4. Tổ chức luận văn
2.2.1. Phân tích SGK lớp 10
- Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) (2009), Đại Số 10 nâng cao, Nxb Giáo dục. - Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) (2009), SGV Đại Số 10 nâng cao, Nxb Giáo dục. - Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2009), Đại số 10 cơ bản, Nxb Giáo dục.
- Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2009), SGV Đại số 10 cơ bản, Nxb Giáo dục. Để thuận tiện trong việc trình bày, chúng tôi dùng kí hiệu SGKNC10, SGKCB10, SGVCB10 và SGVNC10thay cho các tài liệu trên.
Vấn đề KSHS được đưa vào ở lớp 10 trong Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai. Mục
tiêu của chương này như sau:
- Biết cách vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất, bậc nhất trên từng khoảng và hàm số bậc hai.
- Nhận biết được sự biến thiên và một vài tính chất của hàm số thông qua đồ thị của nó.
[13, tr.66]
Qua trích dẫn trên, chúng tôi tự hỏi: Những tính chất nào của hàm số được SGK nghiên cứu đến và những tính chất nào cần phải nhận biết từ đồ thị của hàm số? Với những tính chất được nghiên cứu thì có những dạng hàm số nào xuất hiện khi nghiên cứu các tính chất đó?
2.2.1.1. Các tính chất được nghiên cứu và các dạng hàm số gắn với mỗi tính chất
Tính đồng biến và nghịch biến.
Liên quan đến tính chất này, SGKCB10chỉ đưa ra định nghĩa như sau:
Hàm số y = f(x)gọi là đồng biến (tăng)trên khoảng (a; b) nếu
1 2 1 2 1 2
x , x ( a;b ), x x f ( x ) f ( x )
∀ ∈ < ⇒ <
Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b) nếu
1 2 1 2 1 2
x , x ( a;b ), x x f ( x ) f ( x )
∀ ∈ < ⇒ > . [3, tr.36]
Như vậy, kĩ thuật để xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số mà SGKCB10 mong đợi là dựa vào định nghĩa trên. Riêng SGKNC10, ngoài kĩ thuật xét tính đồng biến nghịch biến dựa vào định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến còn có kĩ thuật thứ hai là dựa vào dấu của tỉ
số biến thiên. Điều đó thể hiện như sau:
Hàm số f đồng biến trên K khi và chỉ khi:
x ,x K ∀ 1 2∈ và x1 ≠x2, ( )2 ( )1 2 1 0 − > − f x f x x x Hàm số f nghịch biến trên K khi và chỉ khi:
x ,x K ∀ 1 2∈ và x1 ≠x2, ( )2 ( )1 2 1 0 − < − f x f x x x .[12, tr.39]
Liên quan đến tính đồng biến và nghịch biến của hàm số có các KNV sau:
•T2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số trên mỗi khoảng K và lập bảng biến thiên của hàm số.
Các yếu tố kĩ thuật, công nghệ để giải thích cho hai kiểu nhiệm vụ (KNV) T1 và T2(chỉ xuất hiện trong SGKNC10) được Võ Thị Loan (2012) trình bày cụ thể, ở đây chúng tôi không trình bày lại. Chúng tôi quan tâm đến KVN T2 vì chúng tôi muốn biết những hàm số nào thường được yêu cầu khảo sát sự biến thiên. Minh họa cho KVN T2 là:
4. Khảo sát sự biến thiên của mỗi hàm số sau và lập bảng biến thiên của nó:
a) y x= 2+2x−2 trên mỗi khoảng ( ; 1)−∞ − và ( 1;− +∞); b) y= −2x2+4x+1 trên mỗi khoảng ( ;1)−∞ và (1;+∞);
c) 2
3
y x
=
− trên mỗi khoảng ( ;3)−∞ và (3;+∞). [12, tr. 45]
Các hàm số được yêu cầu khảo sát tính đồng biến, nghịch biến trong SGKNC10gồm các hàm số bậc hai và hàm phân thức đơn giản(bậc cao nhất của tử và mẫu là bậc một).
Tính chẵn - lẻ của hàm số.
SGKCB10 xây dựng định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ thông qua hoạt động quan sát đồ thị hàm số, riêng SGKNC10 bắt đầu bằng việc giới thiệu lợi ích của việc nghiên cứu tính chất này:
Có những hàm số có một số tính chất đặc biệt, dễ nhận thấy mà ta có thể lợi dụng để việc khảo
sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của nó đơn giản và dễ dàng hơn. Tính chẵn - lẻcủa hàm số là một
ví dụ. [12, tr.40]
Như vậy, tính chẵn lẻ của hàm số giúp đơn giản hóa quá trình vẽ đồ thị hàm số. Cả hai SGK đều đưa ra định nghĩa như sau:
Cho hàm số y = f(x) với tập xác định D.
Hàm số f gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc D, ta có – x cũng thuộc D và f(-x) = f(x). Hàm số fgọi là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc D, ta có – x cũng thuộc D và f(-x) = - f(x). [12, tr.40]
Chúng ta có thể nhận biết tính chẵn lẻ của hàm số thông qua đồ thị của hàm số đó. Điều này được trình bày như sau:
Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng.
Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. [12, tr.41]
Như vậy, giữa đồ thị và tính chẵn lẻ của hàm số có mối quan hệ với nhau. Nhìn vào đồ thị có thể xác định được tính chẵn lẻ của hàm số, ngược lại, tính chẵn lẻ của hàm số lại giúp đơn giản việc vẽ đồ thị hàm số. KNV được tìm thấy trong hai bộ SGK liên quan đến tính chẵn lẻ của hàm số là:
• T3: Xét tính chẵn - lẻ của hàm số y = f(x)
Kỹ thuậtτ3 để giải quyết kiểu nhiệm vụ T3 là: - Tập xác định D của hàm số;
- Với mọi x∈ ⇒ − ∈D x D
- Tính f(-x):
+ Nếu f(-x) = f(x) thì f(x) là hàm số chẵn. + Nếu f(-x) = - f(x) thì f(x) là hàm số lẻ.
Công nghệ để giải thích cho kĩ thuật là định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ.
Lí thuyết để giải thích cho công nghệ: các lí thuyết về hàm số một biến với biến số thực. Minh họa cho KVN này là:
5. Mỗi hàm số sau là hàm số chẵn hay hàm số lẻ?
a) y x= 4−3x2+1; b) y= −2x3+x;
c) y x= + − −2 x 2 ; d) y= 2x+ +1 2x−1. [12, tr.45]
Các hàm số được yêu cầu xét tính chẵn, lẻ là hàm số trùng phương, hàm bậc ba (khuyết x2 ) và các hàm được tạo thành từ tổng (hiệu) hai trị tuyệt đối của hàm bậc nhất.
2.2.1.2. Vấn đề KSHS ở lớp 10
Do giai đoạn này chưa có các công cụ giải tích như Giới hạn và Đạo hàm nên các hàm số không được khảo sát theo trình tự thông thường. Vấn đề KSHS chỉ giới hạn ở việc khảo sát sự biến thiên và tính chẵn lẻ. Do đó, SGK không dùng thuật ngữ KSSBT và vẽ ĐT hàm số,
ở giai đoạn này mà thay vào đó là các yêu cầu xét tính chẵn lẻ hay khảo sát sự biến thiên của hàm số. Và các hàm số được yêu cầu khảo sát chỉ giới hạn ở hàm số bậc nhất và bậc
hai. Nhận định này của chúng tôi dựa vào trích dẫn sau của SGVNC10:
Thông thường việc khảo sát sự biến thiên của hàm số được tiến hành trước rồi mới căn cứ vào kết quả khảo sát đó mà vẽ đồ thị. Nhưng ở lớp 10, học sinh chưa có đủ kiến thức và công cụ để khảo sát hàm số. […]. Do đó, hầu hết các bài tập trong SGK đều yêu cầu vẽ đồ thị trước rồi căn cứ vào đồ thị để nêu kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số. [13, tr.78 - 79].
Trích dẫn trên đã nhấn mạnh vấn đề KSHS dựa vào công cụ đồ thị - đọc đồ thịhàm số. Tức là từ đồ thị suy ra các tính chất: sự biến thiên, lập BBT, tính chẵn, lẻ, GTLN, GTNN của hàm số. Kĩ năng này được thể hiện qua các hoạt động sau:
H2: Dựa vào đồ thị, hãy lập bảng biến thiên của hàm số y x= và tìm giá trị nhỏ nhất của nó.
H6 Cho hàm số f xác định trên khoảng ( ,−∞ +∞) có đồ thị như trên hình 2.5. Hãy ghép mỗi ý ở cột trái dưới đây với một ý ở cột phải để được một mệnh đề đúng.
Hình 2.5
[12, tr. 42]
Kĩ thuật vẽ đồ thị ở giai đoạn này vẫn là “nối” các điểm. Đối vối hàm số bậc nhất, để vẽ đồ thị được chính xác hơn, ta có chú ý sau:
Muốn vẽ đường thẳng được chính xác, nên xác định hai điểm không quá gần nhau của đường thẳng. Trong một số trường hợp có thể lấy thậm chí ba điểm để đảm bảo độ chính xác cần thiết. [13, tr.79]
Đối với hàm số bậc hai, kĩ thuật vẽ đồ thị mà cả hai bộ SGK mong đợi là vẽ trực tiếp parabol với các bước như sau:
- Xác định đỉnh của parabol;
- Xác định trục đối xứng và hướng bề lõm của parabol;
- Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục tọa
độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục đối xứng);
- Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để “nối” các điểm đó lại.
[12, tr.56]
Như vậy, các hàm số bậc nhất và bậc hai đều không được khảo sát theo trình tự thông thường và kĩ thuật vẽ đồ thị vẫn là “nối” các điểm.
Tóm lại, trong phần phân tích SGK lớp 10 chúng tôi nhận thấy:
- Có hai tính chất được nghiên cứu ở lớp 10 là tính đơn điệu và tính chẵn lẻcủa hàm số.
• Các hàm số được yêu cầu khảo sát sự biến thiên là: hàm số bậc hai và các hàm
phân thức đơn giản.
• Các hàm số được yêu cầu xét tính chẵn lẻ gồm: hàm trùng phương, hàm số bậc ba
(khuyết x2) và tổng (hiệu) trị tuyết đối của các hàm bậc nhất.
- Cả hai bộ SGK không dùng thuật ngữ KSSBT và vẽ ĐT để yêu cầu khảo sát các hàm số bậc nhất và bậc hai. Vấn đề KSHS chỉ yêu cầu khảo sát tính chẵn lẻ và xét chiều biến thiên của hàm số. Kĩ năng đọc đồ thị của hàm số được chú trọng. Từ đồ thị có thể suy ra được giá trị của hàm số tại một điểm, GTLN, GTNN, dấu của hàm số trên một khoảng,
mà quan trọng nhất là nhận biết tính đồng biến, nghịch biến, tính chẵn lẻ của hàm số và lập BBT từ đồ thị của nó. Kĩ thuật vẽ đồ thị vẫn là “nối” các điểm thuộc đồ thị hàm số.