dạy học khái niệm đạo hàm trong môi trường tích hợp phần mềm casyopée

Xuất phát từ yêu cầu cần xem xét các bài toán thực tế có ứng dụng của đạo hàm cũng như xem xét mối liên hệ giữa đạo hàm với tiếp tuyến, với các khái niệm liên quan được trình bày như thế

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

L ỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập, những trích

d ẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực

L ỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin cảm ơn PGS.TS Nguyễn Chí Thành đã tận tình hướng

dẫn tôi từng bước trên con đường nghiên cứu khoa học của mình Mặc dù

thầy ở rất xa nhưng thầy luôn quan tâm, động viên, chỉ dẫn tôi những lúc gặp khó khăn Điều đó giúp tôi thêm nghị lực để hoàn thành luận văn này Không

có gì hơn, tôi kính chúc thầy và gia đình thật nhiều sức khỏe và có nhiều niềm vui trong cuộc sống

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PSG TS Lê Thị Hoài Châu,

PSG TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Vũ Như Thư Hương, TS Nguyễn Thị Nga, TS Trần Lương Công Khanh đã tận tình

giảng dạy, truyền đạt cho tôi và các bạn khóa 23 những kiến thức vô cùng quý báu

Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến

Ban Giám hiệu, thầy cô và các em học sinh trường THPT Lý Thái Tổ – Tp.HCM, THPT Xuyên Mộc – BRVT đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thành công bài thực nghiệm

Các bạn cùng khóa học cao học 23 vì những sẻ chia trong học tập

Gia đình tôi vì những lời động viên và những điều kiện cho tôi hoàn thành tốt khóa học

Xin chân thành cảm ơn!

MỤC LỤC

Lời cam đoan

6.4 4Tiến trình và phương pháp nghiên cứu4 44

7 Cấu trúc của luận văn4 54

CHƯƠNG 2 KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC

2.1.3 Kết luận SGK Toán 114 25

2.2 SGK Toán 124 274

2.2.1 SGK Toán 12 cơ bản4 274

2.2.2 SGK Toán 12 nâng cao4 324

2.2.3 Các tổ chức Toán học4 344

2.2.4 Kết luận SGK Toán 124 364

2.3 Kết luận chương 24 374

3.2.1 Mục đích thực nghiệm4 394

3.2.2 Đối tượng và hình thức thực nghiệm4 394

3.2.3 Tình huống 14 394

3.2.3.1 Mục đích tình huống 14 394

3.2.3.2.Thông báo bài toán thực nghiệm4 404

3.2.3.3 Dàn dựng kịch bản tình huống 14 404

3.2.3.4 Phân tích tiên nghiệm tình huống 14 414

3.2.3.5 Phân tích chi tiết kịch bản tình huống 14 494

3.2.3.6 Phân tích hậu nghiệm tình huống 14 534

3.2.4 Tình huống 24 664

3.2.4.1 Mục đích tình huống 24 664

3.2.4.2 Nội dung tình huống 24 674

3.2.4.3 Phân tích tiên nghiệm tình huống 24 674

3.2.4.4 Phân tích hậu nghiệm tình huống 24 694

3.2.5 Kết luận thực nghiệm4 704

3.3 Kết luận chương 34 724

DANH M ỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT

BTCB11 Bài tập Đại số và Giải tích 11 cơ bản BTNC11 Bài tập Đại số và Giải tích 11 nâng cao

GKCB11 Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 GKNC11 Sách giáo khoa nâng cao 11 GKCB12 Sách giáo khoa Giải tích 12 GKNC12 Sách giáo khoa nâng cao 12 GVCB11 Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 GVCB12 Sách giáo viên Giải tích 12 GVNC11 Sách giáo viên nâng cao 11 GVNC12 Sách giáo viên nâng cao 12

DANH M ỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1 Bảng thống kê các KNV trong bộ sách 11 cơ bản và nâng cao 25

Bảng 2.2 Bảng thống kê các ứng dụng của đạo hàm trong GKCB12 28

Bảng 2.3 Bảng thống kê các KNV trong bộ sách 12 cơ bản và nâng cao 36

Bảng 3.1 Bảng thống kê các dạng đồ thị có thể có trong câu 2 pha 1 41

Bảng 3.2 Bảng thống kê các chiến lược của các nhóm HS trong câu 1 pha 1 53

Bảng 3.3 Bảng thống kê các chiến lược của các nhóm HS trong câu 2 pha 1 54

sự biến thiên của hàm số, tìm min, max, tính tích phân,… mà còn áp dụng trong việc nghiên cứu khoa học, công nghệ, thực tế đời sống Trong việc hướng dẫn thực hiện nhiệm vụ Giáo dục hiện nay, Bộ Giáo Dục đã đưa ra các nhiệm vụ trọng tâm cần phải

thực hiện và một trong số đó là nhiệm vụ “tăng cường kỹ năng thực hành, vận dụng

ki ến thức, kỹ năng vào giải quyết các vấn đề thực tiễn” [1, tr.2] Bởi vậy việc sử dụng

đạo hàm để giải các bài toán gắn liền với thực tế là một nội dung rất cần thiết và bổ ích đối với HS bậc THPT

Vấn đề đặt ra là các bài toán có ứng dụng của đạo hàm đặc biệt là các bài toán gắn

liền với thực tế được trình bày như thế nào trong SGK Toán?

Học sinh có nhận ra vai trò của đạo hàm trong các bài toán thực tế hay không? Cần

phải dạy học khái niệm đạo hàm gắn liền với các bài toán thực tế như thế nào?

Trong luận văn “Casyopée và việc dạy học khái niệm hàm số trong môi trường

tích h ợp nhiều cách biểu diễn hàm số”, tác giả Đỗ Thị Thúy Vân (2010) đã kiểm

chứng quy tắc hợp đồng “HS phải ghi nhớ hình dạng của đồ thị (gắn với một biểu thức

gi ải tích) đã học” [16, tr.33] Trong luận văn của mình về ‘‘Mối liên hệ giữa tiếp

tuy ến và đạo hàm một nghiên cứu khoa học luận và sư phạm”, tác giả Bùi Thị Thu

Hiền (2007) đã khẳng định giả thuyết sau: “Học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa

ti ếp tuyến và đạo hàm, giữa đạo hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuy ến và xấp xỉ affine không hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của họ” [8, tr.47]

Vậy, HS có thể nhận dạng đồ thị của các hàm số đã học để thiết lập mối quan hệ giữa

đạo hàm và tiếp tuyến cũng như mối liên hệ giữa đạo hàm và các khái niệm liên quan hay không?

Trong những năm gần đây, việc ứng dụng công nghệ thông tin nhằm giúp học sinh

hứng thú hơn trong học tập cũng như tiếp thu tri thức toán học rất phổ biến ở Việt Nam Bộ Giáo Dục cũng đã đưa ra yêu cầu đối với việc ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học Toán hiện nay “Đa dạng hóa các hình thức học tập, chú trọng các hoạt động trải nghiệm sáng tạo, nghiên cứu khoa học của học sinh Đẩy mạnh ứng dụng công ngh ệ thông tin và truyền thông trong dạy và học” [1, tr.2] Các bài toán liên quan

đến đạo hàm luôn gắn liền với biểu thức giải tích mà đồ thị của nó mang tính trực quan Vì vậy, việc dạy học các bài toán thực tế gắn liền với ứng dụng của đạo hàm sẽ

tạo môi trường phản hồi tốt hơn nếu có sử dụng công nghệ thông tin Một trong những môi trường tương tác hiệu quả khi dạy học đạo hàm của hàm số là môi trường công nghệ thông tin tích hợp phần mềm Casyopée Vậy, chúng tôi tự hỏi rằng phần mềm Casyopée có thể làm cầu nối giữa kiến thức đạo hàm trong toán học và ứng dụng cụ thể của nó trong thực tế hay không?

Từ những ghi nhận như trên, chúng tôi chọn đề tài: “DẠY HỌC KHÁI NIỆM

ĐẠO HÀM TRONG MÔI TRƯỜNG TÍCH HỢP PHẦN MỀM CASYOPÉE” để

thực hiện nghiên cứu trong luận văn thạc sỹ của mình

Chúng tôi sẽ vận dụng các yếu tố công cụ của lý thuyết didactic toán để nghiên cứu

đề tài này

Xuất phát từ yêu cầu cần xem xét các bài toán thực tế có ứng dụng của đạo hàm cũng như xem xét mối liên hệ giữa đạo hàm với tiếp tuyến, với các khái niệm liên quan được trình bày như thế nào trong SGK, chúng tôi chọn khung lý thuyết nhân

chủng học với việc xác định mối “quan hệ thể chế” của SGK Toán đối với đối tượng đạo hàm

Quan hệ của thể chế I đối với một tri thức O, ký hiệu là R(I, O), được định nghĩa là

tập hợp các tác động qua lại mà I có thể duy trì được với O Nghĩa là: I nói gì về O? I

mô tả O ra sao? I sử dụng O như thế nào?

Mối “quan hệ thể chế” là cơ sở để chúng tôi giải thích mối “quan hệ cá nhân” của

học sinh đối với các bài toán gắn với đối tượng đạo hàm

Quan hệ cá nhân của một cá nhân X với đối tượng O là tập hợp những tác động qua

lại mà X có thể duy trì với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về nó hay nói cách khác X nghĩ về O như thế nào? X có biểu tượng gì về O? X thao tác, sử dụng O

ra sao?

Một đối tượng O được xem như tồn tại đối với X nếu như tồn tại cái R(X,O)

Mặc khác, để xác định mối “quan hệ thể chế” với các bài toán gắn với đối tượng đạo hàm, chúng tôi vận dụng khái niệm “tổ chức toán học” của lý thuyết nhân chủng

học

Bên cạnh đó để đạt được mục đích cuối cùng của luận văn, chúng tôi sử dụng các công cụ khái niệm môi trường của lý thuyết tình huống do Brousseau đề xuất làm kim

chỉ nam để xây dựng thực nghiệm sư phạm

Chúng tôi nghiên cứu việc dạy học ứng dụng đạo hàm trong môi trường tích hợp

4 M ục đích nghiên cứu và câu hỏi nghiên cứu

Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết đã lựa chọn, chúng tôi xin trình bày các câu

hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố trả lời chúng chính là mục đích nghiên cứu của

luận văn này

này trong các bài toán thực tế được hình thành như thế nào ở chương trình Toán THPT

hiện hành? Mối quan hệ thể chế nêu trên ảnh hưởng như thế nào đến việc ứng dụng đạo hàm trong thực tế trong mối quan hệ cá nhân của HS

ra sao trong vấn đề nhận dạng đồ thị hàm số?

nào để dạy học ứng dụng đạo hàm gắn liền với các bài toán thực tế?

- Thể chế dạy học Toán THPT mà chúng tôi đề cập chính là thể chế dạy học Toán

mà có sự xuất hiện của khái niệm đạo hàm và các ứng dụng của nó, cụ thể là thể chế

dạy học Toán lớp 11, 12

- Dạy học khái niệm đạo hàm mà chúng tôi đề cập ở đây chính là dạy học ứng

dụng của khái niệm đạo hàm liên quan đến tiếp tuyến, nhận dạng đồ thị hàm số và bài toán thực tế

- Vấn đề nhận dạng đồ thị hàm số được hiểu theo hai ý:

+ Sử dụng hình dạng đồ thị của các hàm số đã được học để thiết lập các mối quan

hệ

+ Xác định các hệ số để tìm công thức giải tích cụ thể của hàm số

- Bài toán thực tế mà chúng tôi xét đến là các bài toán có mang các yếu tố thực tế

- Trước hết, chúng tôi tổng hợp các công trình đã nghiên cứu trước đây có liên

quan đến khái niệm đạo hàm nhằm trả lời một phần câu hỏi Q1, Q2

- Dựa vào tổng hợp trên, chúng tôi sẽ nghiên cứu thể chế dạy học Toán ở phổ thông liên quan đến khái niệm đạo hàm, mối liên hệ giữa đạo hàm và các khái niệm liên quan thông qua nhận dạng đồ thị hàm số, các ứng dụng của nó trong thực tế

- Những kết quả đạt được ở trên cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi Q1, Q2 và đề

ra các giả thuyết nghiên cứu Từ đó, chúng tôi xây dựng và triển khai thực nghiệm để

kiểm chứng tính đúng đắn của chúng

Các tiến trình nghiên cứu được chúng tôi tóm lược qua sơ đồ sau:

Để thực hiện các nhiệm vụ trên, chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu, tổng

hợp các tài liệu và thực nghiệm

7 C ấu trúc của luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận và ba chương

Phần này gồm có các mục sau:

Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát; Khung lý thuyết tham chiếu; Mục tiêu nghiên cứu; Mục đích nghiên cứu và câu hỏi nghiên cứu; Tiến trình và phương pháp nghiên cứu; Cấu trúc của luận văn

Chương 1 Tổng hợp một số công trình đã nghiên cứu

Chúng tôi sẽ tổng hợp các công trình đã nghiên cứu liên quan đến khái niệm đạo hàm, mối liên hệ giữa đạo hàm và các khái niệm liên quan, các ứng dụng của đạo hàm

Từ đó, chúng tôi trả lời được một phần câu hỏi Q1, Q2

Chương 2 Khái niệm đạo hàm trong thể chế dạy học toán THPT

Trong chương này, chúng tôi sẽ phân tích SGK và SGV Toán lớp 11, 12 Sau đó, chúng tôi phân tích các tổ chức toán học có liên quan đến khái niệm đạo hàm và ứng

dụng của đạo hàm trong các bài toán thực tế Kết quả nghiên cứu thể chế cho phép chúng tôi trả lời được câu hỏi Q1, Q2 và đề ra các giả thuyết nghiên cứu

Chương 3 Thực nghiệm

Chúng tôi nghiên cứu thực nghiệm bằng việc xây dựng các bài toán thực nghiệm được thực hiện trên giấy bút và xây dựng một tiểu đồ án thông qua phần mềm Casyopée Từ đó, chúng tôi trả lời được câu hỏi Q3

Thực nghiệm được xây dựng nhằm kiểm tra tính thích đáng của các giả thuyết nghiên cứu trình bày ở cuối chương 2

đề cập những hướng nghiên cứu mới mở ra từ luận văn này

CHƯƠNG 1 TỔNG HỢP MỘT SỐ CÔNG TRÌNH ĐÃ NGHIÊN CỨU

Chúng tôi tổng hợp các nghiên cứu về đối tượng đạo hàm trong bốn luận văn thạc

sỹ của các tác giả sau:

Tác giả Ngô Minh Đức (2013) với đề tài ‘‘Khái niệm đạo hàm trong dạy học toán

và v ật lí ở trường phổ thông’’

Tác giả Bùi Thị Thu Hiền (2007) với đề tài ‘‘Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo

hàm, m ột nghiên cứu khoa học luận và sư phạm’’

Tác giả Lê Anh Tuấn (2009) với đề tài ‘‘Một nghiên cứu didactic về khái niệm đạo

hàm ở lớp 11 phổ thông’’

Tác giả Đỗ Thị Thúy Vân (2010) với đề tài "Casyopée và việc dạy học khái niệm

hàm s ố trong môi trường tích hợp nhiều cách biểu diễn hàm số”

 Trong luận văn này, tác giả đã tìm hiểu việc xây dựng khái niệm đạo hàm trong

một số giáo trình đại học Sau đó, tác giả phân tích chương trình và SGK Toán hiện hành nhằm làm rõ mối quan hệ thể chế của dạy học Việt Nam đối với khái niệm đạo hàm Từ đó, tác giả đưa ra hai quy tắc hợp đồng và triển khai thực nghiệm nhằm kiểm tra tính thích đáng của chúng

“UQui tắc RE1U: Tính đạo hàm của một hàm số là sử dụng các công thức đạo hàm đã có

+ Chứng minh không có đạo hàm tại xR

0 R + Tìm vi phân

+ Tính gần đúng một giá trị

+ Viết phương trình tiếp tuyến

+ Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc

+ Xét tính đơn điệu nhờ bảng biến thiên

 Tác giả đưa ra một số kết luận:

Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm đóng vai trò rất mờ nhạt trong việc hình thành và lĩnh hội khái niệm đạo hàm của HS Mờ nhạt ở đây có nghĩa là đối với HS

việc tính đạo hàm bằng định nghĩa chẳng qua là việc tính các giới hạn HS chỉ quan tâm đến giới hạn của tỉ số số gia mà không hiểu rõ bản chất của giới hạn đó SGK cũng chỉ dừng lại ở việc đưa vào ba công thức tính vận tốc, gia tốc và cường độ dòng điện bằng đạo hàm chứ không chỉ ra cho HS thấy ý nghĩa tổng quát trong các ứng

của đồ thị hàm số, tìm nguyên hàm và tính tích phân

Khi học kiến thức về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (GTLN, GTNN) của một hàm số có ứng dụng đạo hàm, HS thường mắc sai lầm khi nhầm lẫn giữa giá trị cực

đại và GTLN; giá trị cực tiểu và GTNN (khi lập bảng biến thiên) Khi tìm GTLN, GTNN, SGK11 có đưa kỹ thuật giải sử dụng đồ thị

Tác giả tiến hành nghiên cứu SGK Việt Nam gồm 3 bộ sau:

+ Sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000

+ Sách giáo khoa thí điểm bộ 1 gồm hai ban: ban Khoa Học Tự Nhiên và ban Khoa Học Xã Hội

+ Sách giáo khoa thí điểm bộ 2 gồm hai ban: ban Khoa Học Tự Nhiên và ban Khoa Học Xã Hội

Tác giả đưa ra một giả thuyết và tiến hành thực nghiệm để kiểm tra tính đúng đắn

của giả thuyết này: “Học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm,

gi ữa đạo hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không

hi ện diện trong mối quan hệ cá nhân của học sinh” [8, tr.47]

Tác giả nghiên cứu việc giảng dạy khái niệm đạo hàm trong mối quan hệ liên môn

+ Cách 3: Đưa cả hai định nghĩa đạo hàm trong mối quan hệ tương đương với nhau

 Khi phân tích thể chế và các tổ chức Toán học (tác giả phân tích SGK Vật lý 10,

11, 12 và SGK Toán 11, 12 ban cơ bản và nâng cao), tác giả quan tâm hai kiểu nhiệm

vụ liên quan đến “đặc trưng tốc độ biến thiên” và “đặc trưng xấp xỉ” của khái niệm

đạo hàm

Công cụ đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong chương trình Vật lí lớp 12 và ở đây

nó mang nghĩa tường minh là tốc độ biến thiên tức thời của một đại lượng theo thời gian Tuy nhiên, SGK Toán chỉ đưa vào các bài toán Vật lí nhằm dẫn dắt đến nhu cầu

phải tính giới hạn dạng lim𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0 )

𝑥−𝑥0 rồi từ đó đưa ra định nghĩa đạo hàm

Trong lúc đó, SGK Toán lại không quan tâm đến “đặc trưng tốc độ biến thiên tức thời”

của khái niệm này, vốn là cơ sở cho các ứng dụng đa dạng của đạo hàm trong Vật lí và các khoa học khác

Ý nghĩa Vật lí của đạo hàm chỉ dừng lại ở một vài công thức cụ thể để tính vận tốc, gia tốc, hay cường độ dòng điện tức thời Việc không thể chế hóa nghĩa “tốc độ biến thiên t ức thời” có thể ngăn cản việc ứng dụng khái niệm đạo hàm ở nhiều tình huống

của Vật lí cần đến đặc trưng này

Đặc trưng xấp xỉ đồ thị hàm số bởi đường thẳng tiếp tuyến và tương ứng với đó là

xấp xỉ hàm số bởi hàm tuyến tính đơn giản hơn không được làm rõ

 Tác giả đưa ra giả thuyết: “Đặc trưng tốc độ biến thiên tức thời và đặc trưng xấp

x ỉ của đạo hàm không xuất hiện trong mối quan hệ cá nhân của học sinh trong thể chế

d ạy học Toán hiện nay” [3, tr.65] Tác giả tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng tính

thích đáng của giả thuyết Đồng thời tác giả thực hiện một đồ án dạy học nhằm giúp

HS hình thành nghĩa “tốc độ biến thiên” và nghĩa “xấp xỉ” của đạo hàm Sau khi HS

hiểu được các nghĩa này, tác giả đặt ra các bài toán giúp HS soi sáng lại các ứng dụng đạo hàm trong Vật lý

Trong quá trình giúp HS hình thành nghĩa “tốc độ biến thiên” và nghĩa “xấp xỉ” của

đạo hàm, GV hỗ trợ HS đưa ra câu trả lời bằng cách cho các em quan sát đồ thị

Tác giả phân tích quá trình hình thành khái niệm hàm số trong các thể chế dạy

học Toán lớp 7, 9, 10 Tác giả nhận định mối quan hệ cá nhân giữa HS và khái niệm hàm số dựa trên các biểu diện hàm số bằng biểu thức giải tích (công thức), bảng giá trị

hoặc dựa vào dạng của đồ thị Từ đó, tác giả đưa ra quy tắc hợp đồng và tiến hành thực nghiệm kiểm tra tính thích đáng của nó “RR3R: HS ph ải ghi nhớ hình dạng của đồ thị hàm s ố (gắn với một biểu thức giải tích đã học)’’ [16, tr.33]

Tiến hành thực nghiệm bằng công nghệ thông tin có tích hợp phần mềm Casyopée, tác giả kết luận rằng: Casyopée có tích hợp hai mô đun đại số và mô đun hình học trong đó mô đun đại số cùng lúc thể hiện ba cách biểu diễn của hàm số: bảng,

đồ thị và biểu thức giải tích Nhờ đó, phần mềm cung cấp hình ảnh trực quan giúp HS

khắc sâu kiến thức Tính năng của Casyopée thích hợp tạo tình huống giúp HS nhận ra

bản chất của các khái niệm hàm số

Trong các luận văn trước đây, khái niệm đạo hàm và ứng dụng đạo hàm được các tác giả quan tâm đến các vấn đề sau:

- Những ràng buộc của mối quan hệ thể chế, phân tích các tổ chức Toán học, đưa

ra các quy tắc hợp đồng và kiểm chứng tính thích đáng của chúng

- Sự nối khớp giữa việc dạy học khái niệm đạo hàm trong chương trình Toán phổ thông với việc ứng dụng chúng trong Vật lý Xây dựng các tình huống giúp HS hình thành nghĩa “tốc độ biến thiên” và nghĩa “xấp xỉ” của đạo hàm

- Mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến, giữa đạo hàm và xấp xỉ affine, mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine

Như vậy, các ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán thực tế, mối quan hệ

giữa đạo hàm và tiếp tuyến cũng như mối liên hệ giữa đạo hàm và các phần khác trong chương trình thông qua việc nhận dạng đồ thị hàm số chưa được nghiên cứu Và đây là các vấn đề mà chúng tôi quan tâm và sẽ tiến hành nghiên cứu trong bài luận văn này

Đồng thời liên quan đến khái niệm đạo hàm, chúng tôi nhận thấy chưa có luận văn nào sử dụng phần mềm Casyopée tiến hành nghiên cứu mặc dầu phần mềm này có nhiều tính năng hữu ích như tác giả Đỗ Thị Thúy Vân đã đề cập Chính vì vậy, chúng tôi đặt các vấn đề mà mình cần nghiên cứu trong môi trường công nghệ thông tin tích

hợp phần mềm Casyopée

Do đó ở chương 2, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích mối quan hệ thể chế, phân tích các tổ chức Toán học xung quanh khái niệm đạo hàm, các ứng dụng của đạo hàm trong bài toán thực tế, mối liên hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến cũng như các phần khác trong chương trình thông qua nhận dạng đồ thị hàm số

CHƯƠNG 2 KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN

Trong SGK Toán phổ thông, các bài toán có ứng dụng đạo hàm, đặc biệt là các bài toán gắn liền với thực tế được trình bày như thế nào?

Mối liên hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và các khái niệm liên quan được thể hiện ra sao trong vấn đề nhận dạng đồ thị hàm số?

Trước chương ĐẠO HÀM là chương GIỚI HẠN, phần GIỚI HẠN CỦA HÀM

SỐ VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC chuẩn bị về mặt kiến thức trước khi đi vào khái niệm đạo hàm

‘‘Chương V (13 tiết) ĐẠO HÀM

§ 1 Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm (2 tiết)

§2 Quy t ắc tính đạo hàm (3 tiết)

§ 3 Đạo hàm của hàm số lượng giác (3 tiết)

§4 Vi phân (1 ti ết)

§ 5 Đạo hàm cấp hai (1 tiết)

Ôn t ập chương V (3 tiết)” [4, tr.152]

GKCB11 dành 13 tiết còn GKNC11 dành 16 tiết để giới thiệu lý thuyết đạo hàm Điều này cho thấy tầm quan trọng của lý thuyết này

 Bài toán th ực tế

Trong phần giới thiệu đầu chương, cả hai bộ sách GKCB11 và GKNC11 đều

giải thích lí do đưa vào phần lý thuyết đạo hàm như sau:

‘‘Trước đây, Đạo hàm và Tích phân được học trọn vẹn trong Giải tích 12 Ngày nay,

ph ần Lý thuyết đạo hàm được học trong chương trình Đại số và Giải tích 11 để phục

v ụ kịp thời cho việc học các môn khoa học khác như Vật lí, Hóa học,

Ở đây, học sinh được học đầy đủ và hệ thống về đạo hàm cấp một và từ các bài toán đưa đến sự xuất hiện khái niệm đạo hàm, định nghĩa, quy tắc tính và công thức đạo hàm cơ bản và quan trọng nhất” [5, tr.145]

“ Đạo hàm là một khái niệm quan trọng của Giải tích, nó là một công cụ sắc bén để nghiên c ứu các tính chất hàm số và hoàn thiện việc vẽ đồ thị hàm số

H ọc sinh cần nắm vững định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm; nhớ các công thức, các quy t ắc tính đạo hàm và sử dụng thành thạo chúng ” [9, tr.183]

GKCB11 đề cập đến ứng dụng đạo hàm trong các ngành khoa học khác là Vật

lý và Hóa học Liệu rằng ứng dụng này có bao gồm cả các bài toán thực tế trong Vật

lý, Hóa học và thực tế cuộc sống hay không? Trong khi đó, GKNC11 cho thấy vai trò công cụ của đạo hàm trong các bài toán liên quan đến hàm số và đưa ra các kỹ năng

cần thiết khi học đạo hàm mà không đề cập gì đến ứng dụng của nó trong thực tế hay trong các chuyên ngành khoa học khác

Sau phần giới thiệu, trong bài đầu tiên của chương, GKCB11 và GKNC11 giới thiệu các bài toán thực tế nhằm dẫn dắt HS đến khái niệm đạo hàm GKCB11 mở đầu

bằng việc xét một bài toán chuyển động thẳng có phương trình chuyển động 𝑠 = 𝑠(𝑡) còn GKNC11 mở đầu bằng bài toán chuyển động rơi tự do mà HS đã học ở Vật lí 10

với mục đích: "Rơi tự do là chuyển động (không đều) khá đơn giản ở chỗ: đây là chuyển động thẳng chỉ theo một hướng từ trên xuống dưới Hi vọng điều này giúp HS dễ hình dung

và d ễ hiểu hơn’’ [10, tr.224]

Chúng tôi trích dẫn bài toán mở đầu trong GKCB11:

‘‘ Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga Quãng đường s(mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (phút) Ở những phút đầu tiên hàm

s ố đó là 𝑠 = 𝑡2. Hãy tính vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng [𝑡; 𝑡0] với

𝑡0 = 3 và 𝑡 = 2; 𝑡 = 2,5; 𝑡 = 2,9; 𝑡 = 2,99

Nêu nh ững kết quả thu được khi t càng gần 𝑡0 = 3” [5, tr.146]

Đây là một bài toán thực tế liên quan đến chuyển động của đoàn tàu

Hoạt động này được đưa ra nhằm mục đích như sau:

‘‘Qua ho ạt động 1, về mặt trực giác học sinh sẽ thấy vận tốc trung bình của đoàn tàu

g ần với ‘‘vận tốc” ở chính thời điểm 𝑡0 n ếu khoảng thời gian |∆𝑡| càng nhỏ Điều đó

d ẫn đến định nghĩa vận tốc tức thời của một chuyển động tại 𝑡0 là 𝑣(𝑡0) =lim𝑡→𝑡0𝑠(𝑡)−𝑠(𝑡0 )

𝑡−𝑡 0 ’’ [5, tr154 – 155]

Hai bài toán thực tế mà GKCB11 và GKNC11 đưa ra cùng có một đặc trưng là

dạng đồ thị biểu thị chuyển động của vật đã được cho sẵn HS chỉ cần thế các giá trị vào công thức và bằng trực giác trả lời các câu hỏi yêu cầu

Bài toán thực tế mà SGK đưa ra nhằm làm xuất hiện nhu cầu xác định giới hạn lim𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0 )

𝑥−𝑥0 Từ đó, khái niệm đạo hàm được định nghĩa thông qua việc tính

giới hạn

U

Nhận xét

- Các bài toán trong thực tế dẫn đến sự xuất hiện khái niệm đạo hàm

- Lý thuyết đạo hàm phục vụ cho các chuyên ngành khoa học khác, có khả năng bao gồm cả việc giải quyết các bài toán thực tế

x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó Ta nhận xét rằng đồ

thị của hàm số này là một đường liền, nhưng bị “gãy’’ tại điểm O(0;0) (h.62 )’’[5, tr150]

Ví dụ này được GKCB11 đưa ra nhằm khẳng định cho chú ý “M ột hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó’’

Khái niệm đồ thị hàm số bị “gãy’’ chưa được định nghĩa nhưng kèm theo lời

khẳng định thì SGK có đưa ra hình ảnh minh họa Hình ảnh đồ thị liền nét nhưng bị

“gãy” tại điểm O(0;0) giúp HS hình dung một cách trực quan về đồ thị của hàm số liên

tục tại một điểm nhưng lại không có đạo hàm tại đó Như vậy ở đây, GKCB11 cung

cấp một cách chứng minh hàm số không có đạo hàm tại một điểm thông qua việc nhận xét về hình dạng đồ thị hàm số

• Mối quan hệ của tiếp tuyến và đạo hàm được thiết lập thông qua mục ý nghĩa hình học của đạo hàm

Trước khi giới thiệu về tiếp tuyến, GKCB11 đưa ra hoạt động 3 với mục đích

‘‘Ho ạt động 3 tập cho học sinh biết cách vẽ đường thẳng d qua một điểm M với hệ số góc k cho trước, đồng thời giới thiệu hình ảnh của một tiếp tuyến’’ [4, tr.158]

Hoạt động 3 như sau:

“a) V ẽ đồ thị của hàm số 𝑓(𝑥) =𝑥22

b) Tính 𝑓′(1)

c) V ẽ đường thẳng đi qua điểm 𝑀(1;12) và có hệ số góc bằng 𝑓′(1) Nêu nhận xét về

v ị trí tương đối của đường thẳng này và đồ thị hàm số đã cho’’ [5, tr150]

GKCB11 đề cập đến việc vẽ đường thẳng với hệ số góc k cho trước mà trong hình học 10 đã giới thiệu

GVCB11 hướng dẫn cách vẽ đường thẳng d đi

qua điểm M với hệ số góc k cho trước như sau:

“L ấy hai điểm A, B sao cho MA // Ox và vec tơ

𝑀𝐴

������⃗ cùng hướng với Ox, MB hướng lên trên và tạo

th ẳng d phải dựng

Trong ho ạt động 3, vì 𝑓(𝑥) =𝑥22 nên 𝑓′(𝑥) = 𝑥

⇒ 𝑓′(1) = 1 Vì 𝑀 �1;12� nên ta lấy hai điểm A và B như sau: 𝐴(2;12), 𝐵(2;32) Khi đó

ta có tam giác MAB vuông t ại A (h.21)

Rõ ràng 𝑡𝑡𝑛𝛼 =𝑀𝐴𝐴𝐴 = 1 ⇒ 𝛼 = 450’’ [4, tr.158]

Đối với hoạt động này, chúng tôi nghĩ rằng GV cần hỗ trợ và hướng dẫn thì HS

mới vẽ theo cách mà SGV đưa ra bởi lẽ theo chúng tôi có thể một số em sẽ chọn cách

viết phương trình đường thẳng có hệ số góc k cho trước sau đó cho vài điểm và vẽ đường thẳng Với cách viết phương trình đường thẳng rồi vẽ đường thẳng sẽ làm mất ý nghĩa hệ số góc, mà ở đây SGK cần nhấn mạnh đến hệ số góc để giới thiệu về hệ số góc của tiếp tuyến

Sau hoạt động 3, GKCB11 giới thiệu về tiếp tuyến của đường cong phẳng và ý nghĩa hình học của đạo hàm

“Trên m ặt phẳng tọa độ Oxy cho đường

thì 𝑀(𝑥; 𝑓(𝑥)) di chuyển trên (C) tới

điểm 𝑀0�𝑥0; 𝑓(𝑥0)� và ngược lại Giả sử

cát tuy ến MR0RM có v ị trí giới hạn, kí hiệu là MR0RT thì MR0RT được gọi là tiếp tuyến của (C)

t ại MR0R Điểm MR0R g ọi là tiếp điểm’’ [5, tr.150]

Khái niệm tiếp tuyến ở đây được đưa vào theo quan điểm giải tích với đặc trưng

“v ị trí giới hạn của cát tuyến” Tiếp tuyến được đưa vào với một nghĩa hoàn toàn mới

so với tiếp tuyến ở THCS Ở THCS quan niệm tiếp tuyến mà HS biết là có hai đặc

trưng “ ti ếp xúc ” và“ có m ột điểm chung ” Mặc dầu có sự khác nhau giữa hai bậc học

nhưng SGK cũng không đưa ra lí do giải thích sự khác nhau hay tương đồng giữa hai

nghĩa này Điều này có dẫn đến sự khó hiểu và mơ hồ của HS hay không?

Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm được thiết lập trong Định lý 2 và Định

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) tại điểm

𝑀0�𝑥0; 𝑓(𝑥0)� là

𝑦 − 𝑦0 = 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) trong đó 𝑦0 = 𝑓(𝑥0)” [5, tr.151 – 152]

SGV nhận định như sau: ‘‘Mu ốn nói đến hệ số góc của tiếp tuyến, trước hết phải có khái ni ệm tiếp tuyến Rất khó đưa ra định nghĩa chính xác về tiếp tuyến nên ở đây, ta

ch ỉ cung cấp cho học sinh khái niệm này bằng cách mô tả trực quan Sau đó, ta

ch ứng minh Định lí 2 để khẳng định rằng hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số

𝑦 = 𝑓(𝑥) tại điểm 𝑀0�𝑥0; 𝑓(𝑥0)� là 𝑓 ′ (𝑥0)’’ [4, tr.159]

Yêu cầu được đặt ra ở phần này gồm hai vấn đề: Mô tả tiếp tuyến một cách trực quan và chứng minh Định lí 2 Như vậy, khái niệm tiếp tuyến không được định nghĩa chính xác mà chỉ được mô tả cho HS thông qua con đường nhận dạng đồ thị trực quan

Và theo chúng tôi cách mô tả trực quan tốt nhất cung cấp cho HS đó là khi nó được

thực hiện trong môi trường công nghệ thông tin có tích hợp các phần mềm Mặc khác, bài toán trong hoạt động 3 đưa ra hệ số góc bằng 1 nên việc suy ra góc 𝛼 HS có khả năng làm được Vấn đề đặt ra là nếu hệ số góc được cho không phải là tan của một góc nguyên thì liệu rằng việc vẽ để HS thấy được hệ số góc của tiếp tuyến có còn trở nên

dễ dàng nữa hay không? Theo chúng tôi, điều này sẽ không dễ dàng chút nào nếu thực

hiện vẽ trên giấy Tuy nhiên, nếu được vẽ trên phần mềm công nghệ thông tin thì có

khả năng sẽ khả quan hơn rất nhiều Mức độ tạo ra sự khả quan ít hay nhiều còn tùy thuộc vào phần mềm được lựa chọn

GKNC11 giới thiệu khái niệm tiếp tuyến tương tự như GKCB11, tuy nhiên không

có hoạt động mở đầu giúp HS nhìn nhận trực quan về tiếp tuyến

- Mô tả trực quan cho HS về khái niệm tiếp tuyến cần được thực hiện trên phần

mềm công nghệ thông tin

2.1.2 P hân tích các tổ chức Toán học

Ở đây, chúng tôi quan tâm đến những kiểu nhiệm vụ liên quan đến ứng dụng

của đạo hàm gắn với các bài toán thực tế và các kiểu nhiệm vụ thể hiện mối liên hệ

giữa đạo hàm và các khái niệm liên quan trong vấn đề nhận dạng đồ thị hàm số

b) T ại điểm có hoành độ bằng 2 ” [5, tr.156]

trước”

- Giải phương trình 𝑘 = 𝑓′(𝑥) Suy ra các hoành độ tiếp điểm là 𝑥0, 𝑥1, …

- Suy ra phương trình tiếp tuyến 𝑦 − 𝑦𝑖 = 𝑓′(𝑥𝑖)(𝑥 − 𝑥𝑖) với i =0, 1

tuyến đi qua điểm 𝑀1(𝑥1; 𝑦1)’’

Có hai kĩ thuật:

- Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 𝑥0 ∈ (𝐶):

𝑦 − 𝑦0 = 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0)

- Thay tọa độ điểm 𝑀1(𝑥1; 𝑦1) vào phương trình tiếp tuyến trên, tìm được 𝑥0

- Tìm 𝑓′(𝑥0) Sau đó thay vào phương trình tiếp tuyến

Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm được xây dựng thông qua vấn đề nhận

dạng trực quan nhưng trong các kiểu nhiệm vụ mà SGK đưa ra chủ yếu là HS phải nhớ phương trình của tiếp tuyến và tìm các dữ liệu liên quan đúng với mục đích mà SGV đưa ra: ‘‘Nắm vững ý nghĩa hình học của đạo hàm: 𝑓′(𝑥0) là h ệ số góc của tiếp tuyến 𝑀0𝑇

t ại 𝑀0�𝑥0; 𝑓(𝑥0)� với đồ thị (C) của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) Thuộc lòng và vận dụng tốt phương trình ti ếp tuyến 𝑦 − 𝑦0 = 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) c ủa (C) tại tiếp điểm 𝑀0�𝑥0; 𝑓(𝑥0)�, trong đó

HS tìm được phương trình tiếp tuyến

Chúng tôi đặt nhóm này là nhóm KNV thứ hai (KNV2)

2hsgR: “Vẽ d đi qua điểm 𝑀(𝑥𝑀; 𝑦𝑀) và có hệ số góc k cho trước’’

- Kẻ MA // Ox sao cho 𝑀𝐴������⃗ cùng hướng Ox

- Kẻ MB hướng lên trên và tạo với tia MA góc 𝛼 có 𝑡𝑡𝑛𝛼 = 𝑘

c) V ẽ đường thẳng đi qua điểm𝑀 �1;12� và có hệ góc bằng 𝑓′(1)’’ [5, tr.150]

- Viết phương trình tiếp tuyến d

- Tìm giao điểm B của d với các trục Ox (hoặc Oy)

- Đường thẳng AB chính là tiếp tuyến d

hàm số tại hoành độ tiếp điểm bằng cách nhận dạng

đồ thị’’

U

Ví dụ

‘‘12 Hình 5.4 là đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)

trên kho ảng (𝑡; 𝑏) Biết rằng tại các điểm

𝑀1, 𝑀2 𝑣à 𝑀3 đồ thị hàm số có tiếp tuyến được

thể hiện trên hình vẽ Dựa vào hình vẽ, em hãy

xác định trên khoảng (a;b) Dựa vào hình vẽ,

cho bi ết tại mỗi điểm 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 và 𝑥4

a) Hàm s ố có liên tục hay không?

b) Hàm s ố có đạo hàm hay không? Hãy tính

đạo hàm (nếu có)’’ [9, tr.195]

Các kiểu nhiệm vụ TR 3dau R, TR 3tontai Rđược SGK đưa ra chủ yếu sử dụng kĩ thuật giải

là sử dụng hình dạng của đồ thị hàm số, chẳng hạn như tiếp tuyến là đường thẳng ‘‘đi

xu ống’’, ‘‘đi lên’’ hoặc ‘‘song song với trục hoành’’, từ đó suy ra dấu hệ số góc của

tiếp tuyến Hoặc khái niệm ‘‘đứt’’, ‘‘gãy’’, ‘‘đường liền nét’’ giúp HS giải thích về sự

tồn tại của đạo hàm Như vậy, nhận dạng đồ thị hàm số giúp HS giải thích sự tồn tại

của đạo hàm dựa trên ‘‘trực giác’’, chính vì vậy kết quả có thể là không đảm bảo luôn

chính xác Vấn đề đặt ra là HS có nhận ra sự tồn tại của đạo hàm hay mối liên hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong bài toán thực tế hay không?

GKNC11 đưa ra KNV giúp khôi phục lại đồ thị của một hàm số thông qua vấn

đề nhận dạng

thị để khôi phục lại đồ thị hàm bậc hai 𝑦 =

𝑃(𝑥)’’

U

Ví dụ

‘‘55 Đồ thị ( P) của một hàm số bậc hai

𝑦 = 𝑃(𝑥)đã bị xóa chỉ còn lại trục đối xứng

D, điểm A thuộc ( P) và tiếp tuyến tại A của (P) (h 5.8) Hãy tìm P(x) và vẽ lại đồ thị

( P)’’ [9, tr.221]

Đồ thị hàm số sẽ được khôi phục lại bằng cách nhận dạng các yếu tố liên quan

đã cho trên hình vẽ Bài toán đưa ra nhằm giúp HS nhận ra được mối liên hệ giữa đạo hàm và hệ số góc của tiếp tuyến tại hoành độ tiếp điểm

Chúng tôi đặt đây là nhóm KNV thứ tư (KNV4)

4vt-gtR: “Tìm vận tốc, gia tốc tức thời của chuyển động có phương trình

𝑠 = 𝑠(𝑡) tại thời điểm 𝑡 = 𝑡0’’

U

Ví dụ

“8 Cho chuy ển động thẳng xác định bởi phương trình 𝑆 = 𝑡3− 3𝑡2− 9𝑡 trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét

a) Tính v ận tốc của chuyển động khi 𝑡 = 2𝑠

b) Tính gia t ốc của chuyển động khi 𝑡 = 3𝑠

c) Tính gia t ốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu

d) Tính v ận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu’’ [5, tr.177]

b) Tìm v ận tốc tại thời điểm t = 5’’[9, tr.192]

thực tế’’

U

Ví dụ

‘‘Bài 26 Hình 5.6 thể hiện màn hình của một

trò chơi điện tử Một máy bay xuất hiện ở bên

trái màn hình r ồi sang phải theo một quỹ đạo

(C) là đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), trong đó

𝑓(𝑥) = −1 −1𝑥 (𝑥 > 0) Bi ết rằng tên lửa

được bắn ra từ máy bay tại một điểm thuộc (C) sẽ bay theo phương tiếp tuyến của (C)

t ại điểm đó Tìm hoành độ của các điểm thuộc (C) sao cho tên lửa bắn ra từ đó có thể

b ắn trúng một trong bốn mục tiêu nằm trên màn hình có tọa độ (1;0), (2;0), (3;0) và (4;0) (làm tròn k ết quả đến hàng phần vạn)’’ [9, tr.205 – 206]

‘‘bài 25 M ột điểm M chuyển động trên parabol 𝑦 = −𝑥2+ 17𝑥 − 66 theo hướng tăng của x Một người quan sát ở vị trí 𝑃(0; 2) Hãy xác định các giá trị của hoành độ điểm M để người quan sát có thể nhìn thấy được điểm M’’ [9, tr.227]

Hai kiểu nhiệm vụ con TR

4vt-gt R, TR

4vttb Rgồm các bài toán thực tế liên quan đến vấn

đề chuyển động của vật đã được đề cập trong các hoạt động mở đầu Chúng tôi nghĩ

rằng, SGK đưa ra các kiểu nhiệm vụ này nhằm giúp HS nắm vững các công thức về

vận tốc và gia tốc tức thời của một chuyển động Các ví dụ minh họa cho kiểu nhiệm

vụ TR 4 Rđa số gồm các bài toán có chung một đặc trưng là đã mô hình các vấn đề thành hàm số cho sẵn công thức giải tích, HS chỉ cần áp dụng các công thức đã được học trong phần lý thuyết để giải quyết các bài toán Trong số đó có bài toán SGK không trình bày công thức giải tích, nhưng HS không cần phải xây dựng công thức bởi vì công thức đã được xây dựng trong bộ môn Vật lí: “27 M ột viên đạn bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu 𝑣0 = 196𝑚/𝑠 (bỏ qua sức cản của không khí) Tìm th ời điểm tại đó tốc độ của viên đạn bằng 0 Khi đó viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét? ’’[9, tr.206] Ví dụ bài 25 thuộc kiểu nhiệm vụ TR 4hdo R cho thấy ứng dụng tiếp tuyến

của một đường cong trong thực tế

b) Tính h ệ số góc của tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm A’’ [9, tr.192]

SGK quan tâm đến bài toán tìm hệ số góc của cát tuyến AB và tìm hệ số góc

tiếp tuyến Cụ thể, ở câu a yêu cầu tính hệ số góc của cát tuyến trong các trường hợp

ứng với ∆𝑥 càng ngày càng nhỏ dần Ở câu b, tính hệ số góc tại điểm A

SGV không hướng dẫn mà chỉ đưa ra đáp án

‘‘4 a) 5; 4,1 và 4,01 b) 4’’ [10, tr.229]

Theo chúng tôi, SGK chỉ yêu cầu HS thực hiện kĩ năng tính toán là chính, còn

vấn đề nhận thấy mối liên hệ của hệ số góc cát tuyến và hệ số góc khi cát tuyến trở thành tiếp tuyến không được quan tâm Bên cạnh đó, vấn đề vẽ đường thẳng với hệ số góc cho trước cũng không được đề cập, có lẽ vì trong trường hợp hệ số góc không

nguyên sẽ gây ra nhiều khó khăn cho HS Chúng tôi thấy rằng, ở bài 4 SGK nên yêu

cầu HS nhận xét để giúp các em nhận ra sự thay đổi của hệ số góc cát tuyến khi cát tuyến càng gần trở thành tiếp tuyến

Chúng tôi thống kê lại các KNV liên quan đến các bài toán thực tế, KNV thể

hiện mối liên hệ giữa đạo hàm và các khái niệm liên quan trong vấn đề nhận dạng đồ

nhiên, SGK có sự ưu tiên và chú trọng đối với nhóm KNV1 khi có đến 37 câu, trong khi đó KNV2 chỉ có 3 câu Ngoài ra, kĩ thuật viết phương trình tiếp tuyến được trình bày tường minh trong SGK và SBT còn các bài toán minh họa cho KNV2 nằm trong

hoạt động mở đầu để giới thiệu về tiếp tuyến hoặc nằm trong bài tập thuộc SGK hoặc SBT luôn kèm theo hướng dẫn giúp HS vẽ được tiếp tuyến Điều đó làm cho KNV vẽ

tiếp tuyến đi qua điểm và có hệ số góc cho trước khá mờ nhạt đối với HS Chính vì

vậy, chúng tôi nhận định rằng vấn đề vẽ đường thẳng hay cụ thể hơn là vẽ tiếp tuyến đi qua một điểm và có hệ số góc cho trước không hình thành trong mối quan hệ cá nhân

của HS

Từ đây, chúng tôi có thể kết luận rằng: “Trước nhiệm vụ vẽ tiếp tuyến của đồ thị hàm

s ố y = f(x) tại điểm A(a; f(a)), HS không huy động được kỹ thuật vẽ theo hệ số góc’’

Ngoài ra trong SGK và SBT không có bài tập nào giúp HS củng cố khái niệm

“ti ếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến’’ Do đó, chúng tôi nhận thấy cần xây dựng

tình huống giúp HS củng cố khái niệm này

 Trong vấn đề nhận dạng đồ thị hàm số nhằm xem xét mối liên hệ giữa đạo hàm

và các khái niệm liên quan, chúng tôi nhận thấy có KNV3 với số lượng là 8/75 câu Như vậy, vấn đề nhận dạng được SGK đề cập nhưng không được chú trọng nhiều Trong đó có 4/8 câu HS phải nhận dạng để xét mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm

Với số lượng chiếm một ½ trong các bài tập nhận dạng cho thấy mối liên hệ này rất quan trọng Vậy, trong bài toán thực tế thì mối liên hệ này thể hiện ra sao?

 Bài toán thực tế được SGK Toán 11 đề cập trong nhóm KNV4 trong đó KNV

TR 4vt-gt R và TR 4vttb R gồm những bài toán thực tế gắn liền với bộ môn Vật lý KNV TR 4hd R là bài toán thực tế gắn liền trong cuộc sống Đặc trưng của các bài toán trong nhóm KNV4 là các bài toán thực tế đều đã được khái quát hóa thành các công thức hàm số,

HS không cần xây dựng công thức mà HS chỉ cần vận dụng các tính chất hàm số đã được học để đưa ra câu trả lời cho các bài toán thực tế Trong số các ví dụ minh họa cho nhóm KNV4 thì chỉ có duy nhất một bài toán (bài 25 [9, tr.227]) là HS phải suy nghĩ tìm hướng để mô tả hàm số, tìm ra công thức giải tích và đưa câu trả lời thỏa yêu

cầu bài toán Trong số các bài toán thực tế có hai bài toán thực tế đề cập mối liên hệ

giữa đạo hàm và tiếp tuyến Tuy nhiên, mối liên hệ này cũng xoay quanh việc viết

phương trình tiếp tuyến tìm tọa độ tiếp điểm nhằm giới hạn lại vị trí có thể quan sát điểm M cho trước nằm trên Parabol (bài 25, [9, tr.227]) Như vậy, SGK không có bài toán thực tế nào giúp HS nhận ra mối liên hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến khi nhận

dạng đồ thị hàm số Đặc trưng của các bài toán nhận dạng đồ thị xét mối liên hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến đều là cho hình vẽ có vẽ sẵn tiếp tuyến hoặc trong đề cho sẵn vị trí có tiếp tuyến Quan niệm đồ thị “gãy’’, “đứt’’, “có tiếp tuyến’’ đều thể hiện qua cái

nhìn “tr ực quan’’ của HS trên hình vẽ cho sẵn Từ đây, chúng tôi đưa ra giả thuyết sau:

cách m ờ nhạt ở HS”

Bên cạnh đó, trong KNV yêu cầu HS xác định công thức hàm số có các dữ kiện đều phát biểu thành lời, không có dữ kiện nào liên quan đến xét ý nghĩa của tiếp tuyến

và đạo hàm Đặc biệt, trong các bài toán thực tế mà SGK đưa ra công thức giải tích

của hàm số được cho sẵn, không có bài toán nào yêu cầu tìm công thức giải tích hàm

số thông qua việc xét ý nghĩa của đạo hàm và tiếp tuyến Từ đây, chúng tôi đưa thêm

một giả thuyết

d ụng mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm”

Giả thuyết chúng tôi đề cập là hàm số nói chung nhưng do công thức Toán phổ thông chủ yếu đề cập đến các hàm số đa thức nên bài toán chúng tôi thực nghiệm kiểm

chứng H2 sẽ liên quan đến hàm số đa thức nói chung, cụ thể là một hàm số bậc ba

Từ đây, chúng tôi nhận thấy sự cần thiết khi xây dựng một bài toán thực tế dạy

học ứng dụng đạo hàm giúp HS nhận dạng đồ thị hàm số, tìm công thức giải tích cụ

thể của hàm số bậc ba và thấy được ý nghĩa đạo hàm và tiếp tuyến trong bài toán thực

- Xét tính đơn điệu của hàm số

- Tìm cực trị (cực đại, cực tiểu) của hàm số

đơn điệu của một hàm số

và dấu của đạo hàm cấp

hàm cấp một và cực trị

Hoạt động 1: “D ựa vào đồ thị (H7, H8) hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất): a) 𝑦 = −𝑥2+ 1 trong khoảng (−∞; +∞);

b) 𝑦 =𝑥3(𝑥 − 3)2 trong các kho ảng �12;32� và �32; 4�

Xét d ấu đạo hàm của các hàm số đã cho và điền vào các

b ảng dưới đây

[6, tr.13] Tìm GTLN và GTNN của

hàm số liên tục trên đoạn

Hoạt động 2

“ Cho hàm s ố 𝑦 = 𝑓(𝑥) = �−𝑥2𝑥 𝑛ế𝑢 1 < 𝑥 ≤ 3+ 2 𝑛ế𝑢 − 2 ≤ 𝑥 < 1

có đồ thị như Hình 10 Hãy chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

c ủa hàm số trên đoạn [-2;3] và nêu cách tính”

[6, tr.21]

Các định lý thể hiện mối liên hệ giữa đạo hàm và các khái niệm liên quan (tính

đơn điệu, cực trị hàm số, GTLN, GTNN) đều được thừa nhận và không chứng minh

Chính vì vậy, các ví dụ và hoạt động đưa ra ngay từ đầu giúp HS nhận thấy mối liên hệ

giữa đạo hàm và các khái niệm liên quan một cách tự nhiên là điều cần thiết Tất cả

các hoạt động được đưa ra bảng trên, SGK đều sử dụng nhận dạng đồ thị để củng cố

các kiến thức mang tính lý thuyết và để gợi ý cho học sinh dự đoán được kiến thức sắp

được trình bày ngay sau đó

Hoạt động 2 đưa ra với mục đích tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên

đoạn ở bảng 2.2 cho chúng tôi thấy rằng, HS có thể sử dụng đồ thị để chỉ ra GTLN,

GTNN của hàm số bằng cách tìm điểm cao nhất và điểm thấp nhất của đồ thị trên một

đoạn, lúc này điểm cao nhất ứng với GTLN của hàm số trên đoạn và điểm thấp nhất

ứng với GTNN của hàm số trên đoạn đó Tuy nhiên, yêu cầu tiếp theo là “nêu cách tính” buộc HS phải quay về thực hiện trên biểu thức giải tích của hàm số Điều này cho thấy, đồ thị được sử dụng ở đây không phải là một công cụ để tìm GTLN, GTNN

của hàm số trên đoạn, nó chỉ được đưa ra để minh họa cho kĩ thuật mà GKNC12 sẽ nêu ra ở phần sau: Muốn tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên đoạn [a;b], ta chỉ

việc tìm tại các điểm đầu mút a, b và tại các điểm nằm trên đoạn [a;b]

Trong vấn đề nhận dạng đồ thị hàm số, chúng tôi nhận thấy SGK giới thiệu

bảng tổng kết các dạng đồ thị ngay sau các ví dụ khảo sát loại hàm số tương ứng

 Dạng của đồ thị hàm số bậc ba 𝑦 = 𝑡𝑥3 + 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑 (𝑡 ≠ 0) [6, tr.35]

 Dạng của đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑡𝑥4+ 𝑏𝑥2+ 𝑐 (𝑡 ≠ 0) [6, tr.38]

 Trong phần trình bày lý thuyết của SGK, chúng tôi nhận thấy có một bài toán

thực tế xuất hiện trong phần tìm GTLN và GTNN của hàm số

“Ví d ụ 3: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông b ằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại như hình 11 để được một cái hộp không nắp Tính c ạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất ”

Giải G ọi x là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt Rõ ràng x phải thoả mãn điều kiện

0 < 𝑡 <𝑎2 Th ể tích của khối hộp là 𝑉(𝑥) = 𝑥(𝑡 − 2𝑥)2 Ta ph ải tìm 𝑥0 ∈ �0;𝑎2� sao cho 𝑉(𝑥0) có giá tr ị lớn nhất Ta có 𝑉′(𝑥) = (𝑡 − 2𝑥)(𝑡 − 6𝑥) Trên khoảng �0;𝑎2�,

ta có 𝑉′(𝑥) = 0 ⇔ 𝑥 =𝑎6

B ảng biến thiên

T ừ bảng trên ta thấy trong khoảng �0;𝑎2� hàm số có một điểm cực trị duy nhất là điểm

c ực đại 𝑥 =𝑎6 nên t ại đó 𝑉(𝑥) có giá trị lớn nhất: max�0;𝑎

2 �𝑉(𝑥) =2𝑎273” [6, tr.22]

Có một sự khác biệt so với bộ SGK Toán 11, bài toán thực tế được đưa ra với mong muốn sử dụng mối liên hệ giữa các đại lượng đã cho tìm biểu thức giải tích cho hàm số và sau đó sử dụng đạo hàm để đưa ra câu trả lời Kĩ thuật giải KNV này cho

thấy vai trò của đạo hàm trong việc tìm giá GTLN, GTNN liên quan đến các bài toán

thực tế

2.2.2 SGK Toán 12 nâng cao

Tương tự GKCB12, ứng dụng của đạo hàm cũng được thể hiện trong việc

- Xét tính đơn điệu của hàm số

- Tìm cực trị (cực đại, cực tiểu) của hàm số