Tính điều khiển được hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính

www.VNMATH.com Đại học thái nguyên TRNG đại học S phạm Vi diệu minh Tính điều khiển C hệ PHNG trình vi phân đại số tuyến tính Chuyên ngành: Giải tích MÃ số : 60.46.01 Luận văn Thạc sỹ toán học Ngi hng dn: PGS.TS T DUY PHNG Thái Nguyên - 2008 www.VNMATH.com Mục lục Trang Lời nói đầu Chƣơng PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ HẰNG §1 Tính giải hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số §2 Tính điều khiển hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số 35 Chƣơng PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CĨ HỆ SỐ BIẾN THIÊN 41 §1 Tính giải hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số biến thiên… 41 §2 Tính điều khiển hệ phương trình vi phân đại số tuyến tí nh với hệ số biến thiên 63 KÕt luËn 72 Tài liệu tham khảo 74 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết điều khiển toán học lĩnh vực toán học ứng dụng quan trọng phát triển khoảng 50 năm trở lại Cơng cụ lý thuyết điều khiển tốn học mơ hình phương pháp tốn học giải vấn đề định tính giải số hệ thống điều khiển Rất nhiều tốn khoa học, cơng nghệ, kỹ thuật kinh tế mô tả hệ phương trình vi phân chứa tham số điều khiển cần đến cơng cụ tốn học để tìm lời giải Một vấn đề quan trọng lý thuyết điều khiển hệ thống lý thuyết điều khiển được, tức tìm chiến lược điều khiển cho chuyển hệ thống từ trạng thái sang trạng thái khác Bài toán điều khiển liên quan chặt chẽ đến toán khác toán tồn điều khiển tối ưu, toán ổn định ổn định hóa, tốn quan sát được,… Mặc dù lý thuyết điều khiển hình thành cách khoảng 50 năm, nhiều toán vấn đề điều khiển như: điều khiển hệ phương trình vi phân ẩn tuyến tính dừng khơng dừng có hạn chế biến điều khiển, điều khiển hệ phương trình vi phân sai phân ẩn tuyến tính có chậm, tốn liên quan điều khiển được, quan sát ổn định hoá, …, cịn mang tính thời nhiều nhà toán học giới nước quan tâm Phương trình vi phân thường nghiên cứu từ lâu, khoảng 200 năm trở lại Tuy nhiên lý thuyết phương trình vi phân ẩn, có phương trình vi phân đại số tuyến tính lại thật quan tâm vịng 40 năm trở lại Phương trình vi phân đại số tuyến tính có nhiều điểm đặc biệt mà ta khơng thể tìm thấy phương trình vi phân thường, ví dụ: ma trận hệ số ma trận suy biến, khơng có tính chất “nhân quả” đầu vào đầu ra,…, làm cho việc nghiên cứu vấn đề liên quan trở nên phức tạp lại hấp dẫn Hiện nay, có nhiều cố gắng khảo sát tính chất đặc biệt ấy, việc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com nghiên cứu hệ phương trình vi phân suy biến cịn thời sự, nhiều câu hỏi chưa giải đáp Mục đích luận văn trình bày kết mở rộng tiêu chuẩn điều khiển hệ điều khiển mô tả phương trình vi phân thường – tiêu chuẩn Kalman – cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dừng khơng dừng Luận văn cố gắng trình bày cách có hệ thống từ đơn giản đến phức tạp, từ phương trình vi phân đại số tuyến tính dừng đến phương trình vi phân đại số tuyến tính khơng dừng Tiêu chuẩn điều khiển dạng Kalman đặc trưng thông qua tiêu chuẩn hạng ma trận hệ số Thống theo hướng nghiên cứu đó, trước tiên luận văn trình bày tiêu chuẩn điều khiển mở rộng cho hệ phương trình vi phân đại số thông qua ma trận hệ số hệ phương trình vi phân ẩn tuyến tính dừng sau cho hệ mơ tả hệ phương trình vi phân ẩn tuyến tính khơng dừng Các tiêu chuẩn điều khiển nói chung phức tạp nhiều so với tiêu chuẩn Kalman Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương nghiên cứu hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số Mục chương trình bày hai cách tiếp cận hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính nhằm nghiên cứu tính chất tập nghiệm phương trình dạng Ex (t ) Ax(t ) Bu (t ) E ma trận nói chung suy biến Cách tiếp cận thứ thông qua cặp ma trận quy để đưa phương trình hệ: x1 (t ) A1 x1 (t ) B1u1 (t ); Nx2 (t ) x2 (t ) B2u2 (t ), t 0, phương trình thứ phương trình vi phân thường phương trình thứ hai phương trình vi phân với ma trận lũy linh Cách tiếp cận thứ hai nhằm nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm phương trình vi phân với hệ số thơng qua ma trận sở Mục giới thiệu khái niệm tốn tử hiệu chỉnh, nghiệm phương trình vi phân đại số tìm thơng qua Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com tốn tử hiệu chỉnh Cơng thức nghiệm cho thấy rõ khác biệt phương trình vi phân suy biến so với phương trình vi phân thường, ngồi việc tìm cấu trúc tập nghiệm cịn nhằm áp dụng vào việc nghiên cứu tính điều khiển hệ phương trình vi phân tuyến tính trình bày mục Mục trình bày tính điều khiển hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số theo [6], tiêu chuẩn điều khiển mở rộng tiêu chuẩn hạng Kalman Chương nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm tính điều khiển hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính có hệ số biến thiên Mục chương trình bày tính giải phương trình vi phân tuyến tính không dừng theo sách [7] Bằng cách tác động tốn tử hiệu chỉnh trái vào phương trình vi phân ẩn, ta đưa phương trình từ phức tạp đơn giản để dễ nghiên cứu Mục chương trình bày tính điều khiển hệ phương trình vi phân đại số với hệ số biến thiên theo [9] Thống với mục 1, mục dùng toán tử hiệu chỉnh trái để đưa việc nghiên cứu tiêu chuẩn điều khiển hệ suy biến không dừng nghiên cứu hệ đơn giản Mặc dù luận văn chủ yếu trình bày lại kết [6], [7], [8], [9], cố gắng thể lao động trình đọc, nghiên cứu mở rộng kết cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính Thí dụ: Mục 1.1 chương trình bày cơng thức nghiệm tường minh phương trình vi phân tuyến tính khơng dừng với ma trận luỹ linh kết tác giả, báo cáo Hội nghị nghiên cứu khoa học sau đại học Đại học Sư phạm Thái Nguyên tổ chức (Thái Nguyên, tháng 7-2008) đăng [3] Chúng cố gắng chi tiết hóa tìm cách chứng minh khác với cách chứng minh [6], [7], [8], [9] Trong tồn luận văn, chúng tơi cố gắng diễn giải định lý, bổ đề cách dễ hiểu Chúng hy vọng rằng, luận văn cho thấy rõ phát triển nghiên cứu tiêu chuẩn điều khiển hệ phương trình vi phân từ đơn giản đến phức tạp, từ phương trình vi phân thường đến phương trình vi phân ẩn suy biến với hệ số biến thiên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS – TS Tạ Duy Phượng Xin tỏ lòng cám ơn chân thành tới Thầy Tác giả xin cám ơn chân thành tới Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, nơi tác giả nhận học vấn sau đại học Và cuối cùng, xin cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp cảm thông, ủng hộ giúp đỡ suốt thời gian tác giả học Cao học viết luận văn Thái Nguyên, ngày 18 tháng năm 2008 Tác giả Vi Diệu Minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Chƣơng PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ HẰNG §1 TÍNH GIẢI ĐƢỢC CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ HẰNG 1.1 Hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận lũy linh Xét phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng Nx (t ) x(t ) B(t )u(t ) , t ³ , (1.1.1.1) N ma trận vng cấp n , không phụ thuộc vào t ma trận lũy linh bậc h , tức N h = 0n2 với 0n ma trận vng cấp n có tất thành phần 0; x (t ) hàm khả vi hầu khắp nơi nhận giá trị không gian ¡ n2 thỏa mãn phương trình (1.1.1.1) hầu khắp nơi (là nghiệm phương trình vi phân (1.1.1.1)); B (t ) ma trận cấp n ´ m u(t ) vectơ hàm m chiều Trước tiên ta chứng minh Bổ đề sau (xem [3]) Bổ đề 1.1 Giả sử B (t ) u(t ) tương ứng ma trận hàm vectơ hàm có thành phần hàm khả vi liên tục đến cấp h , h bậc ma trận lũy linh N Khi với £ k £ h ta có N k x( k ) (t ) N k x( k 1) (t ) N k k Cki 1B ( k i) (t )u (i ) (t ) , (1.1.1.2) i x ( k ) (t ) đạo hàm cấp k vectơ hàm x(t ) , tương tự, u (i ) (t ) đạo hàm cấp i vectơ hàm u(t ) , B (s ) (t ) đạo hàm cấp s ma trận hàm B (t ) , C ki = k! với £ i £ k i !(k - i ) ! Chứng minh Nhân phương trình (1.1.1.1) với ma trận N lấy đạo hàm hai vế ta được: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Nx (t ) N B (t )u (t ) B(t )u (t ) N  x(t ) Lại tiếp tục nhân phương trình với N lấy đạo hàm hai vế ta được: (t )u (t ) B (t )u (t ) B (t )u (t ) B (t )u(t ) N  x(t ) N B N 3 x (t ) N  x(t ) N 2 C2i B (2 i ) (t )u ( i ) (t ) i Như vậy, công thức (1.1.1.2) với s = 1, 2, Giả sử công thức (1.1.1.2) với s £ k < h Ta chứng minh với s = k + Thật vậy, theo qui nạp ta có N k x( k ) (t ) N k x( k 1) (t ) N k k Cki 1B ( k i) (t )u (i ) (t ) i Nhân phương trình với N lấy đạo hàm hai vế ta được: N k x( k 1) N k x ( k ) (t ) (t ) Nk k Cki B(k i) (t )u ( i ) (t ) B(k i) (t )u ( i 1) (t ) i N k x ( k ) (t ) N k Ck0 B ( k ) (t )u (t ) N k Ck1 B ( k N k Ck0 B ( k 1) 2) N k Ck2 1B ( k N k Ck1 B ( k 1) (t )u (t ) N k Ck2 B ( k 3) (t ) u (t ) N k Cks 11 B ( k N k Cks B ( k s) (t )u ( s ) (t ) N k Cks B ( k (t )u(t ) s 1) s) (t )u (t ) (t )u ( s 1) (t ) (t )u ( s 1) (t ) N k Ckk 12 B (2) (t )u ( k 2) (t ) N k Ckk 12 B (t )u ( k N k Ckk 11 B (t )u ( k 1) (t ) N k Ckk 11 B (t )u ( k ) (t ) 1) (t ) 2) (t )u(t ) N k Cks 11 B ( k s) (t )u ( s ) (t ) N k x ( k ) (t ) N k Ck0 B ( k ) (t )u (t ) N k Ck0 Ck1 B ( k 1) (t )u (t ) N k Ck1 Ck2 B ( k 2) (t )u(t ) N k Cks 11 Cks B ( k s) (t )u ( s ) (t ) N k Ckk 12 Ckk 11 B (t )u ( k 1) (t ) N k Ckk 11 B (t )u ( k ) (t ) Nhưng C ki - = (k - )! i !(k - - i )! nên C k0- = = C k0 ; C kk 11 = = C kk Cks 11 Cks Cks Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com nên N k x ( k 1) (t ) N k x ( k ) (t ) N k Ck0 B ( k ) (t )u (t ) N k Ck0 Ck1 B ( k 1) (t )u (t ) N k Ck1 Ck2 B ( k 2) (t )u(t ) N k Cks 11 Cks B ( k s) (t )u ( s ) (t ) N k Ckk 12 Ckk 11 B (t )u ( k 1) (t ) N k Ckk 11 B (t )u ( k ) (t ) N k x ( k ) (t ) N k Ck0 B ( k ) (t )u (t ) N k Ck1 B ( k 1) (t )u (t ) N k Ck2 B ( k 2) (t )u(t ) N k Cks B ( k s ) (t )u ( s ) (t ) N k Ckk B (t )u ( k 1) (t ) N k Ckk B (t )u ( k ) (t ) N k x ( k ) (t ) N k k Cks B ( k s) (t )u ( s ) (t ) s Vậy theo nguyên lý qui nạp, công thức (1.1.1.2) chứng minh Từ Bổ đề 1.1 ta có cơng thức nghiệm sau hệ (1.1.1.1) Mệnh đề 1.1 ([3]) Giả sử B (t ) ma trận hàm u(t ) vectơ hàm có thành phần hàm khả vi liên tục đến cấp h Khi nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến (1.1.1.1) tính theo cơng thức h x(t ) Fk (t )u ( k ) (t ) , (1.1.1.3) k h- Fk (t ) = - å N sC sk B (s - k ) (t ) s= k Chứng minh Viết lại (1.1.1.2) với k = 1, 2, , h ta Nx (t ) x(t ) C00 B(t )u (t ) ; N  x(t ) Nx (t ) NC10 B (t )u (t ) NC11B(t )u (t ) ; N 3 x (t ) (t )u (t ) N 2C21 B (t )u (t ) N 2C22 B(t )u(t ) ; N  x(t ) N 2C20 B ……… Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com N k x ( k ) (t ) N k x ( k 1) (t ) N k k Cki 1B ( k i) (t )u (i ) (t ) i N k ( k 1) x (t ) N N k 1Cki B ( k k k C B i) ( k 1) (t )u (t ) N k 1Ck1 1B ( k 2) (t )u (t ) (t )u (i ) (t ) N k 1Ckk 11 B(t )u ( k 1) (t ) ……… N h x ( h ) (t ) N h x ( h 1) (t ) N h h Chi 1B ( h i) (t )u (i ) (t ) i N h x ( h 1) (t ) N h 1Ch0 1B ( h 1) (t )u (t ) N h 1Ch1 1B ( h N h 1Chi B ( h i) 2) (t )u (t ) (t )u (i ) (t ) N h 1Chh 11B(t )u ( h 1) (t ) Cộng vế với vế đẳng thức để ý đến tính chất lũy linh ma trận N , tức N h = , sau nhóm số hạng hai vế, ta h x(t ) s s h (s) N C B (t )u (t ) s h N s Cs1B ( s 1) (t )u (t ) s N s Csk B ( s k) (t )u ( k ) (t ) N h B (t )u ( h 1) (t ) s k h x(t ) Fk (t )u ( k ) (t ) k Từ suy x(t ) h Fk (t )u ( k ) (t ) k Vậy Mệnh đề 1.1 chứng minh Trong trường hợp B (t ) º B ma trận ta có Hệ 1.1 ([6], trang 17) Giả sử B (t ) º B ma trận u(t ) vectơ hàm có thành phần hàm khả vi liên tục đến cấp h Khi nghiệm phương trình Nx (t ) x(t ) Bu(t ) (1.1.1.4) tính theo cơng thức h x(t ) N k Bu ( k ) (t ) (1.1.1.5) k Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 52 tx1 (t ) x1 (t ) f1 (t ) x2 (t ) f (t ) ty (t ) y1 (t ) y2 (t ) x(t , c) f (t ) 0 c 0 y (t , c) f (t ) t t f1 ( s )ds , cịn x1 (t ) sau: x1 (0) ( (t ) t f2 0 c 0 (t ) (0) (2.1.2.9) tf2 f1 ; , f2 (0) xác định t f1 (0) Tính giới hạn f1 (0) x1 (t ) t lim t lim t tf1 (0) t2 (t ) (0) t tf1 (0) f1 (0) lim t f (0) s 0( s) ds f (0) t2 Lấy đạo hàm phương trình đầu (2.1.2.8) ta có tx1 x1 Vậy x1 (0) f1 f1 (0) Trên T hệ (2.1.2.8) khơng có nghiệm khác với (2.1.2.9) Tuy nhiên, ta xét khoảng I ,1 T hệ (2.1.2.8a) có họ nghiệm x(t , c) c t 0 ( (t ) (0) , t f2 nghiệm (2.1.2.8a) mô tả khoảng T công thức (2.1.2.9a) 1.3 Nghiệm hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính Định nghĩa 1.3.1 Toán tử r j d L j (t ) dt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên j , http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 53 L j (t ) C (T ) ma trận cỡ n n , gọi toán tử hiệu chỉnh trái với x(t ) C 1 x(t ) x (t ) A x(t ) (T ) Số r nhỏ mà tồn toán tử hiệu chỉnh trái gọi số trái (2.1.1) Xét hệ E (t ) x(t ) A(t ) x(t ) f (t ); t T [0; ) Giả thiết E (.); A(.); f (.) đủ trơn điều kiện ban đầu: x(0) (2.1.1) x0 (1.1*) Nhận xét Bài toán Cauchy (2.1.1) - (1.1*) giải khơng phải với x(0) Tốn tử hiệu chỉnh trái  n biến (2.1.1) hệ: x (t ) A(t ) x(t ) f (t ) ; t T Bài toán Cauchy cho hệ (2.1.3.1) giải (2.1.3.1) x(0)  n Bổ đề 1.3.1 Giả sử cho (2.1.1) có tốn tử hiệu chỉnh trái T Khi ấy, nghiệm (2.1.1) – (1.1*) (2.1.3.1) – (1.1*) trùng điều kiện ban đầu tương thích Xét hệ E (t ) x (t ) A(t ) x(t ) 0; t T [0; ) (2.1.3.2) Bổ đề 1.3.2 Giả sử E (t ), A(t ) C trái (T ) phương trình (2.1.3.2) có tốn tử hiệu chỉnh T Khi ấy, điều kiện ban đầu (1.1*) tương thích với (2.1.3.2) x0 x(0, c1 ) S c1 , c1  d ; S ma trận n n khơng suy biến Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 54 Bổ đề 1.3.3 Giả sử E (t ), A(t ) C (T ) phương trình (2.1.3.2) có toán tử hiệu chỉnh T Khi ấy, (2.1.3.2) có nghiệm tổng quát dạng trái x(t , c) U (t ) Y (t ) c 0 với Y (t ), U (t ) ma trận khơng suy biến cấp d cấp n trình x (t ) t T phương A x(t ) có nghiệm dạng x(t , c) U (t ) Y (t ) c, Y (t ) Y (t ) C1 (T ) ma trận không suy biến với t T , cấp (n d ) (n d ) Chứng minh Giả sử (2.1.3.2) có toán tử hiệu chỉnh trái Khi hệ (2.1.3.2) biến đổi hệ x (t ) A(t ) x(t ) 0; t T Nghiệm (2.1.3.3) có dạng x(t ) (2.1.3.3) (t ) x(0) , (t ) ma trận nghiệm Theo bổ đề 1.3.2 x(t ) nghiệm (2.1.3.2) x0 có dạng x0 x(0, c1 ) Đặt (t ) S x(t , c) S c1 G1 (t ) G2 (t ) nghiệm (2.1.3.2) có dạng G3 (t ) G4 (t ) G1 (t ) G2 (t ) G3 (t ) G4 (t ) Nhưng rank G1 (t ) G3 (t ) c1 G1 (t )c1 G3 (t )c1 const = d, t G1 (t ) c G3 (t ) T nên tồn ma trận không suy biến U (t ) C1 (T ) cấp n n cho Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 55 U (t ) G1 (t ) G3 (t ) Y (t ) , Y (t ) C1 (T ) ma trận không suy biến cấp d d Vậy x(t , c) U (t ) Y (t ) Y (t ) c1 U (t ) c 0 Đặt Y (t ) En d U (t ) (t ) S En d Khi ta có (t ) S U (t ) Y (t ) Y (t ) Đó điều phải chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 56 §2 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƢỢC CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN Xét hệ phương trình: E (t ) x (t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ) det E (t ) t T (2.2.1) Giả thiết E (t ), A(t ) C A (T ); B(t ), u(t ) đủ trơn giả sử (2.2.1) có tốn tử hiệu chỉnh trái Theo Bổ đề 1.2.3, P(t ), Q(t ) x(t ) C A (T ) cho với phép đổi biến Q(t ) y(t ) (2.2.1) tương đương với: P(t ) E (t ) x (t ) P(t ) A(t ) x(t ) P(t ) B(t )u (t ) P(t ) E (t ) Q(t ) y (t ) Q (t ) y (t ) P(t ) A(t )Q(t ) y(t ) P(t ) B(t )u(t ) P(t ) E (t )Q(t ) y (t ) EC (t ) y (t ) P(t ) A(t )Q(t ) P(t ) E (t )Q (t ) y(t ) P(t ) B(t )u (t ) AC (t ) y (t ) P(t ) B(t )u (t ), (2.2.3) đó: Id 0 ; N (t ) EC (t ) P(t ) E (t )Q(t ) AC (t ) P(t ) A(t )Q(t ) P(t ) E (t )Q (t ) J (t ) ; In d B1 (t ) B2 (t ) ; B3 (t ) B4 (t ) P (t ) B (t ) J (t ) ma trận cỡ d d ; N (t ) ma trận tam giác (n d ) (n d ); N r(t ) 0; r n d Xét toán tử Id 0 W0 (t ) đó: W j (t ); j 0 d W1 (t ) dt 0,1, , r-1 r -1 W j (t ) j ( j) 0 Wr -1 (t ) d dt r xác định r (t ) Fj (t ) ; (t ) C r (T ) j Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 57 F0 Như vậy, W0 (t ) (t ); F (t ) I n d ; W j (t ) ( j N (t ) (t ); N r (t ) (t ) 0,1, r 1) ma trận cỡ (n d ) (n d ) có cấu trúc với N (t ) Lƣu ý Phương trình N (t ) x (t ) x(t ) f (t ) (**) F j f (t ) (***) có nghiệm dạng r x(t ) j Thật vậy: Với r ta có x(t ) Suy x (t ) F f (t ) f (t ) Chứng tỏ N (t ) x (t ) f (t ) N (t ) f (t ) Thay vào (**) ta có: N (t ) f (t ) f (t ) (luôn f (t ) Với r ta có: x(t ) F (t ) F (t ) t T N (t ) r ) f (t ) N (t ) f (t ) f (t ) N (t )  f (t ) N (t ) f (t ) N (t ) x (t ) N (t ) f (t ) N (t )  f (t ) N (t ) N (t ) f (t ) x (t ) Vì r N (t ) ma trận tam giác với ô vuông đường chéo không nên N (t ); N (t ) N (t ) t T ta có: N (t ) x (t ) N (t ) f (t ) Thay vào (**) ta được: N (t ) f (t ) f (t ) N (t ) f (t ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên f (t ) ( đúng) http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 58 Với r x(t ) f (t ) N (t ) f (t ) N (t ) N (t )  f (t ) N (t ) f (t ) F (t ) F (t ) F (t ) f (t ) x (t ) f (t ) N (t ) N (t ) N (t ) f (t ) N (t ) f (t ) N (t ) N (t ) N (t ) N (t ) f (t ) N (t ) N (t ) N (t )  f (t ) N (t ) N (t ) f (t ) N (t )  f (t ) N (t ) x (t ) N (t ) f (t ) N (t ) N (t ) N (t ) N (t ) f (t ) N (t ) N (t ) N (t )  f (t ) N (t ) N (t ) f (t ) N (t )  f (t ) Vì r  (t ); N (t ) N (t ) t T N (t ); N (t ) N (t ); N (t ) N nên ta có N (t ) f (t ) (**) f (t ) N (t ) N (t ) f (t ) N (t )  f (t ) N (t ) N (t ) N (t ) N (t ) f (t ) N (t )  f (t ) f (t ) Quy nạp theo r ta có cơng thức nghiệm (***) Từ lưu ý trên, ta thấy Id 0 y (t ) Id J (t ) biến hệ (2.2.3) dạng: In y (t ) d 0 0 ; ; ; W0 (t ) W1 (t ) Wr-1 (t )  t )].d r M r 1[B( u (t ) (2.4) đó: B (t ) B1 (t ) B2 (t ) ;d B3 (t ) B4 (t ) r u (t ) u (t ) u (t ) u ( r 1) (t )  t )] M r 1[B(  t) C00 B(  t ) C1B(  t) C11B(  ( j ) (t ) C1j B  ( j 1) (t ) C jj B(  t) C 0j B Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (#) http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 59 Chẳng hạn: Với r W0 (t ) (t ) W1 (t ) (t ) (t ) N (t ) (t ) W0 (t ) In d ; W1 (t ) N (t ) (t ) bất kỳ, Id 0 W0 (t ) 0 d W1 (t ) dt phương trình N (t ) x (t ) f (t ) có nghiệm x(t ) x(t ) f (t ) N (t ) f (t ) biến (2.2.3) dạng: Id 0 y (t ) J (t ) 0 In Id 0 y (t ) Id 0 y (t ) y (t ) d J (t ) J (t ) 0 In In Id 0 W0 (t ) y (t ) d Id ; 0 W1 (t )  t )].d M r 1[B( r u (t ) B u (t ) 0 ; W0 (t ) W1 (t ) B B u (t ) y (t ) d W0 (t ) B3 (t )u1 (t ) B4 (t )u2 (t ) B1 (t )u1 (t ) B2 (t )u2 (t ) W1 (t ) B3 (t )u1 (t ) B4 (t )u2 (t ) B3 (t )u1(t ) B4 (t )u2 (t ) Nhận xét Ta thấy: Id 0 In d d dt U r (t )d r (t ), (2.2.5) U r (t ) j 0 0 ; ; ; ;  (t )  (t )  (t ) Wj (t ) W W W j+1 r-1 Id 0,1, , r , (2.2.6) toán tử hiệu chỉnh trái cho phương trình (2.2.3) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 60 Bổ đề 2.1 d j Av (t ) M j A(t ) d j v(t ) A(t ); v(t ) C i (t ) Theo Bổ đề 2.1 (2.2.3) đưa dạng J (t ) y (t ) U r (t ) M r P(t ) M r B(t ) d r u (t ) 0 y (t ) Do x(t ) x (t ) (2.2.7) Q (t ) x(t ) nên Q(t ) y(t ) hay y(t ) A (t ) x(t ) Q(t )U r (t ) M r P(t ) M r B(t ) d r u (t ) , t T , A (t ) J (t ) Q (t ) Q(t ) 0 (2.2.8) Q (t ) Vậy (2.2.7) coi hệ nhận từ (2.2.1) cách tác động toán tử hiệu chỉnh trái Khi ấy, theo cách xây dựng, toán tử hiệu chỉnh trái cho (2.2.1) có dạng Q(t )U r (t ) M r P (t ) d r Và (2.2.8) A (t ) (2.2.9) A(t ) Xét hệ E (t ) x (t ) A(t ) x(t ) B (t )u (t ), t T a, b (2.2.1) Định nghĩa 2.1 Hệ (2.2.1) gọi điều khiển hoàn toàn theo trạng thái từ trạng thái ban đầu cho trước x(t0 ) x0 ; t0 a, b cách chọn điều khiển đầu vào u (t ) tương ứng đưa trạng thái x(t1 ) khoảng thời gian hữu hạn t1 x1 ; t1 a, b sau t0 Bổ đề 2.2 1) Hệ x (t ) rank B (t ); A(t ) x(t ) B(t )u(t ) điều khiển hoàn toàn A B (t ) ; ; n A B (t ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên n hầu khắp nơi t0 , t1 http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 61 Trong ký hiệu In A d dt A(t ) Từ suy A i A B (t ) B (t ) 2) Hệ đại số d ( B (t )) dt In i A A A(t ) B (t ) ; B (t ) x(t ) Bˆ (t )u (t ); t T điều khiển rankBˆ (t0 ) rankBˆ (t1 ) n Giả sử hệ (2.2.1) T xác định toán tử hiệu chỉnh trái r nghĩa: j ( ) x(t ) j d L j (t ) dt x (t ) theo A(t ) x(t ) x C (T ) Xét H (t ) ( H (t ); H1 (t ); H r (t )) ( L0 (t ); L1(t ); Lr (t ) M r B(t ) ) Do (2.2.6),(2.2.9) bổ đề 2.1 ta có: H (t ) Q(t ) j Id 0 0 0 ; ; ; ;  (t )  (t)  (t ) Wj (t ) W W W j+1 r-1 Mr B1 (t ) B2 (t ) B3 (t ) B4 (t ) 0, , r Do cơng thức (#) nên ta có: H (t ) Q(t ) 0 B1 (t ) b2 (t ) ; H j (t ) Q(t ) ; j 1, r S j (t ) S j (t ) S03 (t ) S04 (t ) đó: Sri (t ) Crr Wr-1 (t ) Bi (t ); S r 1i (t ) Crr 11 (Wr -2 (t ) Wr -1 (t )) Bi (t ) Crr 1Wr -1 (t ) Bi (t ) r S1i (t )  (t ))B ( j C1j (Wj-1 (t ) W j i 1) (t ) Cr1Wr-1 (t ) Bi( r 1) (t ) j  (t ) B (t ) S0i (t ) C00 W i r  (t )) B ( j ) (t ) C W (t ) B ( r ) C 0j (Wj-1 (t ) W j i r r-1 i j i 3, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 62 Kí hiệu:  d In dt A (t ) J (t ) Q (t ) Q(t ) 0 với A (t ) j J (t ) 0 d In dt In d d dt Q (t ) Bổ đề 2.3 Giả sử (t ) ma trận hàm với kích thước tương ứng đủ trơn Khi  k Q(t ) (t ) k Q(t ) (t ) k 0,1, Q( )t J (t) 0 Chứng minh Ta chứng minh quy nạp Với k đẳng thức Với k ta có:  Q(t) ( t) d Q(t) ( t) dt d Q(t) dt B( )t Q( )t ( )t (t) Q( t) d ( t) Q( )t dt Q (1 )t Q ( )t ( ) t J (t ) Q (t ) (t ) Q(t )  (t ) Q (t )Q (t )Q(t ) (t ) Q(t ) 0 Q(t )  (t ) Q(t ) J (t ) 0 (t ) Q (t ) (t ) (t ) Giả sử khẳng định với k n Ta chứng minh với k n Thật vậy: n Q(t ) (t )   n Q(t ) (t ) d Q(t ) dt Q(t ) d dt n (t ) n (t ) J (t ) Q (t ) Q(t ) 0 Q(t ) J (t ) 0 n (t ) Q (t )Q(t ) Q(t ) n n (t ) (t ) Vậy ta có điều phải chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 63 Định lý 2.1 Giả sử: 1, E(t ), A(t ) C A (T ); B(t ), u(t ) C r (T ) ; 2, Tồn toán tử hiệu chỉnh trái cho (2.2.1); 3, rank H (t );  H (t ) ;  d H (t ) n hầu khắp nơi T t0 , t1 , với d số chiều không gian nghiệm (2.2.1); r 4, rank ( H1 (t ) ( 1)j  j H j (t ) ; H r t( )  H r t( )  H r t( ); j H r 1(t )  H (t ) ; H (t )) n d t r r t0 t t1 Khi (2.2.1) điều khiển hoàn toàn Hệ Giả sử E(t ), A(t ) C A (T ); B(t ), u(t ) C r (T ) tồn toán tử hiệu chỉnh trái (2.2.1) Ngồi ra, tốn tử (2.2.1) có Ker Khi đó, (2.2.1) điều khiển hoàn toàn khi: r rank ( H1 (t ) ( 1) j  j H j (t ) ; H r (t )  H (t ) r  H (t ) r j ; H r (t )  H (t ) ; H (t )) n t r r t0 t Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên t1 http://www.lrc-tnu.edu.vn cho www.VNMATH.com 64 KẾT LUẬN Lý thuyết phương trình vi phân (thường) chứa tham số điều khiển nghiên cứu nhiều sách với vấn đề: cơng thức nghiệm, tính điều khiển được, quan sát được,… Nghiên cứu phương trình vi phân suy biến dừng khơng dừng, luận văn trình bày cách tiếp cận, phương pháp khác cặp ma trận quy, tốn tử hiệu chỉnh trái nhằm mục đích đưa phương trình vi phân phức tạp trở dạng đơn giản nghiên cứu trước có tính chất đặc biệt để giảm bớt khó khăn việc nghiên cứu, ví dụ phương trình vi phân có ma trận hệ số ma trận luỹ linh Từ định nghĩa điều khiển hệ phương trình vi phân, ta thấy để xét đến tính điều khiển hồn tồn địi hỏi phải tìm hàm điều khiển u(t) đưa trạng thái ban đầu x0 trạng thái x1  n , nghĩa ta phải quan tâm đến đầu Điều dẫn tới việc cần nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm hệ phương trình vi phân Vì vậy, mục chương chương phát biểu chứng minh cơng thức nghiệm, tính chất nghiệm hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính Tiêu chuẩn điều khiển nêu mục chương chương cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính mở rộng tiêu chuẩn hạng Kalman, tính chất phức tạp hệ tuyến tính ẩn suy biến nên tiêu chuẩn điều khiển địi hỏi điều kiện phức tạp Chúng tơi cố gắng trình bày tiêu chuẩn diễn giải phần chứng minh cách tường minh Quay trở lại với khái niệm điều khiển hồn tồn, địi hỏi tìm hàm điều khiển đưa trạng thái ban đầu x0 trạng thái x1 Tuy nhiên thức tế, ta không quan sát toàn đầu trạng thái x(t) mà quan sát số tọa độ Thí dụ, quan sát chuyển động máy bay bầu trời, ta biết tọa độ vị trí khơng gian mà khơng có khả đo xác tức thời tọa độ khác (vận tốc, gia Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 65 tốc…), nghĩa mặt tốn học ta khơng biết tồn x(t) mà quan sát đầu qua vectơ H(t)x(t) Điều giải thích khái niệm điều khiển khơng gian hay H – điều khiển Trong số sách điều khiển có trình bày tiêu chuẩn H – điều khiển cho hệ phương trình vi phân thường Tuy nhiên phương trình vi phân đại số tuyến tính ta lại chưa có tiêu chuẩn H – điều khiển (xem mở rộng tiêu chuẩn H – điều khiển phương trình vi phân thường) Vì vấn đề (và nhiều vấn đề khác phương trình vi phân đại số) cần xem xét kỹ Hy vọng tiếp tục nghiên cứu thời gian tới Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO I Tiếng Việt Trần Hà An: Ma trận tính điều khiển hệ phương trình vi phân ẩn tuyến tính (Luận văn Cao học), Viện Toán học, 2003 Phạm Kỳ Anh: Lý thuyết số toán điều khiển tối ưu, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 Vi Diệu Minh, Trần Thiện Toản: Công thức nghiệm hệ động lực suy biến khơng dừng có điều khiển, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ, Đại học Thái Ngun, No2 (46), Tập (2008), trang 105-109 Vũ Ngọc Phát: Nhập mơn lý thuyết điều khiển tốn học (trong Bộ sách Cao học, Viện Toán học), Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 Tạ Duy Phƣợng: Điều khiển được, ổn định ổn định hóa (Giáo trình Cao học), 2008 II Tiếng Anh L Dai: Singular Control Systems (in Lecture Notes in Control and Information Sciences, Vol 118), Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, 1989 III Tiếng Nga Iu E Boarinshev: Hệ vi phân-đại số tuyến tính phi tuyến, Nhà xuất Nauka, Novosimbirsk, 2000 Iu E Boarinshev, I V Orlova: Chùm ma trận hệ vi phân-đại số, Nhà xuất Nauka, Novosimbirsk, 2006 V Ph Chischiakov, A A Scheglova: Những chương chọn lọc lý thuyết hệ vi phân-đại số, Nhà xuất Nauka, Novosimbirsk, 2003 10 Ph P Gantmacher: Lý thuyết ma trận, Nhà xuất sách Kỹ thuật-Lý thuyết, Moscow, 1954 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ HẰNG §1 Tính giải hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số §2 Tính điều khiển hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính. .. tiêu chuẩn điều khiển mở rộng cho hệ phương trình vi phân đại số thông qua ma trận hệ số hệ phương trình vi phân ẩn tuyến tính dừng sau cho hệ mơ tả hệ phương trình vi phân ẩn tuyến tính khơng... ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ HẰNG §1 TÍNH GIẢI ĐƢỢC CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ HẰNG 1.1 Hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận lũy linh Xét phương trình