Bài toán điều khiển tối ưu toàn phương mô tả bởi hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI CHU CHU TH TH HNG HNG Lũi Li cm cam n oan BIxin TON IU KHIN TI U TON PHNG Mễ T BI H Lun Tụi vncam c oan, thcKHIN di hinsvTI hng honU thnh dn ca di PGS s hng TS TMễ dn DuyT khoa Phng, hcH ca lunPGS BI TON IU TON PHNG BI PHNG TRèNH VI PHN In S TUYN TNH TS chuyờn T Duy ngnhPhng Toỏn gii Tụitớch xin vi c VI ti: gi Bi li cm toỏn iu sõu khin sc n ti Thy u ton hng phng dn PHNG TRèNH PHN I S TUYN TNH khoa mụ thc bica h mỡnh, phng ngi trỡnhóvigiao phõni ti s v tuyn tn tỡnh tớnh hng cdn hon thnh sut biquỏ s trỡnh nhn tỡm thchiu, v tỡm nghiờn hiu cu ca bn tụi thõn cú tỏc th gi hon thnh lun ny Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: Trong dp quỏny, trỡnhtụi nghiờn cu v thc hin lun vn, tỏc gi ó k tha nhng kt Nhõn 60cng 46 01xin 02 chõn thnh cm n ti ton th cỏc Thy Cụ giỏo qu ca cỏcc nhbit khoalhc vi s õn trng bittớch, n Phũng Sau i hc, trng khoa Toỏn chuyờn ngnh Toỏn v Gii i hc S phm H Ni Ni,2thỏng ó ging nm dy2015 v giỳp Ngi tụi thc hinsut quỏ trỡnh hc v nghiờn cu ti trng LUN VN THC S TON HC LUN VN THAC S TON HOC Cui cựng, tụi xin gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh v bn bố ó c v, ng viờn, giỳp tụi quỏ trỡnh v thc hin lun ny Chu hc Th Hng Ngi hng dn khoa hc: PGS TS T DUY PHNG H Ni, thỏng nm 2015 Ngỡri thc hin Chu Th Hng H NI, 2015 Mc lc Danh mc kớ hiu v vit tt M u Bi toỏn iu khin ti u vi hm mc tiờu ton phng mụ t b h phng trỡnh vi phõn thũng tuyn tớnh 1.1 B i toỏn iu khin ti u 1.1.1 Cỏc khỏi nim c bn 1.1.2 Bi toỏn iu khin ti u 16 1.1.3 Nguyờn lớ cc i Ponyagin 22 1.2 Bi toỏn iu khin ti u vi hm mc tiờu ton phng mụ t bi h phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh 1.2.1 25 Bi toỏn iu khin ti u vi hm mc tiờu ton phng mụ t bi h phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh 1.2.2 Phng ỡnh Riccati 25 26 Bi toỏn iu khin ti u vúi hm mc tiờu ton phng mụ t b h phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh 33 2.1 Bi toỏn iu khin ti u vi hm mc tiờu ton phng mụ t bi h phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh 2.1.1 Cỏc khỏi nim cd bn 2.1.2 iu kin cn v ti u 34 34 44 811 10 12 14 16 13 15 3765 ỳng vúi mi bng (a, b) Cho v h T ct cỏc tpmón ca Xchn G X,trn tha thc nh ngha Cho E,F tc L{\Rm) Cp ma (E, F) c gi chớnh quy ngha 1.1.24 Toỏn t tuyn tớnh bxkhp A x khụng gian Hilbert H htNu mi rx aXh n/ Xkc 1.1.6 ( A, Aớ, )0rhay c s tha hoc s hu dũng ca A ni thỡỏnh trờn A A nu gi l cúl hng B cho c y Avi nh gi l liờn ticon im nu Vec > 0, 3cú > 0, 51 m nu 3A cho ((X) Xt + Rn c gi l liờn tc tuyt i, nu vi h phng trỡnh vi phõn thng khụng gian hu hn chiu nu AKhụng = A*.gian h liờn hpYca X detA: nh l X, 1A nh ngha 1.1.1 Cho l hai khụng gian vect trờn trng s thc K A : X gian o c v mi G T c gi l o c (o c vi T hay }7 Vy cú AA~ = A~(z) E n(z), lim f n (X) = / (z), \/x e A (3) V x , |ta / luụn l : ||z + y\\ = /n ún in hỡnh l nguyờn lớ cc Pontryagin v phng phỏp qui hoch ng Cng 68 c gi l hỡnh cu m tõm X G X bỏn kớnh r Mi cha hỡnh cu m tõm X mi Êthc > tn ti s > cho vi mi h hu hn khong ụi mt khụng ct Ti viMa liu iu tham kin ban kho u n>00 Nghiờn cu h phng trỡnh vi phõn i s trnca A =ma (ý) l Ai xng t khing v ch nú l ma trn vuụng v (a)j = trn I:tuyn Toỏn g > Y c gi l ỏnh x tớnh t X vo Y nu tha iu kin Ta othy c) rng gi A kh nghchca vộct v chX khiTaAcng khụng suy (tcgian l detA 0) S II a:|| c l chun kớngh, hiubin khụng nh7^chun yờu cu ca klc, thut, khoa hc v cụng bt u nm bỏn rmi >bi 0l c gi ln cn ca X thỡ X khụng gian M t nhng vy, nu f hm o khụng õm ta nh ngha Nghiờn cu toỏn iu khin ti u vi hm mc tiờu ton phng mụ t bi (nhau a )nhng jkớnh nht vi i , j (toỏn t n v) X 1 x ( t ) = x , t e ( a , b ) (1.2) 0 (ak:h) =l (, 6), , =vi 1,2, A (AB a xgi )cng a h Akh ( xtiờn )nghch mi Nu A, B tiờn kh nghch thỡ v {XAeBX),~a e= R, B~ A~ l X Cỏc trờn c chun 1980, phng trỡnh vin phõn i (Differential-Algebraic Equations) mụ t cỏc nh ngha 1.1.14 o iN T s ẽ ]R+ lxỏc mtnh hmvect xỏc nh igi s h phng ỡnh vinchuyn phõn i s tuyn tớnh Ma trn A cp X gi l ma trn na dng sem-positve nh ngha 1.1.22 Mt c :trong mt khụng gian thc hay trờn phc c A*: Ma trn v A A(pc + y) = A x ) + A ( y ) , vi mi X , y X Cểthng tng ditp nh hn c : hc( ngi b , a mỏy, ) < húa , bt ng thc sautu c món: ngha 1.1.8 (ta, p 589-590) h phc hc, v tha tr, ) ó Tli trờn Xx c v 1.1.11 cỏc tớnh cht sau: nh X lbng gian nh viu {^n}nN l dóy cỏc phn õy )tha CkớR , (trong aCho cú th bng +oo, G m Rn definite) bi A >khụng 0, nu x*Ax > th 0chun vi mi X Êkhin Rn.l l fc=1 Anu: ~(a, : bToỏn thiu ngc ca ma trn00, A cú ngha v 1.1.2 ChovXnghiờn i , X 2, Mn, ]Rn l khụng gian vect trờn trng s m cu m 4.1)nh i tng phm ,dóy betrờn c Ta =th $gi gii ahi a n +Bi G cc) bRG Xn)ti Cho ma trn M G nL(M.n, ).gi ma M~ L (dng , c mavi trnhm nghch c nghiờn cu mnh m toỏn iu khin u mc i () >trn 0X.vi mi XnaT\ t Ta núi rng {^n}nSN t(1 theo chun n ÊlX, N Ma A cp c l ma trn xỏc nh (positive M n m (R): Tp cỏc ma trn n hng, m ct vi cỏc h s R Kdefinite) erf: D = (a,b) X G c E X thc Khi ú ^inverse 2thỡ \phng \ x (matrix) b k ) trỡnh - X ca (jfc)|| Nu suy f l rng hm o c bt o (generalized M nu thasmón iutớnh kinó ton phng mụ bik h phõn tuyn 2) tiờu Tp hp rng cú o0,t bng fl (0) =mi 0;Ê vi Tp hp cỏc im cú dng akhụng: a + ( a ) b cton 0f ( i < c l c on c kớtoỏn hiu bi A > nu > vi x > X Ht nhõn cakhin ỏnh x tuyn tớnh K e r f = { xX G^vi X0.\phng x )a==ngha f4(trờn xvimt ) a phõn G Ytp :D trỡnh vi thng phng trỡnh i s ) , 0} Vớ dca 1.1 trn ^ ^ ^ ^ ^ nu x A X :: (a, J( a- ,+ => 2G, k> c vi ^ h k VớMt d 1.3 Hm x(.) ]Rn tha OiiXi + 1, OLk Oớiu K,kin * =Lipschsitz 1,2, , hm kh vi ,b) bI )> gi lGnghim ca phng trỡnh vi d [01, =gian >(. = ỏnh Ta cú nitớu, hai im@) bt kỡ caS*nú L(Mn, Mm) : Khụng cỏc x tuyn tớnh liờn tc t n ti m lim ||x xn|| = A^T khụng Vi=i ; /+ (ớ) ^ f~ (t) cng l cỏc hm o c, õm v ta cú f(t) = M ~ M M ~ = M ~ tt c cỏc t hp\\x tuyn tớnh ca X,00 t2\:t1:t2 e (a,ũ) Mt / mun nh c= vtớnh cú th]Rn ly ti giỏ +00 c gi l 2))|| = ( Xitrờn xcỏc ^6) 4(ớhn (li ?v +cu 4^2 >(l.l )thỡ )mt Lớt(nht Rhm n): x*Ax Khụng gian x tuyn L [a, b]: Nu cỏc phõn f )tha f + d/, /tf ~h d phng i , l]Rn s hu hn nh phõn (l.l )mt ờntrong khong (a,tớch nu nú trỡnh vitami nhgi ngha 1.1.12 Cho ui ,khin lxmt mmụ Mn vbi / : u Ơtrỡnh Km.viHm / thng c l s p a n ca X , c xỏc nh A A , Xti hin l bi toỏn iu u t bi h phng phõn dx ớ) nh ngha 1.1.15 Cho khụng gian metric mt i s F vi o , v hm Vớ d 1.2 Khụng gian cỏc hm trờn [a, b]X, Vy Ali lnu: ma trn xỏc(chn nh dng t liờn (a, 6), tc l y = fkh ( t=, xtớch (t)) ỳng vi moi tkhin (a, 6) ngha Thu thp cỏc tii liu liờn quan ti Bi toỏn iu ti dt u vi hm mc tiờu l tc tuyt ) c gi l kh vi ti im a = (i, 2,an) G nu tn ti mt v phng trỡnh phõn i s, tụi chn ti Bi toỏn iu u s p a n x x , X } : { x = a \ X \ + + a X : ô khin ỏnh Mthc ,x ti=v l hai , 2ton r.kớ , vi mt A G F Kớ hiu ]R = ]RU{oo}l gm tt c cỏc s x nghim nh lý[&a1.1.3 (nh lý tn ti ca phng ỡnh vif phõn) + C , b ] : Khụng gian cỏc hm liờn tc trờn on [a, 6] L / Ma trn B= ( J o ) , z = ( ) > * Ta cú di = / f d f i di, a , b c , < a < l = > / ( q o + ( ) b ) < a ( a ) + ( ) f ton phng mụ t bi h phng trỡnh vi phõn A:} Chn = cú,> hm liờn tc tuyt i tc u (a,t,blm ) lun tuyn tớnh :tab]Rn phng bi h phng i sXcho tuyn tớnh cao ( bphõn )l liờn Gi sN f mụ : ,A (1abt ltrỡnh hm Lipshitz theo utrờn theo tc A Mncỏc A vi A hiuc1 00 : ) X G Ơ [ a ] : Khụng gian hm kh vi, liờn tc ờn on [ a , 6]l:iu khin x*Bx = { x x ) ( s ) = thng ) ( J Phõn tớch, tng hp v h cỏc kin thc liờn quan ti Bi toỏn M MM = M nờn M l ma trn nghch o suy rng ca M Tp cỏc vect Xi, x 21., X\ \ f ( ac tớnh trờn R nu + hgi ) - f (la )c - A (lp h ) \tuyn \ hc Hm s / : X > c gi l o c trờn A i x vikhụng i s Hilbert T nu nh ngha 1.1.23 Cho A l toỏn t tuyn tớnh b chn ỏnh gian C^[a, 6] = {a? c[a, 6] < : Bphng Ta u núi kh tớch trờn nu [G i c^a, tn ti hu hn \\h\\ II/ (/ ttrn , hm X B ) / {ớ ttrn , Ax2)|| Lf xdớCi x6]} \\v ,bi Vớ eh (a, 6) ,\/xi,x G m c Mn ti vi mc tiờu ton mụ phng trỡnh phõn thng t E vi Vy ma l ma nafma xỏc nh dng ô1, Oi2, Oớ E M n ca s hng hoc s ct nh ngha 1.1.9 Hng ca trn l giỏ tr ln nht inh lý 1.1.2 (Lebesgue) NuA hm X : (a, b) ằ l liờn tc tuyt i trờn hay X vo khụng gian Hilbert Y.s:Toỏn ttớnh ỏnh< x khụng Y vo khụng gian X v phng trỡnh vicu phõn tuyn Vali ca M {xn a :Bphng f(x) a} G T.[0, gian Mc ớch nghiờn c lp tuyn tớnh Hng ma A kớ hiu l rankA Mt hm c gi kh tớch trờn +oo), nú kh tớch nh ngha 1.1.5 Mt ma trn vuụng A cp n X n c l suy bin Khi phng trỡnh (lT) a phng tha iu p f (a)nnht Atrnghim (/i)|| = Êũ), (h)o /ỡ|| ,nugi (a,Cỏc bú ),kớth ỡ núvit kh h+uh)Cể kh i ờn (a, hm x'(.) ca nú hiu ttII/vi(a gi l toỏn t liờn hp vi toỏn t A nu Mami trnon A G nh Mmxn c gi lbng cúNewton-Leibniz hng y cú nu m ]Rn, Ê (h) > \\h\\ > tiờu ton Tỡm hiu trỡnh iu khin ti u 0vi hm mc phng bi : h toỏn DAE Phng ỡnh trỡnh ( Avi x ,phõn y ) =i { x ,sBODE y ), V Phng x e X , Vy G vi Y phõn thng = 771 gi l ma n ktrờn h ụlnT g Ta s uhm y b mt ica n hm (non s i nthng l a c r c ) tha tag u[x) v mt o núi iu kin vi nh x A c gi o / v kớ f(Y ' (hu a, d) ) , ỏnh mụ t ngha bi h1.1.18 phngCho trỡnh phõn thng tuynM tớnh gian nh haivikhụng gian metric = (X, d ikhụng ) ,hiu M 2l = Toỏn Ma t liờn B c kớcú hiu l Act * y nu n < m v r a n k ( A ) = n trnhp A c gi l hng x ( t ) = x 0, t o G ( a , b ) x / : M i > M Cu trỳc Hamiltonl hu hn 2.2 úng gúpchiu, mi ch yu theo Ti liu [HO v mt s ti liu khỏc N u h m Ê : (a , b ) > Mn T t c h t r nx (a , ũ)Ê v T G (a, ũ), t h ỡ 1817 Vớ d 1.4 Cho ' = u gn, v phi / (t , x , u )gi h liờn tc theo (ớ, (LJ_) X , ) l Nu chn Chỳ ý 1.1.1 xngn ta thng phng trỡnh phng trỡnh vi phõn, ta hiu rng õy l m phng vi phõn vect hay h phng J 0,ớ < trỡnh (*) = \ = trỡnh vi phõn Tng t, ụi ta cng gi cỏc hm vect x t ) v f ( t , X ) c ỏX, c u) h =mI s thỡl / (ớ, Q khụng liờn tc tỡm nghim trỡnh tha iunhng kin (1.2) Vi Bi u{t) toỏn ó chn thỡ x r = ca (t)h= phng I i Ê = Q5 c (l.l) c nờhim liờn tc khụng c giviltibi toỏn kh t = giỏ tr ban u hay bi toỏn Cauchy ca h phng trỡnh vi phõn thng Tht vy, xột t < : x ' = X (ớ) = Cl, Vớ < Vi thuyt > : Trong ' = lý => (ớ) iu = Ê +khin c2 ti u, ta thng lm vic vi h phng trỡnh vi phõn (ớ)thng liờn tccútidng t = thỡ Cl = X (0) = c2, hay dx ^ = f (* t , x=, {u *) ,+tÊ>* 0> - (1.3) Nu X (0) = thỡ C = c = 0, hay vi cỏc thi im t , T > t l cho trc v c nh Cỏc hm u : [0, oo) > Rm l hm o c (hoc liờn tc tng khỳc) trờn * = {>0 [ t o , T ] v tha hn ch Nghim x ( t ) khụng kh vi ti t = u(t) G u, Vớe[0,T], Chn w2 (ớ) = I o t = ^ c gi liu khin chp nhn c õy c Rm l mt no (1.4) ú ong khụng gian hu hnchiu f { t , xMm , u { t v )) = c =gi ; l t p h n c h trờn bin iu khin, khụng tcótic t = Khi h y (1.3) tr thnh phng trỡnh vi phõn thng khinliờn u () chn, z' = ô(ớ) = j ; > o : x ' ( t ) = f ( t , x ( t ) , u ( t ) ) = f ( t , x ( t ) ) , t e [ t ỡ T ] (1.5) cú nghim khụng kh vi ti t = Vỡ u () l mt hm cho trc, liờn tc tng khỳc v thm l hm o c Vi mi t < : x ' = => X ( t) = t + Cl ; nờn cho dự hm / ( - , - , ) cú th l tt (liờn tc, thm tuyn tớnh hoc kh Vi t > : x ' = => X (t ) = c2 vi theo c ba bin), sau thay hm u ( ) vo / (, , ) thỡ v phi ca phng ổ(ợ) liờn tc ti t = thỡ + Cl = X (0) = c2 Suy ỡnh ( L ) cú th khụng cũn l mt hm liờn tc, cỏc khỏi nim theo ngha c in v tn ti nghim (kh vi liờn tc) khụng cũn ỳng Ta xột vớ d sau 19 Nu X (0) = thỡci = c2 = v * = { 0,1 > Nghim x ( t ) khụng kh vi ti X = Vỡ vy ta phi m rng khỏi nim nghim ca phng trỡnh vi phõn (l.l) nh ngha 1.1.25 Hm s X = ip (t) liờn tc tuyt i trờn khong (t - , t + ) c (a, b) (do ú cú o hm hu khp ni trờn ( t , t + ) tha phng trỡnh vi phõn (_J_) hu khp ni trờn ( t Q , t Q + ) c gi l nghim suy rng a phng lõn cn t ca phng trỡnh vi phõn (l.l) trờn khong (a, b) Nu iu kin ca nh lớ Caratheodory c tha món, thỡ phng trỡnh vi phõn (1.5) cú nghim (suy rng) X (ớ) Ta nhc li nh lớ Caratheodory v tn ti nghim suy rng ca phng trỡnh vi phõn vi v phi o c nh lớ Caratheodory Cho hm / : D > Mn, ong ú D = {(ớ, x) : \t t \ < a, IIrc rc0II < &} Gi s: Hm f ( t , x ) liờn tc theo X vi mi t c nh v o c theo t vi mi X c nh Tn ti hm kh tớch m t ) xỏc nh trờn T a = { t : \ t t \ < ó ) cho: I I / ( ớ, đ ) I I < m { t ) , \ / { t , x ) 0thỡ saoAcc cho phng trỡnh visau phõn ( l.l cú lý cc lc hm mt nh lý rt quỏt Nu = Km H lnghim kh vi,suy Mnh tn 1.1.1 Nu us l li (a: T) lvit li vi mi T v >) 0, tng x\ t (T) + (1 ti - ) Ttho chp nhn c lmi nghim ca (1.7 ) tng ng vi A Kn tha iu kin v thm ), = x ph (xt ) liờn =tuyt bin / mt ( kin +x (z(0) ATfo'+ ( tA t * ' TI ) ti dớ +i Pontryagin(T)sau Cỏcch snghim A llớu cỏc thuc i Nguyờn lý) cc iu ban Khitc yvo 1.1.3 Nguyờn cc i Pontryagin T xõy ( t 0) =minh Ê() Chng nguyờn cc i(T)) Pontryagin xem [, [ hoc ớớừỡ Di õy + ^-X (T) / ^ (x cho iu kin cn+lý ti u x'i (ớ) = A ( t ) x { t ) + B ( t ) u ( t ) + f ( t ) ; i = 1, 2, t e [0, T \ Xột h s phng trỡnh viminh phõn cú iu trỡnh lc chng khin Viby u (1.1.4 ) ó chn thỡ (1.3 ) núi chung cú nghim a 2.1, phng Nghim a; nh lý (Nguyờn lý cctheo i ớớừỡ Pontryagin, Theorem du, x(.) p 2-6) Ta cúAth thay th ụx bng cỏch Cho [0,1], ta chng minh ( ly x f tớch + (1phõn A)tng x ) phn A c c (X Q , T) Lc chng Ta dng nhõn t A* Lagrange, hm (.) ô(.) xtrỡnh ' =iu / ti (phng xkhin ,u ),Khi Xphỏp GúRn, Gc i s gi ( xl* qu i uminh' *o ) l ng quỏsvi tn ti (t) G Rnvi v V * emc R9 Ta ó bit,Tnghim ca phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh thngTcú dng Xiu (0) = (T) (| +c i" trc, ejbiu XTụxdt nh Mm.sau: Cho trc x , X - Bi XTụx'dt -XT ụxkhin ATcho (0) Sx (0) + tiờu toỏn ( x 0= , X \ ) -(T) c phỏt t 00 _1 G R nÊ*(.), ,mc h (1.3 ) tha c gi lx(ớCo, Xi) - iu khin c nu tn ti T > 0, iu cho A*(.) Hm tiờu c cho bi ( t ) = M ( t ) + M (t ) J M (s) (s ) U ( s ) d s J (x(-),u(-), = Vỡ X (0) = x X, nờn,ếH x (0) = Thay vo J ta c w dH khin chp nhn u (-A ) =sao choX qu T XT c = , , (0) =o X Q tng c h o t rng c ,x ( t0) i t x ti % /\ ô ? Ti/ / d\i d x i = J(x,u) + XT (\ t) (x' \( nt) JT / I(x, u)) dt + vTi) \ Ti+ / / r\\ (X (T)) ( x , u/=) t= V (x ( T ) ) , X i , tc l z(0) = XI qJ, x(T) X J L ( x ,/ u)dt vM f(T)) /(t), r r+i M ^" Ta(0) d' = p I (xtha vi M (ớ) G Mn n V(M) (ớ)) ==A(~td)t1 ( T ) ) = 0,M' HT iu khin c H (1.3) c gi l hon ton nu vi mi vect x ( ) = T Ta t (L(t(X, ) = ự) Awi (ớ)(t)+ {x' (1 ) Ê/ mi +- XT vdQ- XT ụx (T) +t u ) (x ( nờn T+) )uTỡp u ( t )(X (T)) (t) (Tj - / (x, u )(ớ), ) ) ddo +Vl ( xli, (T)) v= J + n ú / (, lớ) = (/i (, ) f n (X , ) ) : Rn X Rm L (x, ) = xtrong K , X i e ]Rn, vi mi T > v mt hm o c u ( t ) trờn [0,T], [0,T] Do U{.) l o c nờn u(t) l o c hay u(t) l iu khin chp khin u, ta 0t ),vi u, c gi l phng trỡnh i s Riccati, ú s l nghim ca phng trỡnh i s00 Riccati T J (aj0) ),= gi mins 1B [y T=(t) (t) ú + Uh (t) (ớ)] dt Xột h dl.lO)-(T2] yKhi trQu thnh (1.18) tpÊ J x'(t) = A ( t ) x ( t ) , a:(0) = x , (1-16) vi y = Cx trng hp ny, iu kin ca nh lý l (A, B) l n nh hoỏ Nghim (1.16 kớ hiu l x ( t ) , t > 0, x ( t ) Ê Mn c v ca (, ) nhn) c bit c (detectable) nh ngha 1.2.1 Ma trn A c gi l n nh stable) nu R e < vi mi T gi thitca nh lý, ta d thy rng nu ( A , B ) n nh hoỏ c, v A e A (A) (p, A ) nhnbit c (detectable), thỡ hm iu khin Trong thc t, nhiu chỳng ta khụng quan sỏt c ton b u x(t) u = -Q~1BTSx (1.19) (nghim ca phng trỡnh (1.16ằ, m ch quan sỏt c mt s ta ca nú thụng qua dn n hhm úng z ' =y = ( A C- xB: Q ~t > B T S) X X (1.17) (1.20) 30 l n nh Do ú (|1.19|) l mt iu khin chp nhn c, dn n X ( t ) Ta kim tra (1.19) ỳng l iu khin ti u S dng (|1.15|) ta vit p nh sau p = SBQ~1BTS - ATS - SA Th vo phng ỡnh (1.9), ta cú th vit, vi bt kỡ u chp nhn c dn ti X (t ) > ớ->00 00 J ( x , u ) = J [ x T (t ) P x (t ) + U T (t ) Q u (ớ)] d t = J [ X T (t) S B Q ~ B T S x (t ) + U T (t ) Q u (t ) X T (t ) ( ATs + S ) X (t )] d t 00 J [ u (t ) + Q ~ B T S x ( t ) ] T Q [ u (t ) + Q ~ l B T S x (ớ)] d t y? " U T (t) B T Sx (t) + X T (t ) SBu (t) + a^T (ớ) A T Sx (t) - +X T ( t ) S A x (t ) dt [u (ớ) + Q ~ B T S x { t ) ] T Q [ u (ớ) + Q ~ B T S x (ớ)] } [ - ( x T (t ) S x (t ) + X T S x ' (ớ)) J > dt 00 = I [u {t) + Q~1BTSx (t)]TQ [u (t) + Q~1BTSx (t)] dt 00 ~ I t^xT ^ Sx ^ 00 dt = X Q S X + J [ u (t ) + Q ~ B T S x ( t ) ] T Q [ u (t ) + Q ~ B T S x (ớ)] d t 31 Ta cú X Q S X Q l hng s khụng ph thuc u , v u = Q l B T S x chp nhn c v Q > 0, ta c iu khin u = Q B T S x (t ) vi hm mc tiờu cc tiu c cho bi (1.21) ô7 (zo) = X Q S X nh lý 1.2.2 (Theorem 2.2, lếl p 2.11 - 2.12) Cho (A, B) n nh v (p, ^4) nhn bit c (detectable) iu khin ti u lm cc tiu hm mc tiờu ca phng trỡnh (1.9) c cho bi u = Q B T S x ( t ) ú s l nghim nht na xỏc nh dng ca (1.13) Hm mc tiờu ti u c cho bi fll.21> Vớ d 1.5 Xột h dx dt ' 0 '0 ' 01 X + u vi hm mc tiờu tuyn tớnh c cho bi p= q2 00 ,Q = iu khin ti u c cho bi phng ỡnh Riccati (1.13) Cho s l ma trn na xỏc nh dng cú dng s = a b bc Khi ú phng ỡnh Riccati b + q a bc a bc 26 c2 cú nghim l ' 00 52 ú P can (t) l hỡnh chiu s (t) trờn iV (ớ), B ( t ) ~ l ma trn ngc suy rng ca B (t) v (t) e c1 l nghim tng quỏt ca DAE thng chớnh quy (inherent in the DAE regular - IRODE) ' (t) - (t) ' (ớ) - & (ớ) G'i (ớ)_1 (t) ( t ) = (2.40) vi ' (t ) = R ( t ) (t ) Ta kớ hiu (ớ)-1 := i (ớ) (ớ) - (i) ( ) , Q o (ớ) := / - (ớ)+- (ớ) , k (ớ) l hỡnh chiu m R ( t ) lờn k e r (t ) nh lý 2.2.1 ( Hamiltonian structure, Theorem 3.2, p 6) Nu DAE ( / ) mụ t iu kin cú hng ct ca ma trn (t) v nu DAE ti u (2.38) chớnh quy vi ch s 1, thỡ IRODE cú dng ' (ớ) = - E (t) (t) vi E (t) l ma trn i xng Chng minh T (27TT) ta c kerB(t)* = i m B ( t ) = thỡ ker (t ) = I" " ?0 / 0\ T DAE (|2.38|), bin i X = I 0 ~ x ta c DAE \0 I A 00 B* 00 BO -A* 0 CD c* w s D * s* K X = X tha gi thit Theorem 4.3, [0, t A 0 \ ( B* ) = 0/ Vo [ -A B* 0I -I 0 ú DAE (2.41) l t liờn hp Vỡ vy t (2381 v (2.41) ta c IRODE (2.41) 53 Vớ d 2.3 (Example, [01, p 13-14) t 01 tm = k = n = 2, A( t) = ( Q j , B ( ) = ^ g J,C(ớ) D( t) = ( l s)= 0, W{ t) = ( ),i(t) = l Ta c ú K ( t ) ^ ) - G o = ( o l ) ' P ằ ( ) = ( o ? ) *-(*)= (o ) A'-W={t ? ) p ằ W = ( o ? ) Trc tiờn, ta kim tra hai iu kin (2.27)v (2.28) iu kin (2.27) l tha món, vỡ G *=(o ?) ( G l ) = ( 0010 10 nờn suy i m (I D ) = Rfc Tng t, ta cú ( G l - C * Q *0 W Q s \ i m V D*Q*o S*Q K ) - im nờn iu kin (2.28) l tha 0 0 -10 0 rxl Vy iu kin (2.27), (2.28) c tha Ta cú ớ0 0 (t) = 0 0 ^ 0 0 t ( 0 0 0 V 00 ( 0 0 0 1 0 V 0 0 0 B-(t) = ế ( t ) == ( 0 B(t) = 0 0 0 0 (0 J Go(t) ,Qo{t) = 0 \ 0 0 0 0 00\ 00 0 00 0 -1 V 0 00/ /1 0 0\ 0 00 0 00 0 00 V 0 54 / Gi(t) kit) 00 -1 \ 0 -10 0 000 - \ 0 - - / / 0 1 0 \ - / ( 0t 00\0 0 0 0 V 0 t 1) -1 0 \ 0 0 - - 0 0 ( 0 V0 t 0 -t \ 0 -1 ) ODE chớnh quy ' = K ' u + 1 C thuc M4, nú cú dng c bit ( +10 0 vo u '(*) = 0 \ 0 u (*)> 0 t +1 khụng l hm Hamilton Xột dng c bit DAE (|2.7|) ( ) ( ( 0ớ ) X V>) = ( ) * + ( ) (*)- H ( t ) = ^ ^ ^, H ~ (t ) = ( , ) , xột cụng thc tng ng ca (2.7) (x = x + Du vi cỏc h s ( t ) := A ( t ) H ( t ) = ^ (0) 1)> := ( t ) := C { t ) , D ) := D ) Tng ng vi DAE (2.24) ta cú (*) = /0 0\ 0001V 0/ B-(t) m- = ^ớ 001 00 000 ỡ - / 0 \ 0 0 - \ K(t) = 0 ^ 55 B { t ) G C ) B - (;1 ) = B(ớ) G c ( t ) B - { t ) -1 v ODE chớnh quy cú th t (t) = B(t)x(t) -) x2 i) ->2 ta cú u'(t) -1 R w(ớ) tc l nú l hm Hamilton Do ú, phự hp vi tớnh cht Hamilton thỡ A { t ) l ma n ct cú hng y 2.3 Nghim ca bi toỏn iu khin ti u vi iu khin liờn h ngc iu khin ti u liờn h ngc 2.3.1 Nghim liờn h ngc c thụng qua phng trỡnh vi phõn Riccati v c dựng gii bi toỏn iu khin ti u tuyn tớnh dng ton phng c cho bi hm mc tiờu + 2/ T 'w x ( t y + ( x ( t ) i S ) u (*)) + ( u ) , K { t ) u (t ) ) } d t (2.42) Trong ú w ( t ), K (t ) v V l cỏc ma trn i xng, K (t ) l ma trn xỏc nh dans v WSè sw l ma trn na xỏc nh dng, t G [0, T\ dng, v ^ gỡy K t) Xột cỏc iu kin x' (t) = B ( t ) x (t ) + D (t) u ( t ), t G [0, T], (2.43) 56 X (0) = y (2.44) Gii bi toỏn giỏ tr cui cho phng trỡnh vi phõn Riccati dng ma trn Y' = -YC - C*Y + ( S + Y D ) K ~ x (s *+ D * Y ) - w, Y { T ) = ỡ/ (2.45) (2.46) õy Y l ma trn i xng, bitoỏn cc tiu húa cbt ngun t bi toỏn giỏ tr ban u x'= Cx-DK~1(S* + D*Y)x, x{0) = yQ (2.47) Nghim ca bi toỏn giỏ tr ban u (2.47) vi lớ* = K (s * + D Y ) X gii bi toỏn cc tiu húa (2.42)- (2.44) Hm mc tiờu cc tiu J (u*,:E*) = ( y , Y ( O y ) Nu phng ỡnh vi phõn thng ong (2.43) c thay th bi DAE (2.7) thỡ s khú khn hn Ta xột phng trỡnh vi phõn B * ( A * Y B ~ ) f B = Y*c - C * Y + ( S + Y * D ) K ~ l ( S * + D * Y ) - w (2.48) vi iu kin giỏ tr cui A(T)*Y (T) B{T = B { T * V B { T (2.49) Cho G ( t ) L ( M n , R n ) l hỡnh chiu c biu th l phộp chiu thc hin phộp phõn ró (27TT), kerA (t) = kerG (t) , imG (t ) = imB (t), t G [0, T ] Trong G(t) ta xõy dng Q (t) L ( M m , ]Rm), Q* (ớ) e L (Mfe, l phộp chiu vuụng gúc lờn ker (A (t) B (t)) v ker ( B ( t A ( t ) tng ng, hn na p ( t ) = I Q ( t ), p* ( t ) = I Q * ( ) , [0,T] Cỏc hm Q , p , Q* v p* l liờn tc Gi s V = V P ( T ) Cho phộp chiu G , p v p*, ta xõy dng B ~ l ma trn ngc suy rng ca B v A * ~ l ma trn suy rng ngc ca A * bi 57 B~BB~ = B~, A*YB~ = B~*Y*A Tng t cho A*~ Chỳ ý rng B~ v A~* xỏc nh nht v liờn tc trờn [0, T B 2.3.1 (Lemma 1, im, p 281) Nu Y : [0, T] ằ L ( M n , ]Rn) liờn tc vi A*YB~ kh vi liờn tc, v nu nú tha bi toỏn giỏ tr cui (|2.48|),(|2.49|) thỡ quan h i xng A*YB~ = B~*Y*A l ỳng Chỳ ý 2.3.1 (Remark 1, [01, p 281 ) Nu Y l nghim ca (2.48), (I2T49) v A*YQ = cho trc thỡ B*A*Y = Y * A B (2.50) l ỳng Ngc li t phng trỡnh (2.50) suy A*YQ = nh lý 2.3.1 (Theorem 1, [m, p 282) Gi s Y l mt nghim ca bi toỏn giỏ tr cui (2.48), (I2.49), v iu kin A*YQ = Cho X* l nghim ca bi toỏn giỏ tr ban u A(Bx)' = Cx- DK~l (s* + D*Y) X, (2.51) A (0)5 (0) X (0) = y (2.52) v cho u , = - K ~ { S * + D * Y ) x , thỡ l mt cp ti u, cú ngha l vi mi quỏ trỡnh (u, X) thỡ J (u, x) > J (w*, C*) = ỡ ( y , ^(0)*"5(0)"*y(0)*y0)- 58 Chng minh Bi toỏn iu khin ti u vi hm mc tiờu dng ton phng (2.45), (2.47), (2.11) l úng v tng ng vi bi toỏn giỏ tr biờn X A ý * X c - DK~lS* DK~1D* w S K-^S * c * - S K ~ D * ý ' 0 -B* ( ' V B0 (0) -B (0) E (0) = y , B{T)*A{T)*^{T) = Vx (T) (2.53) (2.54) (2.55) Nu bi toỏn giỏ tr biờn ny cú cp nghim ( x t , I p t ) thỡ u t = - K ~ l (S*x* + D * p t ) l iu khin ti u Ngc li, nu (w*, Ê*) l mt cp nghim ti u v nu hm ma n [ A B C Q , D ] trờn [0, T ] l ma n hng cú hng y thỡ tn ti mt hm liờn hp 0* cho X * , I p * l nghim ca bi toỏn giỏ tr biờn (2.53 )-(2.55) Nghim ca h phng trỡnh DAE Riccat 2.3.2 Nghim ca bi toỏn (2.48), (2.49) tha iu kin sau P*YQ = Mi nghim Y l liờn tc vi A*YB kh vi liờn tc c phõn tớch nh sau Y = P*YP + Q*YP + Q*YQ = A*~ A*Y B~ B + Q*YP + Q*YQ Ta thy u : = A * Y B ~ ec , V = Q*YP, z := Q*YQ = YQ tha iu kin cui (2.70), cỏc quan h phõn u = u*,u = UK, u = K*UK l ỳng Ta cú cỏc ma trn u v z, xõy dng =(MQ*)+ {-MP.A-UB - QWP - Z*Q*CP + (QS + Z*Q*D) K~ s*p} (2.73) tha (2.71) v Y = A*~U B + z + V Theo gi thit ca mnh (2.3.3), c V v Y u liờn tc 63 A*YB~ = K*UK = u, Q*YP = Q*p = V, Q*YQ = Q*ZQ = z Thnh phn A*YB ca Y l kh vi liờn tc v i xng Khi ú (2.66)- (2.71) cú Y l nghim ca h (2.48), (2.49), (2.56) nh lý 2.3.3 (Theorem 3, [0, p 282) Cho h Riccati i s (2.66)- (2.68) cú nghim z tha iu kin (2.66 >, (2.75 > thỡ h DAE Rccati (2.48), (2.49), (2.56) cú nghim Y m A*YB~ l liờn tc v i xng Ngoi ra, A*YQ l ỳng 2.3.3 Nghim ca bi toỏn h úng Xột s tn ti nghim ca iu khin ti u w* vi cc tiu hm giỏ J (lớ*, X*) t nh lý (2.3.1), ngoi vic tn ti nghim Y ca Riccati DAE, iu kin cn tn ti nghim ca bi toỏn giỏ tr ban u (2.51) Tht vy, nu A v B khụng suy bin, thỡ bi toỏn ban u (2.51) luụn cú mt nghim nht cho mi y Q tựy ý Trong trng hp A v B suy bin thỡ ta cú kt qu khỏc nh lý 2.3.4 (Theorem 11.29a, [01 > P- 532) Cho iu kin ca nh lý (2.3.3) tha món, m = k v Y l nghim ca h Riccati DAE (2.48), (2.49) v (2.56) thỡ DAE (2.51) l chớnh quy vi ch s 1, v cú nht mt nghim X* ca bi toỏn giỏ tr ban u (2.51) Chng minh Nghim ca bi toỏn giỏ tr ban u l mt dóy cú tớnh cht ch s (The IVP solvability is a consequence of the index-1 property) Ta chng minh DAE (2.51) l chớnh quy vi ch s Theo nh lý 11.7, [0, p 507, mt DAE l chớnh quy vi ch s nu liờn hp ca nú cng chớnh quy vi ch s 64 Xột phng trỡnh -1 -B*(A*y = c*y + (Y*D - s ) K~1D*y (2.74) H DAE (2.74) l chớnh quy vi ch s nu khụng gian kerQ {(C*) + (YD* - s) K ~ l D *} =: Ê*; kerB*A* = imQ* giao Vỡ [...]... thng in, ) c mụ t bi So sỏnh iu ny vi 2 + 2auJo\ + U J Q 2 ta thy rng cỏc h phng trỡnh vi phõn i s cú iu khin Lớ thuyt iu khin cỏc h ng lc mụ t bi phng trỡnh vi phõn iU 0s= c = ] l g ' aquan 2 tõm 1 v phỏt trin mnh m Do ú nm iu gn khin ti u cho hờ úng vi a = j= trong nhng õy V2 Chng 2 ca lun vn ỡnh by bi toỏn iu khin ti u mụ t bi h phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh vi hm mc tiờu ton phng Theo mt ngha... ú, ni dung ca Chng 2 l s phỏt trin ca Chng 1 cho h iu khin mụ t bi h phng trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh ng thi cng ch ra nhng khú khn khi lm vic vi cỏc h thng phc tp hn h phng trỡnh vi phõn thng 34 2.1 Bi toỏn iu khin ti u vi hm mc tiờu ton phng mụ t b h phng trỡnh v phõn i s tuyn tớnh 2.1.1 Cỏc khỏi nim c bn H phng ỡnh vi phõn bc nht tng quỏt trong khụng gian hu hn chiu cú th c mụ t bi h phng trỡnh... uphng = K xmụ t K= Q ~ 1 cc Bti Su = vi Chng 2 Bi khin xột trỡnh vi phõn i s tuyn tớnh b hTa phng Lớ thuyt phng trỡnh vi phõn i s (Differential Algebraic Equations 01_ 1 /2 A-BK = DAEs) c nh hỡnh v phỏt trin trong khong ba mi nm li õy Mt mt, q nú cú th c coi nh l s m rng t nhiờn ca lớ thuytJ phng trỡnh vi phõn a thc c trng ca ma trn ny l Mt khỏc, lớ do phng ỡnh vi phõn i s c cỏc nh toỏn hc quan tõm... mụ t bi h phng trỡnh F ( t , x , x ' ) = Q , x e m (2.1) H phng trỡnh (2.1) thng c gi l h phng trỡnh vi phõn n Bng cỏch t F { t , x , x ' ) = X - f ( t , x ), ta cú th thy, mi h phng trỡnh vi phõn thng l trng hp riờng ca h phng trỡnh vi phõn n Nghim a phng ca h phng trỡnh vi phõn n l hm x ( t ) kh vi trong lõn cn ca im t o , mi t G (ớo , t o + ) sao cho F ( t , x ( t ) , x ' ( t ) ) = 0 _ dF nh lớ... (2.1) cú th a v dng h phng trỡnh vi phõn thng x' = f{t,x) 3635 Chn = t n, (nbi = 1toỏn , 2 , thc ) , t ớ0 =dn n cỏc h ^n(O) = 0trỡnh suy viraphõn n khụng gii Tuy