dạy học khái niệm hàm số với phần mềm cabri ii plus, nghiên cứu sự đồng biến thiên như giai đoạn đầu tiên của việc xây dựng khái niệm hàm số

Làm rõ tiến trình và cách tổ chức đưa vào khái niệm hàm số gắn với các cách biểu diễn hàm số bằng bảng, đồ thị, biểu thức giải tích, mối quan hệ cá nhân giữa HS và khái niệm hàm số dựa t

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LU ẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2013

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

L ỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập,những trích dẫn nêu trong lu ận văn đều chính xác và trung thực

Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Khoa Toán – Tin trường Đại học Sư

phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến:

Ban Giám hiệu, các thầy cô và các em học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Huân – Tp.HCM đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm

Các bạn và các anh chị cùng khóa học cao học 22 chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học Toán vì những sẻ chia trong học tập

Gia đình tôi vì những lời động viên và những điều kiện cho tôi hoàn thành tốt khóa học

Nguy ễn Thị Ngọc Sương

M ỤC LỤC

L ỜI CAM ĐOAN 1

LỜI CẢM ƠN 2

M ỤC LỤC 3

DANH M ỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT 5

M Ở ĐẦU 6

1 Lý do ch ọn đề tài và câu hỏi xuất phát 6

2 Câu h ỏi nghiên cứu 10

3 Phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu 10

4 C ấu trúc của luận văn 11

CHƯƠNG 1: SỰ ĐỒNG BIẾN THIÊN CỦA HAI ĐẠI LƯỢNG TRONG LỊCH S Ử HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM HÀM SỐ 13

1.1 S ự hình thành và phát triển khái niệm hàm số 13

1.2 S ự đồng biến thiên của hai đại lượng – quan niệm động của khái niệm hàm 16

s ố 16 1.2.1 Sự đồng biến thiên của hai đại lượng trong các giai đoạn phát triển khái niệm hàm số 16

1.2.2 Quan niệm động và quan niệm tĩnh của khái niệm hàm số 17

1.3 Các h ệ thống biểu đạt của hàm số và đặc trưng đồng biến thiên của hai đại lượng 18

CHƯƠNG 2: KHÁI NIỆM HÀM SỐ VÀ SỰ ĐỒNG BIẾN THIÊN CỦA HAI ĐẠI LƯỢNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SGK PHỔ THÔNG 21

2.1 Ở Việt Nam 21

2.1.1 Giai đoạn trước năm lớp 7 21

2.1.2 Lớp 7 23

2.1.3 Lớp 9 31

2.1.4 Lớp 10 37

2.1.5 Kết luận 40

2.2 Ở Mỹ 41

2.2.1 Phần lý thuyết 41

2.2.2 Phần bài tập 47

2.3 So sánh cách đưa vào khái niệm hàm số ở Việt Nam và Mỹ 50

2.3.1 Giống nhau 50

2.3.2 Khác nhau 50

CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 53

4

3.1 Các l ựa chọn của đồ án dạy học 53

3.1.1 Sự đồng biến thiên là giai đoạn đầu tiên của việc hình thành khái niệm hàm số 53 3.1.2 Sử dụng phần mềm hình học động Cabri 53

3.2 N ội dung thực nghiệm 54

3.2.1 Giới thiệu các tình huống thực nghiệm 54

3.2.2 Dàn dựng kịch bản 54

3.3 Phân tích tiên nghi ệm 55

3.3.1 Biến và các giá trị của chúng 55

3.3.2 Các chiến lược và cái có thể quan sát 56

3.4 Phân tích chi ti ết kịch bản 70

3.4.1 Buổi 1: Khái niệm hàm hình học và sự đồng biến thiên của các điểm 70

3.4.2 Buổi 2 71

3.5 Phân tích h ậu nghiệm 73

3.5.1 Buổi làm quen với Cabri 73

3.5.2 Tình huống 1 74

3.5.3 Tình huống 2 78

3.5.4 Tình huống 3 83

3.5.5 Kết luận 86

K ẾT LUẬN 88

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 91

PH Ụ LỤC 93

SGK9-1 : Sách giáo khoa Toán 9, tập một

SGK9-2 : Sách giáo khoa Toán 9, tập hai

6

M Ở ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát

Ghi nh ận 1: Khái niệm hàm số từ lâu đã là đối tượng của một số lượng lớn các nghiên

cứu Điều này không có gì là ngạc nhiên bởi hàm số là một khái niệm quan trọng và giữ vị trí trung tâm trong chương trình toán phổ thông Nó được khẳng định dựa trên nội dung trình bày trong các sách giáo khoa (SGK) trải dài từ lớp 7 đến lớp 12 và sự cần thiết của hàm số trong việc giải quyết những bài toán thực tế Tuy nhiên khi được hỏi khái niệm hàm

số là gì, thì liệu rằng có bao nhiêu HS trả lời được đúng bản chất của khái niệm này hay HS

chỉ biết đến hàm số thông qua những biểu thức giải tích của nó?

Có rất nhiều luận văn nói về vấn đề hàm số Cụ thể:

 Lu ận văn thạc sĩ của Đặng Minh Hải (2009) về “Các tính chất của hàm số

và m ối liên hệ giữa chúng trong dạy học toán phổ thông”

Chỉ ra một số tính chất liên quan đến mối liên hệ đơn điệu – liên tục, đơn điệu – khả vi,

khả vi – liên tục ở cấp độ tri thức khoa học

Nghiên cứu mối quan hệ thể chế về mối liên hệ đơn điệu – liên tục, mối liên hệ giữa tính đơn điệu của một hàm khả vi trên khoảng với dấu của đạo hàm Chỉ ra những ràng buộc của

thể chế đã ảnh hưởng mạnh mẽ đến mối quan hệ cá nhân của HS:

+ Hầu hết HS cho rằng “hàm số đơn điệu trên K thì liên tục trên K”

+ Phần lớn HS có quan niệm “hàm số đơn điệu trên một khoảng thì có đạo hàm và đạo hàm không âm (không dương) trên khoảng đó”

 Lu ận văn thạc sĩ của Đinh Quốc Khánh về “Hàm số và đồ thị trong dạy học

toán ở trường phổ thông”

Nghiên cứu quá trình chuyển từ đồ thị sang hàm số đồng thời ở cấp độ tri thức khoa học

và cấp độ tri thức cần giảng dạy để thấy rõ mục đích và kỹ thuật của việc chuyển đổi nói trên

Chỉ ra được các ràng buộc của thể chế dạy học ở trường phổ thông với vấn đề chuyển từ

đồ thị sang biểu thức đặt ra trên hai đối tượng hàm số bậc nhất và bậc hai

Trong thể chế dạy học toán ở Việt Nam, vấn đề chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức hàm

số và vấn đề mô hình hóa trong toán có xuất hiện Nhưng xét về “mức độ quan tâm” thì đây không phải là các vấn đề được thể chế coi là trọng tâm nhất

Kết quả của việc phân tích mối quan hệ thể chế dẫn đến việc tồn tại giả thuyết nghiên

cứu: “Kỹ năng chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức hàm số chưa thực sự được hình thành ở

HS”

Làm rõ quan hệ của HS với vấn đề chuyển từ đồ thị sang biểu thức và vấn đề mô hình hóa nhằm hợp thức giả thuyết nghiên cứu được trình bày ở trên

 Lu ận văn thạc sĩ của Đỗ Thị Thúy Vân (2010) về “Casyopée và việc dạy học

khái ni ệm hàm số trong môi trường tích hợp nhiều cách biểu diễn hàm số”

Luận văn đã chỉ ra được đồ thị là một phương tiện biểu diễn thể hiện rõ 3 đặc trưng cơ

bản của hàm số (phụ thuộc, tương ứng, biến thiên), tính chất của đồ thị được suy ra từ tính

chất của hàm số và ngược lại

Làm rõ tiến trình và cách tổ chức đưa vào khái niệm hàm số gắn với các cách biểu diễn hàm số (bằng bảng, đồ thị, biểu thức giải tích), mối quan hệ cá nhân giữa HS và khái niệm hàm số dựa trên cách biểu diễn hàm số bằng biểu thức giải tích: “Thể chế không tạo điều

ki ện cho việc dạy học khái niệm hàm số trong môi trường tích hợp nhiều cách biểu

di ễn hàm số, cũng như không trình bày tường minh cách biểu diễn hàm số bằng đồ thị.”

Sử dụng môi trường giấy bút và môi trường máy tính để củng cố lại kiến thức về khái

niệm hàm số thông qua việc giải một bài toán cụ thể, trong đó với môi trường máy tính thì

có thể đơn giản hóa các kĩ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ trong bài toán, đồng thời để

thấy rõ khái niệm hàm số bằng hình ảnh trực quan thể hiện đủ ba đặc trưng của hàm số

H ạn chế và hướng mở của luận văn:

+ Hạn chế: Thực nghiệm được đưa ra nhằm mục đích tận dụng tối đa các tính năng của

phần mềm Casyopee, nhưng chưa đáp ứng hoàn toàn cho việc dạy học khái niệm hàm số trong môi trường tích hợp nhiều cách biểu diễn hàm số

+ Hướng mở của luận văn: Trên cơ sở của những kết quả đạt được, có thể tiếp

tục nghiên cứu theo hướng xây dựng một hệ thống tình huống dạy học khái niệm hàm số

nhằm giúp HS nhận rõ các đặc trưng hàm số trên mô hình động (môi trường máy tính)

 Lu ận văn thạc sĩ “Bài toán diện tích và phần mềm Cabri 2D”

Luận văn chỉ rõ mối quan hệ thể chế của đối tượng hàm số và bài toán diện tích, từ đó đã cho thấy được tầm quan trọng của việc dạy học mô hình hóa đặc biệt mô hình hóa hàm số

bằng bài toán diện tích chiếm số lượng khá lớn

8

Luận văn đã xây dựng một tình huống mô hình hóa bằng bài toán diện tích trong môi trường Cabri, từ đó giúp chúng ta có cách nhìn mới trong việc kết hợp giữa hình học động

và giải tích Đây là điều mà “bảng đen, phấn trắng” khó có thể thực hiện được

Như vậy, một loạt các luận văn về hàm số đã được công bố trong đó vấn đề chính được quan tâm là tính chất của hàm số và việc sử dụng hàm số trong quá trình giải quyết các bài toán

Ghi nh ận 2: Khái niệm hàm số gắn liền với hai quan niệm cơ bản:

+ Quan niệm động của khái niệm hàm số: hoàn toàn dựa trên sự đồng biến thiên của hai đại lượng

+ Quan niệm tĩnh của khái niệm hàm số: hoàn toàn dựa trên sự tương ứng “Một hàm số liên kết một số duy nhất với một số cho trước.”

Trong đó, sự đồng biến thiên của hai đại lượng là mối liên hệ động, không đối xứng giữa hai biến nhận giá trị thay đổi trong hai tập hợp nào đó và biến này phụ thuộc vào biến kia Trong chương trình hiện nay thì việc dạy học khái niệm hàm số hoàn toàn dựa trên quan điểm tĩnh, chính vì vậy mà nó đã làm mờ đi nghĩa của khái niệm biến và khái niệm hàm số

Do đó việc quan tâm đến dạy học khái niệm hàm số theo quan điểm động là thực sự cần thiết để HS nắm được bản chất của khái niệm hàm số

“S ự mô hình hóa một tình huống đồng biến thiên của hai đại lượng có thể cho phép mang l ại nghĩa cho khái niệm biến và khái niệm hàm số.”

[Annie Bessot & Nguyễn Thị Nga, 2011]

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu xây dựng các tình huống đưa vào khái niệm hàm số trong đó sự đồng biến thiên của hai đại lượng là giai đoạn đầu tiên của sự hình thành khái niệm hàm số Nghiên cứu này dựa trên kết luận của Krysinska và các cộng sự (2009):

“Tình huống về sự đồng biến thiên của các đại lượng có thể được xem xét như một tình

huống cơ bản đối với khái niệm hàm số”

Ghi nh ận 3: Ngày nay CNTT đã và đang thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực Nó ngày

càng trở nên quan trọng, không thể thiếu trong lĩnh vực Giáo dục đào tạo nói chung và ngành Toán học nói riêng Việc dạy học với các phần mềm ngày càng có sự ứng dụng rộng rãi Hiện nay, ở các trường phổ thông, GV đã dần quan tâm đến việc sử dụng phần mềm dạy học để hỗ trợ trong việc giảng dạy của mình mặc dầu SGK phổ thông lại không có hoạt động nào dùng tới phần mềm dạy học Tuy nhiên đa phần GV khi sử dụng phần mềm dạy

học đều có dụng ý là minh họa hay kiểm chứng những gì mà khái niệm hay định lý đã nêu

Trong luận văn này, chúng tôi tiến hành sử dụng phần mềm hình học động để hình thành nên khái niệm đồng biến thiên cho HS Và HS sẽ trực tiếp thao tác với phần mềm để giải quyết các bài toán toán học và thực tế, qua đó khám phá và lĩnh hội tri thức mới Chúng tôi

dựa vào giả thuyết sau:

“Môi trường hình học động có khả năng thực hiện giai đoạn đầu tiên của quá trình mô hình hóa b ằng việc xây dựng một mô hình trung gian của tình huống đồng biến thiên của các đại lượng.” [Annie Bessot & Nguyễn Thị Nga, 2011]

Chúng tôi chọn phần mềm Cabri II Plus để thực hiện nghiên cứu vì nó có các

đặc tính sau đây:

“Cabri II Plus là m ột trong những phần mềm hiện đại nhất trong việc dạy và học toán Ngoài vi ệc sở hữu một giao diện thân thiện, dễ sử dụng, Cabri II Plus còn cho phép HS có thể khám phá được những tính chất tổng quát của một loạt các hình được dựng Trong môi trường Cabri, HS có thể tạo ra hình vẽ và đồ thị trực quan hơn các hình vẽ theo cách thông thường qua môi trường truyền thống - môi trường giấy bút - cho nên sẽ có nhiều tính chất mới được khám phá từ đấy

Cabri có ch ức năng tạo vết (công cụ “Vết”) của một đối tượng khi nó chuyển

động Với chức năng này, Cabri hỗ trợ cho việc tạo ra hình ảnh liên tục của đối tượng khi

di chuy ển

Cái nổi bật hơn hẳn so với các phần mềm khác đó là hầu như tất cả các đối

tượng toán học đều đã được mô phỏng trên máy tính một cách "động" theo nghĩa người

dù ng có thể can thiệp, tương tác trực tiếp với các đối tượng toán học trên màn hình

Cabri hỗ trợ cho GV trong việc giải quyết những bài toán liên quan đến thực tế đời sống

mà trong môi trường giấy bút GV rất khó để HS hiểu được vấn đề Như vậy, có thể nói phần mềm Cabri II Plus luôn gắn liền với quá trình mô hình hóa và đóng một vai trò quan trọng không thể thiếu.” [Nguyễn Chí Thành, 2008]

Đặc biệt, nhờ tính chất di chuyển điểm mà phần mềm Cabri hỗ trợ rất tốt cho việc hình thành khái niệm đồng biến thiên – tiền đề của khái niệm hàm số

Việc sử dụng môi trường hình học động Cabri mang lại nhiều lợi ích:

“Trong môi trường hình học động Cabri, sự mô hình hóa các đại lượng biến thiên được thực hiện bởi việc tạo ra các điểm chuyển động Một điểm di động có thể mô hình hóa các đại lượng biến thiên khác nhau (khoảng cách, diện tích, thời gian) Vì thế, việc thiết lập mô hình trung gian nhờ vào hình học động cho phép cụ thể hóa các đại lượng biến thiên bằng

10

việc chuyển giao cho HS trách nhiệm lựa chọn các đại lượng thích đáng trong tình huống được nghiên cứu Chúng ta có thể đưa vào khái niệm điểm điều khiển một điểm khác – tiền

đề của các khái niệm biến độc lập và biến phụ thuộc…” [Annie Bessot

& Nguyễn Thị Nga, 2011]

Với những ghi nhận trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Dạy học khái niệm

hàm số với phần mềm Cabri II Plus: Nghiên cứu sự đồng biến thiên như giai đoạn đầu tiên của việc xây dựng khái niệm hàm số.”

2 Câu hỏi nghiên cứu

Chúng tôi đặt ra những câu hỏi ban đầu để định hướng cho nghiên cứu như sau:

Q1: Sự đồng biến thiên của hai đại lượng hiện diện và tiến triển như thế nào trong lịch sử hình thành và phát triển khái niệm hàm số?

Q2: Sự đồng biến thiên của hai đại lượng được đề cập như thế nào trong SGK

Việt Nam? Có những tổ chức toán học nào trong đó sự đồng biến thiên của hai đại lượng được nhấn mạnh? Có sự khác biệt nào so với SGK Mỹ?

Q3: Liệu có thể xây dựng tiểu đồ án didactic cho HS tiếp cận với khái niệm hàm số,

trong đó sự đồng biến thiên của hai đại lượng là bước đầu tiên của quá trình này?

3 Phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu

3.1 Nghiên c ứu khoa học luận

Chúng tôi thực hiện nghiên cứu này nhằm trả lời cho câu hỏi Q1

Như chúng ta biết, nghiên cứu khoa học luận về khái niệm hàm số đã có trong các công trình khác Ở đây, chúng tôi tiến hành tóm tắt và đặc biệt bổ sung sự hiện diện của sự đồng biến thiên của hai đại lượng trong khái niệm hàm số

3.2 Nghiên c ứu thể chế

Chúng tôi thực hiện nghiên cứu này nhằm trả lời câu hỏi Q2

Để nghiên cứu thể chế chúng tôi dựa vào lý thuyết nhân chủng học Lý thuyết này nghiên

cứu và chỉ ra tầm quan trọng của mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức, đưa vào khái

niệm tổ chức toán học để làm rõ đặc trưng của mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức đã

chọn

Phân tích các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm hàm số và các tổ chức toán học liên quan giúp chúng tôi làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức này và lý do của các

lựa chọn của thể chế

Như vậy chúng tôi tiến hành phân tích SGK Việt Nam và Mỹ, từ đó nghiên cứu so sánh 2

thể chế để thấy rõ đặc trưng của mỗi thể chế Cụ thể, chúng tôi xem xét sự đồng biến thiên

của 2 đại lượng xuất hiện như thế nào trong khái niệm hàm số và những bài tập liên quan trong mỗi thể chế

3.3 Đồ án dạy học

Dựa vào khái niệm đồ án dạy học, chúng tôi sẽ xây dựng các tình huống hình thành nên khái niệm hàm số trong đó sự đồng biến thiên là giai đoạn đầu của quá trình này Đồ án đó chúng tôi tiến hành xây dựng trong môi trường hình học động Cabri – môi trường tích hợp nhiều yếu tố hình thành nên sự đồng biến thiên của hai

đại lượng

Mặt khác, những tình huống mà chúng tôi đưa ra đều là những tình huống mô hình hóa –

tức là những bài toán đều xuất phát từ thực tế cuộc sống Điều này nhằm kích thích nhu cầu

giải quyết bài toán và khám phá tri thức mới của HS

4 Cấu trúc của luận văn

Luận văn bao gồm phần mở đầu, phần kết luận và các chương sau:

Chương 1: Sự đồng biến thiên của hai đại lượng trong lịch sử hình thành và phát triển khái

ni ệm hàm số

1.1 Sự hình thành và phát triển khái niệm hàm số

1.2 Sự đồng biến thiên của hai đại lượng – quan niệm động của khái niệm hàm

12

2.1.4 Lớp 10

2.1.5 Kết luận

2.2 Ở Mỹ

2.3 So sánh cách đưa vào khái niệm hàm số ở Việt Nam và Mỹ

Chương 3: Thực nghiệm (Tiểu đồ án dạy học)

3.1 Các lựa chọn của đồ án

3.2 Nội dung thực nghiệm

3.3 Phân tích tiên nghiệm

3.4 Phân tích hậu nghiệm

3.5 Kết luận

CHƯƠNG 1: SỰ ĐỒNG BIẾN THIÊN CỦA HAI ĐẠI LƯỢNG TRONG L ỊCH SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM

HÀM SỐ

M ục tiêu của chương này là tìm các câu trả lời cho câu hỏi Q1 sau: Sự đồng biến thiên

của hai đại lượng hiện diện và tiến triển như thế nào trong lịch sử hình thành khái niệm hàm

số?

Để đạt được mục tiêu ở trên, chúng tôi sẽ tiến hành tóm tắt lại phần lịch sử hình thành khái niệm hàm số thông qua một số công trình nghiên cứu đã có, rồi từ đó chúng tôi sẽ đi sâu vào phân tích phần trọng tâm mà luận văn đang hướng đến

1.1 Sự hình thành và phát triển khái niệm hàm số

Trong lịch sử, thuật ngữ “hàm số” ra đời từ việc nghiên cứu các bài toán liên quan đến đo đạc, vận tốc, thời gian,…Lý thuyết hàm số thực sự được hình thành và phát triển trong khoảng 4 thế kỉ, trong đó mầm móng của lý thuyết hàm số đã có từ những năm 2000 trước công nguyên với những bài toán vật lý Chúng tôi sẽ tổng kết lại những giai đoạn chủ yếu

của sự hình thành và phát triển lý thuyết hàm số thông qua công trình nghiên cứu của Nguyễn Thị Nga (2003) về “Dạy học hàm số ở trường phổ thông”

B ảng 1.1 Tóm tắt sự hình thành và phát triển khái niệm hàm số qua các thời kì

học Babylon và Hy Lạp đã hình thành nên các bảng số mà bản thân

nó đã ẩn chứa những quan niệm về hàm số: bảng bình phương của các số tự nhiên, bảng căn bậc hai, bảng lập phương hay bảng căn bậc

ba trong hệ thập lục phân, bảng liên hệ giữa dây và cung của đường tròn (tiền thân của bảng sin ngày nay) Tuy nhiên thuật ngữ hàm số chưa một lần xuất hiện trong thời kì này

14

khái niệm hàm số thế nhưng thuật ngữ hàm số vẫn chưa xuất hiện

Một trong số đó là Oresme Trong lý thuyết của ông, một số ý tưởng chung về khái niệm biến độc lập và phụ thuộc dường như có mặt

“Ông đã biểu diễn cường độ của chất điểm chuyển động (vận

t ốc) theo thời gian bằng một hình hình học mà ta có thể mô tả như sau:

Sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên chính thức

được xuất hiện: “Bằng cách lấy lần lượt và vô hạn các đại lượng

khác nhau đối với đường y (line y) ta cũng có vô hạn các đại lượng khác nhau đối với đường x, và như vậy ta có vô hạn các điểm khác nhau, như là điểm được đánh dấu C, nhờ vào đó ta mô tả được đường cong mong muốn.” [René Descartes (1596-1650)]

Th ế kỉ 18

Đây là giai đoạn mà hàm số xuất hiện dưới dạng biểu thức giải tích và lần đầu tiên xuất hiện ngầm ẩn trong định nghĩa của J.Bernoulli công bố năm 1718: “Ta gọi hàm số của một đại lượng

bi ến, một đại lượng tạo thành một cách nào đó từ đại lượng biến này và t ừ các hằng số”

Khái niệm hàm số được hoàn thiện dần thông qua các công trình nghiên cứu khác như D’Alembert, Condorcer (1743-1794),

Lagrange (1736-1813)

V ận tốc

Th ời gian

… …

Mãi đến cuối thế kỉ 18 thì sự đồng biến thiên của hai đại lượng

mới được nhấn mạnh và nó xuất hiện tường minh trong định nghĩa

của Euler (1755) khi đề cập đến hàm nhiều biến: “Khi một đại lượng

ph ụ thuộc vào các đại lượng khác sao cho sự thay đổi của các đại lượng thứ hai kéo theo sự thay đổi của đại lượng thứ nhất thì đại lượng thứ nhất gọi là hàm số của các đại lượng thứ hai”

N ửa đầu

th ế kỉ 19

Đến đầu thế kỉ 19, các nhà toán học bắt đầu định nghĩa lại khái

niệm hàm số bằng sự tương ứng giữa hai đại lượng biến thiên Tư

tưởng đó xuất hiện lần đầu tiên trong định nghĩa của Dirichlet

(1805-1859): “y là hàm s ố của x nếu với mỗi giá trị của x thì tương ứng với một giá trị hoàn toàn xác định của y còn sự tương ứng đó được thiết lập bằng cách nào thì điều này hoàn toàn không quan

tr ọng”

Tuy nhiên, sự biến thiên của hai đại lượng vẫn xuất hiện ngầm

ẩn trong các mô tả khác Cụ thể, theo Lobachevsky (1792-1856):

“…hàm s ố của x là một số được cho với mỗi x và biến thiên dần dần cùng v ới x Giá trị của hàm số có thể được cho bằng một biểu thức

gi ải tích, hoặc bằng một điều kiện làm phương tiện để thử tất cả các

s ố và chọn một trong chúng, hoặc cuối cùng, sự phụ thuộc có thể tồn

t ại nhưng còn chưa được biết.”

Cu ối thế

k ỉ 19 – thế

k ỉ 20

Định nghĩa hàm số ở thời kì này cũng tương tự như nửa đầu thế

kỉ 19, tuy nhiên có một sự khác biệt rõ ràng đó là sự ra đời của Lý thuyết tập hợp của Cantor (1845-1918) Các nhà toán học đã bổ sung

và hoàn thiện dần định nghĩa khái niệm hàm số Đồng thời mở rộng thêm tập xác định của hàm số:

“T ập xác định của hàm số được mở rộng từ một tập hợp con của R

Quan niệm về hàm số bước đầu được hình thành và phát triển thông qua các bảng số

Những đặc tính đầu tiên về sự đồng biến thiên của hai đại lượng dần dần được thể hiện thông qua sự phụ thuộc lẫn nhau của hai đại lượng lấy giá trị trong các tập hợp hữu hạn và

rời rạc Dựa vào các bảng số, có thể nhận ra được sự thay đổi của một phần tử trong tập hợp

số dẫn đến sự thay đổi của những phần tử trong tập hợp khác, đó là những hình ảnh về sự đồng biến thiên của hai đại lượng Tuy nhiên tất cả những điều đó đều xuất hiện ngầm ẩn,

chứ không được trình bày một cách tường minh

1.2.1.2 Thời trung đại

Các nhà toán học quan tâm đến sự phụ thuộc giữa hai đại lượng không những trên các

bảng số mà còn thể hiện ở các hình hình học Có thể nói, hình hình học đã mô tả được chiều

biến thiên hay nói một cách khác chúng thể hiện rõ nét về sự đồng biến thiên của hai đại lượng: khi đại lượng này thay đổi (tăng hoặc giảm) sẽ dẫn đến sự thay đổi của đại lượng khác

1.2.1.3 Thế kỉ 16 - 17

Nếu như ở thời cổ đại và trung đại, sự đồng biến thiên của hai đại lượng đều xuất hiện

ngầm ẩn thông qua các bảng số và các hình hình học thì ở thời kì này nó được chính thức

xuất hiện dưới dạng sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên Hình ảnh về biến độc lập và biến phụ thuộc được xuất hiện lần đầu tiên với các

“đường x”, “đường y” trong nhận xét của Descartes

Như vậy, ở thời kì này sự đồng biến thiên giữa hai đại lượng cũng như từ “hàm số” chính

thức được xuất hiện Hơn thế nữa khi mà đặc trưng biến thiên của hàm số càng được nhấn

mạnh thì sự đồng biến thiên giữa hai đại lượng ngày càng thể hiện rõ nét

1.2.1.4 Thế kỉ 18

Nhiều nhà toán học thời kì này đã đồng nhất hàm số với một biểu thức giải tích Với cách định nghĩa như vậy thì sự đồng biến thiên của hai đại lượng hoàn toàn vắng bóng, tức là tính

động của khái niệm hàm số bị che mờ Tuy nhiên, vào cuối thời kì, Euler đã đưa ra khái

niệm thể hiện tính động của hàm số, thể hiện rất rõ sự thay đổi giữa các đại lượng

1.2.1.5 Nửa đầu thế kỉ 19

Khái niệm hàm số được định nghĩa bằng sự tương ứng giữa hai đại lượng biến thiên trong

đó sự đồng biến thiên của hai đại lượng không được nhấn mạnh

1.2.1.6 Cuối thế kỉ 19 và thế kỉ 20

Định nghĩa khái niệm hàm số từ đầu thế kỉ 19 đến nay hoàn toàn dựa trên sự tương ứng

Sự đồng biến thiên của hai đại lượng chỉ hiện diện ngầm ẩn

Qua sự phát triển khái niệm hàm số, chúng tôi nhận thấy rằng hàm số thực của một biến

số thực có thể biểu đạt bằng các ngôn ngữ có liên quan đến sự đồng biến thiên thuận lợi hơn hàm thực nhiều biến, hàm phức, hàm đa trị và phân phối Vì vậy mà chúng tôi giới hạn nghiên cứu của mình ở hàm số thực một biến số thực để thấy rõ được sự đồng biến thiên của hai đại lượng xuất hiện trong định nghĩa này

1.2.2 Quan niệm động và quan niệm tĩnh của khái niệm hàm số

Xem xét lịch sử xuất hiện khái niệm hàm số, chúng ta thấy rằng có hai quan niệm

cơ bản gắn với khái niệm hàm số tiếp nối nhau trong lịch sử:

- Quan niệm tĩnh:

Quan niệm này nhấn mạnh trên sự tương ứng: một hàm số liên kết một số duy nhất với

một số cho trước Hankel (1870) định nghĩa hàm số như sau:

“Ta nói y là hàm s ố của x nếu với mỗi giá trị của x thuộc một khoảng nào đó tương ứng

m ột giá trị xác định của y mà không vì thế mà đòi hỏi y xác định với mọi khoảng bởi cùng

m ột quy luật theo x, cũng không cần thiết y được xác định bởi một biểu thức toán học tường minh c ủa x Tôi sẽ gọi định nghĩa này theo tên Dirichlet vì định nghĩa này, định nghĩa đã

lo ại bỏ tất cả những quan niệm cũ hơn, là cơ bản trong những công trình nghiên cứu trên chu ỗi Fourier” [Hankel (1870), tr.49]

B ảng 1.2 Bảng tóm tắt sự xuất hiện tính đồng biến thiên của hai đại lượng trong các hệ

s ố: Trong cách biểu diễn

này, hàm số thường được

cho bởi một biểu thức

dạng y = f(x)

+ Hỗ trợ nhiều cho quá trình tính toán trong

chương trình dạy học toán hiện nay

+ Biểu đạt cô đọng và chính xác mối tương quan hàm

Với hệ thống biểu đạt này, nghĩa thực chất của khái

niệm hàm số và khái niệm

biến hoàn toàn bị lu mờ đi

Như vậy khái niệm hàm số

mất đi tính động của nó, có nghĩa là sự đồng biến thiên

của hai đại lượng hình thành nên khái niệm hàm

số hoàn toàn xuất hiện

+ Tìm được giá trị (đúng hay gần đúng) của hàm

tại một điểm

+ Tìm nghiệm gần đúng

của một phương trình,

bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất

Dựa vào hệ thống biểu đạt này người ta có thể quan sát tính động của khái niệm hàm số, nghĩa là khi trực

tiếp nhìn vào đồ thị người

ta có thể nhận thấy được sự thay đổi của biến và giá trị tương ứng, tức là nhận thấy được sự đồng biến thiên

của hai đại lượng

phương trình

+ Chứng minh dựa trên

đồ thị

H ệ thống biểu đạt số:

mỗi trị của đối số được

xếp tương ứng với trị của

hàm trong một bảng số

+ Là một công cụ tiện lợi

để ghi lại kết quả các nghiên cứu thực nghiệm,

hiện tượng biến thiên

đó đều xuất hiện ngầm ẩn,

chứ không được trình bày

một cách tường minh

H ệ thống biểu đạt bằng

l ời: Ở đây hàm số được

mô tả thông qua các đặc

trưng của nó

Chỉ rõ đặc trưng của giá

trị hàm số

Với hệ thống biểu đạt này,

sự đồng biến thiên của hai đại lượng xuất hiện ngầm

ẩn và khá mờ nhạt

K ết luận

Qua việc tổng hợp cách công trình nghiên cứu trước đó về khái niệm hàm số và

hệ thống biểu đạt của hàm số, chúng tôi nhận thấy rằng:

- Sự đồng biến thiên của hai đại lượng cũng như quan niệm về hàm số xuất hiện

từ những năm 2000 trước Công nguyên Tuy nhiên, mãi đến thế kỉ 18 mới chính thức xuất

hiện trong một công trình của Euler khi đề cập đến hàm nhiều biến Như vậy trong thời kì này, các nhà toán học đã tiếp cận với khái niệm hàm số trên quan niệm động Từ thế kỉ 19 cho đến nay, khái niệm hàm số được định nghĩa dựa trên lý thuyết tập hợp và gắn liền với quan niệm tĩnh Do đó sự đồng biến thiên của hai đại lượng xuất hiện ngầm ẩn

20

- Với hai hệ thống biểu đạt bằng bảng và bằng đồ thị thì sự đồng biến thiên xuất

hiện khá rõ nét

Với những phân tích trên, chúng tôi thắc mắc rằng: “Liệu là chương trình dạy

học hàm số hiện nay có theo đúng tiến trình trong lịch sử không? Và sự đồng biến thiên của hai đại lượng có được nhấn mạnh hay không? Thông qua những tình huống hay những kiểu nhiệm vụ nào? Để trả lời những câu hỏi trên, chúng tôi sẽ đi sâu nghiên cứu chương trình và SGK toán phổ thông – đó chính là nội dung của chương 2

CHƯƠNG 2: KHÁI NIỆM HÀM SỐ VÀ SỰ ĐỒNG BIẾN THIÊN

C ỦA HAI ĐẠI LƯỢNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SGK PHỔ

THÔNG

M ục tiêu của chương này là tìm các câu trả lời cho câu hỏi Q2: Sự đồng biến thiên của

hai đại lượng được đề cập như thế nào trong SGK Việt Nam? Có những tổ chức toán học nào nhấn mạnh sự đồng biến thiên của hai đại lượng? Có sự khác biệt nào so với SGK Mỹ?

Để đạt được mục tiêu trên, chúng tôi tiến hành phân tích SGK hiện hành từ lớp 1 cho đến

lớp 10, chủ yếu là ở các lớp 7, 9, 10 Các kết quả nghiên cứu ở chương 1 sẽ là cơ sở cho phân tích chương này

2.1 Ở Việt Nam

2.1.1 Giai đoạn trước năm lớp 7

Trong lịch sử, trước khi xuất hiện khái niệm hàm số thì quan niệm về nó cũng như sự đồng biến thiên của hai đại lượng đã có mặt từ rất lâu trong nhiều lĩnh vực khác nhau… Vậy trong chương trình giảng dạy hiện nay thì tiến trình đưa vào khái niệm hàm số như thế nào?

Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi tiến hành phân tích các SGK toán trước năm lớp 7 Ngay từ chương trình toán lớp 2, quan niệm về hàm số xuất hiện ngầm ẩn dưới dạng bảng cửu chương:

22

Sang chương trình lớp 4, SGK có đưa ra công thức tính diện tích và chu vi hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi và hình bình hành cũng như các hoạt động điền giá trị vào bảng số

nhằm củng cố sự phụ thuộc và sự đồng biến thiên của hai đại lượng

“Vi ết giá trị của biểu thức vào ô trống:

[SGK4, tr.70]

Như vậy quan niệm về hàm số xuất hiện trong các SGK toán tiểu học cũng giống như trong lịch sử: đều xuất phát từ các bảng số, thông qua đó để thấy được sự thay đổi của các đại lượng

Đến chương trình lớp 5, quan niệm về hàm số được thể hiện ngày càng rõ nét thông qua

bài “Ôn t ập và bổ sung về giải toán”:

“Ví d ụ: Một người đi bộ trung bình mỗi giờ đi được 4 km Bảng dưới đây cho biết quãng đường đi được của người đi bộ trong 1 giờ, 2 giờ, 3 giờ:

Có thể nói cách tiếp cận của SGK giống với những gì mà lịch sử đã trải qua

m x 78

Th ời gian đi 1 gi ờ 2 gi ờ 3 gi ờ Quãng đường đi được 4 km 8 km 12 km

2.1.2 Lớp 7

2.1.2.1 Phần lý thuyết

Khái niệm hàm số chính thức được đưa vào chương trình Toán 7 khi mà HS được trang

bị những quan niệm về hàm số ở lớp dưới SGK Toán 7 dành một chương để nói đến khái

niệm hàm số và những vấn đề liên quan: Chương II - “Hàm số và đồ thị”, bao gồm các nội

dung sau:

§1 Đại lượng tỉ lệ thuận

§2 M ột số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận

Chúng tôi nhận thấy rằng, trước khi dạy bài Hàm số SGK đã dành 7 tiết để dạy về hai đại

lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch Nội dung của nó nói lên mối tương quan giữa hai đại lượng: nếu đại lượng này thay đổi thì đại lượng kia cũng thay đổi theo – đó chính là sự đồng

biến thiên của hai đại lượng Đây là một đặc trưng quan trọng của khái niệm hàm số

Quan sát mục tiêu của chương:

“Hi ểu được công thức đặc trưng của hai đại lượng tỉ lệ thuận, của hai đại lượng tỉ lệ ngh ịch

Bi ết vận dụng các công thức và tính chất để giải được các bài toán cơ bản về hai

đại lượng tỉ lệ thuận, hai đại lượng tỉ lệ nghịch

Có hi ểu biết ban đầu về khái niệm hàm số và đồ thị của hàm số

Bi ết vẽ hệ trục tọa độ, xác định tọa độ của một điểm cho trước và xác định một điểm theo

t ọa độ của nó

Bi ết vẽ đồ thị của hàm số y = ax

Bi ết tìm trên đồ thị giá trị của biến số và hàm số” [SGV7, tr.56]

Chúng tôi nhận thấy rằng mục tiêu hiểu được bản chất của khái niệm hàm số không phải

là chính Vậy mục tiêu chính là gì? Phải chăng đó chính là các kỹ năng tính toán đến những

vấn đề liên quan đến khái niệm hàm số? Để trả lời những câu hỏi này chúng tôi tiến hành phân tích SGK và SBT Toán 7

• Trước khi xuất hiện định nghĩa khái niệm hàm số

24

Từ §1 đến §4, SGK đã tổng kết lại mối tương quan tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch mà trước đây ở

bậc tiểu học đã từng đề cập đến Tuy nhiên ở bài này SGK chỉ đưa ra công thức biểu diễn

mối liên hệ giữa hai đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch mà không thể hiện bằng lời như SGK

Với cách trình bày này thì sự đồng biến thiên của hai đại lượng không được thể hiện rõ

mà bị che mờ đi bởi những lựa chọn trên Điều này cũng thật dễ hiểu bởi mục tiêu của

chương là “Biết vận dụng các công thức và tính chất để giải được các bài toán cơ bản về

hai đại lượng tỉ lệ thuận, hai đại lượng tỉ lệ nghịch.”

SGK cũng đã nhắc lại những ví dụ về đại lượng tỉ lệ thuận mà trước đây HS đã từng làm quen: Quãng đường đi được tỉ lệ thuận với thời gian của một vật chuyển động đều, khối lượng và thể tích của thanh kim loại đồng chất…

Với cách tiếp cận này thì sự phụ thuộc giữa hai đại lượng, hay sự đồng biến thiên của hai đại lượng không được đề cập tường mình

• V ề định nghĩa khái niệm hàm số

SGK đưa ra định nghĩa khái niệm hàm số bằng con đường quy nạp: xuất phát từ những ví

dụ cụ thể và rút ra những thuộc tính bản chất của khái niệm, sau đó định nghĩa và củng cố khái niệm

Mở đầu bài “Hàm số”, SGK nêu ra ví dụ và hoạt động tương ứng Những ví dụ này đã được HS làm quen trước đó, cho nên khi vào các hoạt động này HS sẽ dễ dàng thực hiện hơn SGK đã cho các bảng số hoặc cho công thức và yêu cầu lập các bảng số nhằm diễn tả

sự tương ứng và phụ thuộc giữa hai đại lượng (t và T, m và V, t và v): với mỗi giá trị của đại lượng này thì ta có được giá trị tương ứng là duy nhất

“Nh ận xét: Trong ví dụ 1, ta thấy:

Nhi ệt độ T ( o

C) ph ụ thuộc vào sự thay đổi của thời gian t (giờ)

V ới mỗi giá trị của t ta luôn xác định một và chỉ một giá trị tương ứng của T Ta nói T là hàm s ố của t…” [SGK7, tr.63]

Với nhận xét đầu tiên, SGK ngầm ẩn với HS rằng nếu đại lượng này thay đổi thì đại lượng kia cũng thay đổi theo Vì vậy sự đồng biến thiên của hai đại lượng cũng xuất hiện

ngầm ẩn Tuy nhiên, SGV có nêu một gợi ý thể hiện sự đồng biến thiên của hai đại lượng:

“Thông qua các ví d ụ, GV giải thích thêm cho HS hiểu được rằng có hai loại đại lượng

bi ến thiên (thay đổi); trong đó một đại lượng thay đổi phụ thuộc vào sự thay đổi của đại lượng kia Khi đó, nếu thêm điều kiện “giá trị tương ứng duy nhất” của hai đại lượng phụ thu ộc thì đại lượng đó là hàm số của đại lượng kia.” [SGV7, tr.70]

Như vậy, bản chất của khái niệm hàm số là sự tương ứng giữa hai phần tử của 2 tập hợp

thỏa mãn một số điều kiện nào đó Trong đó sự đồng biến thiên của hai đại lượng được xem

là điều kiện đầu tiên của khái niệm này Vậy vấn đề đặt ra là trong định nghĩa khái niệm hàm số có thể hiện được điều này hay không? Và tầm quan trọng của sự đồng biến thiên của hai đại lượng trong khái niệm hàm số được SGK trình bày như thế nào? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta quan sát tiếp định nghĩa khái

niệm hàm số:

“N ếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi

là bi ến số” [SGK7, tr.63]

Cách diễn đạt này tương tự như cách diễn đạt của Dirichlet đã đưa ra năm 1837

Hàm số được trình bày theo quan điểm: coi hàm số là khái niệm toán học mô tả sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên Khái niệm này đã thể hiện rõ hai ý mà SGV

nhấn mạnh trong các ví dụ Vì thế mà sự đồng biến thiên của hai đại lượng được đề cập tường mình

2.1.2.2 Phần bài tập

Có thể nói, thời điểm này sự đồng biến thiên của hai đại lượng xuất hiện ngầm ẩn với các bài tập thông qua bảng số, với các bài toán gắn liền với thực tiễn, vật lý Các dạng toán điển hình:

Bài 2: Cho bi ết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:

[SGK7, tr.54]

Bài 5: Hai đại lượng x và y có tỉ lệ thuận với nhau hay không, nếu:

x -3 -1 1 2 3

a) Cho bi ết đội A dùng x máy cày (có cùng năng suất) để cày xong một cánh

đồng hết y giờ Hai đại lượng x và y có tỉ lệ nghịch với nhau không?

b) Cho bi ết x là số trang đã đọc xong và y là số trang còn lại chưa đọc của một

quy ển sách Hỏi x và y có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không?

c) Cho bi ết a(m) là chu vi của bánh xe, b là số vòng quay được của bánh xe

trên đoạn đường xe lăn từ A đến B Hỏi a và b có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không?

L ời giải minh họa

“Bài 13 T ừ cột thứ sáu ta tính được hệ số a:

Những dạng bài tập được đề cập đều nhắm đến việc kiểm tra xem hai đại lượng cho trước

có tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch với nhau không Quan sát lời giải của các bài toán trên, chúng tôi nhận thấy SGK đều sử dụng đến công thức của hai đại lượng tỉ lệ thuận y = kx và hai đại lượng tỉ lệ nghịch y a(x 0)

x

= ≠ Điều này hoàn toàn phù hợp với nội dung lý thuyết mà SGK đưa ra Vì vậy mà việc các bài toán được thể hiện bằng lời hay bằng các bảng số đều cho

thấy sự xuất hiện ngầm ẩn của sự đồng biến thiên của hai đại lượng

Từ bài Hàm số trở đi, chúng tôi nhận thấy có tồn tại 7 kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái

niệm hàm số:

- Tính giá trị của hàm số tại một điểm cho trước thuộc tập xác định (Ttinh)

- Nhận dạng hàm số (Tnhan dang)

- Xác định điểm thuộc đồ thị hàm số (Tlien thuoc)

- Xác định biểu thức giải tích của hàm số (Txdbths)

- Xác định GTLN – GTNN của hàm số (Tdoc)

- Tìm x để y dương hoặc âm (Tbpt)

- Vẽ đồ thị hàm số (Tve)

τ Dựa vào biểu thức giải tích

Với mỗi giá trị của x, thay vào biểu thức

giải tích tính được giá trị y tương ứng (và ngược

lại)

.2 :

tinh

τ Dựa vào đồ thị hàm số

Với mỗi giá trị x trên trục Ox dựng đường

thẳng song song trục Oy, cắt đồ thị tại một điểm

Qua điểm đó, dựng đường thẳng song song

f x

x

=

Bài 46: [SGK7, tr.73] Đồ thị trong hình 28 được sử dụng

để đổi đơn vị độ dài từ in-sơ sang xentimét Xem đồ thị hãy cho biết 2in (in-sơ), 3in (in-sơ), bằng khoảng bao nhiêu xentimét?

τ Kiểm tra xem với mỗi giá trị của x

có tương ứng với duy nhất giá trị của y không

Bài 24: [SGK7, tr.63] Các giá trị tương ứng của hai đại lượng x và y được cho trong bảng sau:

τ Chọn biến đại diện (nếu cần)

Tìm các công thức biểu diễn mối liên hệ giữa

biến và các đại lượng khác

Bài 45: [SGK7, tr.73] Hai cạnh của hình chữ nhật có độ dài là 3m và x(m) Hãy viết công thức biểu diễn diện tích y(m2) theo x

Tve

.1:

ve

τ Vẽ đồ thị hàm số y = ax

Tìm điểm thuộc vào đồ thị và khác điểm gốc O

Nối điểm đó với O ta được đồ thị cần vẽ

.2:

ve

τ Vẽ đồ thị hàm số cho bằng bảng

Dựa vào bảng giá trị xác định các cặp số (x;y)

Xác định các điểm có tọa độ là các cặp số trên

Tóm l ại

Qua phân tích thể chế với đối tượng hàm số ở SGK Toán 7 tập một, chúng tôi thu được các kết quả sau:

- SGK đã tiếp cận với các khái niệm hai đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch trước

khi đưa ra định nghĩa chính thức về khái niệm này Đây là hình ảnh khá rõ nét về sự đồng

biến thiên của hai đại lượng Tuy nhiên theo cách trình bày của SGK thì sự đồng biến thiên

của hai đại lượng hoàn toàn bị che mờ đi thay vào đó là những công thức tương ứng

- SGK đã đưa ra định nghĩa tường minh về khái niệm hàm số với 2 nội dung

chính trong đó sự đồng biến thiên của hai đại lượng là được xem là yếu tố cơ bản đầu tiên

để hình thành nên định nghĩa này Theo đó thì sự đồng biến thiên của hai đại lượng được đề

cập tường minh

V ề phần bài tập: Sự đồng biến thiên của hai đại lượng xuất hiện ngầm ẩn trong các dạng

bài tập về hai đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch và các vấn đề về hàm số Mặc dù định nghĩa

về khái niệm hàm số đã đề cập tường minh sự đồng biến thiên của hai đại lượng, tuy nhiên các bài tập lại không nhấn mạnh điều này Cụ thể, với kiểu nhiệm vụ Tnhandang thể hiện rõ

bản chất của khái niệm hàm số thì SGK lại chỉ đi sâu vào việc giải thích sự tương ứng duy

nhất của hai phần tử Số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này lại rất ít Và phần lớn các bài tập đều xoay quanh hai kiểu nhiệm vụ Ttinh và Tve HS chủ yếu được rèn luyện các kỹ năng tính toán và vẽ đồ thị hàm số

2.1.3 Lớp 9

2.1.3.1 Phần lý thuyết

SGK Toán 9 dành hai chương để nói đến vấn đề hàm số: Chương II - “Hàm số bậc nhất”

và Chương IV- “Hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥2(𝑎 ≠ 0) – Phương trình bậc hai một ẩn”

Để mở đầu chương II, SGK nhắc lại khái niệm hàm số, đồ thị hàm số và cho các ví dụ minh họa:“Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x

ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x

g ọi là biến số” [SGK9-1, tr.42]

Cái đổi khác trong định nghĩa chính là sự xuất hiện tường minh thuật ngữ “biến số” Đặc

biệt hơn là SGK chính thức đưa ra định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số theo con đường quy nạp:

“Tính giá tr ị y tương ứng của các hàm số y = 2x+1 và y = -2x + 1 theo giá trị đã cho của

bi ến x rồi điền vào bảng sau:

[SGK9-1, tr.43]

Sau khi đưa ra hoạt động này, SGK có đưa ra phần nhận xét:

“a) Xét hàm s ố y = 2x +1

D ễ thấy 2x+1 xác định với mọi x thuộc R

Qua b ảng trên ta thấy: Khi cho x các giá trị tùy ý tăng lên thì các giá trị tương ứng của y

= 2x+1 cũng tăng lên Ta nói rằng hàm số y = 2x+1 đồng biến trên R.”

[SGK9-1, tr.44]

Đây là sự khái quát tính chất về tương quan tỉ lệ thuận mà HS đã được học ở lớp dưới

Nó ngầm ẩn đặc trưng phụ thuộc của hàm số, đồng thời cho thấy sự biến đổi, biến động giữa hai đại lượng (hay sự đồng biến thiên giữa hai đại lượng) trong quan hệ hàm số

Từ ví dụ cụ thể này, SGK đã khái quát lên thành khái niệm hàm số đồng biến, nghịch

biến: “Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R

a) N ếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) cũng tăng lên thì

hàm s ố y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên R (gọi tắt là hàm số đồng biến)

b) N ếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) lại giảm đi thì hàm

s ố y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên R (gọi tắt là hàm số nghịch biến).”

[SGK9-1, tr.44]

Chú ý rằng SGK Toán 9 chỉ xem xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số trên 

Có thể nói, thời điểm này, sự đồng biến thiên của hai đại lượng trong khái niệm hàm số được đề cập một cách tường minh Tuy nhiên khi được phát biểu dưới dạng công thức thì sự đồng biến thiên lại hoàn toàn bị che mờ đi

“Nói cách khác, v ới x 1 , x 2 b ất kì thuộc R:

N ếu x 1 < x 2 mà f(x 1 )<f(x 2 ) thì hàm s ố y = f(x) đồng biến trên R;

N ếu x 1 < x 2 mà f(x 1 )>f(x 2 ) thì hàm s ố y = f(x) nghịch biến trên R.”

[SGK9-1, tr.44]

Khi đi sâu nghiên cứu các hàm số cụ thể thì SGK tập 2 đã đưa vào sự đồng biến nghịch

biến của hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥2(𝑎 ≠ 0) bằng con đường quy nạp

- Khi x tăng nhưng luôn luôn âm thì giá trị tương ứng của y tăng hay giảm

- Khi x tăng nhưng luôn luôn dương thì giá trị tương ứng của y tăng hay giảm.”

Hoạt động này thể hiện rõ sự đồng biến thiên của hai đại lượng Tuy nhiên khi đưa ra tính

chất đồng biến, nghịch biến của hàm số thì sự đồng biến thiên của hai đại lượng không được

đề cập tường minh

“N ếu a>0 thì hàm số nghịch biến khi x<0 và đồng biến khi x>0

N ếu a<0 thì hàm số đồng biến khi x<0 và nghịch biến khi x>0” [SGK9-2, tr.29]

Khi đưa sự đồng biến, nghịch biến vào công thức thì HS sẽ rất dễ dàng hiểu một cách máy móc Các hàm số chủ yếu được trình bày nhằm giúp HS nắm được cách vẽ đồ thị của chúng và tạo cơ sở để giới thiệu các khái niệm phương trình, hệ phương trình theo quan điểm hàm số

2.1.3.2 Phần bài tập

Trong SGK Toán 9 tập một, chúng tôi nhận thấy ngoài các kiểu nhiệm vụ có trong chương trình Toán 7 còn có thêm 2 kiểu nhiệm vụ sau:

- Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (Tdb-nb)

- Tìm điểm cố định (Tdiem co dinh)

τ − Dựa vào bảng giá trị

Khi x lần lượt nhận các giá trị tăng lên (giảm

xuống) thuộc khoảng K mà giá trị tương ứng

của hàm số y tăng (giảm) thì hàm số đã cho đồng biến (nghịch biến) trên K

Bài 7: [SGK9, tr.46] Cho hàm số y = f(x) = 3x Cho x hai giá trị bất

kì x1, x2 sao cho x1< x2 Hãy chứng minh f x( )1 < f x( )2 rồi rút ra kết

luận hàm số đã cho đồng biến trên R

B ảng 2.4 Bảng thống kê số lượng bài tập thuộc các kiểu nhiệm vụ trong Sách toán 9

Tóm l ại

Khái niệm hàm số được đưa vào chương trình Toán 9 hoàn toàn không có gì khác so với

lớp 7 Tuy nhiên SGK Toán 9 đã chính thức đưa vào và định nghĩa các thuật ngữ “biến số”,

“s ự đồng biến”, “sự nghịch biến” của hàm số

Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số đại diện cho đặc trưng biến thiên của hàm số và được trình bày theo 2 cách:

+ Nếu được phát biểu bằng lời thì sự đồng biến thiên của 2 đại lượng xuất hiện tường minh thông qua sự tăng giảm đồng thời của các giá trị biến số và hàm số

+ Nếu được phát biểu bằng công thức thì sự đồng biến thiên của 2 đại lượng bị che mờ hoàn toàn

SGK đề cập đến 2 dạng hàm số được cho bằng biểu thức giải tích y = ax + b và

y = ax2 Khi đề cập đến các dạng hàm số này, SGK chỉ hình thành cho HS các kỹ năng vẽ và tính toán dựa trên biểu thức giải tích của nó Như vậy các đặc trưng về sự đồng biến thiên

của 2 đại lượng hoàn toàn vắng bóng và dần dần bản chất của khái niệm hàm số cũng bị lu

mờ đi

V ề phần bài tập: Nếu như ở lớp 7, hàm số xuất hiện chủ yếu dưới dạng các bảng số thì

đến năm lớp 9 nó dần dần được thay thế bởi các biểu thức giải tích Các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ Ttinh, Tve và Txdbtgt chiếm số lượng lớn Trong đó chiếm nhiều nhất là Txdbtgt. Từ đó, chúng tôi nhận thấy được mối quan tâm của SGK Việt Nam khi đề cập đến hàm số chính là

những biểu thức giải tích của nó Điều đó dễ dẫn đến những sai lầm của HS khi đồng nhất hàm số với một biểu thức giải tích Như vậy việc củng cố kỹ năng tính toán lại chiếm ưu thế hơn nhiều so với việc hiểu bản chất của khái niệm hàm số

Ở đây xuất hiện thêm kiểu nhiệm vụ mới so với chương trình Toán 7 là Tdb-nb Các bài tập xoay quanh kiểu nhiệm vụ này trong SGK Toán 9 tập 1 đều thể hiện tường minh sự đồng

biến thiên của hai đại lượng Tuy nhiên số lượng bài tập này lại rất ít (2 bài tập)

L ời giải minh họa

Khi giá tr ị của biến x tăng lên thì giá trị tương ứng của hàm số y = -2x lại giảm đi, do đó hàm s ố y = -2x nghịch biến trên .”

Khi xem xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số cụ thể ( 2

,

y=ax y=ax b+ ) thì sự đồng biến thiên lại xuất hiện ngầm ẩn

Như vậy nhìn chung, các dạng bài tập cũng thiên về một số kỹ năng tính toán và xác định

biểu thức giải tích Sự đồng biến thiên của hai đại lượng có xuất hiện nhưng hầu như không được quan tâm nhiều

2.1.4 Lớp 10

2.1.4.1 Phần lý thuyết

Những vấn đề về hàm số tiếp tục được trình bày trong Chương 2 –“Hàm số bậc nhất và

bậc hai” – SGK Đại số 10

Ở đây, SGK nhắc lại khái niệm hàm số, tập xác định, đồ thị của hàm số, hàm số đồng

biến, nghịch biến, đồng thời bổ sung những vấn đề mới: khái niệm hàm số chẵn, lẻ, sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Định nghĩa hàm số ở lớp 10 vẫn trình bày theo quan điểm xem hàm số như là một khái

niệm toán học mô tả sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên Tuy nhiên định nghĩa này hoàn toàn dựa trên cơ sở của lý thuyết tập hợp Điều này hoàn toàn phù hợp khi ở chương 1 có trình bày các kiến thức về tập hợp:

“N ếu với mỗi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc

t ập số thực R thì ta có một hàm số Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x

T ập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số.” [SGK10 CB, tr.32]

Định nghĩa này đã làm nổi bật được sự tương ứng của hai phần tử trong tập hợp Do đó

mà sự đồng biến thiên của hai đại lượng không được thể hiện rõ mà bị che mờ đi bởi cách trình bày trên Mặt khác SGV 10 có chú ý rằng “Trong các SGK Toán thường chỉ xét các

hàm s ố được cho bởi công thức” Điều này đã nhấn mạnh được vai trò của các cách biểu

diễn bằng biểu thức giải tích, nghĩa là khi nghiên cứu hàm số chủ yếu được tiến hành trên các hàm số cho bằng biểu thức giải tích Vì thế mà sự đồng biến thiên của hai đại lượng hoàn toàn xuất hiện ngầm ẩn

Khác với SGK 10 cơ bản, SGK 10 nâng cao đã dùng thuật ngữ “quy tắc tương ứng” để định nghĩa khái niệm hàm số:

“Cho m ột tập hợp khác rỗng 𝐷⊂R

Hàm s ố f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ

m ột số, kí hiệu là f(x); số f(x) đó gọi là giá trị của hàm số f tại x Tập D gọi là tập xác định (hay mi ền xác định), x gọi là biến số hay đối số của hàm số f.”

[SGK 10 NC, tr.35]

Ngoài ra, SGK nâng cao đã cho xuất hiện những khái niệm biến số độc lập và biến số phụ thuộc:

“Trong kí hi ệu hàm số y = f(x), ta còn gọi x là biến số độc lập, y là biến số phụ

thu ộc của hàm số f Biến số độc lập và biến số phụ thuộc của một hàm số có thể được kí

hi ệu bởi hai chữ cái tùy ý khác nhau…” [SGK10 NC, tr.36]

SGK nâng cao hoàn toàn không định nghĩa về thuật ngữ “sự tương ứng”, nó là một khái

niệm cơ bản trong toán học Điều này cũng dẫn đến một số khó khăn khi tiếp cận với khái

niệm hàm số

Về các cách cho hàm số, SGK trình bày hàm số cho bằng bảng, hàm số cho bằng biểu đồ, hàm số cho bằng công thức

Sau đó, SGK chính thức đưa vào thuật ngữ “sự biến thiên của hàm số” và nhắc lại khái

niệm hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng nào đó:

“Hàm s ố y = f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu

∀𝑥1, 𝑥2 ∈ (𝑎; 𝑏): 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)

Hàm s ố y = f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu

∀𝑥1, 𝑥2 ∈ (𝑎; 𝑏): 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2)”

[SGK10 CB, tr.36]

Cách trình bày này hoàn toàn phù hợp với mục tiêu mà SGK đề cập ngay từ ban đầu – đó

là nghiên cứu hàm số hoàn toàn dựa trên biểu thức giải tích của nó Như vậy sự đồng biến thiên của hai đại lượng không được nhấn mạnh ở đây

Các hàm số được nghiên cứu, khảo sát một cách tổng quát về sự biến thiên, đồ thị, sau

đó mới lấy ví dụ cụ thể để minh họa Việc trình bày này khái quát hơn so với những lớp trước (nghĩa là không xuất phát từ những hàm số cụ thể mà trực tiếp khảo sát hàm số dạng

tổng quát)

2.1.4.2 Phần bài tập

Trong quyển Đại Số 10 cơ bản, ngoài những kiểu nhiệm vụ mà sách Toán 7 và Toán 9 đề

cập, chúng tôi nhận thấy còn có thêm 1 kiểu nhiệm vụ mới: Xét tính chẵn lẻ của hàm số (Tchan - le)