4. Tổ chức luận văn
2.2.2. Phân tích SGK lớp 11
Trong phần này chúng tôi chọn các tài liệu sau để phân tích:
- Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2009), Đại số & Giải tích 11 cơ bản, Nxb Giáo dục.
- Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2009), Sách giáo viên Đại số & Giải tích 11 cơ bản, Nxb Giáo dục.
- Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) (2009), Đại số & Giải tích 11 nâng cao, Nxb Giáo dục.
- Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) (2009), Sách giáo viên Đại số & Giải tích 11 nâng cao, Nxb Giáo dục.
Để thuận tiện trong trình bày, chúng tôi dùng các kí hiệu SGKCB11, SGVCB11, SGKNC11 và SGVNC11lần lượt thay cho các tài liệu trên.
2.2.2.1. Các tính chất được nghiên cứu và các dạng hàm số gắn với mỗi tính chất
Để nối tiếp phần giá trị lượng giác và các công thức lượng giác ở lớp 10, đầu năm lớp 11 HS được nghiên cứu các kiến thức về hàm số lượng giác. Một trong những tính chất đặc biệt của hàm số lượng giác đó là tính tuần hoàn.
Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác
Trong luận văn Thạc sĩ của Nguyễn Thị Nga (2007), Nghiên cứu một đồ án Didactic dạy học hàm số tuần hoàn, hai chức năng cơ bản của tính tuần hoàn mà tác giả đề cập đến là “cho phép vẽ đồ thị của hàm số khi biết đồ thị của nó trên một khoảng có độ dài bằng một chu kỳ” và “giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số”. Và kết quả phân tích SGK của Nguyễn Thị Nga (2007) được chúng tôi tóm tắt như sau:
- SGKNC11: đặc trưng số (giá trị hàm số lặp lại trên những khoảng cách đều) của hàm số tuần hoàn được đề cập đến trong phần lí thuyết, riêng đặc trưng đồ thị thì không.
- SGKCB11 cả hai đặc trưng số và đồ thị đều không được đề cập đến khi nghiên cứu lý thuyết về tính tuần hoàn.
- Cả hai chức năng của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ chỉ được sử dụng ngầm ẩn để nghiên cứu các hàm số lượng giác cơ bản trong phần lí thuyết chứ không được đề cập tường minh trong các SGK.
Như vậy, đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn không được đề cập tường minh khi nghiên cứu tính chất này mà chỉ được thể hiện trong phần khảo sát các hàm số lượng giác.
Các KNV gắn với khái niệm hàm số tuần hoàn tìm thấy trong cả hai bộ SGK là: T4: Cho hàm số y = f(x). Chứng minh với mỗi số nguyên k ta luôn có f(x + kT) = f(x). T5: Vẽ đồ thị hàm số.
T6: Xem xét tính đồng biến (nghịch biến) của hàm số trên khoảng (a; b) cho trước.
Các KNV T4, T5, T6 trên ứng với các KNV T’’1, T3 và T5 trong luận văn của Nguyễn Thị Nga (2007), kĩ thuật và yếu tố công nghệ của các KNV này đã được tác giả làm rõ ở đây chúng tôi không nêu lại. Chúng tôi sẽ trích dẫn một số ví dụ minh họa cho các KNV trên :
Bài tập 8
Cho các hàm số sau:
a) y= −sin x;2 b) y=3tan x2 +1;
c) y=sin x cos x; d) 3
y sin x cos x cos 2x 2
= + .
Chứng minh rằng mỗi hàm số y = f(x) đó đều có tính chất: f ( x+kT )= f ( x ) với k∈, x
thuộc tập xác định của hàm số f. [14, tr.16]
Bài tập 11
Từ đồ thị hàm số y = sinx, hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau và vẽ đồ thị của các hàm số đó: a) y= −sin x; b) y= sin x; c) y=sin x . [5, tr.17]
Các hàm số xuất hiện trong các KNV trên đều là các hàm số lượng giác sin, cos, tan và cot, đặc biệt là hàm sin và hàm cos.
Một nội dung tiếp theo được đưa vào chương trình Toán lớp 11 nhằm chuẩn bị những kiến thức và công cụ cơ bản nhất cho việc nghiên cứu các nội dung được đưa vào sau đó như Đạo hàm ở lớp 11, Khảo sát hàm số và Tích phân ở lớp 12 đó là khái niệm giới hạn hàm số.
Giới hạn hàm số
Chúng tôi tìm thấy yêu cầu của chương trình hiện hành đối với khái niệm giới hạn hàm số là:
Về kĩ năng:
Trong một số trường hợp đơn giản tính được:
- Giới hạn của hàm số tại một điểm
- Giới hạn một bên của hàm số
- Giới hạn của hàm số tại ± ∞”. [1, tr.163]
Như vậy, mục đích chính của bài này là vận dụng các định nghĩa, định lí vào việc tính các giới hạn hàm số.
Thật vậy, trong tất cả các bài tập, ví dụ hay hoạt động trong cả hai bộ SGK thì KNV T7: Tính giới hạn hàm số chiếm ưu thế hơn các KVN khác (21/26 ví dụ và bài tập trong SGKCB11; 41/41 ví dụ và bài tập trong SGKNC11). Kĩ thuật giải quyết KNV này đã được Nguyễn Thị Kim Cúc (2012) làm rõ, ở đây chúng tôi không trình bày lại. Chúng tôi sẽ trích dẫn một số bài tập minh họa cho KNV T7.
3. Tính các giới hạn sau: a) 2 x 3 x 1 lim x 1 →− − + ; b) 2 x 2 4 x lim x 2 →− − + ; c) x 6 x 3 3 lim x 6 → + − − ; d) x 2x 6 lim 4 x →+∞ − − ; e) x 2 17 lim x 1 →+∞ + ; f) 2 x 2x x 1 lim 3 x →+∞ − + − + . [5, tr. 132] 6. Tính: a) 4 2 xlim ( x x x 1 ) →+∞ − + − ; b) 3 2 xlim ( 2x 3x 5 ) →−∞ − + − ; c) 2 xlim x 2x 5 →−∞ − + ; d) 2 x x 1 x lim 5 2x →+∞ + + − . [5, tr.133] Ví dụ 1: Tìm x 0 1 lim( x cos ) x → . [14, tr.146]
Các hàm số được yêu cầu tính giới hạn có mặt trong cả hai bộ SGK gồm: hàm đa thức bậc
3, bậc 4; phân thức hữu tỉ (bậc cao nhất của tử và mẫu là bậc hai); hàm căn thức; hàm số được cho bởi nhiều biểu thức giải tích; hàm lượng giác. Ngoài ra, trong SGKNC11 còn có các hàm số được tạo thành từ tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số trên và hàm số trị tuyệt đối.
Một tính chất mới được nghiên cứu dựa vào kết quả việc tính giới hạn hàm số đó là tính liên tục của hàm số.
Tính liên tục của hàm số
SGKCB11 có đưa vào một hoạt động nhằm tiếp cận khái niệm hàm số liên tục tại một điểm trên hai phương diện: số và đồ thị.
Cho hai hàm số f x( )=x2 và 2 2 2, 1 ( ) 2, 1 1 2, 1 x x g x x x x − + ≤ − = − < < − + ≥ có đồ thị như Hình 55.
Đồ thị hàm số y = f(x) Đồ thị hàm số y = g(x) Hình 55
a) Tính giá trị của mỗi hàm số tại x = 1 và so sánh với giới hạn (nếu có) của hàm số đó khi
1
x→ ;
b) Nêu nhận xét về đồ thị của mỗi hàm số tại điểm có hoành độ x = 1.(Hàm số y = f(x) được gọi
là liên tục tại x =1 và hàm số y = g(x) không liên tục tại điểm này). [5, tr.135 - 136]
Ở câu b), dựa vào đồ thị ta có thể kết luận được tính liên tục của hàm số. Do đó, giữa tính liên tục của hàm số và đồ thị có mối liên hệ với nhau.
NHẬN XÉT
Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó.
Hình 57 cho ví dụ về đồ thị của hàm số không liên tục trên khoảng (a; b). [5, tr.136 – 137]
Cả hai bộ SGK đều đưa vào định lí như sau:
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực
b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. [5, tr.137]
Theo nhận xét trên thì các hàm đa thức, hàm phân thức hữu tỉ và các hàm số lượng giác có đồ thị là đường liền nét trên từng khoảng của TXĐ của chúng. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong vấn đề vẽ đồ thị các hàm số đó.
Các hàm số được yêu cầu xét tính liên tục ở cả hai bộ SGK gồm: Hàm đa thức bậc 2, bậc 3;
hàm số được cho bởi hai biểu thức giải tích, hàm số lượng giác; hàm căn thức và hàm phân thức hữu tỉ.
Một nội dung tiếp theo có vai trò rất quan trọng trong Giải tích và là công cụ sắc bén để nghiên cứu các tính chất của hàm số và hoàn thành việc vẽ đồ thị hàm số, đó là khái niệm
đạo hàm của hàm số.
Đạo hàm của hàm số
Mặc dù hai bộ SGK có nêu quy tắc tính đạo hàm tại một điểm bằng định nghĩa, nhưng việc tính đạo hàm bằng định nghĩa thường phức tạp. Do đó, các SGK có cung cấp các công thức
giúp việc tính đạo hàm tại một điểm của các hàm số thường gặp (y = c (hằng số), y= x,
*
( )
n
y x n= ∈ ,y=sin ,x y=cos ,x y=tan ,x
=cot
y xmột cách nhanh chóng. Yêu cầu của chương này là:
Thuộc lòng và vận dụng thành thạo các công thức về phép tính đạo hàm, về đạo hàm của các
hàm số thường gặp (hàm số y x n= n( ∈*)đa thức và các hàm số lượng giác).
[6, tr.153]
Trong luận văn của Lê Anh Tuấn (2012) đã liệt kê tất cả các KVN liên quan đến đạo hàm (kể cả KVN con), trong các KVN đó chúng tôi chỉ quan tâm đến KVN T8 : Tính đạo hàm '
y bằng công thứcvì đây là KNV chiếm ưu thế kể từ khi các công thức tính đạo hàm xuất hiện. Chúng tôi sẽ trích dẫn một số ví dụ minh họa cho KNV này như sau :
17. Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau (a và b là hằng số):
a) y=x5−4 x3+2x−3 x ; b) y 1 1x x2 0,5x4 4 3 = − + − ; c) 4 3 2 3 x x x y x a 4 3 2 = − + − + ; d) y ax b a b + = + . [14, tr.204]
4.Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
b) y= 2−5x−x2 . [5, tr.163]
Ví dụ 5: Tìm đạo hàm của hàm số 2
y=tan( 3x +5 ).[5, tr.166]
Các hàm số được yêu cầu tính đạo hàm chủ yếu là các hàm số sau: hàm đa thức, các hàm số
lượng giác, hàm căn thức, hàm phân thức hữu tỉ và các hàm số được tạo thành từ tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số trên. Ngoài ra còn có đạo hàm hợp của các hàm số trên.
2.2.2.2. Vấn đề KSHS ở lớp 11
Ở lớp 11, các hàm số được khảo sát là các hàm số lượng giác. Cả hai bộ SGK cũng không dùng thuật ngữ KSHS khi khảo sát các hàm số lượng giác.
Qua tham khảo SGKCB11, chúng tôi nhận thấy trình tự chung để khảo sát các hàm số lượng giác sin, cos, tan, cot là liệt kê các tính chất đã biết về các hàm số này như TXĐ, tính chẵn,
lẻ, tính tuần hoàn và chu kì. Mục đích của việc làm trên là nhằm chuẩn bị cho bài toán KSSBT và vẽ ĐT ở lớp 12. Nhận định này của chúng tôi xuất phát từ trích dẫn sau:
Để phù hợp với việc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sẽ trình bày ở lớp 12, đối với mỗi hàm số lượng giác, trước khi khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị, chúng tôi hệ thống lại các hiểu biết cơ bản về mỗi hàm số này, bao gồm:
• Tập xác định và tập giá trị;
• Tính tuần hoàn. [6, tr.21]
Điều đặc biệt là không có một lý thuyết tường minh nào cho thấy là phải dựa vào kết quả khảo sát sự biến thiên để vẽ đồ thị. Cụ thể như sau:
Vậy hàm số y = sinx đồng biến trên [0; ]
2 π và nghịch biến trên [ ; ] 2 π π . Bảng biến thiên:
Đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0; ]π đi qua các điểm (0;0), (x1; sinx1), (x2; sinx2), ( ;1)
2
π
,
(x3; sinx3), (x4; sinx4), ( ;0)π (h.3b). [5, tr.8]
Đối với các hàm số y = tanx và y = cotx cũng được SGKCB11 trình bày tương tự. Điều này theo chúng tôi thì có thể các hàm số lượng giác vẫn chưa được khảo sát theo trình tự thông thường. Chúng tôi càng khẳng định hơn nữa nhận định của mình khi tìm thấy trình tự khảo sát hàm số y = cosx sau đó: Đồ thị hàm số y = cosx được suy ra từ đồ thị hàm số y = sinx và sự biến thiên của hàm số y = cosx được suy ra từ đồ thị của nó. Như vậy là kĩ năng đọc đồ thị hàm số được thể hiện khi khảo sát hàm số y = cosx.
SGKNC11không liệt kê các tính chất đã biết về các hàm số lượng giác như SGKCB11. Trình tự khảo sát các hàm số lượng giác trong SGKNC11 tương tự như trình tự khảo sát hàm số y = cosx trong SGKCB11, nghĩa là sự biến thiên của các hàm số được suy ra từ đồ thị của chúng. Tóm lại, qua phân tích SGK lớp 11 chúng tôi nhận thấy:
- Các tính chất được nghiên cứu gồm: tính tuần hoàn, giới hạn, tính liên tục và đạo hàm của hàm số. Trong đó:
+ Các dạng hàm số được yêu cầu xét tính tuần hoàn gồm: các hàm số lượng giác cơ bản
sin, cos, tan và cot (chủ yếu là các hàm số sin và cos).
+ Các hàm số yêu cầu tính giới hạn có mặt trong cả hai bộ SGK gồm: hàm đa thức bậc 3
và bậc 4; phân thức hữu tỉ (bậc cao nhất của tử và mẫu là bậc hai); hàm căn thức; hàm số được cho bởi nhiều biểu thức giải tích; hàm số lượng giác. Ngoài ra, trong SGKNC11 còn có các hàm số được tạo thành từ tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số trên và hàm
+ Các hàm số được yêu cầu xét tính liên tục gồm: Hàm đa thức bậc 2, bậc 3; hàm số được cho bởi hai biểu thức giải tích, hàm số lượng giác; hàm căn thức và hàm phân thức hữu tỉ.
+ Các hàm số được yêu cầu tính đạo hàm gồm: hàm đa thức, hàm số lượng giác, hàm
căn thức, hàm phân thức hữu tỉ và các hàm số được tạo thành từ tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số trên. Ngoài ra còn có đạo hàm các hàm hợp.
- Vấn đề KSHS: các hàm số được khảo sát ở lớp 11 là các hàm lượng giác cơ bản. Cả hai bộ SGK không dùng thuật ngữ KSSBT và vẽ ĐT khi khảo sát các hàm số này.
+ SGKCB11 có liệt kê: TXĐ, tính tuần hoàn, tính chẵn, lẻ các hàm số lượng giác trước khi khảo sát sự biến thiên. Các tính chất này giúp đơn giản hóa quá trình khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số lượng giác. Đối với các hàm số y = sinx, y = tanx và y = cotx mặc dù khảo sát sự biến thiên và lập BBT được tiến hành trước đó nhưng không có một lý thuyết tường minh nào cho thấy phải dựa vào kết quả khảo sát sự biến thiên để vẽ đồ thị hàm số. Riêng đối với hàm số y = cosx thì chỉ thể hiện ở mức độ đọc đồ thị hàm số, tức là từ đồ thị hàm số suy ra tính đồng biến, nghịch biến của nó.
+ SGKNC11 không liệt kê các tính chất về các hàm số lượng giác trước khi khảo sát như SGKCB11. Hơn nữa, đồ thị các hàm số lượng giác được vẽ trước rồi từ đồ thị suy ra tính đồng biến, nghịch biến của chúng.
Như vậy, các hàm số lượng giác vẫn chưa được tiến hành theo trình tự thông thường mà vẫn còn thể hiện kĩ năng đọc đồ thị hàm số và góp phần chuẩn bị cho bài toán KSSBT và vẽ ĐT ở đầu lớp 12.