Bài toán có đại lượng biến thiên và phương pháp giải

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 * KHOA TOÁN* BÙI THỊ MAI BÀI TOÁN CÓ ĐẠI LƯỢNG BIỂN THIÊN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học GVC. VƯƠNG THÔNG HÀ NỘI - 2014 Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu, cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô và các bạn sinh viên, khóa luận của em đến nay đã được hoàn thành. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy Vương Thông, Thày đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận với đề tài: “Bài toán có đại lượng biến thiên và phưong pháp giải”. Qua đây em xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô trong khoa, các thầy cô giáo trong tổ Đại số trường ĐHSP Hà Nội 2, sự động viên, giúp đỡ, đóng góp ý kiến của bạn bè đã dành cho em trong quá trình học tập nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này. Tuy nhiên, do thời gian nghiên cứu có hạn và chưa có kinh nghiệm trong công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận của em không ừánh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để khóa luận của em được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn ! Em xỉn chân thành cảm ơnỉ Hà Nội, ngày 30 tháng 5 năm 2014 Sinh viên thực hiện Bùi Thỉ Mai LỜI CẢM Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, do chính sức lực của bản thân tham khảo tài liệu. Đe tài của tôi chưa được công bố trong bất cứ công trình khoa học nào khác. Hà Nội, ngày 30 tháng 5 năm 2014 Sinh viên thực hiện Bùi Thị Mai LỜI CẢM ■ MỤC LỤC LỜI CẢM 1. Lý do chọn đề tài Toán học là một môn học cơ bản làm nền tảng cho các ngành khoa học khác, là thảnh phàn không thể thiếu của văn hóa phổ thông. Môn toán có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy con người. Nó bắt nguồn tò nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc từ thực tiễn. Cùng với thời gian và sự tiến bộ của loài người. Toán học ngày càng phát triển và chia làm hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết và toán học ứng dụng. Trong đó toán học ứng dụng đóng vai trò quan trọng. Đại số, là một phần ừọng yếu của Toán học. Đã có rất nhiều nhà toán học nghiên cứu chuyên sâu vào lĩnh vực đại số. Đặc biệt là những bài toán có đại lượng biến thiên, nó không chỉ gặp ở phổ thông mà còn ở các bậc cao hơn. Trên cơ sở những kiến thức đã học và với mong muốn tiếp cận và tìm hiểu những bài toán biến thiên, được sự chỉ bảo của Thầy VƯƠNG THÔNG em mạnh dạn chọn đề tài: “Bài toán có đại lượng biến thiên và phương pháp giải” 2. Mục đích nghiền cứu, nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu những bài toán có đại lượng biến thiên 3. Đối tượng nghiên cứu Bài toán có đại lượng biến thiên và phương pháp giải 4. Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp Chương 1: XÉT TRONG TOÁN sơ CẤP 1. Hàm số chứa tham số LỜI NÓI 5 1.1Bài toán tìm các điểm đặc biệt của họ hàm sổ Cho họ hàm số y = /(x,m) m € D là tham số, X- đối số. Khi gán cho m các giá trị cụ thể, ta có một hàm số cụ thể và có đồ thị tương ứng. Khi m thay đổi, do đó đồ thị cũng thay đổi theo.Từ đó,các điểm trên mặt phẳng chia làm các loại sau: i. Điểm mà mọi đồ thị đi qua gọi là điểm cố định của họ đồ thị hàm số. ii. Điểm trên mặt phẳng không có đồ thị nào của họ đi qua iii. Điểm trên mặt phẳng có một số đồ thị đi qua. 1.1.1 Tìm điểm cố định của họ hàm số y= /(x,m). * Phương pháp giải bằng đa thức - Cơ sở lý luận: Nếu y 0 - /(x,m) đưa được về dạng đa thức của tham số m thì từ / (xo,m) - y 0 = 0 Vme D, ta có hệ phương trình ẩn Xo, yo- Giải hệ này ta tìm được (x 0 , yo). - Thuât toán: Bước 1: Đưa /(x 0 ,m) - y 0 về đa thức với biến m Giả sử M 0 (x 0 yo) là điểm cố định của hàm số. Khi đó yo= A x o,m)Vm € D (1) (1) <=>/(x0, yo) - yo = 0 Vm e D Ta viết vế trái dưới dạng một đa thức ẩn m. Giả sử là: ỮO(XO,YO ) + ỮÌ (XFÌ ,Y F Ì )M + + A K (X 0 ,Y 0 )M K = 0 VM <ED vế trái là đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng k ẩn m, có số nghiệm nhiều hơn bậc của đa thức khi và chỉ khi vế trái là đa thức không. LỜI NÓI 6 Яо(*о.Уо) = ° «l(Wo) = 0 * М Х 0’Уо) = ° Bước 2:Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm (xo,yo) thì họ hàm số có bấy nhiêu điểm cố định. -Ví du minh hoa: • • Ví du 1: Cho họ hàm số у = X 3 - ( m + l)x 2 - (2m 2 - 3m + 2)x + 2m(2m - 1) (Cm) m là tham số. Tìm điểm cố định của họ hàm số trên Bài giải: Bước 1: Gọi Mo (x 0 , Уо) là điểm cố định của họ hàm số, khi đó ta có y 0 = x 0 3 - ( m + l)x 0 2 - ( 2m 2 - 3m + 2)x 0 + 2m( 2m - 1) Vm <=>( 4 - 2x 0 )m 2 + ( 3x 0 - x 0 2 - 2 )m + (x 0 3 - x 0 2 -2x 0 - Уо )= 0(l)Vm Từ ( 1) suy ra hệ phương trình sau đây: 4 - 2X 0 = 0 3x 0 -XỊ - 2 = 0 л 0 — л 0 — 2X 0 — Ỵ 0 — 0 Bước 2:Từ ( 2 ) ta có: Xo = 2 thay vào ( 4) có Уо = 0, thay vào ( 3 ) thấy đúng Vậy hệ (2)(3)(4) có nghiệm duy nhất Xo = 2, Уо = 0 Suy ra, với mọi m, ( Cm ) có một điểm cố định là M 0 (2;0) Ví du 2: LỜI NÓI 7 (2 ) (3 Cho họ hàm số y = mx 3 + ( 1 - m)x (Cm) (m là tham số). Tìm những điểm trên mặt phẳng tọa độ mà họ (Cm) đi qua với mọi m. Bài giải: LỜI NÓI 8 Bước l:Gọi ( Xo, Уо) là điểm càn tìm, khi đó ta có: Уо = mx 0 3 + ( 1 - m)x 0 Vm Bước 2:Từ ( 2) ta có: Xo = 0; Xo = 1 ; Xo = -1. Thay vào ( 3) suy ra họ hàm số đã cho luôn điqua ba điểm cố định sau:A(0;0); B(l;l); C(-l;-l). Ví du 3: Cho hàm sốy =-x 3 -mx 2 - X + m +- (Cm) Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số (Cm) Bài giải: Bước 1: Gọi м 0 (х 0 , Уо) là điểm cần tìm, khi đó ta có: 1 2 2 yo= ^ xo- m xo -x 0 +m+| Vm <=> m( 1 - x 0 2 ) + ^x 0 3 - Xo +! - Уо = 0 (1) Vm Từ (1) suy ra hệ phương trình sau đây: Ì-JC 0 2 =0 (2) + 3 Уо=0 ( 3 ) Bước 2: Từ (2) ta có Xo = 1; Xo = -1 thay vào (3) suy ra họ hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định sau: A(1 ; 0); B(-l ; - ) Bài tập vận dụng _ , mx 2 +3mx+2m+ l Bài 1: Cho hàm số y - 7 (Cm) x + 2 LỜI NÓI 9 Chứng minh rằng các tiệm cận xiên của họ (Cm) luôn đi qua một điểm cố địnhvới mọi m? Bài 2: Chứng minh rằng mọi đường thẳng của họ hàm số Y = ( M + L) X 2 + (4M — 5)X + 4M + 4 luôn tiếp xúc với nhau tại một điểm cố định Bài3: Cho họ hàm số _ 2MX - (3M 2 + 4M + 3) У - 2 ĩ » m là tham số M +1 Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số ừên đi qua một điểm cố định * phương pháp dùng đạo hàm - Cơ sở lý luận: Từ yo = /(xo, m) ( m là tham số). Lấy đạo hàm theo m cả hai vế, ta có: fm( x O’ m ) = ồ - Thuât toán: Viết vế ừái dưới dạng đa thức ẩn m, giả sử là: ữo(xo) + ữi(xo)m + + a n (xo)m k = 0 Bước l:Phương trình trên có nghiệm với mọi m khi và chỉ khi vế trái là đa thức không. a 0 (x 0 ) = 0 й 1 (д; 0 ) = 0 a„(x 0 ) = 0 Bước 2: Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm thì họ hàm số đã cho có bấy nhiêu điểm cố định. LỜI NÓI 1 [...]... -oc 1 Dựa vào bảng biến thiên ta có m < 2 Bài tập vận dụng Bài 1 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm - \ J X2 + x + 1 — y j x 2 — J t + 1 = r a Bài 2 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm V X 4 — Ì3x + m + x — ì — 0 (1) 2.2Tìm điều kiện của tham sổ m để phương trình f(x,m) = 0 thỏa mãn môt sổ điều kiên nào đó trên D • • - Cơ sở lý luận Trong các bài toán về phương trình ta gặp khá nhiều bài toán chứa... điều kiện đầu bài Bài tập vận dụng Bài 1 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng (*) 3 Bất phương trình chứa tham sổ 3.1Tìm điều kiện của tham sổ m để bất phương trình f(x ;m) > 0 có nghiệm trên D * Phương pháp hàm số - Cơ sở lý luận: Với dạng toán này trước hết ta đi khảo sát và lập bảng biến thiên của hàm số f(x ;m) trên D rồi dựa vào các tính chất... Bài tập vận dụng Bài 1 : Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 4 X - M 2 X + 1 + 3 - 2 M < 0 Bài 2 : Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm MX—YLX — 3 < M + 1 Bài 3 : Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm mx - V - 3 0 có nghiêm thỏa mãn môt số điều kiên nào đó trên D o • • • * Phương pháp điều kiện cần và đủ - Cơ sở lý luận : Phương. .. m < 27 Bài tập vận dụng Bài 1 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm yl X + Ì + -\l3 — X — -yj(x +1)(3 — x ) = m Bài 2 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm (3 + a/5)*2 + m{ 3 - Sy2 = 2x2+3 (1) (1) Bài 3 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm y j x + 4y [ x — 4 + X + - J x — 4 = m * Phương pháp hàm sổ -Cơ sở lý luận Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán rất quen thuộc trong... /'(0 f(t) + -3 3 Từ bảng biến thiên suy ra -3 0 Phương trình đã cho tương đương với 2t = t2 - 1 + m -o m = -t2 + 2t + 1 Theo yêu cầu của bài toán ta có : đường thẳng y = m cắt (C): y = -t 2 + 2t+ 1,t>0 y = -2t + 2 ; y =0 «>t= 1 Ta có ảng biến thiên b 1 +OC t 0 /'(0... của phương trình này Bước 3: Tìm nghiệm phương trình ban đầu theo hệ thức khi đặt ẩn phụ - Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm m để phươngb trình X +(* + l) — v v 2 1 có nghiệm X +X+1 Bài giải Viết lại phương trình dưới dạng: ( Đặt t = X2 + X + l ,í > -, Khi đó: 4 (l) t(2t-ì) = m o 2t2 —t-m = ( Phương trình đã cho có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t > 3 (2) có môt nghiêm lớn hơn bằng — 4 3 (2) có hai... đổi hệ quả sẽ dẫn đến các phương trình phức tạp hơn phương trình ban đầu Đe khắc phục tình trạng đó, chúng ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ để chuyển về phương trình dạng quen thuộc mà ta đã biết cách giải - Thuât toán: Phương pháp này được tiến hành theo 3 bước sau: Bước 1: Đặt ẩn phụ, nêu điền kiện của ẩn phụ Bước 2: Chuyển phương trình đã cho về phương trình chứa ẩn phụ Giải phương trình chứa ẩn phụ,... chương trình phổ thông Ta có thể sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số,giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình chứa tham số - Thuât toán: Trước khi thực hiện ta biến đổi phương trình f(x ;m) = 0 về dạng tổng quát f(x) = g(x) Khi đó dựa vào tính chất phương trình có nghiệm tương đương hai đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y= g(x) cắt nhau Do đó để giải bài toán này ta tiến hành... đó hàm số đã cho chỉ có cực tiểu (tại X = 0) và không có cực đại Nếu Л > 0 hay ™ Л - Л И - ™ ^1 + V7 m< — h o ặ c m> 2 3 g(x) có hai nghiệm phân biệt Xi, x2 Neu hai nghiệm này khác 0 thì у = 0 có ba nghiệm phân biêt và у đổi dấu từ + sang - khi X đi qua nghiệm thứ hai, như vậy hàm số có cực đại Vì vậy trong trường hợp này để у không có cực đại thì trong hai nghiệm của g(x) phải có một nghiệm bằng 0,... ^ 1 + л/7 „ д _ _ , — _ — О b) m0 điểm cực đại I của đồ thị có tọa độ X = О, у = m2 - 2m = (m - . nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu những bài toán có đại lượng biến thiên 3. Đối tượng nghiên cứu Bài toán có đại lượng biến thiên và phương pháp giải 4. Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích,. tiếp cận và tìm hiểu những bài toán biến thiên, được sự chỉ bảo của Thầy VƯƠNG THÔNG em mạnh dạn chọn đề tài: Bài toán có đại lượng biến thiên và phương pháp giải 2. Mục đích nghiền cứu,. TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 * KHOA TOÁN* BÙI THỊ MAI BÀI TOÁN CÓ ĐẠI LƯỢNG BIỂN THIÊN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành: Đại số Người hướng