4. Tổ chức luận văn
2.3. Kết luận chương 2
Qua phân tích chương trình và SGK các lớp 10, 11 và 12 chúng tôi rút ra một số kết quả sau.
Bảng 2.1: Các tính chất được nghiên cứu và sự tiến triển của bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số
Lớp Tính chất và hàm số gắn với tính chất Sự tiến triển của bài toán KSSBT và vẽ ĐT Tính chất Hàm số 10 +Đơn điệu +Chẵn, lẻ + Hàm số bậc hai và các hàm phân thức hữu tỉ đơn giản
+ Hàm số bậc hai, hàm bậc 3 (khuyết x2), hàm bậc bốn trùng phương và hàm căn thức.
- Cả hai bộ SGK không dùng thuật ngữ KSHS khi khảo sát các hàm số. Vấn đề KSHS chỉ giới hạn ở khảo sát sự biến thiên và tính chẵn lẻ của hàm số thông qua các thuật ngữ: Xét tính chẵn lẻ hay
xét chiều biến thiên của hàm số... - Các hàm số được yêu cầu khảo sát là hàm số bậc nhất và bậc hai.
- Kĩ năng đọc đồ thị hàm số được chú trọng. Từ đồ thị có thể suy ra được giá trị của hàm số tại một điểm, GTLN, GTNN, dấu của hàm số trên một khoảng, mà quan trọng hơn là nhận biết tính đồng biến, nghịch biến, tính chẵn - lẻ của hàm số và lập BBT từ đồ thị của nó. - Kĩ thuật vẽ đồ thị vẫn là “nối” các điểm thuộc đồ thị hàm số. 11 +Tuần hoàn + Giới hạn + Các hàm số lượng giác: sin, cos, tan, cot.
+ Đa thức bậc 3, bậc 4, hàm căn thức, phân thức
- Cả hai bộ SGK không dùng thuật ngữ KSHS khi khảo sát các hàm số.
- Vấn đề KSHS vẫn chưa được tiến hành theo trình tự thông thường mà chỉ
+ Liên tục + Đạo hàm hữu tỉ dạng y ax b cx d + = + và 2 ' ' ax bx c y a x b + + = + . Ngoài ra còn có các hàm là tổng, hiệu, tích, thương các hàm số trên. + Hàm bậc 3, hàm số cho bằng hai biểu thức giải tích, phân thức hữu tỉ dạng ax b y cx d + = + và 2 ' ' ax bx c y a x b + + = + . + Đa thức bậc n * ( n∈ ), căn thức, phân thức hữu tỉ và đạo hàm các hàm số lượng giác. Ngoài ra còn có đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số trên.
thể hiện ở mức độ đọc đồ thị hàm số và chuẩn bị cho việc KSHS ở lớp 12. Cụ thể:
+ SGKCB11 liệt kê các tính chất: chẵn lẻ, tuần hoàn của các hàm số lượng giác trước khi khảo sát, tuy nhiên không một lý thuyết tường minh nào cho thấy dựa vào BBT để vẽ đồ thị. Đối với hàm số y = cosx thể hiện kĩ năng đọc đồ thị hàm số.
+ SGKNC11 không liệt kê các tính chất của các hàm số lượng giác và đồng thời chỉ thể hiện mức độ đọc đồ thị hàm số. Đầu 12 + Đơn điệu + Cực trị + GTLN, GTNN + Hàm số bậc 2, bậc 3, bậc bốn trùng phương, hàm phân thức hữu tỉ (bậc cao nhất của tử và mẫu là bậc 2), hàm căn thức và hàm số lượng giác. + Hàm số bậc 3, hàm bậc bốn trùng phương, phân thức hữu tỉ, căn thức và các hàm số lượng giác. + Hàm số bậc ba, bậc bốn,
- Thuật ngữ được dùng khi khảo sát các hàm số là KSSBT và vẽ ĐT hay đơn giản là KSHS.
- Dưới công cụ đạo hàm, bài toán KSSBT và vẽ ĐT đã được tiến hành theo một trình tự gồm ba bước chính:
tìm TXĐ, xét chiều biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
- Các tính chất được huy động ở cả hai bộ SGK gồm tính đơn điệu, cực trị, giới hạn hàm số và tiệm cận của đồ thị
+ Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức dạng y ax b cx d + = + và hàm căn thức. + Các hàm phân thức hữu tỉ dạng: y ax b cx d + = + , 2 ' ' ax bx c y a x b + + = + , 2 2 ' ' ' ax bx c y a x b x c + + = + + .
hàm số. Ngoài ra, tính tuần hoàn, tính chẵn, lẻ của hàm số cũng được khuyến khích sử dụng. Điểm uốn chỉ được đề cập đến trong các ví dụ trong SGKNC12. - Trong các tính chất được yêu cầu khảo sát ở hai bộ SGK thì tính đơn điệu và giới hạn hàm sốluôn được yêu cầu khảo sát.
- Một mặt, SGKCB12 yêu cầu dựa vào BBT để vẽ đồ thị hàm số. Mặt khác lại yêu cầu xác định một số điểm đặc biệt thuộc đồ thị hàm số và đưa ra bảng thống kê các dạng đồ thị của từng hàm số, đồng thời yêu cầu phải phân biệt được các dạng đồ thị của từng hàm số đó.
- SGKNC12 không một lý thuyết tường minh nào cho thấy phải dựa vào BBT để vẽ đồ thị hàm số nhưng lại yêu cầu tìm một số điểm đặc biệt thuộc đồ thị và khuyến khích GV đưa vào bảng thống kê các dạng đồ thị của từng hàm số như SGKCB12.
- Các hàm số được yêu cầu khảo sát gồm: hàm số bậc ba, hàm bậc bốn trùng phương, hàm phân thức ax b y cx d + = + và 2 ' ' ax bx c y a x b + + = + (chỉ có ở SGKNC12).
Chúng tôi nhận thấy, trong khi trình tự KSHS lại huy động đến các tính chất đã nghiên cứu trước đó và ngoài bốn dạng hàm số trên thì hàm căn thức và hàm số lượng giác cũng luôn được tính đến khi nghiên cứu riêng các tính chất đó và đây cũng là hai hàm số được yêu cầu
khảo sát thường xuyên trong hai giáo trình [a] và [b]. Tuy nhiên, đối với KNV “Khảo sát sự biến thiến và vẽ đồ thị hàm số”, thể chế dạy học toán lớp 12 chỉ giới hạn trong bốn dạng hàm số đã kể ra. Do đó, từ kết quả trên chúng tôi đặt ra câu hỏi nghiên cứu sau:
Câu hỏi: Việc thể chế chỉ giới hạn trong 4 dạng hàm số đối với bài toán khảo sát sự
biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã dẫn đến những kết quả nào ?
Từ kết quả phân tích Chương trình và SGK ở phổ thông, chúng tôi đối chiếu lại với kết quả phân tích ở chương 1 và rút ra một số kết quả sau:
Bảng 2.2: So sánh giữa Giáo trình Đại học và SGK phổ thông Giáo trình Đại học SGK phổ thông
Tính chất yêu cầu khảo sát
Miền xác định, tính đơn điệu, cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, giới hạn của hàm số, tiệm cận, tính chẵn lẻ, tuần hoàn và đồ thị hàm số.
Tập xác định, tính đơn điệu, cực trị, giới hạn hàm số và tiệm cận của đồ thị hàm số. Tính tuần hoàn, tính chẵn lẻ của hàm số khuyến khích sử dụng.
Hàm số yêu cầu khảo sát
Hàm phân thức hữu tỉ (với bậc thấp nhất của tử và mẫu là bậc 3) hay phân thức chứa căn, hàm căn thức, hàm lượng giác và các hàm được tạo thành từ sự kết hợp của hai hay nhiều hàm số. Hàm bậc ba, bậc bốn trùng phương, hàm phân thức y ax b cx d + = + và 2 ' ' ax bx c y a x b + + = + (chỉ có ở SGKNC12).
Ứng dụng Không ứng dụng ngay sau bài
học.
Ứng dụng vào việc biện luận theo tham số số nghiệm phương trình. Qua phân tích cả hai bậc học cho thấy, bài toán KSSBT và vẽ ĐT bắt đầu được nghiên cứu ở bậc phổ thông và được nghiên cứu tiếp ở bậc CĐ – ĐH. Sự lựa chọn giới hạn trong 4 dạng hàm ở phổ thông có thể được lí giải rằng các dạng hàm số khác sẽ được bổ sung ở bậc CĐ – ĐH. Tuy nhiên, trong hai giáo trình đại học đã chọn, bài toán KSSBT và vẽ ĐT chứa đựng lượng kiến thức tương đối lớn về hàm số nhưng chỉ dừng lại ở việc vẽ đồ thị và không có ứng dụng ngay sau đó. Mặt khác, với sự phát triển của công nghệ thông tin hiện nay thì việc sử dụng các phần mềm để nghiên cứu đồ thị của hàm số sẽ cho kết quả nhanh chóng, điều
này có thể làm hạn chế đi vai trò của kiểu nhiệm vụ này. Chúng tôi nghi ngờ rằng bài toán KSSBT và vẽ ĐT sẽ không thực sự được giảng dạy ở bậc CĐ – ĐH.
Chúng tôi sẽ tiến hành xây dựng thực nghiệm và tiến hành thực nghiệm trong chương tiếp theo để giải đáp những nghi ngờ và câu hỏi nghiên cứu trên.
CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 3.1. Mục đích thực nghiệm
Với những kết quả nhận được từ phân tích chương 1 và chương 2, trong chương này, chúng tôi sẽ xây dựng bộ câu hỏi thực nghiệm và tiến hành hai thực nghiệm: một trên SV và một trên HS nhằm giải đáp các câu hỏi đặt ra trong chương 1 và chương 2. Cụ thể, chúng tôi thực nghiệm nhằm giải đáp hai câu hỏi sau:
Câu hỏi 1: Bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số luôn xuất hiện trong các giáo trình giải tích cho sinh viên (SV) những năm đầu Đại học, nhưng nó có thực sự được giảng dạy ở bậc học này hay không ?
Câu hỏi 2: Việc thể chế chỉ giới hạn trong 4 dạng hàm số đối với bài toán khảo sát sự
biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã dẫn đến những kết quả nào?
3.2. Hình thức – tổ chức thực nghiệm
3.2.1. Thực nghiệm 1
- Chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm trên những SV năm thứ 2 – đã học xong học phần
Toán cao cấp.
- Mỗi SV được phát một phiếu thực nghiệm và tiến hành làm việc độc lập trong khoảng thời gian 45 phút.
3.2.2. Thực nghiệm 2
- Thực nghiệm sẽ được thực hiện với đối tượng học sinh lớp 12 học chương trình cơ bản và chương trình nâng cao. Thực nghiệm được tiến hành sau khi các học sinh này đã học xong phần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
- Mỗi HS được phát một phiếu thực nghiệm và làm việc độc lập trong khoảng thời gian 45 phút.
3.3. Giới thiệu các câu hỏi thực nghiệm
3.3.1. Giới thiệu thực nghiệm 1
Câu a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y= 3 x3−x2− +x 1.
2 2 2 2 1 1 1 1 t x t t y t t − = + − = +
Nếu không giải được, các em vui lòng cho biết lí do!
3.3.2. Giới thiệu thực nghiệm 2
Câu 1: Hãy chọn bảng biến thiên ứng với các hàm số sau, biết rằng sẽ có những hàm số không ứng với BBT nào và ngược lại:
a) y=x3−4x2+4x Bảng 3.1: Bảng biến thiên số 1 1. b)y= 2x2−3x 1+ Bảng 3.2: Bảng biến thiên số 2 2. Bảng 3.3: Bảng biến thiên số 3 c) 4 2 y=2x −3x +1 3. d) y 3x 8 x 2 − = −
Bảng 3.4: Bảng biến thiên số 4 4. Bảng 3.5: Bảng biến thiến số 5 5. Bảng 3.6: Bảng biến thiến số 6 6. Câu 2:Cho các hàm số 3 2 y=2x −3x +1 và y x 2 2x 1 − = − . Em có thể vẽ đồ thị hai hàm số này dựa vào bảng các giá trị đặc biệt mà không cần bảng biến thiên của nó không? Hãy giải thích lí do em khẳng định được như thế?
Câu 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a. y= x2−3x+2 b. 2 x 5x 6 y x 2 − + = − 3.4. Phân tích thực nghiệm 3.4.1. Phân tích thực nghiệm 1
3.4.1.1. Phân tích tiên nghiệm
Mục đích của câu hỏi thực nghiệm: Câu hỏi yêu cầu KSSBT và vẽ ĐT hàm số - một KVN được đề cập đến trong giáo trình. Với yêu cầu này, chúng tôi muốn kiểm chứng xem SV có thể giải hoàn chỉnh bài toán này theo trình tự KSHS như giáo trình đã đưa ra. Từ đó, chúng tôi sẽ trả lời được câu hỏi 1.
Lí do:Chúng tôi chọn hai bài toán này vì các hàm số ở cả hai câu a và b đều không được khảo sát ở phổ thông mà chỉ có trong các giáo trình Đại học.
Biến didactic và ảnh hưởng của biến
- Biến didactic trong hai câu a và b là V1: “Dạng hàm số yêu cầu khảo sát”. Có các giá trị
là:
+ Nếu chọn hàm số được khảo sát ở phổ thông thì SV sẽ áp dụng trình tự KSHS ở phổ thông để giải quyết;
+ Hàm số chưa được khảo sát ở phổ thông, có thể dẫn tới câu trả lời của SV là không biết giải.
- Ngoài ra, ở câu b còn có thêm một biến V2: “Mối quan hệ giữa biểu thức của x(t) và y(t)”. Có các giá trị:
+ Biểu thức x(t) và y(t) có chứa nhân tử giống nhau. Lựa chọn này của biến sẽ dẫn đến chiến lược chuyển hàm số y = tx.
+ Biếu thức x(t) và y(t) không chứa nhân tử giống nhau. Lựa chòn này có thể dẫn đến SV phải khảo sát hai hàm số cùng lúc x = x(t) và y = y(t), với t∈D.
Chúng tôi dự đoán rằng sẽ không có SV nào giải hai bài toán này hoàn chỉnh theo trình tự KSHS mà giáo trình đưa ra.
3.4.1.2. Phân tích hậu nghiệm
Thực nghiệm được tiến hành tại trường Đại học Tiền Giang. Thời điểm chúng tôi tiến hành thực nghiệm thì các SV thuộc chuyên ngành Toán đã hoàn thành chương trình Toán cao cấp
tập 2.Thực nghiệm được tiến hành trên một lớp gồm 46 SV. Chúng tôi thống kê lại kết quả làm bài của 46 SV này như sau:
Bảng 3.7: Thống kê kết quả thực nghiệm 1 - câu a
Câu a Không giải được 35/46 SV (≈76,1%)
Giải không hoàn chỉnh 7/46 SV (≈15,2%)
Vẽ được đồ thị hàm số 4/46 SV (≈8,7%)
Bảng 3.8: Thống kê kết quả thực nghiệm 1 - câu b
Câu b Không giải được 39/46 SV (≈84,8%)
Chuyển về dạng y = tx 2/46 SV (≈4,3%)
Bỏ trống 5/46 SV (≈10,9%) * Đối với câu a:
- Có đến 76,1% SV không giải được bài toán và giải thích với các lí do: dạng lạ hoặc khó quá hoặc chưa gặp bao giờ.
Hình 3.1: SV 109121043 Hình 3.2: SV 109121017
- 15,2% SV có giải bài toán nhưng không hoàn chỉnh và đa số dừng lại ở bước lập bảng biến thiên của hàm số.
Hình 3.3: SV 109121002 Hình 3.4: SV 109121023
- 8,7% SV vẽ được đồ thị hàm số nhưng đồ thị hàm số không đúng.
Hình 3.5: SV 10912007
* Đối với câu b:
- 84,8% SV không giải được bài toán này và giải thích với những lí do tương tự câu a): dạng lạ hoặc không giống hay tương tự những dạng hàm số đã khảo sát hoặc dạng mới chưa gặp bao giờ.
- 4,3% SV đưa ra ý tưởng chuyển đường cong đã cho về dạng y = tx rồi khảo sát hàm số đó theo tham số t. Tuy nhiên, sau khi khảo sát hay đưa ra ý tưởng đó SV đều phát hiện ra rằng ý tưởng đó sai và kết luận đây là dạng lạ hoặc chưa gặp bao giờ.
Hình 3.7: SV 10912112
- 10,9% SV bỏ trống và không cho lời giải thích nào.
Từ kết quả thực nghiệm trên cho thấy dù đây là hai bài toán được trích trong phần bài tập của giáo trình Toán cao cấp nhưng đa số SV không giải được và cho là dạng lạ hoặc chưa gặp bao giờ hoặc không giống hay tương tự các dạng hàm số đã được khảo sát,…. Đặc biệt, không có SV nào giải đúng và hoàn chỉnh một trong hai bài toán trên. Điều này chứng tỏ rằng dù có trong giáo trình nhưng kiểu nhiệm vụ TKSSBT – ĐT không được giảng dạy ở bậc Đại học.
3.4.2. Phân tích thực nghiệm 2
3.4.2.1 Phân tích tiên nghiệm
Câu 1
•Mục đích của câu hỏi thực nghiệm
Trong trình tự KSHS nêu rõ phải dựa vào BBT để vẽ đồ thị hàm số. Với yêu cầu chọn BBT