Phương trình vi phân và một số ứng dụng trong kinh tế

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————— SAYSONGDED PHOUKHAO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2019 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————— SAYSONGDED PHOUKHAO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Chuyên nghành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS HOÀNG NHẬT QUY Đà Nẵng - 2019 Mục lục Lời cám ơn i Mục lục ii Mở đầu MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.1 1.2 1.3 1.4 Một số kiến thức chung 1.1.1 Khái niệm phương trình vi phân 1.1.2 Cấp phương trình vi phân 1.1.3 Nghiệm phương trình vi phân Phương trình vi phân cấp 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Một số phương trình vi phân cấp Phương trình vi phân cấp 13 1.3.1 Khái quát chung phương trình vi phân cấp 13 1.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 14 Hệ phương trình vi phân cấp 18 1.4.1 Định nghĩa 18 1.4.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 18 iii iv MỘT SỐ MƠ HÌNH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KINH TẾ 20 2.1 Khái niệm phân tích cân động 20 2.1.1 Một số định nghĩa 20 2.1.2 Một số ví dụ ứng dụng phép tính tích phân phương trình vi phân 2.1.3 2.2 2.3 2.4 22 Ứng dụng phương trình vi phân xác định hàm cầu biết hệ số co dãn cầu 24 Phân tích cân động giá thị trường 26 2.2.1 Phát biểu mơ hình cân động 26 2.2.2 Khảo sát tính ổn định động mức giá cân 28 Mơ hình tăng trưởng Solow 31 2.3.1 Phát biểu mô hình tăng trưởng Solow 31 2.3.2 Phân tích định tính biểu đồ pha 32 2.3.3 Phân tích định lượng 35 Mơ hình thị trường với kỳ vọng giá dự báo trước 37 2.4.1 Phát biểu mơ hình 37 2.4.2 Xác định đường biến động giá 38 ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN GIẢI BÀI TỐN KINH TẾ 47 3.1 Mơ hình cân đối liên ngành động cầu vượt mức 47 3.2 Mơ hình tương tác lạm phát thất nghiệp 49 3.2.1 49 Phát biểu mơ hình v 3.2.2 3.3 Khảo sát đường biến động lạm phát, giá thất nghiệp 52 Biểu đồ pha hai biến ứng dụng 59 KẾT LUẬN 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ngày nay, với phát triển vượt bậc khoa học, kỹ thuật công nghệ tạo điều kiện tốt cho việc ứng dụng toán học vào nhiều lĩnh vực khác nói chung vào kinh tế nói riêng Xu hướng mơ hình hóa vấn đề thực tế, dùng công cụ tốn học để xử lý giúp tìm nhiều giải pháp cho nhiều vấn đề phức tạp Những thực tế chứng tỏ tốn học cơng cụ hiệu giúp cho việc phát biểu, phân tích giải vấn đề kinh tế hoạt động kinh tế cách chặt chẽ, hợp lí, mang lại lợi ích thiết thực Việc biết mô tả vấn đề kinh tế dạng mơ hình tốn học thích hợp, vận dụng phương pháp tốn học để giải quyết, phân tích, giải kiểm nghiệm kết đạt cách logic yêu cầu cấp thiết chuyên gia làm việc lĩnh vực phân tích kinh tế Trong thập kỉ gần đây, nhiều giải Nobel kinh tế trao cho cơng trình có vận dụng cách mạnh mẽ lí thuyết phương pháp tốn học phương trình vi phân, phương trình sai phân, lí thuyết xác suất thống kê, Như vậy, nghiên cứu lý thuyết phương trình vi phân ứng dụng vào giải tốn kinh tế vần đề nhà kinh tế quan tâm Xuất phát từ nhận thức với giúp đỡ, hướng dẫn tận tình TS HỒNG NHẬT QUY em chọn đề tài “PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ ” đế thực luận văn tốt nghiệp Mục tiêu nghiên cứu Đề tài nhằn nghiên cứu, hệ thống hóa lại khái niệm kết phương tình vi phân ứng dụng phương trình vi phân vào giải toán kinh tế Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức sở cần thiết, kết ứng dụng phương trình vi phân vào giải tốn kinh tế Phạm vi nghiên cứu: tài liệu, báo ngồi nước liên quan đến ứng dụng phương trình vi phân vào giải toán kinh tế Phương pháp nghiên cứu + Thu thập tài liệu báo viết phương trình vi phân ứng dụng + Phân tích tổng hợp kiến thức + Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài hệ thống hóa lại số kiến thức phương trình vi phân (chương 1) đưa số ứng dụng phương trình hệ phương trình vi phân kinh tế (chương chương 3) Những kết tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên, học viên ngành toán sinh viên học trường kinh tế Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn phần Mở đầu, giới thiệu lý chọn đề tài, mục tiêu, đối tượng, phạm vi phương pháp nghiên cứu, nội dung gồm có chương Chương hệ thống lại lý thuyết phương trình vi phân cần dùng cho ứng dụng sau Chương trình bày số mơ hình phương trình vi phân kinh tế Chương ứng dụng hệ phương trình vi phân vào giải số toán kinh tế Trong chương, ngồi phần lý thuyết mơ tả cách thức chung, cịn bao gồm ví dụ cụ thể với liệu bám sát thực tế, giúp minh họa cho lý thuyết chung vừa trình bày 61 cách tương ứng nút không ổn định, nút yên ngựa, nút trung tâm nút tiêu điểm Hình 3.1: Hình 3.2: Hình 3.3: Ví dụ: Sau đây, với mục đích minh họa ứng dụng biểu đồ pha hai biến nghiên cứu mơ hình tương tác sách 62 tiền tệ lạm phát: M − M  M  dp s d  = h d  với điều kiện h > = h dt Ms Ms (3.15) Trong M,: mức cầu tiền tệ M,: mức cung tiền tệ Mơ hình tuân theo giá thiết: tác động dư thừa mức cung tiền tệ so với mức cầu tiền tệ (Ms > Md ), làm tăng tốc độ lạm phát p, không tác động đến mức giá P, Do việc loại bỏ dư thừa thị trường tiền tệ làm cho tốc độ lạm phát ổn định, không làm cho giá ổn định Nếu giả thiết thêm mức cầu Md tiền tệ tỉ lệ với tổng sản phẩm quốc dân tỉ lệ cầu- cung tiền tệ , Ms viết sau: µ= Md aP Q = Ms Ms với a > Lấy đạo hàm theo t hai vế, có: dµ/dt da/dt dP/dt dQ/dt dMs /dt = + + − µ a P Q Ms = p + q − m, (3.16) đó: p : tốc độ lạm phát q : tốc độ tăng trưởng (ngoại sinh) sản phẩm quốc dân m : tốc độ mở rộng qui mô cung tiền tệ Các phương trình (3.15) (3.16) dẫn tới hệ phương trình sau:   p′ = h(1 − µ)  µ′ = (p + q − m)µ (3.17) 63 Do h > nên p′ = 0, − µ = Do µ > nên µ′ = 0, p + q − m = Vậy đường ranh giới p′ = 0, µ′ = đường sau: µ=1 p = m − q (3.18) Theo (3.17) ta có: ∂p′ = −h < ∂µ ∂µ′ = µ > ∂p (3.19) Trường hợp : Giả sử m = const Do đường ranh giới đường thẳng dấu đạo hàm riêng thu biểu thức (3.19), nên áp dụng phân tích tương tự hình 3.3b, với p′ , đóng vai trị x′ , µ′ , đóng vai trị y ′ Do đường ranh giới µ′ = 0, phần mặt phẳng thành hai phần trái phải với dấu − +, đường p′ = 0, phân mặt phẳng thành hai phần với dấu − +, nên chiều mũi tên quỹ đạo pha ngược chiều kim đồng hồ Lúc điểm E, có tọa độ p = m − q, µ = 1, điểm nút trung tâm Trên hình 3.4a ta thấy: thời gian thay đổi điểm (p, µ), chạy vòng quanh E, tức điểm cân E, (tại p′ = 0, µ′ = 0, ) không xảy trừ kinh tế có xuất phát điểm E Trường hợp Giả sử m = m(p′ ), với m′ (p′ ) < p′ , tăng nhà nước điều chỉnh để m, giảm (đây quy tắc thông thường việc điều chỉnh mức cung tiền tệ) Lúc này, (3.17), trở thành: 64   p′ = h(1 − µ)  µ′ = p + q − m p′ µ (3.20) Do đó, đường ranh giới là: p′ = ⇔ µ = µ′ =⇔ p = m(p′ ) − q (3.21) Theo (3.20) ta có: ∂p′ = −h < ∂µ ∂µ′ = µ > ∂p (3.22) Từ phương trình thứ hai (3.21), tức đường u =0, có: ′ dp ′ ′ dp =m p = m′ p′ dµ dµ − h > dµ > Lúc này, với dp p′ , đóng vai trò x′ , (đường ranh giới p′ = 0, đường thẳng Theo định lý hàm ngược, đường µ′ = 0, có nằm ngang µ′ = 1, ), với µ′ đóng vai trị y ′ , áp dụng phân tích tương tự hình(3.3b) Do đường ranh giới µ′ = 0, phần mặt phẳng thành hai phần trái phải với dấu − +, đường p′ = 0, phần mặt phẳng thành hai phần với dấu − +, nên chiều mũi tên quỹ đạo pha ngược chiều kim đồng hồ Lúc điểm E, có tọa độ p = m(0) − q, (do p = m(p′ ) − q = m(0) − q, p = 0, ) µ = 1, nút tiêu điểm Trên hình (3.4b) ta thấy: thời gian thay đổi điểm (p, µ), chạy vịng quanh vào điểm E, tức điểm cân E (tại p′ = 0, µ′ = 0, ) đạt sau thời gian đủ lớn 65 Hình 3.4: Chú ý: Để phân tích định lượng mơ hình (3.14), hệ (3.14), tuyến tính hóa cách áp dụng khai triển Taylor vi phân toàn phần cấp điểm cân E(¯ x,¯¯ y ) Lúc ta có hệ phương trình tương đương sau đây:   x′ − fx (x, y¯)x − fy (x, y¯)y = fx (x, y¯)¯ x + fy (x, y¯)¯ y  y ′ − g (x, y¯)x − g (x, y¯)y = g (x, y¯)¯ x + g (x, y¯)¯ y (3.23) giải hệ     ′ x f fy   − x y′ gx +gy (3.24) x y x y Bằng cách phân tích nghiệm riêng hệ (3.23) nhận thông qua (¯ x,¯ y)     x   =   y Chúng ta khảo sát tính ổn định động nghiệm hệ (3.14) KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau: Hệ thống hóa kiến thức phương trình hệ phương trình vi phân Phát biểu số mơ hình cân động ứng dụng phương trình vi phân để phân tích mơ hình cân động Ứng dụng hệ phương trình vi phân vào phân tích số mơ hình kinh tế Với thời gian hạn hẹp kiến thức chưa đủ rộng sâu nên nội dung thực nhiều hạn chế sai sót Rất mong góp ý xây dựng q thầy để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! 66 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Đình Thúy (2012), Tốn cao cấp cho nhà kinh tế Nhà xuất Đại học kinh tế quốc dân [2] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2009), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định Nhà xuất Giáo dục Tiếng Anh [3] Allen, R G D (1938), Mathematical Analysis for Economists, MacMillan and Co, Ltd, London [4] Ian Jacques (2006), Mathematics for Economics and Business, Prentice Hall, 5th edition [5] Soo T Tan (2010), Applied Mathematics for the Managerial, Life and Social Sciences, Brooks/Cole Cengage Learning, 5th edition [6] Teresa Bradley, Paul Patton (2002), Essential Mathematics for economics and business, John Wiley and Sons , 2nd edition 67 ... kết phương tình vi phân ứng dụng phương trình vi phân vào giải toán kinh tế Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức sở cần thiết, kết ứng dụng phương trình vi phân vào... kinh tế Phạm vi nghiên cứu: tài liệu, báo nước liên quan đến ứng dụng phương trình vi phân vào giải toán kinh tế Phương pháp nghiên cứu + Thu thập tài liệu báo vi? ??t phương trình vi phân ứng dụng. .. thuyết chung vừa trình bày 6 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.1 Một số kiến thức chung 1.1.1 Khái niệm phương trình vi phân Định nghĩa 1.1 Phương trình vi phân phương trình có dạng