Bài toán điều khiển tối ưu toàn phương mô tả bởi hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI CHU THỊ HỒNG BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TOÀN PHƯƠNG MÔ TẢ BỞI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI CHU THỊ HỒNG BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TOÀN PHƯƠNG MÔ TẢ BỞI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG HÀ NỘI, 2015 Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Tạ Duy Phượng Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn khoa học mình, người giao đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình tìm hiểu, nghiên cứu để hoàn thành luận văn Nhân dịp này, xin chân thành cảm ơn tới toàn thể Thầy Cô giáo khoa Toán đặc biệt chuyên ngành Toán Giải tích, Phòng Sau đại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu trường Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè cổ vũ, động viên, giúp đỡ trình học tập thực luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Người thực Chu Thị Hồng Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: Bài toán điều khiển tối ưu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2015 Người thực Chu Thị Hồng Mục lục Danh mục kí hiệu viết tắt Mở đầu Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân thường tuyến tính 1.1 Bài toán điều khiển tối ưu 1.1.1 Các khái niệm 1.1.2 Bài toán điều khiển tối ưu 16 1.1.3 Nguyên lí cực đại Pontryagin 22 1.2 Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân tuyến tính 25 1.2.1 Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân tuyến tính 25 1.2.2 Phương trình Riccati 26 Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính 2.1 33 Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính 34 2.1.1 Các khái niệm 34 2.1.2 Điều kiện cần đủ tối ưu 44 2.2 Cấu trúc Hamilton 51 2.3 Nghiệm toán điều khiển tối ưu với điều khiển liên hệ ngược 55 2.3.1 Điều khiển tối ưu liên hệ ngược 55 2.3.2 Nghiệm hệ phương trình DAE Riccati 58 2.3.3 Nghiệm toán hệ đóng 63 2.3.4 Phương trình Riccati hệ Hamilton 64 Kết luận 67 Tài liệu tham khảo 68 Danh mục kí hiệu viết tắt Các kí hiệu thường dùng Rm : Không gian Euclide m chiều X ∗ : Không gian liên hợp X detA: Định thức ma trận A I : Toán tử đồng (toán tử đơn vị ) A∗ : Ma trận chuyển vị A A−1 : Toán tử ngược ma trận A Mn,m (R): Tập ma trận n hàng, m cột với hệ số R Kerf : Hạt nhân ánh xạ tuyến tính Kerf = {x ∈ X|f (x) = 0Y } Imf : Ảnh ánh xạ tuyến tính Imf = {f (x) ∈ Y |x ∈ X} L(Rn , Rm ) : Không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ Rn tới Rm L(Rn ): Không gian ánh xạ tuyến tính từ Rn tới Rn L2 [a, b]: Không gian hàm khả tích [a, b] C[a, b]: Không gian hàm liên tục đoạn [a, b] C1 [a, b]: Không gian hàm khả vi, liên tục đoạn [a, b] C1B [a, b] = x ∈ C[a, b] : Bx ∈ C1 [a, b] Các kí hiệu viết tắt DAE Phương trình vi phân đại số ODE Phương trình vi phân thường Mở đầu Lí chọn đề tài Do yêu cầu thực tiễn, toán điều khiển tối ưu mô tả hệ phương trình vi phân thường nghiên cứu trọn vẹn đạt kết bản, điển hình nguyên lí cực đại Pontryagin phương pháp qui hoạch động Cũng yêu cầu kĩ thuật, khoa học công nghệ, năm 1980, phương trình vi phân đại số (Differential-Algebraic Equations) mô tả hệ thống phức tạp (trong học người máy, hóa học, điều khiển tàu vũ trụ, ) nghiên cứu mạnh mẽ giới Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính số nhóm nghiên cứu giới (Nga, Đức, ) cố gắng giải (xem, thí dụ [4], [7], [9]) Với mong muốn tìm hiểu sâu hướng nghiên cứu tương đối thời toán điều khiển tối ưu mô tả hệ phương trình vi phân thường phương trình vi phân đại số, chọn đề tài Bài toán điều khiển tối ưu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính làm luận văn cao học Mục đích nghiên cứu 1) Tìm hiểu trình bày toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân thường tuyến tính không gian hữu hạn chiều, chủ yếu theo Tài liệu [8] số tài liệu khác 2) Tìm hiểu trình bày lí thuyết hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính, chủ yếu theo Tài liệu [7] 3) Tìm hiểu trình bày toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính theo [9] Nhiệm vụ nghiên cứu 1) Nghiên cứu toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân thường không gian hữu hạn chiều 2) Nghiên cứu hệ phương trình vi phân đại số 3) Nghiên cứu toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân thường phương trình vi phân đại số tuyến tính Phương pháp nghiên cứu 1) Thu thập tài liệu liên quan tới Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân 2) Phân tích, tổng hợp hệ thống kiến thức liên quan tới Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân thường phương trình vi phân đại số tuyến tính Đóng góp Xây dựng Luận văn thành tài liệu tổng quan tốt cho sinh viên học viên cao học đề tài Bài toán điều khiển tối ưu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân thường phương trình vi phân đại số tuyến tính không gian hữu hạn chiều 55 − −1 − −1 B (t) G1 C (t) B (t) = B (t) G1 C (t) B (t) = −1 , ODE quy đặt u(t) = ¯ B(t)x(t) −A¯∗ (t)ψ(t) = x2 (t) −ψ2 (t) ∈ R2 , ta có u (t) = −1 u(t) tức hàm Hamilton Do đó, để phù hợp với tính chất Hamilton A(t) ma trận cột có hạng đầy đủ 2.3 Nghiệm toán điều khiển tối ưu với điều khiển liên hệ ngược 2.3.1 Điều khiển tối ưu liên hệ ngược Nghiệm liên hệ ngược thông qua phương trình vi phân Riccati dùng để giải toán điều khiển tối ưu tuyến tính dạng toàn phương cho hàm mục tiêu J (u, x) = x (T ) , V x (T ) + T + { x (t) , W (t) x (t) + x (t) , S (t) u (t) + u (t) , K (t) u (t) } dt (2.42) Trong W (t), K(t) V ma trận đối xứng, K(t) ma trận xác định W (t) S (t) dương, ma trận nửa xác định dương, t ∈ [0, T ] S(t)∗ K (t) Xét điều kiện x (t) = B (t) x (t) + D (t) u (t) , t ∈ [0, T ] , (2.43) 56 x (0) = y0 (2.44) Giải toán giá trị cuối cho phương trình vi phân Riccati dạng ma trận Y = −Y C − C ∗ Y + (S + Y D) K −1 (S ∗ + D∗ Y ) − W, Y (T ) = V (2.45) (2.46) Ở Y ma trận đối xứng, toán cực tiểu hóa bắt nguồn từ toán giá trị ban đầu x = Cx − DK −1 (S ∗ + D∗ Y ) x, x (0) = y0 (2.47) Nghiệm x∗ toán giá trị ban đầu (2.47) với u∗ = −K −1 (S ∗ + DY ) x∗ giải toán cực tiểu hóa (2.42)- (2.44) Hàm mục tiêu cực tiểu J (u∗ , x∗ ) = y0 , Y (0)∗ y0 Nếu phương trình vi phân thường (2.43) thay DAE (2.7) khó khăn Ta xét phương trình vi phân B ∗ A∗ Y B − B = −Y ∗ C − C ∗ Y + (S + Y ∗ D) K −1 (S ∗ + D∗ Y ) − W (2.48) với điều kiện giá trị cuối A(T )∗ Y (T ) B(T )− = B(T )−∗ V B(T )− (2.49) Cho G (t) ∈ L (Rn , Rn ) hình chiếu biểu thị phép chiếu thực phép phân rã (2.11), kerA (t) = kerG (t) , imG (t) = imB (t) , t ∈ [0, T ] Trong G(t) ta xây dựng Q (t) ∈ L (Rm , Rm ), Q∗ (t) ∈ L Rk , Rk phép chiếu vuông góc lên ker (A (t) B (t)) ker (B(t)∗ A(t)∗ ) tương ứng, P (t) = I − Q (t), P∗ (t) = I − Q∗ (t) , t ∈ [0, T ] Các hàm Q, P, Q∗ P∗ liên tục Giả sử V = V P (T ) Cho phép chiếu G, P P∗ , ta xây dựng B − ma trận ngược suy rộng B A∗− ma trận suy rộng ngược A∗ 57 B − BB − = B − , A∗ Y B − = B −∗ Y ∗ A Tương tự cho A∗− Chú ý B − A−∗ xác định liên tục [0, T ] Bổ đề 2.3.1 (Lemma 1, [5], p 281) Nếu Y : [0, T ] → L (Rn , Rn ) liên tục với A∗ Y B − khả vi liên tục, thỏa mãn toán giá trị cuối (2.48),(2.49) quan hệ đối xứng A∗ Y B − = B −∗ Y ∗ A Chú ý 2.3.1 (Remark 1, [5], p 281 ) Nếu Y nghiệm (2.48),(2.49) A∗ Y Q = cho trước B ∗ A∗ Y = Y ∗ AB (2.50) Ngược lại từ phương trình (2.50) suy A∗ Y Q = Định lý 2.3.1 (Theorem 1, [5], p 282) Giả sử Y nghiệm toán giá trị cuối (2.48),(2.49), điều kiện A∗ Y Q = Cho x∗ ∈ C1B nghiệm toán giá trị ban đầu A(Bx) = Cx − DK −1 (S ∗ + D∗ Y ) x, A (0)B (0) x (0) = y0 cho u∗ = −K −1 (S ∗ + D∗ Y ) x∗ (u∗ , x∗ ) cặp tối ưu, có nghĩa với trình (u, x) J (u, x) ≥ J (u∗ , x∗ ) = y0 , A(0)∗− B(0)−∗ Y (0)∗ y0 (2.51) (2.52) 58 Chứng minh Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu dạng toàn phương (2.45), (2.47), (2.11) đóng tương đương với toán giá trị biên A 0 −B ∗ = B 0 A∗ x ψ C − DK −1 S ∗ −DK −1 D∗ W − SK −1 S ∗ C ∗ − SK −1 D∗ = x ψ , (2.53) A (0) B (0) x (0) = y0 , (2.54) B(T )∗ A(T )∗ ψ (T ) = V x (T ) (2.55) Nếu toán giá trị biên có cặp nghiệm (x∗ , ψ∗ ) u∗ = −K −1 (S ∗ x∗ + D∗ ψ∗ ) điều khiển tối ưu Ngược lại, (u∗ , x∗ ) cặp nghiệm tối ưu hàm ma trận [AB − CQ, D] [0, T ] ma trận hàng có hạng đầy đủ tồn hàm liên hợp ψ∗ cho x∗ , ψ∗ nghiệm toán giá trị biên (2.53)-(2.55) 2.3.2 Nghiệm hệ phương trình DAE Riccati Nghiệm toán (2.48), (2.49) thỏa mãn điều kiện sau P∗ Y Q = (2.56) Mọi nghiệm Y liên tục với A∗ Y B − khả vi liên tục phân tích sau Y = P∗ Y P + Q∗ Y P + Q∗ Y Q = A∗− A∗ Y B − B + Q∗ Y P + Q∗ Y Q Ta thấy U := A∗ Y B − ∈ C1 , V = Q∗ Y P, Z := Q∗ Y Q = Y Q ∈ C 59 thỏa mãn phương trình vi phân Riccati, phương trình tuyến tính, phương trình Riccati đại số Nhân (2.48) với Q hai vế, sau nhân Q vào bên trái, P vào bên phải, tương tự nhân B −∗ vào bên trái B − vào bên phải, ta hệ sau = −(Y Q)∗ CQ − QC ∗ Y Q + (QS + (Y Q)∗ D) K −1 (S ∗ Q + D∗ Y Q) − QW Q, (2.57) = −(Y Q)∗ CP − QC ∗ Y P + (QS + (Y Q)∗ D) K −1 (S ∗ P + D∗ Y P ) − QW P , (2.58) ∗ K ∗ A∗ Y B − K = − Y B − CB − − B −∗ C ∗ Y B − ∗ + B −∗ S + Y B − D K −1 S ∗ B −1 + D∗ Y B −1 − B −∗ W B − (2.59) Nhân (2.48) với P vào bên trái Q vào bên phải (2.58) lần nữa, ta (2.48) tương đương với (2.57)-(2.59) Rõ ràng Z = Q∗ Y Q = Y Q thỏa mãn phương trình Riccati đại số = − Z ∗ Q∗ CQ − QC ∗ Q∗ Z + (QS + Z ∗ Q∗ D) K −1 (S ∗ Q + D∗ Q∗ Z) − QW Q (2.60) điều kiện tầm thường (the trivial conditions) P∗ Z = 0, ZP = Từ (2.58), ta có quan hệ tuyến tính cho thành phần Z, U V cho M Q∗ V + M P∗ A∗− U B = −Z ∗ Q∗ CP + (QS + Z ∗ Q∗ D) K −1 S ∗ P − QW P, (2.61) M := QC ∗ − (QS + Z ∗ Q∗ D) K −1 D∗ , M = QM Chú ý, điều kiện imM Q∗ = imQ, kerM ∩ imQ∗ = thỏa mãn, ta có kerM Q∗ = kerQ∗ cho (2.62) 60 (M Q∗ )+ M Q∗ = Q∗ , M Q∗ (M Q∗ )+ = Q phương trình (2.61) V xác định nhất, thuộc vào Z U Ta V = C1 + C2 A∗− U B, (2.63) với C1 = (M Q∗ )+ −Z ∗ Q∗ CP + (QS + Z ∗ Q∗ D) K −1 S ∗ P − QW P C2 = −(M Q∗ )+ M P∗ Chú ý (M Q∗ )+ liên tục Nó với C1 = Q∗ C1 = C1 P, C2 = Q∗ C2 = C2 P∗ Do K khả vi liên tục U K = U , K ∗ U = U đúng, ta viết K ∗ (A∗ Y B − ) K = K ∗ U K = U − K ∗ U − U K Ta có U ma trận đối xứng theo (2.3.1), dùng (2.63) suy Y P = C1 + C3 A∗− U B, C = C + P∗ Từ (2.59) ta phương trình vi phân theo U ˜ −1 D ˜ ∗U − W ˜, U = −U C˜ − C˜ ∗ U + U DK C˜ ∗ = −K ∗ + B −∗ C ∗ C3 A∗− − B −∗ (S + C1∗ D) K −1 D∗ C3 A∗− , ˜ ∗ = D∗ C3 A∗− , D ˜ = B −∗ W ˜ ∗ := D∗ C3 A∗− , D P W P + P C1∗ CP + P C ∗ C1 P −P (S + C1∗ D) K −1 (S ∗ + C1 D) P ˜ ∗ B −1 = W (2.64) 61 Bổ đề 2.3.2 (Lemma 2, [5], p 283) Cho điều kiện (2.62) thỏa mãn, imZ = imQ∗ , kerZ = kerQ (2.65) (2.64) phương trình vi phân DAE với ma trận hệ số đối xứng nửa xác ˜ định dương W Định lý 2.3.2 (Theorem 2, [5], p 283) Nếu Y nghiệm phương trình Riccati với toán giá trị cuối (2.48),(2.49) (2.56) điều kiện (2.62) (2.65) thỏa mãn, thành phần Z = Q∗ Y Q nghiệm phương trình vi phân Riccati (2.60), U = A∗ Y B − nghiệm phương trình vi phân Riccati (2.64) V = Q∗ Y P thỏa mãn (2.61) Chứng minh Ngược lại, xét hệ với hàm chưa biết Z, U, V cho (2.60), (2.56), (2.64), (2.49), (2.61) = − Z ∗ Q∗ CQ − QC ∗ Q∗ Z + (QS + Z ∗ Q∗ D) K −1 (S ∗ Q + D∗ Q∗ Z) − QW Q, (2.66) P∗ Z = 0, (2.67) ZP = 0, (2.68) ˜ −1 D ˜ ∗U − W ˜, U = −U ∗ C˜ − C˜ ∗ U + U ∗ DK (2.69) U (T ) = B(T )−∗ V B(T )− , (2.70) M Q∗ V = −M P∗ A∗− U B − QW P − Z ∗ Q∗ CP + (QS + Z ∗ Q∗ D) K −1 S ∗ P (2.71) ta tìm nghiệm Y hệ phương trình Riccati thường (2.48), (2.49) (2.56) ˜ D, ˜ W ˜ , M định nghĩa từ nghiệm Z, U, V Các hệ số C, thuộc Z 62 Nếu Z nghiệm phương trình đại số (2.66) Z + P∗ Z˜ , Z˜ hàm ma trận cỡ k × m bất kì, nghiệm (2.66) Từ định nghĩa (2.67) ta chọn nghiệm với Z = ZQ Từ (2.67), (2.68) ta có Z = Q∗ ZQ Rõ ràng, (2.66) ma trận đối xứng, Z không cần thiết ma trận đối xứng Chú ý Z có k dòng m cột Nếu m = k Q∗ = Q Z ma trận đối xứng Ta cần Z thỏa mãn điều kiện (2.65) imM Q∗ = imQ, kerM Q∗ = kerQ∗ (2.72) ˜ D ˜, W ˜ (2.69) liên với M = QC ∗ − (QS + Z ∗ Q∗ D) K −1 D∗ hệ số C, ˜ ma trận đối xứng xác định dương tục Ngoài , W Bổ đề 2.3.3 (Lemma 3, [5], p 284) Cho nghiệm Z (2.66)-(2.68) thỏa mãn điều kiện (2.65)-(2.72), có nghiệm U phương trình vi phân Riccati (2.69) thỏa mãn điều kiện cuối (2.70), quan hệ U = U ∗ , U = U K, U = K ∗ U K Ta có ma trận U Z , xây dựng V =(M Q∗ )+ −M P∗ A∗− U B − QW P − Z ∗ Q∗ CP + (QS + Z ∗ Q∗ D) K −1 S ∗ P (2.73) thỏa mãn (2.71) Y = A∗− U B + Z + V Theo giả thiết mệnh đề (2.3.3), V Y liên tục 63 A∗ Y B − = K ∗ U K = U , Q∗ Y P = Q∗ P = V , Q∗ Y Q = Q∗ ZQ = Z Thành phần A∗ Y B − Y khả vi liên tục đối xứng Khi (2.66)- (2.71) có Y nghiệm hệ (2.48), (2.49), (2.56) Định lý 2.3.3 (Theorem 3, [5], p 282) Cho hệ Riccati đại số (2.66)- (2.68) có nghiệm Z thỏa mãn điều kiện (2.66), (2.75) hệ DAE Riccati (2.48), (2.49), (2.56) có nghiệm Y mà A∗ Y B − liên tục đối xứng Ngoài ra, A∗ Y Q = 2.3.3 Nghiệm toán hệ đóng Xét tồn nghiệm điều khiển tối ưu u∗ với cực tiểu hàm giá J (u∗ , x∗ ) từ Định lý (2.3.1), việc tồn nghiệm Y Riccati DAE, điều kiện cần để tồn nghiệm toán giá trị ban đầu (2.51) Thật vậy, A B không suy biến, toán ban đầu (2.51) có nghiệm cho y0 tùy ý Trong trường hợp A B suy biến ta có kết khác Định lý 2.3.4 (Theorem 11.29a, [7], p 532) Cho điều kiện định lý (2.3.3) thỏa mãn, m = k Y nghiệm hệ Riccati DAE (2.48), (2.49) (2.56) DAE (2.51) quy với số 1, có nghiệm x∗ ∈C1B toán giá trị ban đầu (2.51) Chứng minh Nghiệm toán giá trị ban đầu dãy có tính chất số (The IVP solvability is a consequence of the index-1 property) Ta chứng minh DAE (2.51) quy với số Theo Định lý 11.7, [7], p 507, DAE quy với số liên hợp quy với số 64 Xét phương trình −B ∗ (A∗ y) = C ∗ y + (Y ∗ D − S) K −1 D∗ y (2.74) Hệ DAE (2.74) quy với số không gian kerQ (C ∗ ) + (Y D∗ − S) K −1 D∗ =: S∗ ; kerB ∗ A∗ = imQ∗ giao Vì QY ∗ = (Y Q)∗ = (ZQ)∗ = QZ ∗ nên ta có S∗ = ker QC ∗ + (QZ ∗ D − QS) K −1 D∗ = kerM, có nghĩa DAE (2.51) quy với số kerM imQ∗ giao Định lý 2.3.5 (Theorem 11.29b, [7], p 532) Điều kiện (2.3.3) cho trước, m > k , Y nghiệm hệ Riccati DAE (2.48), (2.49) (2.56) có nghiệm x∗ ∈C1B toán giá trị ban đầu (2.51) Chứng minh Tính G1 = AB − C − DK −1 (S ∗ + D∗ Y ) Q tìm ma trận có hạng đầy đủ k Nếu Q∗ CQ − DK −1 (S ∗ Q + D∗ ZQ) = Q∗ M ∗ = (M Q∗ )∗ có miền giá trị Q∗ có nghĩa im(M Q∗ )∗ = imQ∗ 2.3.4 Phương trình Riccati hệ Hamilton Định lý 2.3.6 (Theorem 6, [5], p 284) Cho Y nghiệm toán (2.48), (2.49) với A∗ Y Q = 0, hàm liên tục X : [0, T ] → L(Rp , Rm ), với BX khả vi liên tục, thỏa mãn phương trình A(BX) = (C − DK −1 S ∗ − DK −1 D∗ Y )X 65 Khi cặp X ,Ψ := Y X nghiệm hệ Hamilton A(BX) = (C − DK −1 S ∗ )X − DK −1 D∗ Ψ, (2.75) −B ∗ (A∗ Ψ) = (W − SK −1 S ∗ )X + (C ∗ − SK −1 D∗ )Ψ, (2.76) Ψ liên tục với A∗ Ψ khả vi liên tục Chứng minh Cặp X, Ψ gồm p cột nghiệm hệ vi phân đại số Hamiltonian (2.53) Nếu ta giải hệ (2.75),(2.76) phải xét tới số DAE (2.76) Phương trình (2.53) có thành phần đầu thường (2.45) Phương trình (2.53) hệ vuông có m + k phương trình m + k hàm chưa biết Định lý 2.3.7 (Theorem 7, [5], p 285 ) Nếu A B không suy biến, (2.53) dạng phương trình vi phân thường quy dạng ẩn (DAE quy với số 0) Trái lại, điều kiện cần đủ để DAE (2.53) quy với số hai điều kiện sau thỏa mãn: [AB − CQ, D] có hạng k đầy đủ, im[Q(C ∗ − SK −1 D∗ )Q∗ , Q(W − SK −1 S ∗ )Q] = imQ Định lý 2.3.8 (Theorem 8, [5], p 285) Cho X(t) ∈ L(Rm , Rm ), Ψ ∈ L(Rm , Rk ) liên tục [0, T ] cho m cột thuộc CB1 C1A∗ , tương ứng A(BX) = (C − DK −1 S ∗ )X − DK −1 D∗ Ψ, −B ∗ (A∗ Ψ) = (W − SK −1 S ∗ )X + (C ∗ − SK −1 D∗ )Ψ, thỏa mãn Cho X không suy biến cho X −1 B − thuộc C Cho Y := ΨX −1 cho P∗ Y Q = 0, A∗ Y B − = B −∗ Y ∗ A Khi đó, Y liên tục với A∗ Y B − khả vi liên tục thỏa mãn hệ Riccati DAE 66 Chứng minh Nếu X, Ψ Định lý (2.3.8) chọn cho điều kiện cuối B(T )∗ A(T )∗ Ψ(T ) = V , A(T )B(T )X(T ) = A(T )B(T ), điều kiện (2.49) thỏa mãn 67 Kết luận Luận văn Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính có mục đích trình bày tổng quan Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân thường tuyến tính Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, luận văn gồm hai chương Chương trình bày Bài toán điều khiển tối ưu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân thường nguyên lí cực đại Pontryagin cho toán điều khiển tối ưu Chương trình bày Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính Luận văn viết chủ yếu dựa tài liệu [5], [7], [9] Chứng minh định lí mệnh đề làm sáng tỏ Nhiều tính toán chứng minh trình bày chi tiết tài liệu gốc 68 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Phương pháp số điều khiển tối ưu, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 [2] Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm, NXB Khoa học Kĩ thuật, 2006 [3] Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 [B] Tài liệu Tiếng Anh [4] Katalin Balla, Galina A Kurina, Roswitha M¨arz, Index Criteria for Differential Algebraic Equations Arising from Linear-Quadratic Optimal Control Problems, Journal of Dynamical and Control Systems, Vol 12, July 2006, 289-311 [5] Galina A Kurina, Roswitha M¨arz, Feedback control for linear systems unresolved with respect to derivative, Automat Remote Control, Vol 45, pp 713–717, 1984 [6] Galina A Kurina, Roswitha M¨arz, (2004), On Linear-Quadratic Optimal Control Problems for Time-Varying Descriptor Systems, SIAM J Control Optim, 42 , no 6, 2062–2077 (electronic) 69 [7] René Lamour, Roswitha M¨arz, Caren Tischendorf, Differential-algebraic equations: a projector based analysis, Differential-Algebraic Equations Forum, Springer, Heidelberg, xxviii+649 pp, 2013 [8] E B Lee, L Markus, Foundations of Optimal Control Theory, Robert E Krieger Publishing Company, Florida, 1986 [9] Roswitha M¨arz, Differential Algebraic Equations in Optimal Control Problems, https://www.tu-ilmenau.de/fileadmin/media/ /Maerz.pdf [10] Richard M Murray, Optimization-Based Control, California Institute of Technology, DRAFT V2.1a, January 4, 2010 [11] J Zabczyk, Mathematical Control Theory: An Introduction, Birkh¨auser, Boston, 1995 [...]... khiển người máy, hệ thống điện, ) được mô tả bởi các hệ phương trình vi phân đại số có điều khiển Lí thuyết điều khiển các hệ động lực mô tả bởi phương trình vi phân đại số được quan tâm và phát triển mạnh mẽ trong những năm gần đây Chương 2 của luận văn trình bày bài toán điều khiển tối ưu mô tả bởi hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hàm mục tiêu toàn phương Theo một nghĩa nào đó, nội dung... (x (T )) = 0, ∂V ∂ψ + νT − λT (T ) = 0 ∂x ∂x 1.2 Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.2.1 Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân thường tuyến tính có điều khiển x (t) = A (t) x (t) + B (t) u (t) , t ∈ I = [0, T ] x ∈ Rn , u ∈ Rm , x0 cho trước (1.7)... liên hệ ngược cực tiểu hoá hàm mục tiêu là u = −Kx Ta xét   0 1 2  A − BK =  1 − − q q Đa thức đặc trưng của ma trận này là λ2 + 2 1 λ+ q q So sánh điều này với λ2 + 2αω0 λ + ω0 2 ta thấy rằng ω0 = 1 1 ,α = √ q 2 1 Do đó điều khiển tối ưu cho hệ đóng với α = √ 2 33 Chương 2 Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả bởi hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính Lí thuyết phương. ..8 Chương 1 Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả bởi hệ phương trình vi phân thường tuyến tính 1.1 1.1.1 Bài toán điều khiển tối ưu Các khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.1.1 Cho X , Y là hai không gian vectơ trên trường số thực R A : X → Y được gọi là ánh xạ tuyến tính từ X vào Y nếu thỏa mãn điều kiện A(αx) = αA(x), với mọi x ∈ X, α ∈ R, A(x... nghiệm địa phương thỏa mãn điều kiện ban đầu x (t0 ) = x0 , t0 ∈ (a, b) 17 Chú ý 1.1.1 Để ngắn gọn, ta thường gọi hệ phương trình (1.1) là phương trình vi phân, ta hiểu rằng đây là phương trình vi phân vectơ hay hệ phương trình vi phân Tương tự, đôi khi ta cũng gọi các hàm vectơ x(t) và f (t, x) là các hàm số Bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện (1.2) được gọi là bài toán giá... phương trình vi phân đại số (Differential Algebraic Equations DAEs) được định hình và phát triển trong khoảng ba mươi năm trở lại đây Một mặt, nó có thể được coi như là sự mở rộng tự nhiên của lí thuyết phương trình vi phân Mặt khác, lí do để phương trình vi phân đại số được các nhà toán học quan tâm là vì nó là mô hình của rất nhiều các bài toán thực tế Nhiều bài toán thực tế (điều khiển người máy, hệ. .. tuyến tính với hàm mục tiêu toàn phương Theo một nghĩa nào đó, nội dung của Chương 2 là sự phát triển của Chương 1 cho hệ điều khiển mô tả bởi hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính Đồng thời cũng chỉ ra những khó khăn khi làm vi c với các hệ thống phức tạp hơn hệ phương trình vi phân thường ... (T ) Phương trình này được thỏa mãn nếu ta tìm S(t) sao cho −S = AT S + SA − SBQ−1 B T S + P, S(T ) = W (1.13) 28 Phương trình (1.13) được gọi là phương trình vi phân ma trận Riccati Giả sử S(t) thỏa mãn (1.13), ta có điều khiển tối ưu dạng u(t) = −Q−1 (t)B T (t)S(t)x(t) Thay vào hệ phương trình vi phân ban đầu (1.9) và giải hệ này với điều kiện x(0) = x0 ta được nghiệm Chú ý rằng ở đây điều khiển. .. tối ưu được cho bởi (1.21) Ví dụ 1.5 Xét hệ dx = dt 0 1 0 0 0 1 x+ u với hàm mục tiêu tuyến tính được cho bởi P = q2 0 0 0 ,Q = 1 Điều khiển tối ưu được cho bởi phương trình Riccati (1.13) Cho S là ma trận nửa xác định dương có dạng S= a b b c Khi đó phương trình Riccati −b2 + q 2 a − bc a − bc 2b − c2 có nghiệm là = 0 0 0 0 32 S= 2q 3 √q q 2q Hàm điều khiển được cho bởi K = Q−1 B T S = 1 q 2 q Điều. .. đầu hay bài toán Cauchy của hệ phương trình vi phân thường Trong lý thuyết điều khiển tối ưu, ta thường làm vi c với hệ phương trình vi phân thường có dạng dx = f (t, x, u) , t ≥ 0 dt (1.3) với các thời điểm t0 , T > t0 là cho trước và cố định Các hàm u : [0, ∞) → Rm là hàm đo được (hoặc liên tục từng khúc) trên [t0 , T ] và thỏa mãn hạn chế u(t) ∈ U, ∀t ∈ [0, T ] , (1.4) được gọi là điều khiển chấp