Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 67 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Header Page of 166 Đại học thái nguyên TRNG đại học S phạm Vi diệu minh Tính điều khiển C hệ PHNG trình vi phân đại số tuyến tính Chuyên ngành: Giải tích Mã số : 60.46.01 Luận văn Thạc sỹ toán học Ngi hng dn: PGS.TS T DUY PHNG Thái Nguyên - 2008 Footer Page of 166 Header Page of 166 Mục lục Trang Lời nói đầu Chng PHNG TRèNH VI PHN I S TUYN TNH VI H S HNG Đ1 Tớnh gii c ca h phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh vi h s hng Đ2 Tớnh iu khin c ca h phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh vi h s hng 35 Chng PHNG TRèNH VI PHN I S TUYN TNH Cể H S BIN THIấN 41 Đ1 Tớnh gii c ca h phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh vi h s bin thiờn 41 Đ2 Tớnh iu khin c ca h phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớ nh vi h s bin thiờn 63 Kết luận 72 Tài liệu tham khảo 74 Footer Page 2Trung of 166 S húa bi tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 166 LI NểI U Lý thuyt iu khin toỏn hc l mt nhng lnh vc toỏn hc ng dng quan trng mi c phỏt trin khong 50 nm tr li õy Cụng c chớnh ca lý thuyt iu khin toỏn hc l nhng mụ hỡnh v cỏc phng phỏp toỏn hc gii quyt nhng nh tớnh v gii s cỏc h thng iu khin Rt nhiu bi toỏn khoa hc, cụng ngh, k thut v kinh t c mụ t bi cỏc h phng trỡnh vi phõn cha tham s iu khin v cn n nhng cụng c toỏn hc tỡm li gii Mt nhng u tiờn v quan trng nht lý thuyt iu khin h thng l lý thuyt iu khin c, tc l tỡm mt chin lc iu khin cho cú th chuyn h thng t mt trng thỏi ny sang mt trng thỏi khỏc Bi toỏn iu khin c liờn quan cht ch n cỏc bi toỏn khỏc nh bi toỏn tn ti iu khin ti u, bi toỏn n nh v n nh húa, bi toỏn quan sỏt c, Mc dự lý thuyt iu khin ó c hỡnh thnh cỏch õy khong 50 nm, nhng nhiu bi toỏn v v iu khin nh: iu khin c h phng trỡnh vi phõn n tuyn tớnh dng v khụng dng cú hn ch trờn bin iu khin, iu khin c h phng trỡnh vi phõn v sai phõn n tuyn tớnh cú chm, nhng bi toỏn liờn quan gia iu khin c, quan sỏt c v n nh hoỏ, , hin cũn mang tớnh thi s v c rt nhiu nh toỏn hc trờn th gii cng nh nc quan tõm Phng trỡnh vi phõn thng ó c nghiờn cu t rt lõu, khong 200 nm tr li õy Tuy nhiờn lý thuyt phng trỡnh vi phõn n, ú cú phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh li mi c tht s quan tõm vũng 40 nm tr li õy Phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh cú rt nhiu im c bit m ta khụng th tỡm thy phng trỡnh vi phõn thng, vớ d: ma trn h s l ma trn suy bin, khụng cú tớnh cht nhõn qu gia u vo v u ra,, lm cho vic nghiờn cu nhng liờn quan tr nờn phc nhng li rt hp dn Hin nay, mc dự ó cú nhiu c gng kho sỏt nhng tớnh cht c bit y, nhng vic Footer Page 3Trung of 166 S húa bi tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 166 nghiờn cu h phng trỡnh vi phõn suy bin cũn l thi s, bi cũn rt nhiu cõu hi cha c gii ỏp Mc ớch ca lun ny l trỡnh by cỏc kt qu m rng tiờu chun iu khin c ca cỏc h iu khin mụ t bi phng trỡnh vi phõn thng tiờu chun Kalman cho h phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh dng v khụng dng Lun c gng trỡnh by mt cỏch cú h thng t n gin n phc tp, t phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh dng n phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh khụng dng Tiờu chun iu khin c dng Kalman c c trng thụng qua tiờu chun v hng ca ma trn h s Thng nht i theo hng nghiờn cu ú, trc tiờn lun trỡnh by tiờu chun iu khin c m rng cho h phng trỡnh vi phõn i s thụng qua ma trn h s ca cỏc h phng trỡnh vi phõn n tuyn tớnh dng v sau ú l cho h mụ t bi h phng trỡnh vi phõn n tuyn tớnh khụng dng Cỏc tiờu chun iu khin c ny núi chung phc hn rt nhiu so vi tiờu chun Kalman Ni dung ca lun gm hai chng: Chng nghiờn cu h phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh vi h s hng Mc chng trỡnh by hai cỏch tip cn h phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh nhm nghiờn cu tớnh cht nghim ca phng trỡnh dng Ex (t ) Ax(t ) Bu (t ) ú E l ma trn núi chung suy bin Cỏch tip cn th nht l thụng qua cp ma trn chớnh quy a phng trỡnh trờn v h: x1 (t ) A1 x1 (t ) B1u1 (t ); Nx2 (t ) x2 (t ) B2u2 (t ), t 0, ú phng trỡnh th nht l phng trỡnh vi phõn thng v phng trỡnh th hai l phng trỡnh vi phõn vi ma trn ly linh Cỏch tip cn th hai nhm nghiờn cu cu trỳc nghim ca phng trỡnh vi phõn vi h s hng thụng qua ma trn c s Mc ny gii thiu khỏi nim toỏn t hiu chnh, nghim ca phng trỡnh vi phõn i s c tỡm thụng qua Footer Page 4Trung of 166 S húa bi tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 166 toỏn t hiu chnh Cụng thc nghim ny cho thy rừ hn s khỏc bit ca phng trỡnh vi phõn suy bin so vi phng trỡnh vi phõn thng, ngoi vic tỡm cu trỳc nghim cũn nhm ỏp dng vo vic nghiờn cu tớnh iu khin c ca h phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh c trỡnh by mc Mc trỡnh by tớnh iu khin c ca h phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh vi h s hng theo [6], ú tiờu chun iu khin c l m rng ca tiờu chun hng Kalman Chng nghiờn cu cu trỳc nghim v tớnh iu khin c ca h phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh cú h s bin thiờn Mc ca chng trỡnh by tớnh gii c ca phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh khụng dng theo cun sỏch [7] Bng cỏch tỏc ng toỏn t hiu chnh trỏi vo phng trỡnh vi phõn n, ta cú th a phng trỡnh t phc v n gin d nghiờn cu hn Mc ca chng trỡnh by tớnh iu khin c h phng trỡnh vi phõn i s vi h s bin thiờn theo [9] Thng nht vi mc 1, mc cng dựng toỏn t hiu chnh trỏi a vic nghiờn cu tiờu chun iu khin c h suy bin khụng dng v nghiờn cu h n gin hn Mc dự lun ch yu l trỡnh by li cỏc kt qu [6], [7], [8], [9], nhng chỳng tụi c gng th hin nhng lao ng ca mỡnh quỏ trỡnh c, nghiờn cu v m rng cỏc kt qu y cho h phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh Thớ d: Mc 1.1 chng trỡnh by cụng thc nghim tng minh ca phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh khụng dng vi ma trn lu linh l kt qu ca tỏc gi, ó c bỏo cỏo ti Hi ngh nghiờn cu khoa hc sau i hc i hc S phm Thỏi Nguyờn t chc (Thỏi Nguyờn, thỏng 7-2008) v c ng [3] Chỳng tụi cng c gng chi tit húa hoc tỡm nhng cỏch chng minh khỏc vi cỏch chng minh [6], [7], [8], [9] Trong ton b lun vn, chỳng tụi c gng din gii nhng nh lý, b mt cỏch d hiu nht Chỳng tụi hy vng rng, lun cho thy rừ hn s phỏt trin nghiờn cu tiờu chun iu khin c h phng trỡnh vi phõn t n gin n phc tp, t phng trỡnh vi phõn thng n phng trỡnh vi phõn n suy bin vi h s bin thiờn Footer Page 5Trung of 166 S húa bi tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 166 Lun c hon thnh di s hng dn khoa hc ca PGS TS T Duy Phng Xin c t lũng cỏm n chõn thnh nht ti Thy Tỏc gi xin cỏm n chõn thnh ti Trng i hc S phm i hc Thỏi Nguyờn, ni tỏc gi ó nhn c mt hc sau i hc cn bn V cui cựng, xin cỏm n gia ỡnh, bn bố, ng nghip ó cm thụng, ng h v giỳp sut thi gian tỏc gi hc Cao hc v vit lun Thỏi Nguyờn, ngy 18 thỏng nm 2008 Tỏc gi Vi Diu Minh Footer Page 6Trung of 166 S húa bi tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 166 Chng PHNG TRèNH VI PHN I S TUYN TNH VI H S HNG Đ1 TNH GII C CA H PHNG TRèNH VI PHN I S TUYN TNH VI H S HNG 1.1 H phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh vi ma trn ly linh Xột phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh dng Nx (t ) x(t ) B(t )u(t ) , t , (1.1.1.1) ú N l ma trn vuụng cp n , khụng ph thuc vo t v l ma trn ly linh bc h , tc l N h = 0n2 vi 0n l ma trn vuụng cp n cú tt c cỏc thnh phn bng 0; x (t ) l mt hm kh vi hu khp ni nhn giỏ tr khụng gian Ă n2 v tha phng trỡnh (1.1.1.1) hu khp ni (l nghim ca phng trỡnh vi phõn (1.1.1.1)); B (t ) l ma trn cp n m v u(t ) l vect hm m chiu Trc tiờn ta chng minh B sau (xem [3]) B 1.1 Gi s B (t ) v u(t ) tng ng l ma trn hm v vect hm cú cỏc thnh phn l cỏc hm kh vi liờn tc n cp h , ú h l bc ca ma trn ly linh N Khi y vi mi Ê k Ê h ta cú N k x( k ) (t ) N k x( k 1) (t ) N k k Cki 1B ( k i) (t )u (i ) (t ) , (1.1.1.2) i ú x ( k ) (t ) l o hm cp k ca vect hm x(t ) , tng t, u (i ) (t ) l o hm cp i ca vect hm u(t ) , cũn B (s ) (t ) l o hm cp s ca ma trn hm B (t ) , C ki = k! vi Ê i Ê k i !(k - i ) ! Chng minh Nhõn phng trỡnh (1.1.1.1) vi ma trn N ri ly o hm hai v ta c: Footer Page 7Trung of 166 S húa bi tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 166 Nx (t ) N B (t )u (t ) B(t )u (t ) N x(t ) Li tip tc nhõn phng trỡnh ny vi N ri ly o hm hai v ta c: (t )u (t ) B (t )u (t ) B (t )u (t ) B (t )u(t ) N x(t ) N B N x (t ) N x(t ) N 2 C2i B (2 i ) (t )u ( i ) (t ) i Nh vy, cụng thc (1.1.1.2) ỳng vi s = 1, 2, Gi s cụng thc (1.1.1.2) ỳng vi mi s Ê k < h Ta s chng minh nú ỳng vi s = k + Tht vy, theo qui np ta cú N k x( k ) (t ) N k x( k 1) (t ) N k k Cki 1B ( k i) (t )u (i ) (t ) i Nhõn phng trỡnh ny vi N ri ly o hm hai v ta c: N k x( k 1) N k x ( k ) (t ) (t ) Nk k Cki B(k i) (t )u ( i ) (t ) B(k i) (t )u ( i 1) (t ) i N k x ( k ) (t ) N k Ck0 B ( k ) (t )u (t ) N k Ck1 B ( k N k Ck0 B ( k 1) 2) N k Ck2 1B ( k N k Ck1 B ( k 1) (t )u (t ) N k Ck2 B ( k 3) (t ) u (t ) N k Cks 11 B ( k N k Cks B ( k s) (t )u ( s ) (t ) N k Cks B ( k (t )u(t ) s 1) s) (t )u (t ) (t )u ( s 1) (t ) (t )u ( s 1) (t ) N k Ckk 12 B (2) (t )u ( k 2) (t ) N k Ckk 12 B (t )u ( k N k Ckk 11 B (t )u ( k 1) (t ) N k Ckk 11 B (t )u ( k ) (t ) 1) (t ) 2) (t )u(t ) N k Cks 11 B ( k s) (t )u ( s ) (t ) N k x ( k ) (t ) N k Ck0 B ( k ) (t )u (t ) N k Ck0 Ck1 B ( k 1) (t )u (t ) N k Ck1 Ck2 B ( k 2) (t )u(t ) N k Cks 11 Cks B ( k s) (t )u ( s ) (t ) N k Ckk 12 Ckk 11 B (t )u ( k 1) (t ) N k Ckk 11 B (t )u ( k ) (t ) Nhng C ki - = (k - )! i !(k - - i )! nờn C k0- = = C k0 ; C kk 11 = = C kk v Cks 11 Cks Cks Footer Page 8Trung of 166 S húa bi tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 166 nờn N k x ( k 1) (t ) N k x ( k ) (t ) N k Ck0 B ( k ) (t )u (t ) N k Ck0 Ck1 B ( k 1) (t )u (t ) N k Ck1 Ck2 B ( k 2) (t )u(t ) N k Cks 11 Cks B ( k s) (t )u ( s ) (t ) N k Ckk 12 Ckk 11 B (t )u ( k 1) (t ) N k Ckk 11 B (t )u ( k ) (t ) N k x ( k ) (t ) N k Ck0 B ( k ) (t )u (t ) N k Ck1 B ( k 1) (t )u (t ) N k Ck2 B ( k 2) (t )u(t ) N k Cks B ( k s ) (t )u ( s ) (t ) N k Ckk B (t )u ( k 1) (t ) N k Ckk B (t )u ( k ) (t ) N k x ( k ) (t ) N k k Cks B ( k s) (t )u ( s ) (t ) s Vy theo nguyờn lý qui np, cụng thc (1.1.1.2) c chng minh T B 1.1 ta cú cụng thc nghim sau õy ca h (1.1.1.1) Mnh 1.1 ([3]) Gi s B (t ) l ma trn hm v u(t ) vect hm cú cỏc thnh phn l cỏc hm kh vi liờn tc n cp h Khi y nghim ca h phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh suy bin (1.1.1.1) c tớnh theo cụng thc h x(t ) Fk (t )u ( k ) (t ) , (1.1.1.3) k h- ú Fk (t ) = - N sC sk B (s - k ) (t ) s= k Chng minh Vit li (1.1.1.2) vi k = 1, 2, , h ta c Nx (t ) x(t ) C00 B(t )u (t ) ; N x(t ) Nx (t ) NC10 B (t )u (t ) NC11B(t )u (t ) ; N x (t ) (t )u (t ) N 2C21 B (t )u (t ) N 2C22 B(t )u(t ) ; N x(t ) N 2C20 B Footer Page 9Trung of 166 S húa bi tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 10 of 166 N k x ( k ) (t ) N k x ( k 1) (t ) N k k Cki 1B ( k i) (t )u (i ) (t ) i N k ( k 1) x (t ) N N k 1Cki B ( k k k C B i) ( k 1) (t )u (t ) N k 1Ck1 1B ( k 2) (t )u (t ) (t )u (i ) (t ) N k 1Ckk 11 B(t )u ( k 1) (t ) N h x ( h ) (t ) N h x ( h 1) (t ) N h h Chi 1B ( h i) (t )u (i ) (t ) i N h x ( h 1) (t ) N h 1Ch0 1B ( h 1) (t )u (t ) N h 1Ch1 1B ( h N h 1Chi B ( h i) 2) (t )u (t ) (t )u (i ) (t ) N h 1Chh 11B(t )u ( h 1) (t ) Cng v vi v cỏc ng thc ny v ý n tớnh cht ly linh ca ma trn N , tc l N h = , sau nhúm cỏc s hng hai v, ta c h x(t ) s s h (s) N C B (t )u (t ) s h N s Cs1B ( s 1) (t )u (t ) s N s Csk B ( s k) (t )u ( k ) (t ) N h B (t )u ( h 1) (t ) s k h x(t ) Fk (t )u ( k ) (t ) k T õy suy x(t ) h Fk (t )u ( k ) (t ) k Vy Mnh 1.1 c chng minh Trong trng hp B (t ) B l ma trn hng ta cú H qu 1.1 ([6], trang 17) Gi s B (t ) B l ma trn hng v u(t ) vect hm cú cỏc thnh phn l cỏc hm kh vi liờn tc n cp h Khi y nghim ca phng trỡnh Nx (t ) x(t ) Bu(t ) (1.1.1.4) c tớnh theo cụng thc h x(t ) N k Bu ( k ) (t ) (1.1.1.5) k Footer Page 10 oftõm 166 S húa bi Trung Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 53 of 166 tx1 (t ) x1 (t ) f1 (t ) x2 (t ) f (t ) ty (t ) y1 (t ) y2 (t ) 52 x(t , c) f (t ) 0 c 0 y (t , c) f (t ) t ú t f1 ( s )ds , cũn x1 (t ) sau: x1 (0) ( (t ) t f2 0 c 0 (t ) (0) (2.1.2.9) tf2 f1 ; , f2 (0) c xỏc nh ti t nh f1 (0) Tớnh gii hn f1 (0) x1 (t ) t lim t lim t tf1 (0) t2 (t ) (0) t tf1 (0) f1 (0) lim t f (0) s 0( s) ds f (0) t2 Ly o hm phng trỡnh u ca (2.1.2.8) ta cú tx1 x1 Vy x1 (0) f1 f1 (0) Trờn T h (2.1.2.8) khụng cú cỏc nghim khỏc vi (2.1.2.9) Tuy nhiờn, nu ta xột cỏc khong I ,1 T thỡ h (2.1.2.8a) cú mt h nghim x(t , c) c t 0 ( (t ) (0) , t f2 ú nghim ca (2.1.2.8a) c mụ t trờn mi khong ca T bi cụng thc (2.1.2.9a) 1.3 Nghim ca h phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh nh ngha 1.3.1 Toỏn t r j d L j (t ) dt Footer Page 53 oftõm 166 S húa bi Trung Hc liu i hc Thỏi Nguyờn j , http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 54 of 166 53 ú L j (t ) C (T ) l cỏc ma trn c n n , c gi l toỏn t hiu chnh trỏi nu vi mi x(t ) C 1 x(t ) x (t ) A x(t ) (T ) S r nh nht m tn ti toỏn t hiu chnh trỏi c gi l ch s trỏi ca (2.1.1) Xột h E (t ) x(t ) A(t ) x(t ) f (t ); t T [0; ) Gi thit E (.); A(.); f (.) l trn v iu kin ban u: x(0) (2.1.1) x0 (1.1*) Nhn xột Bi toỏn Cauchy (2.1.1) - (1.1*) gii c khụng phi vi mi x(0) Toỏn t hiu chnh trỏi n bin (2.1.1) v h: x (t ) A(t ) x(t ) f (t ) ; t T Bi toỏn Cauchy cho h (2.1.3.1) l gii c (2.1.3.1) x(0) n B 1.3.1 Gi s cho (2.1.1) cú toỏn t hiu chnh trỏi trờn T Khi y, nghim ca (2.1.1) (1.1*) v (2.1.3.1) (1.1*) l trựng v ch cỏc iu kin ban u tng thớch Xột h thun nht E (t ) x (t ) A(t ) x(t ) 0; t T [0; ) (2.1.3.2) B 1.3.2 Gi s rng E (t ), A(t ) C trỏi (T ) v phng trỡnh (2.1.3.2) cú toỏn t hiu chnh trờn T Khi y, iu kin ban u (1.1*) tng thớch vi (2.1.3.2) v ch x0 x(0, c1 ) S c1 , ú c1 d ; S l ma trn n n khụng suy bin Footer Page 54 oftõm 166 S húa bi Trung Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 55 of 166 54 B 1.3.3 Gi s rng E (t ), A(t ) C (T ) v phng trỡnh (2.1.3.2) cú toỏn t hiu chnh trờn T Khi y, (2.1.3.2) cú nghim tng quỏt dng trỏi x(t , c) U (t ) Y (t ) c 0 vi Y (t ), U (t ) l nhng ma trn khụng suy bin cp d v cp n trỡnh x (t ) t T v phng A x(t ) cú nghim dng x(t , c) U (t ) Y (t ) c, Y (t ) ú Y (t ) C1 (T ) l ma trn khụng suy bin vi t T , cp (n d ) (n d ) Chng minh Gi s (2.1.3.2) cú toỏn t hiu chnh trỏi Khi y h (2.1.3.2) c bin i v h x (t ) A(t ) x(t ) 0; t T Nghim ca (2.1.3.3) cú dng x(t ) (2.1.3.3) (t ) x(0) , ú (t ) l ma trn nghim c bn Theo b 1.3.2 thỡ x(t ) cng l nghim ca (2.1.3.2) nu x0 cú dng x0 x(0, c1 ) t (t ) S x(t , c) S c1 G1 (t ) G2 (t ) thỡ nghim ca (2.1.3.2) cú dng G3 (t ) G4 (t ) G1 (t ) G2 (t ) G3 (t ) G4 (t ) Nhng rank G1 (t ) G3 (t ) c1 G1 (t )c1 G3 (t )c1 const = d, t G1 (t ) c G3 (t ) T nờn tn ti ma trn khụng suy bin U (t ) C1 (T ) cp n n cho Footer Page 55 oftõm 166 S húa bi Trung Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 56 of 166 55 U (t ) G1 (t ) G3 (t ) Y (t ) , ú Y (t ) C1 (T ) l ma trn khụng suy bin cp d d Vy x(t , c) U (t ) Y (t ) Y (t ) c1 U (t ) c 0 t Y (t ) En d U (t ) (t ) S En d Khi y ta cú (t ) S U (t ) Y (t ) Y (t ) ú chớnh l iu phi chng minh Footer Page 56 oftõm 166 S húa bi Trung Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 57 of 166 56 Đ2 TNH IU KHIN C CA H PHNG TRèNH VI PHN I S VI H S BIN THIấN Xột h phng trỡnh: E (t ) x (t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ) det E (t ) t T (2.2.1) Gi thit E (t ), A(t ) C A (T ); B(t ), u(t ) trn v gi s (2.2.1) cú toỏn t hiu chnh trỏi Theo B 1.2.3, luụn P(t ), Q(t ) x(t ) C A (T ) cho vi phộp i bin Q(t ) y(t ) thỡ (2.2.1) tng ng vi: P(t ) E (t ) x (t ) P(t ) A(t ) x(t ) P(t ) B(t )u (t ) P(t ) E (t ) Q(t ) y (t ) Q (t ) y (t ) P(t ) A(t )Q(t ) y(t ) P(t ) B(t )u(t ) P(t ) E (t )Q(t ) y (t ) EC (t ) y (t ) P(t ) A(t )Q(t ) P(t ) E (t )Q (t ) y(t ) P(t ) B(t )u (t ) AC (t ) y (t ) P(t ) B(t )u (t ), (2.2.3) ú: Id 0 ; N (t ) EC (t ) P(t ) E (t )Q(t ) AC (t ) P(t ) A(t )Q(t ) P(t ) E (t )Q (t ) J (t ) ; In d B1 (t ) B2 (t ) ; B3 (t ) B4 (t ) P (t ) B (t ) J (t ) l ma trn c d d ; N (t ) l ma trn tam giỏc trờn (n d ) (n d ); N r(t ) 0; r n d Xột toỏn t Id 0 W0 (t ) ú: W j (t ); j 0 d W1 (t ) dt 0,1, , r-1 r -1 W j (t ) j ( j) 0 Wr -1 (t ) d dt r c xỏc nh bi r (t ) Fj (t ) ; (t ) C r (T ) j Footer Page 57 oftõm 166 S húa bi Trung Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 58 of 166 57 v F0 Nh vy, W0 (t ) (t ); F (t ) I n d ; W j (t ) ( j N (t ) (t ); N r (t ) (t ) 0,1, r 1) l cỏc ma trn c (n d ) (n d ) cú cựng cu trỳc vi N (t ) Lu ý Phng trỡnh N (t ) x (t ) x(t ) f (t ) (**) F j f (t ) (***) cú nghim dng r x(t ) j Tht vy: Vi r thỡ ta cú x(t ) Suy x (t ) F f (t ) f (t ) Chng t N (t ) x (t ) f (t ) N (t ) f (t ) Thay vo (**) ta cú: N (t ) f (t ) f (t ) (luụn ỳng f (t ) Vi r ta cú: x(t ) F (t ) F (t ) t T vỡ N (t ) r ) f (t ) N (t ) f (t ) f (t ) N (t ) f (t ) N (t ) f (t ) N (t ) x (t ) N (t ) f (t ) N (t ) f (t ) N (t ) N (t ) f (t ) x (t ) Vỡ r v N (t ) l ma trn tam giỏc trờn vi cỏc ụ vuụng trờn ng chộo bng khụng nờn N (t ); N (t ) N (t ) t T v ta cú: N (t ) x (t ) N (t ) f (t ) Thay vo (**) ta c: N (t ) f (t ) f (t ) N (t ) f (t ) Footer Page 58 oftõm 166 S húa bi Trung Hc liu i hc Thỏi Nguyờn f (t ) ( luụn ỳng) http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 59 of 166 Vi r 58 x(t ) f (t ) N (t ) f (t ) N (t ) N (t ) f (t ) N (t ) f (t ) F (t ) F (t ) F (t ) f (t ) x (t ) f (t ) N (t ) N (t ) N (t ) f (t ) N (t ) f (t ) N (t ) N (t ) N (t ) N (t ) f (t ) N (t ) N (t ) N (t ) f (t ) N (t ) N (t ) f (t ) N (t ) f (t ) N (t ) x (t ) N (t ) f (t ) N (t ) N (t ) N (t ) N (t ) f (t ) N (t ) N (t ) N (t ) f (t ) N (t ) N (t ) f (t ) N (t ) f (t ) Vỡ r thỡ (t ); N (t ) N (t ) t T N (t ); N (t ) N (t ); N (t ) N nờn ta cú N (t ) f (t ) (**) f (t ) N (t ) N (t ) f (t ) N (t ) f (t ) N (t ) N (t ) N (t ) N (t ) f (t ) N (t ) f (t ) f (t ) luụn ỳng Quy np theo r ta cú cụng thc nghim (***) T lu ý trờn, ta thy Id 0 y (t ) Id J (t ) bin h (2.2.3) v dng: In y (t ) d 0 0 ; ; ; W0 (t ) W1 (t ) Wr-1 (t ) t )].d r M r 1[B( u (t ) (2.4) ú: B (t ) B1 (t ) B2 (t ) ;d B3 (t ) B4 (t ) r u (t ) u (t ) u (t ) u ( r 1) (t ) t )] M r 1[B( t) C00 B( t ) C1B( t) C11B( ( j ) (t ) C1j B ( j 1) (t ) C jj B( t) C 0j B Footer Page 59 oftõm 166 S húa bi Trung Hc liu i hc Thỏi Nguyờn (#) http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 60 of 166 59 Chng hn: Vi r thỡ W0 (t ) (t ) W1 (t ) (t ) (t ) N (t ) (t ) W0 (t ) In d ; W1 (t ) N (t ) ú (t ) bt k, Id 0 W0 (t ) 0 d W1 (t ) dt v phng trỡnh N (t ) x (t ) f (t ) cú nghim x(t ) x(t ) f (t ) N (t ) f (t ) bin (2.2.3) v dng: Id 0 y (t ) J (t ) 0 In Id 0 y (t ) Id 0 y (t ) y (t ) d J (t ) J (t ) 0 In In Id 0 W0 (t ) y (t ) d Id ; 0 W1 (t ) t )].d M r 1[B( r u (t ) B u (t ) 0 ; W0 (t ) W1 (t ) B B u (t ) y (t ) d W0 (t ) B3 (t )u1 (t ) B4 (t )u2 (t ) B1 (t )u1 (t ) B2 (t )u2 (t ) W1 (t ) B3 (t )u1 (t ) B4 (t )u2 (t ) B3 (t )u1(t ) B4 (t )u2 (t ) Nhn xột Ta thy: Id 0 In d d dt U r (t )d r (t ), (2.2.5) ú U r (t ) j 0 0 ; ; ; ; (t ) (t ) (t ) Wj (t ) W W W j+1 r-1 Id 0,1, , r , (2.2.6) l toỏn t hiu chnh trỏi cho phng trỡnh (2.2.3) Footer Page 60 oftõm 166 S húa bi Trung Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 61 of 166 60 B 2.1 d j Av (t ) M j A(t ) d j v(t ) A(t ); v(t ) C i (t ) Theo B 2.1 thỡ (2.2.3) c a v dng J (t ) y (t ) U r (t ) M r P(t ) M r B(t ) d r u (t ) 0 y (t ) Do x(t ) x (t ) (2.2.7) Q (t ) x(t ) nờn Q(t ) y(t ) hay y(t ) A (t ) x(t ) Q(t )U r (t ) M r P(t ) M r B(t ) d r u (t ) , t T , ú A (t ) J (t ) Q (t ) Q(t ) 0 (2.2.8) Q (t ) Vy (2.2.7) cú th coi nh h nhn c t (2.2.1) bng cỏch tỏc ng toỏn t hiu chnh trỏi Khi y, theo cỏch xõy dng, toỏn t hiu chnh trỏi cho (2.2.1) cú dng Q(t )U r (t ) M r P (t ) d r V (2.2.8) thỡ A (t ) (2.2.9) A(t ) Xột h E (t ) x (t ) A(t ) x(t ) B (t )u (t ), t T a, b (2.2.1) nh ngha 2.1 H (2.2.1) c gi l iu khin c hon ton theo trng thỏi nu t mt trng thỏi ban u cho trc bt k x(t0 ) x0 ; t0 a, b bng cỏch chn mt iu khin u vo u (t ) tng ng cú th a v trng thỏi x(t1 ) mt khong thi gian hu hn t1 x1 ; t1 a, b sau t0 B 2.2 1) H x (t ) rank B (t ); A(t ) x(t ) B(t )u(t ) iu khin c hon ton v ch A B (t ) ; ; n A B (t ) Footer Page 61 oftõm 166 S húa bi Trung Hc liu i hc Thỏi Nguyờn n hu khp ni trờn t0 , t1 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 62 of 166 Trong ú ký hiu 61 In A d dt A(t ) T õy suy A i A B (t ) B (t ) 2) H i s d ( B (t )) dt In i A A A(t ) B (t ) ; B (t ) x(t ) B (t )u (t ); t T l iu khin c v ch rankB (t0 ) rankB (t1 ) n Gi s h (2.2.1) trờn T ó xỏc nh mt toỏn t hiu chnh trỏi r ngha: j ( ) x(t ) j d L j (t ) dt x (t ) theo v A(t ) x(t ) x C (T ) Xột H (t ) ( H (t ); H1 (t ); H r (t )) ( L0 (t ); L1(t ); Lr (t ) M r B(t ) ) Do (2.2.6),(2.2.9) v b 2.1 ta cú: H (t ) Q(t ) j Id 0 0 0 ; ; ; ; (t ) (t) (t ) Wj (t ) W W W j+1 r-1 Mr B1 (t ) B2 (t ) B3 (t ) B4 (t ) 0, , r Do cụng thc (#) nờn ta cú: H (t ) Q(t ) 0 B1 (t ) b2 (t ) ; H j (t ) Q(t ) ; j 1, r S j (t ) S j (t ) S03 (t ) S04 (t ) ú: Sri (t ) Crr Wr-1 (t ) Bi (t ); S r 1i (t ) Crr 11 (Wr -2 (t ) Wr -1 (t )) Bi (t ) Crr 1Wr -1 (t ) Bi (t ) r S1i (t ) (t ))B ( j C1j (Wj-1 (t ) W j i 1) (t ) Cr1Wr-1 (t ) Bi( r 1) (t ) j (t ) B (t ) S0i (t ) C00 W i r (t )) B ( j ) (t ) C W (t ) B ( r ) C 0j (Wj-1 (t ) W j i r r-1 i j i 3, Footer Page 62 oftõm 166 S húa bi Trung Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 63 of 166 Kớ hiu: d In dt 62 A (t ) v J (t ) Q (t ) Q(t ) 0 vi A (t ) j J (t ) 0 d In dt In d d dt Q (t ) B 2.3 Gi s (t ) l ma trn hm vi kớch thc tng ng v trn Khi ú k Q(t ) (t ) k Q(t ) (t ) k 0,1, Q( )t J (t) 0 Chng minh Ta chng minh bng quy np Vi k ng thc trờn ỳng Vi k ta cú: Q(t) ( t) d Q(t) ( t) dt d Q(t) dt B( )t Q( )t ( )t (t) Q( t) d ( t) Q( )t dt Q (1 )t Q ( )t ( ) t J (t ) Q (t ) (t ) Q(t ) (t ) Q (t )Q (t )Q(t ) (t ) Q(t ) 0 Q(t ) (t ) Q(t ) J (t ) 0 (t ) Q (t ) (t ) (t ) Gi s khng nh ỳng vi k n Ta chng minh ỳng vi k n Tht vy: n Q(t ) (t ) n Q(t ) (t ) d Q(t ) dt Q(t ) d dt n (t ) n (t ) J (t ) Q (t ) Q(t ) 0 Q(t ) J (t ) 0 n (t ) Q (t )Q(t ) Q(t ) n n (t ) (t ) Vy ta cú iu phi chng minh Footer Page 63 oftõm 166 S húa bi Trung Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 64 of 166 63 nh lý 2.1 Gi s: 1, E(t ), A(t ) C A (T ); B(t ), u(t ) C r (T ) ; 2, Tn ti toỏn t hiu chnh trỏi cho (2.2.1); 3, rank H (t ); H (t ) ; d H (t ) n hu khp ni trờn T t0 , t1 , vi d l s chiu ca khụng gian nghim ca (2.2.1); r 4, rank ( H1 (t ) ( 1)j j H j (t ) ; H r t( ) H r t( ) H r t( ); j H r 1(t ) H (t ) ; H (t )) n d t r r t0 v t t1 Khi ú (2.2.1) l iu khin c hon ton H qu Gi s E(t ), A(t ) C A (T ); B(t ), u(t ) C r (T ) v tn ti toỏn t hiu chnh trỏi (2.2.1) Ngoi ra, toỏn t ca (2.2.1) cú Ker Khi ú, (2.2.1) iu khin c hon ton v ch khi: r rank ( H1 (t ) ( 1) j j H j (t ) ; H r (t ) H (t ) r H (t ) r j ; H r (t ) H (t ) ; H (t )) n t r r t0 v t Footer Page 64 oftõm 166 S húa bi Trung Hc liu i hc Thỏi Nguyờn t1 http://www.lrc-tnu.edu.vn cho Header Page 65 of 166 64 KT LUN Lý thuyt phng trỡnh vi phõn (thng) cha tham s iu khin ó c nghiờn cu rt nhiu cun sỏch vi nhng : cụng thc nghim, tớnh iu khin c, quan sỏt c, Nghiờn cu v phng trỡnh vi phõn suy bin dng v khụng dng, lun ó trỡnh by nhng cỏch tip cn, nhng phng phỏp khỏc nh cp ma trn chớnh quy, toỏn t hiu chnh trỏi nhm cựng mt mc ớch l a phng trỡnh vi phõn phc tr v dng n gin ó c nghiờn cu trc ú hoc cú nhng tớnh cht c bit gim bt khú khn vic nghiờn cu, vớ d nh phng trỡnh vi phõn cú ma trn h s l ma trn lu linh T nh ngha iu khin c h phng trỡnh vi phõn, ta thy xột n tớnh iu khin c hon ton ũi hi phi tỡm mt hm iu khin u(t) a trng thỏi ban u x0 v trng thỏi bt k x1 no ú n , ngha l ta phi quan tõm n u iu ú dn ti vic cn nghiờn cu cu trỳc nghim ca h phng trỡnh vi phõn Vỡ vy, mc ca chng v chng chỳng tụi ó phỏt biu v chng minh cụng thc nghim, tớnh cht nghim ca h phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh Tiờu chun iu khin c nờu mc ca chng v chng cho h phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh chớnh l m rng tiờu chun hng Kalman, nhng tớnh cht phc ca h tuyn tớnh n suy bin nờn tiờu chun iu khin c cng ũi hi nhng iu kin khỏ phc Chỳng tụi ó c gng trỡnh by cỏc tiờu chun v din gii phn chng minh mt cỏch tng minh Quay tr li vi khỏi nim iu khin c hon ton, nú ũi hi tỡm mt hm iu khin a trng thỏi ban u x0 v trng thỏi bt k x1 Tuy nhiờn thc t, ta khụng quan sỏt c ton b u ca trng thỏi x(t) m ch cú th quan sỏt c mt s ta ca nú Thớ d, quan sỏt chuyn ng ca mt chic mỏy bay trờn bu tri, ta ch cú th bit c cỏc ta v trớ ca nú khụng gian m khụng cú kh nng o c chớnh xỏc tc thi cỏc ta khỏc (vn tc, gia Footer Page 65 oftõm 166 S húa bi Trung Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 66 of 166 65 tc), ngha l v mt toỏn hc ta khụng bit ton b x(t) m ch quan sỏt c u qua vect H(t)x(t) iu ny gii thớch khỏi nim iu khin c v khụng gian hay H iu khin c Trong mt s cun sỏch v iu khin cú trỡnh by tiờu chun H iu khin c cho h phng trỡnh vi phõn thng Tuy nhiờn i vi phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh ta li cha cú c tiờu chun H iu khin c (xem nh l m rng ca tiờu chun H iu khin c phng trỡnh vi phõn thng) Vỡ vy ny (v nhiu khỏc ca phng trỡnh vi phõn i s) cn c xem xột k hn Hy vng rng nú s tip tc c nghiờn cu thi gian sp ti Footer Page 66 oftõm 166 S húa bi Trung Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 67 of 166 I 66 TI LIU THAM KHO Ting Vit Trn H An: Ma trn c bn v tớnh iu khin c ca h phng trỡnh vi phõn n tuyn tớnh (Lun Cao hc), Vin Toỏn hc, 2003 Phm K Anh: Lý thuyt s bi toỏn iu khin ti u, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni, 2001 Vi Diu Minh, Trn Thin Ton: Cụng thc nghim ca h ng lc suy bin khụng dng cú iu khin, Tp Khoa hc v Cụng ngh, i hc Thỏi Nguyờn, No2 (46), Tp (2008), trang 105-109 V Ngc Phỏt: Nhp mụn lý thuyt iu khin toỏn hc (trong B sỏch Cao hc, Vin Toỏn hc), Nh xut bn i hc Quc gia H Ni, 2001 T Duy Phng: iu khin c, n nh v n nh húa (Giỏo trỡnh Cao hc), 2008 II Ting Anh L Dai: Singular Control Systems (in Lecture Notes in Control and Information Sciences, Vol 118), Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, 1989 III Ting Nga Iu E Boarinshev: H vi phõn-i s tuyn tớnh v phi tuyn, Nh xut bn Nauka, Novosimbirsk, 2000 Iu E Boarinshev, I V Orlova: Chựm ma trn v h vi phõn-i s, Nh xut bn Nauka, Novosimbirsk, 2006 V Ph Chischiakov, A A Scheglova: Nhng chng chn lc ca lý thuyt h vi phõn-i s, Nh xut bn Nauka, Novosimbirsk, 2003 10 Ph P Gantmacher: Lý thuyt ma trn, Nh xut bn sỏch K thut-Lý thuyt, Moscow, 1954 Footer Page 67 oftõm 166 S húa bi Trung Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ... PHNG TRèNH VI PHN I S TUYN TNH VI H S HNG Đ1 Tớnh gii c ca h phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh vi h s hng Đ2 Tớnh iu khin c ca h phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh vi h s hng... hn s khỏc bit ca phng trỡnh vi phõn suy bin so vi phng trỡnh vi phõn thng, ngoi vic tỡm cu trỳc nghim cũn nhm ỏp dng vo vic nghiờn cu tớnh iu khin c ca h phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh c trỡnh by... TRèNH VI PHN I S TUYN TNH VI H S HNG Đ1 TNH GII C CA H PHNG TRèNH VI PHN I S TUYN TNH VI H S HNG 1.1 H phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh vi ma trn ly linh Xột phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh dng