Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số có chậm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC PHẠM KIM QUÝ BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CÓ CHẬM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC PHẠM KIM QUÝ BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CÓ CHẬM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112 Cán hướng dẫn: PGS TSKH Vũ Hoàng Linh Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TSKH Vũ Hoàng Linh, người dành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn tận tình bảo suốt trình thực luận văn Nhân em xin gửi lời cảm ơn đến ban lãnh đạo thầy cô giáo, anh/chị cán trường ĐHKHTN - ĐHQGHN nói chung khoa Toán - Cơ - Tin học nói riêng tạo điều kiện thuận lợi nhất, giúp đỡ em thời gian em học tập, nghiên cứu trường Tôi xin cảm ơn anh chị bạn chuyên ngành Toán ứng dụng động viên ý kiến trao đổi quý báu thân thời gian qua Cuối xin bày tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân chỗ dựa tinh thần vật chất sống học tập Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2015 Học viên Phạm Kim Quý DANH MỤC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT • AC([0, ∞), Cn): Không gian hàm liên tục tuyệt đối từ [0, ∞) vào Cn • C: Tập số phức k • Cpw (I, Cn): Không gian hàm khả vi liên tục khúc cấp k từ I vào Cn • diag(σ1, σ2): Ma trận đường chéo với phần tử chéo σ1 , σ2 • K: K = R K = C • PTVP: Phương trình vi phân • PTVP ĐS: Phương trình vi phân đại số • R: Tập số thực • rank A: Hạng ma trận A Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm ma trận 1.1.1 Ma trận Metzler, ma trận dương Nghịch đảo Drazin 1.1.2 Khai triển kì dị 1.1.3 Phổ số 10 1.2 Chuẩn véc-tơ chuẩn ma trận 12 1.3 Một số khái niệm phương trình vi phân 13 Một số kết bán kính ổn định 16 2.1 Bán kính ổn định hệ phương trình vi phân đại số 16 2.2 Bán kính ổn định phương trình vi phân thường có chậm 27 2.2.1 Bán kính ổn định PTVP thường có chậm 28 2.2.2 Hệ dương có chậm 30 Bán kính ổn định hệ phương trình vi phân đại số có chậm 33 3.1 Các khái niệm mở đầu 34 3.2 Tính ổn định mũ phương trình vi phân đại số có chậm 39 3.3 Tính ổn định mũ vững 44 Tài liệu tham khảo 58 Mở đầu Bài toán bán kính ổn định PTVP ĐS có chậm (Delay Differential Algebraic Equations) toán nghiên cứu tính ổn định, ổn định vững xây dựng công thức tính toán bán kính ổn định thực/phức cho PTVP ĐS có chậm, dạng: E x(t) ˙ = Ax(t) + Dx(t − τ ), E, A, D ∈ Cn×n, x : I → Cn , I = [0, ∞), τ > độ trễ thời gian, det E = Trong tài liệu này, tính chất P hệ gọi vững tính chất bảo toàn nhiễu tùy ý ε (đủ nhỏ) tác động lên hệ Ngoài việc quan tâm tới tính vững tính chất, người ta quan tâm tới độ vững tính chất mà đại lượng quan trọng để đánh giá khái niệm bán kính thuộc tính (được đo mê-tric tương thích) Trong khuôn khổ luận văn, tính chất P xét tính ổn định, hệ xét hệ PTVP ĐS có chậm tuyến tính hệ số hằng, chịu tác động nhiễu có cấu trúc PTVP ĐS có chậm trường hợp tổng quát PTVP ĐS (Differential Algebraic Equations) PTVP thường có chậm (Delay Ordinary Differential Equations) Trong PTVP ĐS mô hình toán học cho nhiều hệ động lực nhiều lĩnh vực ứng dụng chẳng hạn mô mạch điện, lý thuyết điều khiển, động lực chất lỏng, kĩ thuật hóa học, PTVP ĐS có chậm cần thiết để mô hình hóa tác động không tức thời (có chậm) Không giống trường hợp PTVP thường có chậm PTVP ĐS, việc nghiên cứu tính ổn định PTVP ĐS có chậm gặp nhiều khó khăn bao gồm phần ràng buộc đại số độ trễ thời gian, chí lý thuyết tồn nghiệm thu nhiều kết Khó khăn rõ rệt phân tích tính ổn định Hầu hết kết biết tính ổn định PTVP ĐS có chậm trường hợp quy có hệ số vài trường hợp có dạng đặc biệt Nhiều kết biết PTVP thường có chậm PTVP ĐS chuyển sang PTVP ĐS có chậm Bài báo [5] sở thực luận văn Trong tài liệu này, tác giả nghiên cứu tính ổn định hệ thông qua mối quan hệ tập phổ với tập C− với số điều kiện kèm theo Và để thu công thức tính toán bán kính ổn định PTVP ĐS có chậm, việc phân tích phức tạp với việc sử dụng hàm truyền G(λ)(transf erf unctions) Trong luận văn, tác giả đề cập đến dạng PTVP tuyến tính hệ số Luận văn gồm 56 trang, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm có ba chương: ⋄ Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tóm tắt số kiến thức sử dụng luận văn, chủ yếu kiến thức mở rộng ma trận, véc-tơ chuẩn ⋄ Chương Một số kết bán kính ổn định Nội dung chương giới thiệu số kết công thức bán kính ổn định PTVP ĐS PTVP thường có chậm tuyến tính hệ số trường hợp đặc biệt phương trình vi phân đại số có chậm ⋄ Chương Bán kính ổn định hệ phương trình vi phân đại số có chậm Chương nội dung luận văn Trong đó, phân tích chứng minh kết bán kính ổn định phức PTVP ĐS có chậm tuyến tính hệ số Và kết đưa công thức tính toán bán kính ổn định Quá trình tìm hiểu, nghiên cứu vấn đề không tránh khỏi sai sót, hạn chế Do đó, em mong nhận góp ý thầy cô để luận văn hoàn chỉnh Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày tóm tắt số kiến thức cần dùng cho phân tích, chứng minh luận văn vài ví dụ minh họa Cụ thể số kiến thức mở rộng ma trận, chuẩn vài kiến thức PTVP 1.1 Một số khái niệm ma trận 1.1.1 Ma trận Metzler, ma trận dương Nghịch đảo Drazin Định nghĩa 1.1 Cho ma trận A = [aij ] ∈ Rn×n, ≤ i, j ≤ n Khi đó: A gọi ma trận Metzler tất phần tử, ngoại trừ phần tử đường chéo chính, không âm, tức aij ≥ 0, ∀i = j A gọi ma trận không âm (nonnegative matrix) viết A ≥ aij ≥ 0, ∀i, j = 1, 2, , n A gọi ma trận dương (positive matrix) tất phần tử A dương, tức aij > 0, ∀i, j = 1, 2, , n, kí hiệu A > Trong đại số tuyến tính, biết đến khái niệm ma trận nghịch đảo ma trận vuông khả nghịch Mở rộng khái niệm có khái niệm nghịch đảo khác, chẳng hạn: nghịch đảo nhóm, nghịch đảo Drazin, nghịch đảo suy rộng Trong phần trình bày khái niệm nghịch đảo Drazin vài kết liên quan Định nghĩa 1.2 Cho ma trận A ∈ Cn×n Khi đó: Số tự nhiên k gọi số A kí hiệu ind(A) = k k số tự nhiên nhỏ thỏa mãn rank Ak = rank Ak+1 Ma trận X ∈ Cn×n gọi nghịch đảo Drazin A X thỏa mãn đồng thời biểu thức Ak XA = Ak , XAX = X, AX = XA Trong đó, k = ind(A) Nghịch đảo Drazin ma trận A kí hiệu AD Từ định nghĩa ta có rằng, khái niệm nghịch đảo thông thường trường hợp đặc biệt nghịch đảo Drazin, tức A khả nghịch theo nghĩa thông thường AD = A−1 Ta có số kết sau nghịch đảo Drazin Định lý 1.3 Trong định lý ta xét ma trận vuông Khi ta có khẳng định sau: (a) Nghịch đảo Drazin ma trận A tồn nhất, (b) Nghịch đảo Drazin ma trận lũy linh ma trận không, (c) Nếu P ma trận chiếu, P = P , có số ind P ≤ P D = P , (d) (A∗ )D = (AD )∗ , (e) (AT )D = (AD )T Ví dụ sau ma trận nghịch đảo Drazin ma trận suy biến Ví dụ 1.1 Xét ma trận: 0 A= 0 0 Ta có rank A = 2, rank A2 = rank A3 = nên ind(A) = Vì det A = 0, nên không tồn A−1 Tuy nhiên ta kiểm tra 0 X= 0 0 0 thỏa mãn điều kiện Định nghĩa 1.2, tức AD = X 1.1.2 Khai triển kì dị Khai triển kì dị (Singular Value Decomposition) công cụ đại số tuyến tính mạnh hữu dụng, sử dụng nhiều toán liên quan đến ma trận mà áp dụng phương pháp khử Gauss hay phân tích LU cho kết với sai số lớn Phân tích SVD dựa định lý sau, xem [6] Định lý 1.4 Cho A ∈ Cm×n Khi tồn ma trận trực giao U ∈ Cm×m, V ∈ Cn×n ma trận đường chéo D := diag(σ1, , σr ) σi, ≤ i ≤ r, bậc hai dương (kể bội) giá trị riêng ma trận A∗ A thỏa mãn D A = U 0 V ∗ D Ta thường ký hiệu Σ := 0 ∈ Rm×n khai triển A = U ΣV ∗ gọi khai triển kỳ dị ma trận A Các véc-tơ cột ma trận U gọi véc-tơ kỳ dị trái, véc-tơ cột ma trận V gọi véc-tơ kỳ dị phải, σi gọi giá trị kỳ dị ma trận A Để tìm khai triển kì dị ma trận A ta tìm véc-tơ riêng ma trận A∗ A AA∗ Cụ thể véc-tơ riêng đơn vị A∗ A véc-tơ cột V , véc-tơ riêng đơn vị AA∗ véc-tơ cột U , giá trị kỳ dị A bậc hai giá trị riêng Giả sử hệ (3.1) ổn định mũ xét hệ bị nhiễu (E + B1 ∆1C)x(t) ˙ = (A + B2 ∆2C)x(t) + (D + B3∆3 C)x(t − τ ), (3.24) ∆i ∈ Cpi ×q , i = 1, 2, nhiễu Bi ∈ Cn×pi , i = 1, 2, 3, C ∈ Cq×n ma trận hạn chế cấu trúc nhiễu Ta xét ma trận Ci khác hệ số, để đơn giản, ta giả sử cấu trúc cột nhiễu giống hệ số Đặt ∆1 ∆ = ∆ , B = [ B1 B2 B3 ] , (3.25) ∆3 p = p1 + p2 + p3 Ta xét tập nhiễu gây bất ổn định VC (E, A, D; B, C) = {∆ ∈ Cp×q : (3.24) không ổn định mũ} Khi ta định nghĩa bán kính ổn định phức có cấu trúc (3.1) chịu tác động nhiễu có cấu trúc (3.24) rC(E, A, D; B, C) = inf{ ∆ : ∆ ∈ VC (E, A, D; B, C)}, (3.26) đó, chuẩn ma trận sinh chuẩn véc-tơ Nếu xét nhiễu ∆ thực ta sử dụng thuật ngữ bán kính ổn định thực có cấu trúc, đây, nghiên cứu bán kính ổn định phức có cấu trúc Với H (3.4), ta đưa hàm chuyển đổi G1 (λ) = −λCH(λ)−1B1 , G2(λ) = CH(λ)−1B2 , G3(λ) = e−λτ CH(λ)−1B3 , (3.27) G(λ) = [G1 (λ) G2 (λ) G3 (λ)] ta thu công thức hiển cho bán kính ổn định có cấu trúc Định lý 3.8 Giả sử (3.1) ổn định mũ Khi bán kính ổn định có cấu trúc (3.1) chịu tác động nhiễu có cấu trúc (3.24) thỏa mãn bất đẳng thức rC (E, A, D; B, C) ≤ 45 sup Re λ≥0 G(λ) −1 (3.28) + + Chứng minh Gọi ǫ số dương tùy ý λ0 ∈ C , C = {λ ∈ C, Re λ ≥ 0} nửa mặt phẳng phức đóng, cho G(λ0) −1 ≤ sup G(λ) −1 + ǫ Re λ≥0 Gọi u ∈ Cn cho u = G(λ0 )u = G(λ0 ) Hơn nữa, gọi y ∈ Cq cho y = y ∗ (G(λ0)u) = G(λ0 )u = G(λ0 ) Đặt ∆ = G(λ0) −1 uy ∗ , x = H(λ0 )−1 −λ0 B1 B2 e−λ0 τ B3 u (3.29) Khi ∆ ≤ G(λ0 ) ∆G(λ0)u = Vì u = nên ∆ ≥ G(λ0 ) −1 −1 u y = G(λ0) u G(λ0) −1 , (3.30) G(λ0) = u , ∆ = G(λ0 ) −1 Vì G(λ0)u = CH(λ0)−1 −λ0 B1 B2 e−λ0 τ B3 u = nên −λ0 B1 B2 e−λ0 τ B3 u = 0, suy x = Mặt khác, từ (3.29) (3.30), ta có H(λ0 )x = −λ0 B1 B2 e−λ0 τ B3 u = −λ0 B1 B2 e−λ0 τ B3 ∆G(λ0)u = −λ0 B1 B2 e−λ0 τ B3 ∆CH(λ0)−1 −λ0 B1 B2 e−λ0 τ B3 u = −λ0 B1 B2 e−λ0 τ B3 ∆Cx = (−λ0 B1∆1 C1 + B2 ∆2C2 + e−λ0 τ B3∆3 C3)x 46 Do (λ0(E + B1 ∆1C1 ) − (A + B2∆2 C2) − e−λ0 τ (D + B3 ∆3C3))x = Tức λ0 nghiệm hàm đặc trưng liên kết với (3.24) Vì Re λ0 ≥ nên (3.24) không ổn định mũ Do ∆ ∈ VC (E, A, D; B, C), nghĩa rC(E, A, D; B, C) ≤ ∆ = G(λ0 ) −1 ≤ sup G(λ) −1 + ǫ Reλ≥0 Vì ǫ tùy ý nên rC (E, A, D; B, C) ≤ sup G(λ) −1 Re λ≥0 Từ ta có điều phải chứng minh Với nhiễu ∆ (3.25), ta xác định H∆ = λ(E + B1∆1 C) − (A + B2 ∆2C) − e−λτ (D + B3 ∆3C) (3.31) có mệnh đề sau Mệnh đề 3.9 Xét hệ (3.1) hệ bị nhiễu (3.24) Nếu hoành phổ liên kết thỏa mãn α(H) < α(H∆ ) ≥ ∆ ≥ sup G(λ) −1 (3.32) Re λ≥0 Chứng minh Nếu supRe λ≥0 G(λ) = ∞ (3.32) tầm thường Do đó, ta giả sử supRe λ≥0 < ∞ Vì α(H∆ ) ≥ nên ta có hai trường hợp: Trường hợp Tồn λ0 ∈ σ(H∆ ) cho Re λ0 ≥ Khi đó, tồn x ∈ Cn khác cho H∆ (λ0 )x = ta có = H∆ (λ0)x = H(λ0)x − −λ0 B1 B2 e−λ0 τ B3 ∆Cx Vì H(λ0 ) khả nghịch nên H(λ0 )x = 0, x = H(λ0 )−1 −λ0 B1 B2 e−λ0 τ B3 ∆Cx, 47 (3.33) có Cx = Nhân bên trái hai vế (3.33) với C , ta Cx = CH(λ0)−1 −λ0 B1 B2 e−λ0 τ B3 ∆Cx = G(λ0 )∆Cx, Cx ≤ G(λ0 ) ∆ Cx Suy ∆ ≥ G(λ0 ) −1 ≥ −1 sup G(λ) λ∈C + Trường hợp Tồn dãy {λj }∞ j=1 cho λj ∈ σ(H∆ ) Re λj < với j , limj→∞ Re λj = Khi đó, với j đủ lớn, ta có Re λj > α(H), tức λj ∈ σ(H) Tương tự việc chứng minh trường hợp 1, ta có ∆ ≥ G(λj ) −1, ∆ ≥ sup G(λ) −1 Re λ≥Re λj Vì G(λ) liên tục supRe λ≥0 G(λ) < ∞, cho j → ∞ ta thu ∆ ≥ lim sup j→∞ Re λ≥Re λj G(λ) −1 = sup G(λ) −1 Re λ≥0 Vậy ta có điều phải chứng minh Như biết trường hợp PTVP ĐS chậm bị nhiễu Chương 2, [2], cần thiết để hạn chế nhiễu để có khái niệm nghĩa bán kính ổn định có cấu trúc, PTVP ĐS bị tính quy và/hoặc tính ổn định tác động nhiễu nhỏ Do đó, giới đưa khái niệm tập nhiễu chấp nhận sau Định nghĩa 3.10 Xét (3.1) tính chất lạ gọi W ∈ Cn×n thỏa mãn (3.7) Một nhiễu có cấu trúc (3.24) gọi chấp nhận (3.24) có tính chất lạ với ba (d, a, h) Tức là, 48 tồn ma trận không suy biến W ∈ Cn×n cho E1 ,   A1 W −1(A + B2 ∆2C) = A2 ,   D1 −1 W (D + B3 ∆3C) = D2  D3 W −1(E + B1 ∆1C) = (3.34) Ở E1 , A1 , D1 ∈ Cd×n , A2 , D2 ∈ Ca×n, D3 ∈ Ch×n cho T E1  A2  D3  khả nghịch Giả sử ma trận Bi, i = 1, 2, ma trận hạn chế cấu trúc có dạng B11 B21 B31 W −1B1 = B12 , W −1B2 = B22 , W −1B3 = B32 B13 B23 B33 (3.35) Ở Bj1 ∈ Cd×pj , Bj2 ∈ Ch×pj , Bj3 ∈ Ch×pj , j = 1, 2, Theo [2], Bổ đề 3.3, nhiễu có cấu trúc chấp nhận B12 ∆1 C = 0, B13∆1 C = B23 ∆2 C = Do đó, để đơn giản, ta giả sử B12 = 0, B13 = B23 = (3.36) Dễ thấy rằng, tất nhiễu có cấu trúc mà Bi , i = 1, 2, thỏa mãn (3.36), nhiễu ∆ đủ nhỏ thuộc tính tính chất lạ bảo toàn với khối cỡ Kí hiệu cận (infimum) chuẩn tất nhiễu ∆ mà (3.24) có tính chất lạ cỡ khối d, a, h thay đổi dsC (E, A, D; B, C), ta có mệnh đề sau 49 Mệnh đề 3.11 Giả sử (3.1) tính chất lạ chịu tác động nhiễu có cấu trúc với Bi, i = 1, 2, thỏa mãn (3.36) Khi E1 s dC(E, A, D; B, C) = C A2 D3 −1 B11 0 B22 0 B33 −1 Chứng minh Với ma trận Bi , i = 1, 2, thỏa mãn (3.36), hệ bị nhiễu (3.24) tính chất lạ với E1 , A1 , D1 ∈ Cd×n , A2 , D2 ∈ Ca×n, D3 ∈ Ch×n (như (3.34)) E1 E1 + B11∆1C B11 0 A2 + B22∆2C = A2 + B22 ∆C D3 + B33∆3 C 0 B33 D3 không suy biến Do đó, toán khoảng cách toán tính khoảng cách ma trận không suy biến đến ma trận suy biến gần Bài toán chứng minh, xem [13], ma trận   E1 E1 + B11∆1C  A2  = A2 + B22 ∆2 C D3 + B33∆3C D3 không suy biến E1 ∆ < C A2 D3 −1 B11 0 B22 0 B33 −1 (đpcm) Mệnh đề 3.12 Xét hệ (3.1) với α(H) < Giả sử hệ tính chất lạ chịu tác động nhiễu có cấu trúc (3.24) với ma trận hạn chế Bi , i = 1, 2, thỏa mãn (3.36) nhiễu ∆ thỏa mãn ∆ < sup G(λ) −1 Re λ≥0 Khi nhiễu có cấu trúc chấp nhận được, tức phương trình bị nhiễu (3.24) tính chất lạ với khối cỡ d, a h 50 Chứng minh Ta chứng minh sup G(λ) Re λ≥0 −1 E1 ≤ C A2 D3 −1 B11 0 B22 0 B33 −1 (3.37) Ta viết lại G sau G(λ) = CH(λ)−1 −λB1 B2 e−λτ B3  −1   λE1 − A1 − e−λτ D1 −λB11 B21 e−λτ B31 = C  −A2 − e−λτ D2   B22 e−λτ B32 −e−λτ D3 0 e−λτ B33 =: CF (λ) Do ta có     λE1 − A1 − e−λτ D1 −λB11 B21 e−λτ B31  −A2 − e−λτ D2  F (λ) =  B22 e−λτ B32  −e−λτ D3 0 e−λτ B33 Nếu λ = điều tương đương với     −λτ −λτ −E1 + A1/λ + e D1/λ B11 −B21/λ −e B31/λ −λτ    F (λ) = −A2 − e D2 B22 e−λτ B32  −D3 0 B33 Vì   −E1 + A1/λ + e−λτ D1 /λ E1 −λτ   lim = − A2 −A2 − e D2 Re λ→+∞ D3 −D3  B11  Re λ→+∞ lim  −B21/λ −e B31/λ B11 0 −λτ  B = 22 B22 e B32 0 B33 B33 −λτ nên limRe λ→+∞ F (λ) tồn E1 lim F (λ) = − A2 Re λ→+∞ D3 −1 B11 0 B22 0 B33 Do ta có E1 lim G(λ) = C lim F (λ) = −C A2 Re λ→+∞ Re λ→+∞ D3 51 −1 B11 0 B22 , 0 B33 (3.37) thỏa mãn Rõ ràng sup G(λ) −1 Re λ≥0 ≤ lim Re λ→+∞ G(λ) −1 Từ mệnh đề 3.11 ta có ∆ < sup G(λ) −1 Re λ≥0 Khi đó, hệ bị nhiễu (3.24) tính chất lạ với khối cỡ d, a, h (3.1) (đpcm) Chúng ta kết hợp kết để mô tả bán kính ổn định PTVP ĐS có chậm tính chất lạ tác động nhiễu có cấu trúc phù hợp Định lý 3.13 Giả sử (3.1) ổn định mũ, tính chất lạ chịu tác động nhiễu có cấu trúc (3.24) với ma trận cấu trúc B1, B2, B3 thỏa mãn (3.36) Khi rC (E, A, D; B, C) = sup G(λ ) −1 (3.38) Re λ≥0 Hơn nữa, ∆ < rC (E, A, D; B, C) (3.24) tính chất lạ với khối cỡ d, a, h với (3.1) Chứng minh Từ (3.28), ta có rC (E, A, D; B, C) ≤ sup G(λ ) −1 Re λ≥0 Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, gọi ∆ nhiễu tùy ý làm cho (3.1) tính ổn định mũ Giả sử ∆ < sup G(λ ) −1 Re λ≥0 Vì (3.1) tính chất lạ ổn định mũ, ta có α(H) < 0; từ Mệnh đề 3.9, ta có α(H∆ ) < Khi đó, từ Mệnh đề 3.12 phương trình 52 bị nhiễu (3.24) tính chất lạ, đó, theo Định lý 3.4, ta thu phương trình bị nhiễu (3.24) ổn định mũ, điều mâu thuẫn Vậy ∆ ≥ rC (E, A, D; B, C) ≥ sup G(λ ) −1 Re λ≥0 supRe λ≥0 G(λ ) −1 , tức ta có (3.38) Cuối cùng, từ Mệnh đề 3.12, ta có (3.24) tính chất lạ ∆ < rC(E, A, D; B, C) (đpcm) Nhận xét Do nguyên lý cực đại [5] nên cận G(λ) nửa phải mặt phẳng phức đạt điểm xác định trục ảo vô Đối với PTVP ĐS có chậm tính chất lạ supReλ≥0 G(λ) = supRe λ=0 G(λ) , tức rC (E, A, D; B, C) = sup G(λ) −1 Re λ=0 Như hệ quả, ta có kết tương tự cho trường hợp đặc biệt hệ tính chất lạ mà cặp (E, A) quy ind(E, A) ≤ Hệ 3.14 Xét hệ (3.1) với (E, A) quy thỏa mãn ind(E, A) ≤ 1, giả sử hệ ổn định mũ có dạng (1.1) Nếu hệ chịu tác động nhiễu có cấu trúc (3.24), ma trận cấu trúc B1 thỏa mãn W −1B1 = B11 , với B11 ∈ Cd×p1 Khi bán kính ổn định có cấu trúc cho công thức rC (E, A, D; B, C) = sup G(λ) −1 Re λ=0 Với PTVP ĐS chậm, ta biết [4] mục 2.1 rằng, nhiễu bảo toàn cấu trúc lũy linh dạng Weierstrass-Kronecker, ta mô tả bán kính ổn định có cấu trúc trường hợp (E, A) quy ind(E, A) > Ở mục 3.2, ta thấy tính ổn định mũ mô tả phổ H ta giả sử N D21 = N D22 = Sau đây, ta giả sử tính chất ổn định mũ 53 bảo toàn phương trình bị nhiễu (3.24), ma trận cấu trúc B1, B2, B3 thỏa mãn W −1B1 = B31 B11 B21 −1 −1 , W B2 = , W B3 = B32 , N B32 = 0, (3.39) Bj1 ∈ Cd×pj , j = 1, 2, 3, B32 ∈ C(n−d)×p3 W ∈ Cn×n, N ∈ C(n−d)×(n−d) dạng (1.1) Xét hệ bị nhiễu không làm thay đổi cấu trúc lũy linh dạng Weierstrass-Kronecker (E, A), tức ma trận lũy linh N không gian bất biến trái tương ứng liên kết với giá trị đặc trưng ∞ bảo toàn, xem [2] cho trường hợp ind(E, A) = D = Tương tự phương pháp tiếp cận [2], ta đưa khoảng cách tới cặp gần có cấu trúc lũy linh thay đổi dnC (E, A, D; B, C) = inf{ ∆ : (3.24) không bảo toàn cấu trúc lũy linh} Với giả thiết (3.39), ta có kết sau cho trường hợp PTVP ĐS chậm Mệnh đề 3.15 Xét (3.1) với (E, A) quy ind(E, A) > 1, chịu tác động nhiễu biến đổi thỏa mãn (3.39) Khi đó, khoảng cách đến hệ gần có cấu trúc lũy linh thay đổi cho công thức dnC (E, A, D; B, C) = C11B11 −1 , C = [C11 C12 ] với C11 ∈ Cq×r , C12 ∈ Cq×(n−r) Chứng minh Từ (3.39), cấu trúc lũy linh phương trình bị nhiễu (3.24) bảo toàn ma trận bị nhiễu Ir + B11 ∆1 C11 không suy biến Do đó, sử dụng lại khoảng cách ma trận không suy biến đến ma trận suy biến gần nhất, xem [13], ta thu dnC (E, A, D; B, C) = C11B11 −1 (đpcm) Định lý 3.16 Xét (3.1) ổn định mũ với (E, A) quy, ind(E, A) > giả sử (3.1) chịu tác động nhiễu biến đổi thỏa mãn (3.39) 54 Khi đó, bán kính ổn định cho công thức rC (E, A, D; B, C) = sup G(λ) −1 Re λ=0 Hơn nữa, ∆ < rC(E, A, D; B, C) (E+C∆1B1 , A+C∆2B2 ) quy cấu trúc lũy linh dạng Weierstrass-Kronecker (1.1) hệ bị nhiễu ổn định mũ Chứng minh Với giả thiết (3.39), tính toán đơn giản, ta lim Re λ→+∞ G1(λ) = C11B11 , lim Re λ→+∞ G2(λ) = lim Re λ→+∞ G3 (λ) = Do đó, limRe λ→+∞ G(λ) = C11 B11 Từ thực tế supRe λ≥0 G(λ) ≥ limRe λ→+∞ G(λ ) Mệnh đề 3.15, phần lại chứng minh tương tự với chứng minh Định lý 3.13 Sử dụng nguyên lý cực đại, ta nhận supRe λ≥0 G(λ) = supRe λ=0 G(λ) (đpcm) Để minh họa kết phần này, ta xét ví dụ sau Ví dụ 3.4 Xét PTVP ĐS tuyến tính tính chất lạ −1 0 0 x (t) = x(t) + 1 x(t − 1), 0 0 0 0 (3.40) với (E, A) suy biến, chịu tác động nhiễu có cấu trúc + δ11 δ12 δ13 0 0 , E= 0 ❀E= 0 0 0 −1 + 3δ21 3δ22 3δ23 −1 δ21 + δ22 δ23 , A= ❀A= 0 0 0 2δ31 + 2δ32 2δ33 D = 1 ❀ D = 2δ31 + 2δ32 + 2δ33 0 δ31 δ32 + δ33 Và giới thiệu lại dạng (3.24) với δ11 δ12 δ13 B1 = , B2 = , B3 = , C = I3 , ∆ = δ21 δ22 δ23 0 δ31 δ32 δ33 55  + λ −2(2 + e−λ ) Ta có, H(λ) = λE − A − e−λ D =  −2 − e−λ −e−λ  dễ 0 −e−λ kiểm tra α(H) < (3.40) ổn định mũ Bằng tính toán đơn giản, ta có  −λ  1+λ 1+λ −e−λ  −1 G(λ) =  −λ 2+e 2+e−λ 0 −1  với chuẩn max C3×3 nên supλ∈iR G(λ) Do đó, Định lý 3.13 ta có rC(E, A, D; B, C) = supλ∈iR G(λ) ∞ ∞ = G(iπ) ∞ = = Ta ý rằng, việc sử dụng (3.29), nhiễu gây bất ổn định xây dựng 0 ∆ = −1/2 , 1/2 với chuẩn 1/2 Hơn nữa, người ta kiểm tra với ∆ này, hệ bị nhiễu tính chất lạ α(H∆ ) = 0, có nghĩa hệ bị nhiễu không ổn định tiệm cận 56 Kết luận Luận văn hoàn thành Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học KHTN, ĐHQGHN sở báo [5] tính ổn định ổn định vững PTVP ĐS có chậm Kết luận văn xây dựng lại điều kiện cần đủ cho tính ổn định vững PTVP ĐS có chậm tác động nhiễu có cấu trúc, đồng thời công thức tính toán bán kính ổn định phức, vài trường hợp đặc biệt xét Chương PTVP ĐS PTVP thường có chậm Các kết thu luận văn khiêm tốn, phạm vi nghiên cứu chưa rộng (chỉ hệ tuyến tính hệ số hằng) Tuy nhiên, số vấn đề đặt nghiên cứu phổ điều kiện tính ổn định mũ PTVP ĐS trường hợp tổng quát công thức bán kính ổn định thực toán mở 57 Tài liệu tham khảo [1] Ascher U.M., Petzold L.R (1998): Computer methods for Ordinary Differential equations and differential-algebraic equations, SIAM [2] Byers R., Nichols N.K (1993): "On the stability radius of a generalized state-space system", Linear Algebra and its Applications, Vol 188–189, 113–134 [3] Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh (2005): "Implicit-system approach to the robust stability for a class of singularly perturbed linear systems", Systems and Control Letters, Vol 54, 33–41 [4] Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh, Mehrmann V (2013), "Robust Stability of Differential-Algebraic Equations", Surveys in DifferentialAlgebraic Equations I, 63-95, Springer [5] Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh, Mehrmann V., Đỗ Đức Thuận (2013): "Stability and robust stability of linear time-invariant delay differential-algebraic equations", SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, Vol 34, 1-32 [6] Golub G.H., Van Loan C.F (1996): Matrix Computations, 3rd edn The Johns Hopkins University Press, Baltimore P [7] Ha P., Mehrmann (2012): "Analysis and reformulation of linear delay differential-algebraic equations", Electronic Journal of Linear Algebra, Vol 23, 703-730 [8] Hale J.K (1977): Theory of functional-differential equations, SpringerVelag, Newyork-Heidelberg-Berlin 58 [9] Kunkel and V Mehrmann (2006): Differential-algebraic equations Analysis and numerical solution, EMS Publishing House, Z¨ urich, Switzerland [10] Vũ Hoàng Linh, Đỗ Đức Thuận (2015), "Spectrum-Based Robust Stability Analysis of Linear Delay Differential-Algebraic Equations", Numerical Algebra, Matrix Theory, Differential-Algebraic Equations and Control Theory, Springer International Publishing Switzerland, 533557 [11] Michiels W (2011): Spectrum-based stability analysis and stabilisation of systems described by delay differential algebraic equations, IET Control theory Appl [12] Qiu L., Bernhardsson B., Rantzer A., Davison E.J., Young P.M., Doyle J.C (1995): "A formula for computation of the real stability radius", Automatica, Vol 31, 879–890 [13] Nguyễn Khoa Sơn, Đỗ Đức Thuận (2011): "On the radius of surjectivity for rectan-gular matrices and its application to measuring stabilizability of linear systems under structured perturbations", Journal of Nonlinear and Convex Analysis, Vol 12 , 441–453 59 [...]... ta tiếp tục đề cập đến tính ổn định cũng như bán kính ổn định của PTVP thường có chậm cùng với một trường hợp đặc biệt của nó là hệ dương có chậm 26 2.2 Bán kính ổn định của phương trình vi phân thường có chậm Trong phần này, chúng tôi trình bày về tính ổn định vững và bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân thường có chậm (Delay Ordinary Differential Equations), [10], có dạng x(t) ˙ = Ax(t) + Dx(t... thường của (2.16) là ổn định /ổn định mũ /ổn định tiệm cận thì ta cũng nói rằng (2.16) là ổn định /ổn định mũ /ổn định tiệm cận Cũng giống như trường hợp PTVP ĐS, đối với PTVP thường có chậm tuyến tính hệ số hằng thì hai khái niệm ổn định mũ và ổn định tiệm cận là tương đương Hơn nữa, từ tính ổn định tiệm cận địa phương ta suy ra tính ổn định tiệm cận toàn cục 2.2.1 Bán kính ổn định của PTVP thường có chậm. .. hợp PTVP thường tuyến tính hệ số hằng Định lý 2.15 Giả sử (2.16) ổn định mũ và chịu tác động của nhiễu có cấu trúc dạng (2.21) Khi đó bán kính ổn định phức của (2.16) được cho bởi công thức rCB,C (A) = 1 sups∈iR G(s) Không giống như bán kính ổn định phức, không có một công thức tổng quát cho bán kính ổn định thực với một chuẩn tùy ý Tuy nhiên, nếu ta xét chuẩn Euclide thì ta có thể thiết lập một công... tiếp từ định nghĩa bán kính ổn định Định lý 2.11 Xét PTVP ĐS (2.1) là chính quy và ổn định tiệm cận với dạng (1.1) Nhiễu có cấu trúc thỏa mãn (2.13) nếu ind(E, A) = 1 và thỏa 24 mãn (2.14) nếu ind(E, A) > 1 Khi đó, bán kính ổn định phức có cấu trúc của (2.1) và của cặp (E, A) là trùng nhau, tức là rC(E, A; B, C) = rCsp (E, A; B, C) Hơn nữa, nếu dữ liệu là thực thì bán kính ổn định thực có cấu trúc của. .. chất đặc biệt của hệ 2.2.2 Hệ dương có chậm Ở phần trước, ta thấy rằng công thức bán kính ổn định thực phức tạp hơn so với bán kính ổn định phức Tuy nhiên, từ định nghĩa, ta thấy rCb (A) ≤ rRb (A) và rCB,C (A) ≤ rRB,C (A) 30 Do đó, một câu hỏi tự nhiên là khi nào thì bán kính ổn định thực và phức là bằng nhau Câu trả lời được đưa ra trong trường hợp hệ dương Bây giờ ta chỉ xét hệ với hệ số thực và hàm... quát hơn là PTVP ĐS có chậm? Ở chương tiếp theo, chúng tôi xin giới thiệu các kết quả về vấn đề này 32 Chương 3 Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số có chậm Trong chương này, chúng tôi xin trình bày lại các kết quả về tính ổn định của PTVP ĐS có chậm tuyến tính thuần nhất hệ số hằng, xem [5], dạng (3.1) E x(t) ˙ = Ax(t) + Dx(t − τ ) ở đó E, A, D ∈ Kn×n , K = R hoặc K = C và τ > 0 là độ... chuẩn Euclide, từ (2.24), ta có 1 rCB,C (A) = rRB,C (A) = √ 10 Vi c nghiên cứu tính ổn định của PTVP ĐS và PTVP thường có chậm dựa trên mối quan hệ của tập phổ với tập C− Các điều kiện cần và đủ của tính ổn định mũ được đưa ra Các công thức bán kính ổn định thực và phức được xây dựng Những điều này có được xây dựng một cách tương tự cho trường hợp tổng quát hơn là PTVP ĐS có chậm? Ở chương tiếp theo,... riêng của PTVP ĐS có chậm 2.1 Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số Xét bài toán giá trị đầu (2.1)-(1.3) với E, A ∈ Kn×n là các ma trận hằng, cặp (E, A) là chính quy và điều kiện đầu (1.3) là tương thích Với hệ thuần nhất hệ số hằng (2.1) cùng với điều kiện đầu (1.3) là tương thích thì bài toán (2.1)- (1.3) thỏa mãn điều kiện duy nhất nghiệm 16 Khi đó, ta có thể mở rộng nguyên văn Định. .. Tuy nhiên, nếu có nhiễu tác động vào hệ, thì tính tương thích của điều kiện đầu có thể thay đổi, do đó ta xét độ vững của các khái niệm ổn định dưới tác động của nhiễu Ví dụ sau đây cho ta thấy tác động của nhiễu lên tính ổn định của hệ Ví dụ 2.1 Xét PTVP ĐS tuyến tính thuần nhất hệ số hằng 1 0 0 0 x˙ 1 0 1 = 1 0 x˙ 2 x1 x2 (2.4) Hệ trên có thể được vi t lại x˙ 1 = x2 , 0 = x1 và chỉ có nghiệm tầm... 2} Như một hệ quả, nếu (2.16) là dương và các ma trận cấu trúc Bi , Ci là dương thì bán kính ổn định thực có thể dễ dàng tính toán được Định lý 2.19 Giả sử (2.16) dương, ổn định mũ và chịu tác động của nhiễu có cấu trúc dạng (2.21) với B ≥ 0, C ≥ 0 Khi đó, bán kính ổn định phức của (2.16) được cho bởi rCB,C (A) = rRB,C (A) = 1 G(0) (2.24) Xét ví dụ sau Ví dụ 2.4 Xét hệ tuyến tính dương có chậm trong ... thiệu số kết công thức bán kính ổn định PTVP ĐS PTVP thường có chậm tuyến tính hệ số trường hợp đặc biệt phương trình vi phân đại số có chậm ⋄ Chương Bán kính ổn định hệ phương trình vi phân đại số. .. phương trình vi phân đại số 16 2.2 Bán kính ổn định phương trình vi phân thường có chậm 27 2.2.1 Bán kính ổn định PTVP thường có chậm 28 2.2.2 Hệ dương có chậm 30 Bán kính. .. ổn định bán kính ổn định PTVP thường có chậm với trường hợp đặc biệt hệ dương có chậm 26 2.2 Bán kính ổn định phương trình vi phân thường có chậm Trong phần này, trình bày tính ổn định vững bán