4. Tổ chức luận văn
1.2. Kết luận chương 1
Qua phân tích các giáo trình trên, chúng tôi rút ra một số điểm sau:
- Bài toán KSSBT và vẽ ĐT không chỉ KSHS dạng y = f(x) mà còn khảo sát đường cho dưới dạng tham số và đường trong hệ tọa độ cực. Nếu xem các đường cho dưới dạng tham số và đường trong hệ tọa độ cực là những hàm ẩn thì các hàm số được yêu cầu khảo sát chủ yếu là hàm phân thức hữu tỉ (với bậc thấp nhất của tử và mẫu là bậc 3) hay phân thức chứa căn, hàm căn thức, hàm lượng giác (chủ yếu là hàm sin và cos) và các hàm được tạo thành từ sự kết hợp của hai hay nhiều hàm số kể trên.
- Bài toán KSSBT và vẽ ĐT nói chung được đưa ra với số lượng các bước khác nhau và trình tự thực hiện các bước cũng khác nhau nhưng là bài toán tổng hợp khá nhiều kiến thức về hàm số, cụ thể: miền xác định, tính đơn điệu, cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, giới hạn
của hàm số, tiệm cận, tính chẵn lẻ, tuần hoàn, đạo hàm của hàm số và đồ thị hàm số. Trong các tính chất được yêu cầu khảo sát thì tính đơn điệu của hàm số là tính chất luôn được yêu cầu khảo sát và kĩ thuật dùng để xét chiều biến thiên của hàm số là sử dụng công cụ đạo hàm. Các tính chất còn lại thay đổi theo từng hàm số khảo sát và không bắt buộc khảo sát.
- Bài toán KSSBT và vẽ ĐT chưa thực sự được chú trọng trong các giáo trình, cụ thể là trong phần bài tập, các bài toán này xuất hiện không đầy đủ (trong giáo trình [a]) và thậm chí là không xuất hiện (trong giáo trình [b]).
- Bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số chứa đựng lượng kiến thức tương đối lớn về hàm số nhưng chỉ dừng lại ở việc vẽ đồ thị và không có ứng dụng ngay sau đó. Hơn nữa, với sự
phát triển của công nghệ thông tin hiện nay thì việc sử dụng các phần mềm để nghiên cứu đồ thị của hàm số sẽ cho kết quả nhanh chóng, điều này có thể làm hạn chế đi vai trò của kiểu nhiệm vụ này.
Như vậy, với những hàm số được yêu cầu khảo sát trên, bài toán KSSBT và vẽ ĐT không có một ứng dụng nào ngay sau đó mà chỉ tới khi học về ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng thì bài toán này phục vụ cho việc xác định hình phẳng. Còn lại một số hàm như hàm số mũ, hàm lũy thừa, hàm logarit, thậm chí các hàm số đơn giản như hàm số bậc nhất, bậc hai và các hàm phân thức hữu tỉ có bậc cao nhất của tử và mẫu là bậc hai cũng không được thể chế dạy học Toán bậc Đại học chọn khảo sát. Riêng thể chế dạy học toán bậc THPT có lựa chọn các hàm số đó để khảo sát? Nếu có thì chúng được khảo sát theo trình tự nào? Có điểm nào giống và khác so với các giáo trình đã phân tích? Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong thể chế dạy học toán bậc THPT có những ràng buộc và ứng dụng gì hay không? Để trả lời những câu hỏi đó, chúng tôi tiếp tục phân tích Chương trình và SGK Toán bậc THPT trong Chương 2.
CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA
TOÁN VIỆT NAM
Trước tiên, chúng tôi xin đề cập và phân biệt hai thuật ngữ liên quan đến đề tài được chúng tôi sử dụng thường xuyên trong quá trình phân tích chương này:
• Thuật ngữ KSSBT và vẽ ĐT hàm số hay đơn giản là KSHS là một KVN chỉ xuất hiện ở đầu lớp 12. Kĩ thuật giải quyết KVN này là một quy trình huy động đến nhiều tính chất của hàm số được chúng tôi nêu rõ trong phần mở đầu.
• Thuật ngữ vấn đề khảo sát hàm số (KSHS) mà chúng tôi sẽ sử dụng trong phân tích này muốn nói đến việc khảo sát các tính chất riêng rẽ của hàm số bằng công cụ đại số, giải tích hay đồ thị.
Trong chương này, với tham chiếu là kết quả phân tích của chương 1, chúng tôi tiến hành phân tích thể chế để làm rõ vị trí cũng như sự tiến triển của bài toán KSHS và vẽ ĐT qua các lớp bậc THPT. Cụ thể, chúng tôi tìm những yếu tố trả lời cho câu hỏi Q2 đã đặt ra trong phần mở đầu:
Q2: Các điều kiện sinh thái của bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong thể chế dạy học toán bậc THPT? Vấn đề khảo sát hàm thông qua việc nghiên cứu các tính chất hàm số và vẽ đồ thị hàm số tiến triển như thế nào trong thể chế dạy học toán bậc THPT ?
Để phân tích thể chế, chúng tôi tham khảo chương trình hiện hành, SGK và sách giáo viên (SGV) các lớp 10 (Đại số), 11 (Đại số và Giải tích) và 12 (Giải tích). Chúng tôi sẽ phân tích qua từng lớp và chỉ tập trung vào những nội dung góp phần giải đáp phần nào câu hỏi Q2. Chúng tôi bắt đầu nghiên cứu của mình từ việc phân tích chương trình.
2.1. Phân tích Chương trình
Căn cứ theo Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán của Bộ giáo dục 2006 (CTGDPT,
2006), nội dung hàm số và đồ thị hàm số được đưa vào giảng dạy chính thức ở lớp 7, vắng mặt ở lớp 8 và sau đó xuất hiện xuyên suốt từ lớp 9 đến lớp 12.
- Ở lớp 10, vấn đề KSHS được đưa vào ở Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai, với
mục đích là hoàn thiện thêm một bước các kiến thức đã biết về hàm số bậc nhất và bậc hai ở lớp dưới, nhất là kĩ năng vẽ và đọc đồ thị hàm số. Chương này gồm các nội dung như sau: Đại cương về hàm số (định nghĩa, cách cho hàm số, đồ thị hàm số, hàm số đồng biến, nghịch biến và hàm số chẵn, hàm số lẻ), hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai.
- Đến lớp 11, HS được gặp lại vấn đề KSHS ngay Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác. Mục đích của chương này là cung cấp các kiến thức về hàm số
lượng giác và cách giải phương trình. Qua đó cho thấy sự khác biệt giữa hàm số lượng giác và các hàm số nghiên cứu trước đó vì hàm số lượng giác là các hàm số tuần hoàn. Chương này gồm các nội dung như sau: Hàm số lượng giác (định nghĩa, tính tuần hoàn, sự biến thiên, đồ thị), phương trình lượng giác cơ bản và một số phương trình lượng giác thường gặp. Các nội dung tiếp theo được đưa vào cuối lớp 11 nhằm phục vụ cho bài toán KSSBT và vẽ ĐT ở đầu lớp 12 là:
• Giới hạn hàm số và Hàm số liên tục được đưa vào Chương 4: Giới hạn, với mục đích là chuẩn bị các khái niệm và công cụ cơ bản cho các nội dung sẽ được nghiên cứu sau đó như Đạo hàm và Khảo sát hàm số ở đầu lớp 12. Chương này gồm các nội dung: Giới hạn của dãy số; Giới hạn của hàm số; Tính liên tục của hàm số;
• Đạo hàm của hàm số được đưa vào Chương 5: Đạo hàm, chương này gồm các nội dung: khái niệm đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm (đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số và đạo hàm các hàm hợp), đạo hàm của các hàm số lượng giác và đạo hàm cấp hai.
- Tiếp theo, bài toán KSSBT và vẽ ĐT được đưa vào ngay chương đầu tiên của lớp 12,
Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. Nhằm nối tiếp phần
đạo hàm ở cuối năm lớp 11, ứng dụng đạo hàm và giới hạn để xét các tính chất của hàm số, sau đó là khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Chương này gồm các nội dung: Ứng dụng đạo hàm cấp một để xét sự biến thiên của hàm số; Cực trị của hàm số; Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số; Đường tiệm cận của đồ thị hàm số và Khảo sát hàm số - Sự tương giao của hai đồ thị.
Qua phân tích chương trình, chúng tôi nhận thấy việc khảo sát các hàm số dựa vào các tính chất đã xuất hiện ở cả ba lớp cấp THPT. Cùng với việc liên tục đưa vào các tính chất mới về hàm số, vấn đề KSHS được nghiên cứu xuyên suốt như vậy thì có tiến triển hay không? Nếu có thì tiến triển như thế nào? Chúng tôi sẽ tiến hành phân tích SGK ở cả ba lớp 10 (Đại số), 11 (Đại số và Giải tích) và 12 (Giải tích) để tìm hiểu điều đó.