan βi , i = 1, , n : n diag(pt ) αˆt = ∑ βi i=1 + c0 ∑ j β j mt β j e/ λ j t 1 βi mt − βi e a λit ∑ j (β j e)2 / λ j t βi e λit Σ j (β j e)2 /λ j t Trong trường hợp có nhân tố cảm sinh có rủi ro yếu, tức có λit = 0, giả sử n − r nhân tố cuối ứng với số i = r + 1, , n có tính chất λit = λi λt với λi → , i = r + 1, , n ta có    n   β m β e/ λ  ∑ j  j t j  1  r  j=r+1  βi mt − βi e diag(pt ) αˆt = ∑ βi    e) / λ (β a λ ∑ j it   j i=1   j=r+1   n ∑ β j mt β j e/ λ j n  1  j=r+1  βi mt − βi e + ∑ βi  2/ λ  e) a λ λ (β ∑ j i t j i=r+1 j=r+1 + c0 λi βi e n ∑ (β j e)2 /λ j j=r+1 ta phân biệt trường hợp : Nếu với chứng khốn có số r + 1, , n (ít có số) cho :   n ∑ β j mt β j e]/ λ j  1 j=r+1 =0 lim  β m − β e t i n  t→∞ λi  i ∑ (β j e)2 / λ j j=r+1 số thành phần αˆt trở thành vô hạn (với giả thiết hiển nhiên giá bị chặn) Khi có tồn chứng khốn xấp xỉ khơng rủi ro có lợi suất trung bình khác nhau, theo tính chất có độ chênh thị giá, số chứng khốn ta hy vọng chứng khốn có thu nhập vô hạn Trong trường hợp giới hạn biểu thức vế trái trường hợp CHƯƠNG DANH MỤC ĐẦU TƯ HIỆU QUẢ VÀ DANH MỤC ĐẦU TƯ BẢO HỘ83 không, ∀ i = r + 1, , n, danh mục đầu tư tối ưu trở thành    n    ∑ β j mt β j e/ λ j   1  r  j=r+1 βi mt − βi e  diag(pt ) αˆt = ∑ βi  / λ   (β e) a λ ∑ j it   j i=1   j=r+1 n + c0 ∑ i=r+1 βj λi βj e n ∑ (β j e)2 /λ j j=r+1 Danh mục xem hàm r + danh mục đầu tư sở βi , i = 1, , r bất biến theo thời gian danh mục : n ∑ i=r+1 βj λi βj e n ∑ (β j e)2 /λ j j=r+1 Như vậy, công thức với nhân tố xây dựng, ta xác định danh mục đầu tư xấp xỉ không rủi ro để thấy thu nhập thực nhận hay khơng, ngược lại thu nhập danh mục khơng đáng kể chứng khoán ghép lại thành chứng khốn với trọng số thích hợp, sau danh mục đầu tư tối ưu xây dựng cách kết hợp chứng khốn với chứng khốn có rủi ro 5.5 Danh mục đầu tư bảo hộ Trong mục trước ta nghiên cứu việc chọn danh mục đầu tư theo tiêu chuẩn trung bình phương sai với ràng buộc chi phí c0 Các tiêu chuẩn khác với ràng buộc khác sử dụng thực hành Ví dụ, người ta mong muốn xây dựng danh mục đầu tư dựa số chứng khốn cho lợi suất thời kỳ gần sát dãy lãi suất Bài tốn đặt ngữ cảnh khác Sau ta đưa số ví dụ : Một số nước phát triển cần phải tốn nợ với nước ngồi Các nợ phải trả theo ngoại tệ Đơla, n, Mark với tỷ lệ ngoại hối thay đổi Rõ ràng việc phân bổ nợ theo ngoại hối khác CHƯƠNG DANH MỤC ĐẦU TƯ HIỆU QUẢ VÀ DANH MỤC ĐẦU TƯ BẢO HỘ84 cần phải tính đến việc bảo hộ trước rủi ro thay đổi tỷ lệ ngoại hối Một cách tự nhiên, trước tiên phải lựa chọn việc phân bố nợ theo ngoại hối sở cho lượng phải trả sát với tỷ lệ cho trước vượt giá Một số thể chế tài muốn đặt thị trường danh mục đầu tư cho phép tái tạo số chung số (Dow - Jones , CAC 40, ) để đối chọi lại với số không rủi ro quan trọng Trên thị trường hàng hóa : sắt thép, cà phê, lúa mì, ca cao, người ta thường tiến hành mua bán theo quyền chọn mua, bán để tạo điều kiện cho hãng tự bảo hộ trước thay đổi bất thường giá thị trường Xác định danh mục đầu tư xấp xỉ dãy lãi suất Ta giữ nguyên ký hiệu phần trước Chuỗi lãi suất doanh thu {zt } thời kỳ cho : zt+1 zt+1 − zt = 1+ zt zt Ta chọn danh mục đầu tư n chứng khoán xét cho lợi suất thơ gần với zt+1 /zt Bài toán đặt xác định danh mục đầu tư cho :  n   min E ∑ α p R − z /z α t i it i ,t+1 t+1 t (5.5.1) i=1 n   với điều kiện : ∑ αi pit = i=1 Ta xét lời giải tốn có chứng khốn khơng rủi ro với lợi suất thơ biết R0 ,t+1 Như phần trước, chứng khốn khơng rủi ro thêm vào tập n chứng khốn có rủi ro xét tốn trở thành :   min Et [α0 R0 ,t+1 + ∑ αi pit Ri ,t+1 − zt+1 /zt ]2 α (5.5.2) n  α0 + ∑ αi pit = i=1 Thay α0 xác định ràng buộc vào biểu thức min, toán trở thành n Et α1 , ,αn ∑ αi pit (Ri ,t+1 − R0 ,t+1 ) − (zt+1 /zt − R0 ,t+1 ) i=1 CHƯƠNG DANH MỤC ĐẦU TƯ HIỆU QUẢ VÀ DANH MỤC ĐẦU TƯ BẢO HỘ85 Nếu ký hiệu pt = (p1t , , pnt ) ; Rt+1 = (R1 ,t+1 , , Rn ,t+1 ), lời giải toán : diag(pt ) αˆ = Et (Rt+1 − R0 ,t+1 e) (Rt+1 − R0 ,t+1 e) [Et (Rt+1 − R0 ,t+1 e) (zt+1 /zt − R0 ,t+1 )] −1 (5.5.3) Cơng thức biểu diễn qua lợi suất trung bình độ biến động lợi suất : diag(pt ) αˆ = Σt+1 + (mt − R0 , ,t+1 e)(mt − R0 ,t+1 e) −1 [covt (Rt+1 , zt+1 /zt ) + (mt − R0 ,t+1 e) (Et (zt+1 /zt ) − R0 ,t+1 )] (5.5.4) Trong Σt+1 = Var(Rt+1 ) KẾT LUẬN Luận văn trình bày lớp mơ hình GARCH khác với mơ hình hồi quy tuyến tính cổ điển phương sai sai số thay đổi theo thời gian Các mơ hình mơ tả tương đối phù hợp q trình kinh tế tài chính, việc nhận dạng, phân tích xử lý thống kê phức tạp nhiều so với mơ hình cổ điển Hiện chưa có chương trình phần mềm xử lý mơ hình ARCH nhiều chiều có ứng dụng quan trọng tài 86 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Hữu, Nguyễn Hữu Dư Phân tích thống kê dự báo, NXB : Đại học Quốc Gia Hà Nội 2003 [2] Box G.et Jenkins G (1070), Times series Analysis Forcasting and control, San Francisco, Holden Day [3] Box G., Pierce O (1970), Distrilretion of Redisual Autocorrelation in Autoregressive Integrated Moving Average Time Series models, JASA 70, 70-79 [4] Black, F.et Scholes M.,(1973), The Pricing of options and corporate Liabilities, Journal pf Political Economy, 81; 637-654 [5] Bollerslev T ,(1986), Generalixed Autoregrestive conditional Heteroscedasticity, Journal of Econometric, 31, 307-327 [6] Baba Y., Engle R., Kraft D., Kroner K., (1987), Multivariate Simultaneous Generalixed ARCH, UCSD D.P [7] Bollerslev T (1987), A conditionallly Heteroskeclastic Time Series Model for security Prices and Rate of Return Data To appear in Review of Economies and Statistics [8] Bollerslev T., Engle R., Wooldridge J., (1988), A Capital Asset fricing Model with Time Varying Covariances, Jourmal of Political Economy, 96, 116-131 [9] Bollerslev T.et Engle R.,(1989), Common Persistence in Conditional variances, U.C.S.D.D.P 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO 88 [10] Bollerslev T.et Wooldridge J.M, Quasi - maximum likelehood estimation of dynamic models with time varying covariances, D.P.MIT [11] Dicblod F, Nerlove M (1989), The Dynamie of Exchange Rate Votatility A Multivariate Latent Factor ARCH Model, Journal of Applied Econometrics, 4, 1-22 [12] Dicblod F., Nerlove M., (1988), Endogeneous Risk in a Portfolio Balance Rational Expectation Model of the Deutchmamrk - Dollar rate, European Economic Review, 32, 27-53 [13] Engle R.F ,(1982), Autoregrestive conditional Heteroscedasticity with Estimate of the variances of U.K.Inflation, Econometrica 50, 987-1008 [14] Engle R.F.et Bollerslev (1986), Modelling the persistence of conditional cariances, Econometric Review, 5,1-50 [15] Engle R.F.Lilien D and Robbins R ,(1987), Estimating Time varying Risk Premia in the structure : The ARCH-M model, Econometrica, 55, 391-407 [16] Engle R., Rodrigues A., (1987), Tests of International CAPM with time varying covariances, NBER DP 2054 [17] Gourierous C., Monfort A., Trognon A (1984), Pseudo - Maximum Likelihood Methods : Theory, Econometrica, 52, 681-700 [18] Gallant R.A (1987), Non Linear Statistical Models, Wiley [19] Gourierous C., Monfort A., (1989), Statistique et Modeles Econometriques, Economica, tomes [20] Gourierouse C et Monfort A (1990), Sinulation based inference in models with heterogeneity, Annales d’ economie et de Statistique [21] Gourieroux C., (1992), Modeles ARCH et Applications Financiesres, Economica 1992 [22] Keeman D.M (1985), A Tukey Nonadditivity - Type test for time Series Non Linearity, Biometrika, 72, 39-44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 89 [23] Ljung B.G., Box G.E.P., (1978), on a Measure of Lack of Fit in Time Series Models, Biometrika, 65, 297-303 [24] Markowitz H, (1976), Portfolio Selection, Yale University Press [25] MeLeod A.I., Li W.K., (1983), Diagnostic checking ARMA Time Series Models Using Squared Residual Autocorrelations, J.T.S.A 4, 269-273 [26] Nisio M (1960), On Pollynomial Approximation for strictly Stationary Process, Journal of the mathematical Society of Japan, 12, 207-226 [27] Nisio M (1961), Remark on the canonical Representation of Strictly Stationary Process, Journal of the mathematics (Kyoto), 1, 129-146 [28] Sharpe, W.F., (1984), Factor Models, CAPM’S and the A.P.T, Journal of Portfolio Management, 11, 21-25 [29] Weiss A.A (1986), ARCH and Bilinear Time Serie models : Comparison and combination, Journal of Business and Economic statistics 4, 59-70 ... HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO VIỆT HÙNG PHÂN TÍCH THỐNG KÊ MƠ HÌNH ARCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA... cứu thể tầm quan trọng mơ hình ARCH lý thuyết thống kê áp dụng Về phương diện thống kê mơ hình ARCH lập nên lớp mơ hình phi tuyến Với mơ hình người ta cần nghiên cứu số toán cổ điển : Kiểm tra... Người ta xét mơ hình hồi qui tuyến tính với sai số GARCH : Yt = Xt b + εt (2.2.5) Trong εt GARCH(p,q) Ví dụ : Mơ hình ARMA với sai số GARCH φ (B)Yt = θ (B)εt Trong εt thỏa mãn mơ hình GARCH(p,q) (2.2.6)