Tóm tắt bài toán có đại lượng biến thiên và phương pháp giải

LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học môn học làm tảng cho ngành khoa học khác, thành phần thiếu văn hóa phổ thông Môn toán có tiềm to lớn việc khai thác phát triển lực trí tuệ chung, rèn luyện thao tác phẩm chất tư người Nó bắt nguồn từ nhu cầu giải toán có nguồn gốc từ thực tiễn Cùng với thời gian tiến loài người Toán học ngày phát triển chia làm hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết toán học ứng dụng Trong toán học ứng dụng đóng vai trò quan trọng Đại số, phần trọng yếu Toán học Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu chuyên sâu vào lĩnh vực đại số Đặc biệt toán có đại lượng biến thiên, không gặp phổ thông mà bậc cao Trên sở kiến thức học với mong muốn tiếp cận tìm hiểu toán biến thiên, bảo Thầy VƯƠNG THÔNG em mạnh dạn chọn đề tài: “Bài toán có đại lượng biến thiên phương pháp giải” Mục đích nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu toán có đại lượng biến thiên Đối tượng nghiên cứu Bài toán có đại lượng biến thiên phương pháp giải Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp Chương 1: XÉT TRONG TOÁN SƠ CẤP Hàm số chứa tham số 1.1 Bài toán tìm điểm đặc biệt họ hàm số Cho họ hàm số y = (x,m) m ∈ D tham số, x- đối số Khi gán cho m giá trị cụ thể, ta có hàm số cụ thể có đồ thị tương ứng Khi m thay đổi, đồ thị thay đổi theo.Từ đó,các điểm mặt phẳng chia làm loại sau: i Điểm mà đồ thị qua gọi điểm cố định họ đồ thị hàm số ii Điểm mặt phẳng đồ thị họ qua iii Điểm mặt phẳng có số đồ thị qua 1.1.1 Tìm điểm cố định họ hàm số y= (x,m) * Phương pháp giải đa thức - Cơ sở lý luận: Nếu y0 – (x,m) đưa dạng đa thức tham số m từ (x0,m) – y0 = ∀m∈ D, ta có hệ phương trình ẩn x0, y0 Giải hệ ta tìm (x0, y0) - Thuật toán: Bước 1: Đưa (x0,m) – y0 đa thức với biến m Giả sử M0(x0, y0) điểm cố định hàm số Khi y0= (x0,m)∀m ∈ D (1) (1) ⇔(x0, y0) – y0 = ∀m ∈ D Ta viết vế trái dạng đa thức ẩn m Giả sử là: a0(x0,y0) + a1(x0,y0)m + …+ ak(x0,y0)mk = ∀m ∈ D Vế trái đa thức bậc nhỏ k ẩn m, có số nghiệm nhiều bậc đa thức vế trái đa thức không Bước 2:Hệ phương trình có nghiệm (x 0,y0) họ hàm số có nhiêu điểm cố định -Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho họ hàm số y = x3 – ( m + 1)x2 – (2m2 – 3m + 2)x + 2m(2m – 1) (Cm) m tham số Tìm điểm cố định họ hàm số Ví dụ 2: Cho họ hàm số y = mx3 + ( – m)x (Cm) (m tham số) Tìm điểm mặt phẳng tọa độ mà họ (Cm) qua với m Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 – mx2 – x + m + (Cm) Tìm điểm cố định đồ thị hàm số (Cm) Bài tập vận dụng Bài 1: Cho hàm số (Cm) Chứng minh tiệm cận xiên họ (Cm) qua điểm cố định với m? Bài 2: Chứng minh đường thẳng họ hàm số y = (m + 1)x2 + (4m – 5)x + 4m + tiếp xúc với điểm cố định Bài 3: Cho họ hàm số , m tham số Chứng tỏ đồ thị hàm số qua điểm cố định * phương pháp dùng đạo hàm - Cơ sở lý luận: Từ y0 = ƒ(x0, m) ( m tham số) Lấy đạo hàm theo m hai vế, ta có: - Thuật toán: Viết vế trái dạng đa thức ẩn m, giả sử là: a0(x0) + a1(x0)m + + an(x0)mk = Bước 1:Phương trình có nghiệm với m vế trái đa thức không Bước 2: Hệ phương trình có nghiệm họ hàm số cho có nhiêu điểm cố định Tìm y0: cho m giá trị cụ thể thuộc D, thay y0 = ƒ(x0, m), từ ta tìm điểm A0(x0, y0) - Ví dụ minh họa: Cho họ hàm số y = x3 – (m + 1)x2 – (2m2 – 3m + )x +2m(2m -1), m tham số (Cm) Tìm điểm cố định hàm số - Bài tập áp dụng Bài 1: Cho hàm số y = (m + 1)x3 – (2m + 1)x – m + (Cm) Chứng minh đồ thị (Cm) qua ba điểm cố định thẳng hàng ∀ m? Bài 2: Cho họ hàm số y = x3 + ( m + m )x2 – 4x – 4(m + m ) (Cm) Chứng minh (Cm) qua hai điểm cố định với m? 1.1.2 Tìm điểm mà họ hàm số không qua - Cơ sở lý luận: Giả sử A0(x0, y0) điểm mặt phẳng mà đồ thị họ hàm số y =ƒ(x, m) qua Suy phương trình y0 = ƒ(x0, m) vô nghiệm ẩn m Khi ta có mối liên hệ x 0, y0 Từ đó, ta tìm A0(x0, y0) mà họ hàm số không qua - Thuật toán: Bài toán đưa xét phương trình: y0 - ƒ(x0,m) = (ẩn m) vô nghiệm Đây toán khó, xét số dạng đơn giản sau: • • • Phương trình bậc Phương trình bậc hai Một số dạng khác - Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm điểm mặt phẳng tọa độ mà đồ thị hàm số không qua m thay đổi Ví dụ Cho hàm số y = (m – 2)x2 – 2(m +1)x0 + m + (Cm) Tìm điểm mặt phẳng tọa độ cho đường họ hàm số qua ? Bài tập vận dụng Bài 1: Cho họ hàm số ,m tham số Tìm điểm mà đồ thị hàm số không qua Bài : Cho họ hàm số ,m tham số Tìm điểm mà họ tiệm cận xiên họ hàm số không qua Bài : Cho họ đường thẳng y = (m + 1)x + m2 + m (Cm) Tìm điểm mà họ không qua với m ? 1.2 Bài toán tìm quỹ tích loại điểm * Phương pháp hàm số - Cơ sở lý luận Với dạng toán trước hết ta khảo sát lập bảng biến thiên hàm số ƒ(x, m) D biện luận để tìm giá trị tham số m để tìm quỹ tích cực đại, cực tiểu Dựa vào quy tắc thứ hai tìm cực đại, cực tiểu Nếu ƒ’(x0) = a) Nếu ƒ’’(x0) < 0, y = ƒ’(x) đạt cực đại x0 b) Nếu ƒ’’(x0) > 0, y = ƒ’(x) đạt cực tiểu x0 - Thuật toán : Bước : Phân tích Bước : chứng minh phần thuận Bước : chứng minh phần đảo Bước : Muốn tìm quỹ tích ta cần phải có phần giới hạn quỹ tích - Ví dụ minh họa Ví dụ : Với giá trị m hàm số y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + có cực tiểu cực đại Ví dụ : Cho hàm số Trong m tham số Tìm quỹ tích điểm cực đại đồ thị m thay đổi Bài tập áp dụng Bài : Cho họ hàm số y = x3 + mx2, m tham số Tìm quỹ tích điểm cực đại đồ thị Bài : Cho hàm số , với giá trị m hàm số có cực đại, cực tiểu Tìm quỹ tích điểm cực tiểu đồ thị 1.3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số chứa tham số - Cơ sở lý luận: Cho hàm số ƒ(x) xác định miền D Ta nói M giá trị lớn ƒ(x) D, đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau : a) ƒ(x) ≤ M, ∀x ∈ D b) ∃ x0∈ D : ƒ(x0) = M Khi ta kí hiệu M = maxx ∈ Dƒ(x) Mặt khác, số m gọi giá trị bé ƒ(x) D, đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau đây: a) ƒ(x) ≥ m, ∀x ∈ D b) ∃ x0∈ D : ƒ(x0) = m Ta kí hiệu m = minx∈Dƒ(x) - Thuật toán : Bài toán tìm GTLN, GTNN hàm số đa dạng, phong phú nói khó học sinh phổ thông mà sinh viên trường đại học đặc biệt hàm số chứa tham số Rất nhiều trường hợp, việc tìm GTLN, GTNN hàm số gặp không khó khăn, chí không tìm Tuy nhiên, mong muốn biết số tính chất GTLN, GTNN Vì vậy, với dạng GTLN, GTNN hàm số mang tính định tính thông qua giá trị hàm số số điểm đặc biệt hàm số - Ví dụ minh họa Ví dụ : Cho hàm số Xét miền Tìm GTNN hàm số D Ví dụ : Giả sử (x, y) nghiệm hệ Tìm a để biểu thức M = x2 + y2 +xy = đạt GTLN, GTNN Ví dụ Cho hàm số Trong a tham số thực tùy ý Gọi M = maxx∈[-1;1]f(x) ; m = minx∈[-1 ;1]f(x) Chứng minh Bài tập vận dụng Bài 1: Cho hàm số f(x) = |4ax3 + 2bx2 + ( − 3a )x – b | Trong a; b số thực tùy ý Gọi M =maxx∈[-1;1]f(x) CMR Bài 2: Giả sử M giá trị lớn |b| cho 4bx3 + (a – 3b )x ≤ 1, với giá trị x ∈ [-1;1] với số thực a CMR M ≤ Bài 3: Giả sử (x;y) nghiệm hệ Tìm a để biểu thức M =x2 + y2 + xy đạt GTLN, GTNN Phương trình chứa tham số 2.1Tìm điều kiện tham số m để phương trình f(x; m) = có nghiệm D * Phương pháp đặt ẩn phụ - Cơ sở lý luận: Nhiều để giải phương trình tham số, sử dụng biến đổi tương đương biến đổi hệ dẫn đến phương trình phức tạp phương trình ban đầu Để khắc phục tình trạng đó, dùng phương pháp đặt ẩn phụ để chuyển phương trình dạng quen thuộc mà ta biết cách giải - Thuật toán: Phương pháp tiến hành theo bước sau: Bước 1: Đặt ẩn phụ, nêu điền kiện ẩn phụ Bước 2: Chuyển phương trình cho phương trình chứa ẩn phụ Giải phương trình chứa ẩn phụ, đối chiếu với điều kiện ẩn phụ nêu để tìm nghiệm thích hợp phương trình Bước 3: Tìm nghiệm phương trình ban đầu theo hệ thức đặt ẩn phụ - Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm m để phương trình có nghiệm Ví dụ : Tìm m để phương trình sau có nghiệm (1) Bài tập vận dụng Bài : Tìm m để phương trình sau có nghiệm (1) Bài : Tìm m để phương trình sau có nghiệm (1) Bài : Tìm m để phương trình sau có nghiệm * Phương pháp hàm số - Cơ sở lý luận Sử dụng tính chất hàm số để giải phương trình dạng toán quen thuộc chương trình phổ thông Ta sử dụng tính chất đơn điệu hàm số,giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số…để giải phương trình chứa tham số - Thuật toán: Trước thực ta biến đổi phương trình f(x ;m) = dạng tổng quát f(x) = g(x) 10 Khi dựa vào tính chất phương trình có nghiệm tương đương hai đồ thị hai hàm số y = f(x) y= g(x) cắt Do để giải toán ta tiến hành theo bước sau : Bước 1: Lập bảng biến thiên hàm số y = f(x) Bước 2: Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đồ thị hàm số y = g(m) cắt đồ thị hàm số y = f(x) Chú ý: Nếu đồ thị hàm số y = f(x) liên tục D m = minx∈Df(x) M = maxx∈Df(x) phương trình f(x) = k có nghiệm ⇔ m ≤ k ≤ M - Ví dụ minh họa Ví dụ : Xác định tất giá trị m để phương trình sau có nghiệm Ví dụ : Xác định m để phương trình sau có nghiệm Ví dụ : Tìm m để phương trình sau có nghiệm Bài tập vận dụng Bài : Tìm m để phương trình sau có nghiệm Bài : Tìm m để phương trình sau có nghiệm (1) 2.2Tìm điều kiện tham số m để phương trình f(x,m) = thỏa mãn số điều kiện D -Cơ sở lý luận Trong toán phương trình ta gặp nhiều toán chứa tham số với yêu cầu: "Tìm điều kiện tham số để phương trình cho thỏa mãn số điều kiện ràng buộc đó" Trong số cách giải toán việc tìm điều kiện cần cho tham số thỏa mãn điều kiện ràng buộc cần thiết Thông thường biểu thức giải tích có 11 phương trình ẩn dấu tính chất Ta cần phát hiện, khai thác tính chất để tìm mối quan hệ đặc biệt, ràng buộc tham số Từ tìm điều kiện cần, chìa khóa để giải toán - Thuật toán: Để giải toán dạng ta thực bước sau: Bước 1: (Điều kiện cần) Nhận xét tính chất nghiệm phương trình, từ nhận xét điều kiện ràng buộc suy giá trị tham số Bước 2: (Điều kiện đủ) Với giá trị tìm tham số cần chứng tỏ phương trình thỏa mãn điều kiện ràng buộc Bước 3: Kết luận -Ví dụ minh họa: Ví dụ :Tìm a, b, c để phương trình sau có nghiệm |x – a | + |x – b | = c (1) Ví dụ 2: Xác định m để phương trình x3 – 3x2 – 9x + m = (1) có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Bài tập vận dụng Bài : Tìm m để phương trình sau có nghiệm (1) Bài : Cho phương trình 4x + = m2x sinΠx (1) Tìm giá trị tham số m để phương trình (1) có nghiệm Bài : Xác định m để phương trình x3 + 2x2 + ( m + 1)x + 2(m+1) = (1) có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng 3.Bất phương trình chứa tham số 3.1Tìm điều kiện tham số m để bất phương trình f(x ;m) ≥ có nghiệm D * Phương pháp hàm số 12 - Cơ sở lý luận: Với dạng toán trước hết ta khảo sát lập bảng biến thiên hàm số f(x ;m) D dựa vào tính chất sau để tìm giá trị tham số m - Thuật toán: ∗ Bất phương trình f(x ;m) ≥ có nghiệm D ⇔ maxx∈Df(x ;m) ≥ ∗Bất phương trình f(x ;m) ≤ có nghiệm D ⇔ minx∈Df(x ;m) ≤ Ví dụ minh họa Ví dụ : Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm Ví dụ : Xác định m để bất phương trình m9x – 3x - 1≥ (1) Nghiệm với x Bài tập vận dụng Bài : Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 4x – m2x+1 + – 2m ≤ Bài : Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm Bài : Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 3.2 Tìm điều kiện tham số m để bất phương trình f(x ;m) ≥ có nghiệm thỏa mãn số điều kiện D * Phương pháp điều kiện cần đủ - Cơ sở lý luận : Phương pháp cần đủ thường tỏ hiệu cho lớp dạng toán : Tìm điều kiện tham số để : ∗ Bất phương trình với x ∈D 13 ∗ Bất phương trình tương đương với phương trình bất phương trình khác Thuật toán: Ta thực bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức bất phương trình có nghĩa Bước 2:(Điều kiện cần) Tìm điều kiện cần cho bất phương trình dựa vào tính chất nghiệm, ràng buộc đề bài, suy giá trị tham số m Bước 3: (Điều kiện đủ) Với giá trị tìm tham số cần chứng tỏ bất phương trình thỏa mãn điều kiện ràng buộc Bước 4: Kết luận - Ví dụ minh họa Ví dụ : Tìm m để bất phương trình sau với x: -4≤x≤6 Ví Dụ : Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với ∀x ∈ [-1 ;3] |2x2 +mx + m + 15 | ≤ Bài tập vận dụng Bài : Tìm a ; b để ∀x ∈ [-1 ;1] có : | 4x3 +ax2 + bx + c | ≤ Bài 2: Tìm a để bất phương trình chứa đoạn Bài 3: Tìm a cho bất phương trình (1) Và phương trình | x – a | - | x + 1| = (∗) tương đương * Phương pháp đồ thị: - Cơ sở lý luận: 14 Phương pháp dựa yếu tố hình học, đồ thị hàm số tiềm ẩn, đặc điểm phương pháp có cách nhìn hình học lời giải toán đơn giản sáng sủa - Thuật toán: Với bất phương trình chứa tham số, sử dụng phương pháp đồ thị thường thực theo bước sau: Bước 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương đưa bất phương trình hệ (gọi hệ (I)các bất phương trình đại số) Bước 2: Xét hệ trục tọa độ 0XY ∗ Biểu diễn điểm M(x;m) thỏa mãn bất phương trình (I) Giả sử tập X1;X2;….;Xn ∗ Xác định miền X = X1∩X2∩………∩Xn Chiếu vuông góc tập X lên trục Y, giả sử Im Bước 3:Khi Để hệ vô nghiệm⇔ m∉ Im Để hệ vô nghiệm ⇔ m∈ Im Để hệ có nghiệm ⇔ thỏa mãn m =α cắt tập X điểm( α giá trị tham số) - Ví dụ minh họa Ví dụ Tìm m để ∀x có (x – 2)2 + 2|x – m | ≥ (1) Bài tập vận dụng Bài : Tìm m để bất phương sau có nghiệm log2m+1 [ x3 + (m − 3)x2 + mx – m2 + 2m+1 ]>logm2+1(1 +x2) Bài : Tìm m để bất phương trình sau đúng∀x ∈[-4 :6] = x2 – 2x + m Hệ chứa tham số * Phương pháp đồ thị: - Cơ sở lý luận : 15 (1) Phương pháp dựa yếu tố hình học hàm số tiềm ẩn toán đưa ( nhìn chung chúng cách tường minh, phải sau phép biến đổi phát chúng ) Đặc điểm phương pháp có cách nhìn " hình học ", lời giải toán sáng sủa, đơn giản Tất nhiên phương pháp giải toán khác, phương pháp hình học thích hợp cho toán giải biện luận hệ chứa tham số Do ta xét số dang sau: +) Hệ bậc hai ẩn +) Hệ bậc hai hai ẩn +) Hệ dạng đơn giản khác - Thuật toán : Bước : Biến đổi tương đương đưa hệ phương trình hệ phương trình khác đơn giản Bước : Xét hệ trục Oxy Biểu diễn điểm thỏa mãn - Ví dụ minh họa: Ví dụ : Tìm m để hệ nghiệm với x ∈[0 ;2] Ví dụ : Tìm m để hệ sau có ngiệm Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 16 Bài tập vận dụng Bài 1: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm Bài 2: Biện luận theo m số nghiệm hệ: * Phương pháp điều kiện cần đủ: - Cơ sở lý luận: Cho hệ phương trình (hoặc hệ bất phương trình ) có tham số dạng (I) Hoặc (II) (Ở x biến, m tham số ; Dx ; Dm tương ứng miền xác định x m Ta cần tìm điều kiện đặt lên tham số m để hệ (I) (hoặc (II)) thỏa mãn tính chất P - Thuật toán: Phương pháp điều kiện cần đủ để giải (I) (hoặc (II)) tiến hành theo bước Bước 1: (Điều kiện cần) Giả sử hệ (I)hoặc (II) thỏa mãn tính chất P mà đầu hỏi Dựa vào đặc thù tính chất P dạng số ƒ(x ;m), miền xác định Dx mà ta tìm ràng buộc m Ràng buộc điều kiện cần để thỏa mãn tính chất P, giả sử có dạng m ∈Ωm⊂ Dm Điều có nghĩa : Nếu m0∉Ωm, chắn ứng với giá trị m0, hệ( I) hệ (II) tính chất P Bước 2: (Điều kiện đủ) Giả sử m ∈Ωm Ta phải tìm xem giá trị m, giá trị làm cho hệ (I) (II) thỏa mãn tính chất P Nói chung bước 2, ta phải xét hệ cụ thể Dựa vào đặc trưng hệ ấy, ta vận dụng 17 kiến thức cần thiết lý thuyết phương trình, bất phương trình để giải chúng Kết phép giải cho ta loại khỏi tập Ωm giá trị không thích hợp m Kết hợp bước, ta tìm lời giải toán cho - Ví dụ minh họa : Ví dụ : Tìm m để hệ sau có nghiệm (1) Ví dụ : Tìm a để hệ bất phương trình sau có nghiệm Bài tập vận dụng Bài : Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm (I) Bài : Tìm m để hệ sau có nghiệm Bài : Tìm m để hệ sau có nghiệm 18 Chương : XÉT TRONG TOÁN CAO CẤP Đặt vấn đề: Bài toán có đại lượng biến thiên phương pháp giải dạng toán phong phú đa dạng Nó không gặp toán sơ cấp phổ thông mà học lên bậc cao cao đẳng, đại học bậc học nghiên cứu chuyên sâu dạng toán biến đổi phong phú hơn, phức tạp hơn, đòi hỏi phải tư logic, hệ thống Ta làm quen với , , , ,… phổ thông ta mở rộng ,… ta làm Đây phần mà ta gọi toán cao cấp học lên bậc cao ta chứng minh Ở phần ta xét lớp vành X Trong X miền nguyên, d phần tử Thường X vành số, d số Cố định X, d thay đổi Xét ví dụ  X= X =  X= ,d= Ta có ,d= =i ,d= không đại số d cố định, X thay đổi Xét ví dụ X = ,d= =i X = ,d= X = , d =i.Ta có Ta có 19 KẾT LUẬN Bài toán có đại lượng biến thiên phương pháp giải phần phong phú đa dạng Do việc nghiên cứu tìm hiểu cách sâu sắc không đơn giản, Do điều kiện nghiên cứu hạn chế nên khóa luận đưa tất dạng đưa vài dạng Do kiến thức em hạn chế, đồng thời chưa có kinh nghiệm nghiên cứu đề tài khoa học nên không tránh khỏi thiếu xót Rất mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để đề tài em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hàn Liên Hải – Phan Huy Khải – Đào Ngọc Nam – Lê Tất Tôn – Đặng Quang Viễn Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 10 Đại số - NXB Hà Nội Phan Huy Khải Toán bồi dưỡng nâng cao đại số 11 NXB ĐHQGHN Phan Huy Khải Giới thiệu dạng toán luyện thi đại học tập 1,2,3 NXBHN Tập thể Đại học tổng hợp số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp Phan Huy Khải Phương pháp đồ thị để biện luận hệ có chứa tham số.NXBGD Tạp chí toán học tuổi trẻ NXBGD 21 [...]... nhất Bài tập vận dụng Bài 1 : Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất (I) Bài 2 : Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất Bài 3 : Tìm m để hệ sau có nghiệm 18 Chương 2 : XÉT TRONG TOÁN CAO CẤP Đặt vấn đề: Bài toán có đại lượng biến thiên và phương pháp giải là dạng toán phong phú đa dạng Nó không chỉ gặp ở toán sơ cấp phổ thông mà khi học lên các bậc cao hơn như cao đẳng, đại học thì ở bậc học... bất phương trình (1) Và phương trình | x – a | - | x + 1| = 2 (∗) là tương đương nhau * Phương pháp đồ thị: - Cơ sở lý luận: 14 Phương pháp dựa trên những yếu tố hình học, đồ thị của hàm số tiềm ẩn, đặc điểm của phương pháp này là khi đã có một cách nhìn hình học thì lời giải của bài toán sẽ đơn giản và sáng sủa hơn - Thuật toán: Với các bất phương trình chứa tham số, sử dụng phương pháp đồ thị thường... không được thể hiện một cách tường minh, hoặc phải sau những phép biến đổi mới phát hiện ra chúng ) Đặc điểm của phương pháp này là khi đã có một cách nhìn " hình học ", thì lời giải của bài toán sẽ sáng sủa, đơn giản hơn Tất nhiên cũng như mọi phương pháp giải toán khác, phương pháp hình học không phải là thích hợp cho mọi bài toán giải và biện luận hệ chứa tham số Do đó ở đây ta chỉ xét một số dang... Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 4x – m2x+1 + 3 – 2m ≤ 0 Bài 2 : Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm Bài 3 : Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 3.2 Tìm điều kiện của tham số m để bất phương trình f(x ;m) ≥ 0 có nghiệm thỏa mãn một số điều kiện nào đó trên D * Phương pháp điều kiện cần và đủ - Cơ sở lý luận : Phương pháp cần và đủ thường tỏ ra khá hiệu quả cho lớp dạng toán : Tìm điều... =  X= ,d= Ta có ,d= =i ,d= không là đại số trên 2 d cố định, X thay đổi Xét ví dụ X = ,d= =i X = ,d= X = , d =i.Ta có Ta có 19 KẾT LUẬN Bài toán có đại lượng biến thiên và phương pháp giải là một trong những phần phong phú và đa dạng Do đó việc nghiên cứu tìm hiểu một cách sâu sắc không hề đơn giản, Do điều kiện nghiên cứu còn hạn chế nên khóa luận không thể đưa ra tất cả các dạng bài nhưng vẫn... Viễn Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 10 Đại số - NXB Hà Nội 2 Phan Huy Khải Toán bồi dưỡng nâng cao đại số 11 NXB ĐHQGHN 3 Phan Huy Khải Giới thiệu các dạng toán luyện thi đại học tập 1,2,3 NXBHN 4 Tập thể Đại học tổng hợp 1 số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp 5 Phan Huy Khải Phương pháp đồ thị để biện luận hệ có chứa tham số.NXBGD 6 Tạp chí toán học và tuổi trẻ NXBGD 21 ... thì phương trình f(x) = k có nghiệm ⇔ m ≤ k ≤ M - Ví dụ minh họa Ví dụ 1 : Xác định tất cả các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm Ví dụ 2 : Xác định m để phương trình sau có nghiệm Ví dụ 3 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm Bài tập vận dụng Bài 1 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm Bài 2 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm (1) 2.2Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x,m) = 0... dựa vào tính chất phương trình có nghiệm tương đương hai đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y= g(x) cắt nhau Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau : Bước 1: Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) Bước 2: Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đồ thị hàm số y = g(m) cắt đồ thị hàm số y = f(x) Chú ý: Nếu đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên D và m = minx∈Df(x) M = maxx∈Df(x) thì phương. .. của tham số m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất Bài 3 : Xác định m để phương trình x3 + 2x2 + ( m + 1)x + 2(m+1) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng 3.Bất phương trình chứa tham số 3.1Tìm điều kiện của tham số m để bất phương trình f(x ;m) ≥ 0 có nghiệm trên D * Phương pháp hàm số 12 - Cơ sở lý luận: Với dạng toán này trước hết ta đi khảo sát và lập bảng biến thiên của hàm số f(x... m số nghiệm của hệ: * Phương pháp điều kiện cần và đủ: - Cơ sở lý luận: Cho hệ phương trình (hoặc hệ bất phương trình ) có tham số dưới dạng (I) Hoặc (II) (Ở đây x là biến, m là tham số ; Dx ; Dm tương ứng là các miền xác định của x và m Ta cần tìm điều kiện đặt lên tham số m để hệ (I) (hoặc (II)) thỏa mãn một tính chất P nào đó - Thuật toán: Phương pháp điều kiện cần và đủ để giải (I) (hoặc (II)) được ... có nghiệm (I) Bài : Tìm m để hệ sau có nghiệm Bài : Tìm m để hệ sau có nghiệm 18 Chương : XÉT TRONG TOÁN CAO CẤP Đặt vấn đề: Bài toán có đại lượng biến thiên phương pháp giải dạng toán phong phú... ,d= Ta có ,d= =i ,d= không đại số d cố định, X thay đổi Xét ví dụ X = ,d= =i X = ,d= X = , d =i.Ta có Ta có 19 KẾT LUẬN Bài toán có đại lượng biến thiên phương pháp giải phần phong phú đa dạng... nghiệm (1) Bài tập vận dụng Bài : Tìm m để phương trình sau có nghiệm (1) Bài : Tìm m để phương trình sau có nghiệm (1) Bài : Tìm m để phương trình sau có nghiệm * Phương pháp hàm số - Cơ sở lý luận