bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ở trường trung học phổ thông việt nam

Bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số trong chương trình dạy học Toán lớp 12 của Việt Nam chỉ hạn chế ở một số dạng hàm số quen thuộc như: Từ những ghi nhận trên, chúng tôi quyết định chọn đề t

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Tuyết Lan

BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ

VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ở TRƯỜNG

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VIỆT NAM

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Tuyết Lan

BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ

VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ở TRƯỜNG

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VIỆT NAM

Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học môn bộ Toán

Mã số : 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

LỜI CẢM ƠN

Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, giảng viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh, người đã bỏ nhiều công sức, giúp

đỡ và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân t rọng cảm ơn quý thầy cô: PGS.TS Lê Văn Tiến, PGS.TS Lê Thị Hoài Châu,

TS Trần Lương Công Khanh, TS Nguyễn Thị Nga, TS Vũ Như Thư Hương và các quý thầy

cô đã tận tình giảng dạy, truyền thụ tri thức quý báu trong suốt thời gian tham gia lớp cao học chuyên ngành didactic Toán Xin chân thành cảm ơn PGS.TS Claude Comiti đã có những

ý kiến đóng góp quý báu cho luận văn

Xin chân thành cảm ơn:

• Phòng Sau đại học trường ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học

• Ban giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ Toán-Tin trường THPT Tân Phước đã giúp

đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này

Lời cảm ơn chân thành xin gửi đến các bạn học viên cùng lớp didactic Toán khóa 22, những người đã chia sẻ khó khăn, vui buồn với tôi trong suốt những năm tháng cao học Cuối cùng, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến những người thân yêu trong gia đình đã động viên, khích lệ, quan tâm và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn này

Nguyễn Thị Tuyết Lan

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT 4

MỞ ĐẦU 5

1 Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát 5

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu 7

3 Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu 7

4 Tổ chức luận văn 8

CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ở BẬC ĐẠI HỌC 9

1.1 Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong hai giáo trình đã chọn 9

1.1.1 Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong giáo trình [a] 9

1.1.2 Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong giáo trình [b] 18

1 2 Kết luận chương 1 23

CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA TOÁN VIỆT NAM 25 2.1 Phân tích Chương trình 25

2.2 Phân tích sách giáo khoa 26

2.2.1 Phân tích SGK lớp 10 26

2.2.2 Phân tích SGK lớp 11 31

2.2.3 Phân tích SGK lớp 12 37

2.3 Kết luận chương 2 55

CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 60

3.1 Mục đích thực nghiệm 60

3.2 Hình thức – tổ chức thực nghiệm 60

3.2.1 Thực nghiệm 1 60

3.2.2 Thực nghiệm 2 60

3.3 Giới thiệu các câu hỏi thực nghiệm 60

3.3.1 Giới thiệu thực nghiệm 1 60

3.3.2 Giới thiệu thực nghiệm 2 61

3.4 Phân tích thực nghiệm 62

3.4.1 Phân tích thực nghiệm 1 62

3.4.2 Phân tích thực nghiệm 2 65

KẾT LUẬN CHUNG 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77

SGKNC12 Sách giáo khoa Giải tích nâng cao 12 SGVCB12 Sách giáo viên Giải tích cơ bản 12 SGVNC12 Sách giáo viên Giải tích nâng cao 12

MỞ ĐẦU

1 Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Trong tất cả các đề thi Tốt nghiệp Trung học phổ thông (THPT) và tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của Việt Nam, bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (KSSBT và vẽ

ĐT hàm số) luôn xuất hiện trong câu hỏi số 1 Chẳng hạn:

Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2009

x y x

+

= +

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O

Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2010

Câu I(2, 0 điểm) Cho hàm số y= − −x4 x2 + 6

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

o Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định; '

o Xét dấu đạo hàm y và suy ra chiều biến thiên của hàm số '

• Tìm cực trị

• Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

• Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)

3 Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị

CHÚ Ý

1 Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox

2 Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa

như: tập xác định, tính đơn điệu, cực trị, tiệm cận, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, tính đối

xứng của hàm số,… Nếu so với các đề thi Tú Tài của Pháp thì một bài toán khảo sát hàm

với các bước như trong chương trình Toán Việt Nam không còn tồn tại nữa

Bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số trong chương trình dạy học Toán lớp 12 của Việt Nam chỉ hạn chế ở một số dạng hàm số quen thuộc như:

Từ những ghi nhận trên, chúng tôi quyết định chọn đề tài “Bài toán khảo sát sự biến thiên

và vẽ đồ thị hàm số ở trường Trung học phổ thông Việt Nam”

Chúng tôi khởi đầu nghiên cứu của mình với các câu hỏi xuất phát như sau:

Câu hỏi 1: Trong các giáo trình giải tích cho những năm nhất Đại học, bài toán KSSBT

và vẽ ĐT hàm số có còn xuất hiện hay không? Nếu có thì những tính chất nào của hàm số

mà các giáo trình này yêu cầu khảo sát và những dạng hàm số nào được yêu cầu khảo sát?

Câu hỏi 2: Trong các SGK hiện hành ở bậc THPT, những tính chất nào của hàm số được

yêu cầu khảo sát? Đối với các tính chất của hàm số được yêu cầu khảo sát trong bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số thì những dạng hàm số nào đã xuất hiện khi nghiên cứu riêng các

tính chất trên? Các dạng hàm số nào không còn được quan tâm trong bài toán KSSBT và vẽ

ĐT hàm số ở lớp 12?

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết của Didactic toán Cụ thể, chúng tôi sử dụng lý thuyết nhân học, lý thuyết tình huống để phục vụ cho nghiên cứu của mình Dưới tham chiếu của lý thuyết nhân học, đối tượng nghiên cứu của chúng tôi – bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số - có thể được xem là một kiểu nhiệm vụ - chúng tôi kí hiệu

TKSSBT-ĐT Như chúng tôi đã nói trong phần mở đầu, kiểu nhiệm vụ này huy động nhiều đối

tượng tri thức của giải tích Như vậy, mục tiêu chính của luận văn là nghiên cứu các điều

kiện sinh thái xoay quanh kiểu nhiệm vụ này trong thể chế dạy học Toán bậc THPT

Chúng tôi phát biểu câu hỏi ban đầu bằng ngôn ngữ của các công cụ didactic

Q1: Các điều kiện sinh thái của bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số trong các giáo trình giải tích dành cho sinh viên những năm nhất Đại học? Những ràng buộc và hạn chế nào xoay quanh các tính chất và dạng hàm số của bài toán này trong các giáo trình Đại học?

Q2: Các điều kiện sinh thái của bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số trong thể chế dạy học toán bậc THPT? Vấn đề khảo sát hàm thông qua việc nghiên cứu các tính chất hàm số và vẽ

đồ thị hàm số tiến triển như thế nào trong thể chế dạy học toán bậc THPT?

3 Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu là tìm câu trả lời cho các câu hỏi Q1, Q2 đã đặt ra ở mục 2 Để đạt được mục đích này, chúng tôi đề ra phương pháp nghiên cứu như sau:

 Thứ nhất, chọn phân tích hai giáo trình giải tích dùng cho sinh viên những năm đầu của bậc Đại học để làm rõ vị trí và đặc trưng của bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số Điều này

góp phần trả lời cho câu hỏi Q1 và được trình bày trong chương 1: Bài toán khảo sát sự

biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ở bậc Đại học

 Thứ hai, chúng tôi tiến hành phân tích Chương trình, SGK và tham khảo một số luận văn nghiên cứu về các tính chất của hàm số để thấy được vị trí của bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số trong chương trình dạy học toán bậc THPT Qua đó thấy được ảnh hưởng của quan

hệ thể chế đến ứng xử của HS khi giải quyết bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số Những việc

làm trên góp phần trả lời cho câu hỏi Q2 Vấn đề này được chúng tôi trình bày trong chương

2: Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong Chương trình và SGK toán ở Việt Nam

Từ kết quả phân tích giáo trình đại học, chương trình và SGK giúp chúng tôi đặt ra giả thuyết nghiên cứu hoặc câu hỏi nghiên cứu

 Thứ ba, chúng tôi xây dựng một thực nghiệm và phân tích tiên nghiệm tình huống Cuối cùng, tiến hành thực nghiệm và phân tích hậu nghiệm, đối chiếu với phân tích tiên nghiệm

và hợp thức hóa giả thuyết nghiên cứu hoặc trả lời các câu hỏi nghiên cứu đã đề ra Vấn đề

này được chúng tôi trình bày trong chương 3: Nghiên cứu thực nghiệm

4 Tổ chức luận văn

Luận văn gồm 3 phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận

Phần mở đầu, chúng tôi trình bày về những ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, khung lý

thuyết tham chiếu, câu hỏi nghiên cứu, mục đích và phương pháp nghiên cứu, tổ chức luận văn

Phần nội dung, gồm có 3 chương:

 Chương 1 - Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ở bậc Đại học

Trong chương này, chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ vị trí của bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm

số trong các giáo trình Đại học

 Chương 2 - Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong Chương trình và

sách giáo khoa T oán ở Việt Nam

Trong chương này, chúng tôi sẽ làm rõ vị trí và sự tiến triển của bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số thông qua việc nghiên cứu các tính chất và vẽ đồ thị trong các SGK hiện hành Từ những kết quả phân tích có được chúng tôi sẽ đưa ra giả thuyết nghiên cứu

 Chương 3 – Nghiên cứu thực nghiệm

Trong chương này, chúng tôi xây dựng một thực nghiệm nhằm kiểm chứng giải thuyết

nghiên cứu hoặc trả lời các câu hỏi nghiên cứu đã đề ra trong chương 2

Phần kết luận

- Trình bày tóm tắt các kết quả đạt được của luận văn

- Đề cập những hướng nghiên cứu có thể mở ra từ luận văn

CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ

THỊ HÀM SỐ Ở BẬC ĐẠI HỌC

Trong chương này, chúng tôi đi tìm câu trả lời cho câu hỏi Q1 như sau:

Q1: Các điều kiện sinh thái của bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số trong các giáo trình giải tích dành cho sinh viên những năm nhất Đại học? Những ràng buộc và hạn chế nào xoay quanh các tính chất và dạng hàm số của bài toán này trong các giáo trình Đại học?

Ngoài ra, nếu xem tri thức trong Giáo trình Đại học gần với tri thức bác học thì những kết quả phân tích của chương này sẽ được chúng tôi chọn làm tham chiếu cho phân tích ở

chương tiếp theo, chương 2: Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong

C hương trình và sách giáo khoa Toán Việt Nam

Để đạt được mục tiêu trên, chúng tôi sẽ tham khảo các giáo trình toán dùng ở bậc đại học

Cụ thể, chúng tôi chọn hai giáo trình sau để phân tích:

• Nguyễn Đình Trí (chủ biên) (2008), Toán học cao cấp tập 2, Nxb Giáo dục

• Ngô Thành Phong (2004), Giải Tích Toán học, Nxb Đại học KHTN

Để thuận tiện trong việc trình bày, chúng tôi kí hiệu hai giáo trình trên lần lượt là [a] và [b] Chúng tôi chọn các giáo trình này vì đây là giáo trình được sử dụng phổ biến ở các trường Đại học - Cao đẳng Hơn nữa,

Bộ giáo trình “Toán học cao cấp” này được soạn căn cứ vào chương trình khung đã được ban hành, và thực tế giảng dạy của hệ cao đẳng của một số trường đại học kĩ thuật và căn cứ vào chương trình môn Toán hiện nay của các trường Trung học Phổ thông, […]

[19, tr.3]

Với mục tiêu nghiên cứu đề ra, chúng tôi chỉ đặc biệt chú ý đến các nội dung liên quan đến bài toán KSSBT và vẽ ĐT ở cấp độ đại học

1.1 Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong hai giáo trình đã chọn

Từ các kiến thức của hàm số đã nghiên cứu như tập xác định, miền giá trị, đồ thị hàm số, tính đơn điệu, tính tuần hoàn, tính chẵn lẻ của hàm số, giới hạn hàm số, đạo hàm của hàm

số, … các giáo trình trên đưa ra các định lý về giá trị trung bình và ứng dụng của nó, bài toán KSSBT và vẽ ĐT là một trong những ứng dụng của các định lý này Trong hai giáo trình, bài toán KSSBT và vẽ ĐT đều được đưa vào bài cuối của mỗi chương Sau đây, chúng tôi sẽ nghiên cứu bài toán KSSBT và vẽ ĐT lần lượt trong các giáo trình trên

1.1.1 Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong giáo trình [a]

1.1.1.1 K hảo sát hàm số y = f(x)

Bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x) trong giáo trình [a] được cho bởi trình tự sau:

Việc khảo sát hàm số thường theo trình tự dưới đây:

hàm số Các tính chất được yêu cầu trong trình tự KSHS, chúng tôi thấy các tính chất như

cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, tiệm cận có kèm theo phía sau chữ “nếu có” hoặc “nếu cần thiết” Như vậy, các tính chất cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, tiệm cận không bắt buộc khảo sát trong bài toán này Riêng bước xét tính đơn điệu của hàm số thì không chú thích thêm điều đó Điều này chứng tỏ rằng tính đơn điệu là tính chất luôn được yêu cầu khảo sát ở tất

cả các hàm số

Để minh họa cho trình tự trên, [a] có đưa ra ví dụ sau:

Sau đây, lấy một thí dụ cốt để minh họa các bước khảo sát:

Đạo hàm f'đổi dấu từ - sang + khi vượt qua 3

f cùng dấu với x − x1nên f ≥ trong miền xác định, do đó f(x) là hàm số lồi '' 0

(5) x = 1 là điểm hàm số không xác định, do đó đồ thị có một tiệm cận đứng có phương trình x =

1 Muốn tìm tiệm cận xiên ta viết f(x) dưới dạng:

1 2 1 2

(7) Đồ thị [19, tr.171-174]

Qua ví dụ trên, chúng tôi nhận thấy rằng:

- Hàm số được yêu cầu khảo sát có thể là một hàm căn thức

- Các bước khảo sát thực hiện đúng theo trình tự KSHS Trong ví dụ này, đồ thị hàm số không có điểm uốn còn các tính chất còn lại đều được khảo sát

- Ngoài những kiến thức được nêu ra trong trình tự KSHS, trong quá trình tìm tiệm cận

của hàm số (bước 5) đã dùng đến kiến thức về giới hạn của hàm số Cụ thể là tính giới hạn

của hàm số khi x dần ra vô cực, kết quả của việc tính giới hạn này được ghi vào bảng biến thiên ở bước 6

- Bên cạnh đó, trước khi đưa ra bảng biến thiên và đồ thị của hàm số, [a] đưa ra chú ý về

tính chẵn lẻ và tuần hoàn của hàm số Nếu biết được các tính chất này của hàm số thì phạm

vi khảo sát sẽ thu hẹp lại trên khoảng đóng hay mở nào đó rồi lấy đối xứng là được toàn bộ

đồ thị hàm số Tính chẵn lẻ và tuần hoàn của hàm số không có mặt trong trình tự KSHS mà chỉ được nêu thông qua lời giải của ví dụ Như vậy, việc khảo sát tính chẵn lẻ và tuần hoàn của hàm số trong bài toán này trong giáo trình [a] chỉ mang tính khuyến khích

Như vậy, qua trình tự KSHS và ví dụ chúng tôi nhận thấy những kiến thức về hàm số được

sử dụng cho bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x) trong giáo trình [a] là: miền xác

định, tính đơn điệu, cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, tiệm cận của hàm số, giới hạn hàm số, tính chẵn lẻ và tính tuần hoàn của hàm số Trong đó, tính đơn điệu của hàm số là tính chất

luôn được yêu cầu khảo sát ở tất cả các hàm số, riêng các tính chất còn lại không cần thiết khảo sát mà chỉ khuyến khích nhằm làm cho việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được đơn giản và chính xác hơn

1.1.1.2 Khảo sát đường cho dưới dạng tham số

Các đường thường cho dưới dạng hệ phương trình  = ∈

trình là một hàm số theo biến t Trong những điều kiện xác định, đường cong cho dưới

dưới dạng tham số có thể nói là phức tạp hơn bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x) vì phải khảo sát đồng thời nhiều hàm số trong cùng một lúc Và được cho bởi trình tự sau:

Có thể khảo sát một đường cong cho dưới dạng tham số theo trình tự dưới đây:

- Miền xác định, các điểm gián đoạn của các hàm số x = x(t), y = y(t) Nhận xét tính chẵn - lẻ, tuần hoàn (nếu có)

- Xét x t y t để xét chiều biến thiên của x, y theo t '( ), ( )'

- Tìm các tiệm cận của đường cong (nếu có):

→ cùng là vô cùng thì đường cong có thể có tiệm cận xiên, cụ thể nếu

đồng thời tồn tại các giới hạn

- Tìm các điểm đặc biệt của đường cong (nếu có) và tiếp tuyến của đường cong tại các điểm đặc

biệt, hệ số góc của tiếp tuyến được tính theo công thức ''t

t

y dy

dx x=

- Bảng biến thiên và đồ thị [19, tr.195]

Trình tự khảo sát đường cho dưới dạng tham số được tiến hành qua 5 bước và cũng huy

động đến: miền xác định, tính đơn điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, tiệm cận, giới hạn, đạo

hàm và đồ thị của hàm số Khác với bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x), các tính

chất chẵn lẻ, tính tuần hoàn giờ đây đã được yêu cầu khảo sát ngay trong trình tự khảo sát

đường cho dưới dạng tham số Ngược lại, các tính chất như cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn

trước đây xuất hiện trong trình tự KSHS hàm số y = f(x) nhưng lại không yêu cầu khảo sát trong trình tự này Riêng tính đơn điệu của hàm số vẫn được giữ lại Ngoài ra, để việc vẽ đồ thị đường được chính xác hơn thì ở đây cần xác định một vài điểm đặc biệt và tiếp tuyến của đường tại các điểm đặc biệt đó

Để minh họa cho trình tự khảo sát trên giáo trình này đưa ra ví dụ như sau:

3 3

dx= tại t= 0; ; 2 π π và tại các điểm đó tiếp tuyến thẳng đứng

Ngoài ra, từ hệ phương trình (9) ta cũng có thể khử t bằng cách để ý rằng

x =a t y =a sin t và do đó x23 +y23 =a23 (9 ) ' Phương trình (9 ’ ) là phương trình axtrôit viết trong hệ tọa độ Đềcác; cũng có thể thấy rằng đường axtrôit dạng (9 ’ ) luôn nằm trong đường tròn tâm O và bán kính a

[19, tr.179 - 180]

Qua ví dụ trên chúng tôi nhận thấy:

- Lời giải của ví dụ trên khảo sát các tính chất theo trình tự các bước đã đưa ra Đường cho dưới dạng tham số trong thí dụ không có tiệm cận, các hàm số trong hệ phương trình tham số là các hàm lượng giác sin và cos, tuần hoàn với chu kì 2π nên phạm vi khảo sát

được thu hẹp lại trong khoảng [0, 2π ] Do không xét đến cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn của hàm số nên dựa vào bảng biến thiên chỉ xác định được các khoảng đơn điệu của các hàm số và vẽ đồ thị

- Việc tìm các điểm đặc biệt và tiếp tuyến tại các điểm đặc biệt đó không nhất thiết có trong trình tự khảo sát vì đồ thị được đưa ra trước khi tìm các điểm đặc biệt và tiếp tuyến tại các điểm đó Hơn nữa, các công việc đó chỉ cần thiết khi khảo sát tỉ mỉ

Như vậy, bài toán khảo sát đường cho dưới dạng tham số được thực hiện qua 5 bước và cũng yêu cầu khảo sát nhiều kiến thức về hàm số như bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y

= f(x) nhưng các tính chất yêu cầu trong bài toán này có thay đổi so với bài toán KSSBT và

vẽ ĐT hàm số y = f(x) Cụ thể, trong trình tự khảo sát đường cho dưới dạng tham số tính

đơn điệu của hàm số được giữ lại và các tính chất như tính chẵn lẻ và tuần hoàn thay thế

cho tính lồi, lõm, cực trị, điểm uốn của hàm số Điều này chứng tỏ, bài toán KSSBT và vẽ

ĐT hàm số y = f(x) dù trong trình tự khảo sát huy động đến nhiều kiến thức về hàm số

nhưng chỉ có tính đơn điệu của hàm số là luôn có mặt và các tính chất như tính chẵn lẻ, tuần

hoàn, tiệm cận, tính lồi, lõm, cực trị, điểm uốn không cần thiết khảo sát

1.1.1 3 Khảo sát đường trong hệ tọa độ cực

Các bước khảo sát hàm số f = f( )ϕ :

- Miền xác định của f(ϕ);

- Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị;

- Bảng biến thiên (xét sự biến thiên của f(ϕ) theo ϕ) [19, tr 196]

Bên cạnh đó,

Để vẽ đồ thị được chính xác hơn, ta thường xác định tiếp tuyến với đường cong tại mỗi điểm M của nó [19, tr.185]

Bài toán KSSBT và vẽ ĐT đường dạng f = f( )ϕ chỉ tiến hành qua 3 bước và không huy

động nhiều kiến thức của hàm số mà chỉ liên quan đến: miền xác định, tính đơn điệu của

hàm số Như vậy, ở dạng này của bài toán KSSBT và vẽ ĐT chỉ khảo sát tính đơn điệu của

hàm số và các tính chất khác không xuất hiện trong trình tự khảo sát

Chúng tôi sẽ trích dẫn một ví dụ minh họa các bước trên

Ví dụ:

Vẽ đường hoa hồng ba cánh có phương trình r a= sin3 , ϕ a> 0

Ở đây r là một hàm số tuần hoàn với chu kì 23π , vì thế chỉ cần khảo sát hàm số này trong một khoảng có độ dài bằng chu kì, chẳng hạn, khoảng ,

r khi r tgV tg r

π ϕ ϕ

Dưới đây cho bảng biến thiên của r theo ϕ :

Hình 5.15

[19, tr 186 - 187]

Qua ví dụ trên, đường được yêu cầu khảo sát là hàm f( )ϕ =asin3ϕ Trước khi thực hiện các bước trong trình tự khảo sát, giáo trình này đã khảo sát tính tuần hoàn và tính chẵn lẻ của hàm số trên để thu hẹp phạm vi khảo sát Bài toán này chỉ dựa vào tính đơn điệu của hàm số để vẽ đồ thị mà không khảo sát các tính chất lồi, lõm, điểm uốn, cực trị hay tiệm cận của đồ thị hàm số

Như vậy, trong bài toán khảo sát đường trong hệ tọa độ cực thì ngoài tính đơn điệu của hàm

số, các tính chất như tính chẵn lẻ và tuần hoàn cũng được yêu cầu khảo sát dù không được đưa vào trình tự khảo sát

1.1.1.4 Phân tích bài tập về bài toán KSSBT và vẽ ĐT

Bài tập về bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong [a] như sau:

1

2 4

2 1

x y x

−

= + , 2

y= x −x − + x

3

4 3

8 1

x y x

+

= + 4 2

2 1

x y x

−

= +

5

3 2

1 x

y x

+

= 6

3 1

Trong [a] đưa ra hai bài tập về bài toán KSSBT và vẽ ĐT: một về hàm số y = f(x), một về đường trong tọa độ cực Riêng bài toán khảo sát đường cho dưới dạng tham số có trong lí thuyết nhưng không cho bài tập nào để thực hành Các dạng hàm số được yêu cầu khảo sát chủ yếu là các hàm phân thức (hữu tỉ hay chứa căn), hàm căn thức, các hàm lượng giác (chủ yếu là hàm sin và cos) và các hàm được tạo thành từ tổng, hiệu, tích, thương của hai hay nhiều hàm số (trị tuyệt đối và căn thức, đa thức và căn thức,…) Nhìn chung, bài toán KSSBT và vẽ ĐT là bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về hàm số nhưng được đưa vào cuối chương và không có ứng dụng hay phục vụ cho tri thức nào ngay sau đó (tất nhiên sau

đó, việc khảo sát hàm sẽ phục vụ cho việc tính diện tích và thể tích các hình phẳng bằng tích phân) Mặt khác, với sự phát triển của công nghệ thông tin ngày nay thì việc sử dụng phần mềm để nghiên cứu đồ thị của hàm số sẽ nhanh chóng hơn nên đã hạn chế kiểu nhiệm vụ này Do đó, bài toán KSSBT và vẽ ĐT dù có trong giáo trình nhưng chưa thật sự được chú trọng

1.1.1 5 Một số kết quả từ giáo trình [a]

Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong giáo trình [a] gồm có KSSBT và vẽ ĐT hàm số dạng y = f(x), khảo sát đường cho dưới dạng tham số và đường trong hệ tọa độ cực Bài toán KSSBT

và vẽ ĐT nói chung huy động đến nhiều kiến thức về hàm số như: miền xác định, tính đơn

điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, giới hạn của hàm số, đạo hàm, tiệm cận và đồ thị của hàm số Trong đó, tính đơn điệu của hàm số là tính chất luôn

được yêu cầu khảo sát trong các trình tự KSHS và kĩ thuật xét chiều biến thiên là dùng công

cụ giải tích đạo hàm Đối với các tính chất: tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, cực trị, tiệm cận,

tính lồi, lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số không bắt buộc khảo sát Các hàm số được yêu

cầu khảo sát gồm các hàm phân thức, căn thức, các hàm lượng giác và các hàm được tạo thành từ tổng, hiệu, tích, thương của hai hay nhiều hàm số Bài toán KSSBT và vẽ ĐT không phục vụ cho tri thức nào ngay sau đó và chưa thật sự được chú trọng trong giáo trình này

1.1.2 Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong giáo trình [b]

Bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x) trong giáo trình [b] được cho bởi trình tự sau:

Các bước cơ bản vẽ đồ thị hàm số y = f(x)

Bước 1: Tìm và xét dấu đạo hàm bậc nhất f x , xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến và ' ( ) cực trị địa phương của hàm f(x) (f x = 0 và đổi dấu) ' ( )

Bước 2: Tìm và xét dấu đạo hàm bậc hai f x , xác định khoảng lồi, khoảng lõm và điểm uốn '' ( ) của hàm f(x) (f x = 0 và đổi dấu) '' ( )

Bước 3: Tìm các tiệm cận Tiệm cận ngang: lim ( )x f x b

= liên tục tại x = c Nếu q(c) = 0 và ( ) 0p c ≠ thì x = c là tiệm cận đứng

của f(x) Tiệm cận xiên: y kx b= +

Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

x y x

=

− ( ) \ { 1, 1}

D y =R − + y là hàm số lẻ do đó đồ thị đối xứng đối với điểm gốc tọa độ O(0, 0) Tính chất này của hàm số làm đơn giản hóa việc vẽ đồ thị Thật vậy, do tính đối xứng đối với điểm O(0, 0), ta chỉ cần xét đồ thị đối với 0 x≤ < +∞

Bước 1: Tìm đạo hàm bậc 1 để xét dấu y tìm khoảng đồng biến, nghịch biến '

2 '

3 '

3

x y

Bước 4: Giao điểm với các trục tọa độ: điểm O(0, 0)

Bước 5: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị

Hình 2.20

Trong thí dụ, hàm số được yêu cầu khảo sát ở đây là hàm phân thức chứa căn Trước khi

thực hiện các bước KSHS là tìm miền xác định của hàm số và xét tính chẵn lẻ của hàm số

để đơn giản hóa quá trình khảo sát, thay vì khảo sát trên toàn tập xác định thì ở đây chỉ xét trên [0, +∞ ) Như vậy, trong giáo trình [b] việc tìm miền xác định và xét tính chẵn lẻ của hàm số không đưa vào trình tự khảo sát mà chỉ thể hiện thông qua ví dụ Ví dụ thực hiện đúng theo trình tự khảo sát đưa ra

Bên cạnh đó, giáo trình [b] cũng đưa ra bài toán khảo sát đường cho dưới dạng phương

trình tham số Khác với giáo trình [a], bài toán này được xếp vào như là một ví dụ minh họa

cho bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x) và có trình tự khảo sát như bài toán KSSBT

và vẽ ĐT hàm số y = f(x)

Sau đây chúng tôi trích dẫn một ví dụ minh họa cho bài toán này:

4) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số được cho dưới dạng tham số

“Lá Descartes” là đường cong của hàm số được cho dưới dạng hàm ẩn:

y trong các khoảng chỉa bởi các điểm này được tính bằng công thức (b) Ta lập bảng sau:

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị được tính theo công thức:

' '

y t t y

Khi t = 0 và t = ∞ , x và y bằng 0, tức là hai nhánh của đường cong cắt nhau tại điểm gốc tọa độ,

2 1

0 1

lim 3

→−

  +

”

[11, tr 111 – 113]

Ví dụ trên yêu cầu khảo sát đường cho dưới dạng tham số Qua lời giải chúng tôi nhận thấy:

- Trước khi tiến hành các bước khảo sát, [b] đã đưa phương trình ban đầu về hai hàm số theo cùng một biến t, mỗi hàm số x(t), y(t) là các hàm phân thức hữu tỉ Kế đến là tìm miền xác định của hai hàm số đó, việc tìm miền xác định không có trong trình tự khảo sát nhưng vẫn được thực hiện trong bài giải Trình tự khảo sát gồm 5 bước nhưng lời giải trên chỉ tiến hành qua hai bước: bước thứ nhất là tính các đạo hàm của hai hàm số, xét tính đơn điệu của hai hàm số; bước thứ hai là xác định tiệm cận xiên của hàm số Do đó nhìn vào bảng biến thiên chỉ xác định được các khoảng đơn điệu của hàm số

- Ngoài ra, ở đây còn xác định hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số và kết quả của việc này là xác định được hai nhánh của đồ thị cắt nhau tại O và có một nhánh tiếp xúc với

Oy

Bên cạnh đó, chúng tôi còn nhận thấy rằng bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong giáo trình này được đưa vào bài cuối của chương và bài toán này cũng không có ứng dụng nào ngay sau

đó Đặc biệt, trong phần bài tập ứng dụng không xuất hiện kiểu nhiệm vụ TKSSBT-ĐT

Như vậy, bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong giáo trình [b] ngoài KSHS dạng y = f(x) còn khảo sát đường cho dưới dạng tham số Và bài toán KSSBT và vẽ ĐT đã huy động các kiến thức

như: tính đơn điệu, cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn của đồ thị, tiệm cận của hàm số Trong

đó, tính đơn điệu của hàm số là tính chất luôn được yêu cầu khảo sát và được đưa lên là bước đầu tiên trong trình tự khảo sát với kĩ thuật xét tính đơn điệu là dựa vào công cụ giải tích, đạo hàm Riêng các tính chất còn lại không nhất thiết khảo sát trong bài toán này Dạng hàm số được yêu cầu khảo sát là hàm phân thức (hữu tỉ hoặc chứa căn) và hàm căn thức Bài toán KSSBT và vẽ ĐT không phục vụ cho tri thức nào ngay sau đó và cũng không được chú trọng trong [b]

1.2 Kết luận chương 1

Qua phân tích các giáo trình trên, chúng tôi rút ra một số điểm sau:

- Bài toán KSSBT và vẽ ĐT không chỉ KSHS dạng y = f(x) mà còn khảo sát đường cho dưới dạng tham số và đường trong hệ tọa độ cực Nếu xem các đường cho dưới dạng tham

số và đường trong hệ tọa độ cực là những hàm ẩn thì các hàm số được yêu cầu khảo sát chủ yếu là hàm phân thức hữu tỉ (với bậc thấp nhất của tử và mẫu là bậc 3) hay phân thức chứa căn, hàm căn thức, hàm lượng giác (chủ yếu là hàm sin và cos) và các hàm được tạo thành

từ sự kết hợp của hai hay nhiều hàm số kể trên

- Bài toán KSSBT và vẽ ĐT nói chung được đưa ra với số lượng các bước khác nhau và trình tự thực hiện các bước cũng khác nhau nhưng là bài toán tổng hợp khá nhiều kiến thức

về hàm số, cụ thể: miền xác định, tính đơn điệu, cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, giới hạn

của hàm số, tiệm cận, tính chẵn lẻ, tuần hoàn, đạo hàm của hàm số và đồ thị hàm số Trong

các tính chất được yêu cầu khảo sát thì tính đơn điệu của hàm số là tính chất luôn được yêu cầu khảo sát và kĩ thuật dùng để xét chiều biến thiên của hàm số là sử dụng công cụ đạo hàm Các tính chất còn lại thay đổi theo từng hàm số khảo sát và không bắt buộc khảo sát

- Bài toán KSSBT và vẽ ĐT chưa thực sự được chú trọng trong các giáo trình, cụ thể là trong phần bài tập, các bài toán này xuất hiện không đầy đủ (trong giáo trình [a]) và thậm

chí là không xuất hiện (trong giáo trình [b])

- Bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số chứa đựng lượng kiến thức tương đối lớn về hàm số nhưng chỉ dừng lại ở việc vẽ đồ thị và không có ứng dụng ngay sau đó Hơn nữa, với sự

phát triển của công nghệ thông tin hiện nay thì việc sử dụng các phần mềm để nghiên cứu

đồ thị của hàm số sẽ cho kết quả nhanh chóng, điều này có thể làm hạn chế đi vai trò của

kiểu nhiệm vụ này

Như vậy, với những hàm số được yêu cầu khảo sát trên, bài toán KSSBT và vẽ ĐT không

có một ứng dụng nào ngay sau đó mà chỉ tới khi học về ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng thì bài toán này phục vụ cho việc xác định hình phẳng Còn lại một số hàm như hàm số mũ, hàm lũy thừa, hàm logarit, thậm chí các hàm số đơn giản như hàm số bậc nhất, bậc hai và các hàm phân thức hữu tỉ có bậc cao nhất của tử và mẫu là bậc hai cũng không được thể chế dạy học Toán bậc Đại học chọn khảo sát Riêng thể chế dạy học toán bậc THPT có lựa chọn các hàm số đó để khảo sát? Nếu có thì chúng được khảo sát theo trình tự nào? Có điểm nào giống và khác so với các giáo trình đã phân tích? Bài toán KSSBT và vẽ

ĐT trong thể chế dạy học toán bậc THPT có những ràng buộc và ứng dụng gì hay không?

Để trả lời những câu hỏi đó, chúng tôi tiếp tục phân tích Chương trình và SGK Toán bậc THPT trong Chương 2

CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA

TOÁN VIỆT NAM

Trước tiên, chúng tôi xin đề cập và phân biệt hai thuật ngữ liên quan đến đề tài được chúng tôi sử dụng thường xuyên trong quá trình phân tích chương này:

• Thuật ngữ KSSBT và vẽ ĐT hàm số hay đơn giản là KSHS là một KVN chỉ xuất hiện ở

đầu lớp 12 Kĩ thuật giải quyết KVN này là một quy trình huy động đến nhiều tính chất của hàm số được chúng tôi nêu rõ trong phần mở đầu

• Thuật ngữ vấn đề khảo sát hàm số (KSHS) mà chúng tôi sẽ sử dụng trong phân tích này

muốn nói đến việc khảo sát các tính chất riêng rẽ của hàm số bằng công cụ đại số, giải tích hay đồ thị

Trong chương này, với tham chiếu là kết quả phân tích của chương 1, chúng tôi tiến hành phân tích thể chế để làm rõ vị trí cũng như sự tiến triển của bài toán KSHS và vẽ ĐT qua các lớp bậc THPT Cụ thể, chúng tôi tìm những yếu tố trả lời cho câu hỏi Q2 đã đặt ra trong phần mở đầu:

Q2: Các điều kiện sinh thái của bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong thể chế dạy học toán bậc THPT ? Vấn đề khảo sát hàm thông qua việc nghiên cứu các tính chất hàm số và vẽ đồ thị hàm số tiến triển như thế nào trong thể chế dạy học toán bậc THPT ?

Để phân tích thể chế, chúng tôi tham khảo chương trình hiện hành, SGK và sách giáo viên (SGV) các lớp 10 (Đại số), 11 (Đại số và Giải tích) và 12 (Giải tích) Chúng tôi sẽ phân tích qua từng lớp và chỉ tập trung vào những nội dung góp phần giải đáp phần nào câu hỏi Q2 Chúng tôi bắt đầu nghiên cứu của mình từ việc phân tích chương trình

2.1 Phân tích Chương trình

Căn cứ theo Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán của Bộ giáo dục 2006 (CTGDPT,

2006) , nội dung hàm số và đồ thị hàm số được đưa vào giảng dạy chính thức ở lớp 7, vắng

mặt ở lớp 8 và sau đó xuất hiện xuyên suốt từ lớp 9 đến lớp 12

- Ở lớp 10, vấn đề KSHS được đưa vào ở Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai, với

mục đích là hoàn thiện thêm một bước các kiến thức đã biết về hàm số bậc nhất và bậc hai ở lớp dưới, nhất là kĩ năng vẽ và đọc đồ thị hàm số Chương này gồm các nội dung như sau: Đại cương về hàm số (định nghĩa, cách cho hàm số, đồ thị hàm số, hàm số đồng biến, nghịch biến và hàm số chẵn, hàm số lẻ), hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai

- Đến lớp 11, HS được gặp lại vấn đề KSHS ngay Chương 1: Hàm số lượng giác và

phương trình lượng giác Mục đích của chương này là cung cấp các kiến thức về hàm số

lượng giác và cách giải phương trình Qua đó cho thấy sự khác biệt giữa hàm số lượng giác

và các hàm số nghiên cứu trước đó vì hàm số lượng giác là các hàm số tuần hoàn Chương này gồm các nội dung như sau: Hàm số lượng giác (định nghĩa, tính tuần hoàn, sự biến thiên, đồ thị), phương trình lượng giác cơ bản và một số phương trình lượng giác thường gặp Các nội dung tiếp theo được đưa vào cuối lớp 11 nhằm phục vụ cho bài toán KSSBT

và vẽ ĐT ở đầu lớp 12 là:

• Giới hạn hàm số và Hàm số liên tục được đưa vào Chương 4: Giới hạn, với mục đích

là chuẩn bị các khái niệm và công cụ cơ bản cho các nội dung sẽ được nghiên cứu sau đó như Đạo hàm và Khảo sát hàm số ở đầu lớp 12 Chương này gồm các nội dung: Giới hạn

của dãy số; Giới hạn của hàm số; Tính liên tục của hàm số;

• Đạo hàm của hàm số được đưa vào Chương 5: Đạo hàm, chương này gồm các nội

dung: khái niệm đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm (đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số và đạo hàm các hàm hợp), đạo hàm của các hàm số lượng giác và đạo hàm cấp

hai

- Tiếp theo, bài toán KSSBT và vẽ ĐT được đưa vào ngay chương đầu tiên của lớp 12,

Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Nhằm nối tiếp phần

đạo hàm ở cuối năm lớp 11, ứng dụng đạo hàm và giới hạn để xét các tính chất của hàm số, sau đó là khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Chương này gồm các nội dung: Ứng dụng đạo hàm cấp một để xét sự biến thiên của hàm số; Cực trị của hàm số; Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số; Đường tiệm cận của đồ thị hàm số và Khảo sát hàm số - Sự

tương giao của hai đồ thị

Qua phân tích chương trình, chúng tôi nhận thấy việc khảo sát các hàm số dựa vào các tính chất đã xuất hiện ở cả ba lớp cấp THPT Cùng với việc liên tục đưa vào các tính chất mới về hàm số, vấn đề KSHS được nghiên cứu xuyên suốt như vậy thì có tiến triển hay không? Nếu

có thì tiến triển như thế nào? Chúng tôi sẽ tiến hành phân tích SGK ở cả ba lớp 10 (Đại số),

11 (Đại số và Giải tích) và 12 (Giải tích) để tìm hiểu điều đó

2.2 Phân tích sách giáo khoa

2.2 1 Phân tích SGK lớp 10

Chúng tôi chọn tài liệu của các tác giả sau để phân tích:

- Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) (2009), Đại Số 10 nâng cao, Nxb Giáo dục

- Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) (2009), SGV Đại Số 10 nâng cao, Nxb Giáo dục

- Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2009), Đại số 10 cơ bản, Nxb Giáo dục

- Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2009), SGV Đại số 10 cơ bản, Nxb Giáo dục

Để thuận tiện trong việc trình bày, chúng tôi dùng kí hiệu SGKNC10, SGKCB10, SGVCB10 và SGVNC10thay cho các tài liệu trên

Vấn đề KSHS được đưa vào ở lớp 10 trong Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai Mục tiêu của chương này như sau:

- Biết cách vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất, bậc nhất trên từng khoảng và hàm số bậc hai

- Nhận biết được sự biến thiên và một vài tính chất của hàm số thông qua đồ thị của nó

[13, tr.66]

Qua trích dẫn trên, chúng tôi tự hỏi: Những tính chất nào của hàm số được SGK nghiên cứu đến và những tính chất nào cần phải nhận biết từ đồ thị của hàm số? Với những tính chất được nghiên cứu thì có những dạng hàm số nào xuất hiện khi nghiên cứu các tính chất đó?

2.2.1.1 Các tính chất được nghiên cứu và các dạng hàm số gắn với mỗi tính chất

 Tính đồng biến và nghịch biến

Liên quan đến tính chất này, SGKCB10chỉ đưa ra định nghĩa như sau:

Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b) nếu

vào định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến còn có kĩ thuật thứ hai là dựa vào dấu của tỉ

số biến thiên Điều đó thể hiện như sau:

Hàm số f đồng biến trên K khi và chỉ khi:

Liên quan đến tính đồng biến và nghịch biến của hàm số có các KNV sau:

• T1: Nhìn vào đồ thị, lập bảng biến thiên của hàm số

• T2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số trên mỗi khoảng K và lập bảng biến thiên của hàm

số

Các yếu tố kĩ thuật, công nghệ để giải thích cho hai kiểu nhiệm vụ (KNV) T1 và T2(chỉ xuất hiện trong SGKNC10) được Võ Thị Loan (2012) trình bày cụ thể, ở đây chúng tôi không trình bày lại Chúng tôi quan tâm đến KVN T2 vì chúng tôi muốn biết những hàm số nào thường được yêu cầu khảo sát sự biến thiên Minh họa cho KVN T2 là:

4 Khảo sát sự biến thiên của mỗi hàm số sau và lập bảng biến thiên của nó:

a) y x= 2+ 2x− trên mỗi khoảng ( ; 1) 2 −∞ − và ( 1; − +∞ ; )

b) y= − 2x2+ 4x+ 1 trên mỗi khoảng ( ;1) −∞ và (1; +∞ ; )

3

y x

=

− trên mỗi khoảng ( ;3) −∞ và ( 3; +∞ [12, tr 45] )

Các hàm số được yêu cầu khảo sát tính đồng biến, nghịch biến trong SGKNC10gồm các hàm

số bậc hai và hàm phân thức đơn giản (bậc cao nhất của tử và mẫu là bậc một).

 Tính chẵn - lẻ của hàm số

SGKCB10 xây dựng định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ thông qua hoạt động quan sát đồ thị hàm số, riêng SGKNC10 bắt đầu bằng việc giới thiệu lợi ích của việc nghiên cứu tính chất

này:

Có những hàm số có một số tính chất đặc biệt, dễ nhận thấy mà ta có thể lợi dụng để việc khảo

sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của nó đơn giản và dễ dàng hơn Tính chẵn - lẻ của hàm số là một

Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng

Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng [12, tr.41]

Như vậy, giữa đồ thị và tính chẵn lẻ của hàm số có mối quan hệ với nhau Nhìn vào đồ thị

có thể xác định được tính chẵn lẻ của hàm số, ngược lại, tính chẵn lẻ của hàm số lại giúp đơn giản việc vẽ đồ thị hàm số KNV được tìm thấy trong hai bộ SGK liên quan đến tính chẵn lẻ của hàm số là:

 Công nghệ để giải thích cho kĩ thuật là định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ

 Lí thuyết để giải thích cho công nghệ: các lí thuyết về hàm số một biến với biến số thực Minh họa cho KVN này là:

5 Mỗi hàm số sau là hàm số chẵn hay hàm số lẻ?

a) y x= 4− 3x2+ b) 1; y= − 2x3 + ; x

c) y x= + − − ; d) 2 x 2 y= 2x+ + 1 2x− [12, tr.45] 1

Các hàm số được yêu cầu xét tính chẵn, lẻ là hàm số trùng phương, hàm bậc ba (khuyết x 2 )

và các hàm được tạo thành từ tổng (hiệu) hai trị tuyệt đối của hàm bậc nhất

2.2.1.2 Vấn đề KSHS ở lớp 10

Do giai đoạn này chưa có các công cụ giải tích như Giới hạn và Đạo hàm nên các hàm số không được khảo sát theo trình tự thông thường Vấn đề KSHS chỉ giới hạn ở việc khảo sát

sự biến thiên và tính chẵn lẻ Do đó, SGK không dùng thuật ngữ KSSBT và vẽ ĐT hàm số,

ở giai đoạn này mà thay vào đó là các yêu cầu xét tính chẵn lẻ hay khảo sát sự biến thiên

của hàm số Và các hàm số được yêu cầu khảo sát chỉ giới hạn ở hàm số bậc nhất và bậc

hai Nhận định này của chúng tôi dựa vào trích dẫn sau của SGVNC10:

Thông thường việc khảo sát sự biến thiên của hàm số được tiến hành trước rồi mới căn

cứ vào kết quả khảo sát đó mà vẽ đồ thị Nhưng ở lớp 10, học sinh chưa có đủ kiến thức

và công cụ để khảo sát hàm số […] Do đó, hầu hết các bài tập trong SGK đều yêu cầu

vẽ đồ thị trước rồi căn cứ vào đồ thị để nêu kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số [13, tr.78 - 79]

Trích dẫn trên đã nhấn mạnh vấn đề KSHS dựa vào công cụ đồ thị - đọc đồ thị hàm số Tức

là từ đồ thị suy ra các tính chất: sự biến thiên, lập BBT, tính chẵn, lẻ, GTLN, GTNN của hàm số Kĩ năng này được thể hiện qua các hoạt động sau:

H2: Dựa vào đồ thị, hãy lập bảng biến thiên của hàm số y x= và tìm giá trị nhỏ nhất của nó [12, tr 50- 51]

H6 Cho hàm số f xác định trên khoảng ( , −∞ +∞ có đồ thị như trên hình 2.5 Hãy ghép mỗi ý ở ) cột trái dưới đây với một ý ở cột phải để được một mệnh đề đúng

Đối với hàm số bậc hai, kĩ thuật vẽ đồ thị mà cả hai bộ SGK mong đợi là vẽ trực tiếp parabol với các bước như sau:

- Xác định đỉnh của parabol;

- Xác định trục đối xứng và hướng bề lõm của parabol;

- Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục tọa

độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục đối xứng);

- Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để “nối” các điểm đó lại

[12, tr.56]

Như vậy, các hàm số bậc nhất và bậc hai đều không được khảo sát theo trình tự thông thường và kĩ thuật vẽ đồ thị vẫn là “nối” các điểm

Tóm lại, trong phần phân tích SGK lớp 10 chúng tôi nhận thấy:

- Có hai tính chất được nghiên cứu ở lớp 10 là tính đơn điệu và tính chẵn lẻ của hàm số

• Các hàm số được yêu cầu khảo sát sự biến thiên là: hàm số bậc hai và các hàm

phân thức đơn giản

• Các hàm số được yêu cầu xét tính chẵn lẻ gồm: hàm trùng phương, hàm số bậc ba

(khuyết x 2 ) và tổng (hiệu) trị tuyết đối của các hàm bậc nhất

- Cả hai bộ SGK không dùng thuật ngữ KSSBT và vẽ ĐT để yêu cầu khảo sát các hàm số bậc nhất và bậc hai Vấn đề KSHS chỉ yêu cầu khảo sát tính chẵn lẻ và xét chiều biến thiên của hàm số Kĩ năng đọc đồ thị của hàm số được chú trọng Từ đồ thị có thể suy ra được giá trị của hàm số tại một điểm, GTLN, GTNN, dấu của hàm số trên một khoảng,

mà quan trọng nhất là nhận biết tính đồng biến, nghịch biến, tính chẵn lẻ của hàm số và lập BBT từ đồ thị của nó Kĩ thuật vẽ đồ thị vẫn là “nối” các điểm thuộc đồ thị hàm số

2.2 2 Phân tích SGK lớp 11

Trong phần này chúng tôi chọn các tài liệu sau để phân tích:

- Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2009), Đại số & Giải tích 11 cơ bản, Nxb Giáo dục

- Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2009), Sách giáo viên Đại số & Giải tích 11 cơ bản, Nxb

2.2.2.1 Các tính chất được nghiên cứu và các dạng hàm số gắn với mỗi tính chất

Để nối tiếp phần giá trị lượng giác và các công thức lượng giác ở lớp 10, đầu năm lớp 11

HS được nghiên cứu các kiến thức về hàm số lượng giác Một trong những tính chất đặc biệt

của hàm số lượng giác đó là tính tuần hoàn

 Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

Trong luận văn Thạc sĩ của Nguyễn Thị Nga (2007), Nghiên cứu một đồ án Didactic dạy

học hàm số tuần hoàn, hai chức năng cơ bản của tính tuần hoàn mà tác giả đề cập đến là

“cho phép vẽ đồ thị của hàm số khi biết đồ thị của nó trên một khoảng có độ dài bằng một chu kỳ” và “giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số”.Và kết quả phân tích SGK của Nguyễn Thị Nga (2007) được chúng tôi tóm tắt như sau:

- SGKNC11: đặc trưng số (giá trị hàm số lặp lại trên những khoảng cách đều) của hàm số tuần hoàn được đề cập đến trong phần lí thuyết, riêng đặc trưng đồ thị thì không

- SGKCB11 cả hai đặc trưng số và đồ thị đều không được đề cập đến khi nghiên cứu lý thuyết về tính tuần hoàn

- Cả hai chức năng của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ chỉ được sử dụng ngầm ẩn để nghiên cứu các hàm số lượng giác cơ bản trong phần lí thuyết chứ không được đề cập tường minh trong các SGK

Như vậy, đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn không được đề cập tường minh khi nghiên cứu tính chất này mà chỉ được thể hiện trong phần khảo sát các hàm số lượng giác

Các KNV gắn với khái niệm hàm số tuần hoàn tìm thấy trong cả hai bộ SGK là:

T4: Cho hàm số y = f(x) Chứng minh với mỗi số nguyên k ta luôn có f(x + kT) = f(x)

T5: Vẽ đồ thị hàm số

T6: Xem xét tính đồng biến (nghịch biến) của hàm số trên khoảng (a; b) cho trước

Các KNV T4, T5, T6 trên ứng với các KNV T’’1, T3 và T5 trong luận văn của Nguyễn Thị Nga (2007), kĩ thuật và yếu tố công nghệ của các KNV này đã được tác giả làm rõ ở đây chúng tôi không nêu lại Chúng tôi sẽ trích dẫn một số ví dụ minh họa cho các KNV trên :

Trong một số trường hợp đơn giản tính được:

- Giới hạn của hàm số tại một điểm

- Giới hạn một bên của hàm số

- Giới hạn của hàm số tại ± ∞” [1, tr.163]

Như vậy, mục đích chính của bài này là vận dụng các định nghĩa, định lí vào việc tính các giới hạn hàm số

Thật vậy, trong tất cả các bài tập, ví dụ hay hoạt động trong cả hai bộ SGK thì KNV T 7 : Tính giới hạn hàm số chiếm ưu thế hơn các KVN khác (21/26 ví dụ và bài tập trong

SGKCB11; 41/41 ví dụ và bài tập trong SGKNC11) Kĩ thuật giải quyết KNV này đã được Nguyễn Thị Kim Cúc (2012) làm rõ, ở đây chúng tôi không trình bày lại Chúng tôi sẽ trích dẫn một số bài tập minh họa cho KNV T7

x 1

→−

− + ; b)

2

x 2

4 x lim

x 2

→−

− + ; c) x 6

x 3 3 lim

x 1

→+∞ + ; f)

2 x

2x x 1 lim

x 1 x lim

x

Các hàm số được yêu cầu tính giới hạn có mặt trong cả hai bộ SGK gồm: hàm đa thức bậc

3, bậc 4; phân thức hữu tỉ (bậc cao nhất của tử và mẫu là bậc hai); hàm căn thức; hàm số được cho bởi nhiều biểu thức giải tích; hàm lượng giác Ngoài ra, trong SGKNC11 còn có các

hàm số được tạo thành từ tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số trên và hàm số trị tuyệt

b) Nêu nhận xét về đồ thị của mỗi hàm số tại điểm có hoành độ x = 1.(Hàm số y = f(x) được gọi

là liên tục tại x =1 và hàm số y = g(x) không liên tục tại điểm này)

[5, tr.135 - 136]

Ở câu b), dựa vào đồ thị ta có thể kết luận được tính liên tục của hàm số Do đó, giữa tính liên tục của hàm số và đồ thị có mối liên hệ với nhau

NHẬN XÉT

Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường

liền” trên khoảng đó

Hình 57 cho ví dụ về đồ thị của hàm số không liên tục trên

khoảng (a; b) [5, tr.136 – 137]

Cả hai bộ SGK đều đưa vào định lí như sau:

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực 

b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng [5, tr.137]

Theo nhận xét trên thì các hàm đa thức, hàm phân thức hữu tỉ và các hàm số lượng giác có

đồ thị là đường liền nét trên từng khoảng của TXĐ của chúng Điều này có ý nghĩa quan trọng trong vấn đề vẽ đồ thị các hàm số đó

Các hàm số được yêu cầu xét tính liên tục ở cả hai bộ SGK gồm: Hàm đa thức bậc 2, bậc 3;

hàm số được cho bởi hai biểu thức giải tích, hàm số lượng giác; hàm căn thức và hàm phân thức hữu tỉ

Một nội dung tiếp theo có vai trò rất quan trọng trong Giải tích và là công cụ sắc bén để

nghiên cứu các tính chất của hàm số và hoàn thành việc vẽ đồ thị hàm số, đó là khái niệm

đạo hàm của hàm số

 Đạo hàm của hàm số

Mặc dù hai bộ SGK có nêu quy tắc tính đạo hàm tại một điểm bằng định nghĩa, nhưng việc tính đạo hàm bằng định nghĩa thường phức tạp Do đó, các SGK có cung cấp các công thức

giúp việc tính đạo hàm tại một điểm của các hàm số thường gặp (y = c (hằng số), y= x,

y x một cách nhanh chóng Yêu cầu của chương này là:

Thuộc lòng và vận dụng thành thạo các công thức về phép tính đạo hàm, về đạo hàm của các hàm số thường gặp (hàm số y x n= n( ∈ đa thức và các hàm số lượng giác) * )

[6, tr.153]

Trong luận văn của Lê Anh Tuấn (2012) đã liệt kê tất cả các KVN liên quan đến đạo hàm

(kể cả KVN con), trong các KVN đó chúng tôi chỉ quan tâm đến KVN T 8 : Tính đạo hàm '

y bằng công thức vì đây là KNV chiếm ưu thế kể từ khi các công thức tính đạo hàm xuất hiện

Chúng tôi sẽ trích dẫn một số ví dụ minh họa cho KNV này như sau :

17 Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau (a và b là hằng số):

4 Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

b) y= 2−5x−x 2 [5, tr.163]

y=tan( 3x +5 ).[5, tr.166]

Các hàm số được yêu cầu tính đạo hàm chủ yếu là các hàm số sau: hàm đa thức, các hàm số

lượng giác, hàm căn thức, hàm phân thức hữu tỉ và các hàm số được tạo thành từ tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số trên Ngoài ra còn có đạo hàm hợp của các hàm số trên

2.2.2.2 Vấn đề KSHS ở lớp 11

Ở lớp 11, các hàm số được khảo sát là các hàm số lượng giác Cả hai bộ SGK cũng không dùng thuật ngữ KSHS khi khảo sát các hàm số lượng giác

Qua tham khảo SGKCB11, chúng tôi nhận thấy trình tự chung để khảo sát các hàm số lượng

giác sin, cos, tan, cot là liệt kê các tính chất đã biết về các hàm số này như TXĐ, tính chẵn,

lẻ, tính tuần hoàn và chu kì Mục đích của việc làm trên là nhằm chuẩn bị cho bài toán

KSSBT và vẽ ĐT ở lớp 12 Nhận định này của chúng tôi xuất phát từ trích dẫn sau:

Để phù hợp với việc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sẽ trình bày ở lớp 12, đối với mỗi hàm số lượng giác, trước khi khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị, chúng tôi hệ thống lại các hiểu biết cơ bản về mỗi hàm số này, bao gồm:

• Tập xác định và tập giá trị;

• Tính chẵn, lẻ;

Đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0; ] π đi qua các điểm (0;0), (x 1 ; sinx 1 ), (x 2 ; sinx 2 ), ( ;1)

2

π

, (x 3 ; sinx 3 ), (x 4 ; sinx 4 ), ( ;0) π (h.3b) [5, tr.8]

Đối với các hàm số y = tanx và y = cotx cũng được SGKCB11 trình bày tương tự Điều này theo chúng tôi thì có thể các hàm số lượng giác vẫn chưa được khảo sát theo trình tự thông thường Chúng tôi càng khẳng định hơn nữa nhận định của mình khi tìm thấy trình tự khảo sát hàm số y = cosx sau đó: Đồ thị hàm số y = cosx được suy ra từ đồ thị hàm số y = sinx và

sự biến thiên của hàm số y = cosx được suy ra từ đồ thị của nó Như vậy là kĩ năng đọc đồ thị hàm số được thể hiện khi khảo sát hàm số y = cosx

SGKNC11không liệt kê các tính chất đã biết về các hàm số lượng giác như SGKCB11 Trình tự khảo sát các hàm số lượng giác trong SGKNC11 tương tự như trình tự khảo sát hàm số y = cosx trong SGKCB11, nghĩa là sự biến thiên của các hàm số được suy ra từ đồ thị của chúng Tóm lại, qua phân tích SGK lớp 11 chúng tôi nhận thấy:

- Các tính chất được nghiên cứu gồm: tính tuần hoàn, giới hạn, tính liên tục và đạo hàm của hàm số Trong đó:

+ Các dạng hàm số được yêu cầu xét tính tuần hoàn gồm: các hàm số lượng giác cơ bản

sin, cos, tan và cot (chủ yếu là các hàm số sin và cos)

+ Các hàm số yêu cầu tính giới hạn có mặt trong cả hai bộ SGK gồm: hàm đa thức bậc 3

và bậc 4; phân thức hữu tỉ (bậc cao nhất của tử và mẫu là bậc hai); hàm căn thức; hàm

số được cho bởi nhiều biểu thức giải tích; hàm số lượng giác Ngoài ra, trong SGKNC11

còn có các hàm số được tạo thành từ tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số trên và hàm

số trị tuyệt đối

+ Các hàm số được yêu cầu xét tính liên tục gồm: Hàm đa thức bậc 2, bậc 3; hàm số

được cho bởi hai biểu thức giải tích, hàm số lượng giác; hàm căn thức và hàm phân thức hữu tỉ

+ Các hàm số được yêu cầu tính đạo hàm gồm: hàm đa thức, hàm số lượng giác, hàm

căn thức, hàm phân thức hữu tỉ và các hàm số được tạo thành từ tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số trên Ngoài ra còn có đạo hàm các hàm hợp

- Vấn đề KSHS: các hàm số được khảo sát ở lớp 11 là các hàm lượng giác cơ bản Cả hai bộ SGK không dùng thuật ngữ KSSBT và vẽ ĐT khi khảo sát các hàm số này

+ SGKCB11 có liệt kê: TXĐ, tính tuần hoàn, tính chẵn, lẻ các hàm số lượng giác trước khi

khảo sát sự biến thiên Các tính chất này giúp đơn giản hóa quá trình khảo sát sự biến

thiên và vẽ đồ thị các hàm số lượng giác Đối với các hàm số y = sinx, y = tanx và y =

cotx mặc dù khảo sát sự biến thiên và lập BBT được tiến hành trước đó nhưng không có một lý thuyết tường minh nào cho thấy phải dựa vào kết quả khảo sát sự biến thiên để vẽ

đồ thị hàm số Riêng đối với hàm số y = cosx thì chỉ thể hiện ở mức độ đọc đồ thị hàm số, tức là từ đồ thị hàm số suy ra tính đồng biến, nghịch biến của nó

+ SGKNC11 không liệt kê các tính chất về các hàm số lượng giác trước khi khảo sát như SGKCB11 Hơn nữa, đồ thị các hàm số lượng giác được vẽ trước rồi từ đồ thị suy ra tính đồng biến, nghịch biến của chúng

Như vậy, các hàm số lượng giác vẫn chưa được tiến hành theo trình tự thông thường mà vẫn còn thể hiện kĩ năng đọc đồ thị hàm số và góp phần chuẩn bị cho bài toán KSSBT và vẽ ĐT

ở đầu lớp 12

2.2 3 Phân tích SGK lớp 12

Trong phần này chúng tôi chọn các tài liệu sau để phân tích:

- Đoàn Quỳnh (2009), Giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục

- Đoàn Quỳnh (2009), Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục

- Trần Văn Hạo (2009), Giải tích 12 cơ bản, Nxb Giáo dục

- Trần Văn Hạo (2009), Sách giáo viên Giải tích 12 cơ bản, Nxb Giáo dục.

Để thuận tiên trong trình bày chúng tôi dùng các kí hiệu sau để thay thế lần lượt cho các tài liệu trên: SGKCB12, SGVCB12, SGKNC12, SGVNC12

Nội dung Đạo hàm được học ở cuối lớp 11, nhưng do không có thời gian nên phần ứng

dụng của đạo hàm được chuyển sang đầu năm lớp 12 ngay trong Chương I: Ứng dụng đạo

hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Trong chương này, chúng ta ứng dụng đạo hàm và giới hạn để xét một số tính chất quan trọng

của hàm số và đồ thị như: tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số; từ đó khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số [16, tr.3]

Theo trích dẫn trên thì các tính chất mới được nghiên cứu dựa vào công cụ đạo hàm là tính

đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Sau đây chúng tôi sẽ đi

qua từng tính chất và xem những dạng hàm số nào gắn với các tính chất đó

2.2.3.1 Các tính chất được nghiên cứu và dạng hàm số gắn với mỗi tính chất

 Tính đơn điệu (tính đồng biến, nghịch biến) của hàm số

Hai kĩ thuật để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số đã được học ở lớp 10 đó là dựa vào định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến và mối quan hệ giữa dấu của tỉ số biến thiên

và tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Đến lớp 12, dưới công cụ đạo hàm có thêm kĩ thuật thứ ba là dựa vào mối quan hệ giữa dấu của đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số thông qua các phát biểu sau:

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì '

f ( x ) 0 ≥ với mọi x I∈

b) Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f ( x ) 0 ' ≤ với mọi x I∈ [16, tr.4]

Phát biểu trên chỉ có ở SGKNC12 và được xem như là điều kiện cần để hàm số đồng biến,

nghịch biến nhưng không được phát biểu thành định lí Ngược lại, điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến được cả hai bộ SGK phát biểu thành định lí như sau:

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu '

f ( x ) 0 > với mọi x I∈ thì hàm số f đồng biến trên khoảng I

b) Nếu f ( x ) 0 ' < với mọi x I∈ thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I

c) Nếu '

f ( x ) 0 = với mọi x I∈ thì hàm số f không đổi trên khoảng I [16, tr.5]

SGKCB12còn đưa ra một quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số với các bước như sau:

1 Tìm tập xác định

2 Tính đạo hàm f ( x ) ' Tìm các điểm x i (i = 1, 2,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

3 Sắp xếp các điểm x i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

4 Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số [7, tr.8]

Mặc dù SGKNC12không nêu ra quy tắc xét tính đơn điệu hàm số như SGKCB12 nhưng các ví

dụ trong SGKNC12đều tiến hành theo các bước trên Như vậy, với công cụ đạo hàm thì ngoài hai kĩ thuật như ở lớp 10 cho đến thời điểm này có thêm một kĩ thuật nữa đó là quy tắc trên