Phương trình vi phân có chậm và ứng dụng trong nghiên cứu các bài toán về dân số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - LÊ NGUYỄN HẠNH VY PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ CHẬM VÀ ỨNG DỤNG TRONG NGHIÊN CỨU CÁC BÀI TOÁN VỀ DÂN SỐ Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2016 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Cán hướng dẫn khoa học: TS LÊ XUÂN ĐẠI (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị chữ ký) Cán chấm nhận xét 1: TS Nguyễn Bá Thi (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị chữ ký) Cán chấm nhận xét 2: PGS TS Nguyễn Văn Kính (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị chữ ký) Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách Khoa – Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh ngày…08 tháng…01…năm…2017… Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ) PGS TS Nguyễn Đình Huy - Chủ tịch hội đồng TS Nguyễn Bá Thi – Phản biện PGS TS Nguyễn Văn Kính – Phản biện TS Đặng Văn Vinh - Thư ký TS Đậu Thế Phiệt - Ủy viên Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn Bộ môn quản lý chuyên ngành sau luận văn sửa chữa (nếu có) Chủ tịch Hội đồng Trưởng khoa TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH Độc lập – Tự – Hạnh Phúc -oOo - NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: LÊ NGUYỄN HẠNH VY MSHV: 13241382 Ngày, tháng, năm sinh: 27-01-1991 Nơi sinh: Bình Định Chun ngành: Tốn ứng dụng MN: 60 46 01 12 I TÊN ĐỀ TÀI: Phương trình vi phân có chậm ứng dụng nghiên cứu toán dân số NHIỆM VỤ LUẬN VĂN: Nghiên cứu phương pháp hàm Lyapunov toán dân số năm 2016 II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: Ngày 15 tháng 08 III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: Ngày 15 IV HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS LÊ XUÂN ĐẠI tháng 12 năm 2016 Nội dung đề cương Luận văn thạc sĩ Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua Tp HCM, ngày 15 tháng 12 năm 2016 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH TS Lê Xuân Đại PGS TS Nguyễn Đình Huy KHOA QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH TS Huỳnh Quang Linh Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới Thầy hướng dẫn - Tiến sĩ Lê Xuân Đại, người tận tình hướng dẫn, cung cấp cho tơi nhiều nguồn tài liệu phong phú tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới tập thể Thầy, Cơ giáo Bộ mơn Tốn Ứng Dụng - Khoa Khoa Học Ứng Dụng - Trường Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc gia Tp.Hồ Chí Minh tận tình dạy dỗ, truyền đạt kiến thức cho tơi suốt khóa học Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, người thân ln động viên, khuyến khích giúp đỡ tơi suốt thời gian vừa qua Tôi xin gửi lời cám ơn đến tập thể lớp cao học Tốn Ứng Dụng K2013 ln đồng hành, giúp đỡ chia sẻ khó khăn tơi suốt q trình học tập Vì thời gian thực luận văn kiến thức hạn chế nên q trình thực khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đóng góp tận tình từ q Thầy Cơ bạn đọc để luận văn bổ sung hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng 12 năm 2016 Học viên Lê Nguyễn Hạnh Vy TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ Trong luận văn này, nghiên cứu vấn đề sau: Nghiên cứu tính ổn định phương pháp hàm Lyapunov phương trình vi phân có chậm Ứng dụng vào mơ hình phát triển ổn định tốn dân số Phương pháp nghiên cứu chủ yếu sử dụng luận văn dựa phương pháp hàm Lyapunov sử dụng phần mềm Matlab, Maple Kết thu là: Tiêu chuẩn ổn định phương trình vi phân có chậm thơng qua hàm Lypunov Khảo sát tính ổn định mơ hình Lotka-Volterra có chậm đơn có chậm kép Mơ quĩ đạo nghiệm cho toán Lotka-Volterra mặt phẳng Pha ABSTRACT THESIS In our thesis, we study some problems: The stability of Lyapunov function method for delay differential equations The application for the stable development models in the population problem The main method to study in the thesis based on Lyapunov function method and using Matlab and Maple We obtained some results: The stable criterion of delay differential equations through Lyapunov function To study the stability of the Lotka-Volterra model, which include the single delay model and two delays model To simulate the orbit solution for Lotka-Volterra problem in the Phase plane Lời cam đoan Trong q trình thực luận văn, tơi tham khảo tài liệu mục tài liệu tham khảo tài liệu có nguồn gốc rõ ràng, không chép luận văn khác Tơi cam đoan rằng: Luận văn viết tìm hiểu tổng hợp tài liệu thân hướng dẫn TS Lê Xuân Đại Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng 12 năm 2016 Học viên Lê Nguyễn Hạnh Vy Lời mở đầu Nhiều tượng thực tế sống vật lý, kỹ thuật, sinh học, y học, v.v mơ hình hóa tốn giá trị ban đầu, cho phương trình vi phân thường có dạng:   x(t) ˙ = g(t, x(t)), t ≥ t0  x(t0 ) = x0 , Tuy nhiên, để mơ hình phù hợp với thực tế hơn, người ta sử dụng mơ hình hóa phương trình vi phân có chậm sau: x(t) ˙ = f (t, xt ), t ≥ t0 Lý thuyết phương trình vi phân có chậm phát triển rộng rãi Bellman Cooke [13], Hale[14], Dirver [15], El’sgol’ts Norkin [16] có số sách nói vấn đề Hale Verduyn Lunel [17], Kolmanowskii Myshkis [18],v.v Việc nghiên cứu u cầu địi hỏi khơng mặt lý thuyết mà tính ứng dụng rộng rãi, thu hút quan tâm nhiều nhà toán học đưa nhiều kết quan trọng Nó góp phần xây dựng lý thuyết chung cho ngành tốn học ngành khoa học khác Nó có mặt góp phần nâng cao tính hấp dẫn, lý thú, tính đầy đủ sâu sắc, tính hiệu quả, giá trị nhiều ngành tối ưu, điều khiểu tối ưu, giải tích số, tính tốn khoa học, Vì vậy, lý thuyết trở thành lĩnh vực tốn học đại nhất, có khả ứng dụng nhiều lĩnh vực khác như: Vật lý học, Cơ học, kinh tế học, sinh thái học, hóa học, v.v Luận văn trình bày dựa vào tài liệu báo sau: - [1] Yang Kuang, Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics, 1992 - [4]Yanbin Tang, Edoardo Beretta Fortunata Solimano ,Stability analysis of a volterra predator - prey system with two delays, Volume 9, number 1, Spring 2001 - [5] Yang Kuang*, Edoardo Berrtta , Convergence Results in a Well-Known Delayed PredatorPrey Sytem, Received July 25, 1995 Đầu kỷ 20, mơ hình toán biến động dân số thiết lập mơ hình Lotka - Volterra nhiều mơ hình sinh thái học quan trọng khác Luận văn tập trung nghiên cứu phương trình vi phân có chậm thơng qua việc nghiên cứu tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định tiệm cận toàn cục dựa định lý hàm Lyapunov phương pháp định tính để ứng dụng vào mơ hình dân số Trong luận văn, sử dụng phần mềm Maple để tính thơng số cần thiết cho mơ hình, sau ta đưa thơng số cần tính vào phần mềm mơ Matlab thông qua việc lập code Kết thu quĩ đạo nghiệm biểu đồ phase mơ hình Nó cho ta thấy mức độ tăng trưởng dân số phụ thuộc vào thời gian có chậm Ngồi ra, mơ hình quan trọng việc đưa vào ứng dụng thực tiễn: thể tăng trưởng lồi khơng có có thời gian có chậm, tạo nhiều bước phát triển cho ngành khoa học khác Luận văn gồm lời nói đầu, ba chương, phụ lục tài liệu tham khảo Cấu trúc luận văn trình bày sau: Lời nói đầu Chương 1: Kiến thức phương trình vi phân có chậm Chương 2: Phương pháp Lyapunov phương trình vi phân có chậm Chương 3: Ứng dụng phương trình vi phân có chậm giải tốn mơ hình phát triển ổn định dân số Phụ lục Kết luận hướng phát triển Tài liệu tham khảo Mục lục Lời mở đầu Kiến thức phương trình vi phân có chậm 1.1 Giới thiệu số ứng dụng phương trình vi phân có chậm 10 1.2 Sơ lược phương trình vi phân có chậm 10 1.3 Một số tính chất phương trình vi phân có chậm 11 1.3.1 Tính dao động: 11 1.3.2 Nghiệm khoảng thời gian ngắn: 12 1.4 Sự biến động dân số 13 1.5 Hệ có chậm Lotka-Volterra kẻ săn mồi - mồi 14 1.6 Một số nhận xét quan trọng: 15 Phương pháp Lyapunov phương trình vi phân có chậm 10 16 2.1 Một số kiến thức bản, định nghĩa ký hiệu 16 2.2 Sự tồn tính 17 2.3 Hệ động lực học bất biến 17 2.4 Tính ổn định Lyapunov phương trình vi phân có chậm 18 2.4.1 Định nghĩa tính ổn định 18 2.4.2 Định nghĩa tính ổn định Lyapunov 19 2.4.3 Định lý tính ổn định Lyapunov 19 2.5 Tính ổn định tồn cục cho mơ hình nhiều lồi 23 2.6 Tính ổn định theo hàm Lyapunov 23 Ứng dụng phương trình vi phân có chậm giải tốn mơ hình phát triển ổn định dân số 3.1 28 Giới thiệu sơ lược 28 MỤC LỤC 3.2 MỤC LỤC Mơ hình Lotka - Volterra có chậm: 29 3.2.1 Mơ hình động vật ăn thịt mồi Lotka - Volterra có chậm đơn: 29 3.2.2 Mơ hình động vật ăn thịt mồi Lotka - Volterra có chậm kép 39 Kết luận 56 Phụ lục 57 Tài liệu tham khảo 63 ... thức phương trình vi phân có chậm 1.1 Giới thiệu số ứng dụng phương trình vi phân có chậm 10 1.2 Sơ lược phương trình vi phân có chậm 10 1.3 Một số tính chất phương trình. .. Kiến thức phương trình vi phân có chậm Chương 2: Phương pháp Lyapunov phương trình vi phân có chậm Chương 3: Ứng dụng phương trình vi phân có chậm giải tốn mơ hình phát triển ổn định dân số Phụ... Chun ngành: Tốn ứng dụng MN: 60 46 01 12 I TÊN ĐỀ TÀI: Phương trình vi phân có chậm ứng dụng nghiên cứu toán dân số NHIỆM VỤ LUẬN VĂN: Nghiên cứu phương pháp hàm Lyapunov toán dân số năm 2016 II